Това, което се нарича тангенс на ъгъл алфа. Синус, косинус, тангенс: какво е това? Как да намерим синус, косинус и тангенс? Универсални тригонометрични формули за заместване

Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс на произволен ъгъл

Синус, косинус на произволен ъгъл

За да разберем какво представляват тригонометричните функции, нека се обърнем към кръг с единичен радиус. Тази окръжност е центрирана в началото на координатната равнина. За да определим дадените функции, ще използваме радиус вектора ИЛИ, която започва в центъра на кръга, и точката Ре точка от окръжността. Този радиус вектор образува ъгъл алфа с оста ОХ. Тъй като окръжността има радиус, равен на единица, тогава ИЛИ = R = 1.

Ако от точката Рпуснете перпендикуляр върху оста ОХ, тогава получаваме правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на едно.

Ако радиус векторът се движи по посока на часовниковата стрелка, тогава тази посока се нарича отрицателен, но ако се движи обратно на часовниковата стрелка - положителен.

Синус на ъгъл ИЛИ, е ординатата на точката Рвектори върху окръжност.

Тоест, за да се получи стойността на синуса на даден ъгъл алфа, е необходимо да се определи координатата Прина повърхността.

Как е получена тази стойност? Тъй като знаем, че синусът на произволен ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към хипотенузата, получаваме, че

И тъй като R=1, Че sin(α) = y 0 .

В единичния кръг стойността на ординатата не може да бъде по-малка от -1 и по-голяма от 1, което означава, че

Синусът е положителен в първата и втората четвърт на единичната окръжност и отрицателен в третата и четвъртата.

Косинус на ъгълдадена окръжност, образувана от радиус вектора ИЛИ, е абсцисата на точката Рвектори върху окръжност.

Тоест, за да се получи стойността на косинуса на даден ъгъл алфа, е необходимо да се определи координатата хна повърхността.

Косинусът на произволен ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата, получаваме това

И тъй като R=1, Че cos(α) = x 0 .

В единичния кръг стойността на абсцисата не може да бъде по-малка от -1 и по-голяма от 1, което означава, че

Косинусът е положителен в първия и четвъртия квадрант на единичната окръжност и отрицателен във втория и третия.

допирателнапроизволен ъгълизчислява се отношението на синус към косинус.

Ако разгледаме правоъгълен триъгълник, тогава това е съотношението на противоположния крак към съседния. Ако говорим за единична окръжност, тогава това е отношението на ординатата към абсцисата.

Съдейки по тези отношения, може да се разбере, че допирателната не може да съществува, ако стойността на абсцисата е нула, тоест под ъгъл от 90 градуса. Тангенсът може да приема всички други стойности.

Допирателната е положителна в първата и третата четвърт на единичната окръжност и отрицателна във втората и четвъртата.

Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).

Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата по оста и координатата по оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, помнете за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.

На какво е равно от триъгълник? Това е вярно. Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност и следователно, . Заместете тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:

И на какво е равно от триъгълник? Добре, разбира се, ! Заместете стойността на радиуса в тази формула и получете:

И така, можете ли да ми кажете какви са координатите на точка, която принадлежи на окръжността? Е, няма начин? И ако осъзнаете, че и са само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! На коя координата отговаря? Точно така, координирайте! Така точката.

И какво тогава са равни и? Точно така, нека използваме подходящите определения за тангенс и котангенс и да получим това, а.

Ами ако ъгълът е по-голям? Ето, например, като на тази снимка:

Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, отново се обръщаме към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Каква е стойността на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:

Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения са приложими за всякакви ротации на радиус вектора.

Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена големина, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.

И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжността е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти с или с? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи едно пълно завъртане и ще спре в позиция или.

Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.

Така от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.

Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани с общата формула или (където е цяло число)

Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите на какво са равни стойностите:

Ето единичен кръг, за да ви помогне:

Някакви трудности? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:

От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени мерки на ъгъла. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:

Не съществува;

Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами, след това проверете отговорите.

Отговори:

Не съществува

Не съществува

Не съществува

Не съществува

Така можем да направим следната таблица:

Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:

Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:

Не се страхувайте, сега ще покажем един от примерите доста просто запаметяване на съответните стойности:

За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъла (), както и стойността на тангенса на ъгъла в. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинусите се прехвърлят в съответствие със стрелките, тоест:

Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, показани на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелки, тогава ще бъде достатъчно да запомните цялата стойност от таблицата.

Координати на точка върху окръжност

Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?

Е, разбира се, че можете! Да изведем обща формула за намиране на координатите на точка.

Ето, например, имаме такъв кръг:

Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на точката на градуси.

Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на окръжността, тоест е равна на. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:

Тогава имаме това за координатата на точката.

По същата логика намираме стойността на y координатата за точката. По този начин,

И така, най-общо казано, координатите на точките се определят по формулите:

Координати на центъра на кръга,

радиус на кръга,

Ъгъл на завъртане на радиус вектора.

Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са нула, а радиусът е равен на едно:

Е, нека опитаме тези формули за вкус, упражнявайки се да намираме точки върху окръжност?

1. Намерете координатите на точка върху единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.

2. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.

3. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.

4. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

5. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?

Решете тези пет примера (или разберете добре решението) и ще научите как да ги намирате!

1.

Вижда се, че. И знаем какво съответства на пълен завой на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:

2. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Вижда се, че. Знаем какво съответства на две пълни завъртания на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:

Синус и косинус са таблични стойности. Помним техните стойности и получаваме:

Така желаната точка има координати.

3. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Вижда се, че. Нека изобразим разглеждания пример на фигурата:

Радиусът сключва ъгли с оста, равни на и. Знаейки, че табличните стойности на косинуса и синуса са равни и след като определихме, че косинусът тук приема отрицателна стойност, а синусът е положителен, имаме:

Подобни примери се анализират по-подробно при изучаване на формулите за намаляване на тригонометричните функции в темата.

Така желаната точка има координати.

4.

Ъгъл на въртене на радиуса на вектора (по условие)

За да определим съответните знаци на синус и косинус, изграждаме единична окръжност и ъгъл:

Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:

Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:

Така желаната точка има координати.

5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където

Координатите на центъра на кръга (в нашия пример,

Радиус на окръжност (по условие)

Ъгъл на завъртане на радиус вектора (по условие).

Заменете всички стойности във формулата и получете:

и - таблични стойности. Запомняме ги и ги заместваме във формулата:

Така желаната точка има координати.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.

Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близък).

Котангенсът на ъгъл е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).

ИЗПОЛЗВАНЕ за 4? Не се ли пръскаш от щастие?

Въпросът, както се казва, е интересен ... Можете, можете да преминете на 4! И в същото време не се спукайте ... Основното условие е да практикувате редовно. Ето основната подготовка за изпита по математика. С всички тайни и мистерии на Единния държавен изпит, за които няма да прочетете в учебниците... Проучете този раздел, решете повече задачи от различни източници - и всичко ще се получи! Предполага се, че основният раздел "Стига за теб и трима!" не ви създава проблеми. Но ако изведнъж ... Следвайте връзките, не бъдете мързеливи!

И ще започнем с една страхотна и ужасна тема.

Тригонометрия

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Тази тема създава много проблеми на учениците. Смята се за един от най-тежките. Какво е синус и косинус? Какво е тангенс и котангенс? Какво е числова окръжност?Струва си да зададете тези безобидни въпроси, тъй като човек пребледнява и се опитва да отклони разговора встрани ... Но напразно. Това са прости концепции. И тази тема не е по-трудна от другите. Просто трябва ясно да разберете отговорите на тези въпроси от самото начало. Много е важно. Ако сте разбрали, тригонометрията ще ви хареса. Така,

Какво е синус и косинус? Какво е тангенс и котангенс?

Да започнем от древността. Спокойно, за 15 минути ще преминем през всичките 20 века тригонометрия и неусетно за себе си ще повторим част от геометрията от 8 клас.

Начертайте правоъгълен триъгълник със страни a, b, cи ъгъл х. Ето един.

Нека ви напомня, че страните, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. a и c- кънки. Двама са. Другата страна се нарича хипотенуза. с- хипотенуза.

Триъгълник и триъгълник, помислете за това! Какво да правя с него? Но древните хора са знаели какво да правят! Нека повторим техните действия. Да измерим страната V. На фигурата клетките са специално нарисувани, както се случва в задачите на изпита. отстрани Vе равно на четири клетки. ДОБРЕ. Да измерим страната А.Три клетки.

Сега нека разделим дължината на страната Ана дължина на страната V. Или, както се казва, да вземем съотношението АДа се V. климатик= 3/4.

Като алтернатива можете да споделите VНа А.Получаваме 4/3. Мога Vразделете на с.хипотенуза сне броим по клетки, а е равно на 5. Получаваме климатик= 4/5. Накратко, можете да разделите дължините на страните една на друга и да получите някои числа.

Какво от това? Какъв е смисълът от тази интересна дейност? Досега никакви. Глупава работа, честно казано.)

А сега нека направим това. Нека увеличим триъгълника. Нека разширим страните до и от, но така че триъгълникът да остане правоъгълен. Ъгъл х, разбира се, не се променя. За да го видите, задръжте курсора на мишката върху снимката или я докоснете (ако имате таблет). Партита a, b и cпревръщам се в m, n, kи, разбира се, дължините на страните ще се променят.

Но връзката им не е!

Поведение климатикбеше: климатик= 3/4, стана м/н= 6/8 = 3/4. Отношенията на други заинтересовани страни също няма да се промени . Можете произволно да променяте дължините на страните в правоъгълен триъгълник, да увеличавате, намалявате, без промяна на ъгъла x – отношенията на съответните страни няма да се променят . Можете да проверите или можете да повярвате на думата на древните хора.

Сега това е много важно! Съотношенията на страните в правоъгълен триъгълник не зависят по никакъв начин от дължините на страните (за един и същи ъгъл). Това е толкова важно, че отношенията на страните са спечелили специалните си имена. Имената им, така да се каже.) Запознайте се.

Колко е синусът на ъгъл x ? Това е отношението на противоположния катет към хипотенузата:

sinx = a/c

Колко е косинусът на ъгъл x ? Това е отношението на съседния катет към хипотенузата:

сosx= климатик

Колко е тангенса на ъгъла x ? Това е съотношението на противоположния крак към съседния:

tgx=климатик

Колко е котангенсът на ъгъл x ? Това е съотношението на съседния крак към противоположния:

ctgx = in/a

Всичко е много просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс са някои числа. Безразмерен. Само цифри. За всеки ъгъл - свой собствен.

Защо се повтарям толкова скучно? Тогава какво е трябва да запомните. Иронично помня. Запаметяването може да бъде улеснено. Фразата "Да започнем отдалеч ..." е позната? Така че започнете отдалеч.

синуситеъгълът е съотношението отдалеченот ъгъла на катета към хипотенузата. Косинусе отношението на най-близката към хипотенузата.

Допирателнаъгълът е съотношението отдалеченот ъгъла на катетъра до най-близкия. Котангенс- обратно.

Вече по-лесно, нали?

Е, ако помните, че само катетите са в тангенса и котангенса, а хипотенузата се появява в синуса и косинуса, тогава всичко ще стане съвсем просто.

Цялото това славно семейство - синус, косинус, тангенс и котангенс се нарича още тригонометрични функции.

А сега един въпрос за размисъл.

Защо казваме синус, косинус, тангенс и котангенс ъгъл?Говорим за отношенията на страните като... Какво общо има ъгъл?

Нека да разгледаме втората снимка. Абсолютно същото като първото.

Задръжте курсора на мишката върху снимката. Смених ъгъла х. го увеличи от x към x.Всички отношения са променени! Поведение климатикбеше 3/4 и съответното съотношение t/inстана 6/4.

И всички други отношения са станали различни!

Следователно съотношенията на страните не зависят по никакъв начин от дължините им (при един ъгъл х), а рязко зависят точно от този ъгъл! И само от него.Следователно термините синус, косинус, тангенс и котангенс се отнасят за ъгъл.Ъгълът тук е основният.

По ирония на съдбата трябва да се разбере, че ъгълът е неразривно свързан с неговите тригонометрични функции. Всеки ъгъл има свой синус и косинус. И почти всеки има свой тангенс и котангенс.Важно е. Смята се, че ако ни е даден ъгъл, тогава неговите синус, косинус, тангенс и котангенс ние знаем ! И обратно. Даден е синус или друга тригонометрична функция, тогава знаем ъгъла.

Има специални таблици, където за всеки ъгъл са записани неговите тригонометрични функции. Таблиците на Bradys се наричат. Те са правени много дълго време. Навремето, когато нямаше калкулатори или компютри...

Разбира се, тригонометричните функции на всички ъгли не могат да бъдат запомнени. Трябва да ги познавате само от няколко ъгъла, повече за това по-късно. Но заклинанието Знам ъгъл, така че знам тригонометричните му функции" -винаги работи!

И така повторихме част от геометрията от 8 клас. Трябва ли ни за изпита? Необходимо. Ето една типична задача от изпита. За чието решение е достатъчен 8 клас. Дадена снимка:

Всичко. Няма повече данни. Трябва да намерим дължината на крака BC.

Клетките помагат малко, триъгълникът е някак неправилно разположен .... Нарочно, предполагам ... От информацията има дължина на хипотенузата. 8 клетки. По някаква причина е даден ъгъл.

Тук трябва незабавно да си спомним за тригонометрията. Има ъгъл, така че знаем всичките му тригонометрични функции. Коя функция от четирите трябва да се задейства? Да видим какво знаем, става ли? Знаем хипотенузата, ъгъла, но трябва да намерим съседенна този ъгъл catet! Ясно е, че косинусът трябва да бъде приведен в действие! Тук започваме. Ние просто пишем, по дефиниция на косинус (съотношение съседенкатет към хипотенуза):

cosC = BC/8

Ъгъл C е 60 градуса и неговият косинус е 1/2. Трябва да знаете това, без никакви таблици! Това е:

1/2 = слънце/8

Елементарно линейно уравнение. неизвестен - слънце. Който е забравил как се решават уравнения, да се разходи по линка, останалите решават:

слънце = 4

Когато древните хора разбрали, че всеки ъгъл има свой собствен набор от тригонометрични функции, те имали разумен въпрос. Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът не са ли по някакъв начин свързани помежду си?Така че като знаете една функция на ъгъла, можете да намерите останалите? Без да изчислявате самия ъгъл?

Ето как бяха неспокойни ...)

Връзка между тригонометричните функции на един ъгъл.

Разбира се, синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на същия ъгъл са свързани. Всяка връзка между изразите се дава в математиката чрез формули. В тригонометрията има огромен брой формули. Но тук ще разгледаме най-основните. Тези формули се наричат: основни тригонометрични тъждества.Ето ги и тях:

Тези формули трябва да знаят желязо. Без тях изобщо няма какво да се прави в тригонометрията. Още три спомагателни идентичности следват от тези основни идентичности:

Веднага ви предупреждавам, че последните три формули бързо изпадат от паметта. По някаква причина.) Можете, разбира се, да извлечете тези формули от първите три. Но в труден момент ... Разбирате.)

В стандартни задачи като тези по-долу има начин да се заобиколят тези незабравими формули. И драстично намаляване на грешкитеот забравата, а и в изчисленията. Тази практика е в раздел 555, урок "Връзка между тригонометрични функции на един ъгъл."

В какви задачи и как се използват основните тригонометрични тъждества? Най-популярната задача е да се намери някаква функция на ъгъла, ако е дадена друга. В изпита такава задача присъства от година на година.) Например:

Намерете стойността на sinx, ако x е остър ъгъл и cosx=0,8.

Задачата е почти елементарна. Търсим формула, в която има синус и косинус. Ето тази формула:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Заменяме тук известна стойност, а именно 0,8 вместо косинуса:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Е, ние считаме, както обикновено:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x \u003d 1 - 0,64

Ето, почти всичко. Изчислихме квадрата на синуса, остава да извадим корен квадратен и отговорът е готов! Коренът от 0,36 е 0,6.

Задачата е почти елементарна. Но думата "почти" тук не е напразно ... Факт е, че отговорът sinx = - 0,6 също е подходящ ... (-0,6) 2 също ще бъде 0,36.

Получават се два различни отговора. И имате нужда от такъв. Второто е грешно. Как да бъде!? Да, както обикновено.) Прочетете внимателно заданието. По някаква причина се казва... ако x е остър ъгъл...А в задачите всяка дума има значение, да ... Тази фраза е допълнителна информация за решението.

Остър ъгъл е ъгъл, по-малък от 90°. И то под такива ъгли всичкотригонометрични функции - както синус, така и косинус, и тангенс с котангенс - положителен.Тези. тук просто отхвърляме отрицателния отговор. Имаме право.

Всъщност осмокласниците нямат нужда от такива тънкости. Те работят само с правоъгълни триъгълници, където ъглите могат да бъдат само остри. И те не знаят, щастливи, че има отрицателни ъгли и ъгли от 1000 ° ... И всички тези кошмарни ъгли имат свои собствени тригонометрични функции както с плюс, така и с минус ...

Но за гимназисти без да се съобразява със знака - няма как. Многото знания умножават мъките, да...) А за правилното решение задачата трябва да съдържа допълнителна информация (ако е необходимо). Например, може да се даде като:

Или по друг начин. Ще видите в примерите по-долу.) За да решите такива примери, трябва да знаете в коя четвърт попада дадения ъгъл x и какъв знак има търсената тригонометрична функция в тази четвърт.

Тези основи на тригонометрията се обсъждат в уроците какво е тригонометрична окръжност, броенето на ъглите върху тази окръжност, радианова мярка на ъгъл. Понякога трябва да знаете и таблицата на синусите на косинусите на тангенсите и котангенсите.

И така, нека отбележим най-важното:

Практически съвети:

1. Запомнете дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Много полезно.

2. Ние ясно асимилираме: синус, косинус, тангенс и котангенс са здраво свързани с ъгли. Знаем едно, значи знаем друго.

3. Ние ясно асимилираме: синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на един ъгъл са свързани помежду си с основни тригонометрични идентичности. Знаем една функция, което означава, че можем (ако разполагаме с необходимата допълнителна информация) да изчислим всички останали.

А сега нека решим, както обикновено. Първо задачи в тома за 8. клас. Но гимназистите също могат ...)

1. Изчислете стойността на tgA, ако ctgA = 0,4.

2. β - ъгъл в правоъгълен триъгълник. Намерете стойността на tgβ, ако sinβ = 12/13.

3. Определете синуса на остър ъгъл x, ако tgx \u003d 4/3.

4. Намерете стойността на израз:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Намерете стойността на израз:

(1-cosx)(1+cosx), ако sinx = 0,3

Отговори (разделени с точка и запетая, безредно):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Се случи? Страхотен! Осмокласниците вече могат да следват своите А.)

Не се ли получи всичко? Задачи 2 и 3 някак си не са много ...? Няма проблем! Има една красива техника за такива задачи. Всичко се решава практически, без никакви формули! И следователно без грешки. Тази техника е описана в урока: "Връзка между тригонометрични функции на един ъгъл" в раздел 555. Там се разглобяват и всички други задачи.

Това бяха проблеми като Единния държавен изпит, но в съкратен вариант. УПОТРЕБА - светлина). И сега почти същите задачи, но в пълноценна форма. За обременени със знания гимназисти.)

6. Намерете стойността на tgβ, ако sinβ = 12/13 и

7. Определете sinx, ако tgx = 4/3 и x принадлежи на интервала (- 540°; - 450°).

8. Намерете стойността на израза sinβ cosβ, ако ctgβ = 1.

Отговори (в безпорядък):

0,8; 0,5; -2,4.

Тук в задача 6 ъгълът е даден някак не много еднозначно... Но в задача 8 той изобщо не е зададен! Това е нарочно). Допълнителна информация се взема не само от задачата, но и от главата.) Но ако решите, една правилна задача е гарантирана!

Ами ако не сте решили? Хм... Е, Раздел 555 ще помогне тук. Там решенията на всички тези задачи са описани подробно, трудно е да не се разбере.

В този урок е дадена много ограничена концепция за тригонометрични функции. В рамките на 8 клас. Възрастните имат въпроси...

Например, ако ъгълът х(вижте втората снимка на тази страница) - направи го тъп!? Триъгълникът ще се разпадне! И как да бъде? Няма да има крак, няма хипотенуза ... Синусът го няма ...

Ако древните хора не бяха намерили изход от тази ситуация, сега нямаше да имаме мобилни телефони, телевизия или електричество. Да да! Теоретичната основа на всички тези неща без тригонометрични функции е нула без пръчка. Но древните хора не са разочаровани. Как са се измъкнали - в следващия урок.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Тази статия е събрала таблици на синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Първо, даваме таблица с основни стойности на тригонометрични функции, тоест таблица на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадиан). След това ще дадем таблица на синусите и косинусите, както и таблица на тангенсите и котангенсите от В. М. Брадис и ще покажем как да използваме тези таблици при намиране на стойностите на тригонометричните функции.

Навигация в страницата.

Таблица със синуси, косинуси, тангенси и котангенси за ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса

Библиография.

• Алгебра: Proc. за 9 клетки. ср. училище / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: Ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков M.I.Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. ср. училище - 3-то изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
• Брадис В. М.Четирицифрени математически таблици: За общообразователна подготовка. учебник заведения. - 2-ро изд. - М.: Дропла, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

В тази статия ще разгледаме изчерпателно. Основните тригонометрични идентичности са равенства, които установяват връзка между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл и ви позволяват да намерите всяка от тези тригонометрични функции чрез известна друга.

Веднага изброяваме основните тригонометрични идентичности, които ще анализираме в тази статия. Записваме ги в таблица, а по-долу даваме извеждането на тези формули и даваме необходимите обяснения.

Навигация в страницата.

Връзка между синус и косинус на един ъгъл

Понякога те говорят не за основните тригонометрични идентичности, изброени в таблицата по-горе, а за едно единствено основна тригонометрична идентичностмил . Обяснението на този факт е съвсем просто: равенствата се получават от основното тригонометрично тъждество след разделяне на двете му части съответно на и и равенствата И следват от определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще обсъдим това по-подробно в следващите параграфи.

Тоест равенството е от особен интерес, което получи името на основната тригонометрична идентичност.

Преди да докажем основното тригонометрично тъждество, даваме неговата формулировка: сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл е идентично равна на едно. Сега нека го докажем.

Основната тригонометрична идентичност се използва много често в преобразуване на тригонометрични изрази. Позволява сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл да бъде заменена с единица. Не по-малко често основната тригонометрична идентичност се използва в обратен ред: единицата се заменя със сумата от квадратите на синуса и косинуса на всеки ъгъл.

Тангенс и котангенс през синус и косинус

Тъждества, свързващи тангенса и котангенса със синуса и косинуса на един ъгъл на формата и непосредствено следват от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Всъщност, по дефиниция, синусът е ординатата на y, косинусът е абсцисата на x, тангенсът е отношението на ординатата към абсцисата, т.е. , а котангенсът е отношението на абсцисата към ординатата, т.е. .

Поради тази очевидност на тъждествата и често определенията за тангенс и котангенс се дават не чрез съотношението на абсцисата и ординатата, а чрез съотношението на синуса и косинуса. Тангенсът на ъгъл е отношението на синуса към косинуса на този ъгъл, а котангенсът е отношението на косинуса към синуса.

В заключение на този раздел трябва да се отбележи, че идентичностите и важат за всички такива ъгли, за които тригонометричните функции в тях имат смисъл. Така че формулата е валидна за всяко друго освен (в противен случай знаменателят ще бъде нула и не сме дефинирали деление на нула), и формулата - за всички, различни от , където z е всяко.

Връзка между тангенс и котангенс

Още по-очевидна тригонометрична идентичност от предишните две е идентичността, свързваща тангенса и котангенса на един ъгъл на формата . Ясно е, че това се извършва за всякакви ъгли, различни от , в противен случай или тангенсът, или котангенсът не са определени.

Доказателство на формулата много просто. По определение и откъде . Доказателството можеше да се проведе по малко по-различен начин. Тъй като и , Че .

Тангенсът и котангенсът на един ъгъл, при който те имат смисъл, е.