Как да изчислим обема на пресечена пирамида. Формули за обем на пълна и пресечена пирамида. Обем на Хеопсовата пирамида
е многостен, който се образува от основата на пирамидата и успоредно на нея сечение. Можем да кажем, че пресечена пирамида е пирамида с отрязан връх. Тази фигура има много уникални свойства:
- Страничните стени на пирамидата са трапецовидни;
- Страничните ръбове на правилната пресечена пирамида са с еднаква дължина и са наклонени към основата под същия ъгъл;
- Основите са подобни многоъгълници;
- В правилната пресечена пирамида лицата са еднакви равнобедрени трапеци, чиято площ е равна. Те също са наклонени към основата под един ъгъл.
Формулата за площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е сумата от площите на нейните страни: 
Тъй като страните на пресечена пирамида са трапецовидни, за да изчислите параметрите, ще трябва да използвате формулата трапецовидна площ. За правилна пресечена пирамида можете да приложите различна формула за изчисляване на площта. Тъй като всичките му страни, лица и ъгли в основата са равни, възможно е да се приложат периметрите на основата и апотемата, а също и да се изведе площта през ъгъла в основата.
Ако според условията в правилна пресечена пирамида са дадени апотемата (височината на страната) и дължините на страните на основата, тогава площта може да се изчисли чрез полупродукта на сумата от периметрите на основите и апотемата:
Нека да разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на пресечена пирамида.
Дадена е правилна петоъгълна пирамида. апотема л= 5 см, дължината на ръба в голямата основа е а= 6 см, а ръбът е на по-малката основа b= 4 см. Изчислете площта на пресечената пирамида.
Първо, нека намерим периметрите на основите. Тъй като ни е дадена петоъгълна пирамида, разбираме, че основите са петоъгълници. Това означава, че основите съдържат фигура с пет еднакви страни. Нека намерим периметъра на по-голямата основа:
По същия начин намираме периметъра на по-малката основа:
Сега можем да изчислим площта на правилна пресечена пирамида. Заместете данните във формулата:
Така изчислихме площта на правилна пресечена пирамида през периметрите и апотемата.
Друг начин за изчисляване на страничната повърхност на правилна пирамида е формулата през ъглите в основата и площта на самите тези основи.
Нека разгледаме примерно изчисление. Спомняме си, че тази формула е приложима само за правилна пресечена пирамида.
Нека е дадена правилна четириъгълна пирамида. Ръбът на долната основа е a = 6 см, а ръбът на горната основа е b = 4 см. Двустенният ъгъл при основата е β = 60°. Намерете площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида.
Първо, нека изчислим площта на основите. Тъй като пирамидата е правилна, всички ръбове на основите са равни един на друг. Като се има предвид, че основата е четириъгълник, разбираме, че ще е необходимо да се изчисли площ на площада. Това е произведение на ширина и дължина, но когато се повдигнат на квадрат, тези стойности са еднакви. Нека намерим площта на по-голямата основа: 
Сега използваме намерените стойности, за да изчислим площта на страничната повърхност. 
Познавайки няколко прости формули, ние лесно изчислихме площта на страничния трапец на пресечена пирамида, използвайки различни стойности.
Способността да се изчислява обемът на пространствените фигури е важна при решаването на редица практически задачи в геометрията. Една от най-често срещаните фигури е пирамидата. В тази статия ще разгледаме както пълни, така и пресечени пирамиди.
Пирамидата като триизмерна фигура
Всички знаят за египетските пирамиди, така че имат добра представа за каква фигура ще говорим. Египетските каменни конструкции обаче са само частен случай на огромен клас пирамиди.
Разглежданият геометричен обект в общия случай е многоъгълна основа, всеки връх на която е свързан с определена точка в пространството, която не принадлежи на равнината на основата. Това определение води до фигура, състояща се от един n-ъгълник и n триъгълника.
Всяка пирамида се състои от n+1 лица, 2*n ръба и n+1 върха. Тъй като въпросната фигура е идеален многостен, броят на отбелязаните елементи се подчинява на равенството на Ойлер:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Многоъгълникът, разположен в основата, дава името на пирамидата, например триъгълна, петоъгълна и т.н. Набор от пирамиди с различни основи е показан на снимката по-долу.
Точката, в която се срещат n триъгълника от фигура, се нарича връх на пирамидата. Ако перпендикуляр се спусне от нея върху основата и я пресича в геометричния център, тогава такава фигура ще се нарича права линия. Ако това условие не е изпълнено, тогава се получава наклонена пирамида.
Правилна фигура, чиято основа е образувана от равностранен (равноъгълен) n-ъгълник, се нарича правилна.
Формула за обем на пирамида
За да изчислим обема на пирамидата, ще използваме интегрално смятане. За да направим това, ние разделяме фигурата, като нарязваме равнини, успоредни на основата, на безкраен брой тънки слоеве. Фигурата по-долу показва четириъгълна пирамида с височина h и дължина на страната L, в която четириъгълникът маркира тънкия слой на сечението.
Площта на всеки такъв слой може да се изчисли по формулата:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Тук A 0 е площта на основата, z е стойността на вертикалната координата. Може да се види, че ако z = 0, тогава формулата дава стойността A 0 .
За да получите формулата за обема на пирамида, трябва да изчислите интеграла по цялата височина на фигурата, тоест:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Като заместим зависимостта A(z) и изчислим първоизводната, стигаме до израза:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Получихме формулата за обем на пирамида. За да намерите стойността на V, просто умножете височината на фигурата по площта на основата и след това разделете резултата на три.
Имайте предвид, че полученият израз е валиден за изчисляване на обема на пирамида от всякакъв тип. Тоест, той може да бъде наклонен, а основата му може да бъде произволен n-ъгълник.
и неговия обем
Общата формула за обем, получена в параграфа по-горе, може да бъде прецизирана в случай на пирамида с правилна основа. Площта на такава основа се изчислява по следната формула:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Тук L е дължината на страната на правилен многоъгълник с n върха. Символът pi е числото pi.
Замествайки израза за A 0 в общата формула, получаваме обема на правилна пирамида:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Например за триъгълна пирамида тази формула води до следния израз:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
За правилна четириъгълна пирамида формулата за обем приема формата:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Определянето на обемите на правилните пирамиди изисква познаване на страната на основата им и височината на фигурата.
Пресечена пирамида
Да предположим, че сме взели произволна пирамида и сме отрязали част от страничната й повърхност, съдържаща върха. Останалата фигура се нарича пресечена пирамида. Той вече се състои от две n-ъгълни основи и n трапеца, които ги свързват. Ако режещата равнина е била успоредна на основата на фигурата, тогава се образува пресечена пирамида с подобни успоредни основи. Тоест, дължините на страните на единия от тях могат да бъдат получени чрез умножаване на дължините на другия по определен коефициент k.
Фигурата по-горе показва пресечен правилен, като се вижда, че горната му основа, както и долната, е образувана от правилен шестоъгълник.
Формулата, която може да бъде получена с помощта на интегрално смятане, подобно на горното, е:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Където A 0 и A 1 са съответно площите на долната (голяма) и горната (малка) основа. Променливата h означава височината на пресечената пирамида.
Обем на Хеопсовата пирамида
Интересно е да се реши задачата за определяне на обема, който най-голямата египетска пирамида съдържа в себе си.
През 1984 г. британските египтолози Марк Ленър и Джон Гудман установяват точните размери на Хеопсовата пирамида. Първоначалната му височина е била 146,50 метра (в момента около 137 метра). Средната дължина на всяка от четирите страни на конструкцията е 230,363 метра. Основата на пирамидата е квадратна с висока точност.
Нека използваме дадените цифри, за да определим обема на този каменен гигант. Тъй като пирамидата е правилна четириъгълна, то за нея е валидна формулата:
Заменяйки числата, получаваме:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.
Обемът на Хеопсовата пирамида е почти 2,6 милиона m3. За сравнение отбелязваме, че олимпийският плувен басейн има обем от 2,5 хиляди м 3. Тоест, за да напълните цялата Хеопсова пирамида ще ви трябват повече от 1000 такива басейна!
Пирамида. Пресечена пирамида
Пирамидае полиедър, едно от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Триъгълна пирамида с равни ръбове се нарича тетраедър .
Странично реброна пирамида е страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . Диагонално сечение се нарича сечение на пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.
Площ на страничната повърхностпирамида е сумата от площите на всички странични лица. Обща площ се нарича сумата от площите на всички странични лица и основата.
Теореми
1. Ако в една пирамида всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, описана близо до основата.
2. Ако всички странични ръбове на пирамида имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, описана близо до основата.
3. Ако всички лица в една пирамида са еднакво наклонени спрямо равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, вписана в основата.
За да изчислите обема на произволна пирамида, правилната формула е:
Където V- сила на звука;
S база– базова площ;
з– височина на пирамидата.
За правилна пирамида следните формули са правилни:
Където стр– основен периметър;
з а– апотема;
з- височина;
S пълен
S страна
S база– базова площ;
V– обем на правилна пирамида.
Пресечена пирамиданарича частта от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режеща равнина, успоредна на основата на пирамидата.
Основанияпресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица – трапецовидни. Височина на пресечена пирамида е разстоянието между нейните основи. Диагонал пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. Диагонално сечение е сечение на пресечена пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.
За пресечена пирамида са валидни следните формули:
(4)
Където С 1 , С 2 – зони на горна и долна основа;
S пълен– обща повърхност;
S страна– площ на страничната повърхност;
з- височина;
V– обем на пресечена пирамида.
За правилна пресечена пирамида формулата е правилна:
Където стр 1 , стр 2 – периметри на основите;
з а– апотема на правилна пресечена пирамида.
Пример 1.В правилната триъгълна пирамида двустенният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).
 |
Пирамидата е правилна, което означава, че в основата има равностранен триъгълник и всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл е ъгълът амежду два перпендикуляра: и т.н. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност на триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничния ръб (напр С.Б.) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху равнината на основата. За реброто С.Б.този ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАИ O.B.. Нека дължината на сегмента BDе равно на 3 А. Точка ОТНОСНОлинейна отсечка BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: 
От намираме: 
Отговор:
Пример 2.Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са равни на cm и cm, а височината й е 4 cm.
Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площта на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са равни съответно на 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:
Отговор: 112 см 3.
Пример 3.Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, страните на основите на която са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).
Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основата и височината. Основите са дадени според състоянието, само височината остава неизвестна. Ще я намерим откъде А 1 дперпендикулярно от точка А 1 на равнината на долната основа, А 1 д– перпендикулярно от А 1 на AC. А 1 д= 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. Да намеря DEНека направим допълнителен чертеж, показващ изглед отгоре (фиг. 20). Точка ОТНОСНО– проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добре– радиус, вписан в окръжността и 
ОМ– радиус, вписан в окръжност:
MK = DE.
Според Питагоровата теорема от
Странична лицева зона: 
Отговор:
Пример 4.В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи АИ b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDравна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.
Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка ОТНОСНО– проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм равнината на основата. Използвайки теоремата за площта на ортогоналната проекция на равнинна фигура, получаваме:
По същия начин означава 
По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Нека начертаем трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка ОТНОСНО– център на окръжност, вписана в трапец.
Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или От Питагоровата теорема имаме
- 09.10.2014
Показаният на фигурата предусилвател е предназначен за използване с 4 вида източници на звук, например микрофон, CD плейър, радио и др. В този случай предусилвателят има един вход, който може да променя чувствителността от 50 mV до 500 mV. изходно напрежение на усилвателя 1000mV. Свързвайки различни източници на сигнал при превключване на превключвател SA1, винаги ще получаваме...
- 20.09.2014
Захранването е проектирано за натоварване от 15…20 W. Източникът е направен по схемата на едноцикличен импулсен високочестотен преобразувател. Транзисторът се използва за сглобяване на автоосцилатор, работещ на честота 20…40 kHz. Честотата се регулира от капацитет C5. Елементите VD5, VD6 и C6 образуват стартовата верига на осцилатора. Във вторичната верига след мостовия токоизправител има конвенционален линеен стабилизатор на микросхема, който ви позволява да имате ...
- 28.09.2014
Фигурата показва генератор, базиран на микросхемата K174XA11, чиято честота се контролира от напрежението. Чрез промяна на капацитет C1 от 560 до 4700 pF може да се получи широк диапазон от честоти, докато честотата се регулира чрез промяна на съпротивлението R4. Така например авторът установи, че с C1 = 560pF честотата на генератора може да се промени с помощта на R4 от 600Hz до 200kHz, ...
- 03.10.2014
Устройството е предназначено за захранване на мощен ULF, проектирано е за изходно напрежение ±27V и натоварване до 3A на всяко рамо. Захранването е биполярно, направено на пълни композитни транзистори KT825-KT827. И двете рамена на стабилизатора са направени по една и съща схема, но в другото рамо (не е показано) се променя полярността на кондензаторите и се използват транзистори от различен тип...
