Графики непрерывных и кусочно заданных функций примеры. Кусочно-заданная функция. Включение в систему знаний и повторение

Они воздушны, стройны, легки. Их танец неповторим. Кто они эти выдающиеся балерины нашего века.

Агриппина Ваганова (1879-1951)

Одним из самых важных в истории российского балета годов является 1738. Благодаря предложению французского танцмейстера Жана-Батиста Ланде и утверждению Петра I в Санкт-Петербурге открылась первая школа балетного танца в России, которая существует по сегодняшний день и называется Академией Русского балета им. А.Я. Вагановой. Именно Агриппина Ваганова в советское время систематизировала традиции классического императорского балета. В 1957 году ее имя было присвоено Ленинградскому хореографическому училищу.

Майя Плисецкая (1925)

Выдающаяся танцовщица второй половины XX века, вошедшая в историю балета феноменальным творческим долголетием, Майя Михайловна Плисецкая родилась 20 ноября 1925 года в Москве.

В июне 1934 года Майя поступила в Московское хореографическое училище, где последовательно занималась у педагогов Е. И. Долинской, Е. П. Гердт, М. М. Леонтьевой, но лучшим своим педагогом считает Агриппину Яковлевну Ваганову, с которой встретилась уже в Большом театре, куда ее приняли 1 апреля 1943 года.

Маяй Плисецкая – символ русского балета. Одну из своих главных партий Одетты-Одиллии из «Лебединого озера» она исполнила 27 апреля 1947 года. Именно этот балет Чайковского стал стержнем ее биографии.

Матильда Кшесинская (1872-1971)

Родилась в семье танцовщика Ф. И. Кшесинского, поляка по национальности. В 1890 году окончила балетное отделение Петербургского театрального училища. В 1890-1917 годах танцевала в Мариинском театре. Прославилась в ролях Авроры («Спящая красавица»,1893), Эсмеральды (1899), Терезы («Привал кавалерии») и др. Ее танец отличала яркая артистичность, жизнерадостность. В начале 1900-х годов была участницей балетов М. М. Фокина: «Евника», «Шопениана», «Эрос», в 1911-1912 годах выступала в труппе «Русский балет Дягилева».

Анна Павлова (1881-1931)

Родилась в Петербурге. После окончания Петербургского театрального училища, в 1899 г. была принята в труппу Мариинского театра. Танцевала партии в классических балетах «Щелкунчик», «Конёк-Горбунок», «Раймонда», «Баядерка», «Жизель». Природные данные и постоянное совершенствование исполнительского мастерства помогли Павловой выдвинуться в 1906 г. в ведущие танцовщицы труппы.
Огромное влияние на выявление новых возможностей в исполнительской манере Павловой оказала совместная работа с балетмейстерами-новаторами А. Горским и, особенно, М. Фокиным. Павлова исполнила главные партии в балетах Фокина «Шопениана», «Павильон Армиды», «Египетские ночи» и др. В 1907 г. на благотворительном вечере в Мариинском театре Павлова впервые исполнила поставленную для нее Фокиным хореографическую миниатюру «Лебедь» (позже «Умирающий лебедь»), ставшую впоследствии поэтическим символом русского балета XX века.

Светлана Захарова (1979)

Светлана Захарова родилась в Луцке, на Украине, 10 июня 1979 года. В шестилетнем возрасте мать отвела ее в хореографический кружок, где Светлана занималась народными танцами. В возрасте десяти лет она поступила в Киевское хореографическое училище.

Проучившись четыре месяца, Захарова покинула училище, так как ее семья переехала в Восточную Германию в соответствии с новым назначением ее отца-военнослужащего. Вернувшись через полгода на Украину, Захарова снова сдала экзамены в Киевское хореографическое училище и была принята сразу во второй класс. В Киевском училище она занималась главным образом с Валерией Сулегиной.

Светлана выступает во многих мегаполисах мира. В апреле 2008 года ее признали звездой знаменитого миланского театра «Ла Скала».

Галина Уланова (1909-1998)

Галина Сергеевна Уланова родилась в Санкт-Петербурге 08 января 1910 года (по старому стилю 26 декабря 1909 г.), в семье мастеров балетного исскуства.

1928 году Уланова окончила Ленинградское хореографическое училище. Довольно скоро она поступила в труппу ленинградского Государственного академического театра оперы и балета (ныне Мариинский).

Любимую Мариинку Улановой пришлось оставить в годы блокады Ленинграда. Во время Великой Отечественной войны Уланова танцевала в театрах Перми, Алма-Аты, Свердловска, выступая в госпиталях перед ранеными. В 1944г. Галина Сергеевна переходит в Большой театр, в котором периодически выступала с 1934 г.

Настоящим достижением Галины стал образ Джульетты в балете Прокофьева «Ромео и Джульетта». Ее лучшими танцами являются так же роль Маши из «Щелкунчика» Чайковского, Марии из «Бахчисарайского фонтана» и Жизель Адана.

Тамара Карсавина (1885-1978)

Родилась в Петербурге в семье танцовщика Мариинского театра Платона Карсавина, внучатая племянница Алексея Хомякова, видного философа и литератора 1-й половины XIX века, сестра философа Льва Карсавина.

Училась у А. Горского в Петурбургском театральном училище, которое окончила в 1902 г. Еще воспитанницей исполнила сольную партию Амура на премьере балета «Дон-Кихот» в постановке Горского.

Балетную деятельность начинала в период кризиса академизма и поисков выхода из него. Поколонники академического балета находили в исполнении Карсавиной много изъянов. Балерина совершенствовала свое исполнительское мастерство у лучших российских и итальянских педагогов
Замечательный дар Карсавиной проявился в работах над постановках М. Фокина. Карсавина явилась родоначальницей принципиально новых тенденций в искусстве балета начала XX века, позднее названных «интеллектуальным искусством».

Талантливая Карсавина быстро достигла статуса примы-балерины. Она исполняла ведущие партии в балетах «Карнавал», «Жизель», Лебединое озеро», «Спящая красавица», «Щелкунчик» и многих других.

Ульяна Лопаткина (1973)

Ульяна Вячеславна Лопаткина родилась в Керчи (Украина) 23 октября 1973 г. В детстве занималась в танцевальных кружках и в секции спортивной гимнастики. По инициативе матери поступила в Академию русского балета им. А.Я. Вагановой в Ленинграде.

В 1990 г, будучи студенткой, Лопаткина участвовала во Втором Всероссийском конкурсе им. А.Я. Вагановой для учащихся хореографических училищ и получила первую премию..

В 1995 году Ульяна стала примой-балериной. В ее послужном списке лучшие роли в классических и современных постановках.

Екатерина Максимова (1931-2009)

Родилась в Москве 1 февраля 1939 года. С детства маленькая Катя мечтала танцевать и в десять лет поступила в Московское хореографическое училище. В седьмом классе станцевала первую роль – Машу в «Щелкунчике». После училища поступила на службу в Большой театр, и сразу же, практически минуя кордебалет, стала танцевать сольные партии.

Особое значение в творчестве Максимовой имело участие в телебалетах, раскрывших новое качество ее таланта – комедийное дарование.

С 1990 года Максимова являлась педагогом-репетитором театра «Кремлевский балет». С 1998 года — балетмейстером-репетитором Большого театра.

Наталья Дудинская (1912-2003)

Родилась 8 августа 1912 года в Харькове.
В 1923-1931 годах училась в Ленинградском хореографическом училище (ученица А.Я. Вагановой).
В 1931-1962 годах - ведущая танцовщица Ленинградского театра оперы и балета им. С.М. Кирова. Исполняла главные партии в балетах «Лебединое озеро» и «Спящая красавица» Чайковского, «Золушка» Прокофьева, «Раймонда» Глазунова, «Жизель» Адана и др.

Мы восхищаемся мастерством этих блестящих балеририн. Они сделали огромный вклад в развитие русского балета!

Аналитическое задание функции

Функция %%y = f(x), x \in X%% задана явным аналитическим способом , если дана формула, указывающая последовательность математических действий, которые надо выполнить с аргументом %%x%%, чтобы получить значение %%f(x)%% этой функции.

Пример

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb{R}%%;
• %% y = \frac{1}{x - 5}, x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt{x}, x \geq 0%%.

Так, например, в физике при равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой %%v = v_0 + a t%%, а формула для перемещения %%s%% тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от %%0%% до %%t%% записывается в виде: %% s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} %%.

Кусочно-заданные функции

Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции. Например: $$ y = \begin{cases} x ^ 2,~ если~x < 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Функции такого вида иногда называют составными или кусочно-заданными . Примером такой функции является %%y = |x|%%

Область определения функции

Если функция задана явным аналитическим способом с помощью формулы, но область определения функции в виде множества %%D%% не указана, то под %%D%% будем всегда подразумевать множество значений аргумента %%x%%, при которых данная формула имеет смысл. Так для функции %%y = x^2%% областью определения служит множество %%D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)%%, поскольку аргумент %%x%% может принимать любые значения на числовой прямой . А для функции %%y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}%% областью определения будет множество значений %%x%% удовлетворяющих неравенству %%1 - x^2 > 0%%, т.е. %%D = (-1, 1)%%.

Преимущества явного аналитического задания функции

Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.

Некоторые из этих действий - алгебраические (сложение, умножение и др.) - хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.

Неявное задание функции

Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом , если дано соотношение $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.

При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию , имеющую при данном значении аргумента более одного значения.

Отметим, что если уравнение %%(1)%% удается явно разрешить относительно %%y = f(x)%%, то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение %%x + y^5 - 1 = 0%%

и равенство %%y = \sqrt{1 - x}%% определяют одну и ту же функцию.

Параметрическое задание функции

Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде

$$ \begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases} ~~~t \in T \subseteq \mathbb{R}, ~~~~~~~~~~(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;

тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.

Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin{cases} x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end{cases}, ~~~t \in \mathbb{R}, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.

Графический способ

Пример графического задания функции

Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение , которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.

Табличный способ

Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.

Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.

Пример

Алгоритмический и словесный способы задания функций

Функцию можно задать алгоритмическим (или программным ) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.

Наконец, можно отметить описательный (или словесный ) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.

Например, функцию %%[x] = m~\forall {x \in , постоянна (-∞; -5]; 4. ограниченность – ограничена снизу 5. наибольшее и наименьшее значение функции – у наим = 0, у наиб – не существует; 6. непрерывность- непрерывна на всей области определения; 7. область значений – , выпукла и вниз и вверх (-∞; -5] и [-2; +∞). VI. Воспроизведение знаний на новом уровне. Вы знаете, что построение и исследование графиков кусочно-заданных функций, рассматриваются во второй части экзамена по алгебре в разделе функции и оцениваются 4-мя и 6-ю баллами. Обратимся к сборнику заданий.Страница 119 - №4.19-1).Решение: 1).у = - x, - квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз (а = -1, а 0). х -2 -1 0 1 2 у -4 -1 0 1 4 2) у= 3х – 10, - линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х 3 3 у 0 -1 3) у= -3х -10, - линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х -3 -3 у 0 -1 4)Построим графики функций в одной системе координат и выделим части графиков на заданных промежутках.
Найдем по графику, при каких значениях х значения функции неотрицательны. Ответ: f(x)  0 при х = 0 и при  3VII.Работа над нестандартными заданиями. №4.29-1), стр. 121. Решение: 1)Прямая (слева) у = kx + b проходит через точки (-4;0) и (-2;2). Значит,-4 k + b = 0,-2 k + b = 2;
k = 1, b = 4, у = х+4.Ответ: х +4, если х -2 у = , если -2 х £ 3 3, если х 3
VIII.Контроль знаний. Итак, подведём небольшой итог. Что мы повторили на уроке?План исследования функций, шаги построения графика кусочной функции, задание функции аналитически. Проверим как вы усвоили данный материал.Тестирование на «4»- «5», «3» I вариант№ У
2 1 -1 -1 1 Х

D(f) = , выпуклая и вверх и вниз на , выпуклая вверх и вниз на , убывает на ________ Ограничена ____________ у наим не существует, у наиб =_____ Непрерывна на всей области определения Е(f) = ____________ Выпукла и вниз и вверх на всей области определения

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
{-(x – 3), при x < -3.

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1) {-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0 < x ≤ 5.

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2) {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 < x ≤ 4,
{3 – (x – 4) 2 , если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3) {8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x < 5,
{3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

2) При x < 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
{ x 2 + 2x, при x < 0.

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) При x < 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Перепишем.

y = {x 2 , при x > 0;
{(x – 2) 2 , при x < 0.

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.