Что означают целые числа. Целые числа. Сложение целых чисел

С лучшей бесплатной игрой учится очень быстро. Проверьте это сами!

Учить таблицу умножения - игра

Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.

Результат: 0 очк.

· =

Смотрите ниже шпаргалки в полной форме.

Умножение прямо на сайте (онлайн)

*
Таблица умножения (числа от 1 до 20)

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Как умножать числа столбиком (видео по математике)

Чтобы потренироваться и быстро выучить, можно также попробовать умножать числа столбиком.

Невероятным образом обнаружилось, что в судебной практике очень распространено заблуждение, а точнее незнание принципов работы с процентами в элементарной арифметике.

Самая популярная формулировка растиражирована под копирку (или близко к приведённой) и звучит так:

Довод заявителя о необходимости при расчете коэффициента К производить умножение на 100, а не на 100% противоречит пункту 8 Правил № 1063

Ниже приведён список определений судов, в которых встречается данная формулировка (или похожая).

Определения Арбитражных судов РФ

Заказчик (истец) получит пени в 3 раза ниже положенного, а то и совсем не получит!

Самое главное - это Определения Верховного суда РФ, на которое теперь уверенно ссылаются исполнители (ответчики), пытаясь снизить пени в 3 раза. И их активно поддерживают Арбитражные суды всех уровней.

Вероятнее всего такое единодушие связанно с тем, что Верховный суд неверное решение № 19АП-2579/2015 , и теперь вся судебная система стала заложником такой нелепой ошибки .

Скриншот из решения:

Почему снижение пени именно в 3 раза?

Ответ: Потому что при определении коэффициента К по версии 19 ААС производится следующим образом, цитата из решения:

К = 213/62 × 100% = 3,4%, размер ставки 0,01

А по арифметическим канонам расчёт должен быть следующим:

К = 213/62 × 100% = 343,5%, размер ставки 0,03

В итоге коэффициент K, который пропорционально влияет на размер пени, неправомерно получается в 3 раза ниже, чем должен быть.

Однако, существует довод о списании неустойки на основании постановления Правительства Российской Федерации от 05.03.2015 № 196 «О случаях и порядке предоставления заказчиком в 2015 году отсрочки уплаты неустоек (штрафов, пеней) и (или) осуществления списания начисленных сумм неустоек (штрафов, пеней)», поскольку размер начисленной неустойки не превышает 5% цены контракта.

Почему произошёл сбой в расчёте умножения на 100 или 100%?

Вообще, знак «%» подразумевает под собой смысл «делить на 100» (лат. per cent — на сотню , ссылка на Википедию).

Обращаем ваше внимание, что по правилам арифметики мы не можем просто так убирать знак «%», так же как и не можем оставлять его, если мы поделили на 100 (или просто убрали число 100).

Расчёт пени выглядит следующим образом:

К=213/62*100%=3,4% , размер ставки 0,01

С=(8,25%*0,01)*213 дн.=0,175725

П=(4 607 949 руб. - 3 014 848 руб.)*0,175725=279 947,67 руб.

К=213/62*100%=3,4%

К=3,4 *100% = 3,4%

K = 3,4*100% = 340%

Пример простейшей задачи на понимание функции процентов

Решение: K = 3* 100 % = 300 % (не 3%).

Ещё один пример с условиями похожими на условия упоминаемого выше постановления 19 ААС

Решение: K = 213/62 *100% = 343% (не 3,4%)

Закрепим: Процент - это "делить на 100 " . То есть значение "%" = 1/100. В итоге 343% = 343 / 100

Возвращаясь к нашему прецеденту: 19ААС в итоге и знак «%» оставил, и на 100 поделил. В этом и заключается ошибка вынесенного решения № 19АП-2579/2015

Ликбез по переводу процентов в дробные части и обратно

Чтобы перевести процент X в число, необходимо данное количество процентов разделить на 100, или, попросту, сдвинуть запятую в числе на два знака влево: X% = X/100 = 0,0X.

И, наоборот, чтобы превратить десятичную дробь Х в число, нужно умножить эту дробь на 100 и прибавить знак «%»: 0,0Х = 0,0Х*100 = Х%.

Прикладное значение определения коэффициента К в постановлении №1063

Попробуем донести смысл пункта 8 правил Постановления № 1063 более человеческими понятиями.

Напомним:

При К, равном 0 - 50 процентам, размер ставки определяется за каждый день просрочки и принимается равным 0,01 , установленной Центральным банком Российской Федерации на дату уплаты пени.

При К, равном 50 - 100 процентам, размер ставки определяется за каждый день просрочки и принимается равным 0,02 , установленной Центральным банком Российской Федерации на дату уплаты пени.

При К, равном 100 процентам и более, размер ставки определяется за каждый день просрочки и принимается равным 0,03 , установленной Центральным банком Российской Федерации на дату уплаты пени.

Очевиден прикладной смысл увеличения ответственности исполнителя-ответчика. Рассчитывается отношение срока просрочки к сроку исполнения контракта. И

• если срок просрочки составляет менее половины (менее 50%) срока исполнения, то ставка K равна 0,01;
• если количество дней просрочки меньше количества дней исполнения (менее 100%), то ставка K равна 0,02
• если количество дней просрочки превышает количество дней исполнения (более 100%), т.е. вопиющее нарушение сроков контракта, то ставка K равна 0,03

Конкретный пример из решения № 19АП-2579/2015

Прикладной смысл для нашей задачи такой: 3.4 - это во сколько раз количество дней просрочки больше количества дней исполнения.

Или переформулируем: Сколько процентов от срока исполнения составляет срок просрочки? Ответ: 343%

При каком количестве дней просрочки по версии расчёта 19ААС ставка K может стать 0,03?

Давайте ради интереса мы это посчитаем. Напомним, по версии расчёта Девятнадцатого Арбитражного апелляционного суда расчёт выглядит так:

К = 213/62 × 100% = 3,4%, размер ставки 0,01

Общая формула

K = ДП/ДК × 100%

Нам надо найти такое ДП, что бы K было больше либо равно 100%, т.е. уравнение следующее

100% ≤ K = ДП/62 × 100%

Здесь каким-то чудесным образом нарушаем математические правила и избавляемся от знака процента, что бы соответствовать расчёту 19ААС, и получаем

100% ≤ (ДП/62)%

ДП ≥ 6200

Т.е. для того, что бы ставка коэффициента К была 0,03, необходимо, что бы ответчик заказ, на исполнение которого отводилось 62 дня, просрочил минимум на 17 лет!!!

Вдумайтесь, в это число. А потом прикиньте - это ли подразумевали авторы правил в постановлении № 1063?

Письмо Минфина «О порядке расчета пени за просрочку исполнения поставщиком (подрядчиком, исполнителем) обязательств по контракту»

Хвала небесам, в Минфине ещё не разучились считать проценты. Более того, там решили дать комментарий по правильности расчёта пени и правильности применения операций с процентами. Это, конечно, не судебная практика, однако суды принимают официальные Письма к сведению. Поэтому в обоснование своей позиции обязательно сошлитесь на .

Важнейшая часть текста из этого Письма следующая:

Решения в пользу правильного умножения на 100%

Наконец-то нашлись решения судов всех инстанций, которые поддержали правильный расчёт!

Определения Верховного суда РФ

Из Определения №А49-14303/2015

При определении подлежащего взысканию размера пеней суды руководствовались Правилами, утвержденными постановлением Правительства Российской Федерации от 25.11.2013 № 1063.

В Правилах (пункты 6-8) используемое для расчета пеней получаемое по приведенной формуле значение коэффициента выражено в процентах и применено судами в процентах.

Определение коэффициента посредством умножения на сто процентов результата соотношения количества дней просрочки и срока исполнения обязательства, на котором настаивает заявитель, противоречит положениям Правил и математическому прочтению содержащейся в них формулы, на что правильно указал суд кассационной инстанции.

Хоть формулировка звучит достаточно странно, и не побоимся сказать, что неправильно, т.к. "умножение на сто процентов" прямо прописано в Правилах 1063, тем не менее мы рады, что суд поддержал правильный расчёт.

Из Постановления Арбитражного суда Западно-Сибирского округа по делу №А45-26419/2015

Ссылка заявителя на существенные арифметические ошибки, допущенные истцом в расчете пени в связи с неправильным определением коэффициента судом округа не принимается, поскольку коэффициент К имеет процентное выражение, поэтому при расчете данного коэффициента производится умножение на 100%, что подразумевает для получения итогового процентного значения умножение на 100, а не на 1.

Данную позицию поддержал Верховный Суд РФ 26 января 2017 года. Формулировка однозначная и более грамотная, чем в предыдущем приведённом документе.

Образец приложения к исковому заявлению с расчётом и обоснованием умножения на 100%

Красным выделены части документа, которые нужно заполнить самостоятельно в зависимости от результатов расчёта калькулятора.

Вы можете полностью скопировать или скачать данный образец и приложить к своему исковому заявлению. Это позволит вам обосновать неправомерность возможного снижения начисленных пени из-за перерасчёта коэффициента К

Приложение 1

Расчёт пени

Данный расчёт был произведён с помощью онлайн калькулятора расчёта пени за просрочку исполнения контракта ()

Формула	Расчёт	Результат
К = ДП÷ДК × 100%	100÷30 × 100%	333,33% (К * = 0.03)
Cцб = К * × Ставка ЦБ	0.03 × 10%	0.3%
C = Cцб × ДП	0.3% × 100	0.30000
П = (Ц - В) × C	= (100 000,00 - 50 000,00) × 0.30000	= 15 000,00 р.

Пени составляют 15 000,00 р.

Размер пени по ФЗ № 44 установлен и рассчитывается по правилам, утверждённым Постановлением Правительства РФ от 25.11.2013 г. № 1063 «Об утверждении Правил определения размера штрафа, начисляемого в случае ненадлежащего исполнения заказчиком, поставщиком (подрядчиком, исполнителем) обязательств, предусмотренных контрактом (за исключением просрочки исполнения обязательств заказчиком, поставщиком (подрядчиком, исполнителем), и размера пени, начисляемой за каждый день просрочки исполнения поставщиком (подрядчиком, исполнителем) обязательства, предусмотренного контрактом».

Данные правила толкуются буквально, поэтому расчёт пени производится следующим образом, естественно, с соблюдением арифметических правил.

Обращаем внимание суда на важность точности расчёта коэффициента К:

K = ДП/ДК × 100%

ДП - количество дней просрочки;

ДК - срок исполнения обязательства по контракту (количество дней).

К = 100/30 × 100 % = 3,3(3) × 100 % = 333,33 %

В данном случае при соблюдении арифметических правил ответ получается выраженный в процентах, чего требует пункт 8 Правил № 1063.

Обращаем внимание суда, что по правилам арифметики мы не можем просто так убирать знак «%», так же как и не можем оставлять его, если мы поделили на 100 (или просто убрали число 100).

Однако в решении № 19АП-2579/2015 от 1 июня 2015 года как раз было ошибочно применено и деление на 100 (убрали число 100), и при этом оставлен знак «%», что породило неправильную судебную практику.

Обращаем внимание суда, что в судебной практике по применению положений пунктов 6-8 Правил № 1063 (пункта 8 в частности) закрепилась вышеуказанная арифметическая ошибка, которая встречается в постановлении 19го Арбитражного апелляционного суда № 19АП-2579/2015 от 1 июня 2015 года. Данная позиция была поддержана Верховным судом Российской федерации в Определении от 16 декабря 2015 г. по делу № А64-62/2015. А впоследствии Арбитражные суды всех инстанций стали ссылаться на данное Определение ВС РФ при опровержении расчётов коэффициента К, представленных истцами.

В постановлении 19 Арбитражного апелляционного суда от 01.06.2015 г. по делу № А64-62/2015 содержится следующий расчёт:

Расчёт пени выглядит следующим образом:

К=213/62*100%=3,4%, размер ставки 0,01

С=(8,25%*0,01)*213 дн.=0,175725

П=(4 607 949 руб. - 3 014 848 руб.)*0,175725=279 947,67 руб.

Однако из данного расчёта видно, что при определении коэффициента К допущена арифметическая ошибка:

К=213/62*100%=3,4%

или, если вычислить дробь, получается

К=3,4 *100% = 3,4%

Как видим, в расчёте бесследно пропало число 100, и при этом оставлен знак «%».

Правильным считается решение уравнения

K = 3,4*100% = 340%

Пример простейшей задачи на понимание функции процентов:

Имеется 3 одинаковых станка. Каждый из них выполняет суточную норму предприятия на 100%. Если включить все 3 станка, сколько процентов от суточной нормы получится за сутки?

Решение: K = 3* 100 % = 300 % (не 3%).

Ещё один пример с условиями похожими на условия упоминаемого выше постановления 19 ААС:

Экскаватор за сутки копает 213 метров траншеи. Суточная норма составляет 62 метра. Сколько процентов от суточной нормы выполняет экскаватор?

Решение: K = 213/62 *100% = 343% (не 3,4%)

Таким образом, по нашему расчёту коэффициент должен быть именно 333,33% , а не 3,33%

Для дальнейших расчётов берём полученный коэффициент (333,33% ) и определяем соответствующий размер ставки, по правилам пункта 8 Правил № 1063:

При К, равном 0 - 50 процентам, размер ставки определяется за каждый день просрочки и принимается равным 0,01 ставки рефинансирования, установленной Центральным банком Российской Федерации на дату уплаты пени.

При К, равном 50 - 100 процентам, размер ставки определяется за каждый день просрочки и принимается равным 0,02 ставки рефинансирования, установленной Центральным банком Российской Федерации на дату уплаты пени.

При К, равном 100 процентам и более, размер ставки определяется за каждый день просрочки и принимается равным 0,03 ставки рефинансирования, установленной Центральным банком Российской Федерации на дату уплаты пени.

В нашем случае он будет равен 0,03 ставки рефинансирования.

Данный расчёт полностью соответствует всем арифметическим правилам и законодательно закреплённым Правилам определения размера пени по контракту. Также данный арифметический расчёт соответствует положениям «О порядке расчета пени за просрочку исполнения поставщиком (подрядчиком, исполнителем) обязательств по контракту» , в котором в частности указано:

Следует учитывать, что в соответствии с пунктом 6 Правил № 1063 коэффициент К имеет процентное выражение, поэтому при расчете данного коэффициента производится умножение на 100%, что подразумевает для получения итогового процентного значения умножение на 100, а не на 1.

Также разъяснения Минфина следовали в письмах и

Убедительно просим суд применить расчёт, основанный на законе и арифметических правилах.

Арбитражные суды должны знать, как правильно умножать на 100%

Комментарии пользователей

09.08.2017 13:47:46

Все таки заставили Вы меня озадачиться данным вопросом.
И вот что я нашла
Математика! Низкий ей поклон!
Так что нет никакой ошибки и в Постановлении. А путаница по всей видимости, потому что и в судах сидят люди, которые очень очень давно дружили с математикой!

Пример 2. Записать следующие числа в виде процентов: 1; 1,5; 0,4; 0,03.

1=1·100%=100%;
1,5=1,5·100%=150%;
0,4=0,4·100%=40%;
0,03=0,03·100%=3%.

09.08.2017 13:37:52

Калькулятор очень хорош, спасибо. Но не нужно валить на математику, когда в Постановлении 1063 просто допущена (может быть ошибка). Что такое 0,27% (для примера). Это с точки зрения математики 0,0027. А уж про задачку с экскаватором вообще молчу. Ответ правильный, не спорю, но это не потому что умножили на 100% и процент не взяли, а не на 100. А потому, что в данном случае просто умножается на 100. И проценты (%) это просто величина получаемого показателя, которая всю жизнь указывалась в скобочках для предотвращения путаницы.

05.06.2017 23:37:18

Добрый вечер. Подскажите пожалуйста, как осуществлять расчет если выполнение работ разбито на этапы. 1 и 2 этапы исполнителем выполнены, а по 3 и 4 этапам образовалась просрочка. Срок исполнения этапов разный, так же как т стоимость работ этих этапов. Так этап 3 должен был быть исполнен 22.12.2016г., стоимость работ 2 575 355,70. А 4 этап должен был быть исполнен 25.12.2016г., стоимость работ 3 979 841,91. Фактически работы по обоим этапам были исполнены 05.06.2017. Цена контракта = 11 530 000 . Заключен 21.12.15 по 25.12.2016г.
Я предполагаю, что сумму обоих этапов надо брать как остаток (цена контракта - фактически выполненные работы) и применять в расчет к каждому этапу отдельно с учетом срока просрочки исполнения этапа. То есть этап 3: к=165/370*100%=44.59, то есть применяем 0,01. С= 0,0952*0,01*163=0,155. П= 6 555 197,61*0,155=1 016 055,63. Этап 4:к =163/370*100%=43,78, то есть 0,01. С=0,0952*0,01*163=0,1507. П=6 555 197.61*0,1507=987 868,27
Однако мои коллеги с этим не согласны и предлагают брать при расчете исключительно все что касается этапа отдельно, а именно: Ц этапа 3 = 2 575 355,70, Срок исполнения этапа с 03.06.2016 по 22.12.2016, то есть 202 календ.дня. Срок просрочки 165 кален.дня. Таким образом: К = 165/202*100%=81,683, то есть 0,02. С=0,0925*0,02*165= 0,305. П=2 575 355,7*0,305=785 483,488
Как правильно?
Заранее спасибо

02.02.2017 04:30:07

Так я и говорю, зачем выражать в процентах? Ну смотрите, если вот так написать:

К=ДП/ДК*100 килограмм

при К = от 0 до 50 килограмм, размер ставки... и т.д.

смысл же не меняется? тогда при чем тут килограммы

01.02.2017 09:32:37

Нет, не проще. Суды - это по идее солидные учреждения и там должно быть всё максимально формально. Если диапазон должен быть выражен в процентах, значит формула должна быть К=ДП/ДК*100% и никак иначе.
Если кто-то из судей не умеет переводить числа в проценты - это не проблема формулы, это проблема судьи.

01.02.2017 09:31:02

Директор. Перевод числа в проценты подразумевает умножение на 100 и добавление знака "%", а не на 1.

01.02.2017 05:22:21

Поймите, Денис, если чисто брать расчет К по формуле без последующей его привязки к диапазонам значений в процентах, то умножение на 100% и есть умножение на 1. Если было бы умножить на 90%, то умножалось бы на 0,9, или при 150% - на 1,5, поскольку процент есть одна сотая доля чего-либо. Получается, по п.8 Правил вначале я считаю К по формуле по законам математики, умножая на 1, а затем получившийся результат без процентов должен как-то соотнести с диапазонами значений в процентах. Ага, должен я думать, здесь математика не действует, значит считать нужно вот так. Ну глупости же!

01.02.2017 04:29:02

Что тут грамотного, если пошла путаница в расчетах. А не проще для применения вот так:

К=ДП/ДК*100

при К, равном 0-50, размер ставки... и т.д.

и суды отдыхают.

27.01.2017 23:32:15

С телефона не до конца уловил вашу мысль. Теперь вот понял, о чём вы. Да, действительно, так могло быть проще для расчётов. Хотя расчёты с процентами - это пятый класс. Однако дополнение процентов является более грамотным выражением в формуле.

Сегодня мы обновили судебную практику! Можете теперь ссылаться на положительные решения Верховного суда!

27.01.2017 21:11:22

Это забавно)) Справедливость расчётов важнее собственной выгоды?
Кстати, Игорь, у меня есть мысли, которые могли бы снизить размер пени для ответчика:
1. Неправильность применения расчётов при частичных исполнениях контракта. Не по этапам, а именно, по частям. (подробнее здесь http://сайт/calculator/peni_contract/#hcm=1477033867273478)
2. Период просрочки должен быть разделён на периоды, в которых действует разный коэффициент К. (подробнее задавался вопрос с формулированием мыслей здесь https://сайт/%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F/14679-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8_%D0%B7%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%80%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0_44-%D1%84%D0%B7_223-%D1%84%D0%B7/)

У нас тут нет узких специалистов по теме госзакупок, но это могло быть интересно вам или вашим клиентам - сэкономить деньги

27.01.2017 21:01:01

А Вам спасибо за калькулятор по 44-ФЗ. Очень удобно. Можно быстро проверить расчёт гос. заказчика (я, как ни странно, выступаю со стороны исполнителя гос. контрактов).

27.01.2017 20:39:03

Большое спасибо Вам, Игорь, за то, что предоставили важнейшие ссылки на дела, в которых Верховный Суд РФ поддержал правильные расчёты.

27.01.2017 20:23:04

Тоже изучаю всю иерархию решений. Забавно читать про то, что "умножение на сто процентов <...> противоречит положениям Правил и математическому прочтению"
Умножение на 100%-то вполне себе нормальное и как раз дословно по формуле в пункте 8 Правил 1063. Но вот почему-то умножают дел и суды участники на 100% как-то неправильно.
Тем не менее, это решение хорошо тем, что, несмотря на глупость формулировки, оно поддерживает правильные расчёты.

27.01.2017 20:13:52

А49-14303/2015

Судья Верховного Суда Российской Федерации Н.А. Ксенофонтова

"В кассационной жалобе общество с ограниченной ответственностью
«Торговый дом Легион» просит о пересмотре указанных судебных актов как
незаконных и необоснованных вследствие неправильного определения
коэффициента, используемого для расчета пеней.
При определении подлежащего взысканию размера пеней суды
руководствовались Правилами, утвержденными постановлением Правительства
Российской Федерации от 25.11.2013 № 1063.
В Правилах (пункты 6-8) используемое для расчета пеней получаемое по
приведенной формуле значение коэффициента выражено в процентах и
применено судами в процентах.
Определение коэффициента посредством умножения на сто процентов
результата соотношения количества дней просрочки и срока исполнения
обязательства, на котором настаивает заявитель, противоречит положениям
Правил и математическому прочтению содержащейся в них формулы, на что
правильно указал суд кассационной инстанции."

Начальный уровень

Наибольшее общее кратное и наименьший общий делитель. Признаки делимости и методы группировки (2019)

Чтобы НАМНОГО упростить себе жизнь когда надо что-то вычислить, чтобы выиграть драгоценное время на ОГЭ или ЕГЭ, чтобы сделать меньше глупых ошибок - читай этот раздел!

Вот чему ты научишься:

• как быстрее, легче и точнее считать, используя группировку чисел при сложении и вычитании,
• как без ошибок, быстро умножать и делить, используя правила умножения и признаки делимости ,
• как значительно ускорить расчеты с помощью наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД).

Владение приемами этого раздела может перевесить чашу весов в ту или иную сторону...поступишь ты в ВУЗ мечты или нет, придется тебе или твоим родителям платить огромные деньги за обучение или ты поступишь на бюджет.

Let"s dive right in... (Поехали!)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

1. натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
2. числа, противоположные натуральным (все станет на свои места, как только ты узнаешь, что такое натуральные числа);
3. ноль - " " (куда уж без него?)

буквой Z.

Натуральные числа

«Бог создал натуральные числа, всё остальное - дело рук человеческих» (c) Немецкий математик Кронекер.

Натуральные числа - это числа, которые мы употребляем для счета предметов и именно на этом основывается их история возникновения - необходимости считать стрелы, шкуры и т.д.

1, 2, 3, 4... n

буквой N.

Соответственно, в это определение не входит (не можешь же ты посчитать то, чего нет?) и тем более не входят отрицательные значения (разве бывает яблоко?).

Кроме этого, не входят и все дробные числа (мы также не можем сказать « у меня есть ноутбука», или «я продал машины»)

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Таким образом, 14 - это не цифра. Это число. Из каких цифр оно состоит? Правильно, из цифр и.

Сложение. Группировка при сложении чтобы быстрей считать и меньше ошибаться

Что интересного ты можешь сказать про эту процедуру? Конечно, ты сейчас ответишь «от перестановки слагаемых значение суммы не меняется». Казалось бы, примитивное, знакомое с первого класса правило, однако, при решении больших примеров оно моментально забывается!

Не забывай про него - используй группировку , чтобы облегчить себе процесс подсчета и снизить вероятность ошибок, ведь на ЕГЭ калькулятора у тебя не будет.

Смотри сам, какое выражение легче сложить?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

​​Конечно же второе! Хотя результат один и тот же. Но! считая вторым способом у тебя меньше шансов ошибиться и ты все сделаешь быстрее!

Итак, ты в уме считаешь вот так:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Вычитание. Группировка при вычитании, чтобы быстрее считать и меньше ошибаться

При вычитании мы также можем группировать вычитаемые числа, например:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

А что, если вычитание чередуется в примере со сложением? Так же можно группировать, ответишь ты, и это правильно. Только прошу, не забывай о знаках перед числами, например: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Помни: неправильно проставленные знаки приведут к ошибочному результату.

Умножение. Как умножать в уме

Очевидно, что от перемены мест множителей значение произведения также не изменится:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Я не буду говорить тебе «используй это при решении примеров» (ты и сам понял намек, правда?), а лучше расскажу, как быстро умножать некоторые числа в уме. Итак, внимательно смотри таблицу:

И еще немного об умножении. Конечно, ты помнишь два особых случая … Догадываешься о чем я? Вот об этом:

Ах да, еще рассмотрим признаки делимости . Всего существует 7 правил по признакам делимости, из которых первые 3 ты точно уже знаешь!

А вот остальные совсем не сложно запомнить.

7 признаков делимости чисел, которые помогут тебе быстро считать в уме!

• Первые три правила ты, конечно же, знаешь.
• Четвертое и пятое легко запомнить - при делении на и мы смотрим, делится ли на это сумма цифр, составляющих число.
• При делении на мы обращаем внимание на две последние цифры числа - делится ли число, которое они составляют на?
• При делении на число должно одновременно делиться на и на. Вот и вся премудрость.

Ты сейчас думаешь - «зачем мне все это»?

Во-первых, ЕГЭ проходит без калькулятора и данные правила помогут тебе сориентироваться в примерах.

А во-вторых, ты же слышал задачи про НОД и НОК ? Знакомая аббревиатура? Начнем вспоминать и разбираться.

Наибольший общий делитель (НОД) - нужен для сокращения дробей и быстрых вычислений

Допустим, у тебя есть два числа: и. На какое наибольшее число делятся оба этих числа? Ты, не задумываясь, ответишь, потому что знаешь, что:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Какие цифры в разложении общие? Правильно, 2 * 2 = 4. Вот и твой ответ был. Держа в голове этот простой пример, ты не забудешь алгоритм, как находить НОД . Попробуй «выстроить» его у себя в голове. Получилось?

Чтобы найти НОД необходимо:

1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на, например, 3, 7, 11, 13 и т.д.).
2. Перемножить их.

Понимаешь, зачем нам нужны были признаки делимости? Чтобы ты посмотрел на число и мог начать делить без остатка.

Для примера найдем НОД чисел 290 и 485

Первое число - .

Глядя на него, ты сразу можешь сказать, что оно делится на, запишем:

больше разделить ни на что нельзя, а вот можно - и, получаем:

290 = 29 * 5 * 2

Возьмем еще одно число - 485.

По признакам делимости оно должно без остатка делиться на, так как на заканчивается. Делим:

Проанализируем изначальное число.

• На оно делиться не может (последняя цифра - нечетная),
• - не делится на, значит число тоже не делится на,
• на и на также не делится (сумма цифр, входящих в число, не делится на и на)
• на тоже не делится, так как не делится на и,
• на тоже не делится, так как не делится на и.
• нельзя разделить на нацело,

Значит, число можно разложить только на и.

А теперь найдем НОД этих чисел (и). Какое это число? Правильно, .

Потренируемся?

Задача №1. Найти НОД чисел 6240 и 6800

1) Делю сразу на, так как оба числа 100% делятся на:

2) Разделю на оставшиеся большие числа (и), так как и без остатка делятся на (при этом, раскладывать не буду - он и так общий делитель):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Оставлю и в покое и начну рассматривать числа и. Оба числа точно делятся на (заканчиваются на четные цифры (в таком случае представляем как, а можно разделить на)):

4) Работаем с числами и. Есть ли у них общие делители? Так легко, как в предыдущих действиях, и не скажешь, поэтому дальше просто разложим их на простые множители:

5) Как мы видим, мы были правы: у и общих делителей нет, и теперь нам нужно перемножить.
НОД

Задача №2. Найти НОД чисел 345 и 324

Здесь не могу быстро найти хоть один общий делитель, так что просто раскладываю на простые множители (как можно меньше):

Точно, НОД, а я изначально не проверила признак делимости на, и, возможно, не пришлось бы делать столько действий. Но ты-то проверил, верно? Молодец! Как видишь, это совсем несложно.

Наименьшее общее кратное (НОК) - экономит время, помогает решить задачи нестандартно

Допустим, у тебя есть два числа - и. Какое существует самое маленькое число, которое делится и без остатка (то есть нацело)? Сложно представить? Вот тебе визуальная подсказка:

Ты же помнишь, что обозначается буквой? Правильно, как раз целые числа. Так какое наименьшее число подходит на место х? :

В данном случае.

Из этого простого примера вытекает несколько правил.

Правила быстрого нахождения НОК

Правило 1. Если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным.

Найди у следующих чисел:

• НОК (7;21)
• НОК (6;12)
• НОК (5;15)
• НОК (3;33)

Конечно, ты без труда справился с этой задачей и у тебя получились ответы - , и.

Заметь, в правиле мы говорим о ДВУХ числах, если чисел будет больше, то правило не работает.

Например, НОК (7;14;21) не равно 21, так как не делится без остатка на.

Правило 2. Если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное равно их произведению.

Найди НОК у следующих чисел:

• НОК (1;3;7)
• НОК (3;7;11)
• НОК (2;3;7)
• НОК (3;5;2)

Посчитал? Вот ответы - , ; .

Как ты понимаешь, не всегда можно так легко взять и подобрать этот самый х, поэтому для чуть более сложных чисел существует следующий алгоритм:

Потренируемся?

Найдем наименьшее общее кратное - НОК (345; 234)

Раскладываем каждое число:

Почему я сразу написал? Вспомни признаки делимости на: делится на (последняя цифра - четная) и сумма цифр делится на. Соответственно, можем сразу разделить на, записав ее как.

Теперь выписываем в строчку наиболее длинное разложение - второе:

Добавим к нему числа из первого разложения, которых нет в том, что мы выписали:

Заметь: мы выписали все кроме, так как она у нас уже есть.

Теперь нам необходимо все эти числа перемножить!

Найди наименьшее общее кратное (НОК) самостоятельно

Какие ответы у тебя получились?

Вот, что вышло у меня:

Сколько времени ты потратил на нахождение НОК ? Мое время - 2 минуты, правда я знаю одну хитрость , которую предлагаю тебе открыть прямо сейчас!

Если ты очень внимателен, то ты наверное заметил, что по заданным числам мы уже искали НОД и разложение на множители этих чисел ты мог взять из того примера, тем самым упростив себе задачу, но это далеко не все.

Посмотри на картинку, возможно к тебе придут еще какие-нибудь мысли:

Ну что? Сделаю подсказку: попробуй перемножить НОК и НОД между собой и запиши все множители, которые будут при перемножении. Справился? У тебя должна получиться вот такая цепочка:

Присмотрись к ней повнимательней: сравни множители с тем, как раскладываются и.

Какой вывод ты можешь сделать из этого? Правильно! Если мы перемножим значения НОК и НОД между собой, то мы получим произведение этих чисел.

Соответственно, имея числа и значение НОД (или НОК ), мы можем найти НОК (или НОД ) по такой схеме:

1. Находим произведение чисел:

2. Делим получившееся произведение на наш НОД (6240; 6800) = 80:

Вот и все.

Запишем правило в общем виде:

Попробуй найти НОД , если известно, что:

Справился? .

Отрицательные числа - «лжечисла» и их признание человечеством.

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить - все как в натуральных. Казалось бы, что в них такого особенного? А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание». Действительно, из вычесть - вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел ».

Отрицательные числа долго не признавались людьми. Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция - светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии. Как ты думаешь, с чем связано это признание? Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе - недостачу). Считалось, что отрицательные числа - это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие. Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю - к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи - это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского - Фибоначчи)). Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что. Как думаешь, чем он это обосновывал? Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО». Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом - минусом «-». И правда: . Число « » положительное, которое вычитается из, или отрицательное, которое суммируется к?... Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Отрицательные числа закрепили свое право на существование с появлением аналитической геометрии, иначе говоря, когда математики ввели такое понятие как числовая ось.

Именно с этого момента наступило равноправие. Однако все равно вопросов было больше чем ответов, например:

пропорция

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе « » больше, чем « » верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс.

В итоге, математики договорились до того, что Карл Гаусс (да, да, это тот самый, который считал сумму (или) чисел) в 1831 году поставил точку - он сказал, что отрицательные числа имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, так как дроби так же не применимы ко многим вещам (не бывает так, что яму роют землекопа, нельзя купить билета в кино и т.д.).

Успокоились математики только в XIX веке, когда Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом была создана теория отрицательных чисел.

Вот такие они спорные, эти отрицательные числа.

Возникновение «пустоты», или биография нуля.

В математике - особенное число. С первого взгляда, это ничто: прибавить, отнять - ничего не изменится, но стоит только приписать его справа к « », и полученное число будет в раз больше изначального. Умножением на ноль мы все превращаем в ничто, а разделить на «ничто», то есть, мы не можем. Одним словом, волшебное число)

История нуля длинная и запутанная. След нуля найден в сочинениях китайцев во 2 тыс. н.э. и ещё раньше у майя. Первое использование символа нуля, каковым он является в наши дни, было замечено у греческих астрономов.

Существует множество версий, почему было выбрано именно такое обозначение «ничего». Некоторые историки склоняются к тому, что это омикрон, т.е. первая буква греческого слова ничто - ouden. Согласно другой версии, жизнь символу ноля дало слово «обол» (монета, почти не имеющая ценности).

Ноль (или нуль) как математический символ впервые появляется у индийцев (заметь, там же стали «развиваться» отрицательные числа). Первые достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 г., и в них « » - составляющая числа.

В Европу ноль также пришел с запозданием - лишь в 1600г., и также как и отрицательные числа, сталкивался с сопротивлением (что поделаешь, такие они, европейцы).

«Нуль часто ненавидели, издавна боялись, а то и запрещали» — пишет американский математик Чарльз Сейф. Так, турецкий султан Абдул-Хамид II в конце XIXв. приказал своим цензорам вычеркнуть из всех учебников химии формулу воды H2O, принимая букву «О» за нуль и не желая, чтобы его инициалы порочились соседством с презренным нулём».

На просторах интернета можно встретить фразу: «Ноль - самая могущественная сила во Вселенной, он может всё! Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос». Абсолютно верно подмечено:)

Краткое изложение раздела и основные формулы

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

• натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
• числа, противоположные натуральным;
• ноль - " "

Множество целых чисел обозначается буквой Z.

1. Натуральные числа

Натуральные числа - это числа, которые мы употребляем для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается буквой N.

В операциях с целыми числами понадобится умение находить НОД и НОК.

Наибольший общий делитель (НОД)

Чтобы найти НОД необходимо:

1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на, например, и т.д.).
2. Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
3. Перемножить их.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК необходимо:

1. Разложить числа на простые множители (это ты уже отлично умеешь делать).
2. Выписать множители входящие в разложение одного из чисел (лучше брать самую длинную цепочку).
3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
4. Найти произведение получившихся множителей.

2. Отрицательные числа

это числа, противоположные натуральным, то есть:

Теперь я хочу слышать тебя...

Надюсь ты оценил супер-полезные "трюки" этого раздела и понял как они помогут тебе на экзамене.

И что более важно - в жизни. Я об этом не говорю, но, поверь, этот так. Умение быстро и без ошибок считать спасает во многих жизненных ситуациях.

Теперь твой ход!

Напиши, будешь ли ты применять методы группировки, признаки делимости, НОД и НОК в расчетах?

Может быть ты применял их ранее? Где и как?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях как тебе статья.

И удачи на экзаменах!

К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.

Натуральные числа — это положительные целые числа.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

1. a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
3. a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.