Закон за големите числа. Пределни теореми на теорията на вероятностите

Тъй като много случайни променливи в приложенията се формират под въздействието на няколко слабо зависими случайни фактора, тяхното разпределение се счита за нормално. В този случай трябва да е изпълнено условието нито един от факторите да не е доминиращ. Централните гранични теореми в тези случаи оправдават използването на нормалното разпределение.

Енциклопедичен YouTube

• 1 / 5

  Нека има безкрайна последователност от независими еднакво разпределени случайни променливи с крайно очакване и дисперсия. Нека отбележим последното μ (\displaystyle \mu )И σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)), съответно. Нека също

  . S n − μ n σ n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))\до N(0,1) )чрез разпространение в ,

  Където N (0 , 1) (\displaystyle N(0,1))- нормално разпределение с нулево математическо очакване и стандартно отклонение равно на единица. Чрез символизиране на извадковата средна стойност на първото n (\displaystyle n)количества, т.е X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i=1)^( n)X_(i)), можем да пренапишем резултата от централната гранична теорема, както следва:

  n X ¯ n − μ σ → N (0 , 1) (\displaystyle (\sqrt (n))(\frac ((\bar (X))_(n)-\mu )(\sigma ))\до N(0,1))чрез разпространение при n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  Скоростта на конвергенция може да се оцени с помощта на неравенството на Бери-Есеен.

  Бележки

  • Неформално казано, класическата централна гранична теорема гласи, че сумата n (\displaystyle n)независими еднакво разпределени случайни променливи има разпределение, близко до N (n μ , n σ 2) (\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^(2))). еквивалентно, X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n))има разпространение близко до N (μ , σ 2 / n) (\displaystyle N(\mu ,\sigma ^(2)/n)).
  • Тъй като функцията на разпределение на стандартното нормално разпределение е непрекъсната, сходимостта към това разпределение е еквивалентна на точковата сходимост на функциите на разпределение към функцията на разпределение на стандартното нормално разпределение. Поставяне Z n = S n − μ n σ n (\displaystyle Z_(n)=(\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))), получаваме F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R (\displaystyle F_(Z_(n))(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb (R) ), Където Φ (x) (\displaystyle \Phi (x))- функция на разпределение на стандартното нормално разпределение.
  • Централната пределна теорема в класическата формулировка се доказва чрез метода на характеристичните функции (теорема за непрекъснатостта на Леви).
  • Най-общо казано, сходимостта на функциите на разпределение не предполага сходимост на плътностите. Въпреки това в този класически случай това е така.

  Местен C.P.T.

  При предположенията на класическата формулировка, нека приемем в допълнение, че разпределението на случайни променливи ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty ))абсолютно непрекъснато, тоест има плътност. Тогава разпределението също е абсолютно непрекъснато и освен това,

  f Z n (x) → 1 2 π e − x 2 2 (\displaystyle f_(Z_(n))(x)\to (\frac (1)(\sqrt (2\pi )))\,e^ (-(\frac (x^(2))(2))))при n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ),

  Където f Z n (x) (\displaystyle f_(Z_(n))(x))- плътност на случайна величина Z n (\displaystyle Z_(n)), а от дясната страна е плътността на стандартното нормално разпределение.

  Обобщения

  Резултатът от класическата централна гранична теорема е валиден за ситуации, много по-общи от пълната независимост и равното разпределение.

  C. P. T. Lindeberg

  Нека независими случайни променливи X 1 , … , X n , … (\displaystyle X_(1),\ldots ,X_(n),\ldots )са дефинирани в едно и също вероятностно пространство и имат крайни очаквания и отклонения: E [ X i ] = μ i, D [ X i ] = σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =\mu _(i),\;\mathrm (D) =\sigma _(i)^( 2)).

  Позволявам S n = ∑ i = 1 n X i (\displaystyle S_(n)=\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)).

  Тогава E [ S n ] = m n = ∑ i = 1 n μ i , D [ S n ] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =m_(n)=\sum \ граници _(i=1)^(n)\mu _(i),\;\mathrm (D) =s_(n)^(2)=\сума \граници _(i=1)^(n)\ сигма_(i)^(2)).

  И нека бъде направено състояние на Линдеберг:

  ∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [ (X i − μ i) 2 s n 2 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) ] = 0 , (\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _(n\to \infty )\sum \limits _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[(\frac ((X_(i)-\ mu _(i))^(2))(s_(n)^(2)))\,\mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_ (n)\))\right]=0,)

  Където 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) (\displaystyle \mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_(n)\)))функция - индикатор.

  чрез разпространение при n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  Ц. П. Т. Ляпунова

  Нека основните допускания на C. P. T. Lindeberg са изпълнени. Нека случайните променливи ( X i ) (\displaystyle \(X_(i)\))имат краен трети момент. След това се определя последователността

  r n 3 = ∑ i = 1 n E [ | X i − μ i | 3 ] (\displaystyle r_(n)^(3)=\sum _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[|X_(i)-\mu _(i)|^(3 )\надясно]).

  Ако границата

  lim n → ∞ r n s n = 0 (\displaystyle \lim \limits _(n\to \infty )(\frac (r_(n))(s_(n)))=0) (Състояние на Ляпунов), S n − m n s n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-m_(n))(s_(n)))\до N(0,1))чрез разпространение при n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  C.P.T. за мартингали

  Оставете процеса (X n) n ∈ N (\displaystyle (X_(n))_(n\in \mathbb (N) ))е мартингал с ограничени нараствания. По-специално, нека приемем, че

  E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , (\displaystyle \mathbb (E) \left=0,\;n\in \mathbb (N) ,\;X_(0)\equiv 0,)

  и увеличенията са равномерно ограничени, т.е

  ∃ C > 0 ∀ n ∈ N | X n + 1 − X n | ≤ C (\displaystyle \exists C>0\,\forall n\in \mathbb (N) \;|X_(n+1)-X_(n)|\leq C) τ n = min ( k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n ) (\displaystyle \tau _(n)=\min \left\(k\left\vert \;\sum _(i=1)^ (k)\sigma _(i)^(2)\geq n\right.\right\)). X τ n n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (X_(\tau _(n)))(\sqrt (n)))\до N(0,1))чрез разпространение при n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  В края на 19 век в теорията на вероятностите възниква направление на изследване, което се нарича: гранични теореми на теорията на вероятностите. В тази посока, започната от П. Л. Чебишев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, и до днес се провеждат интензивни изследвания. Граничните теореми на теорията на вероятностите могат да бъдат разделени на две големи групи.

  • 1. Една група от теореми съставлява „закона за големите числа“. Законът за големите числа формулира условията, при които комбинираното действие на голям брой случайни фактори води до резултат, почти независим от случайността (т.е. почти постоянен резултат).
  • 2. Втората група теореми е свързана с изясняване на въпроса за разпределението на сумите на голям брой случайни величини. Тези теореми изясняват какви закони на разпределение може да има сбор от случайни променливи, ако броят на членовете нараства неограничено, и какви условия трябва да бъдат наложени на самите променливи. По-специално, централната гранична теорема е посветена на установяването на количествата, при които възниква нормален закон за разпределение.

  Централна гранична теорема

  Първата версия на тази теорема е доказана през 1912 г. от А. М. Ляпунов. Понастоящем има няколко формулировки на тази теорема, които се различават по условията, които се налагат на случайните променливи. Нека представим най-простата версия на централната гранична теорема за еднакво разпределени независими случайни променливи.

  Нека е последователност от еднакво разпределени случайни променливи с математически очаквания и дисперсии.

  Теорема.Ако случайните променливи са независими и, тогава за достатъчно голямо n законът за разпределение на сумата ще бъде произволно близък до нормалния закон за разпределение.

  Тъй като при условията на теоремата случайните величини са независими, то

  

  тези. при условията на теоремата сумата има закон на разпределение, близък до. Тъй като наи с растеж н, увеличаване, е по-удобно да се разглеждат не само суми, а нормализирани суми. Такива суми имат закон за разпределение.

  Доказателството на теоремата не е дадено, защото изисква въвеждането на много допълнителни понятия и твърдения. Похарчени са много усилия за облекчаване на условията, наложени върху случайните променливи в централната гранична теорема. По-специално се оказа, че теоремата остава валидна за слабо зависими случайни променливи. Както вече беше отбелязано, има много опции и съответно формулировки на централната гранична теорема, но във всички тези опции същността на условията е една и съща: Ако една случайна променлива може да бъде представена като сума от голям брой независими ( или слабо зависими) случайни променливи, всяка от които е малка в сравнение със сумата, тогава тази сума има закон на разпределение, близък до нормалния.

  Пример 1. Ясна илюстрация на действието на централната гранична теорема е разпръскването на снаряди по време на артилерийски огън. Траекторията на снаряда се влияе от голям брой независими фактори, влиянието на всеки от които е малко. Тези фактори са отклонения в размера на заряда, в размера и теглото на снаряда, силата и посоката на вятъра на различни височини, плътността на въздушните завихряния, в зависимост от температурата и влажността на въздуха и др.

  В резултат на това отклонението на снаряда от целта има приблизително нормален закон на разпределение.

  Пример 2: Друг известен пример е грешка, която възниква по време на измервания. Грешката, като правило, е сумата от малки грешки, възникващи поради действието на случайни фактори като температура на околната среда, състояние на наблюдателя, състояние на измервателното устройство и др.

  Теорията на вероятностите изучава моделите, присъщи на масовите случайни явления. Както всяка друга наука, теорията на вероятностите има за цел да предскаже резултата от определено явление или експеримент възможно най-точно. Ако явлението е изолирано, тогава теорията на вероятностите може да предскаже само вероятността от резултата в много широки граници. Закономерностите се появяват само при голям брой случайни явления, възникващи при хомогенни условия.

  Група от теореми, които установяват съответствие между теоретичните и експерименталните характеристики на случайни променливи и случайни събития с голям брой тестове върху тях, както и относно пределните закони на разпределение, са обединени под общото наименование гранични теореми на теорията на вероятностите.

  Има два вида гранични теореми: законът за големите числа и централната гранична теорема.

  Закон за големите числа, който заема най-важното място в теорията на вероятностите, е свързващото звено между теорията на вероятностите като математическа наука и закономерностите на случайните явления при масовите им наблюдения.

  Законът играе много важна роля в практическите приложения на теорията на вероятностите за природни явления и технически процеси, свързани с масовото производство.

  Пределните закони за разпределение формират предмет на група теореми - количествената форма на закона за големите числа. Тези. законът на големите числа е поредица от теореми, всяка от които установява факта, че средните характеристики на голям брой тестове се доближават до определени определени константи, т.е. установи факта на сходимост на вероятността на някои случайни променливи към константи. Това са теоремите на Бернули, Поасон, Ляпунов, Марков, Чебишев.

  1. А) Теорема на Бернули – закон за големите числа (беше формулирано и доказано по-рано в параграф 3 от § 6 при разглеждане на граничната интегрална теорема на Моавр-Лаплас.)

  С неограничено увеличаване на броя на хомогенните независими експерименти, честотата на дадено събитие ще се различава толкова малко, колкото желаете, от вероятността за събитие в отделен експеримент. В противен случай, вероятността, че отклонението в относителната честота на дадено събитие Аот постоянна вероятност Рсъбития Амного малко, когато клони към 1 за всяко: .

  б) теорема на Чебишев.

  При неограничено увеличаване на броя на независимите опити средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива с крайна дисперсия се сближава по вероятност с нейното математическо очакване; в противен случай, ако независими еднакво разпределени случайни променливи с математическо очакване и ограничени дисперсия , тогава за всеки един е вярно следното: .

  Теорема на Чебишев (обобщена).Ако случайните променливи в последователността са по двойки независими и техните дисперсии удовлетворяват условието , тогава за всяко положително ε > 0 е вярно следното твърдение:

  
  

  или какво е същото .

  в) теорема на Марков. (закон за големите числа в обща формулировка)

  Ако дисперсиите на произволни случайни променливи в последователността отговарят на условието: , тогава за всяко положително ε > 0 твърдението на теоремата на Чебишев е валидно: .

  г) теорема на Поасон.

  С неограничено увеличаване на броя на независимите експерименти при променливи условия, честотата на събитието Асе сближава по вероятност до средното аритметично на неговите вероятности за дадени тестове.

  Коментирайте.В нито една от формите на закона за големите числа не се занимаваме със законите за разпределение на случайни променливи. Въпросът, свързан с намирането на пределния закон за разпределение на сумата, когато броят на членовете нараства неограничено, се разглежда от централната гранична теорема. идентично разпределени, тогава стигаме до интегралната теорема на Moivre-Laplace (раздел 3 от § 6), която е най-простият специален случай на централната гранична теорема.

  ГРАНИЧНИ ТЕОРЕМИ НА ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ.

  В края на 19 век в теорията на вероятностите възниква направление на изследване, което се нарича: гранични теореми на теорията на вероятностите. В тази посока, започната от нашите сънародници П. Л. Чебишев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, и до днес се провеждат интензивни изследвания. Граничните теореми на теорията на вероятностите могат да бъдат разделени на две големи групи.

  1. Една група от теореми съставлява „закона за големите числа“. Законът за големите числа формулира условията, при които комбинираното действие на голям брой случайни фактори води до резултат, почти независим от случайността (т.е. почти постоянен резултат)

  2. Втората група теореми е свързана с изясняване на въпроса за разпределението на сумите на голям брой случайни величини. Тези теореми изясняват какви закони на разпределение може да има сбор от случайни променливи, ако броят на членовете нараства неограничено, и какви условия трябва да бъдат наложени на самите променливи. По-специално, централната гранична теорема е посветена на установяването на количествата, при които възниква нормален закон за разпределение.

  Централна гранична теорема

  Първата версия на тази теорема е доказана през 1912 г. от А. М. Ляпунов. Понастоящем има няколко формулировки на тази теорема, които се различават по условията, които се налагат на случайните променливи. Представяме най-простата версия на централната гранична теорема за еднакво разпределени независими случайни променливи.

  Нека е последователност от еднакво разпределени случайни променливи с математически очаквания и дисперсии.

  ТЕОРЕМА. Ако случайните променливи са независими и , тогава за достатъчно голямн закон за разпределение на сумата ще бъде произволно близо до нормалния закон за разпределение.

  Тъй като при условията на теоремата случайните величини са независими, то

  тези. при условията на теоремата сумата има закон на разпределение, близък до .Така че" катона И с растеж П,увеличение, е по-удобно да се разглеждат не само сумите , и нормализираните суми . Такива суми имат закон за разпределение.

  Ние не предоставяме доказателство на теоремата, защото изисква въвеждането на много допълнителни понятия и твърдения. Похарчени са много усилия за облекчаване на условията, наложени върху случайните променливи в централната гранична теорема. По-специално се оказа, че теоремата остава валидна за слабо зависими случайни променливи. Както вече беше отбелязано, има много опции и съответно формулировки на централната гранична теорема, но във всички тези опции същността на условията е една и съща: Ако една случайна променлива може да бъде представена като сума от голям брой независими ( или слабо зависими) случайни променливи, всяка от които е малка в сравнение със сумата, тогава тази сума има закон на разпределение, близък до нормалния.

  Пример 1. Ясна илюстрация на действието на централната гранична теорема е разпръскването на снаряди по време на артилерийски огън. Траекторията на снаряда се влияе от голям брой независими фактори, влиянието на всеки от които е малко. Тези фактори са отклонения в размера на заряда, в размера и теглото на снаряда, силата и посоката на вятъра на различни височини, плътността на въздушните завихряния, в зависимост от температурата и влажността на въздуха и др.

  В резултат на това отклонението на снаряда от целта има приблизително нормален закон на разпределение.

  Пример 2. Друг известен пример е грешката, възникнала по време на измерванията. Грешката, като правило, е сумата от малки грешки, възникващи поради действието на случайни фактори като температура на околната среда, състояние на наблюдателя, състояние на измервателното устройство и др.

  Интегрална теорема на Лаплас.

  Нека X е броят на появяванията на събитие в Пнезависими експерименти, във всеки от които вероятността за настъпване на събитие е равна на , Тогава за достатъчно големин вероятността събитието да се случи е равна на

  , където q =1- p , Ф(х) – функция на Лаплас.

  Тази теорема е следствие от централната гранична теорема, въпреки че е доказана много по-рано от нея. Всъщност броят на случванията на дадено събитие вн независимите експерименти могат да бъдат представени по следния начин

  Брой успехи

  където е броят на появяванията на събитието в i -m експеримент и по-рано беше показано, че И . Тези.х е сумата от голям брой независими случайни променливи и . Условията на централната гранична теорема са изпълнени,х има закон
  разпространение близо до

  Ако за този закон на разпределение запишем вероятността случайна променлива да попадне в интервала, използвайки формулата, тогава получаваме твърдението на теоремата (Moivre-Laplace).

  Пример 1. Вероятността да се произведе продукт от втори клас е 0,2. Продуктите се изпращат на партиди от 100 бр. Каква е вероятността партида, взета на случаен принцип, да съдържа от 20 до 25 второкласни продукта?

  Имаме n = 100, p = 0,2, q = 0,8

  Закони за разпределение на честотата на събитията.

  Помислете за честотата на възникване на събитие във веригатан независими експерименти. Може да се представи чрез индикатор за събитиеаз , разглеждани в дискретно r.v.,като

  ,

  тези. е сумата от голям брой независими еднакво разпределени случайни променливи, всяка от които има дисперсия . Според централната гранична теорема честотата на събитие има закон, близък до нормалния закон на разпределение, с параметри

  И така, честотата на събитието има закон на разпределение, близък до нормалниян( стр, ). Използвайки формулата, можете да получите връзката

  П( =2 .

  Закон за големите числа.

  Както вече беше споменато, законът за големите числа формулира условията, при които характеристиките на всяко отделно случайно явление нямат почти никакъв ефект върху средния резултат от съвкупността от такива явления. Най-ярката илюстрация на проявлението на закона за големите числа е постоянството на налягането на газа. Всяка газова молекула, движеща се хаотично, в произволни моменти от време се сблъсква със стената на съда, в който е затворен газът. Въпреки това, поради големия брой молекули, налягането на газа, като общ резултат от сблъсъци на газови молекули със стените на съда, остава практически постоянно.

  Доказателството на редица теореми, включени в закона за големите числа, се основава на едно просто неравенство, което сега ще изведем.

  Неравенството на Чебишев.

  Каквото и да е положителното число a, вероятността случайната променлива да се отклони от математическото си очакване с не по-малко от a е ограничена отгоре с , т.е.

  

  Неравенството на Чебишев може да се запише в еквивалентен вид

  

  от събитията И противоположност.

  Определение. Казва се, че последователност от случайни променливи се сближава по вероятност към номера А, ако за произволно малко e >oвероятност за неравенство с нарастванен , се доближава до единството неограничено, т.е.

  

  Теорема на Чебишев.

  Нека се наблюдава същата случайна променливах с математическо очакване M(X) и дисперсия. Нека означим с резултата от първото наблюдение, второто наблюдение и т.н.

  С увеличаване на броя на независимите експериментин средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се сближава по вероятност с нейното математическо очакване, т.е.

  

  Тази теорема оправдава следния метод за определяне на математическото очакване на случайна променлива въз основа на експериментални данни: трябва да направите доста наблюдения на случайната променлива и да изчислите средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности. Ако броят на наблюденията е голям, тогава е почти сигурно, че той малко се различава от математическото очакване на наблюдаваната стойност и може да се приеме като приблизителна стойност на математическото очакване.

  Обикновено при измерване на физични величини се правят няколко измервания и за стойност на измерваната величина се приема средноаритметичното от резултатите от измерването. Обосновката за този метод на действие е дадена от теоремата на Чебишев. Нека измерим някаква физическа константа a. Възможно е да има грешка в измерванетох и всъщност получаваме стойността при измерване А.+ х . Ако не правим систематична грешка, с други думи, ако M(X)=0, тогава M(a+X)=M(a)+M(X)=a. Това означава, че при достатъчно голям брой измервания средноаритметичната стойност на техните резултати ще бъде равна на математическото очакване (според термина на Чебишев) и възможно най-близо до желаното с вероятност някъде близо до единица. По този начин дори неточен инструмент може да осигури всяка желана точност с посочения метод на действие. За начини за количествено определяне на тази точност вижте

  Теорема на Бернули.

  Нека се произвеждач независими експерименти, във всеки от които вероятността за възникване на събитие А е равна на p. Честота на възникване на събитие в тезич експерименти е случайна променлива с математическо очакване и дисперсия.

  Теорема на Бернули. С нарастването на броя на независимите експерименти честотата на дадено събитие се сближава по вероятност с вероятността за това събитие, т.е. за всяко e>0

  

  Доказателство. Нека напишем неравенството на Чебишев , където за случайната променлива .

  

  Тъй като p, q , e са константи, тогава , при . Ето защо

  

  Но вероятността не може да надвишава единица, което означава, че в тази връзка неравенството трябва да бъде заменено със знак за равенство, което води до формулировката на теоремата.

  Теоремата на Бернули осигурява основата за статистическата дефиниция на вероятността.

  Принципът на практическата сигурност

  Липсва един важен елемент в човешкия светоглед – ние не знаем как да поставим ясна граница между това, което може да бъде и това, което не може да бъде. Например, възможно ли е да живеем 500 години? Не. Но ако можете да живеете 150 години, тогава защо не можете да живеете един ден повече? И ако е възможно, тогава защо не можете да живеете още един ден? и т.н. Невъзможно е да се постави ясна граница между възможното и невъзможното. В такива ситуации концепцията за практически невъзможно събитие помага донякъде.

  Можете да дадете примери за събития, които имат пренебрежимо малка вероятност.

  1. Например, можете да научите маймуна да пропуска произволно клавишите на пишеща машина. Има ненулева вероятност маймуна случайно да напише текста на романа „Война и мир“. Тази вероятност е приблизително , къдетон е броят на буквите в романа, а 1/50 е вероятността за натискане на правилния клавиш в правилния момент (има общо около 50 клавиша).

  2. Още един пример. Има различна от нула вероятност да попаднете в самолетна катастрофа по време на полет.

  3. В примера с възрастта можем да считаме продължителността на живота на човек за случайна величина, чиито стойности над 200 години са изключително малко вероятни. Във всички дадени примери събитията са с пренебрежимо малка вероятност и пренебрегваме възможността за настъпване на такива събития. Но не е възможно да се пренебрегне възможността за настъпване на малко вероятни събития като цяло, а само при определени условия.

  Нека вероятността за възникване на събитие в един експеримент е незначителна и равна на p. Тогава вероятността събитието да не се случи е 1-р= q и q <1, т.к. р всё же отлично от нуля.

  защото р <1 и . Значит, если опытов производить много, то рано или поздно происходят даже самые маловероятные события, и возможностью появления маловероятных событий в большей серии опытов пренебрегать нельзя.

  В резултат на това получаваме изявление:Ако вероятността за събитие е близка до нула, тогава можете да сте почти сигурни, че то няма да се случи в един експеримент. Може да се вземе предвид събитие с вероятност близка до нула в един експеримент почти невъзможно. Колко ниска трябва да бъде вероятността за събитие, за да се счита за практически невъзможно, зависи от това колко сериозни са последствията, ако обявим събитието за практически невъзможно да се случи. Тези. този въпрос се решава извън рамката на теорията на вероятностите. Например вероятността за събитие е 0,01. Ако това е вероятността да попаднете в авиационен инцидент, докато летите със самолет, тогава тази вероятност едва ли трябва да се пренебрегва. Ако това е вероятността да изтеглите ненаучен билет на изпита, тогава тази вероятност може да бъде пренебрегната (всъщност много по-големи вероятности също се пренебрегват).

  Обратно. Ако вероятността за събитие е близка до единица, тогава можете да сте почти сигурни, че то ще се случи в един експеримент. Събитие с вероятност, близка до единица, може да бъде извикано в един експеримент практически надежден.

  Колко близо до единицата трябва да бъде вероятността се решава от същите съображения като въпроса за малката вероятност на практически невъзможно събитие.

  Правилото на трите сигми.

  Нека X има разпределителен закон.

  Нека оценим вероятността тази случайна променлива да се отклони от математическото си очакване с не повече от три стандартни отклонения. Според формулата

  тези. отклонения, по-големи от 3 s, имат вероятност от 0,003. В много приложения тази вероятност може да бъде пренебрегната и може да се твърди, че с едно наблюдение на нормално разпределена случайна променлива интервалът от практически възможни стойности е интервалът ( m -3s, m +3s). Това твърдение се нарича "правилото на трите сигми".

  Пример. Има предположение, че само половината от жителите на града подкрепят определено събитие. Те изследвали 900 души на случаен принцип. 499 от тях бяха „за“. Нашето предположение съответства ли на експерименталните данни?

  Според предположението всеки жител ще отговори с „да“ с вероятност p=1/2, n=900, pr=450 –това е математическото очакванем в схема за независимо тестване, = , 3 . Позволявам Х -брой жители, подкрепящи събитието. С голям брой тестове, биномният закон е възможно най-близо до нормалния закон, както желаете, и можете да използвате „правилото на трите сигми“:

  (м-3 =(450-45;450+45)=(405;495) - това е интервалът от практически възможни стойности на R.V. х, а 499 не влиза в него, т.е. нашето предположение не е в съответствие с експерименталните данни.

  Неравенството на Чебишев и неговото значение. Теорема на Чебишев. Теорема на Бернули. Централната гранична теорема на теорията на вероятностите (теорема на Ляпунов) и нейното използване в математическата статистика.

  Теорията на вероятностите изучава моделите, присъщи на масовите случайни явления. Граничните теореми на теорията на вероятностите установяват връзката между случайност и необходимост. Изследването на моделите, проявяващи се в масови случайни явления, ни позволява да прогнозираме научно резултатите от бъдещи тестове.

  Граничните теореми на теорията на вероятностите се разделят на две групи, едната от които се нарича закон на големите числа, и другият - централна гранична теорема.

  Нека разгледаме теореми, свързани със закона за големите числа: неравенството на Чебишев, теоремите на Чебишев и Бернули.

  Законът за големите числа се състои от няколко теореми, които доказват сближаването на средни характеристики, при определени условия, до определени постоянни стойности.

  Ако една случайна променлива има крайно математическо очакване и дисперсия, тогава за всяко положително число е вярно следното неравенство:. От това неравенство следва, че с намаляването на дисперсията горната граница на вероятността също намалява и стойностите на случайна променлива с малка дисперсия се концентрират около нейното математическо очакване.

  Пример 1.За правилното организиране на монтажа на устройството е необходимо да се прецени вероятността, с която размерите на частите се отклоняват от средата на полето на толеранс с не повече от 2 mm. Известно е, че средата на допусковото поле съвпада с математическото очакване на размерите на обработваните детайли, а стандартното отклонение е 0,25 mm.

  Решение. Според условията на задачата mm и . В този случай размерът на обработваните части. Използвайки неравенството на Чебишев, получавамепри условие, че случайната променлива има крайна вариация, т.е

  където е положително число, близко до единица.

  Преминавайки във къдрави скоби към противоположното събитие, получаваме

  Теоремата на Чебишев дава възможност да се прецени математическото очакване с помощта на средната аритметична стойност с достатъчна точност или, обратно, да се предскаже очакваната стойност на средната стойност с помощта на математическото очакване. По този начин, въз основа на тази теорема, може да се твърди, че ако достатъчно голям брой измервания на определен параметър се извършват с устройство без систематична грешка, тогава средноаритметичната стойност на резултатите от тези измервания се различава толкова малко, колкото възможно от истинската стойност на измерения параметър.

  Теоремата на Бернули установява връзка между относителната честота на дадено събитие и неговата вероятност.

  При достатъчно голям брой независими опити с вероятност, близка до единица, може да се твърди, че разликата между относителната честота на възникване на дадено събитие в тези опити и неговата вероятност в отделно изпитване в абсолютна стойност ще бъде по-малка от произволно малък брой, ако вероятността за настъпване на това събитие във всеки опит е постоянна и равна.

  Твърдението на теоремата на Бернули може да се напише като неравенството

  

  където са произволно малки положителни числа.

  Използвайки свойствата на математическото очакване и дисперсията, както и неравенството на Чебишев, формулата може да бъде записана като

  При решаването на практически проблеми понякога е необходимо да се оцени вероятността за най-голямо отклонение на честотата на възникване на събитие от очакваната му стойност. В този случай случайната променлива е броят на появяванията на събитието в независими опити.

  Използвайки неравенството на Чебишев, получаваме

  Пример 3.От 1000 продукта, изпратени в цеха за сглобяване, бяха изследвани 200 произволно избрани продукта. Сред тях имаше 25 дефектни. Като вземете дела на дефектните продукти сред избраните като вероятност за производство на дефектен продукт, изчислете вероятността цялата партида да съдържа дефектни продукти от не повече от 15% и не по-малко от 10%.

  Тип