Характеристическая температура дебая. Дебая температура. Теории эйнштейна и дебая

Температура Принято считать, что нормальная температура тела человека - 36,6 °C. Однако подобное утверждение и верно, и в то же время не верно. Ученые проводили эксперименты по замеру температуры в разных ситуациях и обнаружили, что нет ничего более непостоянного в

Температура

Температура Погубить способно не только пламя. Температура воздуха в горящем здании быстро подскакивает до уровня 600 градусов по Фаренгейту. Жар сушит лёгкие, испепеляет кожу и волосы, доводит одежду до тления. Чем ближе к полу и земле, тем ниже температура. Выбираясь из

Дебая - Шеррера метод

Дебая температура

П. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных между собой атомов, обладающих 3N степенями свободы. Каждая степень свободы (нормальное колебание) может быть представлена как гармонический осциллятор, среднюю энергию которого мы уже вычислили (см. (7.6)). Из-за связи между атомами частоты нормальных колебаний уже не совпадают между собой. Взаимодействие атомов приводит к тому, что колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая волна. Эта волна, дойдя до границы кристалла, отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна, которой соответствует некоторое нормальное колебание кристаллической решетки. Число dN нормальных колебаний, то есть стоячих волн, в интервале частот от до велико, поэтому суммирование в выражении для внутренней энергии системы может быть заменено интегрированием:

Число колебаний в единице объема. В этом разделе мы займемся подсчетом числа стоячих волн, имеющих близкие частоты . В сущности, мы проделали уже эти выкладки ранее для электромагнитного излучения, но повторим их снова с небольшими модификациями для применения также и к упругим колебаниям в кристалле.

Рассмотрим сначала одномерный потенциальный ящик длиной . Мы могли уже убедиться, что стоячая волна в нем (неважно, электромагнитная ли, звуковая или волна де Бройля), описывается функцией sin(kx), которая должна обращаться в нуль на границах ящика. Отсюда

Число нумерует различные стоячие волны вдоль оси х, и потому на малый интервал волнового вектора приходится число колебаний

Двойку в знаменателе мы поставили, чтобы избежать двойного счета: замена на приводит к той же стоячей волне. В трехмерном ящике для волн, распространяющихся по другим осям, получаем аналогичные формулы

Перемножая (7.11) и (7.12), находим для полного числа стоячих волн в ящике объемом

Наконец, учтем, что каждой стоячей волне может соответствовать g поляризаций (например, для волн де Бройля, соответствующих частицам со спином s, имеем g = 2s + 1 - число различных проекций спина). Окончательно имеем

Формула (7.14) дает число различных стоячих волн (отличающихся числом узлов и направлениями поляризации) в объеме V, приходящихся на элемент объема в пространстве волнового вектора . Далее, для перехода к частотам волн вспомним соотношение

где v - фазовая скорость волны. Отсюда

и окончательно получаем

Мы вывели формулу (7.15) для прямоугольного объема, но можно показать, что форма объема не влияет на результат. Не имеет большого значения и физическая природа колебаний, число которых мы подсчитали. Например, для фотонов v = c и g = 2 (свет может иметь правую и левую циркулярные поляризации). В итоге получаем уже известную нам формулу для числа типов фотонов в объеме V с частотой в интервале :

Для применения (7.15) к звуковым волнам в кристалле учтем, что там возможна одна продольная волна, распространяющаяся со скоростью , и две поперечные волны с разными поляризациями, как у фотонов, распространяющиеся со скоростью . Теперь очевидно, как обобщить формулу (7.15) на данный случай:

Здесь мы ввели величину v, играющую роль некого среднего между скоростями продольных и поперечных волн; она вычисляется из соотношения

Характеристическая температура Дебая. Подставляя (7.17) и (7.6) в выражение (7.9) для внутренней энергии, получаем

где - максимальная частота нормальных колебаний, которая определяется из нормировочного соотношения

так как полное число нормальных колебаний равно числу степеней свободы. Используя (7.17), находим

где n - концентрация атомов (их число в единице объема кристалла). Таким образом, максимальная частота нормальных колебаний, называемая дебаевской частотой , равна

Следует отметить, что наименьшая длина упругой волны в кристалле, которая соответствует максимальной частоте , равна

Расстояние между соседними атомами в кристаллической решетке. Этот результат согласуется с тем, что волны, длины которых меньше удвоенного межатомного расстояния, не могут существовать в кристалле.

Используя определение (7.22) и учитывая, что для одного моля кристалла концентрация атомов равна

где - число атомов в молекуле вещества кристалла, мы можем записать внутреннюю энергию одного моля в виде

Дифференцируя внутреннюю энергию U по температуре, можно получить молярную теплоемкость кристалла:

Уже существующих, то есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.

Температура Дебая - физическая константа вещества , характеризующая многие свойства твёрдых тел - теплоёмкость , электропроводность , теплопроводность , уширение линий рентгеновских спектров , упругие свойства и т. п. Введена впервые П. Дебаем в его теории теплоёмкости.

Температура Дебая определяется следующей формулой:

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): h - постоянная Планка , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \nu_D - максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc - постоянная Больцмана .

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты .

Физическая интерпретация

При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая , пропорциональна кубу температуры.

При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга-Пти , согласно которому теплоёмкость постоянна и равна Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 3Nrk_B , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): N количество элементарных ячеек в теле, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r - количество атомов в элементарной ячейке , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k_B - постоянная Больцмана .

При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов , количества атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \theta_D - температура Дебая, а функция

называется функцией Дебая .

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

Оценка температуры Дебая

При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейным закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): q_D радиус такой сферы, то Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \omega_D = q_D s , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s скорость звука , называется частотой Дебая . Температура Дебая определяется из соотношения

Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведено в таблице.

См. также

Напишите отзыв о статье "Температура Дебая"

Примечания

Источники

• Температура Дебая - статья из Большой советской энциклопедии .

Отрывок, характеризующий Температура Дебая

Как обсуждалось выше, связь между атомами твердого тела настолько сильная, что они не могут колебаться независимо друг от друга; N таких атомов образуют связанную систему, обладающую ЗN степенями свободы. В такой системе возникает в общем случае ЗN колебаний (N колебаний для каждого типа поляризации – одной продольной и двух поперечных мод), совершающихся с различными частотами. Эти колебания называются собственными колебаниями системы, а частоты, с которыми они совершаются, собственными частотами.

Модель Дебая дает значительно лучшее согласие с опытом, чем теория теплоемкости Энштейна. В ней, как и в теории Эйнштейна, предполагается, фононы подчиняются распределению Планка и их средняя энергия может быть представлена соотношением (4.43). Важные дополнения к теории Эйнштейна состоят в том, что Дебай предположил:

· колебания атомов в твердом теле не являются независимыми. Существуют зависимости частот собственных упругих колебаний от волнового вектора , причем в модели Дебая сделано упрощающее предположение, согласно которому учитываются только акустические типы колебаний и выбирается простейший закон дисперсии (континуальное приближение);

· частоты колебаний решетки ограничиваются максимальной частотой ω D (см. (4.37)), так что выполняется соотношение

(4.50)

где 3N - полное число частот колебаний.

Расчет теплоемкости кристаллической решетки в рамках теории Дебая проводится с учетом полученной им функции плотности собственных колебаний решетки g (ω ) (см.(4.36)).

Энергию для каждого типа поляризации можно представить выражением

(4.51)

Здесь ω D – частота на которой обрезается непрерывный спектр.

Для простоты мы предполагаем, что скорости фононов для всех трех типов поляризации (одной продольной и двух поперечных мод) одинаковы, и поэтому, чтобы получить полную энергию, просто утроим энергию (4.51):

(4.52)

где введены обозначения и

(4.53)

Соотношение (4.52) является определением температуры Дебая θ через предельную частоту ω D , введенную условием (4.37). Для θ можно записать выражение

(4.54)

и переписать (4.52) в виде

, (4.55)

где N – число атомов образца.

Теперь теплоемкость найти очень просто: нужно лишь продифференцировать по температуре первое из выражений для Е в (4.52). Тогда получим:

График зависимости теплоемкости от отношения дан па рис. 4.14. Видно, что при высоких температурах молярная теплоемкость приближается к классическому значению .

Теплоемкость Дебая при высоких температурах

При Т >> θ и знаменатель в подынтегральном выражении в формуле (4.55) можно разложить в ряд по малому параметру:

. (4.57)

Подставляя результат (4.57) в (4.56) и принимая, что N = N A , для теплоемкости в высокотемпературном пределе получим:

,

что, как и в теории Эйнштейна, соответствует закону Дюлонга и Пти.

Теплоемкость Дебая при низких температурах .

При очень низких температурах приближенное выражение для энергии можно получить из (4.55), положив верхний предел интеграла равным бесконечности. Тогда интеграл вычисляется, и равен:

(4.58)

Итак, для Е имеем:

при

а для теплоемкости C V

(4.59)

Это и есть приближенный закон T 3 Дебая. Он хорошо выполняется при низких температурах, поскольку именно в этой области возбуждаются только низкоэнергетичные (длинноволновые) акустические фононы.

Формула Дебая оправдывается для большинства твердых тел.

Вопрос 15

Температура Дебая

Следует отметить, что понятие температуры Дебая используется во многих задачах физики твердого тела, в том числе и не связанных с теплоемкостью. Она является характеристической температурой твердого тела, зависящей от констант упругости. Физический смысл температуры Дебая в том, что величина представляет максимальный квант энергии, способный возбудить колебания решетки. При температуре выше температуры Дебая все фононы возбуждены, и у большей части фононов длина волны имеет порядок нескольких межатомных расстояний (коротковолновые фононы). При температурах же значительно ниже дебаевской возбуждаются только фононы, волновые векторы К которых очень близки к центру зоны Бриллюэна и лежат достаточно далеко от ее границ (длинноволновые фононы).

Температура Дебая θ условно разделяет «квантово-механическую» и «классическую» области температурной зависимости физических свойств твердых тел. В первой из них (Т < θ ) в результате температурного возбуждения происходит изменение числа фононов, во второй (Т > θ ) - все фононы возбуждены.

Нужно отметить, что это представление вполне справедливо для кристаллов с одним атомом в базисе, где могут возбуждаться только акустические фононы. Однако кристаллы, содержащие два и более атома в базисе, дополнительно обладают оптическими модами. Поэтому для них при температурах выше θ продолжает происходить возбуждение фононов, теперь уже оптического типа.

Как отмечалось выше, температура Дебая (так же, как и температура Энштейна) зависит от свойств вещества. Для большинства твердых тел она равна 100 – 400 К, хотя для таких веществ как бериллий, алмаз она аномально высока, что хорошо объясняется повышенной «жесткостью» межатомных связей. В табл. 4.2 приводятся значения температуры Дебая θ для некоторых кристаллов. Из таблицы видно, что для кристаллов, у которых θ < Т комн , температуры больше комнатной являются сравнительно высокими. Поэтому для них отклонения от классических законов в этой области не слишком велики (большая часть или все фононы возбуждены). Иначе обстоит дело для кристаллов с высокой характеристической температурой, особенно в случае алмаза. Для последнего комнатная температура существенно ниже дебаевской, и ни о какой применимости классических законов не может быть и речи. В таких кристаллах даже при комнатных температурах «вымерзают» все фононы, за исключением тех, длины волн которых очень велики по сравнению размерами элементарной ячейки. Теплоемкость алмаза уже при комнатных температурах следует закону Т 3 .

Таблица 4.2

Температура Дебая в для некоторых кристаллов

Уже существующих, то есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.

Температура Дебая - физическая константа вещества , характеризующая многие свойства твёрдых тел - теплоёмкость , электропроводность , теплопроводность , уширение линий рентгеновских спектров , упругие свойства и т. п. Введена впервые П. Дебаем в его теории теплоёмкости.

Температура Дебая определяется следующей формулой:

$\backslash Theta\_D\; =\; \backslash frac\; \{h\; \backslash nu\_D\}\{k\_B\},$

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты .

Физическая интерпретация

При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая , пропорциональна кубу температуры.

При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга-Пти , согласно которому теплоёмкость постоянна и равна $3Nrk\_B$, где $N$ количество элементарных ячеек в теле, $r$ - количество атомов в элементарной ячейке , $k\_B$ - постоянная Больцмана .

При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов , количества атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой

$C\_V(T)\; =\; 3Nk\_B\; f\_D(\backslash theta\_D/T)$,

где $\backslash theta\_D$ - температура Дебая, а функция

$f\_D(x)\; =\; \backslash frac\{3\}\{x^3\}\; \backslash int\_0^x\; \backslash frac\{t^4\; e^t\}\{(e^t-1)^2\}\backslash textrm\{d\}t$

называется функцией Дебая .

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

$C\_V(T)\; =\; \backslash frac\{12\; \backslash pi^4\}\{5\}\; Nk\_B\; (T/\backslash theta\_D)^3$

Оценка температуры Дебая

При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейным закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если $q\_D$ радиус такой сферы, то $\backslash omega\_D\; =\; q\_D\; s$, где $s$ скорость звука , называется частотой Дебая . Температура Дебая определяется из соотношения

$\backslash hbar\; \backslash omega\_D\; =\; k\_B\backslash theta\_D$.

Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведено в таблице.

См. также

Напишите отзыв о статье "Температура Дебая"

Примечания

Источники

• Температура Дебая - статья из Большой советской энциклопедии .

Отрывок, характеризующий Температура Дебая

О той партии пленных, в которой был Пьер, во время всего своего движения от Москвы, не было от французского начальства никакого нового распоряжения. Партия эта 22 го октября находилась уже не с теми войсками и обозами, с которыми она вышла из Москвы. Половина обоза с сухарями, который шел за ними первые переходы, была отбита казаками, другая половина уехала вперед; пеших кавалеристов, которые шли впереди, не было ни одного больше; они все исчезли. Артиллерия, которая первые переходы виднелась впереди, заменилась теперь огромным обозом маршала Жюно, конвоируемого вестфальцами. Сзади пленных ехал обоз кавалерийских вещей.
От Вязьмы французские войска, прежде шедшие тремя колоннами, шли теперь одной кучей. Те признаки беспорядка, которые заметил Пьер на первом привале из Москвы, теперь дошли до последней степени.
Дорога, по которой они шли, с обеих сторон была уложена мертвыми лошадьми; оборванные люди, отсталые от разных команд, беспрестанно переменяясь, то присоединялись, то опять отставали от шедшей колонны.
Несколько раз во время похода бывали фальшивые тревоги, и солдаты конвоя поднимали ружья, стреляли и бежали стремглав, давя друг друга, но потом опять собирались и бранили друг друга за напрасный страх.
Эти три сборища, шедшие вместе, – кавалерийское депо, депо пленных и обоз Жюно, – все еще составляли что то отдельное и цельное, хотя и то, и другое, и третье быстро таяло.
В депо, в котором было сто двадцать повозок сначала, теперь оставалось не больше шестидесяти; остальные были отбиты или брошены. Из обоза Жюно тоже было оставлено и отбито несколько повозок. Три повозки были разграблены набежавшими отсталыми солдатами из корпуса Даву. Из разговоров немцев Пьер слышал, что к этому обозу ставили караул больше, чем к пленным, и что один из их товарищей, солдат немец, был расстрелян по приказанию самого маршала за то, что у солдата нашли серебряную ложку, принадлежавшую маршалу.
Больше же всего из этих трех сборищ растаяло депо пленных. Из трехсот тридцати человек, вышедших из Москвы, теперь оставалось меньше ста. Пленные еще более, чем седла кавалерийского депо и чем обоз Жюно, тяготили конвоирующих солдат. Седла и ложки Жюно, они понимали, что могли для чего нибудь пригодиться, но для чего было голодным и холодным солдатам конвоя стоять на карауле и стеречь таких же холодных и голодных русских, которые мерли и отставали дорогой, которых было велено пристреливать, – это было не только непонятно, но и противно. И конвойные, как бы боясь в том горестном положении, в котором они сами находились, не отдаться бывшему в них чувству жалости к пленным и тем ухудшить свое положение, особенно мрачно и строго обращались с ними.
В Дорогобуже, в то время как, заперев пленных в конюшню, конвойные солдаты ушли грабить свои же магазины, несколько человек пленных солдат подкопались под стену и убежали, но были захвачены французами и расстреляны.