Komplexe Zahlen online in Exponentialform dividieren. Division komplexer Zahlen. Trigonometrische Schreibweise komplexer Zahlen

Mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt und paarweise gemeinsamen Seiten, die nicht in derselben Ebene liegen. Gemeinsames Oberteil Diese Winkel werden Eckpunkte genannt Dreieckswinkel. Die Seiten der Ecken heißen Kanten, flache Winkel am Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels werden seine Flächen genannt. Jedes der drei Flächenpaare eines Dreiflächenwinkels bildet einen Diederwinkel (begrenzt durch eine dritte Fläche, die nicht im Paar enthalten ist; bei Bedarf wird diese Einschränkung natürlich aufgehoben, was dazu führt, dass die notwendigen Halbebenen den gesamten Diederwinkel ohne Einschränkung bilden ). Legt man den Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels in den Mittelpunkt einer Kugel, so entsteht auf deren Oberfläche ein durch ihn begrenztes sphärisches Dreieck, dessen Seiten gleich den flachen Winkeln des Dreieckswinkels und die Winkel gleich seinem sind Diederwinkel.

Dreiecksungleichung für den Dreieckswinkel

Jeder ebene Winkel eines Dreieckswinkels weniger als der Betrag seine anderen beiden Ebenenwinkel.

Summe der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels

Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels beträgt weniger als 360 Grad.

Nachweisen

Sei OABC der gegebene Dreieckswinkel (siehe Abb. 1). Betrachten Sie einen dreiflächigen Winkel mit Scheitelpunkt A, der durch die Flächen ABO, ACO und den Winkel BAC gebildet wird. Schreiben wir die Ungleichung:

Ebenso gilt für die übrigen Dreieckswinkel mit den Eckpunkten B und C:

Wenn wir diese Ungleichungen addieren und berücksichtigen, dass die Summe der Winkel des Dreiecks ABC 180° beträgt, erhalten wir:

Somit:

Kosinussatz für Dreieckswinkel

Gegeben sei ein Dreieckswinkel (siehe Abb. 2), α, β, γ – seine flachen Winkel, A, B, C – Diederwinkel, bestehend aus Ebenen der Winkel β und γ, α und γ, α und β.

Der erste Kosinussatz für einen Dreieckswinkel: $\backslash cos\; (\backslash alpha)\; =\; \backslash cos\; (\backslash beta)\; \backslash cos\; (\backslash gamma)\; +\; \backslash sin\; (\backslash beta)\; \backslash sin\; (\backslash gamma)\; \backslash cos\; (A)$

Zweiter Kosinussatz für den Dreieckswinkel: $\backslash cos\; (A)\; =\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)\; +\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; ,$

Beweis des zweiten Kosinussatzes für einen Dreieckswinkel

Sei OABC der gegebene Dreieckswinkel. Lassen Sie uns die Senkrechten fallen lassen interner Punkt Dreieckswinkel auf seiner Fläche und wir erhalten einen neuen polaren Dreieckswinkel (dual zum gegebenen). Die Flächenwinkel eines Dreiflächenwinkels ergänzen die Flächenwinkel eines anderen und die Flächenwinkel eines Winkels ergänzen die Flächenwinkel eines anderen bis zu 180 Grad. Das heißt, die Ebenenwinkel des Polarwinkels sind jeweils gleich: 180 - A; 180 - V; 180 - C und Dieder - 180 - α; 180 - β; 180 - γ

Schreiben wir den ersten Kosinussatz dafür

$\backslash cos\; ((\backslash pi\; -A))\; =\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; \backslash alpha))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; C))\; +$ $+\backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; C))$

und nach Vereinfachungen erhalten wir:

$\backslash cos\; (A)\; =\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)$

Satz der Sinuswerte für Dreieckswinkel

$(\backslash sin(\backslash alpha)\; \backslash over\; \backslash sin\; A)\; =\; (\backslash sin\; \backslash beta\; \backslash over\; \backslash sin\; B)\; =\; (\; \backslash sin\; \backslash gamma\; \backslash over\; \backslash sin\; C)$, wobei α, β, γ ebene Winkel eines Dreiflächenwinkels sind; A, B, C sind die ihnen gegenüberliegenden Diederwinkel (siehe Abb. 2).

siehe auch

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Auszug zur Charakterisierung des Dreieckswinkels

- Pflanze es. Setz dich, Schatz, setz dich. Leg deinen Mantel ab, Antonow.
Der Kadett war in Rostow. Die andere hielt er mit einer Hand, war blass und sein Unterkiefer zitterte vor fieberhaftem Zittern. Sie setzten ihn auf Matwewna, genau auf die Waffe, aus der sie den toten Offizier legten. Auf dem Mantel war Blut, das Rostows Leggings und Hände befleckte.
- Was, bist du verwundet, Liebling? - sagte Tuschin und näherte sich der Waffe, auf der Rostow saß.
- Nein, ich bin schockiert.
- Warum ist Blut auf dem Bett? – fragte Tuschin.
„Es war der Offizier, Euer Ehren, der geblutet hat“, antwortete der Artilleriesoldat, wischte das Blut mit dem Ärmel seines Mantels ab und entschuldigte sich für die Unreinheit, in der sich die Waffe befand.
Mit Gewalt, mit Hilfe der Infanterie, brachten sie die Geschütze den Berg hinauf, und als sie das Dorf Guntersdorf erreichten, hielten sie an. Es war bereits so dunkel geworden, dass man in zehn Schritten Entfernung die Uniformen der Soldaten nicht mehr erkennen konnte und das Feuergefecht nachließ. Plötzlich nah dran rechte Seite Wieder waren Schreie und Schüsse zu hören. Die Schüsse funkelten bereits in der Dunkelheit. Dies war der letzte französische Angriff, der mit in den Häusern des Dorfes verschanzten Soldaten beantwortet wurde. Wieder stürmten alle aus dem Dorf, aber Tuschins Geschütze konnten sich nicht bewegen, und die Artilleristen, Tuschin und der Kadett, sahen sich schweigend an und warteten auf ihr Schicksal. Das Feuergefecht ließ nach, und die von Gesprächen angeregten Soldaten strömten aus der Seitenstraße.
- Ist alles in Ordnung, Petrow? - fragte einer.
„Bruder, es ist zu heiß.“ Jetzt werden sie sich nicht mehr einmischen“, sagte ein anderer.
- Kann nichts sehen. Wie sie es in ihrem gebraten haben! Nicht in Sicht; Dunkelheit, Brüder. Möchten Sie sich betrinken?
Franzosen das letzte Mal wurden abgewehrt. Und wieder, in völliger Dunkelheit, bewegten sich Tushins Geschütze, umgeben von summender Infanterie wie von einem Rahmen, irgendwo vorwärts.
In der Dunkelheit war es, als ob ein unsichtbarer, düsterer Fluss floss, alles in eine Richtung, summend mit Flüstern, Reden und dem Geräusch von Hufen und Rädern. Im allgemeinen Lärm, hinter all den anderen Geräuschen, waren das Stöhnen und die Stimmen der Verwundeten in der Dunkelheit der Nacht am deutlichsten zu hören. Ihr Stöhnen schien die ganze Dunkelheit zu erfüllen, die die Truppen umgab. Ihr Stöhnen und die Dunkelheit dieser Nacht waren ein und dasselbe. Nach einer Weile herrschte Aufregung in der sich bewegenden Menge. Jemand ritt mit seinem Gefolge auf einem weißen Pferd und sagte etwas, als sie vorbeikamen. Was hast du gesagt? Wohin jetzt? Stehen, oder was? Danke, oder was? - Von allen Seiten waren gierige Fragen zu hören, und die gesamte sich bewegende Masse begann, sich selbst voranzutreiben (anscheinend hatten die Vorderen angehalten), und Gerüchte verbreiteten sich, dass ihnen befohlen wurde, anzuhalten. Während sie gingen, blieben alle mitten auf der unbefestigten Straße stehen.
Die Lichter gingen an und das Gespräch wurde lauter. Kapitän Tuschin schickte, nachdem er der Kompanie Befehle gegeben hatte, einen der Soldaten los, um für den Kadetten eine Umkleidekabine oder einen Arzt zu suchen, und setzte sich an das Feuer, das die Soldaten auf der Straße entfacht hatten. Auch Rostow schleppte sich zum Feuer. Ein fieberhaftes Zittern vor Schmerz, Kälte und Nässe erschütterte seinen ganzen Körper. Der Schlaf lockte ihn unwiderstehlich, aber er konnte nicht schlafen wegen der entsetzlichen Schmerzen in seinem Arm, der schmerzte und keine Position finden konnte. Mal schloss er die Augen, mal blickte er ins Feuer, das ihm glühend rot vorkam, mal auf die gebeugte, schwache Gestalt Tuschins, der im Schneidersitz neben ihm saß. Tuschins große, freundliche und intelligente Augen blickten ihn voller Mitgefühl und Mitgefühl an. Er sah, dass Tuschin ihm von ganzem Herzen helfen wollte und ihm nicht helfen konnte.

Anmerkung

Ziel dieses Handbuch- Lyceum-Studenten beim Lernen helfen wichtiges Thema Stereometriekurs, der in Standard-Geometrielehrbüchern nur vage (oder überhaupt nicht) dargestellt wird. Es werden Definitionen, Grundsätze und vor allem Methoden zur Lösung von Problemen analysiert, bei denen die Eigenschaften von Dreieckswinkeln notwendig sind und natürlich genutzt werden.
Dreieckiger Winkel
Definition. Gegeben sei ein planares Polygon F und Punkt S, nicht zum Flugzeug gehörend dieses Polygon. Eine Figur, mit der sich alle Strahlen vereinen gemeinsamer Anfang S und schneidend F, angerufen Polyederwinkel (N-facettierter) Winkel.

S - Scheitel, Strahlen SA, SB, SC,... (Punkte A, B, C,... - Eckpunkte des Polygons F) – Rippen, Flugzeuge ASB, BSC,… - Kanten, Winkel ASB, BSC,… - Wohnung Winkel Polyederwinkel.

Ein Punkt P heißt Innenpunkt eines Polyederwinkels, wenn der Strahl SP das Innere des Polygons schneidet F.

Zwei Flächen, die eine gemeinsame Kantenform haben Diederwinkel Polyederwinkel.

Wenn F – konvexes Polygon, der entsprechende Polyederwinkel heißt konvex.

Bezeichnung: SABC... (A, B, C,... - Punkte aufeinanderfolgender Kanten, d. h. die Eckpunkte eines Polygons, das der Schnittpunkt eines polyedrischen Winkels mit einer Ebene ist, die alle Kanten des Winkels schneidet).

Für n=3 erhalten wir Dreieckswinkel ist für uns der Hauptgegenstand des Studiums. Die Werte von drei Ebenen- und drei Flächenwinkeln sind die Hauptparameter eines Dreiflächenwinkels.

Problem 1. In einem Dreieckswinkel, dessen Ebenenwinkel alle rechte Winkel sind, sind auch die Diederwinkel rechte Winkel. Beweise es.

Lösung. Cube und seine Spitze!
Kommentar . Das Gegenteil von Problem 1 ist auch wahr, aber direkter Beweis nicht so einfach. Es ist nützlich, darauf zurückzukommen, nachdem der Kosinussatz für einen Dreieckswinkel formuliert wurde.
Problem 2. Alle ebenen Winkel eines Dreieckswinkels sind rechte Winkel. Finden Sie den Winkel zwischen den Winkelhalbierenden zweier ebener Winkel.

Lösung. Dasselbe wie in Aufgabe 1: Wenn wir einen Würfel auf den Kanten eines Dreieckswinkels an seinem Scheitelpunkt S konstruieren, dann erweisen sich die Diagonalen benachbarter Flächen des Würfels, die sich an dem Scheitelpunkt S schneiden, als genau die notwendigen Winkelhalbierenden. Antwort.
.
Problem 3. Durch einen Punkt auf einer Kante, der 12 cm vom Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels entfernt ist, dessen Ebenenwinkel alle gleich sind
, eine Ebene wird senkrecht zur Winkelhalbierenden eines Ebenenwinkels gezeichnet gegenüberliegendes Gesicht. Finden Sie die Segmente, die diese Ebene von den anderen Kanten des Dreieckswinkels abschneidet.

Lösung. Zeichnen wir die Segmente SA = SB = SC = 12 cm an allen Kanten ein – wir erhalten regelmäßiges Tetraeder SABC (alle Seitenflächen – regelmäßige Dreiecke). Dieses Flugzeug, der durch Punkt A verläuft, schneidet 2/3 seiner Länge von der Winkelhalbierenden (Median) der gegenüberliegenden Fläche ab. Antwort. 8 cm
Problem 4
, und die anderen beiden – von
. Durch einen beliebigen Punkt A einer Kante gegenüber dem größten der Ebenenwinkel wird eine Ebene senkrecht zur Winkelhalbierenden dieses Ebenenwinkels gezeichnet, die die anderen Kanten an den Punkten B und C schneidet. Finden Sie: a) Winkel ABC; b) der Winkel zwischen der Ebene rechter Winkel und die gegenüberliegende Kante.

Lösung. Punkt A wird auf den Winkelhalbierenden projiziert (Satz 4 – siehe unten).

Antwort. A)
; B)
.
Problem 5. Einer der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels ist gleich
, und die anderen beiden – von
. Aus beliebiger Punkt Kante gegenüber dem Ebenenwinkel bei
, Senkrechte werden auf die anderen beiden Kanten fallen gelassen. Finden Sie den Winkel zwischen diesen Senkrechten.

R Entscheidung.

, AS = a,
,
,
, BS=CS (aus der Gleichheit der rechtwinkligen Dreiecke ABS und ACS durch Hypotenuse und spitzen Winkel); D – mittlere BC,

Antwort.
.

Satz 1. Bei einem Dreieckswinkel ist jeder Ebenenwinkel kleiner als die Summe der beiden anderen Ebenenwinkel und größer als deren Differenz.

Nachweisen.

P Ust
– der größte ebene Winkel eines Dreieckswinkels SABC. Im Flugzeug A.S.C. Lass uns bauen
Strahl SD liegt in der Ecke A.S.C. (oder die Punkte D und C fallen zusammen). Lass uns nehmen S.B.= SD und lass uns eine direkte machen ADC. IN Dreieck ABC: ANZEIGE + Gleichstrom AB + B.C.(auch wenn Gleichstrom=0 ) ist die Dreiecksungleichung. . Betrachten Sie nun die Dreiecke CSD und CSB: SD= S.B., SC.= SC., GleichstromB.C., somit , ,diese. . .

Satz 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels ist kleiner
.

Nachweisen. Dieselbe Zeichnung wie in Satz 1: Wenden Sie Satz 1 auf jeden der Dreieckswinkel mit den Eckpunkten A, B, C (usw.) an und addieren Sie die resultierenden 9 Ungleichungen Term für Term; Nach offensichtlichen Einschnitten werden wir dort ankommen, wo wir sein müssen.
Satz 3. Die Summe der Ebenenwinkel eines konvexen Polyederwinkels ist kleiner
.

Nachweisen kann zum Beispiel im Lehrbuch von Kiselev nachgelesen werden.
Satz 4. Wenn in einem Dreieckswinkel zwei ebene Winkel gleich sind, ist die Projektion der Kante, die gemeinsame Seite gleiche Winkel, auf der Ebene der gegenüberliegenden Fläche ist die Winkelhalbierende eines ebenen Winkels (oder seiner Verlängerung) dieser Fläche.

Nachweisen. Offensichtlich.
Problem 6
. Beweisen Sie, dass der Schnitt dieses Winkels durch eine Ebene senkrecht zur Fläche mit dem größten Ebenenwinkel die Form hat gleichschenkligen Dreiecks(seine Basis liegt in der Ebene eines rechten Winkels), dann schneidet die Schnittebene gleiche Segmente an den Kanten des Dreieckswinkels ab.

R Entscheidung.
Wenn
, Das
; BD=DC (da BA=CA durch Bedingung); Das Dreieck BSC ist ein rechtwinkliges Dreieck, daher ist D der Mittelpunkt des Umkreises, was bedeutet, dass DC=DB=DS ( orthogonale Projektionen AC, AB, AS zur BSC-Ebene); daher folgt die Gleichheit der Steigungen: AC=AB=AS; daher sind die Dreiecke ASB und ASC regulär () und SA=SB=SC.
Problem 7. Beweisen Sie die Umkehrung der in der vorherigen Aufgabe gemachten Aussage.

Lösung. Die Argumentation bei der Lösung von Problem 6 muss umgekehrt werden (da die Aussage von Problem 7 lautet umkehren zur Aussage des Vorigen).
Aufgabe 8. Die Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels sind gleich
. Finden Sie die Neigungswinkel der Kanten zu den Ebenen gegenüberliegender Flächen.

Lösung. Siehe Zeichnung für Aufgabe 6. SA=SB=SC=a, .

P orthogonal BS auf die Ebene ASC projizieren: let
; die Senkrechte vom Punkt K im Dreieck ASC geht durch Punkt C; gewünschte Projektion E von Punkt B ist die Basis der Höhe BE im Dreieck BCK!

(Kosinussatz); .
.

Antwort.
.

Satz 5(Kosinussatz für Dreieckswinkel). Lassen
– ebene Winkel eines Dreiflächenwinkels, A, B, C – ihnen gegenüberliegende Diederwinkel. Dann .

Nachweisen. Sei SA = a. Dann
. Drücken wir BC 2 mithilfe des Kosinussatzes aus den Dreiecken BSC und BAC aus und setzen die resultierenden Ausdrücke gleich; Nach Vorlagentransformationen erhalten wir, was wir brauchen.
Problem 9. Alle Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels sind gleich, sein Diederwinkel ist gleich . Finden Sie den Kosinus eines ebenen Winkels.

Lösung. Kosinussatz.

Antwort.

Aufgabe 10. Jeder ebene Winkel eines Dreieckswinkels ist gleich . Auf einer der Kanten wird ein Punkt im Abstand a vom Scheitelpunkt genommen. Ermitteln Sie den Abstand von diesem Punkt zur Ebene der gegenüberliegenden Fläche.

Lösung. AS=a, ,

,
(Kosinussatz),
.
Antwort.
.
Aufgabe 11. Zwei ebene Winkel eines Dreieckswinkels sind gleich , der Winkel der dritten Ebene ist rechts. Auf der gemeinsamen Seite gleicher Ebenenwinkel wird ein Punkt im Abstand h von der Ebene der gegenüberliegenden Fläche genommen. Ermitteln Sie den Abstand von diesem Punkt zum Scheitelpunkt des Dreieckswinkels.

Lösung.

S
A=x, AO=h,
,

,
(Kosinussatz).

Antwort.
.
Aufgabe 12. Bei einem Dreiflächenwinkel sind zwei Diederwinkel gleich groß
, ihr gemeinsamer Ebenenwinkel ist richtig. Finden Sie den dritten Diederwinkel.

Lösung. ,

Antwort.
.
Satz 6(wichtig). Wenn zwei ebene Winkel eines Dreieckswinkels gleich sind, wird ihre gemeinsame Kante auf die Winkelhalbierende (oder deren Verlängerung) des ebenen Winkels der gegenüberliegenden Fläche projiziert.

Nachweisen. Wenn wir die Zeichnung zu Aufgabe 11 um eine Senkrechte von A nach SC ergänzen, sehen wir das sofort rechtwinklige Dreiecke ASB und ASC haben die gleiche Hypotenuse und den gleichen spitzen Winkel, daher sind die Neigungen AB und AC zur Fläche BSC gleich, woraus wir schließen, dass ihre Projektionen OB und OC gleich sind. Punkt O ist von SB und SC gleich weit entfernt und liegt daher auf der Winkelhalbierenden BSC (oder seiner Verlängerung).
Ergänzung zum Thema „Dreieckswinkel“
Aufgabe 13. Die Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels sind gleich
. Finden Sie den Winkel zwischen der Winkelhalbierenden und die gegenüberliegende Kante.

Lösung.
- Einheitsvektoren, SD – Winkelhalbierende . Dann
.

Antwort.
.
Aufgabe 14(Zweiter Kosinussatz für Dreieckswinkel). Beweise das

Nachweisen. Lassen Sie uns Senkrechte vom Innenpunkt des Dreieckswinkels auf die Fläche des Dreieckswinkels fallen lassen – wir erhalten eine neue (dual oder Polar- dazu) Dreieckswinkel mit ebenen Winkeln
und Dieder
. Wenden wir den 1. Kosinussatz an.
Aufgabe 15. Die Diederwinkel eines Dreiflächenwinkels sind gleich
. Finden Sie die Winkel der Ebene.

Lösung. Siehe Aufgabe 14.

Antwort.
.
Aufgabe 16. Beweisen Sie, dass die Summe der Diederwinkel eines Dreieckswinkels größer ist
, aber weniger
.

Lösung. Konstruieren wir den Polarwinkel (siehe Aufgabe 14) und wenden Satz 2 an.
Aufgabe 17(Sinussatz für Dreieckswinkel). In einem dreieckigen Winkel

.

Nachweisen. Satz 5.
Eine Reihe von Handbüchern von A.I. Zu Marinina gehören auch Broschüren:
Geometrie-10 (Theorie)

Geometrieprobleme-10

20. Mehrstufige Untersuchung von Polyederwinkeln, Eigenschaften der ebenen Winkel eines Triederwinkels und eines Polyederwinkels.

Ein Grundniveau von:

Atanasyan

Berücksichtigt nur den Diederwinkel.

Pogorelow

Zuerst betrachtet er den Diederwinkel und dann sofort die Drei- und Vielflächenwinkel.

Betrachten wir drei Strahlen a, b, c, die vom selben Punkt ausgehen und in derselben Ebene liegen. Ein Dreieckswinkel (abc) ist eine Figur, die aus drei flachen Winkeln (ab), (bc) und (ac) besteht (Abb. 400). Diese Winkel werden als Flächen eines Dreieckswinkels bezeichnet, und ihre Seiten werden als Kanten bezeichnet. Der gemeinsame Scheitelpunkt ebener Winkel wird Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels genannt. Die von den Flächen eines Dreiflächenwinkels gebildeten Diederwinkel werden Diederwinkel eines Dreiflächenwinkels genannt.

Das Konzept eines Polyederwinkels wird auf ähnliche Weise eingeführt (Abb. 401).

Abb. 400 und Abb. 401

P Profilebene(A.D. Aleksndrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhikh):

Wir verlassen die Definition und Untersuchung beliebiger Polyederwinkel bis § 31 und betrachten nun den einfachsten von ihnen – Triederwinkel. Wenn in der Stereometrie Diederwinkel als Analoga zu ebenen Winkeln betrachtet werden können, dann können Dreiflächenwinkel als Analoga zu ebenen Dreiecken betrachtet werden, und in den folgenden Abschnitten werden wir sehen, wie sie natürlich mit sphärischen Dreiecken zusammenhängen.

Sie können einen solchen Dreieckswinkel konstruieren (und daher konstruktiv definieren). Nehmen wir drei beliebige Strahlen a, b, c, die einen gemeinsamen Ursprung O haben und nicht in derselben Ebene liegen (Abb. 150). Diese Strahlen sind die Seiten von drei konvexen Ebenenwinkeln: Winkel α mit den Seiten b, c, Winkel β mit den Seiten a, c und Winkel γ mit den Seiten a, b. Die Vereinigung dieser drei Winkel α, β, γ wird Dreiflächenwinkel Oabc (oder kurz Dreiflächenwinkel O) genannt. Die Strahlen a, b, c heißen die Kanten des Dreieckswinkels Oabc, und die ebenen Winkel α, β, γ sind seine Flächen. Punkt O wird als Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels bezeichnet.

3 Bemerkung. Es wäre möglich, einen Dreieckswinkel mit einer nicht konvexen Fläche zu definieren (Abb. 151), aber wir werden solche Dreieckswinkel nicht berücksichtigen.

Für jede Kante eines Dreieckswinkels wird ein entsprechender Diederwinkel bestimmt, dessen Kante die entsprechende Kante des Dreieckswinkels enthält und dessen Flächen die an diese Kante angrenzenden Flächen des Dreieckswinkels enthalten.

Die Werte der Diederwinkel des Dreiflächenwinkels Oabc an den Kanten a, b, c werden jeweils mit a^, b^, c^ bezeichnet (Großbuchstaben direkt über den Buchstaben).

Drei Flächen α, β, γ des Dreiflächenwinkels Oabc und seiner drei Diederwinkel at Rippen a, b, с, sowie die Größen α, β, γ und à^, b^, с^ nennen wir Elemente eines Dreieckswinkels. (Denken Sie daran, dass die Elemente eines ebenen Dreiecks seine Seiten und seine Winkel sind.)

Unsere Aufgabe besteht darin, einige Elemente eines Dreieckswinkels durch seine anderen Elemente auszudrücken, das heißt, eine „Trigonometrie“ von Dreieckswinkeln zu konstruieren.

1) Beginnen wir mit der Ableitung eines Analogons zum Kosinussatz. Betrachten Sie zunächst einen dreiflächigen Winkel Oabc, der mindestens zwei Flächen hat, zum Beispiel α und β, scharfe Kanten. Nehmen wir den Punkt C auf seiner Kante c und zeichnen wir von ihm in den Flächen α und β die Senkrechten CB und CA zur Kante c, bis sie die Kanten a und b an den Punkten A und B schneiden (Abb. 152). Drücken wir den Abstand AB von den Dreiecken OAB und CAB mit dem Kosinussatz aus.

AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) und AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.

Wenn wir die erste von der zweiten Gleichheit subtrahieren, erhalten wir:

OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). Weil Dreiecke OSV und OCA sind rechtwinklig, dann AC 2 -AC 2 =OS 2 und OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)

Daher folgt aus (1) und (2), dass OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

diese.

Aber
,
,
,
. Deshalb

(3) – ein Analogon des Kosinussatzes für Dreieckswinkel – Kosinusformel.

Beide Flächen α und β sind stumpfe Winkel.

Einer der Winkel α und β, zum Beispiel α, ist spitz und der andere, β, ist stumpf.

Mindestens einer der Winkel α oder β ist gerade.

Zeichen der Gleichheit der Dreieckswinkelähnlich den Gleichheitszeichen von Dreiecken. Es gibt jedoch einen Unterschied: Beispielsweise sind zwei Dreieckswinkel gleich, wenn ihre Diederwinkel entsprechend gleich sind. Denken Sie daran, dass zwei ebene Dreiecke, deren entsprechende Winkel gleich sind, ähnlich sind. Und für Dreieckswinkel führt eine ähnliche Bedingung nicht zu Ähnlichkeit, sondern zu Gleichheit.

Dreiflächige Winkel haben eine bemerkenswerte Wirkung Eigentum was man Dualität nennt. Wenn in irgendeinem Satz über den Dreieckswinkel Oabc, ersetzen wir Werte a, b, von zu π-α, π-β, π-γund umgekehrt α, β, γ durch π-a^, π-b^, π-c^ ersetzen, dann erhalten wir wieder eine wahre Aussage über Dreieckswinkel, dual zum ursprünglichen Satz. Wenn zwar eine solche Ersetzung im Sinussatz vorgenommen wird, dann kommen wir wieder zum Sinussatz (er ist zu sich selbst dual). Wenn wir dies jedoch im Kosinussatz (3) tun, erhalten wir eine neue Formel

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Warum eine solche Dualität auftritt, wird klar, wenn wir für einen Dreieckswinkel einen dazu dualen Dreieckswinkel konstruieren, dessen Kanten senkrecht zu den Flächen des ursprünglichen Winkels stehen (siehe Abschnitt 33.3 und Abb. 356).

Einige der einfachsten Oberflächen sind polyedrische Winkel . Sie bestehen aus gewöhnlichen Winkeln (wir nennen solche Winkel heute oft flache Winkel), so wie eine geschlossene gestrichelte Linie aus Segmenten besteht. Es wird nämlich folgende Definition gegeben:

Ein Polyederwinkel heißt eine durch ebene Winkel gebildete Figur, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Keine zwei Winkel haben gemeinsame Punkte außer ihrem gemeinsamen Scheitelpunkt oder ihrer gemeinsamen Seite.

2) Für jeden dieser Winkel ist jede seiner Seiten mit einem und nur einem anderen solchen Winkel gemeinsam.

3) Von jeder Ecke aus können Sie entlang der Ecken, die gemeinsame Seiten haben, zu jeder Ecke gehen.

4) Keine zwei Winkel mit einer gemeinsamen Seite liegen in derselben Ebene (Abb. 324).

Unter dieser Bedingung werden die ebenen Winkel, die einen Polyederwinkel bilden, seine Flächen und seine Seiten seine Kanten genannt.

Unter diese Definition Auch ein Diederwinkel ist geeignet. Es besteht aus zwei aufgefalteten flachen Winkeln. Sein Scheitelpunkt kann als beliebiger Punkt auf seiner Kante betrachtet werden, und dieser Punkt teilt die Kante in zwei Kanten, die sich am Scheitelpunkt treffen. Aufgrund dieser Unsicherheit in der Position des Scheitelpunkts wird der Diederwinkel jedoch aus der Anzahl der Polyederwinkel ausgeschlossen.

P

Der Begriff des Polyederwinkels ist insbesondere in der Polyederlehre – in der Polyedertheorie – wichtig. Die Struktur eines Polyeders wird dadurch charakterisiert, aus welchen Flächen es besteht und wie diese an den Ecken zusammenlaufen, d. h. welche Polyederwinkel es gibt.

Betrachten Sie die Polyederwinkel verschiedener Polyeder.

Beachten Sie, dass die Flächen polyedrischer Winkel auch nicht konvexe Winkel sein können.

№1 Datum09.05.14

Fachgebiet Geometrie

Klasse 11

Unterrichtsthema: Das Konzept des polyedrischen Winkels. Dreieckiger Winkel.

Lernziele:

Führen Sie die Konzepte ein: „Triederwinkel“, „Polyederwinkel“, „Polyeder“;

die Schüler mit den Elementen von Drei- und Polyederwinkeln, Polyedern sowie den Definitionen eines konvexen Polyederwinkels und den Eigenschaften der ebenen Winkel eines Polyederwinkels vertraut zu machen;

die Entwicklungsarbeit fortsetzen räumliche Darstellungen und räumliches Vorstellungsvermögen, sowie logisches Denken Studenten.

Unterrichtsart: Neues Material lernen

WÄHREND DES UNTERRICHTS

1. Organisatorischer Moment.

Begrüßung der Schüler, Überprüfung der Unterrichtsbereitschaft der Klasse, Organisation der Aufmerksamkeit der Schüler, Offenlegung der allgemeinen Ziele des Unterrichts und seines Plans.

2. Bildung neuer Konzepte und Handlungsmethoden.

Ziele: Sicherstellen, dass die Schüler den Lernstoff wahrnehmen, verstehen und sich daran erinnern. Stellen Sie sicher, dass die Studierenden die Methoden zur Reproduktion des untersuchten Materials beherrschen, und fördern Sie das philosophische Verständnis der erworbenen Konzepte, Gesetze, Regeln und Formeln. Feststellung der Richtigkeit und Kenntnis des untersuchten Materials durch die Studierenden, Identifizierung von Lücken im Primärverständnis und Durchführung von Korrekturen. Stellen Sie sicher, dass die Studierenden ihre subjektiven Erfahrungen mit Anzeichen wissenschaftlicher Erkenntnisse in Beziehung setzen.

Es seien drei Strahlen gegebenA, B Undmit mit gemeinsamer AusgangspunktUM (Abb. 1.1). Diese drei Strahlen liegen nicht unbedingt in derselben Ebene. In Abbildung 1.2 die StrahlenB UndMit im Flugzeug liegenR, und der BalkenA liegt nicht in dieser Ebene.

StrahlenA, B UndMit Definieren Sie paarweise drei durch Bögen hervorgehobene Ebenenwinkel (Abb. 1.3).

Betrachten Sie eine Figur, die aus den drei oben angegebenen Winkeln und dem durch diese ebenen Winkel begrenzten Raumteil besteht. Das räumliche Figur angerufenDreieckswinkel (Abb. 2).

StrahlenA, B und mit werden genanntKanten eines Dreieckswinkels, und die Winkel: = A.O.C. = A.O.B.

= BOC , einen dreiflächigen Winkel begrenzen - es istKanten. Es bilden sich WinkelflächenFläche eines Dreieckswinkels. PunktUM angerufenScheitelpunkt eines Dreieckswinkels. Ein Dreieckswinkel kann wie folgt bezeichnet werden: OABC

Nachdem wir alle in Abbildung 3 gezeigten Polyederwinkel sorgfältig untersucht haben, können wir daraus schließen, dass jeder der Polyederwinkel selbe Nummer Kanten und Flächen:

4 Flächen und ein Scheitelpunkt;

ein fünfeckiger Winkel hat 5 Kanten, 5 Flächen und einen Scheitelpunkt;

• 
  Ein sechseckiger Winkel hat 6 Kanten, 6 Flächen und einen Scheitelpunkt usw.

Es gibt polyedrische Winkel konvex Und nicht konvex.

Stellen Sie sich vor, wir hätten vier Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung genommen, wie in Abbildung 4. In diesem Fall haben wir Folgendes erhaltennichtkonvexer Polyederwinkel.

Definition 1. Ein polyedrischer Winkel heißt konvex,Wenn erliegt auf einer Seite der Ebene jeder seiner Flächen.

Mit anderen Worten: Ein konvexer Polyederwinkel kann immer mit jeder seiner Flächen auf einer Ebene platziert werden. Sie sehen, dass dies im in Abbildung 4 gezeigten Fall nicht immer möglich ist. Der in Abbildung 4 gezeigte Tetraederwinkel ist nicht konvex.

Beachten Sie, dass wir in unserem Lehrbuch mit „polyedrischer Winkel“ meinen, dass er konvex ist. Wenn der betreffende Polyederwinkel nicht konvex ist, wird dies gesondert besprochen.

Eigenschaften der ebenen Winkel eines Polyederwinkels

Satz 1.Jeder Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels ist kleiner als die Summe der beiden anderen Ebenenwinkel.

Satz 2.Die Summe der Werte aller Ebenenwinkel eines konvexen Polyederwinkels beträgt weniger als 360°.

3. Bewerbung. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Ziele: Sicherstellen, dass die Studierenden das Wissen und die Handlungsmethoden anwenden, die sie für SR benötigen, um Bedingungen zu schaffen, in denen sich die Studierenden identifizieren können individuelle Wege Anwendung des Gelernten.

6. Informationsphase zu den Hausaufgaben.

Ziele: Sicherstellen, dass die Schüler den Zweck, den Inhalt und die Methoden der Hausaufgabenerledigung verstehen.

§1(1.1, 1.2) Seite 4, Nr. 9.

7. Zusammenfassung der Lektion.

Aufgabe: Geben qualitative Beurteilung Arbeit der Klasse und einzelner Schüler.

8. Reflexionsphase.

Ziele: Anregung der Schüler zum Nachdenken über die Selbsteinschätzung ihrer Aktivitäten. Stellen Sie sicher, dass die Schüler die Prinzipien der Selbstregulierung und Zusammenarbeit erlernen.

Gespräch zu Fragen:

Was war für Sie während des Unterrichts interessant?

Was ist nicht klar?

Worauf sollte ein Lehrer achten? Nächste Lektion?

Wie würden Sie Ihre Arbeit im Unterricht bewerten?

Dreiflächige und polyedrische Winkel: Ein dreiflächiger Winkel ist eine Figur, die aus drei Ebenen besteht und von drei Strahlen begrenzt wird, die von einem Punkt ausgehen und nicht in derselben Ebene liegen. Betrachten wir ein flaches Polygon und einen Punkt, der außerhalb der Ebene dieses Polygons liegt. Zeichnen wir von diesem Punkt aus Strahlen, die durch die Eckpunkte des Polygons verlaufen. Wir erhalten eine Figur, die Polyederwinkel genannt wird.

Ein Dreieckswinkel ist ein Raumteil, der von drei flachen Winkeln mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt und paarweise gemeinsamen Seiten begrenzt wird, die nicht in derselben Ebene liegen. Der gemeinsame Scheitelpunkt O dieser Winkel wird Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels genannt. Die Seiten der Winkel werden Kanten genannt, die ebenen Winkel am Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels heißen seine Flächen. Jedes der drei Flächenpaare eines Dreiflächenwinkels bildet durch ebene Winkel einen Diederwinkel

; + > ; + > 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels beträgt weniger als 360 Grad. Ebenenwinkel α, β, γ, Diederwinkel A, B, C, Zusammensetzung" title="Grundlegende Eigenschaften eines Dreiflächenwinkels 1. Jeder Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels ist kleiner als die Summe seiner beiden anderen Ebenenwinkel. + > ; + > ; + > 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels beträgt weniger als 360 Grad α, β, γ Ebenenwinkel, Diederwinkel A, B, C, Zusammensetzung" class="link_thumb"> 4 !} Grundlegende Eigenschaften eines Dreieckswinkels 1. Jeder Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels ist kleiner als die Summe seiner beiden anderen Ebenenwinkel. + > ; + > ; + > 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels beträgt weniger als 360 Grad. α, β, γ sind Ebenenwinkel, A, B, C sind Diederwinkel, die durch die Ebenen der Winkel β und γ, α und γ gebildet werden. α und β. 3. Der erste Kosinussatz für einen Dreieckswinkel. 4. Der zweite Kosinussatz für einen Dreieckswinkel ; + > ; + > 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels beträgt weniger als 360 Grad. Ebenenwinkel α, β, γ, Diederwinkel A, B, C, Zusammensetzung "> ; + > ; + > 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels sind kleiner als 360 Grad. α, β, γ sind Ebenenwinkel, A, B, C sind Diederwinkel, die durch die Ebenen der Winkel β und γ, α und γ, α und β gebildet werden. 3. Die erste Kosinussatz für einen Dreieckswinkel 4. Der zweite Kosinussatz für einen Dreieckswinkel"> ; + > ; + > 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels beträgt weniger als 360 Grad. Ebenenwinkel α, β, γ, Diederwinkel A, B, C, Zusammensetzung" title="Grundlegende Eigenschaften eines Dreiflächenwinkels 1. Jeder Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels ist kleiner als die Summe seiner beiden anderen Ebenenwinkel. + > ; + > ; + > 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels beträgt weniger als 360 Grad α, β, γ Ebenenwinkel, Diederwinkel A, B, C, Zusammensetzung"> title="Grundeigenschaften eines Dreieckswinkels 1. Jeder Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels ist kleiner als die Summe seiner beiden anderen Ebenenwinkel. + > ; + > ; + > 2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreiflächenwinkels beträgt weniger als 360 Grad. Ebenenwinkel α, β, γ, Diederwinkel A, B, C, Zusammensetzung"> !}

Die Flächen eines Polyeders sind die Polygone, aus denen es besteht. Die Kanten eines Polyeders sind die Seiten der Polyeder. Die Eckpunkte eines Polyeders sind die Eckpunkte eines Polygons. Die Diagonale eines Polyeders ist ein Segment, das zwei Eckpunkte verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören.