Как понять тему действия с рациональными числами. Рациональные числа и действия над ними. Деление рациональных чисел
Этот урок предназначен для тех, кто только начинает изучать показательные уравнения. Как всегда, начнём с определения и простейших примеров.
Если вы читаете этот урок, то я подозреваю, что вы уже имеете хотя бы минимальное представление о простейших уравнениях — линейных и квадратных: $56x-11=0$; ${{x}^{2}}+5x+4=0$; ${{x}^{2}}-12x+32=0$ и т.д. Уметь решать такие конструкции совершенно необходимо для того, чтобы не «зависнуть» в той теме, о которой сейчас пойдёт речь.
Итак, показательные уравнения. Сразу приведу парочку примеров:
\[{{2}^{x}}=4;\quad {{5}^{2x-3}}=\frac{1}{25};\quad {{9}^{x}}=-3\]
Какие-то из них могут показаться вам более сложными, какие-то — напротив, слишком простыми. Но всех их объединяет один важный признак: в их записи присутствует показательная функция $f\left(x \right)={{a}^{x}}$. Таким образом, введём определение:
Показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида ${{a}^{x}}$. Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию, логарифмы и т.д.
Ну хорошо. С определением разобрались. Теперь вопрос: как всю эту хрень решать? Ответ одновременно и прост, и сложен.
Начнём с хорошей новости: по своему опыту занятий с множеством учеников могу сказать, что большинству из них показательные уравнения даются намного легче, чем те же логарифмы и уж тем более тригонометрия.
Но есть и плохая новость: иногда составителей задач для всевозможных учебников и экзаменов посещает «вдохновение», и их воспалённый наркотиками мозг начинает выдавать такие зверские уравнения, что решить их становится проблематично не только ученикам — даже многие учителя на таких задачах залипают.
Впрочем, не будем о грустном. И вернёмся к тем трём уравнениям, которые были приведены в самом начале повествования. Попробуем решить каждое из них.
Первое уравнение: ${{2}^{x}}=4$. Ну и в какую степень надо возвести число 2, чтобы получить число 4? Наверное, во вторую? Ведь ${{2}^{2}}=2\cdot 2=4$ — и мы получили верное числовое равенство, т.е. действительно $x=2$. Что ж, спасибо, кэп, но это уравнение было настолько простым, что его решил бы даже мой кот.:)
Посмотрим на следующее уравнение:
\[{{5}^{2x-3}}=\frac{1}{25}\]
А вот тут уже чуть сложнее. Многие ученики знают, что ${{5}^{2}}=25$ — это таблица умножения. Некоторые также подозревают, что ${{5}^{-1}}=\frac{1}{5}$ — это по сути определение отрицательных степеней (по аналогии с формулой ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$).
Наконец, лишь избранные догадываются, что эти факты можно совмещать и на выходе получить следующий результат:
\[\frac{1}{25}=\frac{1}{{{5}^{2}}}={{5}^{-2}}\]
Таким образом, наше исходное уравнение перепишется следующим образом:
\[{{5}^{2x-3}}=\frac{1}{25}\Rightarrow {{5}^{2x-3}}={{5}^{-2}}\]
А вот это уже вполне решаемо! Слева в уравнении стоит показательная функция, справа в уравнении стоит показательная функция, ничего кроме них нигде больше нет. Следовательно, можно «отбросить» основания и тупо приравнять показатели:
Получили простейшее линейное уравнение, которое любой ученик решит буквально в пару строчек. Ну ладно, в четыре строчки:
\[\begin{align}& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac{1}{2} \\\end{align}\]
Если вы не поняли, что сейчас происходило в последних четырёх строчках — обязательно вернитесь в тему «линейные уравнения» и повторите её. Потому что без чёткого усвоения этой темы вам рано браться за показательные уравнения.
\[{{9}^{x}}=-3\]
Ну и как такое решать? Первая мысль: $9=3\cdot 3={{3}^{2}}$, поэтому исходное уравнение можно переписать так:
\[{{\left({{3}^{2}} \right)}^{x}}=-3\]
Затем вспоминаем, что при возведении степени в степень показатели перемножаются:
\[{{\left({{3}^{2}} \right)}^{x}}={{3}^{2x}}\Rightarrow {{3}^{2x}}=-{{3}^{1}}\]
\[\begin{align}& 2x=-1 \\& x=-\frac{1}{2} \\\end{align}\]
И вот за такое решение мы получим честно заслуженную двойку. Ибо мы с невозмутимостью покемона отправили знак «минус», стоящий перед тройкой, в степень этой самой тройки. А так делать нельзя. И вот почему. Взгляните на разные степени тройки:
\[\begin{matrix} {{3}^{1}}=3& {{3}^{-1}}=\frac{1}{3}& {{3}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{3} \\ {{3}^{2}}=9& {{3}^{-2}}=\frac{1}{9}& {{3}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt{3} \\ {{3}^{3}}=27& {{3}^{-3}}=\frac{1}{27}& {{3}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\\end{matrix}\]
Составляя эту табличку, я уж как только не извращался: и положительные степени рассмотрел, и отрицательные, и даже дробные... ну и где здесь хоть одно отрицательное число? Его нет! И не может быть, потому что показательная функция $y={{a}^{x}}$, во-первых, всегда принимает лишь положительные значения (сколько единицу не умножай или не дели на двойку — всё равно будет положительное число), а во-вторых, основание такой функции — число $a$ — по определению является положительным числом!
Ну и как тогда решать уравнение ${{9}^{x}}=-3$? А никак: корней нет. И в этом смысле показательные уравнения очень похожи на квадратные — там тоже может не быть корней. Но если в квадратных уравнениях число корней определяется дискриминантом (дискриминант положительный — 2 корня, отрицательный — нет корней), то в показательных всё зависит от того, что стоит справа от знака равенства.
Таким образом, сформулируем ключевой вывод: простейшее показательное уравнение вида ${{a}^{x}}=b$ имеет корень тогда и только тогда, когда $b>0$. Зная этот простой факт, вы без труда определите: есть у предложенного вам уравнения корни или нет. Т.е. стоит ли вообще его решать или сразу записать, что корней нет.
Это знание ещё неоднократно поможет нам, когда придётся решать более сложные задачи. А пока хватит лирики — пора изучить основной алгоритм решения показательных уравнений.
Как решать показательные уравнения
Итак, сформулируем задачу. Необходимо решить показательное уравнение:
\[{{a}^{x}}=b,\quad a,b>0\]
Согласно «наивному» алгоритму, по которому мы действовали ранее, необходимо представить число $b$ как степень числа $a$:
Кроме того, если вместо переменной $x$ будет стоять какое-либо выражение, мы получим новое уравнение, которое уже вполне можно решить. Например:
\[\begin{align}& {{2}^{x}}=8\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{3}}\Rightarrow x=3; \\& {{3}^{-x}}=81\Rightarrow {{3}^{-x}}={{3}^{4}}\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& {{5}^{2x}}=125\Rightarrow {{5}^{2x}}={{5}^{3}}\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}. \\\end{align}\]
И как ни странно, эта схема работает примерно в 90% случаев. А что тогда с остальными 10%? Остальные 10% — это немного «шизофреничные» показательные уравнения вида:
\[{{2}^{x}}=3;\quad {{5}^{x}}=15;\quad {{4}^{2x}}=11\]
Ну и в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 3? В первую? А вот и нет: ${{2}^{1}}=2$ — маловато. Во вторую? Тоже нет: ${{2}^{2}}=4$ — многовато. А в какую тогда?
Знающие ученики уже наверняка догадались: в таких случаях, когда «красиво» решить не получается, к делу подключается «тяжёлая артиллерия» — логарифмы. Напомню, что с помощью логарифмов любое положительное число можно представить как степень любого другого положительного числа (за исключением единицы):
Помните эту формулу? Когда я рассказываю своим ученикам про логарифмы, то всегда предупреждаю: эта формула (она же — основное логарифмическое тождество или, если угодно, определение логарифма) будет преследовать вас её очень долго и «всплывать» в самых неожиданных местах. Ну вот она и всплыла. Давайте посмотрим на наше уравнение и на эту формулу:
\[\begin{align}& {{2}^{x}}=3 \\& a={{b}^{{{\log }_{b}}a}} \\\end{align}\]
Если допустить, что $a=3$ — наше исходное число, стоящее справа, а $b=2$ — то самое основание показательной функции, к которому мы так хотим привести правую часть, то получим следующее:
\[\begin{align}& a={{b}^{{{\log }_{b}}a}}\Rightarrow 3={{2}^{{{\log }_{2}}3}}; \\& {{2}^{x}}=3\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{{{\log }_{2}}3}}\Rightarrow x={{\log }_{2}}3. \\\end{align}\]
Получили немного странный ответ: $x={{\log }_{2}}3$. В каком-нибудь другом задании многие при таком ответе засомневались бы и начали перепроверять своё решение: вдруг там где-то закралась ошибка? Спешу вас обрадовать: никакой ошибки здесь нет, и логарифмы в корнях показательных уравнений — вполне типичная ситуация. Так что привыкайте.:)
Теперь решим по аналогии оставшиеся два уравнения:
\[\begin{align}& {{5}^{x}}=15\Rightarrow {{5}^{x}}={{5}^{{{\log }_{5}}15}}\Rightarrow x={{\log }_{5}}15; \\& {{4}^{2x}}=11\Rightarrow {{4}^{2x}}={{4}^{{{\log }_{4}}11}}\Rightarrow 2x={{\log }_{4}}11\Rightarrow x=\frac{1}{2}{{\log }_{4}}11. \\\end{align}\]
Вот и всё! Кстати, последний ответ можно записать иначе:
Это мы внесли множитель в аргумент логарифма. Но никто не мешает нам внести этот множитель в основание:
При этом все три варианта являются правильными — это просто разные формы записи одного и того же числа. Какой из них выбрать и записать в настоящем решении — решать только вам.
Таким образом, мы научились решать любые показательные уравнения вида ${{a}^{x}}=b$, где числа $a$ и $b$ строго положительны. Однако суровая реальность нашего мира такова, что подобные простые задачи будут встречаться вам очень и очень редко. Куда чаще вам будет попадаться что-нибудь типа этого:
\[\begin{align}& {{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11; \\& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& {{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09. \\\end{align}\]
Ну и как такое решать? Это вообще можно решить? И если да, то как?
Без паники. Все эти уравнения быстро и просто сводятся к тем простым формулам, которые мы уже рассмотрели. Нужно лишь знать вспомнить парочку приёмов из курса алгебры. Ну и конечно, здесь никуда без правил работы со степенями. Обо всём этом я сейчас расскажу.:)
Преобразование показательных уравнений
Первое, что нужно запомнить: любое показательное уравнение, каким бы сложным оно ни было, так или иначе должно сводиться к простейшим уравнениям — тем самым, которые мы уже рассмотрели и которые знаем как решать. Другими словами, схема решения любого показательного уравнения выглядит следующим образом:
- Записать исходное уравнение. Например: ${{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11$;
- Сделать какую-то непонятную хрень. Или даже несколько хреней, которые называются «преобразовать уравнение»;
- На выходе получить простейшие выражения вида ${{4}^{x}}=4$ или что-нибудь ещё в таком духе. Причём одно исходное уравнение может давать сразу несколько таких выражений.
С первым пунктом всё понятно — записать уравнение на листик сможет даже мой кот. С третьим пунктом тоже, вроде, более-менее ясно — мы такие уравнения уже целую пачку нарешали выше.
Но как быть со вторым пунктом? Что за преобразования? Что во что преобразовывать? И как?
Что ж, давайте разбираться. Прежде всего, отмечу следующее. Все показательные уравнения делятся на два типа:
- Уравнение составлено из показательных функций с одним и тем же основанием. Пример: ${{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11$;
- В формуле присутствуют показательные функции с разными основаниями. Примеры: ${{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}$ и ${{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09$.
Начнём с уравнений первого типа — они решаются проще всего. И в их решении нам поможет такой приём как выделение устойчивых выражений.
Выделение устойчивого выражения
Давайте ещё раз посмотрим на это уравнение:
\[{{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11\]
Что мы видим? Четвёрка возводится в разные степени. Но все эти степени — простые суммы переменной $x$ с другими числами. Поэтому необходимо вспомнить правила работы со степенями:
\[\begin{align}& {{a}^{x+y}}={{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}}; \\& {{a}^{x-y}}={{a}^{x}}:{{a}^{y}}=\frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}. \\\end{align}\]
Проще говоря, сложение показателей можно преобразовать в произведение степеней, а вычитание легко преобразуется в деление. Попробуем применить эти формулы к степеням из нашего уравнения:
\[\begin{align}& {{4}^{x-1}}=\frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{1}}}={{4}^{x}}\cdot \frac{1}{4}; \\& {{4}^{x+1}}={{4}^{x}}\cdot {{4}^{1}}={{4}^{x}}\cdot 4. \\\end{align}\]
Перепишем исходное уравнение с учётом этого факта, а затем соберём все слагаемые слева:
\[\begin{align}& {{4}^{x}}+{{4}^{x}}\cdot \frac{1}{4}={{4}^{x}}\cdot 4-11; \\& {{4}^{x}}+{{4}^{x}}\cdot \frac{1}{4}-{{4}^{x}}\cdot 4+11=0. \\\end{align}\]
В первых четырёх слагаемых присутствует элемент ${{4}^{x}}$ — вынесем его за скобку:
\[\begin{align}& {{4}^{x}}\cdot \left(1+\frac{1}{4}-4 \right)+11=0; \\& {{4}^{x}}\cdot \frac{4+1-16}{4}+11=0; \\& {{4}^{x}}\cdot \left(-\frac{11}{4} \right)=-11. \\\end{align}\]
Осталось разделить обе части уравнения на дробь $-\frac{11}{4}$, т.е. по существу умножить на перевёрнутую дробь — $-\frac{4}{11}$. Получим:
\[\begin{align}& {{4}^{x}}\cdot \left(-\frac{11}{4} \right)\cdot \left(-\frac{4}{11} \right)=-11\cdot \left(-\frac{4}{11} \right); \\& {{4}^{x}}=4; \\& {{4}^{x}}={{4}^{1}}; \\& x=1. \\\end{align}\]
Вот и всё! Мы свели исходное уравнение к простейшему и получили окончательный ответ.
При этом в процессе решения мы обнаружили (и даже вынесли за скобку) общий множитель ${{4}^{x}}$ — это и есть устойчивое выражение. Его можно обозначать за новую переменную, а можно просто аккуратно выразить и получить ответ. В любом случае, ключевой принцип решения следующий:
Найти в исходном уравнении устойчивое выражение, содержащее переменную, которое легко выделяется из всех показательных функций.
Хорошая новость состоит в том, что практически каждое показательное уравнение допускает выделение такого устойчивого выражения.
Но есть и плохая новость: подобные выражения могут оказаться весьма хитрыми, и выделить их бывает довольно сложно. Поэтому разберём ещё одну задачу:
\[{{5}^{x+2}}+{{0,2}^{-x-1}}+4\cdot {{5}^{x+1}}=2\]
Возможно, у кого-то сейчас возникнет вопрос: «Паша, ты что, обкурился? Здесь же разные основания — 5 и 0,2». Но давайте попробуем преобразовать степень с основание 0,2. Например, избавимся от десятичной дроби, приведя её к обычной:
\[{{0,2}^{-x-1}}={{0,2}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left(\frac{2}{10} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left(\frac{1}{5} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}\]
Как видите, число 5 всё-таки появилось, пускай и в знаменателе. Заодно переписали показатель в виде отрицательного. А теперь вспоминаем одно из важнейших правил работы со степенями:
\[{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}\Rightarrow {{\left(\frac{1}{5} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left(\frac{5}{1} \right)}^{x+1}}={{5}^{x+1}}\]
Тут я, конечно, немного слукавил. Потому что для полного понимания формулу избавления от отрицательных показателей надо было записать так:
\[{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}={{\left(\frac{1}{a} \right)}^{n}}\Rightarrow {{\left(\frac{1}{5} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left(\frac{5}{1} \right)}^{x+1}}={{5}^{x+1}}\]
С другой стороны, ничто не мешало нам работать с одной лишь дробью:
\[{{\left(\frac{1}{5} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left({{5}^{-1}} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{5}^{\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right)}}={{5}^{x+1}}\]
Но в этом случае нужно уметь возводить степень в другую степень (напомню: при этом показатели складываются). Зато не пришлось «переворачивать» дроби — возможно, для кого-то это будет проще.:)
В любом случае, исходное показательное уравнение будет переписано в виде:
\[\begin{align}& {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}+4\cdot {{5}^{x+1}}=2; \\& {{5}^{x+2}}+5\cdot {{5}^{x+1}}=2; \\& {{5}^{x+2}}+{{5}^{1}}\cdot {{5}^{x+1}}=2; \\& {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+2}}=2; \\& 2\cdot {{5}^{x+2}}=2; \\& {{5}^{x+2}}=1. \\\end{align}\]
Вот и получается, что исходное уравнение решается даже проще, чем ранее рассмотренное: тут даже не надо выделять устойчивое выражение — всё само сократилось. Осталось лишь вспомнить, что $1={{5}^{0}}$, откуда получим:
\[\begin{align}& {{5}^{x+2}}={{5}^{0}}; \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end{align}\]
Вот и всё решение! Мы получили окончательный ответ: $x=-2$. При этом хотелось бы отметить один приём, который значительно упростил нам все выкладки:
В показательных уравнениях обязательно избавляйтесь от десятичных дробей, переводите их в обычные. Это позволит увидеть одинаковые основания степеней и значительно упростит решение.
Перейдём теперь к более сложным уравнениям, в которых присутствуют разные основания, которые вообще не сводятся друг к другу с помощью степеней.
Использование свойства степеней
Напомню, что у нас есть ещё два особо суровых уравнения:
\[\begin{align}& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& {{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09. \\\end{align}\]
Основная сложность тут — непонятно, что и к какому основанию приводить. Где устойчивые выражения? Где одинаковые основания? Ничего этого нет.
Но попробуем пойти другим путём. Если нет готовых одинаковых оснований, их можно попробовать найти, раскладывая имеющиеся основания на множители.
Начнём с первого уравнения:
\[\begin{align}& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow {{21}^{3x}}={{\left(7\cdot 3 \right)}^{3x}}={{7}^{3x}}\cdot {{3}^{3x}}. \\\end{align}\]
Но ведь можно поступить наоборот — составить из чисел 7 и 3 число 21. Особенно это просто сделать слева, поскольку показатели и обеих степеней одинаковые:
\[\begin{align}& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{\left(7\cdot 3 \right)}^{x+6}}={{21}^{x+6}}; \\& {{21}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end{align}\]
Вот и всё! Вы вынесли показатель степени за пределы произведения и сразу получили красивое уравнение, которое решается в пару строчек.
Теперь разберёмся со вторым уравнением. Тут всё намного сложнее:
\[{{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09\]
\[{{100}^{x-1}}\cdot {{\left(\frac{27}{10} \right)}^{1-x}}=\frac{9}{100}\]
В данном случае дроби получились несократимыми, но если бы что-то можно было сократить — обязательно сокращайте. Зачастую при этом появятся интересные основания, с которыми уже можно работать.
У нас же, к сожалению, ничего особо не появилось. Зато мы видим, что показатели степеней, стоящий в произведении слева, противоположны:
Напомню: чтобы избавиться от знака «минус» в показателе, достаточно просто «перевернуть» дробь. Что ж, перепишем исходное уравнение:
\[\begin{align}& {{100}^{x-1}}\cdot {{\left(\frac{10}{27} \right)}^{x-1}}=\frac{9}{100}; \\& {{\left(100\cdot \frac{10}{27} \right)}^{x-1}}=\frac{9}{100}; \\& {{\left(\frac{1000}{27} \right)}^{x-1}}=\frac{9}{100}. \\\end{align}\]
Во второй строчке мы просто вынесли общий показатель из произведения за скобку по правилу ${{a}^{x}}\cdot {{b}^{x}}={{\left(a\cdot b \right)}^{x}}$, а в последней просто умножили число 100 на дробь.
Теперь заметим, что числа, стоящие слева (в основании) и справа, чем-то похожи. Чем? Да очевидно же: они являются степенями одного и того же числа! Имеем:
\[\begin{align}& \frac{1000}{27}=\frac{{{10}^{3}}}{{{3}^{3}}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3}}; \\& \frac{9}{100}=\frac{{{3}^{2}}}{{{10}^{3}}}={{\left(\frac{3}{10} \right)}^{2}}. \\\end{align}\]
Таким образом, наше уравнение перепишется следующим образом:
\[{{\left({{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3}} \right)}^{x-1}}={{\left(\frac{3}{10} \right)}^{2}}\]
\[{{\left({{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3}} \right)}^{x-1}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3\left(x-1 \right)}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3x-3}}\]
При этом справа тоже можно получить степень с таким же основанием, для чего достаточно просто «перевернуть» дробь:
\[{{\left(\frac{3}{10} \right)}^{2}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{-2}}\]
Окончательно наше уравнение примет вид:
\[\begin{align}& {{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3x-3}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{-2}}; \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac{1}{3}. \\\end{align}\]
Вот и всё решение. Основная его идея сводится к тому, что даже при разных основаниях мы пытаемся любыми правдами и неправдами свести эти основания к одному и тому же. В этом нам помогают элементарные преобразования уравнений и правила работы со степенями.
Но какие правила и когда использовать? Как понять, что в одном уравнении нужно делить обе стороны на что-то, а в другом — раскладывать основание показательной функции на множители?
Ответ на этот вопрос придёт с опытом. Попробуйте свои силы сначала на простых уравнениях, а затем постепенно усложняйте задачи — и очень скоро ваших навыков будет достаточно, чтобы решить любое показательное уравнение из того же ЕГЭ или любой самостоятельной/контрольной работы.
А чтобы помочь вам в этом нелёгком деле, предлагаю скачать на моём сайте комплект уравнений для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям есть ответы, поэтому вы всегда сможете себя проверить.
На данном уроке мы рассмотрим решение более сложных показательных уравнений, вспомним основные теоретические положения касательно показательной функции.
1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений
Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.
Показательная функция - это функция вида , где основание степени и Здесь х - независимая переменная, аргумент; у - зависимая переменная, функция.
Рис. 1. График показательной функции
На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.
Обе кривые проходят через точку (0;1)
Свойства показательной функции :
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция монотонна, при возрастает, при убывает.
Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.
При когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.
2. Решение типовых показательных уравнений
Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.
Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.
Методика решения:
Уравнять основания степеней;
Приравнять показатели степеней.
Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель - свести каждое из них к простейшему.
Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:
Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.
Воспользуемся свойством степени:
Вводим замену. Пусть , тогда 
Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:
Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:
Приведем степени к одинаковому показателю:
Вводим замену:
Пусть , тогда 
. При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:
Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:
Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.
Получаем:
3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени
Изучим следующий важный тип показательных уравнений:
Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.
Методика решения:
Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:
В первом случае получаем
Во втором случае имеем право разделить на старшую степень и получаем:
Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:
Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.
4. Примеры решения однородных уравнений
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :
Получаем:
Вводим замену: 
(согласно свойствам показательной функции)
Получили квадратное уравнение:
Определяем корни по теореме Виета:
Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:
Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:
Несложно заметить функции f и g:
Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда .
То а + b = b + a, а+(b + с) = (а + b) + с.
Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю.
Значит, для любого рационального числа имеем: а + 0 = а, а + (- а)=0.
Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, b и с - любые рациональные числа, то ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1.
Значит, для любого рационального числа а имеем:
а) x + 8 - х - 22; в) a-m + 7-8+m;
б) -х-а + 12+а -12; г) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - р.
1190. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
1191. Сформулируйте словами переместительное свойство умножения ab = ba и проверьте его при:
1192. Сформулируйте словами сочетательное свойство умножения a(bc)=(ab)c и проверьте его при:
1193. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
1194. Какое получится число (положительное или отрицательное), если перемножить:
а) одно отрицательное число и два положительных числа;
б) два отрицательных и одно положительное число;
в) 7 отрицательных и несколько положительных чисел;
г) 20 отрицательных и несколько положительных? Сделайте вывод.
1195. Определите знак произведения:
а) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
б) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
а) В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Сережа и Максим (рис. 91, а). Оказалось, что каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».)
б) Во дворе гуляют братья и сестры одной семьи. Кто из этих детей мальчики, а кто девочки (рис. 91, б)? (Пунктирные ребра графа означают - "я - сестра", а сплошные - "я - брат".)
1205. Вычислите:
1206. Сравните:
а) 2 3 и 3 2 ; б) (-2) 3 и (-3) 2 ; в) 1 3 и 1 2 ; г) (-1) 3 и (-1) 2 .
1207. Округлите 5,2853 до тысячных; до сотых
; до десятых; до единиц.
1208. Решите задачу:
1) Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними 23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, если известно, что мотоциклист догонит велосипедиста через ч.
2) Легковая автомашина догоняет автобус. Сейчас между ними 18 км. Скорость автобуса составляет скорости легковой автомашины. Найдите скорости автобуса и легковой автомашины, если известно, что легковая автомашина догонит автобус через ч.
1209. Найдите значение выражения:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора
.
1210. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
1211. Упростите выражение:
1212. Найдите значение выражения:
1213. Выполните действия:
1214. Ученикам дали задание собрать 2,5 т металлолома. Они собрали 3,2 т металлолома. На сколько процентов учащиеся выполнили задание и на сколько процентов они перевыполнили задание?
1215. Автомашина прошла 240 км. Из них 180 км она шла по проселочной дороге, а остальной путь - по шоссе. Расход бензина на каждые 10 км проселочной дороги составил 1,6 л, а по шоссе - на 25% меньше. Сколько литров бензина в среднем расходовалось на каждые 10 км пути?
1216. Выезжая из села, велосипедист заметил на мосту пешехода, идущего в том же направлении, и догнал его через 12 мин. Найдите скорость пешехода, если скорость велосипедиста 15 км/ч, а расстояние от села до моста 1 км 800 м?
1217. Выполните действия:
а) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
б) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
в) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
С рациональными числами люди, как вы знаете, знакомились постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Так, еще недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много».
Ученые полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи - 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел - до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число.
Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287-212 гг. до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.
Но записывать такие громадные числа еще не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.
При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» - обыкновенные дроби. Действия над дробями еще в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».
Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби . В Европе их ввел в Х585 г. голландский математик и инженер Симон Стевин.
Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество - долг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущества» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»?
Однако несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в. греческим математиком Диофантом (в виде: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибавляемое» и т. д.), а позже индийский математик Б х а с к а р а (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении).
Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством). И наконец с начала прошлого века отрицательные числа стали равоправными с положительными.
В дальнейшем в математике появились новые числа - иррациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в старших классах.
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы
Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 6 класса скачать , помощь школьнику онлайн
В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.
Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.
В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа .
Навигация по уроку:Пример 1. Найти значение выражения:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:
Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .
Некоторые примитивные действия, такие как: заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:
Пример 2. Найти значение выражения:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:
Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.
Пример 3. Найти значение выражения:
В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Если испытываете трудности, обязательно повторите урок .
После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Запишем решение данного примера покороче:
Пример 4. Найти значение выражения
Вычислим данное выражение в следующем : слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число . 
Первое действие:
Второе действие:
Пример 5 . Найти значение выражения:
Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Получили ответ .
Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.
Итак, вернёмся к изначальному выражению:
Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно :
Вычислим целые части:
(−1) + (+2) = 1
В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:
Полученное выражение . Для этого запишем единицу и дробь вместе:
Запишем решение этим способом покороче:
Пример 6. Найти значение выражения
Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Запишем решение данного примера покороче:
Пример 7. Найти значение выражение
Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:
Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно .
Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:
Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Вычислим целые части:
В главном выражении вместо запишем полученное число −7
Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:
Запишем это решение покороче:
Пример 8. Найти значение выражения
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно
Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и
Запишем это решение покороче:
Пример 9.
Найти выражения выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно
Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.
В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:
Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.
Пример 10.
Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением:
В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:
Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:
Пример 11. Найти значение выражения
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Пример 12.
Найти значение выражения 
Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно , в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.
Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные результаты слóжим.
Первое действие:
Второе действие:
Третье действие:
Ответ:
значение выражения равно
Пример 13.
Найти значение выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:
Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Таким образом, значение выражения равно
Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.
Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:
(−3,2) + (+4,3)
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2
Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8
Этот пример можно записать покороче:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.
Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31
Этот пример можно записать покороче:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:
(−4,9) − (+5,9)
Заменим вычитание сложением:
(−4,9) + (−5,9)
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3
Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками
(+7) − (+9,3)
Заменим вычитание сложением
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3
Запишем решение этого примера покороче:
7 − 9,3 = −2,3
Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)
Заменим вычитание сложением:
−0,25 + (+1,2)
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Запишем решение этого примера покороче:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)
Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5
Первое действие:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Второе действие:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.
Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)
Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:
Первое действие:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Второе действие:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Третье действие
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.
Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.
Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:
Первое действие:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Второе действие:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Третье действие:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.
Пример 24. Найти значение выражения
Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения:
