Показательные и логарифмические неравенства. Показательные уравнения. Исчерпывающее руководство (2019). Решение задания C3
15. При постоянной температуре 27 °С и давлении 10 5 Па объем газа 1 м 3 . При какой температуре этот газ будет занимать объем 0,5 м 3 при том же давлении 10 5 Па?
А. 54 °С. Б. 300 К. В. 13,5 °С. Г. 160 К. Д. 600 К.
16. В опыте обнаружено, что при подъеме проволочной рамки из воды водяная пленка разрывается при значениисилы 2,8 10 -3 Н. Каково значение коэффициента поверхностного натяжения воды, если ширина проволочной рамки 2 см?
А. 7 10 -2 Н/м. В. 14 10 -2 Н/м. В. 7 10 -4 Н/м. Г. 1,4 10 -3 Н/м. Д. 5,6 10 -3 Н/м. Е. 1,12 10 - 2 Н/м.
Тест 10-1
17. Каким образом можно сократить время приготовления пищи, если используется процесс варки в воде?
А. Использовать герметически закрытую кастрюлю. В вей будет повышенное давление, и вода может быть нагрета до температуры выше 100 °С без кипения. Б. Нужно понизить давление воздуха в кастрюле, и вода в вей закипит быстрее, при более низкой температуре. В. Нужно все время перемешивать содержимое кастрюли. Г. Ни один из способов А - В не укоротит процесс варки.
18. Какой вид деформации наблюдается в металле при чеканке из него монеты?
А. Пластическая деформация. Б. Упругая деформация. В. Текучая деформация. Г. Гармоническая деформация. Д. Периодическая деформация.
19. При подвешивании груза проволока удлинилась на 8 см. Каким будет при подвешивании того же груза удлинение проволоки из того же материала, но в два раза меньшей длины и в два раза меньшего радиуса поперечного сечения?
А. 1 см. Б. 2 ом. В. 4 см. Г. 8 см. Д. 16 см. Б. 32 см. Ж. 64 см.
20. В сосуде объемом 83 дм 3 находится 20 г водорода при температуре 27 °С. Определите его давление.
А. 5,4 10 4 Па. Б. 6 10 5 Па. В. 3 10 5 Па. Г. 2,7 10 4 Па. Д. 600 Па. Е. 300 Па.
21. Для определения относительной влажности атмосферного воздуха была в опыте найдена точка росы - 4 °С, и измерена температура воздуха - 19 °С. По таблице в справочнике найдены значения давления насыщенного водяного пара: при 4 °С - 0,81 кПа, при 19 °С - 2,2 кПа. Какова относительная влажность воздуха?
А. 21%. Б. 37%. В. 79%. Г. 63%.
А. - 0,03 кг. Б. - 0,3 кг. В. - 3 кг. Г. - 30 кг. Д. - 300 кг. Е. - 3000 кг.
Тест 10-1
23. На р - V диаграмме (рис. 3) представлен процесс, проведенный над газом. Какова температура газа в состоянии 2, если в состоянии 1 она равна 100 К?
А. 100 К. Б. 300 К. В. 600 К. Г. 900 К. Д. 1200 К.
24. Как изменилось давление идеального газа при переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 4)?
А. Осталось неизменным. Б. Увеличилось. В. Уменьшилось. Г. Могло увеличиться или уменьшиться. Д. Процесс невозможен.
25. В сосуде с водой находится капиллярная стеклянная трубка радиуса r. Как изменится высота воды в трубке при равноускоренном подъеме сосуда с ускорением а, направленным вниз?
A. Увеличится на 
Б. Увеличится на 
B. Уменьшится на Г. Уменьшится на
Д. Не изменится.
26. Имеется два баллона одинакового объема. В одном из них находится 1 кг газообразного молекулярного азота, в другом 1 кг газообразного молекулярного водорода. Температуры газов одинаковы. Давление водорода 1 10 5 Па. Каково давление азота?
А. 1 10 5 Па. Б. 14 10 5 Па. В. 28 10 5 Па. Г. - 7 10 3 Па. Д. - 3,6 10 3 Па. Е. 7 10 5 Па.
27. Почему капля ртути имеет форму шара?
А. С любых неровностей атомы ртути испаряются быстрее, поэтому все выступы на капле быстро исчезают. Б. Ртуть очень плотная, поэтомумежду атомами ртути очень велики силы собственного гравитационного притяжения. Эти силы превращают каплю как планету или звезду в шар. В. Это особое свойство ртути. Г. Поверхность шара минимальна среди поверхностей тел данного объема. Жидкость стремится принять форму шара в результате действия принципа минимума потенциальной энергия - поверхностной энергии.
Тест 10-1
28. Какой участок изотермы реального газа (рис. 5) соответствует процессу сжатия газа?
А. 1 - 2 - 3 - 4. Б. 2 - 3 - 4. В. 1 - 2 - 3. Г. 3 - 4. Д. 2 - 3. Е. 1 - 2.
29. С поверхности кристалла происходит испарение без теплообмена с окружающими телами. Изменяется ли температура кристалла?
А. Не изменяется. Б. Повышается, так как внутренняя энергия перераспределяется между меньшим числом молекул. В. Повышается при испарении в закрытом помещении, понижается при испарении в вакууме. Г. Понижается при испарении в закрытом помещении, повышается при испарении в вакууме. Д. Понижается, так как с поверхности кристалла улетают только самые быстрые молекулы.
30. Для определения давления газа в сосуде были измерены его объем и температура. Результаты измерений следующие:
V = 20 дм 3 ± 0,2 дм 3 , t = 15 °С ± 1,5 °С. Какова максимальная относительная погрешность при определении давления?
А. 0,0005. Б. 0,015. В. 0,09. Г. 0,11. Д. 0,5.
Основы термодинамики
Тест 10-2
Вариант 1
1. Тело, состоящее из атомов или молекул, обладает:
1) Кинетической энергией беспорядочного теплового движения частиц.
2) Потенциальной энергией взаимодействия частиц между собой внутри тела.
3) Кинетической энергией движения тела относительно других тел.
Какие из перечисленных видов энергии являются составными частями внутренней энергии тела?
ГЛАВА II.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ.
§ 10. Изменение величины дроби с изменением её членов.
264. (Устно.)
1) На рисунке 22 изображены две дроби: 2 / 5 и 4 / 5 . Какая дробь больше и во сколько раз? Как получена дробь 4 / 5 из дроби 2 / 5 ?
2) Увеличить в 2 раза каждую из данных дробей:
265. (Устно.) 1) На рисунке 23 изображены две дроби: 3 / 8 и 3 / 4 Какая дробь больше и во сколько раз? Как получена дробь 3 / 4 из дроби 3 / 8 ?
2) Увеличить в 3 раза каждую из данных дробей:
266. (Устно.) Увеличить двумя способами:
1) 1 / 12 в 6 раз 2) 5 / 32 в 4 раза 3) 23 / 51 в 17 раз
4) 1 1 / 2 в 2 раза 5) 5 1 / 6 в 6 раз 6) 2 2 / 21 в 7 раз
267. (Устно.) Назвать числа, в 2 раза большие данных:
268. 1) Во сколько раз надо увеличить: 3 / 20 , чтобы получить 3 / 4 ?
2) Во сколько раз надо увеличить 4 / 15 , чтобы получить 4 / 5 ?
269. 1) Сравнить графически дроби 3 / 7 и 6 / 7 . Какая дробь меньше и во сколько раз? Как получена дробь 3 / 7 из 6 / 7 ?
2) Написать дроби, в 4 раза меньшие по сравнению с каждой из данных дробей:
270. 1) Сравнить графически дроби 3 / 4 и 3 / 8 . Какая дробь меньше и во сколько раз? Как получена дробь 3 / 8 из дроби 3 / 4 ?
2) Написать числа, в 3 раза меньшие каждой из данных дробей:
271. Уменьшить в 5 раз каждое из следующих чисел:
272. Уменьшить двумя способами:
1) 16 / 17 в 4 раза 2) 3 3 / 4 в 3 раза 3) 7 1 / 2 в 5 раз
273. 1) Во сколько раз надо уменьшить 15 / 17 , чтобы получить 5 / 17 ?
2) Во сколько раз надо уменьшить 3 / 7 , чтобы получить 3 / 25 ?
274. Как изменится величина дроби, если:
1) Числитель её увеличить в 2 раза? в 5 раз? в 15 раз?
2) Числитель её уменьшить в 3 раза? в 12 раз? в 20 раз?
3) Знаменатель её увеличить в 3 раза? в 10 раз? в 30 раз?
4) Знаменатель её уменьшить в 5 раз? в 7 раз? в 25 раз?
275. 1) Как изменится каждая из дробей: 5 / 8 ; 4 / 7 ; 9 / 13 ; 15 / 23 ,если числители заменить единицей?
2) Как изменятся величины дробей: 4 / 7 ; 5 / 11 ; 11 / 15 , если в каждой из них знаменатель заменить единицей?
276. (Устно.) 1) Каждую из следующих дробей увеличить сначала в 6 раз, а затем полученный результат уменьшить в 7 раз:
2) Каждую из следующих дробей уменьшить сначала в 7 раз, а затем полученный результат увеличить и 25 раз:
277. Один рабочий выполнил 3 / 4 всей работы, а другой в 6 раз меньше. Какую часть всей работы выполнил второй рабочий?
278. Самолёт пролетает расстояние между двумя городами за 4 часа. Какую часть этого расстояния он пролетит за 1 час? за 1 / 2 часа? за 1 / 4 часа?
279. Через одну трубу за 3 часа наполняется 1 / 5 бассейна, через другую трубу за 5 час. наполняется 1 / 4 бассейна. Через какую трубу в 1 час вливается воды больше?
280. Двое рабочих выкопали канаву; первый из них за 4 часа выкопал 8 / 25 всей длины канавы, а второй за 3 часа 9 / 25 всей длины канавы. У какого рабочего производительность труда больше?
281. (Устно.) 1) Числитель дроби увеличили вдвое. Как нужно изменить знаменатель, чтобы величина дроби осталась прежней?
2) Знаменатель дроби уменьшили в 3 раза. Как нужно изменить числитель, чтобы величина дроби осталась прежней?
282. В следующих равенствах вместо х поставить такое число, Чтобы новая дробь была равна данной:
283. Как изменится дробь, если:
1) Числитель увеличить в 4 раза, а знаменатель уменьшить в 2 раза?
2) Числитель увеличить в 6 раз, а знаменатель увеличить в 3 раза?
3) Числитель уменьшить в 10 раз, а знаменатель уменьшить в 5 раз?
4) Числитель уменьшить в 12 раз, а знаменатель увеличить в 2 раза?
284. 1) Числитель дроби увеличили в 12 раз. Как нужно изменить знаменатель, чтобы дробь увеличилась в 2 раза?
2) Знаменатель дроби уменьшили в 2 раза. Как нужно изменить числитель, чтобы дробь увеличилась в 4 раза?
3) Знаменатель дроби увеличили в 5 раз. Как нужно изменить числитель, чтобы дробь увеличилась в 4 раза?
285. (Устно.) Дробь 5 / 28 требовалось увеличить в 5 раз. Ученик, допустив сшибку, получил 1 / 28 . Как нужно изменить полученную дробь, чтобы получить правильный ответ?
1) Если турист будет проходить по 1 / 15 км в минуту, то он придёт в пункт назначения через 2 часа. Сколько километров он пройдёт за 2 часа?
2) Часы отстают на 3 / 4 сек. в час. На сколько они отстанут в течение суток?
287. Зная, что 1 / 3 содержится в 6 единицах 18 раз, узнать, сколько раз в 6 единицах содержится 2 / 3 ?
Данный урок посвящен теме «Задачи на уменьшение и увеличение числа в несколько раз». На этом уроке мы сможем узнать о том, как правильно увеличивать и уменьшать числа в несколько раз. В ходе урока нам предстоит решить несколько интересных задач на уменьшение и увеличение, которые помогут закрепить полученную информацию.
Сначала давайте вспомним, что значит увеличить число в 2 раза. Это значит умножить его на 2. А что значит уменьшить число в 3 раза? Это значит разделить его на 3.
Сегодня на уроке нам придется решать простые и составные задачи, поэтому очень важно определить, какой задача является.
Давайте прочитаем текст первой задачи.
Малыш и Карлсон ели плюшки. Малыш съел 2 плюшки, а Карлсон - в 3 раза больше. Сколько плюшек съел Карлсон?
Рис. 1
Давайте определим, какой является эта задача. Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи?
Можем, для этого нужно количество плюшек, которые съел Малыш, увеличить в 3 раза. Это можно сделать одним действием, поэтому задача простая.
Давайте кратко представим условие задачи. (Рис. 2).
Рис. 2. Краткая запись
Выполним умножение 2 ∙ 3
2 ∙ 3 = 6 (плюшек)
Ответ: Карлсон съел 6 плюшек.
Давайте прочитаем следующую задачу и определим, простая она или составная. (Рис. 3).
Рис. 3. Задача 2
Нам нужно найти число, которое в 3 раза меньше числа 30. Это значит, что число 30 нам нужно уменьшить в 3 раза. Уменьшить число в несколько раз - это значит разделить его на то число, во сколько раз его нужно уменьшить. Для этого нам понадобится выполнить всего одно действие. Поэтому эта задача простая.
Запишем выражение, которое поможет узнать возраст Красной Шапочки.
Ответ: Красной Шапочке 10 лет.
Давайте продолжим решать задачи. Познакомимся с текстом задачи. (Рис. 4).
Рис. 4. Задача 3
Сначала нам нужно определить, простой или составной является эта задача. Посмотрите на краткую запись нашей задачи. (Рис. 5).
Рис. 5. Краткая запись
Начинаем решать составную задачу. Сначала узнаем, сколько лет Саше. Нам нужно узнать число, в 3 раза меньше числа 15. Для этого нужно 15 уменьшить на 3.
15: 3 = 5 (лет)
Теперь мы знаем, что Саше 5 лет. Теперь мы можем узнать, сколько лет Наде. Мы знаем, что ей в 2 раза больше лет, чем Саше. Для того чтобы узнать, сколько лет Наде, нужно в 2 раза увеличить возраст Саши.
5 ∙ 2 = 10 (лет)
Ответ: Наде 10 лет.
На этом уроке мы решали задачи, в которых число нужно было уменьшить или увеличить в несколько раз.
Список литературы
- Александрова Э.И. Математика. 2 класс. - М.: Дрофа, 2004.
- Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. - М.: Астрель, 2006.
- Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- Mathematics-tests.com ().
- Samouchka.com.ua ().
- My-shop.ru ().
Домашнее задание
Вычислите значения выражения:
а) 4 ∙ 2 б) 12: 3 в) 18: 3
Решите задачу:
У Саши было 5 кукол, а у Маши - в 2 раза больше. Сколько кукол было у Маши?
Решите задачу:
У Пети было 3 яблока. У Миши - в 2 раза больше, чем у Пети. А у Феди - в 3 раза больше, чем у Миши. Сколько яблок у Феди?
До сдачи ЕГЭ по математике остается все меньше времени. Обстановка накаляется, нервы у школьников, родителей, учителей и репетиторов натягиваются все сильнее. Снять нервное напряжение вам помогут ежедневные углубленные занятия по математике. Ведь ничто, как известно, так не заряжает позитивом и не помогает при сдаче экзаменов, как уверенность в своих силах и знаниях. Сегодня репетитор по математике расскажет вам о решении систем логарифмических и показательных неравенств, заданий, традиционно вызывающих трудности у многих современных старшеклассников.
Для того, чтобы научиться решать задачи C3 из ЕГЭ по математике как репетитор по математике рекомендую вам обратить внимание на следующие важные моменты.
1. Прежде чем приступить к решению систем логарифмических и показательных неравенств, необходимо научиться решать каждый из этих типов неравенств в отдельности. В частности, разобраться с тем, как находится область допустимых значений, проводятся равносильные преобразования логарифмических и показательных выражений. Некоторые связанные с этим тайны вы сможете постичь, изучив статьи « » и « ».
2. При этом необходимо осознавать, что решение системы неравенств не всегда сводится к решению отдельно каждого неравенства и пересечению полученных промежутков. Иногда, зная решение одного неравенства системы, решение второго значительно упрощается. Как репетитор по математике, занимающийся подготовкой школьников к сдаче выпускных экзаменов в формате ЕГЭ, раскрою в этой статье парочку связанных с этим секретов.
3. Необходимо четко уяснить для себя разницу между пересечением и объединением множеств. Это одно из важнейших математических знаний, которое опытный профессиональный репетитор старается дать своему ученику уже с первых занятий. Наглядное представление о пересечении и объединении множеств дают так называемые «круги Эйлера».
Пересечением множеств называется множество, которому принадлежат только те элементы, которые есть у каждого из этих множеств.
пересечением
Изображение пересечения множеств с помощью «кругов Эйлера»
Объяснение на пальцах. У Дианы в сумочке находится «множество», состоящее из {ручки , карандаша , линейки , тетрадки , расчески }. У Алисы в сумочке находится «множество», состоящее из {записной книжки , карандаша , зеркальца , тетрадки , котлеты по-киевски }. Пересечением этих двух «множеств» будет «множество», состоящее из {карандаша , тетрадки }, поскольку оба этих «элемента» есть и у Дианы, и у Алисы.
Важно запомнить! Если решением неравенства является промежуток а решением неравенства является промежуток то решением систем:
является промежуток то есть пересечение исходных промежутков. Здесь и далее под подразумевается любой из знаков title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">а под — ему противоположный знак.
Объединением множеств называется множество, которое состоит из всех элементов исходных множеств.
Другими словами, если даны два множества и то их объединением будет являться множество следующего вида:
Изображение объединения множеств с помощью «кругов Эйлера»
Объяснение на пальцах. Объединением «множеств», взятых в предыдущем примере будет «множество», состоящее из {ручки , карандаша , линейки , тетрадки , расчески , записной книжки , зеркальца , котлеты по-киевски }, поскольку оно состоит из всех элементов исходных «множеств». Одно уточнение, которое может оказаться не лишним. Множество не может содержать в себе одинаковых элементов.
Важно запомнить! Если решением неравенства является промежуток а решением неравенства является промежуток то решением совокупности:
является промежуток то есть объединение исходных промежутков.
Перейдем непосредственно к примерам.
Пример 1. Решите систему неравенств:
Решение задачи C3.
1. Решаем сперва первое неравенств. Используя замену переходим к неравенству:
2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется неравенством:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
В области допустимых значений с учетом того, что основание логарифма title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:
Исключая решения, не входящие в область допустимых значений, получаем промежуток
3. Ответом к системе неравенств будет пересечение
Полученные промежутки на числовой прямой. Решение — их пересечение
Пример 2. Решите систему неравенств:
Решение задачи C3.
1. Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе части на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:
Переходим к обратной подстановке:
2.
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Графическое изображение полученных промежуток. Решение системы — их пересечение
Пример 3. Решите систему неравенств:
Решение задачи C3.
1. Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе его части на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:
Используя подстановку переходим к следующему неравенству:
Переходим к обратной подстановке:
2. Решаем теперь второе неравенство. Определим сначала область допустимых значений этого неравенства:
ql-right-eqno">
Обращаем внимание, что
Тогда с учетом области допустимых значений получаем: 
3. Находим общее решения неравенств. Сравнение полученных иррациональных значений узловых точек — задача в данном примере отнюдь не тривиальная. Сделать это можно следующим образом. Так как
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
то 
и окончательный ответ к системе имеет вид:
Пример 4. Решите систему неравенств:
Решение задачи С3.
1. Решим сперва второе неравенство:
2. Первое неравенство исходной системы представляет собой логарифмическое неравенство с переменным основанием. Удобный способ решения подобных неравенств описан в статье «Сложные логарифмические неравенства », в его основе лежит простая формула:
Вместо знака может быть подставлен любой знак неравенства, главное, чтобы он был один и тот же в обоих случаях. Использование данной формулы существенно упрощает решение неравенства:
Определим теперь область допустимых значений данного неравенства. Она задается следующей системой:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Легко видеть, что одновременно этот промежуток будет являться и решением нашего неравенства.
3.
Окончательным ответом исходной системы
неравенств будет пересечение
полученных промежутков, то есть 
Пример 5. Решите систему неравенств:
Решение задания C3.
1. Решаем сперва первое неравенство. Используем подстановку Переходим к следующему квадратному неравенству:
2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется системой:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Данное неравенство равносильно следующей смешанной системе:
В области допустимых значений, то есть при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:
С учетом области допустимых значений получаем:
3. Окончательным решением исходной системы является
Решение задачи C3.
1. Решаем сперва первое неравенство. Равносильными преобразованиями приводим его к виду:
2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется промежутком: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:
Этот ответ целиком принадлежит области допустимых значений неравенства.
3.
Пересечением полученных в предыдущих пунктах промежутков получаем окончательный ответ к системе неравенств: 
Сегодня мы с вами решали системы логарифмических и показательных неравенств. Задания подобного рода предлагались в пробных вариантах ЕГЭ по математике в течение всего ныне идущего учебного года. Однако, как репетитор по математике, имеющий опыт подготовки к ЕГЭ, могу сказать, что это вовсе не означает, что аналогичные задания будут в реальных вариантах ЕГЭ по математике в июне.
Позволю себе высказать одно предостережение, адресованное в первую очередь репетиторам и школьным учителям, занимающимся подготовкой старшеклассников к сдаче ЕГЭ по математике. Весьма опасно готовить школьников к экзамену строго по заданным темам, ведь в этом случае возникает риск полностью «завалить» его даже при незначительном изменении ранее заявленного формата заданий. Математическое образование должно быть полным. Уважаемые коллеги, пожалуйста, не уподобляйте роботам своих учеников так называемым «натаскиванием» на решение определенного типа задач. Ведь нет ничего хуже формализации мышления человека.
Всем удачи и творческих успехов!
Сергей Валерьевич
Если пробовать, то есть два варианта: получится или не получится. Если не пробовать — всего один.
© Народная мудрость
