Was man Identität nennt. Der Begriff der Identität. Wörterbuch sprachlicher Begriffe

In der Theorie der Funktionsreihen zentraler Ort nimmt einen Abschnitt ein, der der Reihenentwicklung einer Funktion gewidmet ist.

Damit ist die Aufgabe gestellt: für eine gegebene Funktion muss einen finden Potenzreihe

die in einem bestimmten Intervall konvergierte und deren Summe gleich war
, diese.

= ..

Diese Aufgabe heißt das Problem der Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe.

Eine notwendige Bedingung für die Zerlegbarkeit einer Funktion in einer Potenzreihe ist seine Differenzierbarkeit unendlich oft – dies folgt aus den Eigenschaften konvergenter Potenzreihen. Diese Bedingung ist in der Regel für Elementarfunktionen in ihrem Definitionsbereich erfüllt.

Nehmen wir also an, dass die Funktion
hat Derivate beliebiger Ordnung. Ist es möglich, sie zu einer Potenzreihe zu erweitern? Wenn ja, wie können wir diese Reihe finden? Der zweite Teil des Problems ist einfacher zu lösen, also fangen wir damit an.

Nehmen wir an, dass die Funktion
kann als Summe einer Potenzreihe dargestellt werden, die in dem Intervall konvergiert, das den Punkt enthält X 0 :

= .. (*)

Wo A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – (noch) unbekannte Koeffizienten.

Setzen wir den Wert in Gleichheit (*). x = x 0 , dann bekommen wir

.

Differenzieren wir die Potenzreihe (*) Term für Term

= ..

und hier glauben x = x 0 , wir bekommen

.

Mit der nächsten Differentiation erhalten wir die Reihe

= ..

glauben x = x 0 , wir bekommen
, Wo
.

Nach P-Mehrfachdifferenzierung erhalten wir

Angenommen, in der letzten Gleichheit x = x 0 , wir bekommen
, Wo

Die Koeffizienten werden also gefunden

,
,
, …,
,….,

Wenn wir which in die Reihe (*) einsetzen, erhalten wir

Die resultierende Reihe heißt neben Taylor für Funktion
.

Damit haben wir das festgestellt wenn die Funktion zu einer Potenzreihe in Potenzen (x - x) entwickelt werden kann 0 ), dann ist diese Entwicklung eindeutig und die resultierende Reihe ist notwendigerweise eine Taylor-Reihe.

Beachten Sie, dass die Taylor-Reihe für jede Funktion erhalten werden kann, die an dem Punkt Ableitungen beliebiger Ordnung hat x = x 0 . Dies bedeutet jedoch nicht, dass zwischen der Funktion und der resultierenden Reihe ein Gleichheitszeichen gesetzt werden kann, d. h. dass die Summe der Reihe gleich der ursprünglichen Funktion ist. Erstens kann eine solche Gleichheit nur im Konvergenzbereich sinnvoll sein, und die für die Funktion erhaltene Taylor-Reihe kann divergieren, und zweitens, wenn die Taylor-Reihe konvergiert, stimmt ihre Summe möglicherweise nicht mit der ursprünglichen Funktion überein.

3.2. Ausreichende Bedingungen für die Zerlegbarkeit einer Funktion in einer Taylor-Reihe

Lassen Sie uns eine Aussage formulieren, mit deren Hilfe die Aufgabe gelöst wird.

Wenn die Funktion
in einer Umgebung von Punkt x 0 hat Derivate bis zu (N+ 1) der Ordnung inklusive, dann haben wir in dieser NachbarschaftFormel Taylor

WoR N (X)-der Restterm der Taylor-Formel – hat die Form (Lagrange-Form)

Wo Punktξ liegt zwischen x und x 0 .

Beachten Sie, dass es einen Unterschied zwischen der Taylor-Reihe und der Taylor-Formel gibt: Die Taylor-Formel ist eine endliche Summe, d. h. P - Feste Nummer.

Denken Sie daran, dass die Summe der Reihe S(X) kann als Grenzwert einer Funktionsfolge von Teilsummen definiert werden S P (X) in einem gewissen Abstand X:

.

Demnach bedeutet die Entwicklung einer Funktion in eine Taylor-Reihe, eine solche Reihe für jede zu finden XX

Schreiben wir Taylors Formel in der Form wo

beachte das
Definiert den Fehler, den wir erhalten. Ersetzen Sie die Funktion F(X) Polynom S N (X).

Wenn
, Das
,diese. Die Funktion wird zu einer Taylor-Reihe entwickelt. Umgekehrt, wenn
, Das
.

So haben wir es bewiesen Kriterium für die Zerlegbarkeit einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

Damit die Funktion gewährleistet istF(x) entwickelt sich zu einer Taylor-Reihe, es ist notwendig und ausreichend, dass auf diesem Intervall
, WoR N (X) ist der Restterm der Taylor-Reihe.

Mit dem formulierten Kriterium kann man erhalten ausreichendBedingungen für die Zerlegbarkeit einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

Wenn drineine Umgebung von Punkt x 0 die Absolutwerte aller Ableitungen der Funktion sind auf die gleiche Zahl M begrenzt≥ 0, d.h.

, To In dieser Umgebung entwickelt sich die Funktion zu einer Taylor-Reihe.

Daraus folgt AlgorithmusFunktionserweiterung F(X) in der Taylor-Reihe in der Nähe eines Punktes X 0 :

1. Ableitungen von Funktionen finden F(X):

f(x), f’(x), f“(x), f’“(x), f (N) (X),…

2. Berechnen Sie den Wert der Funktion und die Werte ihrer Ableitungen am Punkt X 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f“(x 0 ), f’“(x 0 ), F (N) (X 0 ),…

3. Wir schreiben die Taylor-Reihe formal und ermitteln den Konvergenzbereich der resultierenden Potenzreihe.

4. Überprüfen Sie die Ausführung ausreichende Voraussetzungen, d.h. Wir legen fest, wofür X aus der Konvergenzregion, Restterm R N (X) tendiert gegen Null als
oder
.

Die Entwicklung von Funktionen zu einer Taylor-Reihe mit diesem Algorithmus heißt Erweiterung einer Funktion in eine Taylor-Reihe per Definition oder direkte Zersetzung.

„Finden Sie die Maclaurin-Reihenentwicklung der Funktion f(x)“- genau so klingt die Aufgabe höhere Mathematik, mit denen einige Schüler zurechtkommen, während andere mit den Beispielen nicht zurechtkommen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Potenzreihe zu entwickeln; hier geben wir eine Technik zum Erweitern von Funktionen in eine Maclaurin-Reihe an. Wenn Sie eine Funktion in einer Reihe entwickeln, müssen Sie gut in der Berechnung von Ableitungen sein.

Beispiel 4.7 Erweitern Sie eine Funktion in Potenzen von x

Berechnungen: Wir führen die Erweiterung der Funktion nach der Maclaurin-Formel durch. Erweitern wir zunächst den Nenner der Funktion zu einer Reihe

Zum Schluss multiplizieren Sie die Erweiterung mit dem Zähler.
Der erste Term ist der Wert der Funktion bei Null f (0) = 1/3.
Finden wir die Ableitungen der Funktion erster und höherer Ordnung f (x) und den Wert dieser Ableitungen am Punkt x=0




Als nächstes schreiben wir basierend auf dem Muster der Wertänderungen der Ableitungen bei 0 die Formel für die n-te Ableitung

Wir stellen also den Nenner in Form einer Erweiterung in der Maclaurin-Reihe dar

Wir multiplizieren mit dem Zähler und erhalten die gewünschte Entwicklung der Funktion in einer Reihe in Potenzen von x

Wie Sie sehen, gibt es hier nichts Kompliziertes.
Alle Schlüsselpunkte basieren auf der Fähigkeit, Ableitungen zu berechnen und den Wert der Ableitung höherer Ordnung schnell auf Null zu verallgemeinern. Die folgenden Beispiele wird Ihnen helfen, zu lernen, wie Sie eine Funktion schnell hintereinander anordnen.

Beispiel 4.10 Finden Sie die Maclaurin-Reihenentwicklung der Funktion

Berechnungen: Wie Sie vielleicht schon erraten haben, setzen wir den Kosinus in den Zähler einer Reihe. Dazu können Sie Formeln für infinitesimale Größen verwenden oder die Entwicklung des Kosinus durch Ableitungen ableiten. Als Ergebnis erhalten wir die folgende Reihe in Potenzen von x

Wie Sie sehen, haben wir ein Minimum an Berechnungen und eine kompakte Darstellung der Serienentwicklung.

Beispiel 4.16 Erweitern Sie eine Funktion in Potenzen von x:
7/(12-x-x^2)
Berechnungen: In solchen Beispielen ist es notwendig, den Bruch durch die Summe einfacher Brüche zu erweitern.
Wir werden jetzt nicht zeigen, wie das geht, aber mit Hilfe unbestimmter Koeffizienten werden wir zur Summe der Brüche gelangen.
Als nächstes schreiben wir die Nenner ein demonstrative Form

Es bleibt die Erweiterung der Begriffe mit der Maclaurin-Formel. Zusammenfassung der Begriffe unter gleiche Grade„x“ stellen wir eine Formel für den allgemeinen Term der Reihenentwicklung einer Funktion zusammen



Der letzte Teil Am Anfang auf eine Reihe umzusteigen, ist schwierig umzusetzen, da es schwierig ist, Formeln für gepaarte und ungepaarte Indizes (Grade) zu kombinieren, aber mit etwas Übung wird man darin besser.

Beispiel 4.18 Finden Sie die Maclaurin-Reihenentwicklung der Funktion

Berechnungen: Finden wir die Ableitung dieser Funktion:

Erweitern wir die Funktion mithilfe einer der Formeln von McLaren zu einer Reihe:

Wir summieren die Reihen Term für Term, basierend auf der Tatsache, dass beide absolut identisch sind. Nachdem wir die gesamte Reihe Term für Term integriert haben, erhalten wir die Entwicklung der Funktion in eine Reihe in Potenzen von x

Zwischen den letzten beiden Zeilen der Erweiterung gibt es einen Übergang, der am Anfang viel Zeit in Anspruch nehmen wird. Das Verallgemeinern einer Reihenformel ist nicht für jeden einfach. Machen Sie sich also keine Sorgen, dass Sie keine schöne, kompakte Formel erhalten.

Beispiel 4.28 Finden Sie die Maclaurin-Reihenentwicklung der Funktion:

Schreiben wir den Logarithmus wie folgt

Mithilfe der Formel von Maclaurin entwickeln wir die Logarithmusfunktion in einer Reihe in Potenzen von x

Die endgültige Faltung ist auf den ersten Blick komplex, aber beim Wechseln der Vorzeichen erhält man immer etwas Ähnliches. Die Eingabelektion zum Thema Scheduling-Funktionen hintereinander ist abgeschlossen. Andere nicht weniger interessante Schemata Zersetzungen werden in den folgenden Materialien ausführlich besprochen.