Преобразование одночлена в многочлен. Преобразуйте выражение в многочлен. Решение задач по математике онлайн
Многочленом называется сумма одночленов, то есть произведений цифр и переменных. Работать с ним удобнее, так как чаще всего преобразование выражения в многочлен позволяет значительно упростить его.
Инструкция
Раскройте все скобки выражения. Для этого воспользуйтесь формулами, например, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Если вы не знаете формул, или их трудно применить к данному выражению, раскрывайте скобки последовательно. Для этого умножайте первый член первого выражения на каждый член второго выражения, затем второй член первого выражения на каждый член второго и т.д. В результате все элементы обоих скобок будут перемножены между собой.
Если перед вами три выражения в скобках, сначала перемножьте первые две, оставляя третье выражение не тронутым. Упростив результат, получившийся в результате преобразования первых скобок, перемножьте его с третьим выражением.
Внимательно следите за соблюдением знаков перед множителями-одночленами. Если вы перемножаете два члена с одним знаком (например, оба положительны или оба отрицательны), одночлен будет со знаком «+». Если же один член имеет перед собой «-», не забудьте перенести его на произведение.
Приведите все одночлены к стандартному виду. То есть переставьте местами множители внутри и упростите. Например, выражение 2х*(3,5х) будет равно (2*3,5)*х*х=7х^2.
Когда все одночлены будут стандартизированы, попробуйте упростить многочлен. Для этого сгруппируйте члены, у которых одинакова часть с переменными, например, (2х+5х-6х)+(1-2). Упростив выражение, вы получите х-1.
Обратите внимание на наличие параметров в выражении. Иногда упрощение многочлена необходимо производить так, будто параметр является числом.
Чтобы преобразовать в многочлен выражение, содержащее корень, выведите под ним такое выражение, которое будет возведено в квадрат. Например, воспользуйтесь формулой a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, затем уберите знак корня вместе с четной степенью. Если избавиться от знака корня невозможно, преобразовать выражение в многочлен стандартного вида не удастся.
19. Возьмем формулу
мы ее читали так: «разность числе a и b». Мы можем в этой формуле число a заменить нулем; тогда она обратится в
0 – b или просто в –b.
Из нуля вычесть b значит, согласно тому, что мы знаем о вычитании относительных чисел, к нулю приписать число b, взятое с обратным знаком. Поэтому выражение –b должно понимать, как число, обратное по знаку числу b. Если, напр., b = +5, то –b = –5; если b = –4, то –b = +4 и т. п. Если мы напишем выражение +a, то его надо понимать, как число, равное числу a. Если a = +5, то +a = +5; если a = –4, то +a = 4 и т. п.
Поэтому формулу
мы можем понимать, без различия результата, или в смысле
или в смысле
Таким образом мы всегда можем заменять вычитание сложением и всякую разность понимать, как сумму двух чисел:
a – b есть сумма чисел a и (–b)
x – y есть сумма чисел x и (–y)
–a – b есть сумма чисел (–a) и (–b) и т. п.
Те формулы, где, с точки зрения арифметики, имеют место несколько сложений и вычитаний, напр.,
a – b + c + d – e – f,
мы можем теперь, с точки зрения алгебры, понимать только, как сумму, а именно:
a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).
Поэтому принято подобные выражения называть именем «алгебраическая сумма».
20. Возьмем какую-нибудь алгебраическую сумму
a – b – c или –3bc² + 2ab – 4a²b и т. п.
Принято называть эти выражения именем многочлен , причем это слово заменяет собою слово «сумма» или название «алгебраическая сумма». Мы знаем что
a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) и т. п.
Отдельно каждое слагаемое называют именем член многочлена.
Первый многочлен,
состоит из трех членов: (+a), (–b) и (+c).
Второй многочлен,
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,
состоит из четырех членов: (–abc), (–3bc²), (+2ab) и (–4a²b).
Слагаемые суммы можно переставлять в любом порядке:
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.
Это свойство суммы теперь можно выразить иначе: члены многочлена можно переставлять в любом порядке. Это и сделано выше для многочлена –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, притом так, что впереди теперь оказался член (+2ab). Это позволило несколько упростить выражение: впереди знак + можно не писать. Конечно, надо подобные перестановки делать сразу, не заключая предварительно (как выше) каждое слагаемое в скобки.
Еще пример:
1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.
Первый член этого многочлена был первоначально (+1) – знак + подразумевался перед единицею; когда мы переносим этот член на другое, кроме первого, место (выше мы перенесли его на последнее место), то уже этот знак + пропускать нельзя.
Мы можем заметить, что в предыдущем примере мы перестановкою членов многочлена достигли некоторого порядка: на первом месте стоит член с буквою a в 4-ой степени, на следующем – член с буквою a в 3-ей степени, потом идет член с буквою a во 2-ой степени, потом – a в 1-ой степени и, наконец, член, где буквы a вовсе нет.
Подобное расположение членов многочлена выражают словами «многочлен расположен по нисходящим степеням буквы a».
Вот еще примеры подобного расположения:
3x 5 – 2ax 3 + b (по нисходящим степеням буквы x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (по нисходящим степеням буквы a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (по нисходящим степеням буквы b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (по нисходящим степеням буквы x).
Употребляют часто и обратное «по восходящим степеням» расположение, при котором степень избранной буквы постепенно повышается, причем в 1-м члене или вовсе этой буквы нет, или она имеет здесь наименьшую степень сравнительно с другими членами. О втором из предыдущих примеров мы могли бы сказать, что здесь многочлен расположен по восходящим степеням буквы b. Вот примеры:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (по восходящим степеням буквы a
);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (по восходящим степеням буквы х
);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (по восходящим степеням буквы x
);
a 3 – 2ab + b 2 (по восходящим степеням буквы b
или по нисходящим степеням буквы a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (по нисходящим степеням буквы x или по восходящим степеням буквы y
).
21. Многочлен о двух членах называется двучленом (напр., 3a + 2b), о трех членах – трехчленом (напр., 2a² – 3ab + 4b²) и т. д. Возможно говорить о сумму из одного слагаемого (другое слагаемое равно нулю), или о многочлене об одном члене. Тогда уже, конечно, название «многочлен» неуместно и употребляется название «одночлен». Каждый член любого многочлена, взятый в отдельности, является одночленом. Вот примеры простейших одночленов:
2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; и т. д.
Почти все одночлены из выше написанных являются произведениями двух или более множителей, причем у большинства из них имеются и числовой множитель и буквенные. Напр., в одночлене –3abc имеется числовой множитель –3 и буквенные множители a, b и c; в одночлене 4x³ имеется числовой множитель +4 (знак + подразумевается) и буквенный множитель x³ и т. д. Если бы мы написали одночлен с несколькими числовыми множителями (а также и с буквенными), вроде следующего
,
то удобнее, переставив множителей так, чтобы числовые множители оказались рядом, т. е.
,
эти числовые множители перемножить – получим
–4a²bc² (точки, знаки умножения пропускаем).
Принято также, в громадном большинстве случаев, числовой множитель писать впереди. Пишут:
4a, а не a 4
–3a²b, а не a²(–3)b
Числовой множитель одночлена называется коэффициентом.
Если в одночлене не написан числовой множитель, например, ab, то можно всегда его подразумевать. В самом деле
a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ и т. п.
Итак, у одночленов a², ab, ab² подразумевается, у каждого, коэффициент 1 (точнее: +1). Если напишем одночлены –ab, –a², –ab² и т. п., то у них должно подразумевать коэффициент –1.
22. Более сложные примеры многочленов и одночленов.
(a + b)² + 3(a – b)² … эта формула выражает сумму двух слагаемых: первым является квадрат суммы чисел a и b, а вторым – произведение числа 3 на квадрат разности тех же чисел. Поэтому эту формулу должно признать двучленом: первый член есть (a + b)² и второй 3(a – b)². Если взять выражение (a + b)² отдельно, то в силу предыдущего, его надо считать одночленом, причем его коэффициент = +1.
a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) … должно признать за трехчлен (сумма трех слагаемых): первый член есть a(b – 1) и его коэффициент = +1, второй член –b(a – 1), его коэффициент = –1, третий член –(a – 1)(b – 1), его коэффициент = – 1.
Иногда искусственно уменьшают число членов многочлена. Так трехчлен
можно, например, рассматривать за двухчлен, причем a + b, например, считают за один член (за одно слагаемое). Чтобы это яснее отметить, пользуются скобками:
Тогда у члена (a + b) подразумевается коэффициент +1
[в самом деле (a + b) = (+1)(a + b)].
Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.
Определение и примеры целых выражений
Определение 1Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые также имеют скобки или деление, отличное от нуля.
Исходя из определения, имеем, что примеры целых выражений: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 и так далее, причем переменные вида a , b , p , q , x , z считают за целые выражения. После их преобразования сумм, разностей, произведений выражения примут вид
x + 1 , 5 · y 3 · 2 · 3 · 7 − 2 · y − 3 , 3 − x · y · z 4 , - 6 7 , 5 · (2 · x + 3 · y 2) 2 − - (1 − x) · (1 + x) · (1 + x 2)
Если в выражении имеется деление на число, отличное от нуля вида x: 5 + 8: 2: 4 или (x + y) : 6 , тогда деление может обозначаться при помощи дробной черты, как x + 3 5 - 3 , 2 · x + 2 . При рассмотрении выражений вида x: 5 + 5: x или 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c видно, что такие выражения не могут быть целыми, так как в первом имеется деление на переменную x , а во втором на выражение с переменной.
Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.
Какие преобразования целых выражений возможны?
Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.
Пример 1
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .
Решение
Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · (− 2 · a) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b
После чего можем привести подобные слагаемые:
2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = (2 · a 3 − 2 · a 3) + (6 · a · b − 5 · a · b) + (− 4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b .
После их приведения получаем многочлен вида a · b + 2 · a − b .
Ответ : 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) = a · b + 2 · a − b .
Пример 2
Произвести преобразования (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .
Решение
Имеющееся деление можно заменять умножением, но на обратное число. Тогда необходимо выполнить преобразования, после которых выражение примет вид (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Теперь следует заняться приведением подобных слагаемых. Получим, что
(x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 = 3 2 · (x - 1) + 2 21 · x 2 + 1 = = 3 2 · x - 3 2 + 2 21 · x 2 + 2 21 = 2 21 · x 2 + 3 2 · x - 59 42 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42
Ответ : (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .
Пример 3
Представить выражение 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) в виде произведения.
Решение
Рассмотрев выражение, видно, что первые три слагаемые имеют общий множитель вида 6 · y , который следует вынести за скобки во время преобразования. Тогда получим, что 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x)
Видно, что получили разность двух выражений вида 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) и (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) с общим множителем x 2 + 3 · x − 1 , который необходимо вынести за скобки. Получим, что
6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − (x 3 + 4 · x))
Раскрыв скобки, имеем выражение вида (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − x 3 − 4 · x) , которое необходимо было найти по условию.
Ответ: 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − x 3 − 4 · x)
Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.
Пример 4
Преобразовать выражение (3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 .
Решение
Вы первую очередь выполняются действия в скобках. Тогда имеем, что 3 · 2 − 6 2: 9 = 3 · 2 − 3 6: 9 = 6 − 4 = 2 . После преобразований выражение принимает вид 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Известно, что 2 3 = 8 и (x 2) 4 = x 2 · 4 = x 8 , тогда можно прийти к выражению вида 8 · x 8 + 4 · x: 8 . Второе слагаемое требует замены деления на умножение из 4 · x: 8 . Сгруппировав множители, получаем, что
8 · x 8 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x
Ответ: (3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 1 2 · x .
Преобразование в многочлен
Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена.Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.
Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.
Пример 5
Представить в виде многочлена 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .
Решение
В данном выражение начать преобразования с выражения вида 4 · x − x · (15 · x + 1) , причем по правилу в начале выполнив умножение или деление, после чего сложение или вычитание. Умножим – x на 15 · x + 1 , тогда получим 4 · x − x · (15 · x + 1) = 4 · x − 15 · x 2 − x = (4 · x − x) − 15 · x 2 = 3 · x − 15 · x 2 . Заданное выражение примет вид 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) .
Далее необходимо произвести возведение во 2 степень многочлена 2 · x − 1 , получим выражение вида (2 · x − 1) 2 = (2 · x − 1) · (2 · x − 1) = 4 · x 2 + 2 · x · (− 1) − 1 · 2 · x − 1 · (− 1) = = 4 · x 2 − 4 · x + 1
Теперь можно перейти к виду 2 · (2 · x 3 − 1) + (4 · x 2 − 4 · x + 1) · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) .
Разберем умножение. Видно, что 2 · (2 · x 3 − 1) = 4 · x 3 − 2 и (4 · x 2 − 4 · x + 1) · (3 − x) = 12 · x 2 − 4 · x 3 − 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3
тогда можно сделать переход к выражению вида (4 · x 3 − 2) + (16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3) + (3 · x − 15 · x 2) .
Выполняем сложение, после чего придем к выражению:
(4 · x 3 − 2) + (16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3) + (3 · x − 15 · x 2) = = 4 · x 3 − 2 + 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3 + 3 · x − 15 · x 2 = = (4 · x 3 − 4 · x 3) + (16 · x 2 − 15 · x 2) + (− 13 · x + 3 · x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 · x + 1 = x 2 − 10 · x + 1 .
Отсюда следует, что исходное выражение имеет вид x 2 − 10 · x + 1 .
Ответ: 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) = x 2 − 10 · x + 1 .
Умножение и возведение в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.
Пример 6
Преобразовать 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .
Решение
Из формулы квадрата получим, что (2 · m + n) 2 = (2 · m) 2 + 2 · (2 · m) · n + n 2 = 4 · m 2 + 4 · m · n + n 2 , тогда произведение (m − 2 · n) · (m + 2 · n) равняется разности квадратов m и 2 · n , таким образом, равняется m 2 − 4 · n 2 . Получим, что исходное выражение примет вид 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) = 4 · (4 · m 2 + 4 · m · n + n 2) + (m 2 − 4 · n 2) = = 16 · m 2 + 16 · m · n + 4 · n 2 + m 2 − 4 · n 2 = 17 · m 2 + 16 · m · n
Ответ: 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) = 17 · m 2 + 16 · m · n .
Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.
Пример 7
Упростить выражение вида (2 · a · (− 3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2) + (5 · a · b · (− 3) · b 2)
Решение
Чаще всего многочлены и одночлены даются не стандартного вида, поэтому приходится выполнять преобразования. Следует преобразовать, чтобы получить выражение вида − 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 . Для того чтобы привести подобные, необходимо предварительно произвести умножение по правилам преобразования сложного выражения. Получаем выражение вида
− 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 = = (− 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 · a · b 3) = 6 · a 2 · b
Ответ: (2 · a · (− 3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2) + + (5 · a · b · (− 3) · b 2) = 6 · a 2 · b
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.
Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида - в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.
Рассмотрим примеры, в которых целое выражение нужно привести к стандартному виду многочлена.
Решение. Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена. Получим После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида
Решение. Если перед скобками стоит знак «плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим:
Решение. Если перед скобками стоит зиак «минус», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых» заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом паскрытия скобок, получим:
Решение. Произведение одночлена и многочлена согласно распределительному закону равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена. Получаем
Решение. Имеем
Решение. Имеем
Осталось привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим:
53. Формулы сокращенного умножения.
В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:
Эти тождества называют формулами сокращенного умножения,
Рассмотрим примеры, в которых нужно преобразовать заданное выражение в миогочлеи стандартного вида.
Пример 1. .
Решение. Воспользовавшись формулой (1), получим:
Пример 2. .
Решение.
Пример 3. .
Решение. Воспользовавшись формулой (3), получим:
Пример 4.
Решение. Воспользовавшись формулой (4), получим:
54. Разложение многочленов на множители.
Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких сомножителей - многочленов или одпочленов. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.
Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители,
1) Вынесение общего множителя за скобку. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона (для наглядности нужно лишь переписать этот закон «справа налево»):
Пример 1. Разложить на множители многочлен
Решение. .
Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена - целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.
2) Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) - (7) из п. 53, будучи прочитанными «справа налево, во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.
Пример 2. Разложить на множители .
Решение. Имеем . Применив формулу (1) (разность квадратов), получим . Применив
теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим:
Пример 3. .
Решение. Сначала вынесем за скобку общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а и b входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим:
3) Способ группировки. Он основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается однн и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители.
Пример 4. .
Решение. Произведем группировку следующим образом:
В первой группе вынесем за скобку общий множитель во второй - общий множитель 5. Получим Теперь многочлен как общий множитель вынесем за скобку: Таким образом, получаем:
Пример 5.
Решение. .
Пример 6.
Решение. Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить в виде суммы Получим
Пример 7.
Решение. Прибавим и отнимем одночлен Получим
55. Многочлены от одной переменной.
Многочлен , где a, b - числа переменная, называется многочленом первой степени; многочлен где а, b, с - числа переменная, называется многочленом второй степени или квадратным трехчленом; многочлен где а, b, с, d - числа переменная называется многочленом третьей степени.
Вообще если о, переменная, то многочлен
называется лсмогочленол степени (относительно х); , m-члены многочлена, коэффициенты, старший член многочлена, а - коэффициент при старшем члене, свободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной постепенно уменьшаются, в частности, на первом месте стоит старший член, на последнем - свободный член. Степень многочлена - это степень старшего члена.
Например, многочлен пятой степени, в котором старший член, 1 - свободный член многочлена.
Корнем многочлена называют такое значение при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена так как
Цель урока: систематизировать знания и умения учащихся применять формулы квадрата разности, суммы и разности квадратов для преобразования многочленов.
Задачи урока:
- общеобразовательная: отработка навыков и умений по преобразованию многочленов с помощью формул сокращенного умножения посредством решения письменных и устных упражнений;
- развивающая: развивать познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;
- воспитательная: воспитывать умение выслушивать других и умение общаться.
Мотивационная задача: создать ситуацию успеха на уроке через похвалу, стимулирование слабых и сильных ответов.
Организационные формы общения: коллективная, групповая, индивидуальная.
Ход урока
1-й этап. Организационный момент.
2-й этап. Мотивационная беседа с учащимися с последующей постановкой цели и темы.
Учитель: Ребята, последние несколько уроков мы с вами посвятили изучению трех формул сокращенного умножения. Какие это формулы?
Впереди у нас еще четыре формулы.
Но сегодня я предлагаю вам поработать с этими формулами и еще раз выяснить, насколько хорошо вы разобрались в данной теме.
А начать работу я хотела бы со строк мудрого Конфуция:
Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это путь самый благородный,
Путь подражания – это путь самый легкий и
Путь опыта – это путь самый горький.
Подумайте и решите для себя, ребята, по какому пути вы пойдете сегодня на уроке – это будет ваш личный выбор.
3-й этап. Актуализация опорных знаний.
Учитель: чтобы работа велась успешнее, давайте вспомним и повторим формулы квадрата суммы, разности двух чисел, разности квадратов.
Попрошу выйти к доске двоих учащихся.
Попрошу выйти к доске двух учащихся.
Задание первому ученику: доказать равенство Диофанта
(а + b)(с + d) = (ac + ab)+(bc – ad).
Задание второму ученику: оформить опорную таблицу (магнитная доска).
Собрать из отдельных фрагментов три формулы:
(a + b) 2 = a + 2ab + b
(a – b) 2 = a – 2ab + b
a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)
Фронтальная работа с учащимися.
Учитель: А мы, ребята, в это время давайте повторим правила сложения и вычитания рациональных чисел, т. к. это нам понадобится в дальнейшем на уроке.
Карточка:
-/10+5/ -5;
-/(-a +b)/ + b;
-/20*3/: (-12).
Учитель: Ребята, давайте проверим формулы на магнитной доске.
А теперь, применяя данные формулы, выполните устно следующие задания.
Замените * одночленами так, чтобы полученное равенство было тождеством:
- (* + b) 2 = 4c 2 + * + b 2 ;
- (k – *) 2 = * – * + c 2 ;
- (* + 7c) (7c – *) = 49c 2 – 81a 2
- Вычислить:
106 2 – 6 2
71 2 – 61 2 - А в следующем задании нужно проверить, правильно ли выделен полный
квадрат:
а 2 + 2а + 2 = (а + 1) 2 + 2
Учитель : Ребята давайте вернемся к доказательству равенства Диофанта и проверим его.
Предлагаю вам записать себе в тетрадь это равенство и проверить его для первых четырех последовательных чисел _(1.2.3.4).
4-й этап. Работа по теме урока.
Учитель: Ребята, чем воспользовался ученик, доказывающий равенство Диофанта?
А где еще находят применение формулы сокращенного умножения?
Давайте решим следующую задачу у доски.
Сторона квадрата равна а см. Длина прямоугольника на 2 см больше стороны квадрата, а ширина на 2 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь прямоугольника и сравните ее с площадью квадрата.
5-й этап. Физкультминутка.
6-й этап. Работа в группах “Звездная карта”.
Учитель: Итак, ребята, раз сегодня мы упомянули ли о Диофанте (доказали его равенство), вспомните, чем он занимался в основном? (Уравнениями).
Хорошо! Я предлагаю сейчас вам тоже решить в группах по 5 уравнений, в которых можно будет применить формулы сокращенного умножения, а также просветить себя в области астрономии, то есть узнать, как выглядят созвездия Цефея и Кассиопеи.
Послушайте задание.
Перед вами, ребята, фрагмент карты звездного неба. Решите уравнения и соедините последовательно звезды, которым соответствуют найденные ответы.
Работа ведется в группах, поэтому возможна взаимопомощь и взаимоконтроль.
Карточки на столе. Против каждого уравнения указан уровень сложности (1, 2, 3, 4). Каждый из нас выбирает свой уровень, решает уравнение и заносит в карточку ответ.
Затем рисуется созвездие.
|
|
Проверка по образцу.
7-й этап. Резерв (тест)
Провести классификацию данных многочленов по способу разложения их на множители.
Вариант 1.
ЗАДАНИЕ. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.
Взаимопроверка.
8-й этап. Итоги урока.
Учитель: Ребята, вы сегодня достаточно плодотворно поработали. Благодарю вас.
Но мне хотелось, чтобы вы еще раз, вспомнив этапы нашего урока, ответили на мой вопрос: где вы применяли формулы сокращенного умножения, в каком случае работа ваша намного упрощалась?
Впереди у вас еще 4 формулы. Но это будет позже, а сейчас получите домашнее задание (номера из учебника).
И в заключении, вернитесь к нашему эпиграфу. Скажите, какой для вас путь был более успешным?
Конечно, путь опыта, проб и ошибок – это самый трудный путь, но и самый верный и достойный.
Поэтому я желаю вам идти достойно и получать лишь хорошие и отличные оценки.
Оценки за урок.
