Ein ausreichendes Zeichen für eine zunehmende Funktion. Zunehmende und abnehmende Funktion in einem Intervall, Extrema. Ausreichende Bedingung für ein Extremum

Zu den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, gehören: wichtiger Platz besetzen Summen von Monomen. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Die Summe der Monome wird Polynom genannt. Die Terme in einem Polynom werden Terme des Polynoms genannt. Monome werden auch als Polynome klassifiziert, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Glied besteht.

Zum Beispiel ein Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kann vereinfacht werden.

Stellen wir alle Begriffe in Form von Monomen dar Standard Ansicht:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Lassen Sie uns ähnliche Terme im resultierenden Polynom darstellen:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Terme alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome heißen Polynome der Standardform.

Hinter Grad des Polynoms einer Standardform nehmen die höchsten Befugnisse ihrer Mitglieder in Anspruch. Somit hat das Binomial \(12a^2b - 7b\) den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6\) den zweiten.

Typischerweise sind die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge der Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Die Summe mehrerer Polynome kann in ein Polynom der Standardform umgewandelt (vereinfacht) werden.

Manchmal müssen die Terme eines Polynoms in Gruppen unterteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt werden muss. Da einschließende Klammern die Umkehrtransformation öffnender Klammern sind, ist sie leicht zu formulieren Regeln zum Öffnen von Klammern:

Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wenn vor den Klammern ein „-“-Zeichen steht, werden die in den Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts eines Monoms und eines Polynoms

Mit Hilfe Verteilungseigenschaft Multiplikationen können in ein Polynom umgewandelt (vereinfacht) werden, das Produkt eines Monoms und eines Polynoms. Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie dieses Monom mit jedem Term des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel bereits mehrfach angewendet, um mit einer Summe zu multiplizieren.

Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Termes eines Polynoms und jedes Termes des anderen.

Normalerweise wird die folgende Regel verwendet.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summenquadrate, Differenzen und Quadratdifferenzen

Mit einigen Ausdrücken in algebraische Transformationen häufiger zu tun haben als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, das Quadrat von der Unterschied und die Differenz der Quadrate. Ist Ihnen aufgefallen, dass die Namen angegebene Ausdrücke Als ob nicht abgeschlossen wäre, ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von a und b. Allerdings kommt das Quadrat der Summe von a und b in der Regel nicht sehr häufig vor, es enthält statt der Buchstaben a und b verschiedene, teilweise recht komplexe Ausdrücke.

Die Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) können leicht in Polynome der Standardform umgewandelt (vereinfacht) werden, tatsächlich sind Sie dieser Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Es ist nützlich, sich die resultierenden Identitäten zu merken und sie ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) – Quadrat der Summe gleich der Summe Quadrate und verdoppeln Sie das Produkt.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) – das Quadrat der Differenz ist gleich der Summe der Quadrate ohne das verdoppelte Produkt.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) – die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten ermöglichen es bei Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt – rechte Teile durch linke. Am schwierigsten ist es, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, wie die Variablen a und b darin ersetzt werden. Schauen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.

Definition 1

Erinnern wir uns zunächst Regeln für die Multiplikation eines Monoms mit einem Monom:

Um ein Monom mit einem Monom zu multiplizieren, müssen Sie zunächst die Koeffizienten der Monome multiplizieren und dann die Regel zum Multiplizieren von Potenzen mit verwenden die gleiche Grundlage Multiplizieren Sie die in den Monomen enthaltenen Variablen.

Beispiel 1

Finden Sie das Produkt der Monome $(2x)^3y^2z$ und $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Lösung:

Berechnen wir zunächst das Produkt der Koeffizienten

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ In dieser Aufgabe haben wir die Regel zum Multiplizieren einer Zahl mit einem Bruch verwendet – um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, benötigen Sie die Zahl mit dem Zähler des Bruchs zu multiplizieren und den Nenner unverändert zu setzen

Nun nutzen wir die Grundeigenschaft eines Bruchs – Zähler und Nenner eines Bruchs können durch dieselbe Zahl geteilt werden, die sich von $0$ unterscheidet. Teilen wir den Zähler und Nenner dieses Bruchs durch 2$, also reduzieren wir ihn um 2$ gegebener Bruch$2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\ \frac(3)(2)$

Das resultierende Ergebnis war unechter Bruch, also einer, dessen Zähler größer als der Nenner ist.

Lassen Sie uns diesen Bruch umwandeln, indem wir den ganzen Teil isolieren. Erinnern wir uns daran, dass es zum Isolieren eines ganzzahligen Teils notwendig ist, den Rest der Division in den Zähler des Bruchteils und den Divisor in den Nenner aufzuschreiben.

Wir haben den Koeffizienten des zukünftigen Produkts gefunden.

Jetzt multiplizieren wir nacheinander die Variablen $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Hier haben wir die Regel zum Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis verwendet: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Dann ist das Ergebnis der Multiplikation von Monomen:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Dann basierend auf dieser Regel Sie können die folgende Aufgabe ausführen:

Beispiel 2

Stellen Sie ein gegebenes Polynom als Produkt eines Polynoms und eines Monoms $(4x)^3y+8x^2$ dar

Stellen wir uns jedes der im Polynom enthaltenen Monome als Produkt zweier Monome vor, um ein gemeinsames Monom zu isolieren, das sowohl im ersten als auch im zweiten Monom ein Faktor ist.

Beginnen wir zunächst mit dem ersten Monom $(4x)^3y$. Erweitern wir seinen Koeffizienten zu Primfaktoren: $4=2\cdot 2$. Das Gleiche machen wir mit dem Koeffizienten des zweiten Monoms $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Beachten Sie, dass sowohl im ersten als auch im zweiten Koeffizienten zwei Faktoren $2\cdot 2$ enthalten sind, was bedeutet, dass $2\cdot 2=4$ – diese Zahl als Koeffizient in das allgemeine Monom aufgenommen wird

Beachten wir nun, dass es im ersten Monom $x^3$ gibt und im zweiten die gleiche Variable hoch $2:x^2$. Das bedeutet, dass es praktisch ist, die Variable $x^3$ wie folgt darzustellen:

Die Variable $y$ ist nur in einem Term des Polynoms enthalten, was bedeutet, dass sie nicht im allgemeinen Monom enthalten sein kann.

Stellen wir uns das im Polynom enthaltene erste und zweite Monom als Produkt vor:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Beachten Sie, dass das gemeinsame Monom, das sowohl im ersten als auch im zweiten Monom ein Faktor ist, $4x^2$ ist.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Wenden wir nun das Verteilungsgesetz der Multiplikation an, dann lässt sich der resultierende Ausdruck als Produkt zweier Faktoren darstellen. Einer der Multiplikatoren ist der Gesamtmultiplikator: $4x^2$ und der andere ist die Summe der verbleibenden Multiplikatoren: $xy + 2$. Bedeutet:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Diese Methode heißt Faktorisierung mittels Subtraktion gemeinsamer Multiplikator.

Gemeinsamer Faktor in in diesem Fall war das Monom $4x^2$ .

Algorithmus

Anmerkung 1

Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten aller im Polynom enthaltenen Monome – es wird der Koeffizient des gemeinsamen Faktormonomials sein, den wir aus Klammern setzen

Ein Monom bestehend aus dem in Absatz 2 gefundenen Koeffizienten und den in Absatz 3 gefundenen Variablen ist ein gemeinsamer Faktor. der als gemeinsamer Faktor aus Klammern genommen werden kann.

Beispiel 3

Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$ heraus

Lösung:

Lassen Sie uns den ggT der Koeffizienten ermitteln; dazu zerlegen wir die Koeffizienten in einfache Faktoren

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Und wir finden das Produkt derjenigen, die in der Erweiterung jedes einzelnen enthalten sind:

Identifizieren Sie die Variablen, aus denen jedes Monom besteht, und wählen Sie die Variable mit dem kleinsten Exponenten aus

$a^3=a^2\cdot a$

Die Variable $b$ ist nur im zweiten und dritten Monom enthalten, was bedeutet, dass sie nicht im gemeinsamen Faktor enthalten ist.

Stellen wir ein Monom zusammen, das aus dem in Schritt 2 gefundenen Koeffizienten und den in Schritt 3 gefundenen Variablen besteht. Wir erhalten: $3a$ – dies wird der gemeinsame Faktor sein. Dann:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

In dieser Lektion machen wir uns mit den Regeln zum Setzen eines gemeinsamen Faktors aus Klammern vertraut und lernen, wie man ihn findet verschiedene Beispiele und Ausdrücke. Lassen Sie uns darüber reden, wie einfache Bedienung Wenn Sie den gemeinsamen Faktor in Klammern setzen, können Sie die Berechnungen vereinfachen. Wir festigen die erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten anhand von Beispielen unterschiedlicher Komplexität.

Was ist ein gemeinsamer Faktor, warum sollte man danach suchen und zu welchem ​​Zweck wird er aus der Klammer genommen? Beantworten wir diese Fragen anhand eines einfachen Beispiels.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen. Die linke Seite der Gleichung ist ein Polynom bestehend aus ähnliche Mitglieder. Der Buchstabenteil ist diesen Begriffen gemeinsam, was bedeutet, dass er der gemeinsame Faktor ist. Lassen Sie es uns aus Klammern setzen:

In diesem Fall half uns das Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus den Klammern, das Polynom in ein Monom umzuwandeln. Dadurch konnten wir das Polynom vereinfachen und seine Transformation half uns, die Gleichung zu lösen.

Im betrachteten Beispiel war der gemeinsame Faktor offensichtlich, aber wäre es so einfach, ihn in einem beliebigen Polynom zu finden?

Lassen Sie uns die Bedeutung des Ausdrucks herausfinden: .

IN in diesem Beispiel Das Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern hat die Berechnung erheblich vereinfacht.

Lassen Sie uns noch ein Beispiel lösen. Lassen Sie uns die Teilbarkeit in Ausdrücke beweisen.

Der resultierende Ausdruck ist, wie zu beweisen, durch teilbar. Auch hier konnten wir das Problem mithilfe des gemeinsamen Faktors lösen.

Lassen Sie uns noch ein Beispiel lösen. Beweisen wir, dass der Ausdruck für jede natürliche Zahl durch teilbar ist: .

Der Ausdruck ist das Produkt zweier benachbarter natürlicher Zahlen. Eine der beiden Zahlen wird auf jeden Fall gerade sein, was bedeutet, dass der Ausdruck durch teilbar ist.

Wir haben es geklärt verschiedene Beispiele, aber sie verwendeten die gleiche Lösungsmethode: Sie entfernten den gemeinsamen Faktor aus Klammern. Wir sehen, dass diese einfache Operation die Berechnungen erheblich vereinfacht. Es war leicht, einen gemeinsamen Faktor für diese Sonderfälle zu finden, aber was ist zu tun? Allgemeiner Fall, für ein beliebiges Polynom?

Denken Sie daran, dass ein Polynom eine Summe von Monomen ist.

Betrachten Sie das Polynom . Dieses Polynom ist die Summe zweier Monome. Ein Monom ist das Produkt einer Zahl, eines Koeffizienten und eines Buchstabenteils. Somit wird in unserem Polynom jedes Monom durch das Produkt einer Zahl und Potenzen, das Produkt von Faktoren, dargestellt. Die Faktoren können für alle Monome gleich sein. Es sind diese Faktoren, die ermittelt und aus der Klammer genommen werden müssen. Zunächst ermitteln wir den gemeinsamen Faktor für die ganzzahligen Koeffizienten.

Es war leicht, den gemeinsamen Faktor zu finden, aber definieren wir den ggT der Koeffizienten: .

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: .

Lassen Sie uns herausfinden, was es uns ermöglicht, den gemeinsamen Faktor zu bestimmen Ausdruck gegeben: .

Wir haben eine Regel für ganzzahlige Koeffizienten abgeleitet. Sie müssen ihren GCD finden und ihn aus der Halterung entfernen. Konsolidieren wir diese Regel, indem wir ein weiteres Beispiel lösen.

Wir haben uns die Regel zum Zuweisen eines gemeinsamen Faktors für ganzzahlige Koeffizienten angesehen und kommen nun zum Buchstabenteil. Zuerst suchen wir nach den Buchstaben, die in allen Monomen vorkommen, und bestimmen dann den höchsten Grad des Buchstabens, der in allen Monomen vorkommt: .

In diesem Beispiel gab es nur eine gemeinsame Buchstabenvariable, es können aber auch mehrere sein, wie im folgenden Beispiel:

Verkomplizieren wir das Beispiel, indem wir die Anzahl der Monome erhöhen:

Nachdem wir den gemeinsamen Faktor herausgenommen hatten, haben wir umgerechnet algebraische Summe in die Arbeit.

Wir haben uns die Subtraktionsregeln für ganzzahlige Koeffizienten und Buchstabenvariablen separat angesehen, aber meistens müssen Sie sie zusammen anwenden, um das Beispiel zu lösen. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Manchmal kann es schwierig sein zu bestimmen, welcher Ausdruck in Klammern steht. Schauen wir uns einen einfachen Trick an, mit dem Sie dieses Problem schnell lösen können.

Der gemeinsame Faktor kann auch der gewünschte Wert sein:

Der gemeinsame Faktor kann nicht nur eine Zahl oder ein Monom sein, sondern auch ein beliebiger Ausdruck, wie beispielsweise in der folgenden Gleichung.