Безкрайни множества и реални числа. Реални числа

13.3 Числови интервали. Околност на точка

Нека a и b са реални числа и a

Числови интервали(интервали) са подмножества от всички реални числа със следната форма:

= (x: α ≤ x ≤ b) - сегмент (сегмент, затворен интервал);
(a;) = (x: a< х < b} - интервал (открытый промежуток);
= (x:a< х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = (x: x ≤ b); [α, +∞) = (x: x ≥ α);
(-∞; b) = (x: x А);
(-∞, ∞) = (x: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).

Числата a и b се наричат ​​съответно ляв и десен край на тези интервали. Символите -∞ и +∞ не са числа, те са символно обозначение на процеса на неограничено премахване на точки на числовата ос от началото 0 наляво и надясно.

Нека x o е всяко реално число (точка на числовата ос). Околност на точката xo е всеки интервал (a; b), съдържащ точката x0. По-специално, интервалът (x o -ε, x o +ε), където ε >0, се нарича ε-околност на точката x o. Числото xo се нарича център.

Ако x Î (x 0 -ε; x 0 +ε), тогава неравенството x 0 -ε е изпълнено<х<х 0 +ε, или, что то же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97).

Ако наборът от рационални числа се допълни с набор от ирационални числа, тогава те заедно образуват набор от реални числа. Множеството от реални числа обикновено се означава с буквата R; Те също използват символна нотация (-oo, +oo) или (-oo, oo).

Множеството от реални числа може да се опише по следния начин: това е набор от крайни и безкрайни десетични дроби; крайните десетични дроби и безкрайните десетични периодични дроби са рационални числа, а безкрайните десетични непериодични дроби са ирационални числа.

Всяко реално число може да бъде представено с точка на координатна права. Обратното също е вярно: всяка точка на координатна права има реална координата. Математиците обикновено казват това: установено е еднозначно съответствие между множеството R от реални числа и множеството от точки на координатната права. Координатната линия е геометричен модел на множеството от реални числа; Поради тази причина терминът числова линия често се използва за координатна линия.

Помислете за този термин: не ви ли се струва неестествен? В крайна сметка числото е обект на алгебрата, а правата линия е обект на геометрията. Има ли тук „смесване на жанрове“? Не, всичко е логично, всичко е обмислено. Този термин още веднъж подчертава единството на различни области на математиката и го прави възможно
идентифициране на понятията „реално число“ и „точка на координатната (числова) линия“.

Обърнете внимание: Вие използвате координатната линия от 5-ти клас. Но се оказва, че е имало напълно оправдана празнина в знанията ви: не за всяка точка от координатната линия бихте могли да намерите координатите - учителят просто ви е предпазил от такива неприятности.

Нека разгледаме един пример. Дадена е координатна права, построен е квадрат върху нейната единична отсечка (фиг. 100), диагоналът на квадрата OB е нанесен върху координатната права от точка O надясно, резултатът е точка D. Каква е координатата на точка D? Тя е равна на дължината на диагонала на квадрата, т.е. Този номер е като
Сега знаем, че не е цяло или дроб. Това означава, че нито в 5-ти, нито в 6-ти, нито в 7-ми клас бихте могли да намерите координатата на точка D.

Ето защо досега казахме „координатна права“, а не „числова права“.

Имайте предвид, че имаше друга оправдана празнина в познанията ви по алгебра. Когато разглеждахме изрази с променливи, винаги имахме предвид, че променливите могат да приемат всякакви валидни стойности, но само рационални, защото нямаше други. Всъщност променливите могат да вземат
всякакви валидни валидни стойности. Например в самоличността
(a + b)(a-b) = a 2 -b 2 всякакви числа могат да действат като a и b, не непременно
рационален. Вече използвахме това в края на предишния параграф. Използвахме същото в § 18 - по-специално в примери 6, 7, 8 от този параграф.

За реални числа a, b, c се прилагат обичайните закони:
a + b = b + a;
ab = ba;

a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) =(ab)c
(a + b) c = ac + bc и т.н.
Прилагат се и обичайните правила: произведението (частното) на две положителни числа е положително число;
произведението (частното) на две отрицателни числа е положително число;
произведението (частното) на положително и отрицателно число е отрицателно число.

Реалните числа могат да се сравняват едно с друго, като се използва следната дефиниция.

Определение . Казва се, че реално число a е по-голямо (по-малко от) реално число b, ако тяхната разлика a - b е положително (отрицателно) число. Напишете a > b (a< b).

От тази дефиниция следва, че всяко положително число a е по-голямо от нула (тъй като разликата a - 0 = a е положително число), а всяко отрицателно число b е по-малко от нула (тъй като разликата b - 0 = b е отрицателна номер).

И така, a > 0 означава, че a е положително число;
А< 0 означает, что а — отрицательное число;
a>b означава, че a -b е положително число, т.е. a - b > 0;
а тези. а - б< 0.
Заедно със знаците на строги неравенства (<, >) използвайте знаци за слаби неравенства:
a 0 означава, че a е по-голямо от нула или равно на нула, тоест a е неотрицателно число (положително или 0), или че a не е по-малко от нула;
и 0 означава, че а е по-малко от нула или равно на нула, тоест а е неположително число (отрицателно или 0), или че а не е по-голямо от нула;
и b означава, че a е по-голямо или равно на b, тоест a - b е неотрицателно число или че a не е по-малко от b; a - b 0;
и b означава, че a е по-малко или равно на b, тоест a - b е неположително число или че a не е по-голямо от b; a - b 0.
Например за всяко число a неравенството a 2 0 е вярно;
за всякакви числа a и b неравенството (a - b) 2 0 е вярно.
Въпреки това, за да сравните реални числа, не е необходимо всеки път да компенсирате разликата им и да разберете дали е положителна или отрицателна. Можете да направите подходящото заключение, като сравните числата под формата на десетични дроби.

Геометричният модел на множеството от реални числа, т.е. числовата линия, прави операцията за сравняване на числа особено ясна: от две числа a, b, това, което се намира на числовата линия вдясно, е по-голямо.

Следователно сравняването на реални числа трябва да се подхожда доста гъвкаво, което използваме в следващия пример.

Пример 1.Сравнете числата:

Пример 2.Подредете във възходящ ред на числата

На третия ред има съответно три числа за всяко кубично уравнение. поръчани четворки и др.

Че. ние получаваме матрица, която може да бъде обходена с помощта на диагоналния процес на Кантор. Ако някои от корените на алгебричното уравнение са сложни, ние просто ги пропускаме при номерирането. Че. всяко алгебрично число ще получи съответно число и това потвърждава факта, че наборът от алгебрични реални числа изброимо .

Факт ефективна изброимост набор A пряко следва от дадения метод за номериране на елементи с естествени числа, тъй като в същото време е посочена ефективна процедура за номериране на набори от рационални числа, които еднозначно определят алгебрични уравнения от съответната степен. Важно е алгебричното уравнение от n-та степен да има ефективен алгоритъм за решаване, т.е. процедурата е напълно ефективна. И така, наборът от алгебрични реални числа е изброим и ефективно изброим, Q.E.D.

Набори, съставени от всички двойки, тройки и т.н. алгебрични числа, също ще бъдат преброими.

2.3.7. Изброими множества от числа: обобщение

T.2 Теорема (без доказателство)

Наборът от елементи, които могат да бъдат представени с помощта на краен брой изброими символи, е изброим.

В реалния живот използваме различни ограничени знакови системи, например цифри, букви, бележки.

Нека разгледаме система от знаци, например числа във всяка крайна бройна система, да речем десетична. Разполагайки с 10 символа: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, можем да създадем два вида набори: с фиксирана дължина и произволна дължина.

В първия случай говорим за чисто комбинаторна задача, например можете да създадете 105 различни последователности от пет знака. Това е доста голямо число, но е естествено число и мощността на разглежданото множество от всички възможни последователности от този вид се изразява с естествено число. Във втория случай множеството от такива последователности ще бъде изброимо безкрайно, по аналогия с множествата от комплекси от естествени числа, а неговата мощност е числото алеф-нула.

Може да се обобщи, че множеството, получено в резултат на прилагане на теорема 2.3.(7), ще бъде изброимо безкрайно, ако в случай на крайна система от знаци се допускат произволно дълги комплекси от знаци (колкото е необходимо, но все пак краен!).

Изброимо безкрайни са например:

· набор от „думи“, които могат да бъдат съставени с помощта на ограничена азбука („дума“ тук е комплекс от букви, без значение дали имат значение или не),

· набор от всички книги, написани на който и да е или дори на всички езици,

· набор от всички симфонии и др.

2.4.1. Неизброимост на множеството от реални числа (континуум)

Множеството от реални числа означаваме с латинската буква R.

T.2 Теорема

Наборът от реални числа е неизброим.

Доказателство

Нека приемем обратното, нека множеството от реални числа е изброимо. Тогава всяко подмножество на изброимо множество също е изброимо. В множеството от реални числа, нека вземем подмножество R1 - интервалът (0,1) и премахнем от този сегмент числа, които съдържат нули или деветки в поне една от техните цифри (примери за такива числа: 0,9, 0,0001 и т.н. ). Множеството R2, съставено от останалите числа, е подмножество на множеството R1. Това означава, че R2 е изброимо.

От факта, че R2 е изброимо, пряко следва, че е възможно някакъв начин за изброяване на неговите елементи, за да се установи взаимно еднозначно съответствие между елементите на R2 и елементите на множеството от естествени числа. Това следва от самата дефиниция за кардиналност на множество, според която се приема, че в множества с еднаква мощност всеки елемент от едно множество има сдвоен елемент от друго множество и обратно. Моля, обърнете внимание, че фундаменталната разлика между това определение и определението за ефективна изброимост е, че в този случай дори не говорим за наличието на някакъв алгоритъм за изброяване, ние просто заявяваме, че е възможно да се даде списък с реални числа от множество R2 и списък със съответните естествени числа от множеството N. В този случай не ни интересува алгоритъмът за изграждане на връзката N ↔ R2, достатъчно е, че такова съответствие е възможно.

Нека изградим следния списък от числа от множеството R2 и номерираме числата в цифри:

Сега нека конструираме числото b=0.b1b2… и

bi=aii+1, където + означава операция събиране, резултатът от която не може да бъде числата 0 и 9, т.е. ако aii=1, то bi=2; ако aii=2, тогава bi=3, ...., ако aii=8, тогава bi=1).

По този начин конструираното число b ще се различава от всяко от числата в множеството R2 поне с една цифра и следователно няма да бъде включено в съставения списък. По своята структура обаче числото b трябва да се съдържа в множеството R2. Получаваме противоречие, което означава, че първоначалното предположение е неправилно и множеството R2 е неизброимо.

Тъй като множеството R2 е по условие подмножество на множеството R1, тогава R1 е неизброимо, и тъй като R1 е неизброимо, тогава множеството R е неизброимо, Q.E.D.

Забележка: Не е нужно да изхвърляте числа, съдържащи 0 и 9. Така някои числа ще се появят в нашата серия два пъти. Това е така, защото крайните дроби могат да бъдат превърнати в безкрайни дроби. Например ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).

Като цяло това може да е причината да не е възможно да се преброи наборът от реални числа. Но наборът от числа, които могат да бъдат представени по два начина (крайни дроби), е наборът от рационални числа. Както беше доказано по-рано, има изброим брой от тях. Може дори да се покаже, че това множество е ефективно изброимо. Че. дори двойното представяне на множеството от такива числа образува изброимо множество, следователно доказателството е правилно дори без такова опростяване.

Получава се принципно нов резултат - открит е неизброим набор от числа. Неговата степен, според доказаната теорема, не е равна на алеф-нула (À0), което означава, че е необходимо ново число в трансфинитната скала.

Алеф ( À) – второто трансфинитно число. По дефиниция това е силата на континуума (на всички реални числа). Това е втората най-висока безкрайна сила. Току що доказаната теорема 2.4.(1) за неизброимостта на множеството от реални числа е убедително доказателство, че мощността на това множество е по-голяма от алеф-нула (по-голяма от множеството от естествени числа). И това е много важен резултат след серия от доказателства за изброимостта на различни набори от числа.

Ако оперираме с концепцията за кардинално число (степен), получаваме това, тъй като всяко число от сегмента (0,1) може да бъде представено с десетична дроб във формата 0.a1a2a3... поне веднъж и при най-много два пъти, тогава:

À≤10 À0≤ 2À,

и тъй като 2À=À, получаваме, че 10 À0= À. Същото разсъждение е валидно, ако разложим числата не на десетични дроби, а например на двоични дроби, дроби с основа 3, 15, 10005 или дори À0 (ако можете да си представите това).

Че. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

Ако се замислите, можете да откриете още един не съвсем очевиден факт от теорията на множествата. À2=À À е мощността на набора от двойки реални числа. Двойка реални числа, най-общо казано, съответства на точка от равнината. От своя страна À3=À À À е степента на множеството от тройки реални числа, а това са точки в пространството. Разсъжденията могат да бъдат продължени до À0 - едно мерно пространство или набор от всички последователности от реални числа с изброима дължина. Че. всички крайномерни или изброимомерни пространства имат еднаква мощност À (тук À е броят на точките в пространството).

За À0-мерно реално пространство или набор от всички последователности от реални числа с изброима дължина, от гледна точка на операциите върху кардиналните числа, получаваме ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À.

На този етап ще бъде интересно да се обърнем към исторически събития, свързани с редица доказателства в тази област. Математиците, макар и не веднага, в крайна сметка се примириха с факта, че на една безкрайна права линия има толкова точки, колкото има на един сегмент. Но следващият резултат на Кантор беше още по-неочакван. В търсене на набор, който има повече елементи от сегмент на реалната ос, той насочи вниманието си към набора от точки на квадрат. Първоначално нямаше съмнение относно резултата: в края на краищата целият сегмент се намира от едната страна на квадрата и наборът от всички сегменти, на които самият квадрат може да бъде разложен, има същата кардиналност като набора от точки на сегмент. В продължение на почти три години (от 1871 до 1874 г.) Кантор търси доказателство, че съответствието едно към едно между точките на отсечка и точките на квадрат е невъзможно. И в един момент, напълно неочаквано, се оказа точно обратният резултат: той успя да изгради кореспонденция, която искрено смяташе за невъзможна. Кантор не вярваше на себе си и дори пише на немския математик Ричард Дедекинд: „Виждам го, но не го вярвам“. Когато шокът от този факт премина, стана интуитивно ясно и скоро доказано, че кубът има същия брой точки като сегмент. Най-общо казано, всяка геометрична фигура на равнина (геометрично тяло в пространството), съдържаща поне една права, има същия брой точки като отсечка. Такива множества се наричаха континуумни мощностни множества (от латински continuum - непрекъснат). Следващата стъпка е почти очевидна: измерението на пространството в определени граници е маловажно. Например, двумерна равнина, триизмерно познато пространство, 4, 5 и други n-мерни пространства са с еднаква мощност по отношение на броя на точките, съдържащи се в съответното n-мерно тяло. Тази ситуация ще се наблюдава дори в случай на пространство с безкраен брой измерения, важно е само това число да е изброимо.

На този етап са открити два вида безкрайности и съответно две трансфинитни числа, обозначаващи техните мощности. Наборите от първия тип имат мощност, еквивалентна на степента на естествените числа (алеф-нула). Наборите от втория тип имат мощност, еквивалентна на броя точки на реалната ос (мощност на континуума, алеф). Показано е, че множества от втори тип имат повече елементи от множества от първи тип. Естествено възниква въпросът: има ли „междинно“ множество в природата, което би имало мощност, по-голяма от броя на естествените числа, но в същото време по-малка от множеството точки на права? Този труден въпрос се нарича "континуален проблем" . Тя е известна още като "хипотеза за континуум" или " Първият проблем на Хилберт". Точната формулировка е следната:

https://pandia.ru/text/78/390/images/image023_14.gif" height="10 src="> хDIV_ADBLOCK10">

В резултат на това, след много изследвания върху хипотезата за континуума, през 1938 г. немският математик Курт Гьодел доказва, че съществуването на междинна мощност не противоречи на другите аксиоми на теорията на множествата. И по-късно, в Почти едновременно, но независимо един от друг, американският математик Коен и чешкият математик Вопенка показаха, че наличието на такава междинна степен не може да бъде изведено от другите аксиоми на теорията на множествата. Между другото, интересно е да се отбележи, че този резултат е много подобен на историята с постулата за успоредни прави. Както е известно, в продължение на две хиляди години те се опитват да го изведат от другите аксиоми на геометрията, но едва след работата на Лобачевски, Хилберт и други успяват да получат същия резултат: този постулат не противоречи на другите аксиоми, но не може да се изведе от тях.

2.4.2. Набори от комплексни, трансцендентални и ирационални числа

В допълнение към набора от реални числа, ние представяме още няколко неизброими множества.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> Т.2.4.(2) Теорема

Наборът от комплексни числа е неизброим.

Доказателство

Тъй като множеството от реални числа R, неизброимо от предишната доказана теорема 2.4.(1), е подмножество от множеството от комплексни числа C, тогава множеството от комплексни числа също е неизброимо, Q.E.D.

Трансцендентно число - реално число, което не е алгебрично.

Множеството от трансцендентни числа означаваме с латинската буква Т. Всяко трансцендентно реално число е ирационално, но обратното не е вярно. Например едно число е ирационално, но не е трансцендентално: то е коренът на уравнението х 2 − 2=0.

T.2 Теорема

Наборът от трансцендентални числа е неизброим.

Доказателство

Тъй като реалните числа са неизброимо множество, а алгебричните числа са изброими и множеството A е подмножество на R, тогава R\A (множеството от трансцендентални числа) е неизброимо множество, Q.E.D.

Това просто доказателство за съществуването на трансцендентални числа е публикувано от Кантор през 1873 г. и прави голямо впечатление на научната общност, тъй като доказва съществуването на много числа, без да конструира нито един конкретен пример, а само въз основа на общи съображения. От това доказателство не може да бъде извлечен конкретен пример за трансцендентно число; казва се, че доказателство от този тип е неконструктивна .

Важно е да се отбележи, че дълго време математиците се занимават само с алгебрични числа. Бяха необходими значителни усилия, за да се намерят дори няколко трансцендентални числа. Това е постигнато за първи път от френския математик Лиувил през 1844 г., който доказва набор от теореми, които правят възможно конструирането на конкретни примери за такива числа. Например трансцендентно число е числото 0,..., в което след първата единица има една нула, след втората - две, след третата - 6, след n-тата съответно n! нули.

Доказано е, че десетичният логаритъм на всяко цяло число с изключение на 10 е трансцендентален. н. Също наборът от трансцендентални числа включва грях α, cos α и tg α за всяко ненулево алгебрично число α . Най-ярките представители на трансценденталните числа обикновено се считат за числа π И д.Между другото, доказателството за трансцендентността на числото π , извършено от немския математик Карл Линдерман през 1882 г., беше голямо научно събитие, тъй като предполагаше невъзможността за квадратура на окръжност. Историята на намирането на квадратурата на окръжност продължава четири хилядолетия, а самият термин става синоним на неразрешими проблеми.

Мерна единица" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">мерна единица радиус на кръг и обознач. хдължината на страната на необходимия квадрат, тогава проблемът се свежда до решаване на уравнението: х 2 = π, от където: . Както знаете, с помощта на пергел и линийка можете да извършите всичките 4 аритметични действия и да извлечете корен квадратен. Това означава, че квадратурата на окръжността е възможна тогава и само ако, използвайки краен брой такива действия, е възможно да се построи сегмент с дължина π. По този начин неразрешимостта на този проблем следва от неалгебричната природа (трансцендентност) на числото π. Всъщност задачата за квадратура на окръжност се свежда до задачата за построяване на триъгълник с основа πr и височина r. След това може лесно да се конструира равен квадрат за него.

В споменатия по-рано списък от 23 кардинални проблема на математиката номер 7 беше проблемът относно трансцендентността на числата, образувани по определен начин.

Седмият проблем на Хилберт. Нека a е положително алгебрично число, което не е равно на 1, b е ирационално алгебрично число. Докажете, че ab е трансцендентно число.

През 1934 г. съветският математик Гелфонд и малко по-късно немският математик Шнайдер доказаха валидността на това твърдение и така този проблем беше решен.

Още два интересни факта са свързани с принципа за разделяне на числата на рационални и ирационални, които не се възприемат веднага като верни.

T.2.4.(5) Теорема

Между всеки две различни рационални числа винаги има набор от ирационални числа с непрекъсната мощност.

Доказателство

Нека има две рационални числа, аИ b. Нека построим линейна и следователно едно към едно функция f(х) = (х - а) / (b - а). защото f(а) = 0 и f(b) = 1, тогава f(х) картографира сегмента [ а; b] в сегмента, като същевременно се запази рационалността на числата. Следователно правомощията на множествата [ а; b] и реални числа са равни и, както е доказано, мощността на сегмента е равна на мощността на континуума. Избирайки само ирационални числа от получения набор, получаваме, че между всеки две рационални числа винаги има континуум от ирационални числа, Q.E.D.

Като цяло тази теорема интуитивно изглежда доста логична. Следното на пръв поглед се възприема със скептицизъм.

Т. 2.4.(6) Теорема

Между всеки две различни ирационални числа винаги има изброим набор от рационални числа.

Доказателство

Нека има две ирационални числа аИ b, записваме съответните им цифри като а 1а 2а 3... и b 1b 2b 2..., където ai, би- десетични числа. Позволявам а < b, тогава има N такова, че ан< b N. Да построим ново число ° С, защо да сложим ci = ai = биЗа аз= 1, …, N-1. Позволявам cN = bN-1. Очевидно е, че ° С < b. Тъй като всички цифри на числото аслед N-тата не може да има деветки (тогава ще бъде периодична дроб, т.е. рационално число), тогава означаваме с M >= N такава цифра на числото а, Какво аМ< 9. Положим cj = aj, при Н< й < M, и ° С M = 9. В този случай ° С > а. Така че имаме едно рационално число ° С, така че а < ° С < b. Добавяне на числа към десетичен запис ° Свсеки краен брой цифри отзад можем да получим произволен брой рационални числа между тях аИ b. Присвоявайки на всяко такова число неговия пореден номер, получаваме едно-към-едно съответствие между набора от тези числа и набора от естествени числа, следователно полученият набор ще бъде изброим, Q.E.D.

На този етап интересно и важно става доказателството на следната теорема, чийто смисъл преди въвеждането на скалата на трансфинитните числа като цяло беше очевиден, а с появата на такава специфична аритметика изисква строго доказателство.

Т.2 Теорема на Кантор

За всяко кардинално число α, α<2α.

Доказателство

1. Нека докажем поне това α≤2α

Както е известно, мощността на булевото множество M е равна на 2|M|. Нека множеството M = (m1, m2, m3, ...). Булевото множество M (множеството от всички негови подмножества) също включва множества, всяко от които се състои от един елемент, например (m1), (m2), (m3), .... Само този тип подмножество ще бъде |M|, а освен тях булевото включва и други подмножества, което означава, че във всеки случай |M| ≤ 2|M|

2. Нека докажем строгостта на неравенството α<2α

Като се има предвид доказаното в ал.1. достатъчно е да се покаже, че ситуация, в която α=2α.Нека приемем обратното, нека α=2α, т.е. |M| = 2|M|. Това означава, че M е еквивалентно на P(M), което означава, че има преобразуване на множеството M върху неговото булево P(M). Че. Всеки елемент m от множеството M има взаимно еднозначно съответствие с някакво подмножество Mm, принадлежащо на P(M). Това означава, че всеки елемент m или принадлежи към съответното подмножество Mm, или не принадлежи. Нека конструираме множество M*, образувано от всички елементи от втория вид (т.е. онези m, които не принадлежат към съответните им подмножества Mm)

По конструкция е ясно, че ако някой елемент m принадлежи на M*, то той автоматично не принадлежи на Mm. Това от своя страна означава, че за всяко m ситуацията M*=Мm е невъзможна. Това означава, че множеството M* е различно от всички множества Mm и за него няма взаимно еднозначен елемент m от множеството M. Това от своя страна означава, че равенството |M|= 2|M| грешно. Че. доказано е, че |M| < 2|M| или α<2α , Q.E.D.

Когато се приложи към разглеждането на безкрайни множества, това убедително доказва, че множеството от всички подмножества от естествени числа (а това всъщност е множеството от комплекси с безкрайна дължина) НЕ е еквивалентно на множеството от самите естествени числа. Тоест À0 ≠ 2À0. А това означава, че по аналогия е възможно да се конструира още по-обширен набор, например въз основа на реални числа. С други думи, въпросът по отношение на други видове безкрайни множества е: има ли множество с мощност, по-голяма от мощността на множеството от реални числа? Ако на такъв въпрос се отговори положително, веднага възниква следващият: има ли набор от още по-голяма сила? След това още повече. И накрая, един логичен глобален въпрос: има ли набор от най-голяма кардиналност?

T.2 Теорема

За всяко множество A има множество B, чиято мощност е по-голяма от A.

Доказателство

Помислете за комплекта INвсички функции, дефинирани в комплекта Аи като стойности 0 и 1. Всяка точка Акомплекти Анека асоциираме функцията fa(x), която в тази точка приема стойност 1, а в други точки – 0. Ясно е, че различните функции съответстват на различни точки. От това следва, че мощността на множеството INне по-малко от мощността на комплекта А (|б|≥|А|).

Нека приемем, че има много правомощия АИ INравни един на друг. В този случай между елементите на множествата има взаимно еднозначно съответствие АИ IN. Нека означим функцията, съответстваща на елемента Аот много А, чрез fa(x). Всички функции от фамилията fa(x) приемат стойност или 0, или 1. Нека построим нова функция φ(x)=1- fх(x). По този начин, за да намерим стойността на функцията φ(x) в дадена точка А, принадлежащи към комплекта А, първо трябва да намерим съответната функция fa( А) и след това извадете от единица стойността на тази функция в точката А. От конструкцията става ясно, че функцията φ(x) също е дефинирана върху множеството Аи приема стойности 0 и 1. Следователно φ(x) е елемент от множеството IN. Тогава има число b в множеството A, такова че φ(x) = fb(x). Като вземем предвид въведената по-рано дефиниция на функцията φ(x)=1- fх(x), получаваме, че за всички x, принадлежащи на множеството А, true 1 - fх(x)= fb(x). Нека x = b. Тогава 1 - fb(b) = fb(b) и това означава fb(b)=1/2. Този резултат явно противоречи на факта, че стойностите на функцията fb(x) са равни на нула или единица. Следователно, приетото предположение е неправилно, което означава, че няма съответствие едно към едно между елементите на множествата АИ IN (| А| ≠| б| ). Тъй като | А| ≠|б| и в същото време | б| ≥| А| , Средства | б| >|А| . Това означава, че за всеки набор Аможете да изградите комплект INОще сила. От това можем да заключим, че няма набор от най-голяма кардиналност, Q.E.D.

Съществува доста тясна връзка между конструирания набор от функции и булевия набор А(наборът от всички подмножества А). Помислете за комплекта INвсички подмножества на множеството А. Позволявам СЪС– някакво подмножество в А. Да вземем функцията f(х) , което приема стойност 1 ако хпринадлежи СЪС, а в противен случай стойността е 0. По този начин различни подмножества СЪСотговарят на различни функции. Напротив, всяка функция f(х) , приемайки две стойности 0 и 1, съответства на подмножество в А, състоящ се от тези елементи х, в който функцията приема стойност 1. По този начин е установено едно-към-едно съответствие между множеството функции, дефинирани на множеството Аи приемане на стойности 0 и 1 и множеството от всички подмножества в А.

§ 2.5. Набори с мощност, по-голяма от мощността на континуума

Така че няма набор от най-голяма кардиналност. Първите две трансфинитни числа имаха множества в природата, които ги формират (множество от естествени числа и множество от реални числа). Ако започнем от множеството на континуума, тогава можем да конструираме множеството от всички подмножества на континуума, ще получим неговото булево, нека наречем това множество BR. По дефиниция мощността на множеството BR е равна на 2А. Според теоремата на Кантор 2À≠À. Очевидно е, че множеството BR е безкрайно, следователно кардиналното му число е трансфинитно число и не може да съвпадне с нито едно от двете трансфинитни числа, разгледани по-рано. Това означава, че е време да въведем третото трансфинитно число в нашата скала.

Алеф едно ( À 1 ) – трето трансфинитно число. По дефиниция това е кардиналността на множеството от всички подмножества на континуума. Същото число съответства на кардиналността на много други набори, например:

· Набори от всички линейни функции, които приемат всякакви реални стойности (линейната функция е реална функция на една или повече променливи). По същество това са набори от всички възможни криви в изброимо-мерно пространство, където броят на измеренията n е всяко крайно число или дори À0.

· Набори от фигури в равнината, т.е. набори от всички подмножества от точки в равнината или набори от всички подмножества от двойки реални числа.

· Набори от тела в обикновеното тримерно пространство, както и най-общо казано във всяко изброимомерно пространство, където броят на измеренията n е всяко крайно число или дори À0.

Тъй като числото À1 е въведено като мощност на булевото множество с мощност À, получаваме твърдението, че À1 =2À.

§ 2.6. Парадокси на теорията на множествата

Възниква разумен въпрос: какво следва? Какво се случва, ако конструираме множеството от всички подмножества на множеството BR. На какво ще бъде равно кардиналното му число (разбира се, по аналогия можем да приемем, че е 2À1) и най-важното на какво реално множество ще отговаря това? Има ли безкрайни множества, по-големи от BR и колко са?

Въпреки че показахме, че най-голямото трансфинитно число не съществува, както показват изследванията, не е безопасно да се издигаме все повече и повече до нови големи кардинални числа - това води до антиномия (парадокси). Наистина, какъвто и да е наборът от кардинални числа, винаги е възможно да се намери кардинално число, което е по-голямо от всички числа в даден набор и следователно не е включено в него. Че. никое такова множество не съдържа всички кардинални числа, а множеството от всички кардинални числа е немислимо.

Съвсем естествено е, че всеки математик иска да се занимава с последователна теория, тоест такава, в която е невъзможно да се докажат едновременно две теореми, които ясно се отричат. Последователна ли е теорията на Кантор? До каква степен можем да разширим обхвата на разглежданите комплекти? За съжаление не всичко е толкова розово. Ако въведем такова на пръв поглед безобидно понятие като „множеството от всички множества U“, възникват редица интересни точки.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src="> T.2.6.(2) Парадоксът на Ръсел

Нека B е множеството от всички множества, които не съдържат себе си като свои собствени елементи. Тогава могат да бъдат доказани две теореми.

Теорема 2.6.(2).1.

B принадлежи на V.

Доказателство

Да приемем обратното, т.е. INне принадлежи IN. По дефиниция това означава, че INпринадлежи IN. Получихме противоречие - следователно първоначалното предположение е неправилно и INпринадлежи IN, Q.E.D.

Теорема 2.6.(2).2.

B не принадлежи на V.

Доказателство

Да приемем обратното, т.е. INпринадлежи IN. По дефиниция на множество INкойто и да е елемент от него не може да има себе си като свой собствен елемент, следователно, INне принадлежи IN. Противоречие - следователно първоначалното предположение е неправилно и INне принадлежи IN, Q.E.D.

Лесно се вижда, че теореми 2.6.(2).1. и 2.6.(2).2. изключват се взаимно.

За съжаление, дори изключването на всички свръхобширни множества от разглеждане не спасява теорията на Кантор. По същество парадоксът на Ръсел засяга логиката, тоест методите на разсъждение, чрез които се формират нови концепции, когато се преминава от едно вярно твърдение към друго.

Още при извеждането на парадокс се използва логическият закон за изключената среда, който е един от интегралните методи на разсъждение в класическата математика (т.е. ако твърдението не-А е вярно, тогава А е невярно). Ако мислите за същността на нещата, тогава можете като цяло да се отдалечите от теорията на множествата и математиката като цяло.

кратки кодове">