Multiplikation und Division algebraischer Brüche. Algebraische Brüche multiplizieren und dividieren. ΙΙΙ. Neues Thema
Gleichungen sind eine davon schwierige Themen Sie sind leicht zu erlernen, aber gleichzeitig ein leistungsstarkes Werkzeug zur Lösung der meisten Probleme.
Zur Beschreibung werden Gleichungen verwendet verschiedene Prozesse, kommt in der Natur vor. Gleichungen werden in anderen Wissenschaften häufig verwendet: Wirtschaftswissenschaften, Physik, Biologie und Chemie.
IN diese Lektion Wir werden versuchen, die Essenz der einfachsten Gleichungen zu verstehen, lernen, Unbekannte auszudrücken und mehrere Gleichungen zu lösen. Wenn Sie neue Materialien erlernen, werden die Gleichungen komplexer, daher ist es sehr wichtig, die Grundlagen zu verstehen.
Vorkenntnisse UnterrichtsinhalteWas ist eine Gleichung?
Eine Gleichung ist eine Gleichung, die eine Variable enthält, deren Wert Sie ermitteln möchten. Dieser Wert muss so sein, dass beim Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung das korrekte Ergebnis erhalten wird. numerische Gleichheit.
Beispielsweise ist der Ausdruck 2 + 2 = 4 eine Gleichheit. Bei der Berechnung der linken Seite ergibt sich die korrekte numerische Gleichheit 4 = 4.
Aber die Gleichheit ist 2 + X= 4 ist eine Gleichung, weil sie eine Variable enthält X, dessen Wert gefunden werden kann. Der Wert muss so sein, dass beim Einsetzen dieses Werts in die ursprüngliche Gleichung die korrekte numerische Gleichheit erhalten wird.
Mit anderen Worten, wir müssen einen Wert finden, bei dem das Gleichheitszeichen seine Position rechtfertigen würde – die linke Seite muss gleich der rechten Seite sein.
Gleichung 2 + X= 4 ist elementar. Variablenwert X ist gleich der Zahl 2. Für jeden anderen Wert wird keine Gleichheit eingehalten
Sie sagen, dass die Nummer 2 ist Wurzel oder Lösung der Gleichung 2 + X = 4
Wurzel oder Lösung der Gleichung- Dies ist der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung in eine echte numerische Gleichheit übergeht.
Es können mehrere oder gar keine Wurzeln vorhanden sein. Löse die Gleichung bedeutet, seine Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt.
Die in der Gleichung enthaltene Variable wird ansonsten aufgerufen Unbekannt. Sie haben das Recht, es so zu nennen, wie Sie möchten. Das sind Synonyme.
Notiz. Der Ausdruck „eine Gleichung lösen“ spricht für sich. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, die Gleichung „anzugleichen“ – sie ins Gleichgewicht zu bringen, sodass die linke Seite der rechten Seite entspricht.
Drücken Sie das eine durch das andere aus
Das Studium von Gleichungen beginnt traditionell damit, dass man lernt, eine in einer Gleichung enthaltene Zahl durch eine Reihe anderer auszudrücken. Lasst uns diese Tradition nicht brechen und dasselbe tun.
Betrachten Sie den folgenden Ausdruck:
8 + 2
Dieser Ausdruck ist die Summe der Zahlen 8 und 2. Bedeutung Ausdruck gegeben gleich 10
8 + 2 = 10
Wir haben Gleichberechtigung. Jetzt können Sie jede Zahl aus dieser Gleichheit durch andere Zahlen ausdrücken, die in derselben Gleichheit enthalten sind. Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahl 2 ausdrücken.
Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen Sie die Frage stellen: „Was muss mit den Zahlen 10 und 8 gemacht werden, um die Zahl 2 zu erhalten.“ Es ist klar, dass Sie die Zahl 8 von der Zahl 10 subtrahieren müssen, um die Zahl 2 zu erhalten.
Das ist was wir machen. Wir schreiben die Zahl 2 auf und sagen durch das Gleichheitszeichen, dass wir, um diese Zahl 2 zu erhalten, die Zahl 8 von der Zahl 10 subtrahiert haben:
2 = 10 − 8
Wir haben die Zahl 2 aus der Gleichheit 8 + 2 = 10 ausgedrückt. Wie Sie anhand des Beispiels sehen können, ist dies nicht kompliziert.
Beim Lösen von Gleichungen, insbesondere beim Ausdrücken einer Zahl durch andere, ist es zweckmäßig, das Gleichheitszeichen durch das Wort „ zu ersetzen. Es gibt" . Dies muss mental geschehen und nicht im Ausdruck selbst.
Wenn wir also die Zahl 2 aus der Gleichheit 8 + 2 = 10 ausdrücken, erhalten wir die Gleichheit 2 = 10 − 8. Diese Gleichheit kann wie folgt gelesen werden:
2 Es gibt 10 − 8
Das heißt, ein Zeichen = durch das Wort „ist“ ersetzt. Darüber hinaus kann die Gleichung 2 = 10 − 8 übersetzt werden aus mathematische Sprache bis vollwertig menschliche Sprache. Dann kann es wie folgt gelesen werden:
Nummer 2 Es gibt Unterschied zwischen Nummer 10 und Nummer 8
Nummer 2 Es gibt Unterschied zwischen Nummer 10 und Nummer 8.
Aber wir werden uns darauf beschränken, das Gleichheitszeichen nur durch das Wort „ist“ zu ersetzen, und das werden wir nicht immer tun. Elementare Ausdrücke können verstanden werden, ohne die mathematische Sprache in die menschliche Sprache zu übersetzen.
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 2 = 10 − 8 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
8 + 2 = 10
Lassen Sie uns dieses Mal die Zahl 8 ausdrücken. Was muss mit den verbleibenden Zahlen gemacht werden, um die Zahl 8 zu erhalten? Das ist richtig, Sie müssen 2 von der Zahl 10 subtrahieren
8 = 10 − 2
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 8 = 10 − 2 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
8 + 2 = 10
Dieses Mal werden wir die Zahl 10 ausdrücken. Aber es stellt sich heraus, dass es nicht nötig ist, die Zehn auszudrücken, da sie bereits ausgedrückt ist. Es genügt, den linken und rechten Teil zu vertauschen, dann bekommen wir, was wir brauchen:
10 = 8 + 2
Beispiel 2. Betrachten Sie die Gleichung 8 − 2 = 6
Lassen Sie uns die Zahl 8 aus dieser Gleichheit ausdrücken. Um die Zahl 8 auszudrücken, müssen die verbleibenden zwei Zahlen addiert werden:
8 = 6 + 2
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 8 = 6 + 2 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
8 − 2 = 6
Lassen Sie uns die Zahl 2 aus dieser Gleichheit ausdrücken. Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen Sie 6 von 8 subtrahieren
2 = 8 − 6
Beispiel 3. Betrachten Sie die Gleichheit 3 × 2 = 6
Lassen Sie uns die Zahl 3 ausdrücken. Um die Zahl 3 auszudrücken, benötigen Sie 6 geteilt durch 2
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
3 × 2 = 6
Lassen Sie uns die Zahl 2 aus dieser Gleichheit ausdrücken. Um die Zahl 2 auszudrücken, benötigen Sie 6 geteilt durch 3
Beispiel 4. Bedenken Sie die Gleichheit
Lassen Sie uns die Zahl 15 aus dieser Gleichheit ausdrücken. Um die Zahl 15 auszudrücken, müssen Sie die Zahlen 3 und 5 multiplizieren
15 = 3 × 5
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 15 = 3 × 5 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
Lassen Sie uns die Zahl 5 aus dieser Gleichheit ausdrücken. Um die Zahl 5 auszudrücken, benötigen Sie 15 geteilt durch 3
Regeln zum Auffinden von Unbekannten
Betrachten wir einige Regeln zum Auffinden von Unbekannten. Sie kommen Ihnen vielleicht bekannt vor, aber es schadet nicht, sie noch einmal zu wiederholen. In Zukunft können sie vergessen werden, da wir lernen, Gleichungen zu lösen, ohne diese Regeln anzuwenden.
Kehren wir zum ersten Beispiel zurück, das wir uns im vorherigen Thema angesehen haben, wo wir in der Gleichheit 8 + 2 = 10 die Zahl 2 ausdrücken mussten.
In der Gleichung 8 + 2 = 10 sind die Zahlen 8 und 2 die Terme und die Zahl 10 die Summe.
Um die Nummer 2 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:
2 = 10 − 8
Das heißt, von der Summe 10 haben wir den Term 8 abgezogen.
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichung 8 + 2 = 10 anstelle der Zahl 2 eine Variable gibt X
8 + X = 10
In diesem Fall wird die Gleichheit 8 + 2 = 10 zur Gleichung 8 + X= 10 und die Variable X unbekannter Begriff
Unsere Aufgabe ist es, es zu finden unbekannter Begriff, das heißt, lösen Sie die Gleichung 8 + X= 10 . Um einen unbekannten Begriff zu finden, gilt folgende Regel:
Um den unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren.
Das ist im Grunde das, was wir getan haben, als wir zwei in der Gleichheit 8 + 2 = 10 ausgedrückt haben. Um Term 2 auszudrücken, haben wir einen weiteren Term 8 von der Summe 10 subtrahiert
2 = 10 − 8
Nun geht es darum, den unbekannten Begriff zu finden X, wir müssen den bekannten Term 8 von der Summe 10 subtrahieren:
X = 10 − 8
Wenn Sie die rechte Seite der resultierenden Gleichheit berechnen, können Sie herausfinden, was die Variable ist X
X = 2
Wir haben die Gleichung gelöst. Variablenwert X gleich 2. Um den Wert einer Variablen zu überprüfen X an die ursprüngliche Gleichung 8 + gesendet X= 10 und ersetzen X. Es empfiehlt sich, dies bei jeder gelösten Gleichung zu tun, da Sie nicht absolut sicher sein können, dass die Gleichung korrekt gelöst wurde:
Ergebend
Die gleiche Regel würde gelten, wenn der unbekannte Begriff die erste Zahl 8 wäre.
X + 2 = 10
In dieser Gleichung X ist der unbekannte Term, 2 ist der bekannte Term, 10 ist die Summe. Einen unbekannten Begriff finden X, müssen Sie den bekannten Term 2 von der Summe 10 subtrahieren
X = 10 − 2
X = 8
Kehren wir zum zweiten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo in der Gleichheit 8 − 2 = 6 die Zahl 8 ausgedrückt werden musste.
In der Gleichheit 8 − 2 = 6 ist die Zahl 8 der Minuend, die Zahl 2 der Subtrahend und die Zahl 6 die Differenz
Um die Zahl 8 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:
8 = 6 + 2
Das heißt, wir haben die Differenz von 6 addiert und 2 subtrahiert.
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichung 8 − 2 = 6 anstelle der Zahl 8 eine Variable gibt X
X − 2 = 6
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle des sogenannten unbekannter Minuend
Um einen unbekannten Minuenden zu finden, gilt folgende Regel:
Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.
Das haben wir getan, als wir die Zahl 8 in der Gleichung 8 − 2 = 6 ausgedrückt haben. Um den Minuenden von 8 auszudrücken, haben wir den Subtrahend von 2 zur Differenz von 6 hinzugefügt.
Nun gilt es, den unbekannten Minuenden zu finden X, müssen wir den Subtrahend 2 zur Differenz 6 addieren
X = 6 + 2
Wenn Sie die rechte Seite berechnen, können Sie herausfinden, was die Variable ist X
X = 8
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichung 8 − 2 = 6 anstelle der Zahl 2 eine Variable gibt X
8 − X = 6
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannter Subtrahend
Um einen unbekannten Subtrahend zu finden, gilt folgende Regel:
Finden unbekannter Subtrahend, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 2 in der Gleichung 8 − 2 = 6 ausgedrückt haben. Um die Zahl 2 auszudrücken, haben wir die Differenz 6 vom Minuend 8 subtrahiert.
Nun geht es darum, den unbekannten Subtrahend zu finden X, müssen Sie erneut die Differenz 6 vom Minuend 8 subtrahieren
X = 8 − 6
Wir berechnen die rechte Seite und ermitteln den Wert X
X = 2
Kehren wir zum dritten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo wir in der Gleichheit 3 × 2 = 6 versucht haben, die Zahl 3 auszudrücken.
In der Gleichung 3 × 2 = 6 ist die Zahl 3 der Multiplikand, die Zahl 2 der Multiplikator und die Zahl 6 das Produkt
Um die Nummer 3 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:
Das heißt, wir haben das Produkt von 6 durch den Faktor 2 dividiert.
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit 3 × 2 = 6 anstelle der Zahl 3 eine Variable gibt X
X× 2 = 6
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannter Multiplikand.
Um einen unbekannten Multiplikanden zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:
Um einen unbekannten Multiplikanden zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Faktor dividieren.
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 3 aus der Gleichung 3 × 2 = 6 ausgedrückt haben. Wir haben das Produkt 6 durch den Faktor 2 dividiert.
Nun gilt es, den unbekannten Multiplikanden zu finden X, müssen Sie das Produkt 6 durch den Faktor 2 dividieren.
Durch die Berechnung der rechten Seite können wir den Wert einer Variablen ermitteln X
X = 3
Die gleiche Regel gilt für die Variable X steht anstelle des Multiplikators, nicht des Multiplikanden. Stellen wir uns vor, dass es in der Gleichheit 3 × 2 = 6 anstelle der Zahl 2 eine Variable gibt X.
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannter Multiplikator. Um einen unbekannten Faktor zu finden, wird das gleiche Verfahren wie für die Suche nach einem unbekannten Multiplikanden angewendet, nämlich das Produkt durch einen bekannten Faktor zu dividieren:
Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren.
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 2 aus der Gleichung 3 × 2 = 6 ausgedrückt haben. Um die Zahl 2 zu erhalten, dividierten wir dann das Produkt von 6 durch seinen Multiplikanden 3.
Nun gilt es, den unbekannten Faktor zu finden X Wir haben das Produkt von 6 durch den Multiplikanden von 3 dividiert.
Durch die Berechnung der rechten Seite der Gleichheit können Sie herausfinden, was x ist
X = 2
Der Multiplikand und der Multiplikator zusammen werden Faktoren genannt. Da die Regeln zum Finden eines Multiplikanden und eines Multiplikators dieselben sind, können wir formulieren allgemeine Regel Den unbekannten Faktor finden:
Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.
Lösen wir zum Beispiel die Gleichung 9 × X= 18. Variable X ist ein unbekannter Faktor. Um diesen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt 18 durch den bekannten Faktor 9 dividieren
Lassen Sie uns die Gleichung lösen X× 3 = 27. Variable X ist ein unbekannter Faktor. Um diesen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt 27 durch den bekannten Faktor 3 dividieren
Gehen wir zurück zu viertes Beispiel aus dem vorherigen Thema, wo es in einer Gleichheit notwendig war, die Zahl 15 auszudrücken. In dieser Gleichheit ist die Zahl 15 der Dividend, die Zahl 5 der Divisor und die Zahl 3 der Quotient.
Um die Zahl 15 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:
15 = 3 × 5
Das heißt, wir haben den Quotienten von 3 mit dem Teiler von 5 multipliziert.
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit anstelle der Zahl 15 eine Variable gibt X
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannte Dividende.
Um eine unbekannte Dividende zu finden, gilt die folgende Regel:
Um den unbekannten Dividenden zu ermitteln, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 15 aus der Gleichheit ausgedrückt haben. Um die Zahl 15 auszudrücken, multiplizieren wir den Quotienten von 3 mit dem Teiler von 5.
Nun gilt es, die unbekannte Dividende zu finden X, müssen Sie den Quotienten 3 mit dem Divisor 5 multiplizieren
X= 3 × 5
X .
X = 15
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit anstelle der Zahl 5 eine Variable gibt X .
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannter Teiler .
Um einen unbekannten Teiler zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 5 aus der Gleichheit ausgedrückt haben. Um die Zahl 5 auszudrücken, dividieren wir den Dividenden 15 durch den Quotienten 3.
Nun gilt es, den unbekannten Teiler zu finden X, müssen Sie den Dividenden 15 durch den Quotienten 3 dividieren
Berechnen wir die rechte Seite der resultierenden Gleichheit. Auf diese Weise finden wir heraus, was die Variable ist X .
X = 5
Um Unbekannte zu finden, haben wir die folgenden Regeln untersucht:
- Um den unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren;
- Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren;
- Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren;
- Um einen unbekannten Multiplikanden zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Faktor dividieren;
- Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren;
- Um einen unbekannten Dividenden zu finden, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren;
- Um einen unbekannten Teiler zu finden, müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren.
Komponenten
Wir nennen Komponenten die in der Gleichheit enthaltenen Zahlen und Variablen
Die Komponenten der Addition sind also Bedingungen Und Summe
Die Subtraktionskomponenten sind Minuend, Subtrahend Und Unterschied
Die Komponenten der Multiplikation sind Multiplikand, Faktor Und arbeiten
Die Komponenten der Division sind Dividende, Divisor und Quotient.
Abhängig davon, um welche Komponenten es sich handelt, gelten die entsprechenden Regeln zum Auffinden von Unbekannten. Wir haben diese Regeln im vorherigen Thema untersucht. Beim Lösen von Gleichungen empfiehlt es sich, diese Regeln auswendig zu kennen.
Beispiel 1. Finden Sie die Wurzel der Gleichung 45 + X = 60
45 - Begriff, X- unbekannter Begriff, 60 - Summe. Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Addition. Wir erinnern uns, dass Sie zum Finden des unbekannten Termes den bekannten Term von der Summe subtrahieren müssen:
X = 60 − 45
Berechnen wir die rechte Seite und ermitteln den Wert X gleich 15
X = 15
Die Wurzel der Gleichung ist also 45 + X= 60 ist gleich 15.
Meistens muss ein unbekannter Begriff auf eine Form reduziert werden, in der er ausgedrückt werden kann.
Beispiel 2. Löse die Gleichung
Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel kann der unbekannte Term hier nicht sofort ausgedrückt werden, da er einen Koeffizienten von 2 enthält. Unsere Aufgabe besteht darin, diese Gleichung in eine Form zu bringen, in der sie ausgedrückt werden könnte X
IN in diesem Beispiel Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Addition – den Termen und der Summe. 2 X ist der erste Term, 4 ist der zweite Term, 8 ist die Summe.
In diesem Fall Begriff 2 X enthält eine Variable X. Nachdem Sie den Wert der Variablen gefunden haben X Semester 2 X wird ein anderes Aussehen haben. Daher Begriff 2 X kann völlig als unbekannter Begriff aufgefasst werden:
Nun wenden wir die Regel zum Finden des unbekannten Begriffs an. Subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe:
Berechnen wir die rechte Seite der resultierenden Gleichung:
Wir haben eine neue Gleichung. Jetzt beschäftigen wir uns mit den Komponenten der Multiplikation: dem Multiplikanden, dem Multiplikator und dem Produkt. 2 - Multiplikand, X- Multiplikator, 4 - Produkt
In diesem Fall die Variable X ist nicht nur ein Multiplikator, sondern ein unbekannter Multiplikator
Um diesen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren:
Berechnen wir die rechte Seite und ermitteln den Wert der Variablen X
Um dies zu überprüfen, senden Sie die gefundene Wurzel an die ursprüngliche Gleichung und ersetzen Sie sie X
Beispiel 3. Löse die Gleichung 3X+ 9X+ 16X= 56
Bringen Sie das Unbekannte sofort zum Ausdruck X es ist verboten. Zuerst müssen Sie diese Gleichung in eine Form bringen, in der sie ausgedrückt werden kann.
Wir präsentieren auf der linken Seite gegebene Gleichung:
Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. 28 - Multiplikand, X- Multiplikator, 56 - Produkt. Dabei X ist ein unbekannter Faktor. Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren:
Von hier X gleich 2
Äquivalente Gleichungen
Im vorherigen Beispiel beim Lösen der Gleichung 3X + 9X + 16X = 56 , wir brachten ähnliche Begriffe auf der linken Seite der Gleichung. Als Ergebnis haben wir eine neue Gleichung 28 erhalten X= 56 . Alte Gleichung 3X + 9X + 16X = 56 und die daraus resultierende neue Gleichung 28 X= 56 wird aufgerufen äquivalente Gleichungen, da ihre Wurzeln zusammenfallen.
Gleichungen heißen äquivalent, wenn ihre Wurzeln übereinstimmen.
Schauen wir es uns an. Für die Gleichung 3X+ 9X+ 16X= 56 Wir haben herausgefunden, dass die Wurzel gleich 2 ist. Setzen wir zunächst diese Wurzel in die Gleichung ein 3X+ 9X+ 16X= 56 und dann in Gleichung 28 X= 56, was durch Einbringen ähnlicher Terme auf der linken Seite der vorherigen Gleichung erhalten wurde. Wir müssen die richtigen numerischen Gleichungen erhalten
Entsprechend der Reihenfolge der Operationen wird zuerst die Multiplikation durchgeführt:
Setzen wir Wurzel 2 in die zweite Gleichung 28 ein X= 56
Wir sehen, dass beide Gleichungen die gleichen Wurzeln haben. Also die Gleichungen 3X+ 9X+ 16X= 6 und 28 X= 56 sind tatsächlich gleichwertig.
Um die Gleichung zu lösen 3X+ 9X+ 16X= 56 Wir haben eine davon verwendet – die Reduzierung ähnlicher Begriffe. Die korrekte Identitätstransformation der Gleichung ermöglichte es uns, sie zu erhalten äquivalente Gleichung 28X= 56, was einfacher zu lösen ist.
Aus Identitätstransformationen An dieser Moment Wir wissen nur, wie man Brüche kürzt, ähnliche Begriffe hinzufügt und herausnimmt gemeinsamer Multiplikatorüber die Klammern hinaus und öffnen Sie auch die Klammern. Es gibt weitere Konvertierungen, die Sie beachten sollten. Aber für Grund IdeeÜber identische Transformationen von Gleichungen sind die von uns untersuchten Themen völlig ausreichend.
Betrachten wir einige Transformationen, die es uns ermöglichen, die äquivalente Gleichung zu erhalten
Wenn Sie auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl hinzufügen, erhalten Sie eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.
und ähnlich:
Wenn Sie von beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl subtrahieren, erhalten Sie eine Gleichung, die der angegebenen Gleichung äquivalent ist.
Mit anderen Worten: Die Wurzel der Gleichung ändert sich nicht, wenn dieselbe Zahl zu derselben Zahl addiert (oder von beiden Seiten davon subtrahiert) wird.
Beispiel 1. Löse die Gleichung 
Subtrahieren Sie 10 von beiden Seiten der Gleichung
Wir haben Gleichung 5 X= 10 . Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Einen unbekannten Faktor finden X, müssen Sie das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 5 dividieren.
und ersetzen X Wert 2 gefunden
Wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Lösung der Gleichung Wir haben die Zahl 10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. Als Ergebnis haben wir eine äquivalente Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichung ist auch gleich 2
Beispiel 2. Lösen Sie Gleichung 4( X+ 3) = 16
Subtrahieren Sie die Zahl 12 von beiden Seiten der Gleichung
Auf der linken Seite sind noch 4 übrig X und auf der rechten Seite die Zahl 4
Wir haben Gleichung 4 X= 4 . Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Einen unbekannten Faktor finden X, müssen Sie das Produkt 4 durch den bekannten Faktor 4 dividieren
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung 4( X+ 3) = 16 und Ersatz X Wert 1 gefunden
Wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Lösung von Gleichung 4( X+ 3) = 16 Wir haben die Zahl 12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. Als Ergebnis haben wir die äquivalente Gleichung 4 erhalten X= 4 . Die Wurzel dieser Gleichung, wie Gleichung 4( X+ 3) = 16 ist auch gleich 1
Beispiel 3. Löse die Gleichung 
Erweitern wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichheit:
Addiere die Zahl 8 auf beiden Seiten der Gleichung
Lassen Sie uns auf beiden Seiten der Gleichung ähnliche Begriffe darstellen:
Auf der linken Seite sind noch 2 übrig X und auf der rechten Seite die Zahl 9
In der resultierenden Gleichung 2 X= 9 drücken wir den unbekannten Begriff aus X
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen X gefundener Wert 4,5
Wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Lösung der Gleichung Wir haben die Zahl 8 zu beiden Seiten der Gleichung hinzugefügt. Als Ergebnis haben wir eine äquivalente Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichung ebenfalls gleich 4,5
Die nächste Regel, die es uns ermöglicht, eine äquivalente Gleichung zu erhalten, lautet wie folgt
Wenn Sie einen Term in einer Gleichung von einem Teil zum anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen ändern, erhalten Sie eine Gleichung, die der gegebenen Gleichung äquivalent ist.
Das heißt, die Wurzel der Gleichung ändert sich nicht, wenn wir einen Term von einem Teil der Gleichung in einen anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen ändern. Diese Eigenschaft ist eine der wichtigsten und wird häufig beim Lösen von Gleichungen verwendet.
Betrachten Sie die folgende Gleichung:
Die Wurzel dieser Gleichung ist gleich 2. Ersetzen wir X diese Wurzel und prüfen Sie, ob die numerische Gleichheit korrekt ist
Es stellt sich heraus wahre Gleichheit. Das bedeutet, dass die Zahl 2 tatsächlich die Wurzel der Gleichung ist.
Versuchen wir nun, mit den Termen dieser Gleichung zu experimentieren, indem wir sie von einem Teil zum anderen verschieben und die Vorzeichen ändern.
Zum Beispiel Semester 3 X befindet sich auf der linken Seite der Gleichung. Verschieben wir es auf die rechte Seite und ändern das Vorzeichen in das Gegenteil:
Das Ergebnis ist eine Gleichung 12 = 9X − 3X . auf der rechten Seite dieser Gleichung:
X ist ein unbekannter Faktor. Lassen Sie uns diesen bekannten Faktor finden:
Von hier X= 2 . Wie Sie sehen, hat sich die Wurzel der Gleichung nicht geändert. Die Gleichungen lauten also 12 + 3 X = 9X Und 12 = 9X − 3X sind gleichwertig.
Tatsächlich handelt es sich bei dieser Transformation um eine vereinfachte Methode der vorherigen Transformation, bei der auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert (oder subtrahiert) wurde.
Das haben wir in der Gleichung 12 + 3 gesagt X = 9X Begriff 3 X wurde auf die rechte Seite verschoben und änderte das Vorzeichen. In Wirklichkeit geschah Folgendes: Term 3 wurde von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert X
Dann wurden auf der linken Seite ähnliche Terme angegeben und die Gleichung erhalten 12 = 9X − 3X. Dann wurden wieder ähnliche Terme angegeben, jedoch auf der rechten Seite, und es ergab sich die Gleichung 12 = 6 X.
Aber die sogenannte „Übersetzung“ ist für solche Gleichungen bequemer, weshalb er diese erhalten hat breite Verwendung. Beim Lösen von Gleichungen verwenden wir häufig diese spezielle Transformation.
Auch die Gleichungen 12 + 3 sind äquivalent X= 9X Und 3x− 9X= −12 . Diesmal lautet die Gleichung 12 + 3 X= 9X Term 12 wurde auf die rechte Seite verschoben, Term 9 X Nach links. Wir sollten nicht vergessen, dass die Zeichen dieser Bedingungen während der Übertragung geändert wurden
Die nächste Regel, die es uns ermöglicht, eine äquivalente Gleichung zu erhalten, lautet wie folgt:
Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der angegebenen Zahl entspricht.
Mit anderen Worten: Die Wurzeln einer Gleichung ändern sich nicht, wenn beide Seiten mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden. Diese Aktion wird häufig verwendet, wenn Sie eine Gleichung lösen müssen, die enthält Bruchausdrücke.
Schauen wir uns zunächst Beispiele an, bei denen beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multipliziert werden.
Beispiel 1. Löse die Gleichung
Beim Lösen von Gleichungen, die gebrochene Ausdrücke enthalten, ist es üblich, die Gleichung zunächst zu vereinfachen.
IN in diesem Fall Wir haben es mit einer solchen Gleichung zu tun. Um diese Gleichung zu vereinfachen, können beide Seiten mit 8 multipliziert werden:
Wir erinnern uns, dass wir für den Zähler eines bestimmten Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren müssen. Wir haben zwei Brüche und jeder von ihnen wird mit der Zahl 8 multipliziert. Unsere Aufgabe ist es, die Zähler der Brüche mit dieser Zahl 8 zu multiplizieren
Jetzt passiert der interessante Teil. Zähler und Nenner beider Brüche enthalten einen Faktor 8, der um 8 reduziert werden kann. Dadurch können wir den Bruchausdruck loswerden:
Als Ergebnis bleibt die einfachste Gleichung bestehen
Nun, es ist nicht schwer zu erraten, dass die Wurzel dieser Gleichung 4 ist
X Wert 4 gefunden
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichheit. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Beim Lösen dieser Gleichung haben wir beide Seiten mit 8 multipliziert. Als Ergebnis haben wir die Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung ist wie die Gleichung 4. Das bedeutet, dass diese Gleichungen äquivalent sind.
Der Faktor, mit dem beide Seiten der Gleichung multipliziert werden, wird normalerweise vor den Teil der Gleichung geschrieben und nicht danach. Als wir die Gleichung lösten, multiplizierten wir beide Seiten mit dem Faktor 8 und erhielten den folgenden Eintrag:
An der Wurzel der Gleichung änderte sich dadurch nichts, aber wenn wir das in der Schule gemacht hätten, wären wir gerügt worden, da es in der Algebra üblich ist, vor dem Ausdruck, mit dem multipliziert wird, einen Faktor anzugeben. Daher empfiehlt es sich, die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit dem Faktor 8 wie folgt umzuschreiben:
Beispiel 2. Löse die Gleichung 
Auf der linken Seite können die Faktoren 15 um 15 reduziert werden, auf der rechten Seite können die Faktoren 15 und 5 um 5 reduziert werden
Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung:
Verschieben wir den Begriff X von der linken Seite der Gleichung zur rechten Seite, wobei das Vorzeichen geändert wird. Und wir verschieben Term 15 von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite, wobei wir erneut das Vorzeichen ändern:
Stellen wir auf beiden Seiten ähnliche Begriffe dar, erhalten wir
Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Variable X
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen X Wert 5 gefunden
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichheit. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist. Bei der Lösung dieser Gleichung haben wir beide Seiten mit 15 multipliziert. Durch weitere identische Transformationen erhielten wir die Gleichung 10 = 2 X. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichung gleich 5. Dies bedeutet, dass diese Gleichungen äquivalent sind.
Beispiel 3. Löse die Gleichung
Auf der linken Seite können Sie zwei Tripel reduzieren, und rechter Teil wird gleich 18 sein
Es bleibt die einfachste Gleichung. Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Variable X ist ein unbekannter Faktor. Lassen Sie uns diesen bekannten Faktor finden:
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen sie X Wert 9 gefunden
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichheit. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Beispiel 4. Löse die Gleichung 
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6
Öffnen wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung. Auf der rechten Seite kann der Faktor 6 zum Zähler erhöht werden:
Lassen Sie uns reduzieren, was auf beiden Seiten der Gleichungen reduziert werden kann:
Schreiben wir um, was uns noch bleibt:
Nutzen wir die Begriffsübertragung. Begriffe, die das Unbekannte enthalten X, gruppieren wir auf der linken Seite der Gleichung und die Terme ohne Unbekannte - auf der rechten Seite:
Lassen Sie uns in beiden Teilen ähnliche Begriffe darstellen:
Lassen Sie uns nun den Wert der Variablen ermitteln X. Teilen Sie dazu das Produkt 28 durch den bekannten Faktor 7
Von hier X= 4.
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen X gefundener Wert 4
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichung. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Beispiel 5. Löse die Gleichung 
Öffnen wir nach Möglichkeit die Klammern auf beiden Seiten der Gleichung:
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 15
Öffnen wir die Klammern auf beiden Seiten der Gleichung:
Lassen Sie uns reduzieren, was auf beiden Seiten der Gleichung reduziert werden kann:
Schreiben wir um, was uns noch bleibt:
Erweitern wir die Klammern nach Möglichkeit:
Nutzen wir die Begriffsübertragung. Wir gruppieren die Terme, die die Unbekannte enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und die Terme, die keine Unbekannten enthalten, auf der rechten Seite. Vergessen Sie nicht, dass die Begriffe während der Übertragung ihre Vorzeichen in das Gegenteil ändern:
Lassen Sie uns auf beiden Seiten der Gleichung ähnliche Begriffe darstellen:
Finden wir den Wert X
Die resultierende Antwort enthält einen ganzen Teil:
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen sie X Wert gefunden
Es stellt sich heraus, dass es sich um einen ziemlich umständlichen Ausdruck handelt. Lassen Sie uns Variablen verwenden. Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichheit in eine Variable einfügen A und die rechte Seite der Gleichheit in eine Variable B
Unsere Aufgabe besteht darin, sicherzustellen, dass die linke Seite gleich der rechten ist. Mit anderen Worten: Beweisen Sie die Gleichheit A = B
Suchen wir den Wert des Ausdrucks in Variable A.
Variablenwert A gleicht. Lassen Sie uns nun den Wert der Variablen ermitteln B. Das heißt, der Wert der rechten Seite unserer Gleichheit. Wenn es auch gleich ist, wird die Gleichung korrekt gelöst
Wir sehen, dass der Wert der Variablen B, sowie der Wert der Variablen A ist . Das bedeutet, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Daraus schließen wir, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Versuchen wir nun, beide Seiten der Gleichung nicht mit derselben Zahl zu multiplizieren, sondern zu dividieren.
Betrachten Sie die Gleichung 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . Lösen wir es mit der üblichen Methode: Wir gruppieren Terme, die Unbekannte enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und Terme, die keine Unbekannten enthalten, auf der rechten Seite. Als nächstes ermitteln wir den Wert, indem wir die bekannten Identitätstransformationen durchführen X
Ersetzen wir stattdessen den gefundenen Wert 2 X in die ursprüngliche Gleichung:
Versuchen wir nun, alle Terme der Gleichung zu trennen 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 durch eine Zahl Wir stellen fest, dass alle Terme dieser Gleichung einen gemeinsamen Faktor von 2 haben. Wir dividieren jeden Term durch ihn:
Führen wir in jedem Term eine Reduktion durch:
Schreiben wir um, was uns noch bleibt:
Lösen wir diese Gleichung mit den bekannten Identitätstransformationen:
Wir haben Root 2. Also die Gleichungen 15X+ 7X+ 7 = 35x− 20X+ 21 Und 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 sind gleichwertig.
Wenn Sie beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl dividieren, können Sie die Unbekannte aus dem Koeffizienten entfernen. Im vorherigen Beispiel, als wir Gleichung 7 erhielten X= 14, mussten wir das Produkt 14 durch den bekannten Faktor 7 dividieren. Hätten wir aber das Unbekannte vom Faktor 7 auf der linken Seite befreit, wäre die Wurzel sofort gefunden worden. Dazu reichte es, beide Seiten durch 7 zu dividieren
Wir werden diese Methode auch oft verwenden.
Multiplikation mit minus eins
Wenn beide Seiten der Gleichung mit minus eins multipliziert werden, erhält man eine Gleichung, die dieser entspricht.
Diese Regel ergibt sich aus der Tatsache, dass die Multiplikation (oder Division) beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl die Wurzel der gegebenen Gleichung nicht verändert. Das bedeutet, dass sich die Wurzel nicht ändert, wenn beide Teile mit −1 multipliziert werden.
Mit dieser Regel können Sie die Vorzeichen aller in der Gleichung enthaltenen Komponenten ändern. Wofür ist das? Auch hier geht es darum, eine äquivalente Gleichung zu erhalten, die einfacher zu lösen ist.
Betrachten Sie die Gleichung. Warum gleich der Wurzel diese Gleichung?
Addiere die Zahl 5 auf beiden Seiten der Gleichung
Schauen wir uns ähnliche Begriffe an:
Erinnern wir uns nun an. Was ist die linke Seite der Gleichung? Dies ist das Produkt aus minus eins und einer Variablen X
Das heißt, das Minuszeichen vor der Variablen X bezieht sich nicht auf die Variable selbst X, aber zu einem, was wir nicht sehen, da Koeffizient 1 normalerweise nicht angeschrieben wird. Das bedeutet, dass die Gleichung tatsächlich so aussieht:
Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Finden X, müssen Sie das Produkt −5 durch den bekannten Faktor −1 dividieren.
oder dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch −1, was noch einfacher ist
Die Wurzel der Gleichung ist also 5. Um dies zu überprüfen, setzen wir es in die ursprüngliche Gleichung ein. Vergessen Sie nicht, dass in der ursprünglichen Gleichung das Minus vor der Variablen steht X bezieht sich auf eine unsichtbare Einheit
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichung. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Versuchen wir nun, beide Seiten der Gleichung mit minus eins zu multiplizieren:
Nach dem Öffnen der Klammern wird auf der linken Seite der Ausdruck gebildet und auf der rechten Seite ergibt sich der Wert 10
Die Wurzel dieser Gleichung ist wie die Gleichung 5
Das bedeutet, dass die Gleichungen äquivalent sind.
Beispiel 2. Löse die Gleichung
In dieser Gleichung sind alle Komponenten negativ. MIT positive Komponenten Es ist bequemer, damit zu arbeiten als mit negativen, also ändern wir die Vorzeichen aller in der Gleichung enthaltenen Komponenten. Multiplizieren Sie dazu beide Seiten dieser Gleichung mit −1.
Es ist klar, dass jede Zahl bei Multiplikation mit −1 ihr Vorzeichen in das Gegenteil ändert. Daher wird der Vorgang der Multiplikation mit −1 und des Öffnens der Klammern nicht im Detail beschrieben, sondern die Komponenten der Gleichung mit entgegengesetzten Vorzeichen werden sofort notiert.
Somit kann die Multiplikation einer Gleichung mit −1 im Detail wie folgt geschrieben werden:
oder Sie ändern einfach die Vorzeichen aller Komponenten:
Das Ergebnis wird dasselbe sein, aber der Unterschied wird darin bestehen, dass wir uns Zeit sparen.
Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit −1 multiplizieren, erhalten wir die Gleichung. Lassen Sie uns diese Gleichung lösen. Subtrahiere 4 von beiden Seiten und dividiere beide Seiten durch 3
Wenn die Wurzel gefunden ist, wird die Variable normalerweise auf die linke Seite und ihr Wert auf die rechte Seite geschrieben, was wir auch getan haben.
Beispiel 3. Löse die Gleichung
Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung mit −1 multiplizieren. Dann ändern alle Komponenten ihre Vorzeichen in entgegengesetzte:
Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten der resultierenden Gleichung X und geben Sie ähnliche Begriffe an:
Fügen wir eins zu beiden Seiten der Gleichung hinzu und geben ähnliche Terme an: 
Entspricht Null
Wir haben kürzlich gelernt, dass wir eine Gleichung erhalten, die der gegebenen Gleichung äquivalent ist, wenn wir einen Term in einer Gleichung von einem Teil zum anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen ändern.
Was passiert, wenn Sie von einem Teil zum anderen wechseln und nicht nur einen Begriff, sondern alle Begriffe? Das ist richtig, in dem Teil, in dem alle Begriffe entfernt wurden, wird Null übrig bleiben. Mit anderen Worten: Es wird nichts mehr übrig bleiben.
Betrachten Sie als Beispiel die Gleichung. Lösen wir diese Gleichung wie gewohnt – wir gruppieren die Terme, die Unbekannte enthalten, in einem Teil und lassen die numerischen Terme im anderen Teil frei von Unbekannten. Als nächstes ermitteln wir den Wert der Variablen, indem wir die bekannten Identitätstransformationen durchführen X
Versuchen wir nun, dieselbe Gleichung zu lösen, indem wir alle ihre Komponenten mit Null gleichsetzen. Dazu verschieben wir alle Begriffe von der rechten Seite nach links und ändern dabei die Vorzeichen:
Lassen Sie uns auf der linken Seite ähnliche Begriffe darstellen:
Addiere auf beiden Seiten 77 und dividiere beide Seiten durch 7
Eine Alternative zu den Regeln zum Auffinden von Unbekannten
Wenn Sie über identische Transformationen von Gleichungen Bescheid wissen, müssen Sie sich die Regeln zum Finden von Unbekannten natürlich nicht merken.
Um beispielsweise das Unbekannte in einer Gleichung zu finden, haben wir das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 2 dividiert
Wenn Sie jedoch beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen, wird die Wurzel sofort gefunden. Auf der linken Seite der Gleichung wird im Zähler der Faktor 2 und im Nenner der Faktor 2 um 2 reduziert. Und die rechte Seite wird gleich 5 sein
Wir haben Gleichungen der Form gelöst, indem wir den unbekannten Term ausgedrückt haben:
Sie können jedoch dieselben Transformationen verwenden, die wir heute untersucht haben. In der Gleichung kann Term 4 durch Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite verschoben werden:
Auf der linken Seite der Gleichung heben sich zwei Zweier auf. Die rechte Seite wird gleich 2 sein. Daher .
Oder Sie könnten 4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren, dann würden Sie Folgendes erhalten:
Bei Gleichungen der Form ist es bequemer, das Produkt durch einen bekannten Faktor zu dividieren. Vergleichen wir beide Lösungen:
Die erste Lösung ist viel kürzer und übersichtlicher. Die zweite Lösung lässt sich deutlich verkürzen, indem man die Aufteilung im Kopf durchführt.
Allerdings ist es notwendig, beide Methoden zu kennen und erst dann die von Ihnen bevorzugte zu verwenden.
Wenn es mehrere Wurzeln gibt
Eine Gleichung kann mehrere Wurzeln haben. Zum Beispiel die Gleichung X(x+ 9) = 0 hat zwei Wurzeln: 0 und −9.
In Gl. X(x+ 9) = 0 war es notwendig, einen solchen Wert zu finden X bei dem die linke Seite gleich Null wäre. Die linke Seite dieser Gleichung enthält die Ausdrücke X Und (x+9), das sind Faktoren. Aus den Produktgesetzen wissen wir, dass ein Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist (entweder der erste oder der zweite Faktor).
Das heißt, in Gl. X(x+ 9) = 0 Gleichheit wird erreicht, wenn X wird gleich Null sein oder (x+9) wird gleich Null sein.
X= 0 oder X + 9 = 0
Indem wir beide Ausdrücke auf Null setzen, können wir die Wurzeln der Gleichung finden X(x+ 9) = 0 . Die erste Wurzel wurde, wie aus dem Beispiel hervorgeht, sofort gefunden. Um die zweite Wurzel zu finden, müssen Sie sie lösen Elementargleichung X+ 9 = 0 . Es ist leicht zu erraten, dass die Wurzel dieser Gleichung −9 ist. Die Überprüfung zeigt, dass die Wurzel korrekt ist:
−9 + 9 = 0
Beispiel 2. Löse die Gleichung
Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: 1 und 2. Die linke Seite der Gleichung ist das Produkt der Ausdrücke ( X− 1) und ( X− 2) . Und das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist (oder der Faktor ( X− 1) oder Faktor ( X − 2) ).
Lasst uns so etwas finden X unter denen die Ausdrücke ( X− 1) oder ( X− 2) zu Null werden:
Wir setzen die gefundenen Werte einzeln in die ursprüngliche Gleichung ein und stellen sicher, dass für diese Werte die linke Seite gleich Null ist:
Wenn es unendlich viele Wurzeln gibt
Eine Gleichung kann unendlich viele Wurzeln haben. Das heißt, indem wir eine beliebige Zahl in eine solche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte numerische Gleichheit.
Beispiel 1. Löse die Gleichung 
Die Wurzel dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl. Wenn man die Klammern auf der linken Seite der Gleichung öffnet und ähnliche Terme hinzufügt, erhält man die Gleichung 14 = 14. Diese Gleichheit wird für jeden erreicht X
Beispiel 2. Löse die Gleichung
Die Wurzel dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl. Wenn Sie die Klammern auf der linken Seite der Gleichung öffnen, erhalten Sie die Gleichheit 10X + 12 = 10X + 12. Diese Gleichheit wird für jeden erreicht X
Wenn es keine Wurzeln gibt
Es kommt auch vor, dass die Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, also keine Wurzeln hat. Beispielsweise hat die Gleichung keine Wurzeln, da für jeden Wert X, ist die linke Seite der Gleichung nicht gleich der rechten Seite. Lassen Sie zum Beispiel . Dann nimmt die Gleichung die folgende Form an
Beispiel 2. Löse die Gleichung
Erweitern wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichheit:
Schauen wir uns ähnliche Begriffe an:
Wir sehen, dass die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist. Und das gilt für jeden Wert. j. Lassen Sie zum Beispiel j = 3 .
Buchstabengleichungen
Eine Gleichung kann nicht nur Zahlen mit Variablen, sondern auch Buchstaben enthalten.
Die Formel zum Ermitteln der Geschwindigkeit ist beispielsweise eine wörtliche Gleichung:
Diese Gleichung beschreibt die Geschwindigkeit eines Körpers bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung.
Eine nützliche Fähigkeit ist die Fähigkeit, jede in einer Buchstabengleichung enthaltene Komponente auszudrücken. Um beispielsweise den Abstand aus einer Gleichung zu bestimmen, müssen Sie die Variable ausdrücken S .
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit T
Variablen auf der rechten Seite T Lass es uns durchgehen T
In der resultierenden Gleichung vertauschen wir die linke und rechte Seite:
Wir haben eine Formel zum Ermitteln der Entfernung, die wir zuvor untersucht haben.
Versuchen wir, die Zeit aus der Gleichung zu bestimmen. Dazu müssen Sie die Variable ausdrücken T .
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit T
Variablen auf der rechten Seite T Lass es uns durchgehen T und schreibe um, was uns noch bleibt:
In der resultierenden Gleichung v×t = s Teilen Sie beide Teile in v
Variablen auf der linken Seite v Lass es uns durchgehen v und schreibe um, was uns noch bleibt:
Wir haben die Formel zur Zeitbestimmung, die wir zuvor studiert haben.
Angenommen, die Zuggeschwindigkeit beträgt 50 km/h
v= 50 km/h
Und die Entfernung beträgt 100 km
S= 100 km
Dann nimmt der Brief die folgende Form an
Die Zeit kann aus dieser Gleichung ermittelt werden. Dazu müssen Sie in der Lage sein, die Variable auszudrücken T. Sie können die Regel zum Finden eines unbekannten Teilers verwenden, indem Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren und so den Wert der Variablen bestimmen T
oder Sie können identische Transformationen verwenden. Multiplizieren Sie zunächst beide Seiten der Gleichung mit T
Dann dividiere beide Seiten durch 50
Beispiel 2 X
Subtrahieren Sie von beiden Seiten der Gleichung A
Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch B
a + bx = c, dann werden wir haben fertige Lösung. Es wird ausreichen, es zu ersetzen erforderliche Werte. Diese Werte, die durch Buchstaben ersetzt werden a, b, c normalerweise aufgerufen Parameter. Und Gleichungen der Form a + bx = c angerufen Gleichung mit Parametern. Abhängig von den Parametern ändert sich die Wurzel.
Lösen wir die Gleichung 2 + 4 X= 10 . Es sieht aus wie eine Buchstabengleichung a + bx = c. Anstatt identische Transformationen durchzuführen, können wir eine vorgefertigte Lösung verwenden. Vergleichen wir beide Lösungen:
Wir sehen, dass die zweite Lösung viel einfacher und kürzer ist.
Für eine fertige Lösung ist eine kleine Bemerkung notwendig. Parameter B darf nicht Null sein (b ≠ 0), da Division durch Null durch erlaubt ist.
Beispiel 3. Es wird eine wörtliche Gleichung angegeben. Drücken Sie aus dieser Gleichung aus X
Öffnen wir die Klammern auf beiden Seiten der Gleichung
Nutzen wir die Begriffsübertragung. Parameter, die eine Variable enthalten X, gruppieren wir auf der linken Seite der Gleichung und Parameter, die von dieser Variablen frei sind, auf der rechten Seite.
Auf der linken Seite nehmen wir den Faktor aus Klammern heraus X
Teilen wir beide Seiten in den Ausdruck auf a − b
Auf der linken Seite können Zähler und Nenner um reduziert werden a − b. So wird die Variable letztendlich ausgedrückt X
Wenn wir nun auf eine Gleichung der Form stoßen a(x − c) = b(x + d), dann haben wir eine fertige Lösung. Es reicht aus, die erforderlichen Werte darin einzusetzen.
Nehmen wir an, wir erhalten die Gleichung 4(x− 3) = 2(X+ 4) . Es ist wie eine Gleichung a(x − c) = b(x + d). Lösen wir es auf zwei Arten: mit identischen Transformationen und mit einer vorgefertigten Lösung:
Der Einfachheit halber lassen wir es aus der Gleichung heraus 4(x− 3) = 2(X+ 4) Parameterwerte A, B, C, D . Dadurch können wir beim Ersetzen keinen Fehler machen:
Wie im vorherigen Beispiel sollte der Nenner hier nicht gleich Null sein ( a − b ≠ 0) . Wenn wir auf eine Gleichung der Form stoßen a(x − c) = b(x + d) in dem die Parameter A Und B dasselbe sein wird, können wir ohne Lösung sagen, dass diese Gleichung keine Wurzeln hat, da der Unterschied besteht identische Zahlen gleich Null.
Zum Beispiel die Gleichung 2(x − 3) = 2(x + 4) ist eine Gleichung der Form a(x − c) = b(x + d). In Gl. 2(x − 3) = 2(x + 4) Optionen A Und B das gleiche. Wenn wir mit der Lösung beginnen, werden wir zu dem Schluss kommen, dass die linke Seite nicht gleich der rechten Seite sein wird:
Beispiel 4. Es wird eine wörtliche Gleichung angegeben. Drücken Sie aus dieser Gleichung aus X
Bringen wir die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:
Multiplizieren Sie beide Seiten mit A
Auf der linken Seite X lasst es uns aus Klammern setzen
Teilen Sie beide Seiten durch den Ausdruck (1 − A)
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
Die in dieser Lektion besprochenen Gleichungen heißen lineare Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten.
Wenn die Gleichung im ersten Grad angegeben ist, keine Division durch die Unbekannte enthält und auch keine Wurzeln aus der Unbekannten enthält, kann sie als linear bezeichnet werden. Wir haben Kräfte und Wurzeln noch nicht studiert. Um unser Leben nicht zu verkomplizieren, werden wir das Wort „linear“ als „einfach“ verstehen.
Die meisten der in dieser Lektion gelösten Gleichungen liefen letztlich auf eine einfache Gleichung hinaus, bei der man das Produkt durch einen bekannten Faktor dividieren musste. Dies ist zum Beispiel Gleichung 2( X+ 3) = 16 . Lass es uns lösen.
Öffnen wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung, wir erhalten 2 X+ 6 = 16. Verschieben wir Term 6 auf die rechte Seite und ändern das Vorzeichen. Dann bekommen wir 2 X= 16 − 6. Berechnen Sie die rechte Seite, wir erhalten 2 X= 10. Zu finden X, dividiere das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 2. Daher X = 5.
Gleichung 2( X+ 3) = 16 ist linear. Es kommt auf Gleichung 2 an X= 10, um die Wurzel zu finden, deren Produkt durch einen bekannten Faktor dividiert werden musste. Diese einfachste Gleichung heißt lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonische Form . Das Wort „kanonisch“ ist synonym mit „einfach“ oder „normal“.
Eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonischer Form wird als Gleichung der Form bezeichnet Axt = b.
Unsere resultierende Gleichung 2 X= 10 ist eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonischer Form. Diese Gleichung hat den ersten Grad, eine Unbekannte, sie enthält keine Division durch die Unbekannte und enthält keine Wurzeln aus der Unbekannten, und sie wird in kanonischer Form dargestellt, d. h. in der einfachsten Form, in der der Wert leicht bestimmt werden kann X. Anstelle von Parametern A Und B Unsere Gleichung enthält die Zahlen 2 und 10. Eine solche Gleichung kann aber auch andere Zahlen enthalten: positiv, negativ oder gleich Null.
Wenn in einer linearen Gleichung A= 0 und B= 0, dann hat die Gleichung unendlich viele Wurzeln. In der Tat, wenn A gleich Null und B gleich Null ist, dann ist die lineare Gleichung Axt= B wird die Form 0 annehmen X= 0 . Für jeden Wert X die linke Seite ist gleich der rechten Seite.
Wenn in einer linearen Gleichung A= 0 und B≠ 0, dann hat die Gleichung keine Wurzeln. In der Tat, wenn A gleich Null und B gleich einer beliebigen Zahl, nicht gleich Null, sagen wir die Zahl 5, dann die Gleichung Axt = b wird die Form 0 annehmen X= 5 . Die linke Seite wird Null sein und die rechte Seite wird fünf sein. Und Null ist nicht gleich fünf.
Wenn in einer linearen Gleichung A≠ 0, und B gleich einer beliebigen Zahl ist, dann hat die Gleichung eine Wurzel. Er wird durch Division des Parameters ermittelt B pro Parameter A
In der Tat, wenn A gleich einer Zahl, die nicht Null ist, sagen wir die Zahl 3, und B gleich einer Zahl, beispielsweise der Zahl 6, dann nimmt die Gleichung die Form an.
Von hier.
Es gibt eine andere Form der Aufzeichnung Lineargleichung erster Abschluss mit einem Unbekannten. Es sieht aus wie das: Axt-b= 0 . Dies ist die gleiche Gleichung wie Axt = b
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