дроби. Деление на дроби. Действия с дроби Как да разделим две дроби с различни знаменатели
Е разделение. В тази статия ще говорим за деление на обикновени дроби. Първо ще дадем правило за деление на обикновени дроби и ще разгледаме примери за деление на дроби. След това ще се съсредоточим върху разделянето на обикновена дроб на естествено число и на число на дроб. И накрая, помислете как се извършва разделянето на обикновена дроб на смесено число.
Навигация в страницата.
Деление на обикновена дроб с обикновена дроб
Известно е, че делението е обратното на умножението (виж връзката между деление и умножение). Тоест разделянето включва намиране на неизвестен фактор, когато продуктът и друг фактор са известни. Същият смисъл на деление се запазва при разделянето на обикновени дроби.
Помислете за примери за разделяне на обикновени дроби.
Имайте предвид, че не трябва да забравяме за намаляването на дробите и за избора на цяло число от неправилна дроб.
Деление на обикновена дроб на естествено число
Ще го дадем веднага правило за деление на дроб на естествено число: за да разделите дробта a / b на естествено число n, трябва да оставите числителя същия и да умножите знаменателя по n, т.е.
Това правило за деление следва директно от правилото за деление на обикновени дроби. Наистина, представянето на естествено число като дроб води до следните равенства 
.
Помислете за пример за деление на дроб на число.
Пример.
Разделете дробта 16/45 на естественото число 12.
Решение.
По правилото за деление на дроб на число имаме 
. Нека направим намалението: . Това разделение е завършено.
Отговор:
.
Деление на естествено число с обикновена дроб
Правилото за деление на дроби е подобно правило за деление на естествено число с обикновена дроб: за да разделите естествено число n на обикновена дроб a / b, трябва да умножите числото n по реципрочната стойност на дробта a / b.
Според изразеното правило, , и правилото за умножаване на естествено число с обикновена дроб ви позволява да го пренапишете във формата.
Помислете за пример.
Пример.
Разделете естественото число 25 на дробта 15/28.
Решение.
Нека преминем от деление към умножение, имаме 
. След редуциране и избиране на цялата част получаваме .
Отговор:
.
Деление на обикновена дроб със смесено число
Деление на обикновена дроб със смесено числолесно се свежда до разделяне на обикновени дроби. За да направите това, е достатъчно да
Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва някакъв обект не изцяло, а на отделни части. Началото на изучаването на тази тема - споделете. Акциите са равни частина които е разделен даден обект. В крайна сметка не винаги е възможно да се изрази например дължината или цената на даден продукт като цяло число; трябва да се вземат предвид части или дялове от всякаква мярка. Образувана от глагола "раздробяване" - разделяне на части и с арабски корени, през VIII век самата дума "фракция" се появява на руски език.
Във връзка с
Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния раздел на математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат "счупени числа", което е много трудно да се покаже в разбирането на хората.
Съвременната форма на прости дробни остатъци, части от които са разделени точно с хоризонтална линия, е популяризирана за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите писания датират от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се извършва умножението на смесени дроби с различни знаменатели.
Умножение на дроби с различни знаменатели
Първоначално е необходимо да се определи разновидности на дроби:
- правилно;
- погрешно;
- смесен.
След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес е лесно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. . Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.
При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:
а/b * ° С/д = а*в / b*d.
Единствената разлика е, че образуваното число под дробната лента ще бъде произведение от различни числа и, разбира се, не може да се нарече квадрат на един числов израз.
Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите използват начини за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната лента не могат да бъдат намалени.
Наред с простите дробни числа съществува понятието смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Как работи умножението?
Дадени са няколко примера за разглеждане.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, можете да запишете правилото за това действие по формулата:
а * б/° С = а*б/° С.
Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Има и друг вариант за решаване на умножението на число с дробен остатък. Просто разделете знаменателя на това число:
д* д/f = д/е: г.
Полезно е да използвате тази техника, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, напълно.
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб, тя може да бъде представена и като обща формула:
а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се формира чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му към числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.
Този процес работи и в обратна посока. За да изберете цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на знаменателя с „ъгъл“.
Умножение на неправилни дробипроизведени по обичайния начин. Когато записът преминава под един дробен ред, ако е необходимо, трябва да намалите дробите, за да намалите числата с помощта на този метод и да е по-лесно да изчислите резултата.
В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи в различни варианти на програмата. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при изчисляването на умножението на дроби с различни числа в знаменателите - така наречените онлайн калкулатори за изчисляване на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Работата с него не е трудна, на страницата на сайта се попълват съответните полета, избира се знакът на математическото действие и се натиска „изчисли“. Програмата отчита автоматично.
Темата за аритметичните операции с дробни числа е актуална в цялото обучение на средни и старши ученици. В гимназията те вече не разглеждат най-простите видове, а цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни знания дават пълна увереност в успешното решаване на най-сложните задачи.
В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Толстой, който пише: „Човекът е частица. Не е във властта на човека да увеличи своя числител - собствените си заслуги, но всеки може да намали своя знаменател - мнението си за себе си, и чрез това намаляване да се доближи до своето съвършенство.
Последния път научихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Най-трудният момент в тези действия беше привеждането на дробите към общ знаменател.
Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добрата новина е, че тези операции са дори по-лесни от събирането и изваждането. Като начало, разгледайте най-простия случай, когато има две положителни дроби без отделена цяло число.
За да умножите две дроби, трябва да умножите отделно техните числители и знаменатели. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.
За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по "обърнатата" втора.
Обозначаване:
От определението следва, че разделянето на дроби се свежда до умножение. За да обърнете дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Следователно целият урок ще разгледаме основно умножението.
В резултат на умножението може да възникне (и често възниква) намалена фракция - разбира се, тя трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения фракцията се окаже неправилна, в нея трябва да се разграничи цялата част. Но това, което точно няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, максимални множители и най-малко общи кратни.
По дефиниция имаме:
Умножение на дроби с цяла част и отрицателни дроби
Ако във фракциите има цяла част, те трябва да бъдат превърнати в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, посочени по-горе.
Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от границите на умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:
- Плюс по минус дава минус;
- Две отрицания правят утвърдително.
Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато се изискваше да се отървем от цялата част. За даден продукт те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко минуси наведнъж:
- Зачеркваме минусите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, който не е намерил съответствие;
- Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, тъй като не е намерил двойка, ние го изваждаме от границите на умножение. Получавате отрицателна дроб.
Задача. Намерете стойността на израза:
Превеждаме всички дроби в неправилни и след това изваждаме минусите извън границите на умножението. Това, което остава, се умножава по обичайните правила. Получаваме:
Нека ви напомня още веднъж, че минусът, който идва пред дроб с подчертана цяла част, се отнася конкретно за цялата дроб, а не само за нейната цяла част (това се отнася за последните два примера).
Обърнете внимание и на отрицателните числа: когато се умножават, те се затварят в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.
Намаляване на дроби в движение
Умножението е много трудоемка операция. Числата тук са доста големи и за да опростите задачата, можете да опитате да намалите фракцията още повече преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:
Задача. Намерете стойността на израза:
По дефиниция имаме:
Във всички примери с червено са отбелязани числата, които са намалени и това, което е останало от тях.
Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На мястото си останаха единици, които, общо казано, могат да бъдат пропуснати. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.
В никакъв случай обаче не използвайте тази техника при събиране и изваждане на дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:
Не можете да направите това!
Грешката възниква поради факта, че при добавяне на дроб сумата се появява в числителя на дроб, а не произведението на числата. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.
Просто няма друга причина за намаляване на дробите, така че правилното решение на предишния проблем изглежда така:
Правилно решение:
Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.
С дроби можете да извършвате всички действия, включително деление. Тази статия показва разделянето на обикновени дроби. Ще бъдат дадени определения, ще бъдат разгледани примери. Нека се спрем на разделянето на дроби на естествени числа и обратно. Ще бъде разгледано деленето на обикновена дроб на смесено число.
Деление на обикновени дроби
Делението е обратното на умножението. При деление неизвестният множител е при познатото произведение и друг множител, където даденото му значение се запазва с обикновени дроби.
Ако е необходимо да разделите обикновената дроб a b на c d, тогава за да определите такова число, трябва да умножите по делителя c d, това в крайна сметка ще даде дивидент a b. Нека вземем число и го запишем a b · d c, където d c е реципрочната стойност на c d числото. Равенствата могат да бъдат записани, като се използват свойствата на умножението, а именно: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , където изразът a b d c е частното от деленето на a b на c d .
От тук получаваме и формулираме правилото за деление на обикновени дроби:
Определение 1
За да разделите обикновена дроб a b на c d, е необходимо да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.
Нека запишем правилото като израз: a b: c d = a b d c
Правилата за деление се свеждат до умножение. За да се придържате към него, трябва да сте добре запознати с извършването на умножение на обикновени дроби.
Нека да преминем към разделянето на обикновените дроби.
Пример 1
Извършете деление 9 7 на 5 3 . Запишете резултата като дроб.
Решение
Числото 5 3 е реципрочното на 3 5 . Трябва да използвате правилото за деление на обикновени дроби. Записваме този израз, както следва: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
Отговор: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Когато редуцирате дроби, трябва да подчертаете цялата част, ако числителят е по-голям от знаменателя.
Пример 2
Разделете 8 15: 24 65 . Запишете отговора като дроб.
Решение
Решението е да преминете от деление към умножение. Записваме го в следния вид: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Необходимо е да се направи намаление и това се прави по следния начин: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Избираме цялата част и получаваме 13 9 = 1 4 9 .
Отговор: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Деление на извънредна дроб на естествено число
Използваме правилото за деление на дроб на естествено число: за да разделим b на естествено число n, трябва да умножим само знаменателя по n. От тук получаваме израза: a b: n = a b · n .
Правилото за деление е следствие от правилото за умножение. Следователно, представянето на естествено число като дроб ще даде равенство от този тип: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Помислете за това деление на дроб на число.
Пример 3
Разделете дробта 1645 на числото 12.
Решение
Приложете правилото за деление на дроб на число. Получаваме израз като 16 45: 12 = 16 45 12 .
Нека намалим дробта. Получаваме 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
Отговор: 16 45: 12 = 4 135 .
Деление на естествено число с обикновена дроб
Правилото за разделяне е подобно Оправилото за деление на естествено число на обикновена дроб: за да се раздели естествено число n на обикновено a b , е необходимо числото n да се умножи по реципрочната на дробта a b .
Въз основа на правилото имаме n: a b \u003d n b a и благодарение на правилото за умножаване на естествено число с обикновена дроб получаваме нашия израз във формата n: a b \u003d n b a. Необходимо е да разгледаме това разделение с пример.
Пример 4
Разделете 25 на 15 28 .
Решение
Трябва да преминем от деление към умножение. Записваме под формата на израз 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Нека съкратим дробта и получим резултата под формата на дроб 46 2 3 .
Отговор: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Деление на обикновена дроб със смесено число
Когато разделяте обикновена дроб на смесено число, можете лесно да блеснете с разделянето на обикновени дроби. Трябва да преобразувате смесено число в неправилна дроб.
Пример 5
Разделете дробта 35 16 на 3 1 8 .
Решение
Тъй като 3 1 8 е смесено число, нека го представим като неправилна дроб. Тогава получаваме 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Сега нека разделим дробите. Получаваме 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Отговор: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Делението на смесено число се извършва по същия начин като обикновените числа.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Дробта е една или повече части от цяло, което обикновено се приема за единица (1). Както при естествените числа, можете да извършвате всички основни аритметични операции с дроби (събиране, изваждане, деление, умножение), за това трябва да знаете характеристиките на работата с дроби и да правите разлика между техните видове. Има няколко вида дроби: десетични и обикновени или прости. Всеки вид дроби има своите специфики, но след като веднъж сте разбрали как да се справяте с тях, ще можете да решавате всякакви примери с дроби, тъй като ще знаете основните принципи за извършване на аритметични изчисления с дроби. Нека да разгледаме примери как да разделим дроб на цяло число с помощта на различни видове дроби.
Как да разделим дроб на естествено число?Обикновени или прости дроби се наричат дроби, които се записват като такова съотношение на числата, при което дивидентът (числителят) е посочен в горната част на дробта, а делителят (знаменателят) на дробта е посочен отдолу. Как да разделя такава дроб на цяло число? Нека да разгледаме един пример! Да кажем, че трябва да разделим 8/12 на 2.
За да направим това, трябва да извършим поредица от действия:
По този начин, ако сме изправени пред задачата да разделим дроб на цяло число, схемата на решение ще изглежда така: 
По същия начин можете да разделите всяка обикновена (проста) дроб на цяло число.
Как да разделя десетична запетая на цяло число?
Десетична дроб е дроб, която се получава чрез разделяне на единица на десет, хиляда и т.н. Аритметичните операции с десетични дроби са доста прости.
Помислете за пример как да разделите дроб на цяло число. Да кажем, че трябва да разделим десетичната дроб 0,925 на естественото число 5.
Обобщавайки, ще се съсредоточим върху две основни точки, които са важни при извършване на операцията за разделяне на десетични дроби на цяло число: - за разделяне на десетична дроб на естествено число се използва деление в колона;
- запетая се поставя в частното, когато е завършено делението на цялата част от дивидента.
