Die Fläche eines gekrümmten Trapezes, die oben durch einen Graphen begrenzt wird. Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral. In der Lage sein, die Fläche eines gekrümmten Trapezes zu berechnen

Eine durch den Graphen einer stetigen nichtnegativen Funktion $f(x)$ auf der Strecke $$ und den Linien $y=0, \ x=a$ und $x=b$ begrenzte Figur wird als krummliniges Trapez bezeichnet.

Bereich entsprechend gebogenes Trapez berechnet nach der Formel:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Wir werden Probleme zur Ermittlung der Fläche eines krummlinigen Trapezes bedingt in $4$-Typen unterteilen. Schauen wir uns jeden Typ genauer an.

Typ I: Es wird explizit ein gebogenes Trapez angegeben. Dann wenden Sie sofort die Formel (*) an.

Finden Sie beispielsweise die Fläche eines krummlinigen Trapezes, das durch den Graphen der Funktion $y=4-(x-2)^(2)$ und die Linien $y=0, \ x=1$ und $x begrenzt wird =3$.

Zeichnen wir dieses gebogene Trapez.

Mit der Formel (*) ermitteln wir die Fläche dieses krummlinigen Trapezes.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (Einheiten$^(2)$).

Typ II: Das gebogene Trapez wird implizit spezifiziert. In diesem Fall sind die Geraden $x=a, \ x=b$ normalerweise nicht oder nur teilweise angegeben. In diesem Fall müssen Sie die Schnittpunkte der Funktionen $y=f(x)$ und $y=0$ finden. Diese Punkte sind die Punkte $a$ und $b$.

Finden Sie beispielsweise die Fläche einer Figur, die durch die Graphen der Funktionen $y=1-x^(2)$ und $y=0$ begrenzt wird.

Finden wir die Schnittpunkte. Dazu setzen wir die rechten Seiten der Funktionen gleich.

Somit sind $a=-1$ und $b=1$. Zeichnen wir dieses gebogene Trapez.

Lassen Sie uns die Fläche dieses gebogenen Trapezes ermitteln.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (units$^(2)$).

Typ III: die Fläche einer Figur, die durch den Schnittpunkt zweier stetiger nichtnegativer Funktionen begrenzt wird. Diese Figur wird kein gekrümmtes Trapez sein, was bedeutet, dass Sie ihre Fläche nicht mit der Formel (*) berechnen können. Wie sein? Es stellt sich heraus, dass die Fläche dieser Figur als Differenz zwischen den Flächen krummliniger Trapeze ermittelt werden kann, die durch die obere Funktion und $y=0$ ($S_(uf)$) und die untere Funktion und $y begrenzt werden =0$ ($S_(lf)$), wobei die Rolle von $x=a, \ x=b$ von den $x$-Koordinaten der Schnittpunkte dieser Funktionen gespielt wird, d.h.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Das Wichtigste bei der Berechnung solcher Flächen ist, bei der Wahl der Ober- und Unterfunktion nichts zu „verpassen“.

Finden Sie beispielsweise die Fläche einer Figur, die durch die Funktionen $y=x^(2)$ und $y=x+6$ begrenzt wird.

Suchen wir die Schnittpunkte dieser Diagramme:

Nach dem Satz von Vieta gilt

$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$

Das heißt, $a=-2,\b=3$. Zeichnen wir eine Figur:

Somit ist die obere Funktion $y=x+6$ und die untere Funktion ist $y=x^(2)$. Als nächstes ermitteln wir $S_(uf)$ und $S_(lf)$ mithilfe der Formel (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (Einheiten$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (Einheiten$^(2)$).

Ersetzen wir das, was wir herausgefunden haben, in (**) und erhalten:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (Einheiten$^(2)$).

Typ IV: Figurenfläche, eingeschränkte Funktion(s), die die Nichtnegativitätsbedingung nicht erfüllen. Um die Fläche einer solchen Figur zu ermitteln, müssen Sie symmetrisch zur $Ox$-Achse sein ( mit anderen Worten, Setzen Sie „Minuspunkte“ vor die Funktionen) zeigen Sie die Fläche an und ermitteln Sie mit den in den Typen I – III beschriebenen Methoden die Fläche der angezeigten Fläche. Dieser Bereich ist der erforderliche Bereich. Zuerst müssen Sie möglicherweise die Schnittpunkte der Funktionsgraphen finden.

Finden Sie beispielsweise die Fläche einer Figur, die durch die Graphen der Funktionen $y=x^(2)-1$ und $y=0$ begrenzt wird.

Suchen wir die Schnittpunkte der Funktionsgraphen:

diese. $a=-1$ und $b=1$. Lassen Sie uns den Bereich zeichnen.

Lassen Sie uns den Bereich symmetrisch darstellen:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Das Ergebnis ist ein krummliniges Trapez, das durch den Graphen der Funktion $y=1-x^(2)$ und $y=0$ begrenzt wird. Dies ist ein Problem, um ein gebogenes Trapez der zweiten Art zu finden. Wir haben es bereits gelöst. Die Antwort war: $S= 1\frac(1)(3)$ (Einheiten $^(2)$). Dies bedeutet, dass die Fläche des erforderlichen krummlinigen Trapezes gleich ist:

$S=1\frac(1)(3)$ (Einheiten$^(2)$).

Beispiel 1 . Berechnen Sie die Fläche der Figur, durch Linien begrenzt: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 und x = 2

Konstruieren wir eine Figur (siehe Abbildung). Wir konstruieren eine Gerade x + 2y – 4 = 0 aus zwei Punkten A(4;0) und B(0;2). Wenn wir y durch x ausdrücken, erhalten wir y = -0,5x + 2. Mit Formel (1), wobei f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, finden wir

S = = [-0,25=11,25 qm. Einheiten

Beispiel 2. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 und y = 0.

Lösung. Konstruieren wir die Figur.

Konstruieren wir eine Gerade x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruieren wir eine Gerade x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Finden wir den Schnittpunkt der Geraden, indem wir das Gleichungssystem lösen:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Um die erforderliche Fläche zu berechnen, teilen wir das Dreieck AMC in zwei Dreiecke AMN und NMC auf, da die Fläche beim Wechsel von x von A nach N durch eine Gerade und beim Wechsel von x von N nach C durch eine Gerade begrenzt wird

Für das Dreieck AMN gilt: ; y = 0,5x + 2, d. h. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Für das Dreieck NMC gilt: y = - x + 5, d. h. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Indem wir die Fläche jedes Dreiecks berechnen und die Ergebnisse addieren, finden wir:

Quadrat. Einheiten

Quadrat. Einheiten

9 + 4, 5 = 13,5 qm. Einheiten Prüfen: = 0,5AC = 0,5 qm. Einheiten

Beispiel 3. Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

IN in diesem Fall Sie müssen die Fläche eines gekrümmten Trapezes berechnen, das durch die Parabel y = x begrenzt wird 2 , Geraden x = 2 und x = 3 und die Ox-Achse (siehe Abbildung) Mit Formel (1) ermitteln wir die Fläche des krummlinigen Trapezes

= = 6 qm Einheiten

Beispiel 4. Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y = - x 2 + 4 und y = 0

Konstruieren wir die Figur. Die benötigte Fläche wird zwischen der Parabel y = - x eingeschlossen 2 + 4 und die Ox-Achse.

Finden wir die Schnittpunkte der Parabel mit der Ox-Achse. Unter der Annahme y = 0 finden wir x = Da diese Figur symmetrisch zur Oy-Achse ist, berechnen wir die Fläche der Figur rechts von der Oy-Achse und verdoppeln das erhaltene Ergebnis: = +4x]sq. Einheiten 2 = 2 qm. Einheiten

Beispiel 5. Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Hier müssen Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes berechnen, das durch den oberen Ast der Parabel begrenzt wird 2 = x, Achse Ox und Geraden x = 1 è x = 4 (siehe Abbildung)

Nach Formel (1), mit f(x) = a = 1 und b = 4, haben wir = (= Quadrateinheiten.

Beispiel 6 . Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Die benötigte Fläche wird durch die Halbwelle der Sinuskurve und die Ox-Achse begrenzt (siehe Abbildung).

Wir haben - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 Quadrat. Einheiten

Beispiel 7. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: y = - 6x, y = 0 und x = 4.

Die Figur befindet sich unter der Ox-Achse (siehe Abbildung).

Daher ermitteln wir seine Fläche mithilfe der Formel (3)

= =

Beispiel 8. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: y = und x = 2. Konstruieren Sie die y =-Kurve durch Punkte (siehe Abbildung). Somit ermitteln wir die Fläche der Figur mit Formel (4)

Beispiel 9 .

X 2 + J 2 = r 2 .

Hier müssen Sie die vom Kreis x umschlossene Fläche berechnen 2 + J 2 = r 2 , also die Fläche eines Kreises mit dem Radius r, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Finden wir den vierten Teil dieses Bereichs, indem wir die Integrationsgrenzen von 0 an nehmen

Vor; wir haben: 1 = = [

Somit, 1 =

Beispiel 10. Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y= x 2 und y = 2x

Diese Figur begrenzt durch die Parabel y=x 2 und Gerade y = 2x (siehe Abbildung) Zur Bestimmung der Schnittpunkte gegebene Zeilen Lösen Sie das Gleichungssystem: x 2 – 2x = 0 x = 0 und x = 2

Wenn wir Formel (5) verwenden, um die Fläche zu ermitteln, erhalten wir

= \- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Beispiel 2. Berechnen wir die durch die Sinuskurve y = sinXy, den Ox, begrenzte Fläche Achse und der Geraden (Abb. .87). Unter Anwendung der Formel (I) erhalten wir A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Beispiel 3. Berechnen Sie die Fläche, die durch den Bogen der Sinuskurve ^у = sin jc, eingeschlossen begrenzt wird zwischen zwei benachbarten Schnittpunkten mit der Ox-Achse (zum Beispiel zwischen dem Ursprung und dem Punkt mit der Abszisse i). Beachten Sie, dass aus geometrischen Überlegungen klar ist, dass dieser Bereich doppelt so groß sein wird mehr Fläche vorheriges Beispiel. Lassen Sie uns jedoch die Berechnungen durchführen: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Tatsächlich hat sich unsere Annahme als richtig erwiesen. Beispiel 4. Berechnen Sie die Fläche, die von der Sinuskurve und der Ox-Achse in einer Periode begrenzt wird (Abb. 88). Vorläufige Berechnungen legen nahe, dass die Fläche viermal größer sein wird als in Beispiel 2. Nach Durchführung der Berechnungen erhalten wir jedoch „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Dieses Ergebnis bedarf einer Erklärung. Um das Wesentliche zu verdeutlichen, berechnen wir auch die Fläche, die durch dieselbe Sinuskurve y = sin l: und die Ox-Achse im Bereich von l bis 2i begrenzt wird. Unter Anwendung der Formel (I) erhalten wir 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Wir sehen also, dass dieser Bereich negativ ausgefallen ist. Beim Vergleich mit der in Übung 3 berechneten Fläche stellen wir fest, dass ihre absolute Werte sind gleich, aber die Vorzeichen sind unterschiedlich. Wenn wir Eigenschaft V anwenden (siehe Kapitel XI, § 4), erhalten wir 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Was in diesem Beispiel passiert ist, ist kein Zufall. Bei der Berechnung mit Integralen erhält man immer die Fläche unterhalb der Ox-Achse, sofern sich die unabhängige Variable von links nach rechts ändert. In diesem Kurs werden wir immer Bereiche ohne Schilder berücksichtigen. Daher lautet die Antwort im gerade besprochenen Beispiel: Die erforderliche Fläche beträgt 2 + |-2| = 4. Beispiel 5. Berechnen wir die Fläche des in Abb. gezeigten BAB. 89. Dieser Bereich wird durch die Ox-Achse, die Parabel y = - xr und die Gerade y - = -x+\ begrenzt. Fläche eines krummlinigen Trapezes Die erforderliche Fläche OAB besteht aus zwei Teilen: OAM und MAV. Da Punkt A der Schnittpunkt einer Parabel und einer Geraden ist, ermitteln wir seine Koordinaten durch Lösen des Gleichungssystems 3 2 Y = mx. (Wir müssen nur die Abszisse von Punkt A finden). Wenn wir das System lösen, finden wir l; = ~. Daher muss die Fläche zunächst in Teilen, also im Quadrat, berechnet werden. OAM und dann pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)