Главная » Ремонт и отделочные материалы » Правильно решить пропорцию. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции. Задачи для самостоятельного решения

Правильно решить пропорцию. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции. Задачи для самостоятельного решения

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n – 1, n ,  .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом a n , следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:

a 1 , a 2 , a 3 , , a n –1 , a n , ,

кратко обозначаемый и называемыйчисловой последователь- ностью . Величина a n называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой a n = f (n ) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.

По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.

Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f : N  R .

Последовательность
называетсявозрастающей (убывающей ), если для любого n  N
Такие последовательности называютсястрого монотонными .

Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n 0). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2,  (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n .

Если в некоторой последовательности для любого n  N
то последовательность называетсянеубывающей (невозрастающей ). Такие последовательности называются монотонными .

Пример 1 . Числовая последовательность 1, 2, 3, 4, 5, … является рядом натуральных чисел и имеет общий член a n = n .

Пример 2 . Числовая последовательность 2, 4, 6, 8, 10, … является рядом четных чисел и имеет общий член a n = 2n .

Пример 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … − числовая последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности.

Пример 4 . Записать первых 5 членов числовой последовательности по ее общему члену
. Для вычисленияa 1 нужно в формулу для общего члена a n вместо n подставить 1, для вычисления a 2 − 2 и т. д. Тогда имеем:

Тест 6 . Общим членом последовательности 1, 2, 6, 24, 120,  является:

Тест 7 .
является:

Тест 8 . Общим членом последовательности
является:

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу А при увеличении порядкового номера n . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Число А называется пределом числовой последовательности
:

(1)

если для любого  > 0 найдется такое число n 0 = n 0 (), зависящее от , что
приn > n 0 .

Это определение означает, что А есть предел числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к А при возрастании n . Геометрически это значит, что для любого  > 0 можно найти такое число n 0 , что, начиная с n > n 0 , все члены последовательности расположены внутри интервала (А – , А + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся ; в противном случае – расходящейся .

Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный) определенного знака.

Пример 5 . Гармоническая последовательность имеет пределом число 0. Действительно, для любого интервала (–; +) в качестве номера N 0 можно взять какое-либо целое число, больше . Тогда для всехn > n 0 >имеем

Пример 6 . Последовательность 2, 5, 2, 5,  является расходящейся. Действительно, никакой интервал длины, меньшей, например, единицы, не может содержать всех членов последовательности, начиная с некоторого номера.

Последовательность называется ограниченной , если существует такое число М , что
для всехn . Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Пример 7 . Последовательность
является возрастающей и ограниченной. Она имеет предел
=е .

Число e называется числом Эйлера и приблизительно равно 2,718 28.

Тест 9 . Последовательность 1, 4, 9, 16,  является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

Тест 10 . Последовательность
является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) арифметической прогрессией;

5) геометрической прогрессией.

Тест 11 . Последовательность не является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) гармонической.

Тест 12 . Предел последовательности, заданной общим членом
равен.

Формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом.

Формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность.

Развитие умений применять ранее изученный материал.

Развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать.

Привитие санитарно-гигиенических навыков, пропаганда здорового образа жизни.

Ход уроков

Организационный момент.
Повторение видов функций.
Подготовка к восприятию новых знаний.
Изучение нового материала.
Закрепление.
Знаменитые последовательности.
Дополнительные задачи.
Домашнее задание.
Подведение итогов урока.

Оборудование и материалы.

Рабочий лист для учащихся с планом уроков и упражнениями. Приложение 1.
Лист с домашней работой. Приложение 2.
Мультимедийный проектор.
Экран.

1. Организационный момент.

Последовательность - одно из самых основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием " числовая последовательность", узнаем, какие могут быть последовательности, познакомимся со знаменитыми последовательностями.

2. Повторение видов функций.

Вам известны функции, определённые на всей числовой прямой или на её непрерывных промежутках:

(Графики функций показываются на слайдах презентации).

Для каждой функции указать область определения и способы задания функции.

3. Подготовка к восприятию новых знаний.

Но бывают функции, заданные на других множествах.

Пример. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения ребёнка родители подводят его к дверному косяку и торжественно отмечают на нём рост именинника. Ребёнок растёт, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Три, пять, два: Такова последовательность приростов от года к году. Но есть и другая последовательность, и именно её члены аккуратно выписывают рядом с засечками. Это - последовательность значений роста. Слайд презентации.

Две последовательности связаны друг с другом.

Вторая получается из первой сложением.

Рост - это сумма приростов за все предыдущие годы.

Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 1. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

(Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).

Задача 2. В период интенсивного роста человек растёт в среднем на 5 см в год. Сейчас рост у ученика С. - 180 см. Какого роста он будет в 2018 году? (2м 30 см). Но этого быть не может. Почему?

Задача 3. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).

Это примеры функций, заданных на множестве натуральных чисел-числовые последовательности.

Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.

Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.

Изучение нового материала.

Определение: Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел (слайд: последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать).

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1, 2, 3, 4, 5, : - последовательность натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;

1, 3, 5, 7, 9, : - последовательность нечетных чисел;

1, 4, 9, 16, 25, : - последовательность квадратов натуральных чисел;

2, 3, 5, 7, 11, : - последовательность простых чисел;

1, , , , :- последовательность чисел, обратных натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей - монотонно возрастающие, последняя - монотонно убывающая.

Обозначение: у 1 , у 2, у 3, у 4, у 5, :

1, 2, 3, 4, 5, :п,:-порядковый номер члена последовательности.

(у п)- последовательность, у п - п-ый член последовательности.

(а п)- последовательность, а п - п-ый член последовательности.

а п-1 -предыдущий член последовательности,

а п+1 - последующий член последовательности.

Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие.

Задание. Записать первые 5 членов последовательности:

От первого натурального числа увеличение на 3.

От 10 увеличение в 2 раза и уменьшение на 1.

От числа 6 чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза.

Эти числовые ряды тоже называются числовыми последовательностями.

5. Знаменитые последовательности:

Числа Фибоначчи. Приложение 3.

Треугольник Паскаля. Приложение 3.

Урок 2.

Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

1. Способы задания последовательностей:

Словесный.

(у п)- последовательность натуральных чисел, кратных трём.

(у п): 3, 6, 9, 12, 15, :

Табличный.

Слайд презентации.

п	1	2	3	4	5
у п	3	6	9	12	15

Графический.

Слайд презентации.

Аналитический.

Указать формулу п-ого члена последовательности.

Рекуррентный (от латинского - возвращаться).

Это формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.

(у п = у п-1 + 3).

2. Закрепление.

с п = . Запишите первые 5 членов последовательности.

(По одному человеку решают у доски, остальные - в тетради).

: 74, 81, 88, 95, 102, : Задайте формулу п-ого члена.

(у п = у п-1 + 7).

Рабочая тетрадь: с. 46, № 38.

3. Дополнительные задачи.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной таким описанием: каждый член последовательности на 1 больше соответствующего члена ряда Фибоначчи.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной формулой а п = (-3) п-1 .

Запишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:

а 1 = 4, а п+1 = а п + 2.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной графиком:

Домашнее задание. Приложение 2.

Подведение итогов урока.

Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы её задания. Ответьте на вопросы:

Что такое последовательность?
Какие виды последовательностей вы узнали?
Какие способы задания вы узнали?
О каких ученых и их трудах вы узнали?

Литература.

О.В. Занина, И.Н. Данкова. Поурочные разработки по алгебре. 9 класс.

Л.А. Тапилина, Т.Л. Афанасьева. Алгебра. 9 класс. Поурочные планы.

Энциклопедический словарь юного математика.

Материалы Фестиваля педагогических идей "Открытый урок":

А.А.Болбас. Урок алгебры по теме "Числовые последовательности". 9 класс.

А.В. Худякова. Урок по алгебре для 9 класса по теме "Последовательности и способы их задания".

Е.Е. Журавлёва. Урок-лекция в 9 классе на тему "Последовательности, понятие, определение. Возрастающие и убывающие последовательности. Способы задания последовательности".

Г.А. Бархатова. Интегрированный урок математики и валеологии на тему "Прогрессия". Решение прикладных задач.

К. Кноп. "Трактат о кроликах, рождающих великие открытия".

Г.И. Глейзер. История математики в средней школе.

Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов. Математика без формул.

1. Девять неглубоких проникновений пениса – только головка пениса входит во влагалище; одно глубокое введение – во влагалище входит весь пенис. Женщина вздыхает, тяжело дышит и у нее во рту скапливается слюна. Укрепление легких и толстого кишечника.

2. Восемь неглубоких толчков, два глубоких. Женщина высовывает язык, пока мужчина целует ее. Язык соответствует Дому сердца. Укрепление сердца и кровообращения, активизация сексуальной энергии.

3. Семь неглубоких толчков, три глубоких. Мышцы женщины напрягаются, она обнимает мужчину и удерживает его обеими руками. Желудок/селезенка/поджелудочная железа стимулируются, а функция пищеварительного тракта активизируется.

4. Шесть неглубоких толчков, четыре глубоких. Влагалище женщины начинает пульсировать, воды текут и покрывают пенис. Начинается энергетический цикл почек и мочевого пузыря.

5. Пять неглубоких толчков и пять глубоких. Конечности и суставы женщины становятся податливыми и гибкими. Она начинает царапать и кусать мужчину. Эта стимуляция укрепляет кости и способствует росту костного мозга.

6. Четыре неглубоких толчка, шесть глубоких. Тело женщины извивается в конвульсиях, как у змеи. Она обвивает руки и ноги вокруг тела мужчины и сжимает его. Начинается энергетический цикл печени, желчного пузыря и нервов.

7. Три неглубоких толчка и семь глубоких. Кровь женщины начинает толчками пульсировать по венам, женщине хочется прикасаться к мужчине во всех местах и чувствовать его тело. Активность сердца и кровообращения повышается, чтобы подавать кровь в самые дальние капилляры и достигать высшего уровня стимуляции.

8. Два неглубоких толчка, восемь глубоких. Мышцы женщины полностью расслабляются. Она кусает мужчину и добирается до его сосков. Мышцы женщины достигают высшего уровня стимуляции за счет этой релаксации.

9. Один неглубокий толчок, девять глубоких. Женщина достигает самого интенсивного оргазма и полностью расслабляется. Она полностью отдается и открывается мужчине. Тела обоих партнеров заряжены энергией.

МОУ «Средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов № 38»

Кафедра ЕМЦ

Конспект урока алгебры 9 класс

по теме :

Провела: учитель математики

Борисова Н. А.

Тема урока: Числовая последовательность

Цели:

Образовательная: ввести понятие «числовая последовательность», «n-ый член последовательности»; познакомить учащихся с видами последовательностей и способами задания последовательности.

Развивающая: развитие самостоятельности, взаимопомощи при работе в группе; развитие мышления, логики.

Воспитательная: воспитание активности и аккуратности.

Оборудование: компьютер, презентация в PowerPoint, дидактические материалы.

Ход урока:

Организационный момент

Вступительное слово учителя.

Здравствуйте, ребята. Сегодня м ы приступим к изучению одной из самых интересных темы алгебры 9 класса – «Числовые последовательности». (Слайд)

На уроке мы познакомимся с понятием «числовая последовательность», рассмотрим виды последовательностей и способы их задания.

Запишите в тетрадях число и тему урока- «Числовая последовательность»

Переходим к устной работе

Устная работа.

Задача 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на 2. сколько бактерий будет в колонии, рожденной одной бактерией за 4 минуты?

(Слайд)

Для того чтобы ответить, на вопрос задачи нам необходимо было составить определенную числовую последовательность

Что бы дать определение числовой последовательности и ответить на следующие вопросы обратимся к тексту учебника

3. Изучение нового материала.

Прочитайте текст параграфа и ответьте на поставленные вопросы. (Самостоятельная работа по учебнику)

Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры.

Что такое числовая последовательность?

Обозначение числовой последовательности.

Какие последовательности существуют?

Назовите способы задания последовательности.

(Слайд)

Ответы:

1.Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких явлений и событий.

Дни недели, названия месяцев, возраст человека, номер счёта в банке, последовательно происходит смена дня и ночи, последовательно увеличивает скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д.

2. Что такое последовательность?

Определение: Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел

Вывод:

Числовая последовательность

1) функция

2) ее область определения – множество N.

3.Обозначение.

Виды последовательностей. Примеры

Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие, монотонные.

Задание №1

(Слайд)

Определите вид последовательности

1) 1, 2, 3, 4, 5, : - последовательность натуральных чисел;

2) 2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;

3) 1, 4, 9, 16, 25, : - последовательность квадратов натуральных чисел;

4) 2, 3, 5, 7, 11, : - последовательность простых чисел;

5) - последовательность чисел, обратных натуральным.

6) 1,2,3,4,6,8,12,24 – последовательность чисел, являющихся делителями числа 24

Способы задания последовательности. Примеры.

- Словесный - правило составления последовательности выражается словесным описанием.

Примеры.

1) Последовательность простых двузначных чисел, меньших 50, есть конечная последовательность:

11, 13, 17, 19, 23, 29. 31, 37. 41, 43, 47;

2) Последовательность четных чисел:

2,4,6,8,10…

(Слайд)

- Табличный.

а п

(Слайд)

- Графический.

Графиком последовательности как функции, заданной на множестве натуральных чисел, являются отдельные, изолированные точки координатной плоскости.

Примеры:
1) последовательность a n =3 n -2 можно рассматривать как функцию у=3х-2, где

х N ;
2) Последовательность a n = n 2 можно рассматривать как функцию у=х 2 , где х N .

(Слайд)

- Аналитический.

указывается формула n-го члена последовательности

Пример. Последовательность квадратов натуральных чисел задаётся формулой

а n = n 2

- Рекуррентный ( от лат. слова recurrens – «возвращающийся»)- указывается правило позволяющее вычислить n-й член данной последовательности, если известны все её предыдущие члены.

Пример .

a 1 =1, a n =a n-1 ∙n, если n≥2.

Вычислим несколько первых членов этой последовательности:

1, 2, 6, 24, 120, … .

(Слайд)

Вывод: Для рекуррентного задания последовательности необходимо:

1) знать один или два первых члена последовательности

2) указать правило для вычисления следующих членов последовательности

Итак, числовую последовательность можно задать: словесно, аналитически, рекуррентно, графически и при помощи таблицы

4.Историческая справка

Знаменитые последовательности

На прошлом уроке 2 учащихся нашего класса получили задание: самостоятельно, используя интернет ресурсы подготовить сообщение из и стории математики о знаменитых последовательностях .

Слово предоставляется…

Числа Фибоначчи. Приложение

(Слайд)

Треугольник Паскаля. Приложение

(Слайд)

5.Закрепление изученного

(По одному человеку решают у доски, остальные - в тетрадях).

№224(1,3,5)

1) а n = 2 n + 3; 3) а n = 100 – 10 n 2 ;

а 1 = 2  1 + 3 = 5; а 1 = 100 – 10  1 2 = 90;

а 2 = 2  2 + 3 = 7; а 2 = 100 – 10  2 2 = 60;

а 3 = 2  + 3 = 9. а 3 = 100 – 10  3 2 = 10.

5) ; а 1 = 1; а 2 = ; а 3 = .

Задача (Слайд)

Шары, размещенные в виде треугольника так, что в первом ряду - 1 шар, во втором - 2 шара, в третьем - 3 и т.д. Сколько нужно шаров, чтобы составить треугольник из 3 рядов, 5 рядов, 7 рядов?

Это интересно!

Числовые последовательности в литературе

(Слайд)

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

... Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...

Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют числовую последовательность с первым членом 2 .

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют числовую последовательность: 1; 3; 5; 7...

Примеры

Ямб

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Последовательность: 2; 4; 6; 8...

Хорей

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»

Последовательность 1; 3; 5; 7...

7. Тестовая проверочная работа

1.Последовательность задана формулой a n =5 n +2 . Чему равен её третий член?

а) 3 б)17

в) 12 г) 22

2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой a n = n 8.Подведение итогов.

Итак, мы познакомились с понятием числовая последовательность и рассмотрели способы её задания.

Ответьте на вопросы:

Что такое последовательность?

Какие виды последовательностей вы узнали?

Какие способы задания вы узнали?

О каких ученых и их трудах вы узнали?

Домашнее задание :

Глава IV п.17 № 224(чет), №226

Некоторые линейные уравнения имеют вид, который сильно напоминает обыкновенную пропорцию. Например, рассмотрим такое уравнение.

Для решения уравнения с пропорцией используют правило пропорции или, как его называют по-другому, правило креста.

Подробно понятие пропорции мы рассматривали в уроке «Пропорции». В этом уроке мы вспомним только основные моменты необходимые для решения уравнений с пропорцией .

Правило пропорции или правило креста

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.

По-другому сформулировать правило выше можно так: если нарисовать крест поверх пропорции, то произведения членов пропорции, которые лежат на концах креста, равны.

Вернемся к нашему уравнению. Решим его, использую правило пропорции. Нарисуем поверх пропорции крест.

Теперь по правилу пропорции (правило креста) запишем пропорцию в виде равенства произведений крайних и средних членов пропорции.

Вспомним правило деления и решим уравнение до конца. В ответе не забудем выделить целую часть у дроби.

Рассмотрим другой пример уравнения с пропорцией.

Такое уравнение также решается с помощью правила пропорции.

Если в члене пропорции присутствуют знаки « + » или « − », обязательно заключайте этот член пропорции в скобки перед использованием правила пропорции.

Если вы не заключите в скобки такой член пропорции, то с большей вероятностью сделаете ошибку, когда будете использовать правило пропорции.

После заключения в скобки члена пропорции « (2 − x) » используем правило пропорции для дальнейшего решения.

Теперь раскроем скобки с помощью правила раскрытия скобок.

Из урока «Решение линейных уравнений» используем правило переноса и правило деления для уравнений.

Не забудем при делении на отрицательное число, использовать правило знаков.

Иногда уравнения с пропорцией могут быть представлены следующим образом:

Чтобы было проще использовать правило пропорции (правило креста) нужно записать исходное уравнение, в общем для пропорции виде.

Для этого нужно вспомнить, что знак деления « : » можно заменить на дробную черту.

Что такое пропорция

Здесь мы рассмотрим, что такое пропорция, как называются члены пропорции и основное свойство пропорции.

Пропорция - это равенство двух отношений.

С помощью букв пропорцию записывают так:

Читают: «a относится к b как c относится к d» или «отношение a к b равно отношению c к d».

Числа a и d называют крайними членами пропорции, числа b и c - средними членами пропорции:

Здесь 4,8 и 1,2 - крайние члены пропорции, 1,6 и 3,6 - средние члены пропорции.

Здесь 2,1 и 6 - крайние члены пропорция, 8,4 и 1,5 - средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Отсюда следует, что

Таким образом, если в пропорции поменять местами крайние члены или средние члены, то получим новые верные пропорции.

Пропорция- это равенство. Если это равенство содержит переменную, значение которой надо найти, то оно является уравнением. Как решать пропорции, мы рассмотрим в следующий раз.
Кроме того, пропорции используются для решения некоторых задач. В частности, пропорции существенно облегчают решение задач на проценты. Позже мы рассмотрим также решение задач с помощью пропорций.

Геометрическая пропорция

370. Но если величины находятся в геометрической пропорции, произведение её крайних членов равно произведению их средних членов .
Если a:b = c:d, ad = bc
Согласно допущению, (Статьи. 341, 359.) $\frac =\frac $
Умножив на bd, (Аксиома 3.) $\frac =\frac $
Упростив дроби, ad = bc.
Так 12:8 = 15:10, поэтому 12*10 = 8*15.

Соотв: Любой множитель может быть перенесён от одной средней величины к другой, без влияния на пропорцию. Если a:mb = x:y, то a:b = mx:y. При этом произведение средних величин в обоих случаях одинаково. И если na:b = x:y, то a:b = x:ny.

371. С другой стороны, если произведение двух величин равно произведению двух других, то четыре величины сформируют пропорцию, где они сгруппированы таким образом, что одна сторона уравнения будет содержать средние члены, а другая — крайние.
Если my = nh, то m:n = h:y, то есть$\frac =\frac $
Таким образом разделив my = nh на ny, мы получим$\frac =\frac $
Упростив дроби, $\frac =\frac $.

Соотв. То же самое должно быть верно по отношению любых множителей , которые образуют две стороны равенства.
Если (a + b).c = (d — m).y, то a + b:d — m = y:c.

372. Если три величины пропорциональны, то произведение их крайних членов равно квадрату средних. Таким образом одновременно пропорциональны также второй член первой пары и предыдущий член последней. (Статья. 366.) Следовательно они должны быть умножены на себя , то есть возведены в квадрат .
Если a:b = b:c, тогда умножение крайних и средних членов, ac = b 2 .
Следовательно, среднее пропорциональное двух величин может быть найдено путём извлечения квадратного корня из их произведения .
Если a:x = x:c, то x 2 = ac, и x√ ac .

373. Из Статьи. 370 следует, что соотношение любого из крайних членов равно произведению средних, разделённых на другой крайний член. И любой из средних членов равен произведению крайних членов, разделённому на другой средний член.
1. Если a:b = c:d, то ad = bc
2. Разделим на d, $a=\frac $
3. Сначала разделим на c, $b=\frac $
4. Разделим это на b, $c=\frac $
5. Разделим на a, $d=\frac $ ; Это значит, что
четвёртый член равен произведению второго и третьего, разделённому на первый .

На этом принципе основаны простые пропорции арифметики, которые часто называют Тройным Правилом . Три числа даны, чтобы найти четвёртое, которое получают путём умножения второго на третье и деления на первое.

374. Утверждение относительно произведений средних и крайних членов предоставляет очень простой и удобный критерий определения того, пропорциональны ли любые четыре величины. Нам только нужно перемножить средние и крайние члены. Если произведения равны, то величины пропорциональны. Если произведения не равны, то величины не пропорциональны.

375. В математических исследованиях, когда даны отношения нескольких величин, то они часто определены в виде пропорции. Но, как правило, необходимо, чтобы эта первая пропорция претерпела ряд трансформаций прежде, чем отчётливо выявится неизвестная величина или утверждение, которое мы хотели доказать. Она может пройти изменения, которые не окажут влияние на равенство отношений или которые обнаружат произведение средних членов равное произведению крайних.

В первую очередь очевидно, что любая перемена в расстановке , которая не окажет влияния на эти равенство этих двух произведений, не уничтожит пропорции. Поэтому, если a:b = c:d, то порядок этих величин может варьироваться, что в любом случае приведёт к ad = bc. Отсюда,

376. Если четыре величины пропорциональны, то порядок средних членов, или крайних членов, или членов обоих пар, может быть инвертирован без разрушения пропорции.
Если a:b = c:d,
И 12:8 = 6:4
тогда
1. Инвертируя средние члены ,
a:c = b:d
12:6 = 8:4
то есть
Первый относится к третьему
Как второй к четвёртому .
Другими словами, отношение предыдущих членов равно отношению последующих .

Эта инверсия средних членов часто упоминается в геометрии под названием Альтернация .

2. Инвертируя крайние члены ,
d:b = c:a
4:8 = 6:12
то есть,
Четвёртый относится ко второму ,
Как третий к первому .

3. Инвертируя члены каждой пары ,
b:a = d:c
8:12 = 4:6
то есть,
Второй относится к первому ,
Как четвёртый к третьему .
Технически это называется Инверсией .
Каждое из этого также может варьироваться, меняя порядок двух пар . (Статья. 365.)

Соотв. Порядок всей пропорции может быть инвертирован.
Если a:b = c:d, то d:c = b:a.
В каждом из данных случаев будет немедленно видно, что вычисляя произведения средних и крайних членов, у нас получается ad = bc, и 12.4 = 8.6.
Если члены только одной из пар инвертированы, то пропорция становится обратной . (Статья 367.)
Если a:b = c:d, то a относится к b, обратно тому, как d относится к c.

377. Разница в расположении не единственная алтернация, которую производят по отношению к членам пропорции. Часто бывает нужным умножить, разделить, возвести в степень и так далее. Во всех случаях искусство ведения исследования заключается в произведении некоторых изменений, при этом сохраняется постоянное равенство между отношением двух первых и двух последних членов. При решении уравнения, мы должны сохранять равенство сторон , так варьируя пропорцию, чтобы сохранить и равенство соотношений . И это достигается либо путём сохранения соотношений теми же , что и при альтернации членов, либо увеличивая или уменьшая одно из соотношений на столько же, как и другое . Большинство последующих доказательств направлены на чёткое выявление этого принципа и ознакомление с ним. Некоторые из утверждений могут быть доказаны более простым способом, возможно, путём умножения крайних и средних членов. Но это не даст ясного понимания природы некоторых изменений в пропорциях.

Было показано, что если оба члена пары умножены или разделены на одинаковую величину, то их соотношение остаётся одинаковым (Статья. 355.) Так умножая предыдущий член (антецедента) проявится в умноженном соотношении, а деление последующего члена (консеквента) — в делении соотношения. (Статья. 352.) и следующие показывают, что умножение консеквента проявится в делении соотношения, а его деление — в произведении соотношения. (Статья. 353.) Так как соотношения в пропорции равны, то если их перемножить или разделить на одинаковую величину, то они всё ещё будут равны (Аксиома. 3.) Одно будет увеличено или уменьшено, так же как и второе. Отсюда,

378. Если четыре величины пропорциональны, два аналогичных или гомологичных члена могут быть умножены или разделены на одну и ту же величину, без нарушения пропорции.

Если аналогичные члены будут умножены или разделены, то их соотношения не поменяются. (Статья, 355.) Если гомологичные члены будут умножены или разделены, оба соотношения одинаково увеличатся или уменьшатся. (Статьи. 352, 353.)
Если a:b = c:d, то,
1. Умножая первые два члена, ma:mb = c:d
2. Умножая последние два члена, a:b = mc:md
3. Умножая два первых члена (антецедента), ma:b = mc:d
4. Умножая два последних члена (консеквента), a:mb = c:md
5. Разделив два первых члена, $\frac:\frac =c:d$
6. Разделив два последних члена, $a:b=\frac:\frac $
7. Разделив два антецедента, $\frac:b=\frac:d$ a/m:b = c/m:d
8. Разделив два консеквента, $a:\frac =c:\frac $ a:b/m = c:d/m.

Следствие. 1. Все члены могут быть умножены или разделены на одну и ту же величину.
ma:mb = mc:md, $\frac:\frac =\frac:\frac $.

Следствие. 2. В любом случае, в данной статье умножение консеквентов может быть заменено делением антецедентов той же самой пары, и деление консеквентов — умножением антецедентов. (Статья. 354, след.)

379. Часто бывает необходимо не только изменить члены пропорции и варьировать их расположение, но и сравнить одну пропорцию с другой . Из этого сравнения часто возникает новая пропорция, которая может быть необходима для решения задачи или перехода к доказательству. Один из самых важных случаев, когда сравниваемые два члена одной пропорции такие же как два в другой. Похожие члены могут исчезнуть , и новая пропорция может быть сформирована из оставшихся четырёх членов. Так,

380. Если два соотношения соответсвтенно равны третьему, то они также равны между собой.
Это не что иное, как 11ая аксиома, применяемая к соотношениям.
1. Если a:b = m:n
И c:d = m:n
тогда a:b = c:d,или a:c = b:d. (Статья.376.)
2. Если a:b = m:n
И m:n = c:d
то a:b = c:d,или a:c = b:d.

След. Если a:b = m:n
m:n > c:d
то a:b > c:d.
Так если соотношение m:n больше, чем c:d, то это показывает, что соотношение a:b, которое равно соотношению m:n, также больше чем соотношение c:d.

381. В этих примерах схожие члены двух пропорций это два первых и два последних . И порядок не важен. Порядок членов может быть изменён разными способами без влияния на равенство соотношений.

1. Похожими членами могут быть два антецедента , или два косеквента в каждой пропорции. Таким образом,
Если m:a = n:b
И m:c = n:d
тогда
Чередуем, m:n = a:b
И m:n = c:d
Отсюда a:b = c:d, или a:c = b:d, согласно последнему параграфу.

2. Антецеденты в одной пропорции, могут быть такими же как консеквенты в другой.
Если m:a = n:b
И c:m = d:n
Инветрируя и чередуя a:b = m:n
Чередуя c:d = m:n:
Поэтому a:b, и так далее как ранее.

3. Два гомологичных члена в одной из пропорций могут быть такими же, как два аналогичные члены в другой.
Если a:m = b:n
и c:d = m:n
Чередуя, a:b = m:n
И c:d = m:n
Поэтому, a:b, и так далее.

Всё это примеры равенства между соотношениями в одной пропорции с соотношениями в другой. В геометрии на предположение, к которому они принадлежат обычно ссылаются как на «ex aequo «или «ex aequali » (по справедливости). Второй случай в этой статье более всего отвечает объяснению Евклида. Но оба они все согласуются с одним и тем же принципом и часто к ним обращаются без разграничений.

382. Любое число пропорций может быть сравнено аналогичным способом, если два первых или два последних члена в каждой предыдущей пропорции такие же, как два первые и два последние члена в последующей.
Поэтому если a:b = c:d
И c:d = h:l
И h:l = m:n
И m:n = x:y
то a:b = x:y.
То есть два первых члена первой пропорции имеют такое же соотношение, как два последних члена последней пропорции. Это показывает, что соотношение всех пар одинаково.

И если члены не находятся в том же порядке как здесь, но могут быть упрощены к данному виду, применяется тот же самый принцип.
поэтому если a:c = b:d
И c:h = d:l
И h:m = l:n
И m:x = n:y
тогда чередуя
a:b = c:d
c:d = h:l
h:l = m:n
m:n = x:y.
Поэтому a:b = x:y, как и ранее.

Во всех примерах в этой и предшествующих статьях, два члена в одной пропорции, у которых есть равные члены в другой, не являются ни двумя средними членами , ни двумя крайними членами , а одним средним и одним крайним членом, из чего следует, что пропорция однородна и непрерывна .

383. Но если два средних или два крайних члена в одной пропорции такие же, как средние и крайние члены в другой, то оставшиеся четыре члена будут взаимно пропорциональны .
Если a:m = n:b
И c:m = n:d
тогда a:c = $\frac :\frac $, или a:c = d:b

Для ab = mn
И cd = mn
(Статья. 370) Поэтому ab = cd, и a:c = d:b.

В данном примере два средних члена в одной пропорции, такие же как те же в другой. Но принцип будет тем же, если крайние члены не равны или если крайние члены одной пропорции не равны средним членам другой.
Если m:a = b:n
И m:c = d:n
тогда a:c = d:b.

Или if a:m = n:b
И m:c = d:n
тогда a:c = d:b.
Теорема в геометрии, которая применима в данном случае обычно именуется словами «ex aequo perturbate » (по правде запутанная).

384. Другой способ варьировать члены в пропорции это сложение или вычитание .

Если к или от двух гомологичных членов пропорци вычитаются или прибавляются две другие величины, которые находятся в том же соотношении, то пропорция остаётся верной.

Соотношение не меняется, если добавить или отнять от него другое равное соотношение. (Статья. 357.)
Если a:b = c:d
И a:b = m:n
Тогда добавляя или отнимая от a и b, члены с равным соотношением m:n, мы получим
a+m:b+n = c:d, и a-m:b-n = c:d.
И добавляя или отнимая m и n к или от c и d, мы получим,
a:b = c+m:d+n, и a:b = c-m:d-n.

Здесь сложение и вычитание производится к и от аналогичных членов. Но путём чередования (Статья. 376,) эти члены будут гомологичными , и мы получим,
a+m:c = b+n:d, и a-m:c = b-n:d.

След. 1. Это добавление может распространяться на любое число равных соотношений.
Таким образом, если
a:b = c:d
a:b = h:l
a:b = m:n
a:b = x:y
Тогда a:b = c+h+m+x:d+l+n+y.

След. 2. Если a:b = c:d
И m:b = n:d
тогда a+m:b = c+n:d.

Чередуем a:c = b:d
И m:n = b:d
таким образом
a+m:c+n = b:d
или a+m:b = c+n:d.

385. Из последней статьи следует, что если в любой пропорции члены прибавляются или отнимаются друг от друга , то,

Если аналогичные и гомологичные члены добавляются или отнимаются от двух других, то пропорция сохраняется верной.
Таким образом, если a:b = c:d, и 12:4 = 6:2, тогда ,

1. Добавляя два последних члена к двум первым .
a+c:b+d = a:b 12+6:4+2 = 12:4
и a+c:b+d = c:d 12+6:4+2 = 6:2
или a+c:a = b+d:b 12+6:12 = 4+2:4
и a+c:c = b+d:d 12+6:6 = 4+2:2.

2. Складывая два антецедента с двумя консеквентами .
a+b:b = c+d:d 12+4:4 = 6+2:2
a+b:a = c+d:c, т.д.. 12+4:12 = 6+2:6, т.д..
Это называется Композицией .

3. Отнимая два первых члена от двух последних .
c-a:a = d-b:b
c-a:c = d-b:d, т.д..

4. Отнимая два последних члена от двух первых .
a-c:b-d = a:b
a-c:b-d = c:d, т.д..

5. Отнимая консеквенты от антецедентов .
a-b:b = c-d:d
a:a-b = c:c-d, etc.
Преобразование, показанное в последней форме называется Конверсией .

6. Отнимая антецеденты от консеквентов .
b-a:a = d-c:c
b:b-a = d:d-c, etc.

7. Добывляя и вычитая,
a+b:a-b = c+d:c-d.
То есть сумма первых двух членов относится к их разности, как сумма двух последних к их разности.

След. Если любые сложные величины, расставленые как в предыдущих примерах, пропорциональны, то простые величины, из которых они состоят также пропорциональны.
Таким образом, если a+b:b = c+d:d, то a:b = c:d.
Это называется Делением .

386. Если соответствующие члены двух или более разрядов пропорциональных величин перемножить между собой, то произведение также будет пропорционально .

Это смешанные соотношения (Статья. 347,) или смешанные пропорции. Это нужно уметь отличать от того, что называется композицией , которая является сложением членов соотношения. (Статья 385. 2.)
Если a:b = c:d 12:4 = 6:2
И h:l = m:n 10:5 = 8:4
Тогда ah:bl = cm:dn 120:20 = 48:8.
Исходя из определения пропорции два соотношения первого разряда равны, как и соотношения второго разряда. И умножение соответствующих членов является умножением соотношений, (Статья. 352. соотв.), то есть умножением равных на равные (Аксиома. 3.), так что соотношения будут всё так же равными, и поэтому все четыре произведения должны быть пропорциональны.

Такое же доказательство применимо к любому числу пропорций.
Если
a:b = c:d
h:l = m:n
p:q = x:y
Тогда ahp:blq = cmx:dny.
Из этого следует, что если члены пропорции перемножить на самих себя , то есть, если они возведены в какую-либо степень , то они всё равно будут пропорциональны.
Если a:b = c:d 2:4 = 6:12
a:b = c:d 2:4 = 6:12
Тогда a 2:b 2 = c 2:d 2 4:16 = 36:144
Пропорциональные величины также получаются реверсируя этот процесс, то есть вычисляя корни членов пропорции.
Если a: b:: c: d, тогда √ a:√ b = √ c:√ d .
Перемножив средние и крайние члены, ad = bc
И извлекя корень из обеих сторон, √ ad = √ bc
То есть, (Статья. 254, 371,) √ a:√ b = √ c:√ d .
Отсюда,

387. Если некоторые величины пропорциональны, то продукты их возведения в степень или извлечения корней пропорциональны .
Если a:b = c:d
Тогда a n:b n = c n:d n , и m √ a: m √ b = m √ c: m √ d .
И m √ a n: m √ b n = m √ c n:√ d n , то есть, a m/n:b m/n = c m/n:d m/n .

388. Если члены одного разряда пропорций разделить на соответствующие члены другого разряда, то частные будут пропорциональны.
Это иногда называют решением соотношений.
Если a:b = c:d 12:6 = 18:9
И h:l = m:n 6:2 = 9:3
Тогда $\frac:\frac =\frac:\frac $ $\frac:\frac =\frac:\frac $.
Это просто реверсия процесса в Статье. 386, и может быть доказана похожим образом.
Это нужно уметь различать от того, что в геометрии называется разделением , которое является вычитанием членов соотношения. (Статья. 385. соотв.)

389. В сложных смешанных пропорциях, равные множители или делители двух аналогичных или гомологичных членов могут быть отвергнуты .
Если
a:b = c:d 12:4 = 9:3 b, c > d
a

6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Тема: «Отношение» рассмотрена на предыдущем занятии («6.1. Отношение»).

a: b = c: d . Это пропорция. Читают: а так относится к b , как c относится к d . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.

Пример пропорции : 1 2: 3 = 16: 4 . Это равенство двух отношений: 12:3= 4 и 16:4= 4 . Читают: двенадцать так относится к трем, как шестнадцать относится к четырем. Здесь 12 и 4 -крайние члены пропорции, а 3 и 16 — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Для пропорции a: b = c: d или a / b = c / d основное свойство записывается так: a·d = b·c .

Для нашей пропорции 12: 3 = 16: 4 основное свойство запишется так: 12·4 = 3·16 . Получается верное равенство: 48=48 .

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.

Примеры. Найти неизвестный крайний член пропорции.

1) х: 20 = 2: 5 . У нас х и 5 - крайние члены пропорции, а 20 и 2 - средние.

Решение.

х = (20·2):5 - нужно перемножить средние члены (20 и 2 ) и результат разделить на известный крайний член (число 5 );

х = 40: 5 - произведение средних членов (40 ) разделим на известный крайний член (5 );

х = 8. Получили искомый крайний член пропорции.

Удобнее записывать нахождение неизвестного члена пропорции с помощью обыкновенной дроби. Вот как тогда запишется рассмотренный нами пример:

Искомый крайний член пропорции (х ) будет равен произведению средних членов (20 и 2 ), деленному на известный крайний член (5 ).

Сокращаем дробь на 5 (делим на 5 х .

Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: «5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей»

Еще такие примеры на нахождение неизвестного крайнего члена пропорции.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.

Примеры. Найти неизвестный средний член пропорции.

5) 9: х = 3: 14. Число 3 - известный средний член данной пропорции, числа 9 и 14 - крайние члены пропорции.

Решение.

х = (9·14):3 - перемножим крайние члены пропорции и результат разделим на известный средний член пропорции;

х= 136:3;

Решение этого примера можно записать иначе:

Искомый средний член пропорции (х ) будет равен произведению крайних членов (9 и 14 ), деленному на известный средний член (3 ).

Сокращаем дробь на 3 (делим на 3 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х .

Еще такие примеры на нахождение неизвестного среднего члена пропорции.

www.mathematics-repetition.com

Решение пропорций

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах.

Решить уравнения с пропорцией:

1) 25: x = 10: 18

Здесь x - неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

Здесь y - неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе - один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100, мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10: