Формулы сокращенного умножения а в 4. А2Б - обзор, отзывы, аналоги, альтернативы. Сбор и использование персональной информации

Глава 2 ДРОБНЫЕ ЧИСЛА И Действия С НИМИ

§ 37. Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичные дроби записывают по тому же принципу, что и натуральные числа. Поэтому сложение и вычитание выполняют по соответствующим схемам для натуральных чисел.

Во время сложение и вычитание десятичные дроби записываются «столбиком» - друг под другом так, чтобы одноименные разряды стояли друг под другом. Таким образом, запятая будет стоять под запятой. Далее выполняем действие так, как и с натуральными числами, не обращая внимания на запятые. В сумме (или разности) запятую ставим под запятыми слагаемых (или запятыми уменьшаемого и вычитателя).

Пример 1. 37,982 + 4,473.

Объяснение. 2 тысячных плюс 3 тысячных равна 5 тысячных. 8 соток плюс 7 соток равна 15 соток, или 1 десятая и 5 соток. Записываем 5 соток, а 1 десятую запоминаем и т. д.

Пример 2. 42,8 - 37,515.

Объяснение. Поскольку уменьшающееся и вычитаемое имеют разное количество знаков после запятой, то можно приписать в уменьшающемся необходимое количество нулей. Разберись самостоятельно, как выполнено пример.

Заметим, что при сложении и вычитании нуля можно и не дописывать, а мысленно представлять их на тех местах, где нет разрядных единиц.

При сложении десятичных дробей сбываются изученные ранее переставная и соединительная свойства сложения:

Начальный уровень

1228. Обчисли (устно):

1) 8 + 0,7; 2) 5 + 0,32;

3) 0,39 + 1; 4) 0,3 + 0,2;

5) 0,12 + 0,37; 6) 0,1 + 0,01;

7) 0,02 + 0,003; 8) 0,26 + 0,7;

9) 0,12 + 0,004.

1229. Обчисли:

1230. Обчисли (устно):

1) 4,72 - 2; 2) 13,892 - 10; 3) 0,8 - 0,6;

4) 6,7 - 0,3; 5) 2,3 - 1,2; 6) 0,05 - 0,02;

7) 0,19 - 0,07; 8) 0,47 - 0,32; 9) 42,4 - 42.

1231. Обчисли:

1232. Обчисли:

1233. На одной машине было 2,7 т песка, а на другой - 3,2 т. Сколько песка было на двух машинах?

1234. Выполни сложение:

1) 6,9 + 2,6; 2) 9,3 + 0,8; 3) 8,9 + 5;

4) 15 + 7,2; 5) 4,7 + 5,29; 6) 1,42 + 24,5;

7) 10,9 + 0,309; 8) 0,592 + 0,83; 9) 1,723 + 8,9.

1235. Найди сумму:

1) 3,8 + 1,9; 2) 5,6 + 0,5; 3) 9 + 3,6;

4) 5,7 + 1,6; 5) 3,58 + 1,4; 6) 7,2 + 15,68;

7) 0,906 + 12,8; 8) 0,47 + 0,741; 9) 8,492 + 0,7.

1236. Выполни вычитание:

1) 5,7 - 3,8; 2) 6,1 - 4,7; 3) 12,1 - 8,7;

4) 44,6 - 13; 5) 4 - 3,4; 6) 17 - 0,42;

7) 7,5 - 4,83; 8) 0,12 - 0,0856; 9) 9,378 - 8,45.

1237. Найди разницу:

1) 7,5 - 2,7; 2) 4,3 - 3,5; 3) 12,2 - 9,6;

4) 32,7 - 5; 5) 41 - 3,53; 6) 7 - 0,61;

7) 8,31 - 4,568; 8) 0,16 - 0,0913; 9) 37,819 - 8,9.

1238. Ковер-самолет за 2 ч пролетел 17,4 км, причем за первый час он пролетел 8,3 км. Сколько пролетел ковер-самолет за второй час?

1239. 1) Приумножь число 7,2831 на 2,423.

2) Уменьшить число 5,372 на 4,47.

Средний уровень

1240. Реши уравнения:

1) 7,2 + х = 10,31; 2) 5,3 - х = 2,4;

3) х - 2,8 = 1,72; 4) х + 3,71 = 10,5.

1241. Реши уравнения:

1) х - 4,2 = 5,9; 2) 2,9 + х = 3,5;

3) 4,13 - х = 3,2; 4) х + 5,72 = 14,6.

1242. Как удобнее добавить? Почему?

4,2 + 8,93 + 0,8 = (4,2 + 8,93) + 0,8 или

4,2 + 8,93 + 0,8 = (4,2 + 0,8) + 8,93.

1243. Обчисли (устно) удобным способом:

1) 7 + 2,8 + 1,2; 2) 12,4 + 17,3 + 0,6;

3) 3,42 + 4,9 + 5,1; 4) 12,11 + 7,89 + 13,5.

1244. Найди значение выражения:

1) 200,01 + 0,052 + 1,05;

2) 42 + 4,038 + 17,25;

3) 2,546 + 0,597 + 82,04;

4) 48,086 + 115,92 + 111,037.

1245. Найди значение выражения:

1) 82 + 4,042 + 17,37;

2) 47,82 + 0,382 + 17,3;

3) 15,397 + 9,42 + 114;

4) 152,73 + 137,8 + 0,4953.

1246. От металлической трубы длиной 7,92 м отрезали сначала 1,17 м, а потом еще 3,42 м. Какова длина оставшейся трубы?

1247. Яблоки вместе с ящиком весят 25,6 кг. Сколько килограммов весят яблоки, если пустой ящик весит 1,13 кг?

1248. Найди длину ломаной ABC , если АВ = 4,7 см, а ВС на 2,3 см меньше АВ.

1249. В одном бидоне есть 10,7 л молока, а в другом на 1,25 л меньше. Сколько молока в двух бидонах?

1250.Обчисли:

1) 147,85 - 34 - 5,986;

2) 137,52 - (113,21 + 5,4);

3) (157,42 - 114,381) - 5,91;

4) 1142,3 - (157,8 - 3,71).

1251. Обчисли:

1) 137,42 - 15 - 9,127;

2) 1147,58 - (142,37 + 8,13);

3) (159,52 - 142,78) + 11,189;

4) 4297,52 - (113,43 + 1298,3).

1252. Найди значение выражения а - 5,2 - b , если а = 8,91, b = 0,13.

1253. Скорость лодки в стоячей воде 17,2 км/ч, а скорость течения 2,7 км/ч. Найди скорость лодки по течению и против течения.

1254. Заполни таблицу:

Собственная скорость, км/ч	Скорость течения, км/ч	Скорость по течению, км/ч	Скорость против течения, км/ч
13,1
17,2		18,5
12,35			10,85
		13,5
	1,65		12,95

1255. Найди пропущенные числа в цепочке:

1256. Измерь в сантиметрах стороны четырехугольника, изображенного на рисунке 257, и найди его периметр.

1257. Начерти произвольный треугольник, измерь его стороны в сантиметрах и найди периметр треугольника.

1258. На отрезке АС обозначили точку В (рис. 258).

1) Найдите АС, если АВ = 3,2 см, ВС = 2,1 см;

2) найдите ВС, если АС = 12,7 дм, АВ = 8,3 дм.

Рис. 257

Рис. 258

Рис. 259

1259. На сколько сантиметров отрезок AB длиннее отрезка CD (рис. 259)?

1260. Одна сторона прямоугольника равна 2,7 см, а другая - на 1,3 см короче. Найди периметр прямоугольника.

1261. Основа равнобедренного треугольника равна 8,2 см, а боковая сторона на 2,1 см меньше основы. Найди периметр треугольника.

1262. Первая сторона треугольника равна 13,6 см, вторая на 1,3 см короче первой. Найди третью сторону треугольника, если его периметр равен 43,1 см.

Достаточный уровень

1263. Запиши последовательность из пяти чисел, если:

1) первое число равно 7,2, а каждое следующее на 0,25 больше, чем предыдущее;

2) первое число равно 10,18, а каждое следующее на 0,34 меньше предыдущего.

1264. В первом ящике было 12,7 кг яблок, что на 3,9 кг больше, чем во втором. В третьем ящике яблок было на 5,13 кг меньше, чем в первом и втором вместе. Сколько килограммов яблок было в трех ящиках вместе?

1265. Первого дня туристы прошли 8,3 км, что на 1,8 км больше, чем второго дня, и на 2,7 км меньше, чем третьего. Сколько километров прошли туристы за три дня?

1266. Выполни сложение, выбирая удобный порядок вычисления:

1) 0,571 + (2,87 + 1,429);

2) 6,335 + 2,896 + 1,104;

3) 4,52 + 3,1 + 17,48 + 13,9.

1267. Выполни сложение, выбирая удобный порядок вычисления:

1) 0,571 + (2,87 + 1,429);

2) 7,335 + 3,896 + 1,104;

3) 15,2 + 3,71 + 7,8 + 4,29.

1268. Поставь вместо звездочек цифры:

1269. Поставь в клетки такие цифры, чтобы образовались правильно выполненные примеры:

1270. Упрости выражение:

1) 2,71 + х - 1,38; 2) 3,71 + с + 2,98.

1271. Упрости выражение:

1) 8,42 + 3,17 - х; 2) 3,47 + y - 1,72.

1272. Найди закономерность и запиши три наступление них числа последовательности:

1) 2; 2,7; 3,4 ... 2) 15; 13,5; 12 ...

1273. Реши уравнения:

1) 13,1 - (x + 5,8) = 1,7;

2) (х - 4,7) - 2,8 = 5,9;

3) (у - 4,42) + 7,18 = 24,3;

4) 5,42 - (в - 9,37) = 1,18.

1274. Реши уравнения:

1) (3,9 + х) - 2,5 = 5,7;

2) 14,2 - (6,7 + х) = 5,9;

3) (в - 8,42) + 3,14 = 5,9;

4) 4,42 + (у - 1,17) = 5,47.

1275. Найди значение выражения удобным способом, используя свойства вычитания:

1) (14,548 + 12,835) - 4,548;

2) 9,37 - 2,59 - 2,37;

3) 7,132 - (1,132 + 5,13);

4) 12,7 - 3,8 - 6,2.

1276. Найди значение выражения удобным способом, используя свойства вычитания:

1) (27,527 + 7,983) - 7,527;

2) 14,49 - 3,1 - 5,49;

3) 14,1 - 3,58 - 4,42;

4) 4,142 - (2,142 + 1,9).

1277. Обчисли, записав данные величины в дециметрах:

1) 8,72 дм - 13 см;

2) 15,3 дм + 5 см + 2 мм;

3) 427 см + 15,3 дм;

4) 5 м 3 дм 2 см 4 м 7 дм 2 см.

1278. Периметр равнобедренного треугольника равен

17,1 см, а боковая сторона - 6,3 см. Найди длину основы.

1279. Скорость товарного поезда 52,4 км/ч, пассажирского 69,5 км/час. Определите, удаляются или сближаются эти поезда и на сколько километров за час, если они вышли одновременно:

1) из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, навстречу друг другу;

2) из двух пунктов, расстояние между которыми 300 км, и пассажирский догоняет товарный;

1280. Скорость первого велосипедиста 18,2 км/ч, а второго 16,7 км/час. Определите, удаляются или сближаются велосипедисты и на сколько километров за час, если они выехали одновременно:

1) из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, навстречу друг другу;

2) из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, и первый догоняет второго;

3) из одного пункта в противоположных направлениях;

4) из одного пункта в одном направлении.

1281. Обчисли, ответ округли до сотых:

1) 1,5972 + 7,8219 - 4,3712;

2) 2,3917 - 0,4214 + 3,4515.

1282. Обчисли, записав данные величины в центнерах:

1) 8 ц - 319 кг;

2) 9 ц 15 кг + 312 кг;

3) 3 т 2 ц - 2 ц 3 кг;

4) 5 т 2 ц 13 кг + 7 т 3 ц 7 кг.

1283. Обчисли, записав данные величины в метрах:

1) 7,2 м - 25 дм;

2) 2,7 м + 3 дм 5 см;

3) 432 дм + 3 м 5 дм + 27 см;

4) 37 дм - 15 см.

1284. Периметр равнобедренного треугольника равен

15,4 см, а основа - 3,4 см. Найди длину боковой стороны.

1285. Периметр прямоугольника равен 12,2 см, а длина одной из сторон - 3,1 см. Найди длину стороны, не равной данной.

1286. В трех ящиках 109,6 кг помидоров. В первом и втором ящиках вместе 69,9 кг, а во втором и третьем 72,1 кг. Сколько килограммов помидоров в каждом ящике?

1287. Найди числа a , b , с, d в цепочке:

1288. Найди числа а и b в цепочке:

Высокий уровень

1289. Поставь вместо звездочек знаки «+» и «-» так, чтобы выполнялось равенство:

1) 8,1 * 3,7 * 2,7 * 5,1 = 2;

2) 4,5 * 0,18 * 1,18 * 5,5 = 0.

1290. У Чипа было 5,2 грн. После того как Дейл одолжил ему 1,7 грн., у Дейла стало на 1,2 грн. меньше, чем у Чипа. Сколько денег было у Дейла сначала?

1291. Две бригады асфальтируют шоссе и движутся друг другу навстречу. Когда первая бригада заасфальтировала 5,92 км шоссе, а вторая - на 1,37 км меньше, то до их встречи осталось 0,85 км. Какова длина участка шоссе, которую необходимо было заасфальтировать?

1292. Как изменится сумма двух чисел, если:

1) одно из слагаемых увеличить на 3,7, а другой - на 8,2;

2) одно из слагаемых увеличить на 18,2, а другой уменьшить на 3,1;

3) одно из слагаемых уменьшить на 7,4, а другой - на 8,15;

4) одно из слагаемых увеличить на 1,25, а другой уменьшить на 1,25;

5) одно из слагаемых увеличить на 7,2, а другой уменьшить на 8,9?

1293. Как изменится разность, если:

1) уменьшающееся уменьшить на 7,1;

2) уменьшающееся увеличить на 8,3;

3) вычитаемое увеличить на 4,7;

4) вычитаемое уменьшить на 4,19?

1294. Разность двух чисел равна 8,325. Чему равна новая разность, если уменьшающееся увеличить на 13,2, а вычитаемое увеличить на 5,7?

1295. Как изменится разность, если:

1) увеличить уменьшающееся на 0,8, а вычитаемое - на 0,5;

2) увеличить уменьшающееся на 1,7, а вычитаемое - на 1,9;

3) уменьшающееся увеличить на 3,1, а вычитаемое уменьшить на 1,9;

4) уменьшающееся уменьшить на 4,2, а вычитаемое увеличить на 2,1?

Упражнения для повторения

1296. Сравни значения выражений, не выполняя действий:

1) 125 + 382 и 382 + 127; 2) 473 ∙ 29 472 ∙ 29;

3) 592 - 11 и 592 - 37; 4) 925: 25 и 925: 37.

1297. В столовой есть два вида первых блюд, 3 вида вторых и 2 вида третьих блюд. Сколькими способами можно выбрать обед из трех блюд в этой столовой?

1298. Периметр прямоугольника равен 50 дм. Длина прямоугольника на 5 дм больше ширины. Найди стороны прямоугольника.

1299. Запишите наибольшую десятичную дробь:

1) с одним десятичным знаком, меньше 10;

2) с двумя десятичными знаками, меньше 5.

1300. Запишите наименьшую десятичную дробь:

1) с одним десятичным знаком, больше 6;

2) с двумя десятичными знаками, больше 17.

Домашняя самостоятельная работа № 7

2. Какое из неравенств верное:

A ) 2,3 > 2,31; Б) 7,5 < 7,49;

B ) 4,12 > 4,13; Г) 5,7 < 5,78?

3. 4,08 - 1,3 =

А) 3,5; Б) 2,78; В) 3,05; Г) 3,95.

4. Запиши десятичную дробь 4,0701 смешанным числом:

5. Какое из округления до сотых выполнено правильно:

A ) 2,729 ≈ 2,72; Б) 3,545 ≈ 3,55;

B ) 4,729 ≈ 4,7; Г) 4,365 ≈ 4,36?

6. Найди корень уравнения х - 6,13 = 7,48.

А) 13,61; Б) 1,35; В) 13,51; Г) 12,61.

7. Какая из предложенных равенств правильная:

А) 7 см = 0,7 м; Б) 7 дм2 = 0,07 м2;

в) 7 мм = 0,07 м; Г) 7 см3 = 0,07 м3?

8. Названия наибольшее натуральное число, что не превышает 7,0809:

А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 9.

9. Сколько существует цифр, которые можно поставить вместо звездочки в приближенной равенства 2,3*7 * 2,4 чтобы округление до дестих было выполнено правильно?

А) 5; Б) 0; В) 4; Г) 6.

10. 4 а 3 м2 =

А) 4,3 а; Б) 4,003 а; В) 4,03 а; Г) 43.

11. Какое из предложенных чисел можно подставить вместо а, чтобы двойное неравенство 3,7 < а < 3,9 была правильной?

А) 3,08; Б) 3,901; В) 3,699; Г) 3,83.

12. Как изменится сумма трех чисел, если первое слагаемое увеличить на 0,8, второй - увеличить на 0,5, а третий - уменьшить на 0,4?

A ) увеличится на 1,7; Б) увеличится на 0,9;

B ) увеличится на 0,1; Г) уменьшится на 0,2.

Задания для проверки знаний № 7 (§34 - §37)

1. Сравни десятичные дроби:

1) 47,539 и 47,6; 2) 0,293 и 0,2928.

2. Выполни сложение:

1) 7,97 + 36,461; 2) 42 + 7,001.

3. Выполни вычитание:

1) 46,63 - 7,718; 2) 37 - 3,045.

4. Округли до:

1) десятых: 4,597; 0,8342;

2) сотых: 15,795; 14,134.

5. Вырази в километрах и запиши десятичной дробью:

1) 7 км 113 м; 2) 219 м; 3) 17 м; 4) 3129 м.

6. Собственная скорость лодки равна 15,7 км/ч, а скорость течения - 1,9 км/ч. Найди скорость лодки по течению и против течения.

7. Первого дня на склад завезли 7,3 т овощей, что на 2,6 т больше, чем второго, и на 1,7 т меньше, чем третьего дня. Сколько тонн овощей завезли на склад за три дня?

8. Найди значение выражения, выбирая удобный порядок действий:

1) (8,42 + 3,97) + 4,58; 2) (3,47 + 2,93) - 1,47.

9. Запиши три числа, каждое из которых меньше 5,7, но больше 5,5.

10. Дополнительное задание. Запиши все цифры которые можно поставить вместо *, чтобы правильной была приближена неравенство:

1) 3,81*5 ≈3,82; 2) 7,4*6≈ 7,41.

11. Дополнительное задание. При каких натуральных значениях n неравенства 0,7 < n < 4,2 и 2,7 < n < 8,9 одновременно являются правильными?

Дата: 25.02.16г. Утверждаю:

Тема: Вычитание десятичных дробей

Цели:

Сформировать у учащихся знания о вычитании десятичных дробей

Развивать у учащихся интеллект и познавательный интерес

Осуществлять трудовое воспитание

Оборудование: учебник, классная доска

Тип урока : комбинированный

Метод: работа с отстающими

Ход урока :

Приветствие

Проверка отсутствующих

Проверка домашнего задания

Фронтальный опрос

Объяснение нового материала:

Также как и сложение, вычитание десятичных дробей производим по правилам натуральных чисел.

Основные правила вычитания десятичных дробей.

Уравниваем количество знаков после запятой.

Записываем десятичные дроби друг под другом так, чтобы запятые были друг под другом.

Выполняем вычитание десятичных дробей, не обращая внимания на запятые, по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.

Ставим в ответе запятую под запятыми.

Если вы чувствуете себя уверенно в десятичных дробях и хорошо понимаете, что называется десятыми, сотыми и т.д., предлагаем вам попробовать другой способ вычитания (сложения) десятичных дробей без их записи в столбик. Другой способ вычитания десятичных дробей , как и сложение, основывается на трёх основных правилах.

Вычитают десятичные дроби справа налево . То есть, начиная с самой правой цифры после запятой.

При вычитании большей цифры из меньшей, у соседа слева меньшей цифры занимаем десяток.

Как обычно, рассмотрим пример:

Вычитаем справа налево с самой правой цифры. У нас самая правая цифра в обеих дробях - сотые. 1 - в первом числе, 1 - во втором. Вот их и вычитаем. 1 − 1 = 0. Получилось 0, значит, на месте сотых нового числа пишем ноль.

Десятые вычитаем из десятых. 2 - в первом числе, 3 - во втором числе. Так как из 2 (меньшего) мы не можем вычесть 3 (большее), занимаем десяток у соседа слева для 2. У нас это 5. Теперь мы не из 2 вычитаем 3, а из 12 вычитаем 3.
12 − 3 = 9.
На месте десятых нового числа пишем 9. Не забываем, что после занятия десятка из 5, мы должны вычесть из 5 единицу. Чтобы это не забыть ставим над 5 пустой кружок.

И наконец, вычитаем целые части. 14 - в первом числе (не забудьте, что мы из 5 вычли 1), 8 - во втором числе. 14 − 8 = 6

Запомните!

Во втором числе самая правая цифра это 2 (сотые), а в первом числе сотых нет в явном виде. Поэтому, к первому числу справа от 9 добавляем ноль и вычитаем согласно основным правилам.

>>Математика: Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи.

1. Квадрат суммы и квадрат разности:

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:

а) (Зх + 2) 2 ;

б) (5а 2 - 4b 3) 2

а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b - число 2.
Получим:

(Зх + 2) 2 = (Зх) 2 + 2 Зх 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

б) Воспользуемся формулой (2) , учтя, что в роли а выступает5а 2 , а в ролиb выступает 4b 3 . Получим:

(5а 2 -4b 3) 2 = (5а 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6 .

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
(- a - b) 2 = (а + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Это следует из того, что (- а) 2 = а 2 .

Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.

Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.
Проведем соответствующие рассуждения для 85 2 .

Имеем:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Замечаем, что для вычисления 85 2 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).

Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).

Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b) 2 . Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а 2), квадрат со стороной b (его площадь равна b 2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b) 2 = а 2 + b 2 + 2аb, т. е. получили формулу (1).

Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим:
(а + b) (а - b) = а 2 - аb + bа - b 2 = а 2 - b 2 .
Итак

Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а 2 - b 2 . Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а 2 - b 2 произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название - разность квадратов.

Замечание. Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов - это а 2 - b 2 , значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности - это (a- b) 2 , значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так:

разность квадратов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на их разность,

Пример 2. Выполнить умножение

(3x- 2y)(3x+ 2y)
Решение. Имеем:
(Зх - 2у) (Зх + 2у)= (Зx) 2 - (2у) 2 = 9x 2 - 4y 2 .

Пример 3. Представить двучлен 16x 4 - 9 в виде произведения двучленов.

Решение. Имеем: 16x 4 =(4x 2) 2 , 9 = З 2 , значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - З 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа, причем а > b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна а 2 - b 2 . Итак, (а + b) (а - b) = а 2 - b 2 , т. е. получили формулу (3).

3. Разность кубов и сумма кубов

Умножим двучлен а - b на трехчлен а 2 + ab + b 2 .
Получим:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) = а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -b b 2 = а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b-аb 2 -b 3 = а 3 -b 3 .

Аналогично

(а + b) (а 2 - аb + b 2) = а 3 + b 3

(проверьте это сами). Итак,

Формулу (4) обычно называют разностью кубов , формулу(5) - суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a 2 + ab + b 2 похоже на выражение а 2 + 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b) 2 ; выражение а 2 - ab + b 2 похоже на выражение а 2 - 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b) 2 .

Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а 2 + 2ab + b 2 и а 2 - 2ab + b 2 называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а 2 + ab + b 2 и а 2 - ab + b 2 называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:

разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.

Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)-(5) - формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) - формулы разложения на множители.

Пример 4. Выполнить умножение (2х- 1)(4x 2 + 2х +1).

Решение. Так как первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель - неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой (4). Получим:

(2х - 1)(4x 2 + 2х + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Пример 5. Представить двучлен 27а 6 + 8b 3 в виде произведения многочленов.

Решение. Имеем: 27а 6 = (За 2) 3 , 8b 3 =(2b) 3 . Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим:

27а 6 + 8b 3 = (За 2) 3 + (2b) 3 = (За 2 + 2Ь) ((За 2) 2 - За 2 2Ь + (2b) 2) = (За 2 + 2Ь) (9а 4 - 6а 2 Ь + 4b 2).

Помощь школьнику онлайн , Математика для 7 класса скачать , календарно-тематическое планирование

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса "Алгебра" за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба разности: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула разности квадратов: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. формула разности кубов: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы - соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Здесь C n k - биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы - это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится - формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы - соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на - b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a - b 2 = a - b a - b .

Раскроем скобки:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения - быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе - разность кубов, а в знаменателе - разность квадратов.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное - уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент - выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x - 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения . Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).

Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов . Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.

а 2 - b 2 = (а - b)(a + b)

Разберем для наглядности:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов . Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

(а + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.

Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула это квадрат разности . Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.

(а +b) 2 = а 2 - 2аb + b 2

где (а - b) 2 равняется (b - а) 2 . В доказательство чему, (а-b) 2 = а 2 -2аb+b 2 = b 2 -2аb + а 2 = (b-а) 2

Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы . Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.

(а+b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3

Пятая, как вы уже поняли называется куб разности . Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-b) 3 = а 3 - 3а 2 b + 3аb 2 - b 3

Шестая называется - сумма кубов . Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 + b 3 = (а+b)(а 2 -аb+b 2)

По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.

Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 - b 3 = (а-b)(а 2 +аb+b 2)

И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.

Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!

Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм . Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!