Beispiele für die Multiplikationseigenschaft. Kombinations- und Verteilungseigenschaften der Multiplikation. Eigenschaften der Subtraktion von ganzen Zahlen

Gleichungen mit Brüchen lösen Schauen wir uns Beispiele an. Die Beispiele sind einfach und anschaulich. Mit ihrer Hilfe sind Sie am meisten auf klare Weise du kannst lernen.
Beispielsweise müssen Sie die einfache Gleichung x/b + c = d lösen.

Eine Gleichung dieser Art heißt linear, weil Der Nenner enthält nur Zahlen.

Die Lösung erfolgt durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit b, dann nimmt die Gleichung die Form x = b*(d – c) an, d.h. der Nenner des Bruchs auf der linken Seite entfällt.

Zum Beispiel, wie man es löst Bruchgleichung:
x/5+4=9
Wir multiplizieren beide Seiten mit 5. Wir erhalten:
x+20=45
x=45-20=25

Ein weiteres Beispiel, wenn das Unbekannte im Nenner steht:

Gleichungen dieser Art heißen fraktional-rational oder einfach fraktional.

Wir würden eine Bruchgleichung lösen, indem wir Brüche entfernen, woraufhin sich diese Gleichung meistens in eine lineare oder quadratische Gleichung verwandelt, die gelöst werden kann in gewohnter Weise. Sie müssen lediglich die folgenden Punkte berücksichtigen:

• der Wert einer Variablen, die den Nenner auf 0 dreht, kann keine Wurzel sein;
• Sie können eine Gleichung nicht durch den Ausdruck =0 dividieren oder multiplizieren.

Hier kommt der Flächenbegriff ins Spiel akzeptable Werte(ODZ) sind solche Werte der Wurzeln der Gleichung, bei denen die Gleichung einen Sinn ergibt.

Daher ist es beim Lösen der Gleichung notwendig, die Wurzeln zu finden und diese dann auf Übereinstimmung mit der ODZ zu überprüfen. Diejenigen Wurzeln, die nicht unserer ODZ entsprechen, werden von der Antwort ausgeschlossen.

Beispielsweise müssen Sie eine Bruchgleichung lösen:

Basierend auf der obigen Regel kann x nicht = 0 sein, d. h. ODZ in in diesem Fall: x – jeder Wert außer Null.

Wir entfernen den Nenner, indem wir alle Terme der Gleichung mit x multiplizieren

Und wir lösen die übliche Gleichung

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Antwort: x = 1/3

Lösen wir eine kompliziertere Gleichung:

ODZ ist auch hier vorhanden: x -2.

Beim Lösen dieser Gleichung werden wir nicht alles auf eine Seite schieben und die Brüche auf reduzieren gemeinsamer Nenner. Wir werden sofort beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck multiplizieren, der alle Nenner auf einmal eliminiert.

Um die Nenner zu reduzieren, müssen Sie die linke Seite mit x+2 und die rechte Seite mit 2 multiplizieren. Das bedeutet, dass beide Seiten der Gleichung mit 2(x+2) multipliziert werden müssen:

Genau das gewöhnliche Multiplikation Brüche, die wir oben bereits besprochen haben

Schreiben wir die gleiche Gleichung, aber etwas anders

Die linke Seite wird um (x+2) reduziert, die rechte um 2. Nach der Reduktion erhalten wir die übliche lineare Gleichung:

x = 4 – 2 = 2, was unserer ODZ entspricht

Antwort: x = 2.

Gleichungen mit Brüchen lösen nicht so schwierig, wie es scheinen mag. In diesem Artikel haben wir dies anhand von Beispielen gezeigt. Wenn Sie Schwierigkeiten damit haben wie man Gleichungen mit Brüchen löst, dann in den Kommentaren abmelden.

Bruchrechner Es wurde für die schnelle Berechnung von Operationen mit Brüchen entwickelt und hilft Ihnen dabei, Brüche einfach zu addieren, zu multiplizieren, zu dividieren oder zu subtrahieren.

Moderne Schulkinder beginnen bereits in der 5. Klasse mit dem Lernen von Brüchen, und die Übungen damit werden von Jahr zu Jahr komplizierter. Mathematische Begriffe und Mengen, die wir in der Schule lernen, können uns selten nützlich sein Erwachsenenleben. Brüche kommen jedoch im Gegensatz zu Logarithmen und Potenzen recht häufig im Alltag vor (Entfernungen messen, Güter wiegen usw.). Unser Rechner ist für schnelle Operationen mit Brüchen konzipiert.

Lassen Sie uns zunächst definieren, was Brüche sind und was sie sind. Brüche sind das Verhältnis einer Zahl zu einer anderen; es handelt sich um eine Zahl, die aus einer ganzen Zahl von Brüchen einer Einheit besteht.

Arten von Brüchen:

• Normal
• Dezimal
• Gemischt

Beispiel gewöhnliche Brüche:

Der obere Wert ist der Zähler, der untere der Nenner. Der Bindestrich zeigt uns, dass die obere Zahl durch die untere teilbar ist. Anstelle dieses Schreibformats können Sie bei horizontalem Strich auch anders schreiben. Du kannst wetten geneigte Linie, Zum Beispiel:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dezimalstellen sind die beliebteste Art von Brüchen. Sie bestehen aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil, getrennt durch ein Komma.

Beispiel für Dezimalbrüche:

0,2 oder 6,71 oder 0,125

Bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Um den Wert dieses Bruchs herauszufinden, müssen Sie die ganze Zahl und den Bruch addieren.

Beispiel für gemischte Brüche:

Mit dem Bruchrechner auf unserer Website können Sie alle Aufgaben schnell online erledigen. mathematische Operationen mit Brüchen:

• Zusatz
• Subtraktion
• Multiplikation
• Aufteilung

Um die Berechnung durchzuführen, müssen Sie Zahlen in die Felder eingeben und eine Aktion auswählen. Bei Brüchen müssen Sie Zähler und Nenner eingeben; die ganze Zahl darf nicht geschrieben werden (wenn der Bruch gewöhnlich ist). Vergessen Sie nicht, auf die Schaltfläche „Gleich“ zu klicken.

Praktisch ist, dass der Rechner sofort den Prozess zum Lösen eines Beispiels mit Brüchen bereitstellt und nicht nur eine vorgefertigte Antwort. Dank der bereitgestellten Lösung können Sie diese nutzen dieses Material bei der Entscheidung Schulaufgaben und für bessere Entwicklung abgedecktes Material.

Sie müssen die Beispielrechnung durchführen:

Nach Eingabe der Indikatoren in die Formularfelder erhalten wir:

Um Ihre eigene Berechnung durchzuführen, geben Sie die Daten in das Formular ein.

Bruchrechner

Geben Sie zwei Brüche ein:

		+ - * :

Verwandte Abschnitte.

Zeichnen wir ein Rechteck mit den Seitenlängen 5 cm und 3 cm auf ein kariertes Papier. Teilen Sie es in Quadrate mit den Seitenlängen 1 cm (Abb. 143). Zählen wir die Anzahl der Zellen im Rechteck. Dies kann beispielsweise so erfolgen.

Die Anzahl der Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm beträgt 5 * 3. Jedes dieser Quadrate besteht aus vier Zellen. Deshalb Gesamtzahl Zellen ist gleich (5 * 3) * 4.

Das gleiche Problem kann anders gelöst werden. Jede der fünf Spalten des Rechtecks ​​​​besteht aus drei Quadraten mit einer Seitenlänge von 1 cm. Daher enthält eine Spalte 3 * 4 Zellen. Daher gibt es insgesamt 5 * (3 * 4) Zellen.

Das Zählen der Zellen in Abbildung 143 verdeutlicht dies auf zwei Arten assoziative Eigenschaft Multiplikation für die Nummern 5, 3 und 4. Wir haben: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.

(ab)c = a(bc)

Aus den kommutativen und kombinatorischen Eigenschaften der Multiplikation folgt, dass bei der Multiplikation mehrerer Zahlen die Faktoren vertauscht und in Klammern gesetzt werden können und so die Reihenfolge der Berechnungen festgelegt wird.

Beispielsweise gelten die folgenden Gleichheiten:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

In Abbildung 144 teilt das Segment AB das oben diskutierte Rechteck in ein Rechteck und ein Quadrat.

Zählen wir die Anzahl der Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm auf zwei Arten.

Einerseits enthält das resultierende Quadrat 3 * 3 davon und das Rechteck enthält 3 * 2. Insgesamt erhalten wir 3 * 3 + 3 * 2 Quadrate. Andererseits gibt es in jeder der drei Linien dieses Rechtecks ​​​​3 + 2 Quadrate. Dann ihre gesamt entspricht 3 * (3 + 2 ).

Gleich 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 veranschaulicht Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Um eine Zahl mit der Summe zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit jedem Summanden multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

In wörtlicher Form wird diese Eigenschaft wie folgt geschrieben:

a(b + c) = ab + ac

Aus der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition folgt dies

ab + ac = a(b + c).

Diese Gleichheit ermöglicht es, die Formel P = 2 a + 2 b zum Ermitteln des Umfangs eines Rechtecks ​​​​in der folgenden Form zu schreiben:

P = 2 (a + b).

Beachten Sie, dass die Verteilungseigenschaft für drei oder mehr Begriffe gültig ist. Zum Beispiel:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion gilt ebenfalls: Wenn b > c oder b = c, dann

a(b − c) = ab − ac

Beispiel 1 . Berechnen Sie bequem:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Wir verwenden die kommutativen und dann die assoziativen Eigenschaften der Multiplikation:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Wir haben:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Beispiel 2 . Den Ausdruck vereinfachen:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) Unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Multiplikation erhalten wir:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Unter Verwendung der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion erhalten wir:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Beispiel 3 . Schreiben Sie den Ausdruck 5 (2 m + 7) so, dass er keine Klammern enthält.

Gemäß der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition gilt:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Diese Transformation heißt öffnende Klammern.

Beispiel 4 . Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 125 * 24 * 283 auf bequeme Weise.

Lösung. Wir haben:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Beispiel 5 . Führen Sie die Multiplikation durch: 3 Tage 18 Stunden * 6.

Lösung. Wir haben:

3 Tage 18 Stunden * 6 = 18 Tage 108 Stunden = 22 Tage 12 Stunden.

Bei der Lösung des Beispiels wurde die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition verwendet:

3 Tage 18 Stunden * 6 = (3 Tage + 18 Stunden) * 6 = 3 Tage * 6 + 18 Stunden * 6 = 18 Tage + 108 Stunden = 18 Tage + 96 Stunden + 12 Stunden = 18 Tage + 4 Tage + 12 Stunden = 22 Tage 12 Stunden.

Betrachten wir ein Beispiel, das die Gültigkeit der kommutativen Eigenschaft der Multiplikation von zwei bestätigt natürliche Zahlen. Ausgehend von der Bedeutung der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen berechnen wir das Produkt der Zahlen 2 und 6 sowie das Produkt der Zahlen 6 und 2 und prüfen die Gleichheit der Multiplikationsergebnisse. Das Produkt der Zahlen 6 und 2 ist gleich der Summe 6+6, aus der Additionstabelle ergibt sich 6+6=12. Und das Produkt der Zahlen 2 und 6 ist gleich der Summe 2+2+2+2+2+2, die gleich 12 ist (siehe ggf. den Artikel über die Addition von drei oder mehr Zahlen). Daher ist 6·2=2·6.

Hier ist ein Bild, das die kommutative Eigenschaft der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen veranschaulicht.

Kombinationseigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen.

Lassen Sie uns die assoziative Eigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen aussprechen: Multiplizieren Sie eine gegebene Zahl mit diese Arbeit zwei Zahlen entspricht der Multiplikation einer gegebenen Zahl mit dem ersten Faktor und der Multiplikation des resultierenden Ergebnisses mit dem zweiten Faktor. Also, a·(b·c)=(a·b)·c, wobei a , b und c beliebige natürliche Zahlen sein können (die Ausdrücke, deren Werte zuerst berechnet werden, sind in Klammern eingeschlossen).

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um die assoziative Eigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen zu bestätigen. Berechnen wir das Produkt 4·(3·2) . Gemäß der Bedeutung der Multiplikation haben wir 3·2=3+3=6, dann 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24. Jetzt multiplizieren wir (4·3)·2. Da 4·3=4+4+4=12, dann ist (4·3)·2=12·2=12+12=24. Somit ist die Gleichung 4·(3·2)=(4·3)·2 wahr und bestätigt die Gültigkeit der betreffenden Eigenschaft.

Lassen Sie uns eine Zeichnung zeigen, die die assoziative Eigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen veranschaulicht.

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass die assoziative Eigenschaft der Multiplikation es uns ermöglicht, die Multiplikation von drei oder mehr natürlichen Zahlen eindeutig zu bestimmen.

Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Die folgende Eigenschaft verbindet Addition und Multiplikation. Es ist wie folgt formuliert: multiplizieren diese Menge zwei Zahlen für eine gegebene Zahl ist dasselbe wie das Addieren des Produkts des ersten Termes und angegebene Nummer mit dem Produkt aus dem zweiten Term und der angegebenen Zahl. Dies ist die sogenannte Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Mit Buchstaben wird die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition geschrieben als (a+b)c=ac+bc(im Ausdruck a·c+b·c wird zuerst die Multiplikation durchgeführt, danach erfolgt die Addition, weitere Einzelheiten dazu finden Sie im Artikel), wobei a, b und c beliebige natürliche Zahlen sind. Beachten Sie, dass aufgrund der kommutativen Eigenschaft der Multiplikation die distributive Eigenschaft der Multiplikation eingeschrieben werden kann das folgende Formular: a·(b+c)=a·b+a·c.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Verteilungseigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen bestätigt. Überprüfen wir die Gültigkeit der Gleichung (3+4)·2=3·2+4·2. Wir haben (3+4) 2=7 2=7+7=14 und 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, daher ist die Gleichheit ( 3+ 4) 2=3 2+4 2 ist richtig.

Lassen Sie uns eine Zahl zeigen, die der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition entspricht.

Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion.

Wenn wir uns an die Bedeutung der Multiplikation halten, dann ist das Produkt 0 n, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist, größer als eins ist die Summe von n Termen, von denen jeder gleich Null ist. Auf diese Weise, . Aufgrund der Additionseigenschaften können wir sagen, dass die Endsumme Null ist.

Somit gilt für jede natürliche Zahl n die Gleichung 0·n=0.

Damit die kommutative Eigenschaft der Multiplikation gültig bleibt, akzeptieren wir auch die Gültigkeit der Gleichung n·0=0 für jede natürliche Zahl n.

Also, Das Produkt aus Null und einer natürlichen Zahl ist Null, also 0 n=0 Und n·0=0, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist. Die letzte Aussage ist eine Formulierung der Eigenschaft der Multiplikation einer natürlichen Zahl mit Null.

Abschließend geben wir einige Beispiele im Zusammenhang mit der in diesem Absatz besprochenen Multiplikationseigenschaft. Das Produkt der Zahlen 45 und 0 ist gleich Null. Wenn wir 0 mit 45.970 multiplizieren, erhalten wir ebenfalls Null.

Jetzt können Sie sicher mit dem Studium der Regeln beginnen, nach denen die Multiplikation natürlicher Zahlen durchgeführt wird.

Referenzliste.

• Mathematik. Alle Lehrbücher für die 1., 2., 3., 4. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.
• Mathematik. Alle Lehrbücher für die 5. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.