Коэффициент подобия объемов конусов. Объем конуса

Урок из серии «Геометрические алгоритмы »

Здравствуйте, дорогой читатель.

Решения многих задач вычислительной геометрии основывается на нахождении площади многоугольника . На этом уроке мы выведем формулу для вычисления площади многоугольника через координаты его вершин, напишем функцию для вычисления этой площади.

Задача. Вычислить площадь многоугольника , заданного координатами своих вершин, в порядке их обхода по часовой стрелке.

Сведения из вычислительной геометрии

Для вывода формулы площади многоугольника нам понадобятся сведения из вычислительной геометрии, а именно, понятие ориентированной площади треугольника.

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком. Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами и . То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

На рис. 1 треугольник АВС – прямоугольный. Его ориентированная площадь равна (она больше нуля, так как пара , ориентирована положительно). Эту же величину можно вычислить другим способом.

Пусть О – произвольная точка плоскости. На нашем рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О .

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника нужно сложить ориентированные площади треугольников

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Посмотрим, как выразить ее в координатах.

Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторное произведение, выраженное через координаты векторов:

Площадь треугольника будет равна половине этой площади:

В качестве точки О удобно взять начало координат, тогда координаты векторов, на основании которых вычисляются ориентированные площади, совпадут с координатами точек.

Пусть (х 1 , y 1), (x 2 , у 2), …, (х N ,у N) - координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки. Тогда его ориентированная площадь S будет равна:

Это и есть наша рабочая формула, она используется в нашей программе.

Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S, вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необхо­димо взять его абсолютное значение.

Итак, рассмотрим программу для нахождения площади многоугольника, заданного координатами вершин.

Program geom6; Const n_max=200; {максимальное количество точек+1} type b=record x,y:real; end; myArray= array of b; var input:text; A:myArray; s:real; i,n:integer; procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray); {Заполнение массива } begin assign(input,"input.pas"); reset(input); readln(input, n); for i:=1 to n do read(input, a[i].x,a[i].y); close(input); end; function Square (A:myarray): real; {Вычисление площади многоугольника} var i:integer; S: real; begin a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; for i:=1 to n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Square:= S end; {Square} begin {main} Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Square(a); writeln("S= ",s:6:2); end.

Координаты вершин считывается из файла input.pas., хранятся в массиве А в виде записей с двумя полями. Для удобства обхода многоугольника в массиве вводится n+1 элемент, значение которого равно значению первого элемента массива.

Содержимое:

Очень легко вычислить площадь правильного треугольника (это многоугольник!) и очень непросто сделать это в случае неправильного одиннадцатиугольника (это тоже многоугольник!). Данная статья расскажет вам, как вычислять площадь различных многоугольников.

Шаги

1 Вычисление площади правильного многоугольника по апофеме

1. 1 Формула для нахождения площади правильного многоугольника: Площадь = 1/2 х периметр х апофема.
   • Периметр – сумма сторон многоугольника.
   • Апофема – отрезок, соединяющий центр многоугольника и середину любой из его сторон (апофема перпендикулярна стороне).
2. 2 Найдите апофему. Она, как правило, дана в условии задачи. Например, дан шестиугольник, апофема которого равна 10√3.
3. 3 Найдите периметр. Если периметр не дан в условии задачи, то его можно найти по известной апофеме.
   • Шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Апофема делит одну сторону пополам, создавая прямоугольный треугольник с углами 30-60-90 градусов.
   • В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая углу в 60 градусов, равна x√3; углу в 30 градусов равна «х»; углу 90 градусов равна 2x. Если значение стороны x√3 равно 10√3, то х = 10.
   • «х» – это половина длины основания треугольника. Удвойте ее и найдете полную длину основания. В нашем примере основание треугольника равно 20 единицам. В свою очередь основание треугольника есть сторона шестиугольника. Таким образом, периметр шестиугольника равен 20 х 6 = 120.
4. 4 Подставьте значения апофемы и периметра в формулу. В нашем примере:
   • площадь = 1/2 х 120 х 10√3
   • площадь = 60 х 10√3
   • площадь = 600√3
5. 5 Упростите ответ. Возможно, вам придется записать ответ в виде десятичной дроби (то есть избавиться от корня). С помощью калькулятора найдите √3 и полученное число умножьте на 600: √3 х 600 = 1039,2. Это ваш окончательный ответ.

2 Вычисление площади правильного многоугольника по другим формулам

1. 1 . Формула: Площадь = 1/2 х основание х высота.
   • Если вам дан треугольник с основанием 10 и высотой 8, то его площадь = 1/2 х 8 х 10 = 40.
2. 2 . Чтобы найти площадь квадрата, просто возведите в квадрат длину одной его стороны. Если умножить основание квадрата на его высоту, мы получим тот же ответ, так как основание и высота равны.
   • Если сторона квадрата равна 6, то его площадь = 6 х 6 = 36.
3. 3 . Формула: Площадь = длина х ширина.
   • Если длина прямоугольника равна 4, а ширина равна 3, то его площадь = 4 х 3 = 12.
4. 4 . Формула: Площадь = [(основание1 + основание2) х высота] / 2.
   • Например, дана трапеция с основаниями 6 и 8 и высотой 10. Ее площадь = [(6 + 8) 10]/2 = (14 х 10)/2 = 140/2 = 70.

3 Вычисление площади неправильного многоугольника

1. 1 Используйте координаты вершин неправильного многоугольника. Зная координаты вершин, можно определить площадь неправильного многоугольника.
2. 2 Сделайте таблицу. Запишите координаты вершин (х,у) (вершины выбирать последовательно в направлении против часовой стрелки). В конце списка еще раз напишите координату первой вершины.
3. 3 Умножьте значение координаты «х» первой вершины на значение координаты «у» второй вершины (и так далее). Сложите результаты (в нашем примере сумма равна 82).
4. 4 Умножьте значение координаты «у» первый вершины на значение координаты «х» второй вершины (и так далее). Сложите результаты (в нашем примере сумма равна -38).
5. 5 Вычтите сумму, полученную в шаге 4, из суммы, полученной в шаге 3. В нашем примере: (82) - (-38) = 120.
6. 6 Разделите полученный результат на 2, чтобы найти площадь многоугольника: S=120/2 = 60 (квадратных единиц).

• Если вы записываете координаты вершин в направлении по часовой стрелке, вы получите отрицательную площадь. Таким образом, это можно использовать для описания цикла или последовательности данного набора вершин, формирующих многоугольник.
• Данная формула находит площадь с учетом формы многоугольника. Если многоугольник имеет форму цифры 8, то необходимо из площади с вершинами против часовой стрелки вычесть площадь с вершинами по часовой стрелке.

1.1 Вычисление площадей в древности

1.2 Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника»

1.2.1 Понятие о площади. Свойства площади

1.2.2 Понятие о многоугольнике

1.2.3 Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение

1.3 Различные формулы площадей многоугольников

1.4 Вывод формул площадей многоугольников

1.4.1 Площадь треугольника. Формула Герона

1.4.2 Площадь прямоугольника

1.4.3 Площадь трапеции

1.4.4 Площадь четырёхугольника

1.4.5 Универсальная формула

1.4.6 Площадь n-угольника

1.4.7 Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин

1.4.8 Формула Пика

1.5 Теорема Пифагора о сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника

1.6 Равносоставленность треугольников. Теорема Больяя-Гервина

1.7 Отношение площадей подобных треугольников

1.8 Фигуры с наибольшей площадью

1.8.1 Трапеция или прямоугольник

1.8.2 Замечательное свойство квадрата

1.8.3 Участки другой формы

1.8.4 Треугольник с наибольшей площадью

Глава 2. Методические особенности изучения площадей многоугольников в математических классах

2.1 Тематическое планирование и особенности преподавания в классах с углубленным изучением математики

2.2 Методика проведения уроков

2.3 Результаты опытно-экспериментальной работы

Заключение

Литература

Введение

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

Квалификационная работа включает содержание курса математики общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям.

Включение дополнительных вопросов преследует две взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой – выполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность.

Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и цитируемой литературы. В первой главе рассматриваются теоретические основы изучения площадей многоугольников, а во второй главе – непосредственно уже методические особенности изучения площадей.

Глава 1. Теоретические основы изучения площадей многоугольников

1.1Вычисление площадей в древности

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще в 4 – 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из непересекающихся фигур, равна сумме их площадей.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади

четырехугольника со сторонами (рис. 1.1) применялась формула (1.1)

т.е. умножались полусуммы противоположных сторон.

Эта формула явно неверна для любого четырехугольника, из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов одинаковы. Между тем, очевидно, что у таких ромбов площади зависят от величины углов при вершинах. Данная формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для определения площади

равнобедренного треугольника (рис. 1.2), в котором , египтяне пользовались приближенной формулой:
(1.2) Рис. 1.2 Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой треугольника, иными словами, чем ближе вершина (и ) к основанию высоты из . Вот почему приближенная формула (1.2) применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.

Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции – произведению полусуммы оснований на высоту.

Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток – с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные машины и практические измерительные инструменты.

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: « Пусть, например, одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 – останется 8, затем 14 – останется 7 и, наконец, 15 – останется 6. А теперь перемножь их: 21раз по 8 даст 168, возьми это 7 раз – получится 1176, а это еще 6 раз – получится 7056. Отсюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров будет в площади треугольника».

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

1. Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
2. У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин. Какие их виды существуют? Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника.

Площадь многоугольника

Расчет площади Многоугольника, используя радиус вписанного круга и длину стороны:[ (A×P)/2 ][ Apothem(A) = side/(2×Tan(π/N)) ] Введите длину = Введите кол-во сторон = Площадь Многоугольника = Расчет площади по длине стороны:Площадь Многоугольника = ((side)² * N) / (4Tan(π / N))Периметр Многоугольника = N * (side) Расчет площади по радиусу описанной окружности:Площадь Многоугольника = ½ * R² * Sin(2π / N) Расчет площади по радиусу вписанного круга:Площадь Многоугольника = A² * N * Tan(π / N)где, A = R * Cos(π / N) По радиусу вписанного круга и длине стороны:Площадь Многоугольника = (A * P) / 2где A = сторона / (2 * Tan(π / N))где,

• N = Количество сторон,
• A = Радиус вписанного круга,
• R = Радиус описанной окрудности,
• P = Периметр

Примеры: Задача 1: Найдите площадь и периметр многоугольника, если длина стороны = 2 и количество сторон = 4.

Площадь правильного многоугольника

Из нее легко получить такую, которая пригодится для частных случаев:

1. треугольника: S = (3√3)/4 * R2;
2. квадрата: S = 2 * R2;
3. шестиугольника: S = (3√3)/2 * R2.

Ситуация с неправильной фигурой Выходом для того, как узнать площадь многоугольника, если он не является правильным и его нельзя отнести ни к одной из известных ранее фигур, является алгоритм:

• разбить его на простые фигуры, например, треугольники, чтобы они не пересекались;
• вычислить их площади по любой формуле;
• сложить все результаты.

Что делать, если в задаче даны координаты вершин многоугольника? То есть известен набор пар чисел для каждой точки, которые ограничивают стороны фигуры.

Обычно они записываются как (x1; y1) для первой, (x2; y2) - для второй, а n-ая вершина имеет такие значения (xn; yn).

Площадь и периметр многоугольника

Тогда площадь многоугольника определяется, как сумма n слагаемых.

Внимание

Каждое из них выглядит так: ((yi+1 +yi)/2) * (xi+1 — xi).

В этом выражении i изменяется от единицы до n. Стоит отметить, что знак результата будет зависеть от обхода фигуры.
При использовании указанной формулы и движении по часовой стрелке ответ будет получаться отрицательным.

Пример задачи Условие. Координаты вершин заданы такими значениями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5).

Инфо

Требуется вычислить площадь многоугольника. Решение.

По формуле, указанной выше, первое слагаемое будет равно (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 — 2.1). Здесь нужно просто взять значения для игрека и икса от второй и первой точек. Несложный расчет приведет к результату 1.8. Второе слагаемое аналогично получается: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 — 3.6) = -2.6. При решении подобных задач не стоит пугаться отрицательных величин.
Все идет так, как нужно.
Шаг 1: Найдем радиус вписанного круга.А = R * Cos(π / N)= 2 * Cos(3.14 / 5)= 2 * Cos(0.63)= 2 * 0.81Апофема (радиус вписанного круга) = 1.62.Шаг 2: Найдем площадь.Площадь = A² * N * Tan(π / N)= 1.62² * 5 * Tan(3.14 / 5)= 2.62 * 5 * Tan(0.63)= 13.1 * 0.73Площадь = 9.5. Задача 4: Найти площадь многоугольника используя Апофему (радиус вписанного круга), если длина стороны равна 2, а количество сторон 5.Step 1: Найдем Апофему.Апофема = длина стороны / (2 * Tan(π / N))= 2 / (2 * Tan(π / 4))= 2 / (2 * Tan(0.785))= 2 / (2 * 0.999)= 2 / 1.998Апофема (А) = 1. Шаг 2: Найдем периметр.Периметр (P) = (N * (длина стороны) = 4 * 2 = 8 Шаг 3: Найдем площадь.Площадь = (A * P) / 2= (1 * 8) / 2= 8 / 2Площадь = 4.

Приведенные выше примеры показывают, как вычислить площадь и периметр многоугольника вручную.

Правильный многоугольник

S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 tan⁡〖(180°)/n〗=√(S/(n tan⁡〖(180°)/n〗)) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗)=√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 sin⁡〖(180°)/n〗=√(S/(n cos⁡〖(180°)/n〗)) Вычислить периметр правильного многоугольника через площадь возможно, если представить его в виде произведения количества сторон n на полученный вместо стороны радикал, а затем упростить выражение, внеся n под корень. P=na=n√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)=√(4nS tan⁡〖(180°)/n〗) Угол правильного многоугольника можно вычислить по формуле, которая имеет только одну переменную – количество сторон фигуры, поэтому не требует никаких изменений.

Калькулятор площади многоугольника

Подставляя вместо n количество сторон фигуры можно получить формулу для определения площади любого правильного полигона, которая будет представлять собой площадь квадрата a^2, умноженного на определенный коэффициент.

Интересно, что при увеличении количества углов этот коэффициент также будет увеличиваться, к примеру, для пентагона - 1,72, а гексагона - 2,59. Так как около любого правильного полигона можно описать окружность или вписать ее в него, мы можем использовать соответствующие радиусы для вычисления площадей многоугольников.

Сторона и радиус описанной окружности для любого полигона соотносятся как: a = R × 2 sin (pi/n), где R – радиус описанной окружности, n – количество сторон геометрической фигуры.

Для вписанной в полигон окружности соотношение немного изменяется и выглядит как: a = r × 2 tg (pi/n), где r – радиус вписанной окружности.

Как рассчитать площадь правильного многоугольника

Пример многоугольникаДанный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку - площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE.

Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно - площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте - длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры.

Как узнать площадь многоугольника?

Как поступить с правильным многоугольником, у которого больше четырех вершин? Для начала такая фигура характеризуется тем, что в ней все стороны равны. Плюс к этому, у многоугольника одинаковые углы. Если вокруг такой фигуры описать окружность, то ее радиус совпадет с отрезком от центра многоугольника до одной из вершин. Поэтому для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника с произвольным числом вершин, потребуется такая формула: Sn = 1/2 * n * Rn2 * sin (360º/n), где n - количество вершин многоугольника.
Таким образом, для определения площади любого правильного полигона вам понадобится указать количество сторон n и любой параметр на выбор:

• длина стороны a;
• радиус вписанной окружности r;
• радиус описанной окружности R.

Рассмотрим пару примеров для нахождения площади любого многоугольника.

Примеры из жизни Пчелиные соты Пчелиные соты - уникальный природный объект, который состоит из множества гексагональных призматических ячеек.

Давайте подсчитаем, сколько таких шестиугольников находится в одних сотах.

Для этого нам нужно узнать общую площадь и площадь одной ячейки.

Из Википедии мы знаем, что стандартная рамка для сот имеет размеры 435 х 300 мм, соответственно, общая площадь составляет 130 500 квадратных миллиметров.

Там же указано, что горизонтальный диаметр одной ячейки составляет примерно 5,5 мм.

Диагональ 2 Угол α {$ main.angles $} Угол β {$ main.angles $} Введите любые 3 величины Сторона A Сторона B Высота ha Высота hb Диагональ 1 Диагональ 2 Угол α {$ main.angles $} Угол β {$ main.angles $} Введите любые 3 величины Основание A Основание C Высота H Дополните боковые стороны для поиска периметра Сторона B Сторона D Введите 1 величину Сторона A Радиус описанной окружности (R) Радиус вписанной окружности (r) Количество сторон многоугольника Введите 1 величину Сторона A Радиус описанной окружности (R) Радиус вписанной окружности (r) Введите 1 величину Сторона A = радиусу описанной окружности (R) Радиус вписанной окружности (r) Результат расчета

• Периметр: {$ result.p|number:4 $}
• Площать: {$ result.s|number:4 $}

Многоугольник или полигон - геометрическая фигура, которая имеет n-ное количество углов.
В общем случае многоугольник - это часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломанной.

Геометрия многоугольников В целом такая геометрическая фигура может иметь абсолютно любой вид.

К примеру, символы звезды и компаса, полигон для моделирования или грань шестеренки - многоугольники.

Многоугольные фигуры разделяются на две группы:

• невыпуклые, которые имеют любую причудливую форму с возможными самопересечениями (самый очевидный пример - звезда);
• выпуклые, все точки которых находятся по одну сторону от прямой, проведенной через две соседние вершины (квадрат, треугольник).

Выпуклый полигон, у которого все углы равны и все стороны равны, считается правильным и имеет собственное название.

В задачах по геометрии часто требуется вычислить площадь многоугольника. Причем он может иметь довольно разнообразную форму - от всем знакомого треугольника до некоторого n-угольника с каким-то невообразимым числом вершин. К тому же эти многоугольники бывают выпуклыми или вогнутыми. В каждой конкретной ситуации полагается отталкиваться от внешнего вида фигуры. Так получится выбрать оптимальный путь решения задачи. Фигура может оказаться правильной, что существенно упростит решение задачи.

Немного теории о многоугольниках

Если провести три или более пересекающихся прямых, то они образуют некоторую фигуру. Именно она является многоугольником. По количеству точек пересечения становится ясно, сколько вершин у него будет. Они дают название получившейся фигуре. Это может быть:

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

1. Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
2. У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Какие их виды существуют?

Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника. В выпуклом всегда все вершины лежат с одной стороны от такой прямой.

В школьном курсе геометрии большая часть времени уделяется именно выпуклым фигурам. Поэтому в задачах требуется узнать площадь выпуклого многоугольника. Тогда существует формула через радиус описанной окружности, которая позволяет найти искомую величину для любой фигуры. В других случаях однозначного решения не существует. Для треугольника формула одна, а для квадрата или трапеции совершенно другие. В ситуациях, когда фигура неправильная или вершин очень много, принято разделять их на простые и знакомые.

Как поступить, если фигура имеет три или четыре вершины?

В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул:

• S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней;
• S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — сторон\ы треугольника, А — угол между известными сторонами;
• S = √(p * (p - а) * (p - в) * (p - с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.

Фигура с четырьмя вершинами может оказаться параллелограммом:

• S = а * н;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), где d 1 и d 2 — диагонали, α — угол между ними;
• S = a * в * sin(α).

Формула для площади трапеции: S = н * (a + в) / 2, где а и в — длины оснований.

Как поступить с правильным многоугольником, у которого больше четырех вершин?

Для начала такая фигура характеризуется тем, что в ней все стороны равны. Плюс к этому, у многоугольника одинаковые углы.

Если вокруг такой фигуры описать окружность, то ее радиус совпадет с отрезком от центра многоугольника до одной из вершин. Поэтому для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника с произвольным числом вершин, потребуется такая формула:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), где n — количество вершин многоугольника.

Из нее легко получить такую, которая пригодится для частных случаев:

1. треугольника: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. квадрата: S = 2 * R 2 ;
3. шестиугольника: S = (3√3)/2 * R 2 .

Ситуация с неправильной фигурой

Выходом для того, как узнать площадь многоугольника, если он не является правильным и его нельзя отнести ни к одной из известных ранее фигур, является алгоритм:

• разбить его на простые фигуры, например, треугольники, чтобы они не пересекались;
• вычислить их площади по любой формуле;
• сложить все результаты.

Что делать, если в задаче даны координаты вершин многоугольника?

То есть известен набор пар чисел для каждой точки, которые ограничивают стороны фигуры. Обычно они записываются как (x 1 ; y 1) для первой, (x 2 ; y 2) — для второй, а n-ая вершина имеет такие значения (x n ; y n). Тогда площадь многоугольника определяется, как сумма n слагаемых. Каждое из них выглядит так: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). В этом выражении i изменяется от единицы до n.

Стоит отметить, что знак результата будет зависеть от обхода фигуры. При использовании указанной формулы и движении по часовой стрелке ответ будет получаться отрицательным.

Пример задачи

Условие. Координаты вершин заданы такими значениями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Требуется вычислить площадь многоугольника.

Решение. По формуле, указанной выше, первое слагаемое будет равно (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 - 2.1). Здесь нужно просто взять значения для игрека и икса от второй и первой точек. Несложный расчет приведет к результату 1.8.

Второе слагаемое аналогично получается: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. При решении подобных задач не стоит пугаться отрицательных величин. Все идет так, как нужно. Это планомерно.

Подобным образом получаются значения для третьего (0.29), четвертого (-6.365) и пятого слагаемых (2.96). Тогда итоговая площадь равна: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915.

Совет по решению задачи, для которой многоугольник изображен на бумаге в клетку

Чаще всего озадачивает то, что в данных имеется только размер клеточки. Но оказывается, что больше сведений не нужно. Рекомендацией к решению такой задачи является разбивание фигуры на множество треугольников и прямоугольников. Их площади довольно просто сосчитать по длинам сторон, которые потом легко сложить.

Но часто есть более простой подход. Он заключается в том, чтобы дорисовать фигуру до прямоугольника и вычислить значение его площади. Потом сосчитать площади тех элементов, которые оказались лишними. Вычесть их из общего значения. Этот вариант порой предполагает несколько меньшее число действий.