Eine Linie, die gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms schneidet, teilt. Definition eines Parallelogramms und seiner Eigenschaften. Gegenüberliegende Winkel sind identisch

Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegende Seiten parallel (Abb. 36).

Hier AD || BC. Parallele Seiten werden die Basen des Trapezes genannt, und die anderen beiden (AB und CD) werden die Seiten genannt. Der Abstand zwischen den Basen (BM) ist die Höhe. Das Segment EF, das die Mittelpunkte E und F der Seiten verbindet, wird Mittellinie des Trapezes genannt. Mittellinie Trapez ist gleich der halben Summe der Basen:

und parallel dazu: EF || AD und EF || BC.

Ein Trapez mit gleichen Seiten (AB = CD) wird als gleichschenkliges Trapez bezeichnet. Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel an jeder Basis gleich (A = D, B = C).

Parallelogramm(ABCD, Abb.32) ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Jeweils zwei gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms werden als seine Basen bezeichnet, und der Abstand zwischen ihnen wird als seine Höhe bezeichnet (BE, Abb. 32).

Parallelogrammeigenschaften.


1. Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind gleich (AB = CD, AD = BC).

2. Gegenüberliegende Ecken Parallelogramme sind gleich (A=C, B=D).
Die Summe der Winkel eines an einer Seite angrenzenden Parallelogramms beträgt 180°. Zum Beispiel A+B=180°.

3. Die Diagonalen des Parallelogramms werden an ihrem Schnittpunkt halbiert (AO = OC, BO = OD).
4. Jede Diagonale eines Parallelogramms teilt es in zwei Teile gleiches Dreieck. ∆ABD=∆BCD.

5. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe seiner Quadrate vier Seiten: AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².

Merkmale eines Parallelogramms.
Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen zutrifft:
1. Gegenüberliegende Seiten sind paarweise gleich (AB = CD, AD = BC).
2. Gegenüberliegende Winkel sind paarweise gleich (A = C, B = D).
3. Zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich und parallel (AB = CD, AB || CD).
4. Die Diagonalen werden an ihrem Schnittpunkt halbiert (AO = OC, BO = OD).

Eine flache Figur, die aus einer geschlossenen Kette von Segmenten besteht, wird als Polygon bezeichnet. Abhängig von der Anzahl der Ecken kann ein Polygon ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, Sechseck usw. sein. Abbildung 17 zeigt das Sechseck ABCDEF.

Die Punkte A, B, C, D, E, F sind die Eckpunkte des Polygons; Winkel A , B , C , D, E , F - Ecken des Polygons; Segmente AC, AD, BE usw. - Diagonalen; AB, BC, CD, DE, EF, FA - Polygonseiten; Die Summe der Längen der Seiten AB + BC + ... + FA wird als Umfang bezeichnet und mit p bezeichnet (manchmal mit - 2p bezeichnet, dann ist p der Halbumfang). BEI elementare Geometrie Es werden nur einfache Polygone betrachtet, deren Konturen keine Selbstüberschneidungen aufweisen, wie in Fig. 18 gezeigt. Liegen alle Diagonalen innerhalb des Vielecks, heißt es konvex. Das Sechseck in Abb. 17 ist konvex; Das Fünfeck ABCDE in Abb. 19 ist nicht konvex, da seine Diagonale AD außen liegt. Summe innere Ecken konvexes Vieleck gleich 180º (n - 2), wobei n die Anzahl der Ecken (oder Seiten) des Polygons ist.

Nachweisen

Lassen Sie uns zuerst die Diagonale AC zeichnen. Es werden zwei Dreiecke erhalten: ABC und ADC.

Da ABCD ein Parallelogramm ist, gilt:

ANZEIGE || BC \Rightarrow \Winkel 1 = \Winkel 2 wie quer liegen.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 wie quer liegen.

Daher ist \triangle ABC = \triangle ADC (nach dem zweiten Merkmal: und AC ist üblich).

Und daher ist \triangle ABC = \triangle ADC , dann AB = CD und AD = BC .

Bewährt!

2. Gegenüberliegende Winkel sind identisch.

Nachweisen

Laut Beweis Eigenschaften 1 Wir wissen das \Winkel 1 = \Winkel 2, \Winkel 3 = \Winkel 4. Die Summe der gegenüberliegenden Winkel ist also: \Winkel 1 + \Winkel 3 = \Winkel 2 + \Winkel 4. Unter Berücksichtigung von \triangle ABC = \triangle ADC erhalten wir \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Bewährt!

3. Die Diagonalen werden durch den Schnittpunkt halbiert.

Nachweisen

Lassen Sie uns eine weitere Diagonale zeichnen.

Durch Eigentum 1 Wir wissen, dass gegenüberliegende Seiten identisch sind: AB = CD . Wir bemerken noch einmal die kreuzweise liegenden gleichen Winkel.

Somit kann man sehen, dass \triangle AOB = \triangle COD durch das zweite Gleichheitszeichen von Dreiecken (zwei Winkel und eine Seite dazwischen) ist. Das heißt, BO = OD (gegenüber \angle 2 und \angle 1 ) und AO = OC (gegenüber \angle 3 bzw. \angle 4).

Bewährt!

Merkmale des Parallelogramms

Wenn in Ihrem Problem nur ein Zeichen vorhanden ist, dann ist die Figur ein Parallelogramm und Sie können alle Eigenschaften dieser Figur verwenden.

Zum besseres Gedächtnis, beachten Sie, dass das Vorzeichen eines Parallelogramms die folgende Frage beantwortet − "wie finde ich das heraus?". Das heißt, woher weißt du was angegebene Figur Es ist ein Parallelogramm.

1. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen zwei Seiten gleich und parallel sind.

AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD ist ein Parallelogramm.

Nachweisen

Lassen Sie uns genauer betrachten. Warum AD || BC?

\triangle ABC = \triangle ADC durch Eigentum 1: AB = CD , AC ist gemeinsam und \angle 1 = \angle 2 als kreuzweise mit AB und CD parallel und sekante AC .

Aber wenn \triangle ABC = \triangle ADC , dann ist \angle 3 = \angle 4 (sie liegen AB bzw. CD gegenüber). Und deshalb AD || BC (\angle 3 und \angle 4 - querliegend sind ebenfalls gleich).

Das erste Zeichen ist richtig.

2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten gleich sind.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD ist ein Parallelogramm.

Nachweisen

Betrachten wir diese Funktion. Zeichnen wir noch einmal die Diagonale AC.

Durch Eigentum 1\triangle ABC = \triangle ACD .

Es folgt dem: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC und \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, das heißt, ABCD ist ein Parallelogramm.

Das zweite Zeichen ist richtig.

3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Winkel gleich sind.

\Winkel A = \Winkel C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- Parallelogramm.

Nachweisen

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(weil ABCD ein Viereck ist und \angle A = \angle C , \angle B = \angle D per Konvention).

Also \alpha + \beta = 180^(\circ) . Aber \alpha und \beta sind bei der Sekante AB intern einseitig.

Und die Tatsache, dass \alpha + \beta = 180^(\circ) bedeutet, bedeutet auch, dass AD || BC.

Gleichzeitig sind \alpha und \beta intern einseitig mit einer Sekante AD . Und das bedeutet AB || CD.

Das dritte Zeichen ist richtig.

4. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen Diagonalen durch den Schnittpunkt halbiert werden.

AO=OC; BO = OD \Rightarrow Parallelogramm.

Nachweisen

BO=OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 als vertikal \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \Winkel 3 = \Winkel 4, und \Rightarrow AB || CD.

Ebenso BO = OD ; AO=OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, und \Rightarrow AD || BC.

Das vierte Zeichen ist richtig.

1. Definition eines Parallelogramms.

Wenn wir ein Paar paralleler Linien mit einem anderen Paar paralleler Linien schneiden, erhalten wir ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

In den Vierecken ABDC und EFNM (Abb. 224) BD || AC und AB || CD;

EF || MN und EM || F.N.

Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind, heißt Parallelogramm.

2. Eigenschaften eines Parallelogramms.

Satz. Die Diagonale eines Parallelogramms teilt es in zwei gleiche Dreiecke.

Es gebe ein Parallelogramm ABDC (Abb. 225), in dem AB || CD und Wechselstrom || BD.

Es muss gezeigt werden, dass die Diagonale sie in zwei gleiche Dreiecke teilt.

Lassen Sie uns eine Diagonale CB in das Parallelogramm ABDC zeichnen. Beweisen wir, dass \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Die NE-Seite ist diesen Dreiecken gemeinsam; ∠ABC = ∠BCD, als innere kreuzende Winkel mit Parallelen AB und CD und Sekante CB; ∠ACB = ∠CBD, wie bei kreuzenden Innenwinkeln mit parallelen AC und BD und Sekanten CB.

Also \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Ebenso kann man beweisen, dass die Diagonale AD das Parallelogramm in zwei gleiche Dreiecke ACD und ABD teilt.

Konsequenzen:

1 . Gegenüberliegende Winkel eines Parallelogramms sind gleich.

∠A = ∠D, dies folgt aus der Gleichheit der Dreiecke CAB und CDB.

Ebenso gilt ∠C = ∠B.

2. Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind gleich.

AB \u003d CD und AC \u003d BD, da dies Seiten gleicher Dreiecke sind und sich gegenüberliegen gleiche Winkel.

Satz 2. Die Diagonalen eines Parallelogramms werden an ihrem Schnittpunkt halbiert.

Seien BC und AD die Diagonalen des Parallelogramms ABDC (Abb. 226). Lassen Sie uns beweisen, dass AO = OD und CO = OB.

Vergleichen wir dazu ein paar entgegengesetzte Dreiecke, zum Beispiel \(\Delta\)AOB und \(\Delta\)COD.

In diesen Dreiecken ist AB = CD als gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms;

∠1 = ∠2, als Innenwinkel kreuzweise liegend bei Parallele AB und CD und Sekante AD;

∠3 = ∠4 aus demselben Grund, da AB || CD und CB sind ihre Sekanten.

Daraus folgt, dass \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)COD. Und in gleichen Dreiecken liegen gleiche Winkel gegenüber gleiche Seiten. Daher ist AO = OD und CO = OB.

Satz 3. Die Summe der an eine Seite des Parallelogramms angrenzenden Winkel ist gleich 180°.

Zeichne eine Diagonale AC in das Parallelogramm ABCD und erhalte zwei Dreiecke ABC und ADC.

Die Dreiecke sind kongruent, weil ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (sich kreuzende Winkel an parallelen Linien) und die Seite AC gemeinsam ist.
Die Gleichheit \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC impliziert, dass AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Die Summe der an einer Seite angrenzenden Winkel, beispielsweise Winkel A und D, ist gleich 180° wie einseitig bei parallelen Geraden.

Definition

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Satz (das erste Zeichen eines Parallelogramms)

Wenn zwei Seiten eines Vierecks gleich und parallel sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

Nachweisen

Die Seiten \(AB\) und \(CD\) des Vierecks \(ABCD\) seien parallel und \(AB = CD\) .

Zeichne eine Diagonale \(AC\), die das gegebene Viereck in zwei gleiche Dreiecke teilt: \(ABC\) und \(CDA\) . Diese Dreiecke sind in zwei Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen (\(AC\) - gemeinsame Seite, \(AB = CD\) nach Annahme, \(\angle 1 = \angle 2\) als sich kreuzende Winkel am Schnittpunkt der Parallelen \(AB\) und \(CD\) der Sekante \(AC \) ), also \(\angle 3 = \angle 4\) . Aber die Winkel \(3\) und \(4\) liegen kreuzweise im Schnittpunkt der Geraden \(AD\) und \(BC\) der Sekante \(AC\) , also \(AD\parallel BC\) . Somit sind im Viereck \(ABCD\) die gegenüberliegenden Seiten paarweise parallel, und daher ist das Viereck \(ABCD\) ein Parallelogramm.

Satz (zweites Merkmal eines Parallelogramms)

Wenn die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise gleich sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

Nachweisen

Zeichne die Diagonale \(AC\) gegebenes Viereck\(ABCD\) und teilt es in die Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\) .

Diese Dreiecke sind an drei Seiten gleich (\(AC\) ist üblich, \(AB = CD\) und \(BC = DA\) nach Annahme), also liegen \(\angle 1 = \angle 2\) über Kreuz bei \(AB\) und \(CD\) und der Sekante \(AC\) . Daraus folgt, dass \(AB\parallele CD\) . Da \(AB = CD\) und \(AB\parallel CD\) , ist das Viereck \(ABCD\) nach dem ersten Kriterium eines Parallelogramms ein Parallelogramm.

Satz (das dritte Zeichen eines Parallelogramms)

Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen schneiden und der Schnittpunkt halbiert wird, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

Nachweisen

Betrachten Sie ein Viereck \(ABCD\), in dem sich die Diagonalen \(AC\) und \(BD\) im Punkt \(O\) schneiden und diesen Punkt halbieren.

Die Dreiecke \(AOB\) und \(COD\) sind gleich im ersten Dreiecksgleichheitskriterium (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) nach Bedingung, \(\angle AOB = \angle COD\ ) wie vertikale Winkel), also \(AB = CD\) und \(\angle 1 = \angle 2\) . Aus der Gleichheit der Winkel \(1\) und \(2\) (überkreuz bei \(AB\) und \(CD\) und der Sekante \(AC\) ) folgt, dass \(AB\parallel CD\) .

Im Viereck \(ABCD\) sind also die Seiten \(AB\) und \(CD\) gleich und parallel, was bedeutet, dass das Viereck \(ABCD\) nach dem ersten Zeichen eines Parallelogramms a ist Parallelogramm.

Parallelogrammeigenschaften:

1. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich und gegenüberliegende Winkel gleich.

2. Die Diagonalen des Parallelogramms werden durch den Schnittpunkt halbiert.

Eigenschaften der Winkelhalbierenden eines Parallelogramms:

1. Die Winkelhalbierende eines Parallelogramms schneidet ein gleichschenkliges Dreieck davon ab.

2. Winkelhalbierende angrenzende Ecken Parallelogramme schneiden sich im rechten Winkel.

3. Winkelhalbierende Segmente mit entgegengesetzten Winkeln sind gleich und parallel.

Nachweisen

1) Sei \(ABCD\) ein Parallelogramm, \(AE\) die Winkelhalbierende des Winkels \(BAD\) .

Die Winkel \(1\) und \(2\) sind gleich, da sie über den Parallelen \(AD\) und \(BC\) und der Sekante \(AE\) liegen. Die Winkel \(1\) und \(3\) sind gleich, weil \(AE\) eine Winkelhalbierende ist. Zusammenfassend \(\Winkel 3 = \Winkel 1 = \Winkel 2\), woraus folgt, dass das Dreieck \(ABE\) gleichschenklig ist.

2) Sei \(ABCD\) ein Parallelogramm, \(AN\) und \(BM\) seien die Winkelhalbierenden der Winkel \(BAD\) bzw. \(ABC\).

Da die Summe der einseitigen Winkel an Parallelen und einer Sekante \(180^(\circ)\) ist, dann \(\angle DAB + \angle ABC = 180^(\circ)\).

Da also \(AN\) und \(BM\) Winkelhalbierende sind \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), wo \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\).

3. Seien \(AN\) und \(CM\) die Winkelhalbierenden des Parallelogramms \(ABCD\) .

Da gegenüberliegende Winkel in einem Parallelogramm gleich sind, \(\Winkel 2 = 0,5\cdot\Winkel BAD = 0,5\cdot\Winkel BCD = \Winkel 1\). Außerdem sind die Winkel \(1\) und \(3\) gleich, als ob sie über parallelen Linien \(AD\) und \(BC\) und der Sekante \(CM\) liegen würden, dann \(\angle 2 = \angle 3\) , was bedeutet, dass \(AN\parallel CM\) . Auch \(AM\parallel CN\) , dann ist \(ANCM\) ein Parallelogramm, also \(AN = CM\) .