Пропорция с одним неизвестным. Как посчитать пропорцию в процентах пример. Пропорция. Основное свойство пропорции

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n – 1, n ,  .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом a n , следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:

a 1 , a 2 , a 3 , , a n –1 , a n , ,

кратко обозначаемый и называемыйчисловой последователь- ностью . Величина a n называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой a n = f (n ) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.

По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.

Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f : N  R .

Последовательность
называетсявозрастающей (убывающей ), если для любого n  N
Такие последовательности называютсястрого монотонными .

Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n 0). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2,  (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n .

Если в некоторой последовательности для любого n  N
то последовательность называетсянеубывающей (невозрастающей ). Такие последовательности называются монотонными .

Пример 1 . Числовая последовательность 1, 2, 3, 4, 5, … является рядом натуральных чисел и имеет общий член a n = n .

Пример 2 . Числовая последовательность 2, 4, 6, 8, 10, … является рядом четных чисел и имеет общий член a n = 2n .

Пример 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … − числовая последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности.

Пример 4 . Записать первых 5 членов числовой последовательности по ее общему члену
. Для вычисленияa 1 нужно в формулу для общего члена a n вместо n подставить 1, для вычисления a 2 − 2 и т. д. Тогда имеем:

Тест 6 . Общим членом последовательности 1, 2, 6, 24, 120,  является:

1)

2)

3)

4)

Тест 7 .
является:

1)

2)

3)

4)

Тест 8 . Общим членом последовательности
является:

1)

2)

3)

4)

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу А при увеличении порядкового номера n . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Число А называется пределом числовой последовательности
:

(1)

если для любого  > 0 найдется такое число n 0 = n 0 (), зависящее от , что
приn > n 0 .

Это определение означает, что А есть предел числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к А при возрастании n . Геометрически это значит, что для любого  > 0 можно найти такое число n 0 , что, начиная с n > n 0 , все члены последовательности расположены внутри интервала (А – , А + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся ; в противном случае – расходящейся .

Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный) определенного знака.

Пример 5 . Гармоническая последовательность имеет пределом число 0. Действительно, для любого интервала (–; +) в качестве номера N 0 можно взять какое-либо целое число, больше . Тогда для всехn > n 0 >имеем

Пример 6 . Последовательность 2, 5, 2, 5,  является расходящейся. Действительно, никакой интервал длины, меньшей, например, единицы, не может содержать всех членов последовательности, начиная с некоторого номера.

Последовательность называется ограниченной , если существует такое число М , что
для всехn . Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Пример 7 . Последовательность
является возрастающей и ограниченной. Она имеет предел
=е .

Число e называется числом Эйлера и приблизительно равно 2,718 28.

Тест 9 . Последовательность 1, 4, 9, 16,  является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

Тест 10 . Последовательность
является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) арифметической прогрессией;

5) геометрической прогрессией.

Тест 11 . Последовательность не является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) гармонической.

Тест 12 . Предел последовательности, заданной общим членом
равен.

Числовые последовательности

Функцию вида называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью. О бозначают y=f(n) или y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n , … Определение числовой последовательности

Рассмотрим функцию График состоит из отдельных точек. …

Получим последовательность чисел 1, 4, 9, 16, 25, …, … Последовательность квадратов натуральных чисел – I член последовательности – I I член последовательности – III член последовательности – n - ый член последовательности

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Последовательность задана аналитически, если указана формула е е n - го члена Пример 1: y n =n 2 последовательность 1,4,9,16,…, n 2 ,…

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример 2: Найти первый, третий и шестой члены последовательности

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример 3: Задать последовательность формулой n -го члена: а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Способы задания последовательности Словесное задание числовой последовательности. Правило составления последовательности описывается словами Пример: последовательность простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … последовательность кубов натуральных чисел 1, 8, 27, 64, 125, …

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Указывается правило позволяющее вычислить n- й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным (от латинского recurrere – возвращаться)

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Пример 1: y 1 = 3 , y n = y n-1 + 4 , если n = 2, 3, 4, … Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4 y 1 = 3 y 2 = y 1 + 4 = 3 + 4 = 7 y 3 = y 2 + 4 = 7 + 4 = 11 y 4 = y 3 + 4 = 11 + 4 = 1 5 и т.д. Получаем последовательность 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Пример 2: y 1 =1, y 2 =1, y n = y n-2 + y n-1 Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов y 1 =1 y 2 =1 y 3 = y 1 + y 2 = 1 + 1 = 2 y 4 = y 2 + y 3 = 1 + 2 = 3 y 5 = y 3 + y 4 = 2 + 3 = 5 и т.д. Получаем последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Выделяют 2 особенно важные рекуррентно заданные последовательности: 1) Арифметическая прогрессия у 1 = а, у n = у n-1 + d , а и d – числа, n = 2, 3, … 2) Геометрическая прогрессия у 1 = b , у n = у n-1 · q , b и q – числа, n = 2, 3, …

Монотонные последовательности Последовательность (у n) – возрастающая, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е. у 1 1 , то последовательность у n = а n – возрастает. Последовательность (у n) – убывающая, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у 1 > у 2 > у 3 > у 4 > … > у n > … Пример: -1, -3, -5, -7, -9, … Если 0

Монотонные последовательности Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. П оследовательности, которые не возрастают и не убывают, являются немонотонными.

В классе № 15.3, 15.7, 15.8, 15.10 Домашнее задание № 15.4, 15.6, 15.9, 15.11

МОУ «Средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов № 38»

Кафедра ЕМЦ

Конспект урока алгебры 9 класс

по теме :

Провела: учитель математики

Борисова Н. А.

Тема урока: Числовая последовательность

Цели:

Образовательная: ввести понятие «числовая последовательность», «n-ый член последовательности»; познакомить учащихся с видами последовательностей и способами задания последовательности.

Развивающая: развитие самостоятельности, взаимопомощи при работе в группе; развитие мышления, логики.

Воспитательная: воспитание активности и аккуратности.

Оборудование: компьютер, презентация в PowerPoint, дидактические материалы.

Ход урока:

Организационный момент

Вступительное слово учителя.

Здравствуйте, ребята. Сегодня м ы приступим к изучению одной из самых интересных темы алгебры 9 класса – «Числовые последовательности». (Слайд)

На уроке мы познакомимся с понятием «числовая последовательность», рассмотрим виды последовательностей и способы их задания.

Запишите в тетрадях число и тему урока- «Числовая последовательность»

Переходим к устной работе

Устная работа.

Задача 1. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

Задача 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на 2. сколько бактерий будет в колонии, рожденной одной бактерией за 4 минуты?

(Слайд)

Для того чтобы ответить, на вопрос задачи нам необходимо было составить определенную числовую последовательность

Что бы дать определение числовой последовательности и ответить на следующие вопросы обратимся к тексту учебника

3. Изучение нового материала.

Прочитайте текст параграфа и ответьте на поставленные вопросы. (Самостоятельная работа по учебнику)

Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры.

Что такое числовая последовательность?

Обозначение числовой последовательности.

Какие последовательности существуют?

Назовите способы задания последовательности.

(Слайд)

Ответы:

1.Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких явлений и событий.

Дни недели, названия месяцев, возраст человека, номер счёта в банке, последовательно происходит смена дня и ночи, последовательно увеличивает скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д.

2. Что такое последовательность?

Определение: Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел

Вывод:

Числовая последовательность

1) функция

2) ее область определения – множество N.

3.Обозначение.

Виды последовательностей. Примеры

Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие, монотонные.

Задание №1

(Слайд)

Определите вид последовательности

1) 1, 2, 3, 4, 5, : - последовательность натуральных чисел;

2) 2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;

3) 1, 4, 9, 16, 25, : - последовательность квадратов натуральных чисел;

4) 2, 3, 5, 7, 11, : - последовательность простых чисел;

5) - последовательность чисел, обратных натуральным.

6) 1,2,3,4,6,8,12,24 – последовательность чисел, являющихся делителями числа 24

Способы задания последовательности. Примеры.

Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

- Словесный - правило составления последовательности выражается словесным описанием.

Примеры.

1) Последовательность простых двузначных чисел, меньших 50, есть конечная последовательность:

11, 13, 17, 19, 23, 29. 31, 37. 41, 43, 47;

2) Последовательность четных чисел:

2,4,6,8,10…

(Слайд)

- Табличный.

п

1

2

3

4

5

а п

3

6

9

12

15

(Слайд)

- Графический.

Графиком последовательности как функции, заданной на множестве натуральных чисел, являются отдельные, изолированные точки координатной плоскости.

Примеры:
1) последовательность a n =3 n -2 можно рассматривать как функцию у=3х-2, где

х N ;
2) Последовательность a n = n 2 можно рассматривать как функцию у=х 2 , где х N .

(Слайд)

- Аналитический.

указывается формула n-го члена последовательности

Пример. Последовательность квадратов натуральных чисел задаётся формулой

а n = n 2

- Рекуррентный ( от лат. слова recurrens – «возвращающийся»)- указывается правило позволяющее вычислить n-й член данной последовательности, если известны все её предыдущие члены.

Пример .

a 1 =1, a n =a n-1 ∙n, если n≥2.

Вычислим несколько первых членов этой последовательности:

1, 2, 6, 24, 120, … .

(Слайд)

Вывод: Для рекуррентного задания последовательности необходимо:

1) знать один или два первых члена последовательности

2) указать правило для вычисления следующих членов последовательности

Итак, числовую последовательность можно задать: словесно, аналитически, рекуррентно, графически и при помощи таблицы

4.Историческая справка

Знаменитые последовательности

На прошлом уроке 2 учащихся нашего класса получили задание: самостоятельно, используя интернет ресурсы подготовить сообщение из и стории математики о знаменитых последовательностях .

Слово предоставляется…

Числа Фибоначчи. Приложение

(Слайд)

Треугольник Паскаля. Приложение

(Слайд)

5.Закрепление изученного

(По одному человеку решают у доски, остальные - в тетрадях).

№224(1,3,5)

1) а n = 2 n + 3; 3) а n = 100 – 10 n 2 ;

а 1 = 2  1 + 3 = 5; а 1 = 100 – 10  1 2 = 90;

а 2 = 2  2 + 3 = 7; а 2 = 100 – 10  2 2 = 60;

а 3 = 2  + 3 = 9. а 3 = 100 – 10  3 2 = 10.

5) ; а 1 = 1; а 2 = ; а 3 = .

Задача (Слайд)

Шары, размещенные в виде треугольника так, что в первом ряду - 1 шар, во втором - 2 шара, в третьем - 3 и т.д. Сколько нужно шаров, чтобы составить треугольник из 3 рядов, 5 рядов, 7 рядов?

Это интересно!

Числовые последовательности в литературе

(Слайд)

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

... Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...

Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют числовую последовательность с первым членом 2 .

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют числовую последовательность: 1; 3; 5; 7...

Примеры

Ямб

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Последовательность: 2; 4; 6; 8...

Хорей

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»

Последовательность 1; 3; 5; 7...

7. Тестовая проверочная работа

1.Последовательность задана формулой a n =5 n +2 . Чему равен её третий член?

а) 3 б)17

в) 12 г) 22

2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой a n = n 8.Подведение итогов.

Итак, мы познакомились с понятием числовая последовательность и рассмотрели способы её задания.

Ответьте на вопросы:

Что такое последовательность?

Какие виды последовательностей вы узнали?

Какие способы задания вы узнали?

О каких ученых и их трудах вы узнали?

Домашнее задание :

Глава IV п.17 № 224(чет), №226

Урок и презентация на тему:
"Числовые последовательности. Способы задания"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие "Геометрия за 10 минут" для 9 класса
Интерактивное учебное пособие для 9 класса "Правила и упражнения по геометрии"

Числовые последовательности, примеры

Ребята, мы переходим к изучению новой темы - числовые последовательности. Из названия понятно, что мы будем рассматривать последовательность чисел, например последовательность чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9 – последовательность первых десяти чисел.

Числовые последовательности принято рассматривать в виде похожем на задание функций. $y=f(n)$, где n натуральное число.

Хорошо известную нам функцию $y=x^2$, мы можем записать в виде числовой последовательности $y=n^2$. Мы получим последовательность квадратов натуральных чисел: 1,4,9,16…
А нужны ли нам последовательности в реальной жизни?
Предположим у нас есть некоторый счет в банке, на который раз в месяц начисляют некоторую конкретную сумму денег. Так вот такое начисление можно описать в виде числовой последовательности: $y=а+n*b$, где а - начальная сумма на счете, b – сумма которую каждый месяц начисляют, n – натуральное число.
Если мы хотим подсчитать какая сумма будет находиться в банке через 12 месяцев: $y(12)=а+12*b$.
Чтобы сильно не путаться с функциями, математики приняли обозначение последовательностей вот в таком виде: вместо f(1) принято писать $y_{1}$, f(2) → $y_{2}$ ...
f(n)→ $y_{n}$.
Пусть дана функция $y=n^2$, тогда члены числовой последовательности запишутся как:
$y_{1}=1$,
$y_{2}=4$,
$y_{3}=9$,
…
$y_{n}=n^2$.

Определение числовой последовательности

Определение. Функцию $y=f(х)$, хϵN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью, обозначают как $y=f(n)$ или $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ … $y_{n}$. Для $y_{n}$, n – индекс, он задает порядковый номер элемента последовательности.
Если в последовательности встречаются многоточия, то так принято обозначать последующие члены. Для последовательности $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ … $y_{n}$, имеется ввиду что после $y_{3}$ идут $y_{4}$, $y_{5}$, $y_{6}$ и так далее. Возле члена $y_{n}$ подразумевается запись $y_{n-1}$, $y_{n}$, $y_{n+1}$.
Последовательности можно обозначать любыми буквами латинского алфавита.

Способы задания числовых последовательностей

1. Аналитический способ
Последовательность задана аналитически, если задана формула n-ого члена последовательности.
$y_{n}=f(n)$- аналитический способ задания последовательности.

Пример. Последовательность задана аналитически $y_{n}=(-1)^n\frac{1}{n^2}$.
Запишем последовательно несколько первых членов:
$y_{1}=(-1)^1\frac{1}{1^2}=-1$.
$y_{2}=(-1)^2\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.
$y_{3}=(-1)^3\frac{1}{3^2}=-\frac{1}{9}$.
$y_{4}=(-1)^4\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$.
Зная начальную формулу, нетрудно найти любой член последовательности. Давайте найдем 10 член последовательности, в исходной формуле вместо n подставим 10:
$y_{10}=(-1)^{10}\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}$.

Пример. $y_{n}=C$.
Наша последовательность всегда принимает значение равное С, то есть имеет вид: С,С,С,С… Такую последовательность называют стационарной.
Зная формулу n-ого члена последовательности, нетрудно найти любой член последовательности. А вот если задана последовательность, но неизвестна формула для n-ого члена, чаще всего удается задать последовательность в аналитическом виде.

Пример. Дана последовательность 1,3,5,7,9…
Очевидно, что перед нами последовательность нечетных чисел. Тогда аналитическая форма будет в таком виде: $y_{n}=2n-1$.

Пример. Дана последовательность 5,15,20,25…
Номер члена последовательности умножается на пять, тогда в аналитическом виде имеем: $y_{n}=5n$.

Пример. 8,13,18,23…
Каждый член последовательности на 5 больше предыдущего. $8=5+3$, тогда получаем, что наша последовательность задана в виде: $y_{n}=5n-3$.

Пример. $\frac{2}{1};\frac{3}{4};\frac{4}{9};\frac{5}{16}$.
Аналитическая запись нашей последовательности: $y_{n}=\frac{n+1}{n^2}$.

2. Словесное задание последовательности
Чаще всего такой способ применяют, когда нет возможности задать последовательность аналитически (или это очень сложно) или последовательность состоит из небольшого количества членов.

Пример. 1,3,5,6,9,10,15.
Нашу последовательность задать в аналитической форме не представляется возможным, тогда просто произносят члены последовательности.

3. Рекуррентное задание последовательности
Данный способ позволяет вычислять члены последовательности, через предыдущие ее члены.
Используя данный способ, мы как бы всегда возвращаемся назад, вычисляя предыдущие члены. Почти всегда задана формула, позволяющая вычислять n член через предыдущие члены.

Пример. $y_{1}=2$, $y_{n}=y_{n-1}+2$, если n=2,3,4… Каждый новый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему двойки.
$y_{2}=y_{1}+2=2+2=4$,
$y_{3}=y_{2}+2=4+2=6$,
$y_{4}=y_{3}+2=6+2=8$.
Последовательность можно задать и аналитически: $y_{n}=2n$.

Пример. $y_{1}=2$, $y_{2}=4$, $y_{n}=y_{n-2}-y_{n-1}$, если n=3,4,5….
Каждый новый член последовательности получается из разности двух предыдущих членов.
$y_{3}=y_{2}-y_{1}=4-2=2$.
$y_{4}=y_{3}-y_{2}=2-4=-2$.
$y_{5}=y_{4}-y_{3}=-2-2=-4$.
$y_{6}=y_{5}-y_{4}=-4-(-2)=-2$.
$y_{7}=y_{6}-y_{5}=-2-(-4)=2$.
$y_{8}=y_{7}-y_{6}=2-(-2)=4$.
Наша последовательность представляет собой: 2;4;2;-2;-4;-2;2;4….

Монотонные последовательности

Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего.

Последовательность называется убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего.

Убывающие и возрастающие последовательности называют монотонными последовательностями.

Пример. 1,3,5,7,9…. – возрастающая последовательность.
Пример. 1,-1,-3,-5… – убывающая последовательность.
Пример. 1,-1,3,-3,5,-5… – ни возрастающая, ни убывающая последовательность.
Пример. $y_{n}=2^n$. Члены нашей последовательности: 2,4,8,16…. Последовательность возрастает.
$y_{n}=a^n$, если $а>1$, то последовательность возрастает, если $0

Задачи на числовые последовательности для самостоятельного решения

1. Задать последовательность в аналитическом виде: а) 4,8,12,16…; б) 1,-1,1,-1….
2. Последовательность задана в аналитической форме $y_{n}=2n+10$.
Найти 10,50,63 член последовательности.
3. Последовательность задана в аналитической форме $y_{n}=n^2+2$.
Найти 5,10,13 член последовательности.
4. Последовательность задана в рекурсивном виде $y_{1}=5$, $y_{n}=y_{n-1}-3$, если n=2,3,4…
Найти 5,11,12 член последовательности.
5. Последовательность задана в рекурсивном виде $y_{1}=3$, $y_{2}=8$, $y_{n}=2y_{n-2}+3y_{n-1}$,
если n=3,4,5…. Найти 3,4,9 член последовательности.

§ 125. Понятие о пропорции.

Пропорцией называется равенство двух отношений. Вот примеры равенств, называемых пропорциями:

Примечание. Наименования величин в пропорциях не указаны.

Пропорции принято читать следующим образом: 2 так относится к 1 (единице), как 10 относится к 5 (первая пропорция). Можно читать иначе, например: 2 во столько раз больше 1, во сколько раз 10 больше 5. Третью пропорцию можно прочесть так: - 0,5 во столько раз меньше 2, во сколько раз 0,75 меньше 3.

Числа, входящие в пропорцию, называются членами пропорции . Значит, пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними , а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Значит, в первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними членами, а числа 1 и 10 - средними членами пропорции.

§ 126. Основное свойство пропорции.

Рассмотрим пропорцию:

Перемножим отдельно её крайние и средние члены. Произведение крайних 6 4 = 24, произведение средних 3 8 = 24.

Рассмотрим другую пропорцию: 10: 5 = 12: 6. Перемножим и здесь отдельно крайние и средние члены.

Произведение крайних 10 6 = 60, произведение средних 5 12 = 60.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.

В общем виде основное свойство пропорции записывается так: ad = bc .

Проверим его на нескольких пропорциях:

1) 12: 4 = 30: 10.

Пропорция эта верна, так как равны отношения, из которых она составлена. Вместе с тем, взяв произведение крайних членов пропорции (12 10) и произведение средних её членов (4 30), мы увидим, что они равны между собой, т. е.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Пропорция верна, в чём легко убедиться, упростив первое и второе отношения. Основное свойство пропорции примет вид:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Нетрудно убедиться в том, что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение двух каких-нибудь чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.

Пусть у нас имеется равенство, в которое входят четыре числа, попарно перемноженные:

эти четыре числа могут быть членами пропорции, которую нетрудно написать, если принять первое произведение за произведение крайних членов, а второе - за произведение средних. Изданного равенства можно составить, например, такую пропорцию:

Вообще, из равенства ad = bc можно получить следующие пропорции:

Проделайте самостоятельно следующее упражнение. Имея произведение двух пар чисел, напишите пропорцию, соответствующую каждому равенству:

а) 1 6 = 2 3;

б) 2 15 = б 5.

§ 127. Вычисление неизвестных членов пропорции.

Основное свойство пропорции позволяет вычислить любой из членов пропорции, если он неизвестен. Возьмём пропорцию:

х : 4 = 15: 3.

В этой пропорции неизвестен один крайний член. Мы знаем, что во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. На этом основании мы можем написать:

x 3 = 4 15.

После умножения 4 на 15 мы можем переписать это равенство так:

х 3 = 60.

Рассмотрим это равенство. В нём первый сомножитель неизвестен, второй сомножитель известен и произведение известно. Мы знаем, что для нахождения неизвестного сомножителя достаточно произведение разделить на другой (известный) сомножитель. Тогда получится:

х = 60: 3, или х = 20.

Проверим найденный результат подстановкой числа 20 вместо х в данную пропорцию:

Пропорция верна.

Подумаем, какие действия нам пришлось выполнить для вычисления неизвестного крайнего члена пропорции. Из четырёх членов пропорции нам был неизвестен только один крайний; два средних и второй крайний были известны. Для нахождения крайнего члена пропорции мы сначала перемножили средние члены (4 и 15), а затем найденное произведение разделили на известный крайний член. Сейчас мы покажем, что действия не изменились бы, если бы искомый крайний член пропорции стоял не на первом месте, а на последнем. Возьмём пропорцию:

70: 10 = 21: х .

Запишем основное свойство пропорции: 70 х = 10 21.

Перемножив числа 10 и 21, перепишем равенство в таком виде:

70 х = 210.

Здесь неизвестен один сомножитель, для его вычисления достаточно произведение (210) разделить на другой сомножитель (70),

х = 210: 70; х = 3.

Таким образом, мы можем сказать, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний.

Перейдём теперь к вычислению неизвестного среднего члена. Возьмём пропорцию:

30: х = 27: 9.

Напишем основное свойство пропорции:

30 9 = х 27.

Вычислим произведение 30 на 9 и переставим части последнего равенства:

х 27 = 270.

Найдём неизвестный сомножитель:

х = 270: 27, или х = 10.

Проверим подстановкой:

30: 10 = 27: 9. Пропорция верна.

Возьмём ещё одну пропорцию:

12: б = х : 8. Напишем основное свойство пропорции:

12 . 8 = 6 х . Перемножая 12 и 8 и переставляя части равенства, получим:

6 х = 96. Находим неизвестный сомножитель:

х = 96: 6, или х = 16.

Таким образом, каждый средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний.

Найдите неизвестные члены следующих пропорций:

1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .

Два последних правила в общем виде можно записать так:

1) Если пропорция имеет вид:

х: а = b: с , то

2) Если пропорция имеет вид:

а: х = b: с , то

§ 128. Упрощение пропорции и перестановка её членов.

В настоящем параграфе мы выведем правила, позволяющие упрощать пропорцию в том случае, когда в неё входят большие числа или дробные члены. K числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относятся следующие:

1. Одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз.

П р и м е р. 40: 10 = 60: 15.

Увеличив в 3 раза оба члена первого отношения, получим:

120:30 = 60: 15.

Пропорция не нарушилась.

Уменьшив в 5 раз оба члена второго отношения, получим:

Получили опять правильную пропорцию.

2. Одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз.

Пример. 16:8 = 40:20.

Увеличим в 2 раза предыдущие члены обоих отношений:

Получили правильную пропорцию.

Уменьшим в 4 раза последующие члены обоих отношений:

Пропорция не нарушилась.

Два полученных вывода можно кратко высказать так: Пропорция не нарушится, если мы одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.

Например, уменьшив в 4 раза 1-й крайний и 2-й средний члены пропорции 16:8 = 40:20, получим:

3. Одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз. Пример. 36:12 = 60:20. Увеличим все четыре числа в 2 раза:

Пропорция не нарушилась. Уменьшим все четыре числа в 4 раза:

Пропорция верна.

Перечисленные преобразования дают возможность, во-первых, упрощать пропорции, а во-вторых, освобождать их от дробных членов. Приведём примеры.

1) Пусть имеется пропорция:

200: 25 = 56: x .

В ней членами первого отношения являются сравнительно большие числа, и если бы мы пожелали найти значение х , то нам пришлось бы выполнять вычисления над этими числами; но мы знаем, что пропорция не нарушится, если оба члена отношения разделить на одно и то же число. Разделим каждый из них на 25. Пропорция примет вид:

8:1 = 56: x .

Мы получили, таким образом, более удобную пропорцию, из которой х можно найти в уме:

2) Возьмём пропорцию:

2: 1 / 2 = 20: 5.

В этой пропорции есть дробный член (1 / 2), от которого можно освободиться. Для этого придётся умножить этот член, например, на 2. Но о д и н средний член пропорции мы не имеем права увеличивать; нужно вместе с ним увеличить какой-нибудь из крайних членов; тогда пропорция не нарушится (на основании первых двух пунктов). Увеличим первый из крайних членов

(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, или 4: 1 = 20:5.

Увеличим второй крайний член:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), или 2: 1 = 20: 10.

Рассмотрим ещё три примера на освобождение пропорции от дробных членов.

Пример 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.

Приведём дроби к общему знаменателю:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим:

Пример 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 . Приведём дроби к общему знаменателю:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Умножим оба последующих члена на 14, получим: 12:15 = 16:20.

Пример 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6 .

Умножим все члены пропорции на 48:

24: 1 = 960: 40.

При решении задач, в которых встречаются какие-нибудь пропорции, часто приходится для разных целей переставлять члены пропорции. Рассмотрим, какие перестановки являются законными, т. е. не нарушающими пропорции. Возьмём пропорцию:

3: 5 = 12: 20. (1)

Переставив в ней крайние члены, получим:

20: 5 = 12:3. (2)

Переставим теперь средние члены:

3:12 = 5: 20. (3)

Переставим одновременно и крайние, и средние члены:

20: 12 = 5: 3. (4)

Все эти пропорции верны. Теперь поставим первое отношение на место второго, а второе - на место первого. Получится пропорция:

12: 20 = 3: 5. (5)

В этой пропорции мы сделаем те же перестановки, какие делали раньше, т. е. переставим сначала крайние члены, затем средние и, наконец, одновременно и крайние, и средние. Получатся ещё три пропорции, которые тоже будут справедливыми:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Итак, из одной данной пропорции путём перестановки можно получить ещё 7 пропорций, что вместе с данной составляет 8 пропорций.

Особенно легко обнаруживается справедливость всех этих пропорций при буквенной записи. Полученные выше 8 пропорций принимают вид:

а: b = с: d; c: d = a: b ;

d: b = с: a; b: d = a: c;

a: c = b: d; c: a = d: b;

d: c = b: a; b: a = d: c.

Легко видеть, что в каждой из этих пропорций основное свойство принимает вид:

ad = bc.

Таким образом, указанные перестановки не нарушают справедливости пропорции и ими можно пользоваться в случае надобности.