Y 2 3 намерете най-малката стойност на функцията. Най-голямата и най-малката стойност на функция. Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на непрекъсната функция y= f(x) върху отсечка

Нека функцията y =f(Х)е непрекъснат на интервала [ а, б]. Както е известно, такава функция достига своите максимални и минимални стойности на този сегмент. Функцията може да приеме и тези стойности вътрешна точкасегмент [ а, б] или на границата на сегмента.

За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмента [ а, б] необходимо:

1) намерете критичните точки на функцията в интервала ( а, б);

2) изчисляване на стойностите на функцията в откритите критични точки;

3) изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента, т.е х=Аи x = b;

4) от всички изчислени стойности на функцията изберете най-голямата и най-малката.

Пример.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

на сегмента.

Намиране на критични точки:

Тези точки лежат вътре в сегмента; г(1) = ‒ 3; г(2) = ‒ 4; г(0) = ‒ 8; г(3) = 1;

в точката х= 3 и в точката х= 0.

Изследване на функция за изпъкналост и инфлексна точка.

функция г = f (х) Наречен изпъкналмежду (а, b) , ако неговата графика лежи под допирателната, начертана във всяка точка от този интервал, и се нарича изпъкнал надолу (вдлъбнат), ако нейната графика лежи над тангентата.

Точката, през която изпъкналостта се заменя с вдлъбнатост или обратно, се нарича инфлексна точка.

Алгоритъм за изследване на изпъкналост и точка на инфлексия:

1. Намерете критични точки от втори род, т.е. точки, в които втората производна е равна на нула или не съществува.

2. Начертайте критични точки върху числовата права, като я разделите на интервали. Намерете знака на втората производна на всеки интервал; ако , тогава функцията е изпъкнала нагоре, ако, тогава функцията е изпъкнала надолу.

3. Ако при преминаване през критична точка от втори род знакът се промени и в тази точка втората производна е равна на нула, то тази точка е абсцисата на инфлексната точка. Намерете ординатата му.

Асимптоти на графиката на функция. Изследване на функция за асимптоти.

Определение.Асимптотата на графиката на функция се нарича прав, което има свойството, че разстоянието от всяка точка на графиката до тази линия клони към нула, тъй като точката на графиката се движи неограничено от началото.

Има три вида асимптоти: вертикални, хоризонтални и наклонени.

Определение.Правата се нарича вертикална асимптотафункционална графика y = f(x), ако поне една от едностранните граници на функцията в тази точка е равна на безкрайност, т.е.

където е точката на прекъсване на функцията, тоест тя не принадлежи към областта на дефиниция.

Пример.

Д ( г) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

х= 2 – точка на прекъсване.

Определение.Направо y =АНаречен хоризонтална асимптотафункционална графика y = f(x)при , ако

Пример.

х
г

Определение.Направо y =кx +b (к≠ 0) се извиква наклонена асимптотафункционална графика y = f(x)в , къде

Обща схема за изучаване на функции и построяване на графики.

Алгоритъм за изследване на функциятаy = f(x) :

1. Намерете домейна на функцията д (г).

2. Намерете (ако е възможно) точките на пресичане на графиката с координатните оси (ако х= 0 и при г = 0).

3. Разгледайте четността и нечетността на функцията ( г (‒ х) = г (х) ‒ паритет; г(‒ х) = ‒ г (х) ‒ странно).

4. Намерете асимптотите на графиката на функцията.

5. Намерете интервалите на монотонност на функцията.

6. Намерете екстремумите на функцията.

7. Намерете интервалите на изпъкналост (вдлъбнатост) и точки на инфлексия на графиката на функцията.

8. Въз основа на проведеното изследване постройте графика на функцията.

Пример.Разгледайте функцията и изградете нейната графика.

1) д (г) =

х= 4 – точка на прекъсване.

2) Кога х = 0,

(0; ‒ 5) – пресечна точка с ох.

При г = 0,

3) г(‒ х)= функция общ изглед(нито четно, нито нечетно).

4) Проверяваме за асимптоти.

а) вертикална

б) хоризонтална

в) намерете наклонените асимптоти, където

‒уравнение на наклонена асимптота

5) Б дадено уравнениеняма нужда да се намират интервали на монотонност на функцията.

6)

Тези критични точки разделят цялата област на дефиниране на функцията на интервал (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) и (10; +∞). Удобно е получените резултати да бъдат представени под формата на следната таблица.

От практична гледна точка най-голям интереспредставлява използването на производна за намиране на най-голямата и най-малката стойност на функция. С какво е свързано това? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота ни се налага да решаваме проблеми с оптимизирането на някои параметри. И това са задачите за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция.

Трябва да се отбележи, че най-големият и най-малка стойностфункции обикновено се търсят в някакъв интервал X, който е или целият домейн на функцията, или част от домейна. Самият интервал X може да бъде сегмент, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намирането на най-големите и най-малките стойности изрично дадена функцияедна променлива y=f(x) .

Навигация в страницата.

Най-голяма и най-малка стойност на функция - определения, илюстрации.

Нека разгледаме накратко основните определения.

Най-голямата стойност на функцията че за всеки неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X се нарича такава стойност че за всеки неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на разглеждания интервал на абсцисата.

Стационарни точки– това са стойностите на аргумента, при които производната на функцията става нула.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум ( местен минимумили локален максимум) в някакъв момент, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята най-голяма (най-малка) стойност на интервала X в една от стационарните точки от този интервал.

Също така, една функция често може да приеме своите най-големи и най-малки стойности в точки, в които първата производна на тази функция не съществува и самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на дефиниране на функцията или интервалът X е безкраен. И някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота ще дадем графична илюстрация. Вижте снимките и много неща ще ви станат по-ясни.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, изобразен на втората фигура. Нека променим сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията се постига при неподвижна точка, а най-голям - в точката с абсцисата, съответстваща на дясната граница на интервала.

На фигура 3 граничните точки на сегмента [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

На отворен интервал

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в отворения интервал (-6;6).

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, показан на седмата фигура, функцията приема най-висока стойност(max y) в стационарна точка с абциса x=1, а най-малката стойност (min y) се постига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3.

През интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Когато x=2 се приближава отдясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (линията x=2 е вертикална асимптота), а когато абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3. Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент.

Нека напишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

1. Намираме домейна на дефиниция на функцията и проверяваме дали съдържа целия сегмент.
2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в сегмента (обикновено такива точки се намират във функции с аргумент под знака на модула и в мощностни функциис дробно-рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващата точка.
3. Определяме всички неподвижни точки, попадащи в сегмента. За да направите това, ние го приравняваме към нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящи корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващата точка.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в избрани стационарни точки (ако има такива), в точки, в които първата производна не съществува (ако има такава), както и при x=a и x=b.
5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно необходимите най-големи и най-малки стойности на функцията.

Нека анализираме алгоритъма за решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на отсечката [-4;-1] .

Решение.

Домейнът на функция е цялото множество реални числа, с изключение на нула, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1].

Определяме стационарни точки от уравнението. Единствения истински корене x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка, т.е. за x=1, x=2 и x=4:

Следователно най-голямата стойност на функцията се постига при x=1 и най-малката стойност – при х=2.

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една неподвижна точка):

Урок по темата: "Намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Наръчници и симулатори в онлайн магазина Integral за 10 клас от 1C
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни конструиращи задачи за 7-10 клас
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството

Какво ще изучаваме:

1. Намиране на най-голямата и най-малката стойност от графиката на функция.
2. Намиране на най-голямата и най-малката стойност с помощта на производната.
3. Алгоритъм за намиране на най-голяма и най-малка стойност непрекъсната функция y=f(x) върху отсечката .
4. Най-голямата и най-малката стойност на функция на отворен интервал.
5. Примери.

Намиране на най-голямата и най-малката стойност от графиката на функция

Момчета, намерихме най-големите и най-малките стойности на функция преди. Разгледахме графиката на функция и направихме извод къде функцията достига най-голямата си стойност и къде достига най-ниската си стойност.
Да повторим:

От графиката на нашата функция можем да видим, че най-високата стойност се постига в точка x= 1, тя е равна на 2. Най-ниската стойност се постига в точка x= -1 и тя е равна на -2. Този метод е доста лесен за намиране на най-големите и най-малките стойности, но не винаги е възможно да се начертае функцията.

Намиране на най-голямата и най-малката стойност с помощта на производна

Момчета, какво мислите, как можете да намерите най-голямата и най-малката стойност, като използвате производната?

Отговорът може да се намери в темата екстремуми на функция. Там вие и аз намерихме точките на максимум и минимум, термините не са ли сходни? Най-големите и най-малките стойности обаче не трябва да се бъркат с максимума и минимума на функция; това са различни понятия.

Така че нека представим правилата:
а) Ако една функция е непрекъсната на интервал, тогава тя достига своите максимални и минимални стойности на този интервал.
б) Функцията може да достигне своите максимални и минимални стойности както в краищата на сегментите, така и вътре в тях. Нека разгледаме този момент по-подробно.

На фигура а функцията достига своите максимални и минимални стойности в краищата на сегментите.
На фигура b функцията достига своите максимални и минимални стойности вътре в сегмента. На фигура c минималната точка е разположена вътре в сегмента, а максималната точка е в края на сегмента, в точка b.
в) Ако максималните и минималните стойности са постигнати вътре в сегмента, тогава само в стационарни или критични точки.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на непрекъсната функция y= f(x) върху отсечка

• Намерете производната f"(x).
• Намерете стационарни и критични точки вътре в сегмента.
• Изчислете стойността на функцията в стационарни и критични точки, както и при f(a) и f(b). Изберете най-малката и най-голямата стойност; това ще бъдат точките на най-малката и най-голямата стойност на функцията.

Най-голямата и най-малката стойност на функция на отворен интервал

Момчета, как намирате най-голямата и най-малката стойност на функция на отворен интервал? За това ще използваме важна теорема, което се доказва в курса по висша математика.

Теорема. Нека функцията y= f(x) е непрекъсната в интервала x и в рамките на този интервал има уникално стационарно или критична точка x= x0, тогава:
а) ако x= x0 е максималната точка, тогава y е максимумът. = f(x0).
б) ако x= x0 е минималната точка, тогава y е името. = f(x0).

Пример

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 върху отсечката
а) [-9;-1], б) [-3;3], в) .
Решение: Намерете производната: y"= x 2 + 4x + 4.
Производната съществува в цялата област на дефиниция, тогава трябва да намерим стационарни точки.
y"= 0, при x= -2.
Ние ще извършим допълнителни изчисления за необходимите сегменти.
а) Намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка.
Тогава y име. = -122, при х = -9; y макс. = y = -7$\frac(1)(3)$, с x= -1.
б) Намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка. Най-високите и най-ниските стойности се постигат в края на сегмента.
Тогава y име. = -8, при x = -3, y макс. = 34, при x = 3.
в) Стационарната точка не попада в нашия сегмент, нека намерим стойностите в краищата на сегмента.
Тогава y име. = 34, с x = 3, y макс. = 436, при x = 9.

Пример

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| на сегмента.
Решение: Нека разширим модула и трансформираме нашата функция:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, за x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, за x ≥ 1.

Тогава нашата функция ще приеме формата:
\begin(equation*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad for\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Нека намерим критичните точки: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad for\quad x= \begin(cases) 2,\ quad for \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) И така, имаме две стационарни точки и нека не забравяме, че нашата функция се състои от две функции за различни х.
Нека намерим най-големите и най-малките стойности на функцията; за да направим това, изчисляваме стойностите на функцията в стационарни точки и в краищата на сегмента:
Отговор: Функцията достига минималната си стойност в стационарната точка x= 1, y е най-малкото. = 3. Функцията достига най-голямата си стойност в края на отсечката в точка x = 4, y max. = 12.

Пример

Намерете най-голямата стойност на функцията y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ върху лъча: , b) , c) [-4;7].
б) Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| върху сегмента [-1;5].
в) Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y= $-2x-\frac(1)(2x)$ върху лъча (0;+∞).