Извеждане на формулата за обем на наклонена призма. Призма се нарича правилна, ако е права и нейните основи са правилни многоъгълници. Ако страничните ръбове на призмата са перпендикулярни на основите, тогава призмата се нарича права; в противен случай се нарича наклонена.

ТЕКСТОВ ПРЕПИС НА УРОКА:

Днес ще изведем формулата за обема на наклонена призма с помощта на интеграл.

Нека си припомним какво е призма и какъв вид призма се нарича наклонена?

ПРИЗМА е многостен, две лица на който (основи) са равни многоъгълници, разположени в успоредни равнини, а останалите лица (страни) са успоредници.

Ако страничните ръбове на призмата са перпендикулярни на равнината на основата, тогава призмата е права, в противен случай призмата се нарича наклонена.

Обемът на наклонена призма е равен на произведението на площта на основата и височината.

1) Разгледайте триъгълната наклонена призма VSEV2S2E2. Обемът на тази призма е V, площта на основата е S, а височината е h.

Нека използваме формулата: обемът е равен на интеграла от 0 до h S от x de x.

V= , където е площта на сечението, перпендикулярно на оста Ox. Нека изберем оста Ox, а точка O е началото на координатите и лежи в равнината ALL (долната основа на наклонената призма). Посоката на оста Ox е перпендикулярна на равнината ALL. Тогава оста Ox ще пресече равнината в точка h и ще начертаем равнината E1, успоредна на основите на наклонената призма и перпендикулярна на оста Ox. Тъй като равнините са успоредни и страничните стени са успоредници, то BE = , CE = C1E1 = C2E2; ВС=В1С1=В2С2

Откъдето следва, че триъгълниците ALL = E2 са равни по три страни. Ако триъгълниците са еднакви, тогава тяхната площ е равна. Площта на произволно сечение S(x) е равна на площта на основата Sbas.

IN в такъв случайосновната площ е постоянна. Нека вземем 0 и h като граници на интегриране. Получаваме формулата: обемът е равен на интеграла от 0 до h S от x de x или интеграла от 0 до h на основната площ от x de x, основната площ е константа (постоянна стойност), можем извадете го от знака на интеграла и се оказва, че интегралът от 0 до h de x е равен на аш минус 0:

Оказва се, че обемът на наклонена призма е равен на произведението на площта на основата и височината.

2) Нека докажем тази формула за произволна n-ъгълна наклонена призма. За да докажем това, нека вземем петоъгълна наклонена призма. Нека разделим наклонената призма на няколко триъгълни призми, в този случай на три (същото като при доказването на теоремата за обема на права призма). Нека обозначим обема на наклонената призма като V. Тогава обемът на наклонената призма ще се състои от сумата от обемите на три триъгълни призми (според свойството обеми).

V=V1+V2+V3 и търсим обема на триъгълна призма по формулата: обемът на наклонена призма е равен на произведението на площта на основата и височината.

Това означава, че обемът на наклонена призма е равен на сумата от произведенията на площите на основата и височината, изваждаме височината h от скоби (тъй като тя е еднаква за трите призми) и получаваме:

Теоремата е доказана.

Страничният ръб на наклонената призма е 4 см и сключва ъгъл 30° с равнината на основата.Страните на триъгълника, които лежат в основата са 12, 12 и 14 см. Намерете обема на наклонената призма .

Дадено е: - наклонена призма,

AB = 12 cm, BC = 12 cm, AC = 14 cm, B = 4 cm, BK = 30°.

Намерете: V - ?

Допълнителна конструкция: Нека начертаем височината H в наклонена призма.

Знаем, че обемът на наклонена призма е равен на произведението на площта на основата и височината.

В основата на наклонена призма лежи произволен триъгълник, чиито страни са известни, което означава, че прилагаме формулата на Heron: площта на триъгълника е равна на корен квадратен от произведението на PE от разликата между PE и a, по разликата на PE и BE, по разликата на PE и CE, където PE е триъгълникът с полупериметър, който търсим по формулата: половината от сбора на всички страни a, b и c:

Изчисляваме полупериметъра:

Нека заместим стойността на полупериметъра във формулата за основна площ, да опростим и да получим отговора: седем корена от 95.

Да разгледаме ΔB H. То е правоъгълно, тъй като H е височината на наклонената призма. От определението за синус катетът е равен на произведението на хипотенузата и синуса на противоположния ъгъл

стойността на синуса от 30° е равна на половината, което означава

Научихме това

А височината H - височината на наклонената призма - е равна на 2.

Следователно обемът е равен

„Призма на геометрично тяло“ - Правоъгълен паралелепипед. Правоъгълник. Диагонални секции. Питагорова теорема. Сума от площи. Върхове. Основа на призмата. Как се нарича призмата, показана на фигурата? Математическа битка. Решение. Призма. Коя призма се нарича права призма? Получени знания. Диагонал на правилна триъгълна призма.

„Фигура на призма“ - Определение за призма. Наклонена и права призма. Нека първо докажем теоремата за триъгълна призма. Видове призми. Обем на наклонена призма. Призма. Площта на страничната повърхност на призмата. Общата повърхност на призмата. Нека сега докажем теоремата за произволна призма. Правилна призма.

„Обем на призмата“ - Площ S на основата на оригиналната призма. Решението на проблема. Цели на урока. Обемът на оригиналната призма е равен на произведението S · h. Обем на права призма. Призмата може да бъде разделена на прави триъгълни призми с височина h. Концепцията за призма. Начертаване на височината на триъгълник ABC. Въпроси. Изучаване на теоремата за обема на призма. Основни стъпки при доказване на теоремата за пряката призма?

„Концепцията за призма“ - Общата повърхност на призмата. Права призма. Площта на страничната повърхност на призмата. Многоъгълник. Призмени сечения. Правилна призма. Призми, срещани в живота. Триъгълни призми. Доказателство. Обем на наклонена призма. Определение за призма. Наклонена и права призма. Видове призми. Призма.

„Свойства на призма“ - Има ли наклонени призми, в които може да се впише сфера? Свойства на призмата. Условие, формулирано за права призма. Цилиндър. Призма. Разрез на цилиндър. Формула за три косинуса. База. Триъгълна призма. Теорема за синусите за тристенни ъгли. Ръб на триъгълна призма. Около кои видове призми винаги може да се опише сфера?

„Концепцията за призмен полиедър“ - В секцията се формира успоредник. Последица. Свойства на призмата. Терминът "призма" е от гръцки произход и буквално означава "отрязан" (тяло). Площта на призмата и площта на страничната повърхност на призмата. Това сечение се нарича диагонално сечение на призмата. Дадено: Страната на основата на правилна триъгълна призма е 8 cm, страничният ръб е 6 cm.

Обем на наклонена призма

Всички призми са разделени на прав И наклонен .

Права призма, основа

който обслужва правилното

многоъгълник се нарича

правилно призма.

Свойства на правилната призма:

1. Основите на правилната призма са правилни многоъгълници. 2. Страничните стени на правилната призма са равни правоъгълници. 3. Страничните ръбове на правилната призма са равни .

ПРИЗМА напречно сечение.

Ортогоналното сечение на призмата е сечение, образувано от равнина, перпендикулярна на страничния ръб.

Страничната повърхност на призмата е равна на произведението от периметъра на ортогоналното сечение и дължината на страничния ръб.

S b =P северно сечение C

1. Разстояния между наклонените ребра

триъгълна призма са равни на: 2cm, 3cm и 4cm

Страничната повърхност на призмата е 45 cm 2 .Намерете страничния му ръб.

Решение:

В перпендикулярното сечение на призмата има триъгълник, чийто периметър е 2+3+4=9

Това означава, че страничният ръб е равен на 45:9 = 5 (cm)

Намерете неизвестни елементи

правилен триъгълник

призми

по елементи, посочени в таблицата.

ОТГОВОРИ.

Благодаря ти за урока.

Домашна работа.

Обемът е характеристика на всяка фигура, която има ненулеви размери и в трите измерения на пространството. В тази статия, от гледна точка на стереометрията (геометрията на пространствените фигури), ще разгледаме призма и ще покажем как да намерим обемите на различни видове призми.

Стереометрията има точен отговор на този въпрос. В него под призма се разбира фигура, образувана от две многоъгълни еднакви лица и няколко успоредника. Картината по-долу показва четири различни призми.

Всеки от тях може да бъде получен по следния начин: трябва да вземете многоъгълник (триъгълник, четириъгълник и т.н.) и сегмент с определена дължина. След това всеки връх на многоъгълника трябва да бъде прехвърлен с помощта на успоредни сегменти в друга равнина. В новата равнина, която ще бъде успоредна на оригиналната, ще се получи нов многоъгълник, подобен на първоначално избрания.

Призмите могат да бъдат от различни видове. И така, те могат да бъдат прави, наклонени и правилни. Ако страничният ръб на призмата (сегментът, свързващ върховете на основите) е перпендикулярен на основите на фигурата, тогава последната е права. Съответно, ако това условие не е изпълнено, тогава говорим за наклонена призма. Правилната фигура е права призма с равноъгълна и равностранна основа.

Обем на правилните призми

Да започнем с най-простия случай. Нека дадем формулата за обема на правилна призма с n-ъгълна основа. Формулата за обем V за всяка фигура от разглеждания клас има следната форма:

Тоест, за да се определи обемът, е достатъчно да се изчисли площта на една от основите S o и да се умножи по височината h на фигурата.

При правилната призма дължината на страната на нейната основа означаваме с буквата a, а височината, която е равна на дължината на страничния ръб, с буквата h. Ако основата е правилен n-ъгълник, тогава за изчисляване на неговата площ най-лесно е да използвате следната универсална формула:

S n = n/4*a2*ctg(pi/n).

Като заместите броя на страните n и дължината на едната страна a в уравнението, можете да изчислите площта на n-ъгълната основа. Имайте предвид, че котангенсната функция тук се изчислява за ъгъла pi/n, който се изразява в радиани.

Като вземем предвид равенството, написано за S n, получаваме крайната формула за обема на правилна призма:

V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

За всеки конкретен случай можете да запишете съответните формули за V, но всички те следват недвусмислено от писмения общ израз. Например за правилна четириъгълна призма, която в общия случай е правоъгълен паралелепипед, получаваме:

V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.

Ако вземем h=a в този израз, тогава получаваме формулата за обема на куба.

Обем на прави призми

Нека веднага да отбележим, че за прави фигури няма обща формула за изчисляване на обема, която беше дадена по-горе за обикновени призми. При намиране на разглежданата стойност трябва да се използва оригиналният израз:

Тук h е дължината на страничния ръб, както в предишния случай. Що се отнася до основната площ S o, тя може да приема различни стойности. Проблемът за изчисляване на обема на права призма се свежда до намиране на площта на нейната основа.

Изчисляването на стойността на S o трябва да се извърши въз основа на характеристиките на самата основа. Например, ако е триъгълник, площта може да се изчисли по следния начин:

Тук h a е апотема на триъгълника, тоест неговата височина, спусната до основата a.

Ако основата е четириъгълник, тогава тя може да бъде трапец, успоредник, правоъгълник или напълно произволен тип. За всички тези случаи трябва да използвате подходящата планиметрична формула, за да определите площта. Например, за трапец тази формула изглежда така:

S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .

Където h a е височината на трапеца, a 1 и a 2 са дължините на успоредните му страни.

За да определите площта на полигоните от по-висок порядък, трябва да ги разделите на прости фигури (триъгълници, четириъгълници) и да изчислите сумата от площите на последните.

Обем на наклонени призми

Това е най-трудният случай за изчисляване на обема на призма. Прилага се и общата формула за такива цифри:

Въпреки това, към трудността да се намери площта на основата, представляваща многоъгълник от всякакъв тип, се добавя проблемът с определянето на височината на фигурата. В наклонена призма тя винаги е по-малка от дължината на страничния ръб.

Най-лесният начин да намерите тази височина е, ако е известен всеки ъгъл на фигурата (плосък или двустенен). Ако е даден такъв ъгъл, тогава трябва да го използвате, за да построите правоъгълен триъгълник вътре в призмата, който ще съдържа височината h като една от страните и, използвайки тригонометрични функции и Питагоровата теорема, да намерите стойността на h.

Геометрична задача за определяне на обем

Дадена е правилна призма с триъгълна основа с височина 14 см и дължина на страната 5 см. Какъв е обемът на триъгълна призма?

Тъй като говорим за правилната фигура, имаме право да използваме добре познатата формула. Ние имаме:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.

Триъгълна призма е доста симетрична фигура, чиято форма често се използва в различни архитектурни структури. Тази стъклена призма се използва в оптиката.

Концепцията за призма. Формули за обем на призми от различни видове: правилни, прави и наклонени. Решаване на проблема - всичко за пътуване до сайта

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.