Класическата дефиниция на вероятността има формата. Формула за вероятност на събитието. Основи на теорията на вероятностите

Задачи за класическото определение на вероятността.
Примери за решения

В третия урок ще разгледаме различни проблеми, свързани с прякото приложение на класическата дефиниция на вероятността. За ефективно изучаване на материалите на тази статия ви препоръчвам да се запознаете с основните понятия теория на вероятноститеИ основи на комбинаториката. Проблемът за класическата дефиниция на вероятност с вероятност, клоняща към единица, ще присъства във вашата самостоятелна / контролна работа по terver, така че се готвим за сериозна работа. Какво толкова сериозно ще попитате? ... само една примитивна формула. Предупреждавам за несериозност - тематичните задачи са доста разнообразни и много от тях лесно могат да объркат. В тази връзка, в допълнение към разработването на основния урок, опитайте се да изучите допълнителни задачи по темата, които са в касичката готови решения по висша математика. Методите за вземане на решения са си методи за вземане на решения, но „приятелите“ все пак „трябва да се познават от поглед“, защото дори богатото въображение е ограничено и има достатъчно типични задачи. Е, ще се опитам да направя максимален брой от тях с добро качество.

Нека си спомним класиката на жанра:

Вероятността за възникване на събитие в някакъв опит е равна на съотношението , където:

е общият брой на всички еднакво възможно, елементаренрезултатите от този тест, които формират пълна група от събития;

- количество елементаренрезултати в полза на събитието.

И веднага незабавно спиране в бокса. Разбирате ли подчертаните термини? Това означава ясно, а не интуитивно разбиране. Ако не, тогава все още е по-добре да се върнете към 1-ва статия на теория на вероятноститеи чак тогава да продължим.

Моля, не пропускайте първите примери - в тях ще повторя една фундаментално важна точка и също така ще ви кажа как правилно да форматирате решение и по какви начини може да се направи:

Задача 1

Една урна съдържа 15 бели, 5 червени и 10 черни топки. На случаен принцип е изтеглена 1 топка, намерете вероятността тя да бъде: а) бяла, б) червена, в) черна.

Решение: най-важната предпоставка за използване на класическата дефиниция на вероятността е възможност за изчисляване на общия брой резултати.

В урната има 15 + 5 + 10 = 30 топки и очевидно следните факти са верни:

– изваждането на всяка топка е еднакво възможно (равни възможностирезултати), докато резултатите елементарен и форма пълна група от събития (т.е. в резултат на теста една от 30-те топки определено ще бъде премахната).

Така общият брой резултати:

Помислете за следното събитие: – бяла топка ще бъде изтеглена от урната. Това събитие е предпочитано елементаренрезултати, така че според класическата дефиниция:
е вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната.

Колкото и да е странно, дори в толкова проста задача може да се направи сериозна неточност, на която вече се спрях в първата статия за теория на вероятностите. Къде е клопката тук? Тук е некоректно да се твърди, че "тъй като половината от топките са бели, тогава вероятността да изтеглите бяла топка» . Класическата дефиниция на вероятността е ЕЛЕМЕНТАРНОрезултати, а дробта трябва да бъде написана!

С други точки по подобен начин, разгледайте следните събития:

- от урната ще бъде изтеглена червена топка;
- Черна топка ще бъде изтеглена от урната.

Събитието се предпочита от 5 елементарни резултата, а събитието се предпочита от 10 елементарни резултата. Така че съответните вероятности са:

Типична проверка на много проблеми с terver се извършва с помощта на теореми за сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група. В нашия случай събитията образуват пълна група, което означава, че сумата от съответните вероятности задължително трябва да бъде равна на единица: .

Да проверим дали е така: , в което исках да се уверя.

Отговор:

По принцип отговорът може да бъде написан по-подробно, но лично аз съм свикнал да поставям само числа там - поради причината, че когато започнете да „щамповате“ задачи в стотици и хиляди, се стремите да минимизирате въвеждането на решение. Между другото, относно краткостта: на практика опцията за „високоскоростен“ дизайн е често срещана. решения:

Общо: 15 + 5 + 10 = 30 топки в урна. Според класическото определение:
е вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната;
е вероятността червена топка да бъде изтеглена от урната;
е вероятността черна топка да бъде изтеглена от урната.

Отговор:

Въпреки това, ако има няколко точки в условието, тогава решението често е по-удобно да се състави по първия начин, което отнема малко повече време, но след това „поставя всичко на рафтовете“ и улеснява навигацията в задача.

Загрявка:

Задача 2

Магазинът получи 30 хладилника, пет от които са с фабричен дефект. На случаен принцип е избран един хладилник. Каква е вероятността да няма дефекти?

Изберете опцията за дизайн, която ви подхожда и проверете шаблона в долната част на страницата.

В най-простите примери броят на обичайните и броят на благоприятните резултати лежат на повърхността, но в повечето случаи трябва сами да изкопаете картофите. Каноничната поредица от проблеми за забравящия абонат:

Задача 3

При набиране на телефонен номер абонатът забравя последните две цифри, но помни, че едната от тях е нула, а другата е странна. Намерете вероятността той да набере правилния номер.

Забележка : нулата е четно число (делимо на 2 без остатък)

Решение: първо намерете общия брой резултати. По условие абонатът помни, че една от цифрите е нула, а другата е нечетна. Тук е по-рационално да не се мъдри с комбинаториката и използването директно изброяване на резултатите . Тоест, когато вземаме решение, ние просто записваме всички комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И ние ги броим - общо: 10 резултата.

Има само един благоприятен изход: правилното число.

Според класическото определение:
е вероятността абонатът да набере правилния номер

Отговор: 0,1

Десетичните дроби в теорията на вероятностите изглеждат доста подходящи, но можете също да следвате традиционния стил на Вишматов, работейки само с обикновени дроби.

Разширена задача за самостоятелно решение:

Задача 4

Абонатът е забравил пин кода на SIM картата си, но си спомня, че тя съдържа три "петици", като една от цифрите е или "седем", или "осем". Каква е вероятността за успешна авторизация при първия опит?

Тук все още можете да развиете идеята за вероятността, че наказанието под формата на фарт код чака абоната, но, за съжаление, разсъжденията вече ще надхвърлят обхвата на този урок.

Решение и отговор по-долу.

Понякога изброяването на комбинации се оказва много старателна задача. По-специално, това е случаят в следващата, не по-малко популярна група задачи, където се хвърлят 2 зара (по-рядко - повече):

Задача 5

Намерете вероятността, когато се хвърлят два зара, общата сума да бъде:

а) пет точки
б) не повече от четири точки;
в) от 3 до 9 точки включително.

Решение: намерете общия брой резултати:

Начини могат да изпуснат лицето на първия зар Илицето на втория зар може да изпадне по различни начини; от правило за комбинирано умножение, Обща сума: възможни комбинации. С други думи, всекилицето на 1-ви куб може да бъде подредендвойка с всекилицето на 2-ри куб. Ние се съгласяваме да напишем такава двойка във формата , където е числото, паднало на 1-вия зар, е числото, паднало на 2-рия зар. Например:

- 3 точки на първия зар, 5 точки на втория, общ брой точки: 3 + 5 = 8;
- на първия зар паднаха 6 точки, на втория - 1 точка, сумата от точки: 6 + 1 = 7;
- двата зара хвърлени 2 точки, сума: 2 + 2 = 4.

Очевидно най-малката сума се дава от двойка, а най-голямата от две "шестици".

а) Помислете за събитието: - при хвърляне на два зара ще паднат 5 точки. Нека запишем и преброим броя на резултатите, които благоприятстват това събитие:

Общо: 4 благоприятни изхода. Според класическото определение:
е желаната вероятност.

б) Помислете за събитието: - няма да паднат повече от 4 точки. Тоест или 2, или 3, или 4 точки. Отново изброяваме и броим благоприятните комбинации, вляво ще напиша общия брой точки, а след двоеточието - подходящи двойки:

Общо: 6 благоприятни комбинации. По този начин:
- вероятността да паднат не повече от 4 точки.

в) Да разгледаме събитието: - ще паднат от 3 до 9 точки включително. Тук можете да тръгнете по прав път, но ... нещо не се усеща. Да, някои двойки вече са изброени в предишните параграфи, но има още много работа за вършене.

Кой е най-добрият начин да го направите? В такива случаи обходът се оказва рационален. Обмисли противоположно събитие: - Ще паднат 2 или 10 или 11 или 12 точки.

Какъв е смисълът? Обратното събитие се предпочита от много по-малък брой двойки:

Общо: 7 благоприятни изхода.

Според класическото определение:
- вероятността да паднат по-малко от три или повече от 9 точки.

В допълнение към директното изброяване и изчисляване на резултатите, различни комбинаторни формули. И отново епичната задача за асансьора:

Задача 7

3-ма души са влезли в асансьора на 20-етажна сграда на първия етаж. И да тръгваме. Намерете вероятността, че:

а) те ще излязат на различни етажи
б) двама ще излязат на един етаж;
в) всички ще излязат на същия етаж.

Нашият завладяващ урок приключи и накрая, още веднъж, силно препоръчвам, ако не да решите, то поне да разберете допълнителни задачи върху класическата дефиниция на вероятността. Както отбелязах, "напъхването на ръката" също има значение!

По-надолу по курса - Геометрично определение на вероятносттаИ Теореми за събиране и умножение на вероятностии ... най-вече късмет!

Решения и отговори:

Задача 2: Решение: 30 - 5 = 25 хладилника нямат дефект.

е вероятността произволно избран хладилник да няма дефект.
Отговор :

Задача 4: Решение: намерете общия брой резултати:
начини, по които можете да изберете мястото, където се намира съмнителната фигура и на всекиот тези 4 места могат да бъдат разположени 2 цифри (седем или осем). Съгласно правилото за умножение на комбинации, общият брой резултати: .
Като алтернатива в решението можете просто да изброите всички резултати (за щастие няма много от тях):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Има само един благоприятен изход (правилен пин код).
Така, според класическата дефиниция:
- вероятността абонатът да бъде авторизиран при първия опит
Отговор :

Задача 6: Решение: намерете общия брой резултати:
начини могат да пускат числа на 2 зара.

а) Помислете за събитието: - при хвърляне на два зара произведението от точки ще бъде равно на седем. За това събитие няма благоприятни резултати, според класическата дефиниция на вероятността:
, т.е. това събитие е невъзможно.

б) Нека разгледаме събитието: - при хвърляне на два зара, произведението от точки ще бъде най-малко 20. Това събитие се предпочита от следните резултати:

Общо: 8
Според класическото определение:
е желаната вероятност.

в) Разгледайте противоположни събития:
– произведението на точките ще бъде четно;
– произведението на точките ще бъде нечетно.
Нека изброим всички резултати, които благоприятстват събитието:

Общо: 9 благоприятни изхода.
Според класическата дефиниция на вероятността:
Противоположните събития образуват пълна група, така че:
е желаната вероятност.

Отговор :

Задача 8: Решение: изчислете общия брой резултати: 10 монети могат да паднат по различни начини.
Друг начин: 1-вата монета може да падне по различни начини ИВтората монета може да падне по различни начини И … Иначини, по които може да падне 10-та монета. Според правилото за умножаване на комбинации могат да паднат 10 монети начини.
а) Помислете за събитието: - всички монети ще паднат глави. Това събитие е облагодетелствано от един изход, според класическата дефиниция на вероятността: .
б) Помислете за събитието: - 9 монети ще излязат с глави и една ще излезе с опашки.
Има монети, които могат да приземят опашки. Според класическата дефиниция на вероятността: .
в) Помислете за събитието: - главите ще паднат върху половината от монетите.
Съществува уникални комбинации от пет монети, които могат да приземят глави. Според класическата дефиниция на вероятността:
Отговор :

Теорията на вероятностите е математическа наука, която изучава моделите в случайни явления. Възникването на теорията датира от средата на 17 век и се свързва с имената на Хюйгенс, Паскал, Ферма, Й. Бернули.

Нередуцируемите резултати,..., от някакъв експеримент ще се наричат ​​елементарни събития, а тяхната съвкупност

(крайното) пространство на елементарните събития или пространството на резултатите.

Пример 21. а) При хвърляне на зар пространството на елементарните събития се състои от шест точки:

б) След това хвърлете монета два пъти подред

където G - "герб", R - "решетка" и общият брой резултати

в) Хвърляме монета до първото появяване на "герба", след което

В този случай се нарича дискретно пространство на елементарни събития.

Обикновено човек не се интересува какъв конкретен резултат се получава в резултат на теста, а дали резултатът принадлежи към едно или друго подмножество от всички резултати. Всички тези подмножества, за които според условията на експеримента е възможен отговор от един от двата вида: „изход“ или „изход“, ще наричаме събития.

В пример 21 б), множеството = (ГГ, СР, РТ) е събитие, състоящо се в това, че отпада поне един "герб". Следователно едно събитие се състои от три елементарни резултата от пространството

Сумата от две събития се нарича събитие, състоящо се в изпълнението на събитие или събитие.

Продукт от събития е събитие, състоящо се в съвместното изпълнение на събитие и събитие.

Обратното на събитие е събитие, което се състои в неявяване и следователно го допълва преди.

Множество се нарича определено събитие, празно множество се нарича невъзможно.

Ако всяко появяване на събитие е придружено от събитие, тогава те пишат и казват какво предшества или включва.

Събитията и се наричат ​​еквивалентни, ако и.

Определение. Вероятността за събитие е число, равно на съотношението на броя на елементарните резултати, които съставляват събитието, към броя на всички елементарни резултати

Случаят на еднакво вероятни събития (наречен "класически", следователно вероятността

наречен "класически".

Елементарни събития (резултати от опит), включени в събитието, се наричат ​​"благоприятни".

Свойства на класическата вероятност:

Ако (и са несъвместими събития).

Пример 22 (проблем на Хюйгенс). Една урна съдържа 2 бели и 4 черни топки. Един комарджия се обзалага с друг, че сред 3-те изтеглени топки ще има точно една бяла. Какво е съотношението на шансовете на спорещите?

Решение 1 (традиционно). В този случай тестът = (теглене на 3 топки) и събитието е благоприятно за един от спорещите:

= (вземете точно една бяла топка).

Тъй като редът, в който са изтеглени трите топки, не е важен

Една бяла топка може да се получи в случаите, а две черни - , а след това според основното правило на комбинаториката. Следователно a по петото свойство на вероятността Следователно,

Решение 2. Нека направим вероятностно дърво на резултатите:

Пример 23. Помислете за касичка, в която са останали четири монети - три по 2 рубли всяка. и един за 5 рубли. Извличаме две монети.

Решение. а) Две последователни екстракции (с връщане) могат да доведат до следните резултати:

Каква е вероятността за всеки от тези резултати?

Таблицата показва всички шестнадесет възможни случая.

следователно

Следното дърво води до същите резултати:

б) Две последователни екстракции (без повторение) могат да доведат до следните три резултата:

Таблицата показва всички възможни резултати:

следователно

Съответното дърво води до същите резултати:

Пример 24 (проблем на дьо Мер). Двама играят "хвърляне" до пет победи. Играта се прекратява, когато първият спечели четири игри, а вторият три. Как трябва да се раздели първоначалният залог в този случай?

Решение. Нека събитието = (печели награда от първия играч). Тогава вероятностното дърво за изплащане за първия играч е:

Следователно три части от залога трябва да бъдат дадени на първия играч и една част на втория.

Нека покажем ефективността на решаването на вероятностни проблеми с помощта на графики, като използваме следния пример, който разгледахме в Раздел 1 (Пример 2).

Пример 25. Справедлив ли е изборът с помощта на "броене"?

Решение. Нека направим вероятностно дърво на резултатите:

и следователно, когато играете "броене", е по-изгодно да останете втори.

В последното решение се използват интерпретации на графики на теоремите за събиране и умножение на вероятности:

и по-специално

Ако и са несъвместими събития

и, ако и са независими събития.

Статична вероятност

Класическата дефиниция при разглеждане на сложни проблеми среща трудности от непреодолим характер. По-специално, в някои случаи може да не е възможно да се идентифицират еднакво вероятни случаи. Дори в случай на монета, както е известно, има очевидно не еднакво вероятна възможност за изпадане на "ръб", която не може да бъде оценена от теоретични съображения (може само да се каже, че е малко вероятно и това съображение е по-скоро практическо ). Следователно, в зората на формирането на теорията на вероятността, беше предложено алтернативно "честотно" определение на вероятността. А именно, формално вероятността може да се дефинира като границата на честотата на наблюденията на събитието А, като се приеме хомогенността на наблюденията (т.е. еднаквостта на всички условия на наблюдение) и тяхната независимост едно от друго:

където е броят на наблюденията и е броят на случванията на събитието.

Въпреки факта, че това определение по-скоро показва начин за оценка на неизвестна вероятност - чрез голям брой хомогенни и независими наблюдения - все пак това определение отразява съдържанието на понятието вероятност. А именно, ако на дадено събитие се приписва определена вероятност, като обективна мярка за неговата възможност, то това означава, че при фиксирани условия и многократни повторения трябва да получим честота на случването му, близка до (колкото по-близо, толкова повече наблюдения). Всъщност това е първоначалното значение на понятието вероятност. Основава се на обективистичен възглед за природните явления. По-долу ще разгледаме така наречените закони на големите числа, които дават теоретична основа (в рамките на съвременния аксиоматичен подход, представен по-долу), включително за честотната оценка на вероятността.

Вероятностсъбитие е съотношението на броя на елементарните резултати, които благоприятстват дадено събитие, към броя на всички еднакво възможни резултати от опит, в който това събитие може да се случи. Вероятността за събитие А се обозначава с P(A) (тук P е първата буква от френската дума probabilite - вероятност). Според дефиницията
(1.2.1)
където е броят на елементарните резултати, благоприятстващи събитие А; - броят на всички еднакво възможни елементарни резултати от опита, образуващи пълна група от събития.
Това определение на вероятността се нарича класическо. Възниква в началния етап от развитието на теорията на вероятностите.

Вероятността за събитие има следните свойства:
1. Вероятността за определено събитие е равна на единица. Нека обозначим определено събитие с буквата. За определено събитие, следователно
(1.2.2)
2. Вероятността за невъзможно събитие е нула. Означаваме невъзможното събитие с буквата . За невъзможно събитие, следователно
(1.2.3)
3. Вероятността за случайно събитие се изразява като положително число, по-малко от едно. Тъй като неравенствата , или са изпълнени за случайно събитие, тогава
(1.2.4)
4. Вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
(1.2.5)
Това следва от съотношенията (1.2.2)-(1.2.4).

Пример 1Една урна съдържа 10 топки с еднакъв размер и тегло, от които 4 са червени и 6 са сини. От урната се изтегля една топка. Каква е вероятността изтеглената топка да е синя?

Решение. Събитието „изтеглената топка се оказа синя“ ще бъде отбелязано с буквата А. Този опит има 10 еднакво възможни елементарни изхода, от които 6 благоприятстват събитие А. В съответствие с формула (1.2.1) получаваме

Пример 2Всички естествени числа от 1 до 30 са написани на еднакви карти и поставени в урна. След старателно смесване на картите, едната карта се изважда от урната. Каква е вероятността числото на изтеглената карта да е кратно на 5?

Решение.Означаваме с А събитието "числото на взетата карта е кратно на 5". В този тест има 30 еднакво възможни елементарни изхода, от които 6 изхода са в полза на събитие А (номера 5, 10, 15, 20, 25, 30). следователно

Пример 3Хвърлят се два зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Намерете вероятността за събитие B, състоящо се в това, че горните стени на кубовете ще имат общо 9 точки.

Решение.Има 6 2 = 36 еднакво възможни елементарни резултата в този опит. Събитие B е облагодетелствано от 4 резултата: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), така че

Пример 4. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 10. Каква е вероятността това число да е просто?

Решение.Означаваме с буквата C събитието "избраното число е просто". В този случай n = 10, m = 4 (прости числа 2, 3, 5, 7). Следователно желаната вероятност

Пример 5Хвърлят се две симетрични монети. Каква е вероятността и двете монети да имат цифри от горната страна?

Решение.Нека обозначим с буквата D събитието "имаше число от горната страна на всяка монета". Има 4 еднакво възможни елементарни резултата в този тест: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Означението (G, C) означава, че на първата монета има герб, на втората - число). Събитие D се предпочита от един елементарен изход (C, C). Тъй като m = 1, n = 4, тогава

Пример 6Каква е вероятността цифрите в произволно избрано двуцифрено число да са еднакви?

Решение.Двуцифрените числа са числата от 10 до 99; такива числа са общо 90. 9 числа са с еднакви цифри (това са числата 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Тъй като в този случай m = 9, n = 90, тогава
,
където A е събитието „число с еднакви цифри“.

Пример 7От буквите на думата диференциаледна буква се избира произволно. Каква е вероятността тази буква да бъде: а) гласна б) съгласна в) буква ч?

Решение. В думата диференциал има 12 букви, от които 5 са ​​гласни и 7 са съгласни. Писма чтази дума не го прави. Нека обозначим събитията: A - "гласна", B - "съгласна", C - "буква ч". Броят на благоприятните елементарни резултати: - за събитие A, - за събитие B, - за събитие C. Тъй като n \u003d 12, тогава
, И .

Пример 8Хвърлят се два зара, като се отбелязва броят на точките на горната страна на всеки зар. Намерете вероятността двата зара да имат еднакъв брой точки.

Решение.Ние обозначаваме това събитие с буквата A. Събитие A се предпочита от 6 елементарни изхода: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Общо има еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, в този случай n=6 2 =36. Така че желаната вероятност

Пример 9Книгата има 300 страници. Каква е вероятността произволно отворена страница да има пореден номер, кратен на 5?

Решение.От условията на задачата следва, че от всички еднакво възможни елементарни изхода, които образуват пълна група от събития, ще има n = 300. От тях m = 60 благоприятстват настъпването на определеното събитие. Наистина, число, което е кратно на 5, има формата 5k, където k е естествено число и , откъдето . следователно
, където A - събитието "страница" има пореден номер, който е кратен на 5".

Пример 10. Хвърлят се два зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно да получи общо 7 или 8?

Решение. Нека обозначим събитията: A - "7 точки паднаха", B - "8 точки паднаха". Събитие A се благоприятства от 6 елементарни изхода: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а събитие B - от 5 изхода: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Има n = 6 2 = 36 от всички еднакво възможни елементарни резултати. Следователно, И .

И така, P(A)>P(B), тоест получаването на общо 7 точки е по-вероятно събитие от получаването на общо 8 точки.

Задачи

1. На случаен принцип е избрано естествено число, не по-голямо от 30. Каква е вероятността това число да е кратно на 3?
2. В урната ачервено и bсини топки с еднакъв размер и тегло. Каква е вероятността произволно изтеглена топка от тази урна да е синя?
3. На случаен принцип се избира число, което не надвишава 30. Каква е вероятността това число да е делител на zo?
4. В урната Асиньо и bчервени топки с еднакъв размер и тегло. Една топка се изтегля от тази урна и се оставя настрана. Тази топка е червена. След това от урната се изтегля друга топка. Намерете вероятността втората топка също да е червена.
5. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 50. Каква е вероятността това число да е просто?
6. Хвърлят се три зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно - да получите общо 9 или 10 точки?
7. Хвърлят се три зара, изчислява се сумата на падналите точки. Какво е по-вероятно да получи общо 11 (събитие A) или 12 точки (събитие B)?

Отговори

1. 1/3. 2 . b/(а+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(а+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - вероятността да получите общо 9 точки; p 2 \u003d 27/216 - вероятността да получите общо 10 точки; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Въпроси

1. Какво се нарича вероятност за събитие?
2. Каква е вероятността за определено събитие?
3. Каква е вероятността за невъзможно събитие?
4. Какви са границите на вероятността от случайно събитие?
5. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?
6. Каква дефиниция на вероятността се нарича класическа?

За да се сравнят количествено събитията едно с друго според тяхната степен на възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-вероятно е събитието. Ние наричаме това число вероятност на събитието. По този начин, вероятност за събитиее числена мярка за степента на обективна възможност за това събитие.

Класическата дефиниция на вероятността, възникнала от анализа на хазарта и първоначално прилагана интуитивно, трябва да се счита за първата дефиниция на вероятността.

Класическият начин за определяне на вероятността се основава на концепцията за еднакво вероятни и несъвместими събития, които са резултат от дадено преживяване и образуват пълна група от несъвместими събития.

Най-простият пример за еднакво възможни и несъвместими събития, които образуват пълна група, е появата на една или друга топка от урна, съдържаща няколко топки с еднакъв размер, тегло и други осезаеми характеристики, различаващи се само по цвят, старателно смесени преди да бъдат извадени .

Следователно, тест, чиито резултати образуват пълна група от несъвместими и еднакво вероятни събития, се казва, че се свежда до схема от урни или схема от случаи, или се вписва в класическата схема.

Еднакво възможни и несъвместими събития, които съставляват пълна група, ще се наричат ​​просто случаи или шансове. Освен това във всеки експеримент, наред със случаите, могат да възникнат и по-сложни събития.

Пример: При хвърляне на зар, заедно със случаи A i - i-точки, падащи на горната страна, събития като B - четен брой изпадащи точки, C - кратно на три изпадащи точки ...

Във връзка с всяко събитие, което може да възникне по време на провеждането на експеримента, случаите са разделени на благоприятен, при които това събитие настъпва, и неблагоприятни, при които събитието не настъпва. В предишния пример събитие B е предпочитано от случаи A 2 , A 4 , A 6 ; събитие C - случаи A 3 , A 6 .

класическа вероятностнастъпването на някакво събитие е съотношението на броя на случаите, които благоприятстват появата на това събитие, към общия брой случаи на еднакво възможни, несъвместими, съставляващи пълна група в даден опит:

Където P(A)- вероятност за настъпване на събитие А; м- брой случаи, благоприятни за събитие А; не общият брой случаи.

Примери:

1) (вижте примера по-горе) P(B)= , P(C) =.

2) Една урна съдържа 9 червени и 6 сини топки. Намерете вероятността една или две произволно изтеглени топки да бъдат червени.

А- червена топка, изтеглена на случаен принцип:

м= 9, н= 9 + 6 = 15, P(A)=

б- две произволно изтеглени червени топки:

Следните свойства следват от класическата дефиниция на вероятността (покажете себе си):

1) Вероятността за невъзможно събитие е 0;

2) Вероятността за определено събитие е 1;

3) Вероятността за всяко събитие е между 0 и 1;

4) Вероятността за събитие, противоположно на събитие А,

Класическата дефиниция на вероятността предполага, че броят на резултатите от едно изпитание е краен. На практика обаче много често има изпитания, чийто брой възможни случаи е безкраен. В допълнение, слабостта на класическата дефиниция е, че много често е невъзможно да се представи резултатът от теста като набор от елементарни събития. Още по-трудно е да се посочат основанията елементарните резултати от теста да се считат за еднакво вероятни. Обикновено равенството на елементарните резултати от теста се заключава от съображения за симетрия. Такива задачи обаче са много редки на практика. Поради тези причини, наред с класическата дефиниция за вероятност се използват и други дефиниции за вероятност.

Статистическа вероятностсъбитие A е относителната честота на възникване на това събитие в извършените тестове:

където е вероятността за възникване на събитие А;

Относителна честота на поява на събитие А;

Броят опити, в които се появи събитие А;

Общият брой опити.

За разлика от класическата вероятност, статистическата вероятност е характеристика на експерименталната.

Пример: За контрол на качеството на продуктите от партида са избрани на случаен принцип 100 продукта, сред които 3 продукта са се оказали дефектни. Определете вероятността от брак.

.

Статистическият метод за определяне на вероятността е приложим само за онези събития, които имат следните свойства:

Разглежданите събития трябва да бъдат резултатите само от тези опити, които могат да бъдат възпроизведени неограничен брой пъти при едни и същи условия.

Събитията трябва да имат статистическа стабилност (или стабилност на относителните честоти). Това означава, че в различни серии от тестове относителната честота на събитието не се променя значително.

Броят на опитите, които водят до събитие А, трябва да е достатъчно голям.

Лесно е да се провери, че свойствата на вероятността, които следват от класическата дефиниция, се запазват и в статистическата дефиниция на вероятността.