Positive Tangentensteigung. So ermitteln Sie die Steigung einer Gleichung. Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Der Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig S = t 4 +2t (S - in Metern, T- in Sekunden). Finden Sie die durchschnittliche Beschleunigung im Intervall zwischen den Momenten t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, sowie seine wahre Beschleunigung im Moment T 3 = 6 s.

Lösung.

1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Punktes als Ableitung des Weges S nach der Zeit T, diese.

2. Ersetzen wir anstelle von t seine Werte t 1 = 5 s und t 2 = 7 s, finden wir die Geschwindigkeiten:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Bestimmen Sie das Geschwindigkeitsinkrement ΔV für die Zeit Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Somit ist die durchschnittliche Beschleunigung des Punktes gleich

5. Bestimmen wahre Bedeutung Beschleunigung eines Punktes, wir bilden die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

6. Stattdessen ersetzen T Wert t 3 = 6 s, wir erhalten zu diesem Zeitpunkt Beschleunigung

av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Krummlinige Bewegung. Bei krummlinige Bewegung Die Geschwindigkeit eines Punktes ändert sich in Größe und Richtung.

Stellen wir uns einen Punkt vor M, die sich während der Zeit Δt entlang einiger bewegt krummlinige Flugbahn, in Position verschoben M 1(Abb. 6).

Geschwindigkeitsinkrement-(Änderungs-)Vektor ΔV Wille

Für Um den Vektor ΔV zu finden, verschieben Sie den Vektor V 1 zum Punkt M und konstruiere ein Geschwindigkeitsdreieck. Bestimmen wir den Vektor der durchschnittlichen Beschleunigung:

Vektor ein Mi ist parallel zum Vektor ΔV, da der Vektor durch geteilt wird Skalare Größe die Richtung des Vektors ändert sich nicht. Der wahre Beschleunigungsvektor ist die Grenze, bis zu der das Verhältnis des Geschwindigkeitsvektors zum entsprechenden Zeitintervall Δt gegen Null geht, d.h.

Diese Grenze wird Vektorableitung genannt.

Auf diese Weise, Die wahre Beschleunigung eines Punktes während einer krummlinigen Bewegung ist gleich der Vektorableitung nach der Geschwindigkeit.

Aus Abb. 6 ist klar, dass Der Beschleunigungsvektor ist bei krummliniger Bewegung immer auf die Konkavität der Flugbahn gerichtet.

Zur Vereinfachung der Berechnungen wird die Beschleunigung in zwei Komponenten der Bewegungsbahn zerlegt: entlang einer Tangente, die als Tangentialbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung) bezeichnet wird A, und entlang der Normalen, genannt Normalbeschleunigung a n (Abb. 7).

In diesem Fall ist die Gesamtbeschleunigung gleich

Die Tangentialbeschleunigung stimmt in ihrer Richtung mit der Geschwindigkeit des Punktes überein oder ist ihr entgegengesetzt. Sie charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung und wird entsprechend durch die Formel bestimmt

Die Normalbeschleunigung verläuft senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit des Punktes und numerischer Wert es wird durch die Formel bestimmt

wo r - Krümmungsradius der Flugbahn am betrachteten Punkt.

Da Tangential- und Normalbeschleunigung senkrecht zueinander stehen, ergibt sich daher der Wert volle Beschleunigung durch die Formel bestimmt

und seine Richtung

Wenn , dann sind die Tangentialbeschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren in eine Richtung gerichtet und die Bewegung wird beschleunigt.

Wenn , dann ist der Tangentialbeschleunigungsvektor zur Seite gerichtet, entgegengesetzt zum Vektor Geschwindigkeit und die Bewegung wird langsam sein.

Vektor normale Beschleunigung immer auf den Krümmungsmittelpunkt gerichtet, weshalb man es zentripetal nennt.

Anweisungen

Wir definieren Neigung Tangente an die Kurve im Punkt M.
Die Kurve, die den Graphen der Funktion y = f(x) darstellt, ist in einer bestimmten Umgebung des Punktes M (einschließlich des Punktes M selbst) stetig.

Existiert der Wert f‘(x0) nicht, dann gibt es entweder keine Tangente oder sie verläuft vertikal. Vor diesem Hintergrund ist das Vorhandensein einer Ableitung der Funktion am Punkt x0 auf das Vorhandensein einer nicht vertikalen Tangente tangential zum Graphen der Funktion am Punkt (x0, f(x0)) zurückzuführen. In diesem Fall ist der Winkelkoeffizient der Tangente gleich f "(x0). Somit wird es klar geometrische Bedeutung Ableitung – Berechnung der Steigung der Tangente.

Finden Sie den Abszissenwert des Tangentenpunkts, der mit dem Buchstaben „a“ bezeichnet wird. Wenn es mit einem bestimmten Tangentenpunkt zusammenfällt, ist „a“ seine x-Koordinate. Bestimmen Sie den Wert Funktionen f(a) durch Einsetzen in die Gleichung Funktionen Abszissenwert.

Bestimmen Sie die erste Ableitung der Gleichung Funktionen f’(x) und setze darin den Wert des Punktes „a“ ein.

Nehmen allgemeine Gleichung Tangente, die definiert ist als y = f(a) = f (a)(x – a), und ersetzen Sie die gefundenen Werte von a, f(a), f "(a) darin. Als Ergebnis, Die Lösung des Graphen und der Tangente wird gefunden.

Lösen Sie das Problem auf andere Weise, wenn der gegebene Tangentenpunkt nicht mit dem Tangentenpunkt übereinstimmt. In diesem Fall ist es notwendig, „a“ anstelle von Zahlen in der Tangensgleichung einzusetzen. Ersetzen Sie anschließend anstelle der Buchstaben „x“ und „y“ den Koordinatenwert angegebenen Punkt. Lösen Sie die resultierende Gleichung, in der „a“ die Unbekannte ist. Setzen Sie den resultierenden Wert in die Tangentengleichung ein.

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Tangente mit dem Buchstaben „a“, wenn die Problemstellung die Gleichung angibt Funktionen und Gleichung Parallele relativ zur gewünschten Tangente. Danach benötigen wir die Ableitung Funktionen, zur Koordinate am Punkt „a“. Setzen Sie den entsprechenden Wert in die Tangentengleichung ein und lösen Sie die Funktion.

Tangente ist eine Gerade, die durch einen Punkt auf der Kurve verläuft und an diesem Punkt bis zur ersten Ordnung mit diesem zusammenfällt (Abb. 1).

Eine andere Definition: Dies ist die Grenzposition der Sekante bei Δ X→0.

Erläuterung: Nehmen Sie eine gerade Linie, die die Kurve in zwei Punkten schneidet: A Und B(siehe Bild). Das ist eine Sekante. Wir werden es im Uhrzeigersinn drehen, bis es nur noch eines hat gemeinsamer Punkt mit einer Kurve. Dadurch erhalten wir eine Tangente.

Strikte Definition der Tangente:

Tangente an den Graphen einer Funktion F, am Punkt differenzierbar XÖ, ist eine gerade Linie, die durch den Punkt ( XÖ; F(XÖ)) und mit einer Steigung F′( XÖ).

Der Hang hat die Form einer Geraden y =kx +B. Koeffizient k und ist Neigung diese gerade Linie.

Die Steigung ist gleich der Tangente spitzer Winkel, gebildet durch diese Gerade mit der Abszissenachse:

k = tan α

Dabei ist Winkel α der Winkel zwischen der Geraden y =kx +B und positive (d. h. gegen den Uhrzeigersinn) Richtung der x-Achse. Es wird genannt Neigungswinkel einer Geraden(Abb. 1 und 2).

Wenn der Neigungswinkel gerade ist y =kx +B akut, dann ist die Steigung eine positive Zahl. Die Grafik nimmt zu (Abb. 1).

Wenn der Neigungswinkel gerade ist y =kx +B stumpf ist, dann ist die Steigung negative Zahl. Die Grafik nimmt ab (Abb. 2).

Wenn eine Gerade parallel zur x-Achse verläuft, beträgt der Neigungswinkel der Geraden gleich Null. In diesem Fall ist die Steigung der Geraden ebenfalls Null (da der Tangens von Null Null ist). Die Gleichung der Geraden sieht wie folgt aus: y = b (Abb. 3).

Wenn der Neigungswinkel einer Geraden 90° (π/2) beträgt, also senkrecht zur Abszissenachse steht, dann ist die Gerade durch die Gleichheit gegeben x =C, Wo C– eine reelle Zahl (Abb. 4).

Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktionj = F(X) am Punkt XÖ:

Beispiel: Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 am Punkt mit Abszisse 2.

Lösung .

Wir folgen dem Algorithmus.

1) Berührungspunkt XÖ ist gleich 2. Berechnen Sie F(XÖ):

F(XÖ) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Finden F′( X). Dazu wenden wir die Differenzierungsformeln aus an Vorherige Sektion. Nach diesen Formeln gilt X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Bedeutet:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Verwenden Sie nun den resultierenden Wert F′( X), Berechnung F′( XÖ):

F′( XÖ) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Wir haben also alle notwendigen Daten: XÖ = 2, F(XÖ) = 1, F ′( XÖ) = 4. Setze diese Zahlen in die Tangentengleichung ein und finde die endgültige Lösung:

y = F(XÖ) + F′( XÖ) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Antwort: y = 4x – 7.

Eine Tangente ist eine Gerade , der den Graphen der Funktion in einem Punkt berührt und dessen Punkte alle den kürzesten Abstand vom Graphen der Funktion haben. Daher verläuft die Tangente tangential zum Graphen der Funktion darunter bestimmten Winkel und mehrere Tangenten unter der Tangente können den Berührungspunkt nicht passieren verschiedene Winkel. Tangentengleichungen und Normalgleichungen an den Graphen einer Funktion werden mithilfe der Ableitung konstruiert.

Die Tangentengleichung wird aus der Geradengleichung abgeleitet .

Lassen Sie uns die Tangentengleichung und dann die Normalengleichung zum Funktionsgraphen herleiten.

j = kx + B .

In ihm k- Winkelkoeffizient.

Von hier aus erhalten wir folgenden Eintrag:

j - j 0 = k(X - X 0 ) .

Abgeleiteter Wert F "(X 0 ) Funktionen j = F(X) am Punkt X0 gleich der Steigung k= tg φ Tangente an den Graphen einer durch einen Punkt gezeichneten Funktion M0 (X 0 , j 0 ) , Wo j0 = F(X 0 ) . Das ist geometrische Bedeutung der Ableitung .

Somit können wir ersetzen k An F "(X 0 ) und erhalten Sie Folgendes Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion :

j - j 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

Bei Problemen, bei denen es darum geht, die Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion zusammenzustellen (und wir werden uns gleich mit ihnen befassen), müssen Sie das Ergebnis auf den Punkt bringen obige Formel Gleichung zu Gleichung einer Geraden in allgemeiner Form. Dazu müssen Sie alle Buchstaben und Zahlen auf die linke Seite der Gleichung verschieben und auf der rechten Seite Null belassen.

Nun zur Normalgleichung. Normal - Dies ist eine Gerade, die durch den Tangentialpunkt zum Funktionsgraphen senkrecht zur Tangente verläuft. Normale Gleichung :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(j - j 0 ) = 0

Zum Aufwärmen werden Sie gebeten, das erste Beispiel selbst zu lösen und sich dann die Lösung anzusehen. Es gibt allen Grund zur Hoffnung, dass diese Aufgabe für unsere Leser keine „kalte Dusche“ sein wird.

Beispiel 0. Erstellen Sie eine Tangentengleichung und eine Normalgleichung für den Graphen einer Funktion an einem Punkt M (1, 1) .

Beispiel 1. Schreiben Sie eine Tangentengleichung und eine Normalgleichung für den Graphen einer Funktion , wenn die Abszisse tangential ist.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Jetzt haben wir alles, was in den Eintrag in der theoretischen Hilfe eingesetzt werden muss, um die Tangensgleichung zu erhalten. Wir bekommen

In diesem Beispiel hatten wir Glück: Die Steigung war Null, sodass es nicht nötig war, die Gleichung separat auf ihre allgemeine Form zu reduzieren. Jetzt können wir die Normalgleichung erstellen:

In der Abbildung unten: Graph einer Funktion weinrote Farbe, Tangente Grüne Farbe, orange normal.

Das nächste Beispiel ist ebenfalls nicht kompliziert: Die Funktion ist wie im vorherigen auch ein Polynom, aber die Steigung wird nicht gleich Null sein, daher wird ein weiterer Schritt hinzugefügt, um die Gleichung in eine allgemeine Form zu bringen.

Beispiel 2.

Lösung. Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts:

Finden wir die Ableitung der Funktion:

.

Ermitteln wir den Wert der Ableitung am Tangentialpunkt, also die Steigung der Tangente:

Wir setzen alle erhaltenen Daten in die „leere Formel“ ein und erhalten die Tangensgleichung:

Wir bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form (wir sammeln auf der linken Seite alle Buchstaben und Zahlen außer Null und lassen auf der rechten Seite Null):

Wir stellen die Normalgleichung auf:

Beispiel 3. Schreiben Sie die Tangentengleichung und die Normalengleichung an den Funktionsgraphen, wenn die Abszisse der Tangentenpunkt ist.

Lösung. Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts:

Finden wir die Ableitung der Funktion:

.

Ermitteln wir den Wert der Ableitung am Tangentialpunkt, also die Steigung der Tangente:

.

Wir finden die Tangentengleichung:

Bevor Sie die Gleichung in ihre allgemeine Form bringen, müssen Sie sie ein wenig „kämmen“: Multiplizieren Sie Term für Term mit 4. Wir tun dies und bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

Wir stellen die Normalgleichung auf:

Beispiel 4. Schreiben Sie die Tangentengleichung und die Normalengleichung an den Funktionsgraphen, wenn die Abszisse der Tangentenpunkt ist.

Lösung. Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts:

.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Ermitteln wir den Wert der Ableitung am Tangentialpunkt, also die Steigung der Tangente:

.

Wir erhalten die Tangentengleichung:

Wir bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

Wir stellen die Normalgleichung auf:

Ein häufiger Fehler beim Schreiben von Tangenten- und Normalengleichungen besteht darin, nicht zu bemerken, dass die im Beispiel angegebene Funktion komplex ist, und ihre Ableitung als Ableitung einer einfachen Funktion zu berechnen. Die folgenden Beispiele- schon seitdem komplexe Funktionen(Die entsprechende Lektion öffnet sich in einem neuen Fenster).

Beispiel 5. Schreiben Sie die Tangentengleichung und die Normalengleichung an den Funktionsgraphen, wenn die Abszisse der Tangentenpunkt ist.

Lösung. Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts:

Aufmerksamkeit! Diese Funktion- komplex, da das Tangentenargument (2 X) ist selbst eine Funktion. Daher finden wir die Ableitung einer Funktion als Ableitung einer komplexen Funktion.

In der Mathematik einer der Parameter, der die Position einer Geraden beschreibt Kartesisches Flugzeug Koordinaten ist die Steigung dieser Linie. Dieser Parameter charakterisiert die Steigung der Geraden zur Abszissenachse. Um zu verstehen, wie man die Steigung ermittelt, erinnern Sie sich zunächst an die allgemeine Form der Gleichung einer geraden Linie im XY-Koordinatensystem.

IN Gesamtansicht Jede gerade Linie kann durch den Ausdruck ax+by=c dargestellt werden, wobei a, b und c beliebig sind reale Nummern, aber notwendigerweise a 2 + b 2 ≠ 0.

Mithilfe einfacher Transformationen kann eine solche Gleichung in die Form y=kx+d gebracht werden, wobei k und d reelle Zahlen sind. Die Zahl k ist die Steigung, und die Gleichung einer Geraden dieses Typs wird als Gleichung mit Steigung bezeichnet. Es stellt sich heraus, dass Sie zum Ermitteln der Steigung lediglich die ursprüngliche Gleichung auf die oben angegebene Form reduzieren müssen. Für mehr volles Verständnis Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an:

Problem: Finden Sie die Steigung der Geraden, die durch die Gleichung 36x - 18y = 108 gegeben ist

Lösung: Lassen Sie uns die ursprüngliche Gleichung umwandeln.

Antwort: Die erforderliche Steigung dieser Linie beträgt 2.

Wenn wir bei der Transformation der Gleichung einen Ausdruck wie x = const erhalten haben und wir daher y nicht als Funktion von x darstellen können, dann haben wir es mit einer Geraden parallel zur X-Achse zu tun. Der Winkelkoeffizient davon eine gerade Linie gleich unendlich.

Für Linien, die durch eine Gleichung wie y = const ausgedrückt werden, ist die Steigung Null. Dies ist typisch für Geraden parallel zur Abszissenachse. Zum Beispiel:

Problem: Finden Sie die Steigung der Geraden, die durch die Gleichung 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 gegeben ist

Lösung: Bringen wir die ursprüngliche Gleichung in ihre allgemeine Form

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es ist unmöglich, y aus dem resultierenden Ausdruck auszudrücken, daher ist der Winkelkoeffizient dieser Linie gleich unendlich und die Linie selbst verläuft parallel zur Y-Achse.

Geometrische Bedeutung

Für besseres Verstehen Schauen wir uns das Bild an:

In der Abbildung sehen wir einen Graphen einer Funktion wie y = kx. Nehmen wir zur Vereinfachung den Koeffizienten c = 0. Im Dreieck OAB ist das Verhältnis der Seiten BA zu AO gleich dem Winkelkoeffizienten k. Gleichzeitig ist das Verhältnis VA/AO der Tangens des spitzen Winkels α in rechtwinkliges Dreieck OAV. Es stellt sich heraus, dass der Winkelkoeffizient der Geraden gleich dem Tangens des Winkels ist, den diese Gerade mit der Abszissenachse des Koordinatengitters bildet.

Um das Problem zu lösen, wie man den Winkelkoeffizienten einer Geraden ermittelt, ermitteln wir den Tangens des Winkels zwischen dieser und der X-Achse des Koordinatengitters. Grenzfälle, in denen die betreffende Linie parallel zu den Koordinatenachsen verläuft, bestätigen das oben Gesagte. Tatsächlich ist für eine gerade Linie, die durch die Gleichung y=const beschrieben wird, der Winkel zwischen ihr und der Abszissenachse Null. Der Tangens des Nullwinkels ist ebenfalls Null und die Steigung ist ebenfalls Null.

Für gerade Linien senkrecht zur x-Achse, die durch die Gleichung x=const beschrieben werden, beträgt der Winkel zwischen ihnen und der x-Achse 90 Grad. Tangente rechter Winkel ist gleich unendlich, und der Winkelkoeffizient ähnlicher Geraden ist ebenfalls gleich unendlich, was das oben Geschriebene bestätigt.

Tangentensteigung

Eine in der Praxis häufig anzutreffende Aufgabe besteht auch darin, die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu ermitteln. Eine Tangente ist eine Gerade, daher ist der Begriff der Steigung auch auf sie anwendbar.

Um herauszufinden, wie man die Steigung einer Tangente ermittelt, müssen wir uns an das Konzept der Ableitung erinnern. Die Ableitung jeder Funktion ist an einem bestimmten Punkt numerisch eine Konstante gleich Tangente der Winkel, der zwischen der Tangente an einem bestimmten Punkt an den Graphen dieser Funktion und der Abszissenachse gebildet wird. Es stellt sich heraus, dass wir zur Bestimmung des Winkelkoeffizienten der Tangente am Punkt x 0 den Wert der Ableitung der ursprünglichen Funktion an diesem Punkt berechnen müssen k = f"(x 0). Schauen wir uns das Beispiel an:

Problem: Finden Sie die Steigung der Tangente an die Funktion y = 12x 2 + 2xe x bei x = 0,1.

Lösung: Finden Sie die Ableitung der Originalfunktion in allgemeiner Form

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Antwort: Die erforderliche Steigung am Punkt x = 0,1 beträgt 4,831