Докажете, че последователността е геометрична. Сумата от безкрайна намаляваща геометрична прогресия и сумата от нейните квадрати. За каква редица от числа говорим?

Санкциите срещу руския енергиен сектор от страна на Съединените щати могат да доведат до критични последици, включително колапс на европейската енергийна система. Така казва Робърт, ръководител на британската петролна и газова компания BP.

„Не мисля, че това ще се случи. Ако наложите санкции на „Роснефт“ като тези, които бяха наложени на „Русал“, тогава вие всъщност ще затворите енергийните системи на Европа, а това вече е малко прекалено“,

- каза Дъдли, говорейки на конференцията Oil & Money 2018 в Лондон (цитат от).

Предоставянето на дългови и собствени капитали на предприятия от Русия беше ограничено и беше забранено доставянето на оборудване за проучване и добив на нефт в шелфа на дълбочина над 150 метра и за разработване на шистови скали.

През август 2017 г. Съединените щати затегнаха финансовите санкции, въведоха допълнителни забрани за доставка на стоки и технологии за производство, а също така узакониха възможността за въвеждане на ограничения върху експортните тръбопроводи. Заради санкциите са спрени и почти всички съвместни проекти с чужденци за разработване на шелфов и шистов нефт.

Експертите многократно отбелязват, че в бъдеще тези ограничения могат да доведат до намаляване на нивото на производство в Руската федерация, ако страната не обърне повече внимание на геоложките проучвания и развитието на собствените си технологии.

Очевидно, ако през ноември бъде приет най-строгият пакет от ограничения, взаимодействието може да се усложни, но едва ли ще се превърне в пълно спиране.

Жарски вярва.

Ако очакванията бяха други, тогава същите тревожни новини щяха да започнат да пристигат и от другата заинтересована страна, но петролната индустрия не заеква за подобни прогнози, посочва експертът.

Въвеждането на строги санкции е не само проблем за Русия, но и главоболие за чуждестранните ни контрагенти, сред които са най-близките съюзници на САЩ, съгласен е инвестиционният стратег на BCS Premier.

Според анализатора, ако санкциите бъдат засилени, е по-вероятно ограничителните мерки да бъдат селективни по природа и е малко вероятно да бъдат насочени към цялата индустрия.

Русия заема повече от 10% от световния петролен пазар; внезапното напускане на такъв голям играч ще означава бърз растеж на петрола кавички: Това потенциално е не само удар за европейските, но и за всички други потребители на петрол.

Така през септември производството на петрол в Русия възлиза на 11,35 милиона барела на ден (b/d). Според Централния диспечерски отдел на горивно-енергийния комплекс на Министерството на енергетиката през януари-септември 2018 г. Русия е доставила 190,212 милиона тона петрол в страните извън ОНД.

Що се отнася до газовия пазар, ситуацията за ЕС е още по-сериозна: на Русия се падат около 34% от всички доставки на газ за Европа. Освен това миналата година Газпром достави около 195 милиарда кубически метра газ на страните извън ОНД (ЕС плюс Турция). Тази година, според експерти и самия монополист, тази цифра ще надхвърли 200 милиарда кубически метра.

Много е трудно бързо да се заменят такива обеми. Да не говорим за факта, че икономически газът от Руската федерация е по-изгоден за европейските страни от същия втечнен природен газ (LNG).

По-рано той съобщи, че е невъзможно да се наложат санкции срещу Русия според суровия сценарий на Иран или Северна Корея, страната е твърде дълбоко интегрирана в световната икономика. През ноември ще бъде въведено ембарго върху доставките на петрол от Иран и пазарът ще загуби около 1-2 милиона барела. Само очакването за това доведе котировките до ниво от $80-85 за барел Brent.

Администрацията обаче не отчита рисковете, започвайки търговски войни с ЕС и Китай. Министърът на вътрешните работи на САЩ Райън Зинке наскоро каза, че САЩ могат да организират морска блокада на Русия. Така че нито един сценарий, дори и най-невероятният, не може да бъде изключен.

Геометричната прогресия е една от най-интересните числови серии, която се разглежда в училищния курс по алгебра. Тази статия е посветена на специален случай от споменатата серия: и сумата от нейните членове.

За каква редица от числа говорим?

Геометричната прогресия е едномерна последователност от реални числа, които са свързани помежду си чрез следната връзка:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Обобщавайки изразите по-горе, можем да запишем следното равенство:

a n = a 1 *r n-1

Както става ясно от горните записи, a n е елементът на прогресията с номер n. Параметърът r, по който трябва да се умножат n-1 елемента, за да се получи n-тият елемент, се нарича знаменател.

Какви свойства има описаната последователност? Отговорът на въпроса зависи от големината и знака на r. Възможни са следните опции:

• Знаменателят r е положителен и е по-голям от 1. Прогресията в този случай винаги ще нараства като абсолютна стойност, докато абсолютната стойност на нейните членове може също да намалява, ако 1 е отрицателно.
• Знаменателят r е отрицателен и е по-голям от 1. В този случай членовете на прогресията ще се появят с редуващи се знаци (+ и -). Такива серии не представляват голям интерес за практиката.
• Модулът на знаменателя r е по-малък от 1. Този ред се нарича намаляващ, независимо от знака на r. Именно тази прогресия е от голям практически интерес, тя ще бъде обсъдена в тази статия.

Формула за количество

Първо, нека получим израз, който ще ни позволи да изчислим сбора на произволен брой елементи от дадена прогресия. Нека започнем да решаваме този проблем директно. Ние имаме:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Горното равенство може да се използва, ако е необходимо да се изчисли резултатът за малък брой термини (3-4 термина), всеки от които се определя по формулата за n-тия член (вижте предходния параграф). Ако обаче има много термини, тогава е неудобно да се брои челно и можете да направите грешка, така че те използват специална формула.

Умножаваме двете страни на равенството по-горе по r, получаваме:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Сега изваждаме лявата и дясната страна на тези два израза по двойки, имаме:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Изразявайки сумата S n и използвайки формулата за члена a n+1, получаваме:

S n = (a n+1 - a 1)/(r-1) = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Така получихме обща формула за сумата от първите n члена на разглеждания тип числова серия. Обърнете внимание, че формулата е валидна, ако r≠1. В последния случай има проста поредица от еднакви числа, чиято сума се изчислява като произведение на едно число и техния брой.

Как да намерим сумата на безкрайна намаляваща геометрична прогресия?

За да се отговори на този въпрос, трябва да се припомни, че серията ще намалява, когато |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Обърнете внимание, че всяко число, чийто модул е ​​по-малък от 1, клони към нула, когато се повдигне на голяма степен, т.е. r ∞ ->0. Можете да проверите този факт, като използвате всеки пример:

r = -1/2, след това (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 и така нататък.

След като установихме този факт, нека обърнем внимание на израза за сумата: като n->∞ ще бъде пренаписан по следния начин:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Получи се интересен резултат: сумата от безкрайна намаляваща геометрична прогресия клони към крайно число, което не зависи от броя на членовете. Определя се само от първия член и знаменателя. Обърнете внимание, че знакът на сумата се определя еднозначно от знака на 1, тъй като знаменателят винаги е положително число (1-r>0).

Сума от квадрати на безкрайна намаляваща геометрична прогресия

Заглавието на елемента определя проблема, който трябва да бъде разрешен. За да направим това, ще използваме техника, която е напълно подобна на тази, използвана за извличане на общата формула за Sn. Имаме първия израз:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Нека умножим двете страни на равенството по r 2 и напишем втория израз:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. + a n+1 2

Сега намираме разликата между тези две равенства:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Изразяваме M n и използваме формулата за n-тия елемент, получаваме равенството:

M n = (a n+1 2 - a 1 2)/(r 2 -1)=a 1 2 *(r 2n -1)/(r 2 -1)

В предишния параграф беше показано, че r ∞ -> 0, тогава крайната формула ще приеме формата:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Сравнение на две получени суми

Нека сравним две формули: за безкрайна сума и безкрайна сума от квадрати, като използваме следната задача като пример: сумата от безкрайна геометрична прогресия е равна на 2, известно е, че говорим за намаляваща редица, за която знаменателят е 1/3. Необходимо е да се намери безкрайната сума от квадрати на тази серия от числа.

Нека използваме формулата за сумата. Нека изразим 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Заменяме този израз във формулата за сумата от квадрати, имаме:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Получихме необходимата формула, сега можем да заменим данните, известни от условието:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Така получихме същата стойност за безкраен сбор от квадрати, както и за прост сбор. Имайте предвид, че този резултат е валиден само за този проблем. Като цяло, M ∞ ≠ S ∞.

Задача за изчисляване на площта на правоъгълник

Всеки ученик знае формулата S = a * b, която определя площта на правоъгълник през неговите страни. Малко хора знаят, че проблемът с намирането на площта на тази фигура може лесно да бъде решен, ако използвате сумата от безкрайна геометрична прогресия. Нека ви покажем как се прави.

Нека мислено разделим правоъгълника наполовина. Нека вземем площта на едната половина като едно. Сега нека разделим другата половина наполовина. Получаваме две половини, едната от които разделяме на две. Ще продължим тази процедура ad infinitum (вижте фигурата по-долу).

В резултат на това площта на правоъгълника в единиците, които сме избрали, ще бъде равна на:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Вижда се, че тези членове са елементи от намаляваща серия, за която a 1 = 1 и r = 1/2. Използвайки формулата за безкрайна сума, получаваме:

S ∞ = 1 /(1-1/2) = 2

В скалата, която сме избрали, половин правоъгълник (една единица) съответства на площ a*b/2. Това означава, че площта на целия правоъгълник е:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Полученият резултат е очевиден, но той показа как намаляващата прогресия може да се използва за решаване на проблеми в геометрията.

Геометричната прогресия е една от най-интересните числови серии, която се разглежда в училищния курс по алгебра. Тази статия е посветена на специален случай на споменатата серия: намаляваща безкрайна геометрична прогресия и сумата от нейните членове.

За каква редица от числа говорим?

Геометричната прогресия е едномерна последователност от реални числа, които са свързани помежду си чрез следната връзка:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Обобщавайки изразите по-горе, можем да запишем следното равенство:

a n = a 1 *r n-1

Както става ясно от горните записи, a n е елементът на прогресията с номер n. Параметърът r, по който трябва да се умножат n-1 елемента, за да се получи n-тият елемент, се нарича знаменател.

Какви свойства има описаната последователност? Отговорът на въпроса зависи от големината и знака на r. Възможни са следните опции:

• Знаменателят r е положителен и е по-голям от 1. Прогресията в този случай винаги ще нараства като абсолютна стойност, докато абсолютната стойност на нейните членове може също да намалява, ако 1 е отрицателно.
• Знаменателят r е отрицателен и е по-голям от 1. В този случай членовете на прогресията ще се появят с редуващи се знаци (+ и -). Такива серии не представляват голям интерес за практиката.
• Модулът на знаменателя r е по-малък от 1. Този ред се нарича намаляващ, независимо от знака на r. Именно тази прогресия е от голям практически интерес, тя ще бъде обсъдена в тази статия.

Формула за количество

Първо, нека получим израз, който ще ни позволи да изчислим сбора на произволен брой елементи от дадена прогресия. Нека започнем да решаваме този проблем директно. Ние имаме:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Горното равенство може да се използва, ако е необходимо да се изчисли резултатът за малък брой термини (3-4 термина), всеки от които се определя по формулата за n-тия член (вижте предходния параграф). Ако обаче има много термини, тогава е неудобно да се брои челно и можете да направите грешка, така че те използват специална формула.

Умножаваме двете страни на равенството по-горе по r, получаваме:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Сега изваждаме лявата и дясната страна на тези два израза по двойки, имаме:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Изразявайки сумата S n и използвайки формулата за члена a n+1, получаваме:

S n = (a n+1 - a 1)/(r-1) = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Така получихме обща формула за сумата от първите n члена на разглеждания тип числова серия. Обърнете внимание, че формулата е валидна, ако r≠1. В последния случай има проста поредица от еднакви числа, чиято сума се изчислява като произведение на едно число и техния брой.

Видео по темата

Как да намерим сумата на безкрайна намаляваща геометрична прогресия?

За да се отговори на този въпрос, трябва да се припомни, че серията ще намалява, когато |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Обърнете внимание, че всяко число, чийто модул е ​​по-малък от 1, клони към нула, когато се повдигне на голяма степен, т.е. r ∞ ->0. Можете да проверите този факт, като използвате всеки пример:

r = -1/2, след това (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 и така нататък.

След като установихме този факт, нека обърнем внимание на израза за сумата: като n->∞ ще бъде пренаписан по следния начин:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Получи се интересен резултат: сумата от безкрайна намаляваща геометрична прогресия клони към крайно число, което не зависи от броя на членовете. Определя се само от първия член и знаменателя. Обърнете внимание, че знакът на сумата се определя еднозначно от знака на 1, тъй като знаменателят винаги е положително число (1-r>0).

Сума от квадрати на безкрайна намаляваща геометрична прогресия

Заглавието на елемента определя проблема, който трябва да бъде разрешен. За да направим това, ще използваме техника, която е напълно подобна на тази, използвана за извличане на общата формула за Sn. Имаме първия израз:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Нека умножим двете страни на равенството по r 2 и напишем втория израз:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. + a n+1 2

Сега намираме разликата между тези две равенства:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Изразяваме M n и използваме формулата за n-тия елемент, получаваме равенството:

M n = (a n+1 2 - a 1 2)/(r 2 -1)=a 1 2 *(r 2n -1)/(r 2 -1)

В предишния параграф беше показано, че r ∞ -> 0, тогава крайната формула ще приеме формата:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Сравнение на две получени суми

Нека сравним две формули: за безкрайна сума и безкрайна сума от квадрати, като използваме следната задача като пример: сумата от безкрайна геометрична прогресия е равна на 2, известно е, че говорим за намаляваща редица, за която знаменателят е 1/3. Необходимо е да се намери безкрайната сума от квадрати на тази серия от числа.

Нека използваме формулата за сумата. Нека изразим 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Заменяме този израз във формулата за сумата от квадрати, имаме:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Получихме необходимата формула, сега можем да заменим данните, известни от условието:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Така получихме същата стойност за безкраен сбор от квадрати, както и за прост сбор. Имайте предвид, че този резултат е валиден само за този проблем. Като цяло, M ∞ ≠ S ∞.

Задача за изчисляване на площта на правоъгълник

Всеки ученик знае формулата S = a * b, която определя площта на правоъгълник през неговите страни. Малко хора знаят, че проблемът с намирането на площта на тази фигура може лесно да бъде решен, ако използвате сумата от безкрайна геометрична прогресия. Нека ви покажем как се прави.

Нека мислено разделим правоъгълника наполовина. Нека вземем площта на едната половина като едно. Сега нека разделим другата половина наполовина. Получаваме две половини, едната от които разделяме на две. Ще продължим тази процедура ad infinitum (вижте фигурата по-долу).

В резултат на това площта на правоъгълника в единиците, които сме избрали, ще бъде равна на:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Вижда се, че тези членове са елементи от намаляваща серия, за която a 1 = 1 и r = 1/2. Използвайки формулата за безкрайна сума, получаваме:

S ∞ = 1 /(1-1/2) = 2

В скалата, която сме избрали, половин правоъгълник (една единица) съответства на площ a*b/2. Това означава, че площта на целия правоъгълник е:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Полученият резултат е очевиден, но той показа как намаляващата прогресия може да се използва за решаване на проблеми в геометрията.

Сред всички поредици от числа геометричната прогресия, която се разглежда в курса по алгебра за 9 клас, е една от най-известните. Какво е това и как да се реши геометрична прогресия - тези въпроси са отговорени в тази статия.

Поредица от числа, която се подчинява на математически закон

Заглавието на този параграф е обща дефиниция на геометрична прогресия. Законът, който го описва, е доста прост: всяко следващо число се различава от предишното с фактор, който се нарича "знаменател". Можем да го обозначим с буквата r. Тогава можем да запишем следното равенство:

Тук a n е членът на прогресията с номер n.

Ако r е по-голямо от 1, тогава прогресията ще се увеличи по абсолютна стойност (може да намалее, ако първият член има отрицателен знак). Ако r е по-малко от едно, тогава цялата прогресия ще клони към нула или отдолу (a 1<0), либо сверху (a 1 >0). В случай на отрицателен знаменател (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Пример за въпросния тип прогресия е даден по-долу:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

Тук първият член е 2, а знаменателят е 1,5.

Важни формули

Как се решава геометрична прогресия в 9 клас? За да направите това, трябва да знаете не само неговата дефиниция и да разберете за какво говорим, но и да запомните две важни формули. Първият от тях е даден по-долу:

Изразът ви позволява лесно да намерите произволен елемент от редицата, но за да направите това, трябва да знаете две числа: знаменателя и първия елемент. Доказването на тази формула е просто, просто трябва да запомните дефиницията на геометрична прогресия: вторият елемент се получава чрез умножаване на първия по знаменателя на първа степен, третият елемент чрез умножаване на първия по знаменателя на втора степен, и така нататък. Полезността на този израз е очевидна: няма нужда последователно да реконструирате цялата числова серия, за да разберете каква стойност ще приеме нейният n-ти елемент.

Следната формула също е полезна, когато отговаряте на въпроса как да решите геометрична прогресия. Говорим за сумата от елементите му, започвайки от първия и завършвайки с n-тия. Съответният израз е даден по-долу:

S n = a 1 *(r n -1)/(r-1).

Струва си да се обърне внимание на неговата особеност: както във формулата за намиране на n-тия елемент, тук също е достатъчно да знаете едни и същи две числа (a 1 и r). Този резултат не е изненадващ, тъй като всеки член на прогресията е свързан с маркираните числа.

Възстановяване на прогресията

Първият пример за решаване на геометрична прогресия има следното условие: известно е, че две числа 10 и 20 образуват въпросния тип прогресия. В този случай числата са осмият и петнадесетият елемент от серията. Необходимо е да се възстанови цялата серия, като се знае, че тя трябва да намалява.

Това донякъде объркващо условие на задачата трябва да се анализира внимателно: тъй като говорим за намаляваща серия, числото 10 трябва да е на 15-та позиция, а 20 на 8-ма позиция.Когато започнете да решавате, запишете съответните равенства за всяко от числата:

a 8 = a 1 *r 7 и a 15 = a 1 *r 14 .

Имате две равенства с две неизвестни. Решете ги, като изразите 1 от първото и го замените във второто. Ще се окаже:

a 1 = a 8 *r -7 и a 15 = a 8 *r -7 *r 14 =a 8 *r 7 => r= 7 √(a 15 /a 8).

Сега остава само да заменим съответните стойности от условието и да изчислим седмия корен. Ще се окаже:

r= 7 √(a 15 /a 8) = 7 √(10 /20) ≈ 0,9057.

Замествайки получения знаменател във всеки от изразите за известния n-ти елемент, получаваме 1:

a 1 = a 8 *r -7 = 20*(0,9057) -7 ≈ 40,0073.

По този начин ще намерите първия член и знаменателя, което означава, че ще реконструирате цялата прогресия. Първите няколко членове:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

Струва си да се отбележи, че при извършване на изчисления е използвано закръгляване до 4 знака след десетичната запетая.

Намиране на непознатия член на поредицата

Сега си струва да разгледаме друг пример: известно е, че седмият елемент от серията е равен на 27, което е равно на тринадесетия член, ако знаменателят r = -2. Как да решим геометричната прогресия с помощта на тези данни? Много е просто, трябва да напишете формулата за 7-ия елемент:

Тъй като само числото a 1 е неизвестно в това равенство, изразете го:

Използвайте последното равенство, като го замените във формулата за 13-тия член, който трябва да се намери. Ще се окаже:

a 13 = a 1 *r 12 = a 7 *r -6 *r 12 = a 7 *r 6 .

Остава само да поставите числата и да запишете отговора:

a 13 = a 7 *r 6 = 27*(-2) 6 = 1728.

Полученото число показва колко бързо расте геометричната прогресия.

Проблем със сумата

Последният проблем, който разкрива въпроса как да се реши геометрична прогресия, включва намирането на сумата от няколко елемента. Нека a 1 = 1,5, r = 2. Трябва да изчислите сумата от членовете на тази серия, като започнете от 5-то и завършите с 10-то.

За да получите отговор на зададения въпрос, трябва да приложите формулата:

Тоест, първо трябва да намерите сумата от 10 елемента, след това сумата от първите 4 и да ги извадите един от друг. Следвайки посочения алгоритъм, получавате:

S 10 = a 1 *(r n -1)/(r-1) = 1,5*(2 10 -1)/(2-1) = 1534,5;

S 4 = a 1 *(r n -1)/(r-1) = 1,5*(2 4 -1)/(2-1) = 22,5;

S 5 10 = 1534,5 - 22,5 = 1512.

Струва си да се отбележи, че в крайната формула сумата от точно 4 члена беше извадена, тъй като петият, според условията на проблема, трябва да участва в сумата.

Сред всички поредици от числа геометричната прогресия, която се разглежда в курса по алгебра за 9 клас, е една от най-известните. Какво е това и как да се реши геометрична прогресия - тези въпроси са отговорени в тази статия.

Поредица от числа, която се подчинява на математически закон

Заглавието на този параграф е обща дефиниция на геометрична прогресия. Законът, който го описва, е доста прост: всяко следващо число се различава от предишното с фактор, който се нарича "знаменател". Можем да го обозначим с буквата r. Тогава можем да запишем следното равенство:

Тук an е членът на прогресията с номер n.

Ако r е по-голямо от 1, тогава прогресията ще се увеличи по абсолютна стойност (може да намалее, ако първият член има отрицателен знак). Ако r е по-малко от едно, тогава цялата прогресия ще клони към нула или отдолу (a1<0), либо сверху (a1>0). В случай на отрицателен знаменател (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Пример за въпросния тип прогресия е даден по-долу:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

Тук първият член е 2, а знаменателят е 1,5.

Важни формули

Как се решава геометрична прогресия в 9 клас? За да направите това, трябва да знаете не само неговата дефиниция и да разберете за какво говорим, но и да запомните две важни формули. Първият от тях е даден по-долу:

Изразът ви позволява лесно да намерите произволен елемент от редицата, но за да направите това, трябва да знаете две числа: знаменателя и първия елемент. Доказването на тази формула е просто, просто трябва да запомните дефиницията на геометрична прогресия: вторият елемент се получава чрез умножаване на първия по знаменателя на първа степен, третият елемент чрез умножаване на първия по знаменателя на втора степен, и така нататък. Полезността на този израз е очевидна: няма нужда последователно да реконструирате цялата числова серия, за да разберете каква стойност ще приеме нейният n-ти елемент.

Следната формула също е полезна, когато отговаряте на въпроса как да решите геометрична прогресия. Говорим за сумата от елементите му, започвайки от първия и завършвайки с n-тия. Съответният израз е даден по-долу:

Sn = a1*(rn-1)/(r-1).

Струва си да се обърне внимание на неговата особеност: както във формулата за намиране на n-тия елемент, тук също е достатъчно да знаете същите две числа (a1 и r). Този резултат не е изненадващ, тъй като всеки член на прогресията е свързан с маркираните числа.

Възстановяване на прогресията

Първият пример за решаване на геометрична прогресия има следното условие: известно е, че две числа 10 и 20 образуват въпросния тип прогресия. В този случай числата са осмият и петнадесетият елемент от серията. Необходимо е да се възстанови цялата серия, като се знае, че тя трябва да намалява.

Това донякъде объркващо условие на задачата трябва да се анализира внимателно: тъй като говорим за намаляваща серия, числото 10 трябва да е на 15-та позиция, а 20 на 8-ма позиция.Когато започнете да решавате, запишете съответните равенства за всяко от числата:

a8 = a1*r7 и a15 = a1*r14.

Имате две равенства с две неизвестни. Решете ги, като изразите a1 от първото и го замените във второто. Ще се окаже:

a1 = a8*r-7 и a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

Сега остава само да заменим съответните стойности от условието и да изчислим седмия корен. Ще се окаже:

r=7√(a15/a8) = 7√(10 /20) ≈ 0,9057.

Замествайки получения знаменател във всеки от изразите за известния n-ти елемент, получаваме a1:

a1 = a8*r-7 = 20*(0,9057)-7 ≈ 40,0073.

По този начин ще намерите първия член и знаменателя, което означава, че ще реконструирате цялата прогресия. Първите няколко членове:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

Струва си да се отбележи, че при извършване на изчисления е използвано закръгляване до 4 знака след десетичната запетая.

Намиране на непознатия член на поредицата

Сега си струва да разгледаме друг пример: известно е, че седмият елемент от серията е равен на 27, което е равно на тринадесетия член, ако знаменателят r = -2. Как да решим геометричната прогресия с помощта на тези данни? Много е просто, трябва да напишете формулата за 7-ия елемент:

Тъй като само числото a1 е неизвестно в това равенство, изразете го:

Използвайте последното равенство, като го замените във формулата за 13-тия член, който трябва да се намери. Ще се окаже:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

Остава само да поставите числата и да запишете отговора:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728.

Полученото число показва колко бързо расте геометричната прогресия.

Проблем със сумата

Последният проблем, който разкрива въпроса как да се реши геометрична прогресия, включва намирането на сумата от няколко елемента. Нека a1 = 1,5, r = 2. Необходимо е да се изчисли сумата от членовете на тази серия, като се започне от 5-то и завърши с 10-то.

За да получите отговор на зададения въпрос, трябва да приложите формулата:

S510 = S10 - S4.

Тоест, първо трябва да намерите сумата от 10 елемента, след това сумата от първите 4 и да ги извадите един от друг. Следвайки посочения алгоритъм, получавате:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(210-1)/(2-1) = 1534,5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(24-1)/(2-1) = 22,5;

S510 = 1534,5 - 22,5 = 1512.

Струва си да се отбележи, че в крайната формула сумата от точно 4 члена беше извадена, тъй като петият, според условията на проблема, трябва да участва в сумата.