Satz von Thales: Proportionale Segmente. Verallgemeinerter Satz von Thales; Formulierung. Liste der verwendeten Quellen
Wenn die Seiten eines Winkels Geraden schneiden parallele Linien Welche der Seiten ist in mehrere Segmente unterteilt, dann werden die geraden Linien der zweiten Seite ebenfalls in Segmente unterteilt, die der anderen Seite entsprechen.
Satz von Thales beweist Folgendes: C 1, C 2, C 3 sind die Orte, an denen sich parallele Linien auf einer beliebigen Seite des Winkels schneiden. C 2 liegt in der Mitte relativ zu C 1 und C 3. Die Punkte D 1, D 2, D 3 sind die Schnittpunkte der Linien, die den Linien auf der anderen Seite des Winkels entsprechen. Wir beweisen, dass für C 1 C 2 = C 2 C h D 1 D 2 = D 2 D 3 gilt.
Wir zeichnen an der Stelle D 2 ein gerades Segment KR, parallel zum Abschnitt C 1 C 3. In den Eigenschaften eines Parallelogramms gilt: C 1 C 2 = KD 2, C 2 C 3 = D 2 P. Wenn C 1 C 2 = C 2 C 3, dann KD 2 = D 2 P. 
Die resultierenden Dreiecksfiguren D 2 D 1 K und D 2 D 3 P sind gleich. Und D 2 K=D 2 P durch Beweis. Die Winkel mit dem oberen Punkt D 2 sind gleich vertikal, und die Winkel D 2 KD 1 und D 2 PD 3 sind gleich wie interne kreuzweise liegende mit Parallelen C 1 D 1 und C 3 D 3 und der Teilung KP.
Da D 1 D 2 =D 2 D 3 ist, wird der Satz durch die Gleichheit der Seiten des Dreiecks bewiesen
Die Notiz:
Wenn wir nicht die Seiten des Winkels, sondern zwei gerade Strecken nehmen, ist der Beweis derselbe.
Alle geraden Linien paralleler Freund zueinander, die die beiden geraden Linien, die wir betrachten, schneiden und einen von ihnen in identische Abschnitte unterteilen, machen Sie dasselbe mit dem zweiten.
Schauen wir uns ein paar Beispiele an
Erstes Beispiel
Die Bedingung der Aufgabe besteht darin, die gerade Linie CD aufzuteilen P identische Segmente.
Von Punkt C aus zeichnen wir eine Halblinie c, die nicht auf der Linie CD liegt. Markieren wir Teile gleicher Größe. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 .....C p-1 C p Verbinden Sie C p mit D. Zeichnen Sie gerade Linien von den Punkten C 1, C 2,...., C p-1 die parallel zu C p D ist. Die Geraden schneiden CD an den Stellen D 1 D 2 D p-1 und teilen die Gerade CD in n gleiche Segmente. 
Zweites Beispiel
Der Punkt CK ist auf der Seite AB des Dreiecks ABC markiert. Das Segment SC schneidet den Median AM des Dreiecks im Punkt P, während AK = AP. Es ist erforderlich, das Verhältnis von VC zu RM zu ermitteln.
Wir zeichnen eine gerade Strecke durch den Punkt M, parallel zu SC, die AB im Punkt D schneidet 
Von Satz von ThalesÂD=КD
Nach Theorem proportionale Segmente Das verstehen wir
РМ = КD = ВК/2, also ВК: РМ = 2:1
Antwort: VK: RM = 2:1
Drittes Beispiel
IN Dreieck ABC, Seite BC = 8 cm. Die Linie DE schneidet die Seiten AB und BC parallel zu AC. Und schneidet das Segment EC = 4 cm auf der Seite BC ab. Beweisen Sie, dass AD = DB. 
Da BC = 8 cm und EC = 4 cm ist, dann
BE = BC-EC, daher BE = 8-4 = 4(cm)
Von Satz von Thales, da AC parallel zu DE und EC = BE ist, also AD = DB. Q.E.D.
Im Frauenmagazin - online finden Sie einiges interessante Information für sich. Es gibt auch einen Abschnitt, der Gedichten von Sergei Yesenin gewidmet ist. Kommen Sie vorbei, Sie werden es nicht bereuen!
Dieses Grab ist klein, aber der Ruhm darüber ist immens.
Darin verbirgt sich vor Ihnen der multiintelligente Thales.
Inschrift auf dem Grab des Thales von Milet
Stellen Sie sich dieses Bild vor. 600 v. Chr Ägypten. Vor dir liegt ein riesiger ägyptische Pyramide. Um den Pharao zu überraschen und zu seinen Favoriten zu gehören, müssen Sie die Höhe dieser Pyramide messen. Du hast... nichts zur Verfügung. Sie können in Verzweiflung verfallen oder sich so verhalten Thales von Milet: Verwenden Sie den Dreiecksähnlichkeitssatz. Ja, es stellt sich heraus, dass alles ganz einfach ist. Thales von Milet wartete, bis die Länge seines Schattens und seine Höhe übereinstimmten, und ermittelte dann mithilfe des Satzes über die Ähnlichkeit von Dreiecken die Länge des Schattens der Pyramide, die dementsprechend dem von ihr geworfenen Schatten entsprach Pyramide.
Wer ist dieser Kerl? Thales von Milet? Der Mann, der als einer der „sieben Weisen“ der Antike berühmt wurde? Thales von Milet ist ein antiker griechischer Philosoph, der sich durch Erfolge auf dem Gebiet der Astronomie sowie der Mathematik und Physik auszeichnete. Die Jahre seines Lebens sind nur ungefähr bekannt: 625-645 v. Chr
Zu den Beweisen für Thales' Kenntnisse der Astronomie zählen nächstes Beispiel. 28. Mai 585 v. Chr Vorhersage von Milet Sonnenfinsternis trug dazu bei, den Krieg zwischen Lydia und Media zu beenden, der sechs Jahre gedauert hatte. Dieses Phänomen erschreckte die Meder so sehr, dass sie ungünstigen Bedingungen für den Friedensschluss mit den Lydiern zustimmten.
Es gibt eine ziemlich bekannte Legende, die Thales als einen einfallsreichen Menschen charakterisiert. Thales hörte oft wenig schmeichelhafte Kommentare über seine Armut. Eines Tages beschloss er zu beweisen, dass Philosophen, wenn sie es wünschen, im Überfluss leben können. Selbst im Winter stellte Thales anhand der Beobachtung der Sterne fest, dass es im Sommer eine gute Olivenernte geben würde. Gleichzeitig mietete er Ölpressen in Milet und Chios. Das hat ihn recht wenig gekostet, da im Winter praktisch keine Nachfrage danach besteht. Als die Oliven eine reiche Ernte brachten, begann Thales, seine Ölpressen zu vermieten. Gesammelt große Menge Geld mit dieser Methode galt als Beweis dafür, dass Philosophen mit ihrem Verstand Geld verdienen können, aber ihr Beruf ist höher als dieser irdische Probleme. Diese Legende wurde übrigens von Aristoteles selbst wiederholt.
Was die Geometrie betrifft, so wurden viele seiner „Entdeckungen“ von den Ägyptern übernommen. Und doch gilt dieser Wissenstransfer nach Griechenland als einer der Hauptverdienste des Thales von Milet.
Die Leistungen von Thales gelten als Formulierung und Beweis des Folgenden Sätze:
- vertikale Winkel sind gleich;
- Gleiche Dreiecke sind solche, deren Seiten und zwei benachbarte Winkel jeweils gleich sind;
- Basiswinkel gleichschenkligen Dreiecks gleich;
- Der Durchmesser teilt den Kreis in zwei Hälften.
- Der durch den Durchmesser eingeschriebene Winkel ist ein rechter Winkel.
Ein weiterer Satz ist nach Thales benannt, der bei der Lösung nützlich ist geometrische Probleme. Es gibt eine verallgemeinerte und Privatansicht, umgekehrter Satz, der Wortlaut kann je nach Quelle auch leicht abweichen, die Bedeutung bleibt jedoch bei allen gleich. Betrachten wir diesen Satz.
Wenn parallele Linien die Seiten eines Winkels schneiden und auf einer Seite abschneiden gleiche Segmente, dann schneiden sie auf der anderen Seite gleiche Segmente ab.
Nehmen wir an, die Punkte A 1, A 2, A 3 sind die Schnittpunkte paralleler Linien mit einer Seite des Winkels und B 1, B 2, B 3 sind die Schnittpunkte paralleler Linien mit der anderen Seite des Winkels . Es muss bewiesen werden, dass wenn A 1 A 2 = A 2 A 3, dann B 1 B 2 = B 2 B 3.
Durch Punkt B 2 ziehen wir eine Linie parallel zur Linie A 1 A 2. Bezeichnen wir die neue Linie C 1 C 2. Betrachten Sie die Parallelogramme A 1 C 1 B 2 A 2 und A 2 B 2 C 2 A 3 .
Die Eigenschaften eines Parallelogramms ermöglichen die Aussage A1A2 = C 1 B 2 und A 2 A 3 = B 2 C 2. Und da gemäß unserer Bedingung A 1 A 2 = A 2 A 3 ist, dann C 1 B 2 = B 2 C 2. 
Und schließlich betrachten wir die Dreiecke Δ C 1 B 2 B 1 und Δ C 2 B 2 B 3 .
C 1 B 2 = B 2 C 2 (oben bewiesen).
Dies bedeutet, dass Δ C 1 B 2 B 1 und Δ C 2 B 2 B 3 gemäß dem zweiten Gleichheitszeichen der Dreiecke (nach Seite und benachbarten Winkeln) gleich sind. Damit ist der Satz von Thales bewiesen. Die Verwendung dieses Theorems wird die Lösung geometrischer Probleme erheblich erleichtern und beschleunigen. Viel Glück beim Beherrschen dieser unterhaltsamen Wissenschaft der Mathematik! blog.site: Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Originalquelle erforderlich. Über Parallelen und Sekanten. Außerhalb der russischsprachigen Literatur wird der Satz von Thales manchmal als ein anderer Satz der Planimetrie bezeichnet, nämlich als Aussage, dass der eingeschriebene Winkel, der durch den Durchmesser eines Kreises begrenzt wird, ein rechter Winkel ist. Die Entdeckung dieses Theorems wird tatsächlich Thales zugeschrieben, wie Proklos beweist.
Legt man auf einer von zwei Geraden nacheinander mehrere gleiche Segmente an und zieht durch deren Enden parallele Linien, die die zweite Gerade schneiden, so schneidet man auf der zweiten Geraden gleiche Segmente ab. Eine allgemeinere Formulierung, auch genannt Proportionalsegmentsatz
Parallele Linien schneiden proportionale Segmente an Sekanten ab: Beweis im Fall von Sekanten Betrachten wir die Option mit nicht verbundenen Segmentpaaren: Lassen Sie den Winkel von Geraden schneiden A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) und worin A B = C D (\displaystyle AB=CD). Beweis im Fall paralleler Geraden Machen wir eine direkte B.C.. Winkel ABC Und BCD gleich wie interne kreuzweise liegende mit parallelen Linien AB Und CD und Sekante B.C. und die Winkel ACB Und CBD gleich wie interne kreuzweise liegende mit parallelen Linien A.C. Und BD und Sekante B.C.. Dann, nach dem zweiten Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken, Dreiecken ABC Und DCB sind gleich. Es folgt dem A.C. = BD Und AB = CD. ■
Wenn im Satz von Thales gleiche Segmente vom Scheitelpunkt ausgehen (diese Formulierung wird häufig in der Schulliteratur verwendet), dann gilt auch der umgekehrte Satz. Für sich schneidende Sekanten wird es wie folgt formuliert: Im Umkehrsatz von Thales ist es wichtig, dass gleiche Segmente am Scheitelpunkt beginnen Also (siehe Abbildung) aus der Tatsache, dass C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), folgt daraus A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ). Wenn die Sekanten parallel sind, muss gefordert werden, dass die Segmente auf beiden Sekanten einander gleich sind, andernfalls wird diese Aussage falsch (ein Gegenbeispiel ist ein Trapez, das von einer Linie geschnitten wird, die durch die Mittelpunkte der Basen verläuft). Dieser Satz wird in der Navigation verwendet: Eine Kollision zwischen Schiffen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, ist unvermeidlich, wenn die Richtung von einem Schiff zum anderen beibehalten wird. Die folgende Aussage ist dual zum Sollertinsky-Lemma: Lassen f (\displaystyle f)- projektive Korrespondenz zwischen Punkten auf einer Linie l (\displaystyle l) und gerade m (\displaystyle m). Dann ist die Menge der Linien die Menge der Tangenten an einen Kegelschnitt (möglicherweise entartet). Im Fall des Satzes von Thales ist der Kegelschnitt der Punkt im Unendlichen, der der Richtung paralleler Linien entspricht. Diese Aussage wiederum ist ein Grenzfall der folgenden Aussage: Lassen f (\displaystyle f)- projektive Transformation eines Kegelschnitts. Dann die Hülle der Geradenmenge X f (X) (\displaystyle Xf(X)) wird ein Kegelschnitt sein (möglicherweise entartet). Wussten Sie, dass Thales von Milet einer der sieben berühmtesten Gelehrten Griechenlands war? Er gründete die ionische Schule. Die Idee, die Thales in dieser Schule förderte, war die Einheit aller Dinge. Der Weise glaubte, dass es einen einzigen Anfang gibt, aus dem alle Dinge entstanden sind. Das große Verdienst von Thales von Milet ist die Schaffung einer wissenschaftlichen Geometrie. Diese große Lehre konnte aus der ägyptischen Messkunst eine deduktive Geometrie schaffen, deren Grundlage Gemeinsamkeiten sind. Zusätzlich zu seinen enormen Kenntnissen der Geometrie war Thales auch mit der Astronomie bestens vertraut. Er war der erste, der eine totale Sonnenfinsternis vorhersagte. Dies geschah jedoch nicht in der modernen Welt, sondern bereits im Jahr 585, also noch vor unserer Zeitrechnung. Thales von Milet war der Mann, der erkannte, dass der Norden anhand des Sternbildes Ursa Minor genau bestimmt werden konnte. Dies war jedoch nicht seine letzte Entdeckung, da er die Länge des Jahres genau bestimmen, es in dreihundertfünfundsechzig Tage einteilen und auch den Zeitpunkt der Tagundnachtgleiche bestimmen konnte. Thales war tatsächlich ein umfassend entwickelter und weiser Mann. Er war nicht nur als hervorragender Mathematiker, Physiker und Astronom bekannt, sondern auch ein echter Meteorologe und konnte die Olivenernte recht genau vorhersagen. Das Bemerkenswerteste ist jedoch, dass Thales sein Wissen nie nur auf den wissenschaftlichen und theoretischen Bereich beschränkte, sondern stets versuchte, die Beweise seiner Theorien in der Praxis zu festigen. Und das Interessanteste ist, dass sich der große Weise nicht auf einen bestimmten Bereich seines Wissens konzentrierte, sondern sein Interesse in verschiedene Richtungen ging. Der Name Thales war dem Weisen schon damals ein Begriff. Seine Bedeutung und Bedeutung für Griechenland war ebenso groß wie der Name Lomonossow für Russland. Natürlich kann seine Weisheit unterschiedlich interpretiert werden. Aber wir können definitiv sagen, dass er sich durch Einfallsreichtum, praktischen Einfallsreichtum und in gewissem Maße durch Distanziertheit auszeichnete. Thales von Milet war ein ausgezeichneter Mathematiker, Philosoph, Astronom, liebte das Reisen, war Kaufmann und Unternehmer, war im Handel tätig, außerdem war er ein guter Ingenieur, Diplomat, Seher und beteiligte sich aktiv am politischen Leben. Mit Hilfe eines Stabes und eines Schattens gelang es ihm sogar, die Höhe der Pyramide zu bestimmen. Und es war so. An einem schönen sonnigen Tag platzierte Thales seinen Stab an der Grenze, wo der Schatten der Pyramide endete. Als nächstes wartete er, bis die Länge des Schattens seines Stabes gleich seiner Höhe war, und maß die Länge des Schattens der Pyramide. Es scheint also, dass Thales einfach die Höhe der Pyramide bestimmt und bewiesen hat, dass die Länge eines Schattens mit der Länge eines anderen Schattens zusammenhängt, genauso wie die Höhe der Pyramide mit der Höhe des Stabes zusammenhängt. Das ist es, was Pharao Amasis selbst beeindruckt hat. Dank Thales wurden alle damals bekannten Erkenntnisse in den Bereich des wissenschaftlichen Interesses übertragen. Es gelang ihm, die Ergebnisse auf ein für die wissenschaftliche Nutzung geeignetes Niveau zu bringen und dabei bestimmte Konzepte hervorzuheben. Und vielleicht begann mit der Hilfe von Thales die weitere Entwicklung der antiken Philosophie. Der Satz von Thales spielt in der Mathematik eine wichtige Rolle. Es war nicht nur im alten Ägypten und Babylon, sondern auch in anderen Ländern bekannt und bildete die Grundlage für die Entwicklung der Mathematik. Und im Alltag, beim Bau von Gebäuden, Bauwerken, Straßen usw. kann man auf den Satz von Thales nicht verzichten. Der Satz von Thales erlangte nicht nur in der Mathematik Berühmtheit, sondern fand auch Eingang in die Kultur. Eines Tages präsentierte die argentinische Musikgruppe Les Luthiers (spanisch) dem Publikum ein Lied, das sie einem berühmten Theorem widmete. Mitglieder von Les Luthiers lieferten in ihrem Videoclip speziell für dieses Lied Beweise für den direkten Satz für Proportionalsegmente. Wenn parallele Linien, die die Seiten eines Winkels schneiden, auf einer Seite gleiche Segmente abschneiden, dann schneiden sie auf der anderen Seite gleiche Segmente ab. Nachweisen. Seien A 1, A 2, A 3 die Schnittpunkte paralleler Linien mit einer der Seiten des Winkels und A 2 liegt zwischen A 1 und A 3 (Abb. 1). Seien B 1 B 2, B 3 die entsprechenden Schnittpunkte dieser Geraden mit der anderen Seite des Winkels. Beweisen wir, dass wenn A 1 A 2 = A 2 A 3, dann B 1 B 2 = B 2 B 3. Zeichnen wir eine Gerade EF durch Punkt B 2, parallel zur Geraden A 1 A 3. Durch die Eigenschaft eines Parallelogramms A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E. Und da A 1 A 2 = A 2 A 3, dann FB 2 = B 2 E. Die Dreiecke B 2 B 1 F und B 2 B 3 E sind nach dem zweiten Kriterium gleich. Sie haben nach dem Beweis B 2 F = B 2 E. Die Winkel am Scheitelpunkt B 2 sind gleich wie vertikal, und die Winkel B 2 FB 1 und B 2 EB 3 sind gleich wie intern kreuzweise liegend mit Parallelen A 1 B 1 und A 3 B 3 und der Sekante EF. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Seitengleichheit: B 1 B 2 = B 2 B 3. Der Satz ist bewiesen. Unter Verwendung des Satzes von Thales wird der folgende Satz aufgestellt. Satz 2. Die Mittellinie des Dreiecks verläuft parallel zur dritten Seite und ist gleich der Hälfte davon. Die Mittellinie eines Dreiecks ist das Segment, das die Mittelpunkte seiner beiden Seiten verbindet. In Abbildung 2 ist das Segment ED die Mittellinie des Dreiecks ABC. ED – Mittellinie des Dreiecks ABC Beispiel 1. Teilen Sie dieses Segment in vier gleiche Teile. Lösung.
Sei AB ein gegebenes Segment (Abb. 3), das in 4 gleiche Teile geteilt werden muss. Teilen eines Segments in vier gleiche Teile Zeichnen Sie dazu eine beliebige Halblinie a durch den Punkt A und zeichnen Sie darauf nacheinander vier gleiche Segmente AC, CD, DE, EK auf. Verbinden wir die Punkte B und K mit einem Segment. Zeichnen wir gerade Linien parallel zur Linie BK durch die verbleibenden Punkte C, D, E, so dass sie die Strecke AB schneiden. Nach dem Satz von Thales wird die Strecke AB in vier gleiche Teile geteilt. Beispiel 2. Die Diagonale eines Rechtecks ist a. Wie groß ist der Umfang eines Vierecks, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Seiten des Rechtecks sind? Lösung.
Abbildung 4 soll die Bedingungen des Problems erfüllen. Dann ist EF die Mittellinie des Dreiecks ABC und daher gilt nach Satz 2: $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$ Ebenso $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ und daher beträgt der Umfang des viereckigen EFGH 2a. Beispiel 3. Die Seiten eines Dreiecks sind 2 cm, 3 cm und 4 cm lang und seine Eckpunkte sind die Mittelpunkte der Seiten eines anderen Dreiecks. Finden Sie den Umfang des großen Dreiecks. Lösung.
Abbildung 5 soll die Bedingungen des Problems erfüllen. Die Segmente AB, BC, AC sind die Mittellinien des Dreiecks DEF. Daher ist nach Satz 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2) DF $$ oder $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ woher $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ und daher beträgt der Umfang des Dreiecks DEF 18 cm. Beispiel 4. In einem rechtwinkligen Dreieck verlaufen durch die Mitte seiner Hypotenuse gerade Linien parallel zu seinen Schenkeln. Ermitteln Sie den Umfang des resultierenden Rechtecks, wenn die Seiten des Dreiecks 10 cm und 8 cm betragen. Lösung.
Im Dreieck ABC (Abb. 6) ∠ A ist eine Gerade, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD und MD sind die Mittellinien des Dreiecks ABC, daher $$ KD = \frac(1)(2)AC = 4 cm. frac(1) (2)AB = 5 cm $$ Der Umfang des Rechtecks K DMA beträgt 18 cm.Formulierungen
Anmerkungen
Variationen und Verallgemeinerungen
Umkehrsatz
Sollertinskys Lemma
Unterrichtsthema
Lernziele
Lernziele
Unterrichtsplan
Historische Referenz
Entdeckungen und Verdienste seines Autors
Satz von Thales in der Kultur
Fragen
Liste der verwendeten Quellen
Fächer > Mathematik > Mathematik 8. Klasse
