Stellen Sie das Polynom 8p in Standardform dar. Online-Rechner. Polynome vereinfachen. Was bedeutet es, ein Polynom auf die Standardform zu reduzieren?

Eine Lösung mathematische Probleme lässt dich finden Schnittpunkt und Vereinigung Zahlensätze . Wir haben uns bereits mit der akzeptierten Notation für Zahlenmengen vertraut gemacht und werden in diesem Artikel sorgfältig und anhand von Beispielen verstehen, wie man den Schnittpunkt und die Vereinigung von Zahlenmengen findet. Diese Fähigkeiten werden dabei insbesondere von Nutzen sein Lösungen für Ungleichheiten mit einer Variablen und deren Systeme.

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Die einfachsten Fälle

Im einfachsten Fall meinen wir das Finden des Schnittpunkts und der Vereinigung numerischer Mengen, bei denen es sich um eine Menge einzelner Zahlen handelt. In diesen Fällen reicht die Verwendung aus Definitionen von Schnittmenge und Vereinigung von Mengen.

Wir möchten Sie daran erinnern

Definition.

Vereinigung Zwei Mengen sind eine Menge, von der jedes Element ein Element einer der ursprünglichen Mengen ist, und Überschneidung Sets ist ein Set, das aus allen gemeinsamen Elementen der Originalsets besteht.

Aus diesen Definitionen ist es leicht zu ermitteln Regeln befolgen Finden des Schnittpunktes und der Vereinigung von Mengen:

• Um eine Vereinigung zweier numerischer Mengen zu bilden, die enthalten letzte Zahl Elemente müssen Sie alle Elemente einer Menge aufschreiben und ihnen die fehlenden Elemente der zweiten hinzufügen.
• Um einen Schnittpunkt zweier Zahlenmengen zu erstellen, müssen Sie nacheinander die Elemente des ersten Satzes nehmen und prüfen, ob sie zum zweiten Satz gehören.

Tatsächlich besteht die durch die erste Regel erhaltene Menge aus allen Elementen, die zu mindestens einer der ursprünglichen Mengen gehören, und ist daher per Definition eine Vereinigung dieser Mengen. Und das nach der zweiten Regel zusammengestellte Set enthält alles gemeinsame Elemente der Originalmengen, also der Schnittpunkt der Originalmengen.

Schauen wir uns an konkrete Beispiele Anwendung der angegebenen Regeln, um den Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen zu finden.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssen die Vereinigung der Zahlenmengen A=(3, 5, 7, 12) und B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) finden. Wir schreiben beispielsweise alle Elemente der Menge A auf, wir haben 3, 5, 7, 12, und fügen ihnen als Ergebnis die fehlenden Elemente der Menge B hinzu, also 2, 8, 11 und 13 wir haben die Zahlenmenge (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13) . Es schadet nicht, die Elemente der resultierenden Menge zu ordnen. Als Ergebnis erhalten wir die gewünschte Vereinigung: A∪B=(2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).

Finden wir nun den Schnittpunkt zweier Zahlenmengen aus dem vorherigen Beispiel A=(3, 5, 7, 12) und B=(2, 5, 8, 11, 12, 13). Gemäß der Regel gehen wir nacheinander die Elemente der ersten Menge A durch und prüfen, ob sie in Menge B enthalten sind. Wir nehmen das erste Element 3, es gehört nicht zur Menge B, daher wird es kein Element des gewünschten Schnittpunkts sein. Nehmen wir das zweite Element der Menge A, das ist die Zahl 5. Es gehört zur Menge B, also auch zum Durchschnitt der Mengen A und B. So wird das erste Element der gewünschten Kreuzung gefunden – die Zahl 5. Kommen wir zum dritten Element der Menge A, das ist die Zahl 7. Es gehört nicht zu B, was bedeutet, dass es nicht zum Schnittpunkt gehört. Schließlich bleibt das letzte Element der Menge A übrig – die Zahl 12. Es gehört zur Menge B und ist daher auch ein Schnittelement. Der Schnittpunkt der Mengen A=(3, 5, 7, 12) und B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) ist also eine Menge bestehend aus zwei Elementen 5 und 12, also A∩ B =(5, 12) .

Wie Sie bemerkt haben, haben wir oben darüber gesprochen, den Schnittpunkt und die Vereinigung zweier Zahlenmengen zu finden. Was den Schnittpunkt und die Vereinigung der drei und betrifft mehr setzt, dann kann das Finden auf reduziert werden sequentielles Finden Durchschnitt und Vereinigung zweier Mengen. Um beispielsweise den Schnittpunkt der drei Mengen A, B und D zu ermitteln, können Sie zunächst den Schnittpunkt von A und B und dann den Schnittpunkt des resultierenden Ergebnisses mit der Menge D ermitteln. Und nun konkret: Nehmen wir die Zahlenmengen A=(3, 9, 4, 3, 5, 21), B=(2, 7, 9, 21) und D=(7, 9, 1, 3) und finden deren Schnittpunkt. Wir haben A∩B=(9, 21) und der Schnittpunkt der resultierenden Menge mit der Menge D ist (9) . Somit ist A∩B∩D=(9) .

In der Praxis ist es jedoch notwendig, den Schnittpunkt von drei, vier usw. zu finden. Für die einfachsten Zahlenmengen, die aus einer endlichen Anzahl einzelner Zahlen bestehen, ist es zweckmäßig, Regeln zu verwenden, die den oben angegebenen Regeln ähneln.

Um also eine Vereinigung von drei oder mehr Sätzen des angegebenen Typs zu erhalten, müssen wir die fehlenden Zahlen des zweiten Satzes zu den Zahlen des ersten Zahlensatzes addieren, die fehlenden Zahlen des dritten Satzes zu den geschriebenen Zahlen hinzufügen, und so weiter. Um diesen Punkt zu verdeutlichen, nehmen wir die Zahlenmengen A=(1, 2) , B=(2, 3) und D=(1, 3, 4, 5) . Zu den Elementen 1 und 2 der Zahlenmenge A addieren wir die fehlende Zahl 3 der Menge B, wir erhalten 1, 2, 3, und zu diesen Zahlen addieren wir die fehlenden Zahlen 4 und 5 der Menge D, als Ergebnis wir Holen Sie sich die Vereinigung von drei Mengen, die wir brauchen: A∪B∪C= (1, 2, 3, 4, 5) .

Was das Finden des Schnittpunkts von drei, vier usw. angeht. Bei numerischen Mengen, die aus einer endlichen Anzahl einzelner Zahlen bestehen, müssen Sie nacheinander die Zahlen der ersten Menge durchgehen und prüfen, ob die überprüfte Zahl zu jeder der verbleibenden Mengen gehört. Wenn ja, dann ist diese Zahl ein Schnittelement, wenn nicht, dann nicht. An dieser Stelle sei lediglich angemerkt, dass es ratsam ist, als erstes die Menge mit der geringsten Anzahl an Elementen zu nehmen. Nehmen wir als Beispiel vier Zahlenmengen A=(3, 1, 7, 12, 5, 2), B=(1, 0, 2, 12), D=(7, 11, 2, 1, 6) , E =(1, 7, 15, 8, 2, 6) und finden Sie ihren Schnittpunkt. Offensichtlich enthält Menge B die wenigsten Elemente. Um den Schnittpunkt der ursprünglichen vier Mengen zu finden, nehmen wir die Elemente von Menge B und prüfen, ob sie in den verbleibenden Mengen enthalten sind. Wir nehmen also 1, diese Zahl sind Elemente beider Mengen A sowie D und E, also ist dies das erste Element des gewünschten Schnittpunkts. Nehmen wir das zweite Element der Menge B – es ist Null. Diese Zahl ist kein Element der Menge A und daher auch kein Element des Schnittpunktes. Wir prüfen das dritte Element der Menge B – die Zahl 2. Diese Zahl ist ein Element aller anderen Mengen und daher das zweite gefundene Schnittelement. Schließlich bleibt das vierte Element der Menge B übrig. Diese Zahl ist 12, sie ist kein Element der Menge D und daher kein Element der gewünschten Schnittmenge. Als Ergebnis gilt A∩B∩D∩E=(1, 2) .

Die Koordinatenlinie und Zahlenintervalle als Vereinigung ihrer Teile

In unserem Beispiel haben wir Datensätze

UND

für den Durchschnitt bzw. die Vereinigung numerischer Mengen.

Als nächstes wird eine weitere Koordinatenlinie gezeichnet; es ist praktisch, sie unter den vorhandenen zu platzieren. Es wird der gewünschte Schnittpunkt oder die gewünschte Vereinigung angezeigt. Auf dieser Koordinatenlinie sind alle Randpunkte der ursprünglichen Zahlenmengen markiert. In diesem Fall werden diese Punkte zunächst mit Strichen markiert; später, wenn die Art der Punkte mit diesen Koordinaten geklärt ist, werden die Striche durch punktierte oder nicht punktierte Punkte ersetzt. In unserem Fall sind dies Punkte mit den Koordinaten −3 und 7.
Wir haben

Und

Die im vorherigen Schritt des Algorithmus auf der unteren Koordinatenlinie dargestellten Punkte ermöglichen es uns, die Koordinatenlinie als eine Menge zu betrachten numerische Intervalle und Punkte, über die wir gesprochen haben. In unserem Fall betrachten wir die Koordinatenlinie als eine Menge der folgenden fünf numerischen Mengen: (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) .

Und es bleibt nur noch, eine nach der anderen zu prüfen, ob jede der geschriebenen Mengen in der gewünschten Schnittmenge oder Vereinigung enthalten ist. Alle gezogenen Schlussfolgerungen werden Schritt für Schritt auf der unteren Koordinatenlinie markiert: Wenn das Intervall im Schnittpunkt oder der Vereinigung enthalten ist, wird darüber eine Schraffur gezeichnet, wenn der Punkt im Schnittpunkt oder der Vereinigung enthalten ist, dann der Strich, der es bezeichnet durch einen festen Punkt ersetzt, wenn dieser nicht enthalten ist, dann machen wir ihn durchstochen. In diesem Fall sollten folgende Regeln beachtet werden:

• Eine Lücke ist im Schnittpunkt enthalten, wenn sie gleichzeitig in Satz A und Satz B enthalten ist (mit anderen Worten, wenn diese Lücke über den beiden oberen Koordinatenlinien, die den Sätzen A und B entsprechen, schattiert ist);
• Ein Punkt ist im Schnittpunkt enthalten, wenn er gleichzeitig sowohl in Menge A als auch in Menge B enthalten ist (mit anderen Worten, wenn dieser Punkt nicht punktiert ist oder interner Punkt beliebiges Intervall beider Zahlenmengen A und B);
• Ein Intervall ist in der Vereinigung enthalten, wenn es in mindestens einer der Mengen A oder B enthalten ist (mit anderen Worten, wenn über diesem Intervall eine Schraffur über mindestens einer der Koordinatenlinien vorhanden ist, die den Mengen A und B entsprechen). ;
• Ein Punkt ist in der Vereinigung enthalten, wenn er in mindestens einer der Mengen A oder B enthalten ist (mit anderen Worten, wenn dieser Punkt nicht punktiert ist oder ein innerer Punkt eines Intervalls von mindestens einer der Mengen A und B ist). .

Vereinfacht ausgedrückt ist der Schnittpunkt der Zahlenmengen A und B die Vereinigung aller gleichzeitig schraffierten Zahlenintervalle der Mengen A und B und aller Einzelpunkte, die gleichzeitig zu A und B gehören. Und die Vereinigung zweier Zahlenmengen ist die Vereinigung aller Zahlenintervalle, über die mindestens eine der Mengen A oder B eine Schattierung aufweist, sowie aller unpunktierten Einzelpunkte.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Lassen Sie uns die Schnittmenge von Mengen ermitteln. Dazu prüfen wir nacheinander die Mengen (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) . Wir beginnen mit (−∞, −3), der Übersichtlichkeit halber heben wir es in der Zeichnung hervor:

Wir beziehen diese Lücke nicht in den erforderlichen Schnittpunkt ein, da sie weder in A noch in B enthalten ist (über dieser Lücke gibt es keine Schattierung). In diesem Schritt markieren wir also nichts in unserer Zeichnung und sie behält ihr ursprüngliches Aussehen:

Fahren wir mit dem nächsten Satz fort (−3). Die Zahl −3 gehört zur Menge B (dies ist ein nicht punktierter Punkt), gehört aber offensichtlich nicht zur Menge A, also nicht zum gewünschten Schnittpunkt. Daher machen wir auf der unteren Koordinatenlinie einen Punkt mit der punktierten Koordinate −3:

Wir überprüfen den folgenden Satz (−3, 7).

Es ist in Satz B enthalten (oberhalb dieses Intervalls befindet sich eine Schraffur), ist jedoch nicht in Satz A enthalten (oberhalb dieses Intervalls befindet sich keine Schraffur) und wird daher nicht in den Schnittpunkt einbezogen. Daher markieren wir auf der unteren Koordinatenlinie nichts:

Fahren wir mit Satz (7) fort. Er ist in Satz B enthalten (der Punkt mit der Koordinate 7 ist ein innerer Punkt des Intervalls [−3, +∞)), aber nicht in Satz A enthalten (dieser Punkt ist punktiert), sodass er nicht in den gewünschten enthalten ist Überschneidung. Markieren Sie den Punkt mit der Koordinate 7 als durchstochen:

Es bleibt noch das Intervall (7, +∞) zu überprüfen.

Es ist sowohl in Menge A als auch in Menge B enthalten (oberhalb dieser Lücke befindet sich eine Schattierung), daher ist es auch im Schnittpunkt enthalten. Wir schattieren diese Lücke:

Als Ergebnis erhielten wir auf der unteren Koordinatenlinie ein Bild des gewünschten Schnittpunkts der Mengen A=(7, +∞) und B=[−3, +∞) . Offensichtlich repräsentiert es die Menge von allem reale Nummern, größer als sieben, also A∩B=(7, +∞) .

Finden wir nun die Vereinigung der Mengen A und B. Wir beginnen eine sequentielle Überprüfung der Mengen (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) auf ihre Einbeziehung in die gewünschte Vereinigung zweier numerischer Mengen A und B .

Der erste Satz (−∞, −3) ist weder in A noch in B enthalten (über diesem Intervall gibt es keine Schattierung), daher wird dieser Satz nicht in der gewünschten Vereinigung enthalten sein:

Die Menge (−3) ist in der Menge B enthalten, daher wird sie auch in der Vereinigung der Mengen A und B enthalten sein:

Das Intervall (−3, 7) ist auch in B enthalten (über diesem Intervall befindet sich eine Schraffur), daher wird es so sein Bestandteil die gewünschte Vereinigung:

Satz (7) wird ebenfalls in die gewünschte Vereinigung aufgenommen, da er im Zahlensatz B enthalten ist:

Schließlich ist (7, +∞) sowohl in Menge A als auch in Menge B enthalten und wird daher auch in der gewünschten Vereinigung enthalten sein:

Basierend auf dem resultierenden Bild der Vereinigung der Mengen A und B schließen wir, dass A∩B=[−3, +∞) .

Habe einige erhalten praktische Erfahrung, kann die Prüfung der Einbeziehung einzelner Intervalle und Zahlen in die Schnittmenge bzw. Vereinigung mündlich erfolgen. Dadurch können Sie das Ergebnis sehr schnell erfassen. Lassen Sie uns zeigen, wie die Lösung des Beispiels aussehen wird, wenn wir keine Erklärung geben.

Beispiel.

Finden Sie den Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen A=(−∞, −15)∪(−5)∪∪(12) Und B=(−20, −10)∪(−5)∪(2, 3)∪(17).

Lösung.

Lassen Sie uns diese Zahlenmengen auf Koordinatenlinien darstellen. Dadurch erhalten wir Bilder ihrer Schnittmenge und Vereinigung:

Antwort:

A∩B=(−20, −15)∪(−5)∪(2, 3) Und A∪B=(−∞, −10)∪(−5)∪∪(12, 17).

Es ist klar, dass der oben beschriebene Algorithmus mit dem richtigen Verständnis optimiert werden kann. Wenn Sie beispielsweise den Schnittpunkt von Mengen finden, müssen nicht alle Intervalle und Mengen überprüft werden, die aus einzelnen Zahlen bestehen, in die die Grenzpunkte der ursprünglichen Mengen in der Koordinatenlinie unterteilt sind. Sie können sich darauf beschränken, nur die Intervalle und Zahlen zu überprüfen, aus denen die Menge A oder B besteht. Die verbleibenden Intervalle werden weiterhin nicht in die Schnittmenge einbezogen, da sie nicht zu einer der ursprünglichen Mengen gehören. Lassen Sie uns das Gesagte veranschaulichen, indem wir die Lösung des Beispiels analysieren.

Beispiel.

Was ist der Schnittpunkt der Zahlenmengen A=(−2)∪(1, 5) und B=[−4, 3]?

Lösung.

Konstruieren wir geometrische Bilder der Zahlenmengen A und B:

Grenzpunkte gegebene Mengen Teilen Sie den Zahlenstrahl in die folgenden Mengen: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , (1) , (1, 3 ) , (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

Es ist leicht zu erkennen, dass die numerische Menge A aus den gerade geschriebenen Mengen „zusammengesetzt“ werden kann, indem man (−2), (1, 3), (3) und (3, 5) kombiniert. Um den Schnittpunkt der Mengen A und B zu finden, genügt es zu prüfen, ob die letztgenannten Mengen in Menge B enthalten sind. Diejenigen von ihnen, die in B enthalten sind, bilden den gewünschten Schnittpunkt. Lassen Sie uns die entsprechende Prüfung durchführen.

Offensichtlich ist (−2) in der Menge B enthalten (da der Punkt mit der Koordinate −2 ein innerer Punkt des Segments [−4, 3] ist). Das Intervall (1, 3) ist auch in B enthalten (darüber befindet sich eine Schraffur). Satz (3) ist auch in B enthalten (der Punkt mit der Koordinate 3 ist ein Rand- und nichtpunktierter Punkt des Satzes B). Und das Intervall (3, 5) ist nicht in der Zahlenmenge B enthalten (es gibt keine Schattierung darüber). Nachdem Sie die Schlussfolgerungen in der Zeichnung markiert haben, wird sie diese Form annehmen

Somit ist der gewünschte Schnittpunkt zweier ursprünglicher Zahlenmengen A und B die Vereinigung der folgenden Mengen (−2), (1, 3), (3), die als (−2)∪(1, 3) geschrieben werden kann .

Antwort:

{−2}∪(1, 3] .

Jetzt bleibt nur noch zu diskutieren, wie man den Schnittpunkt und die Vereinigung von drei und findet mehr Zahlensätze. Dieses Problem kann darauf reduziert werden, nacheinander den Schnittpunkt und die Vereinigung zweier Mengen zu finden: zuerst die erste mit der zweiten, dann das erhaltene Ergebnis mit der dritten, dann das erhaltene Ergebnis mit der vierten und so weiter. Oder Sie verwenden einen ähnlichen Algorithmus wie den bereits angekündigten. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Überprüfung des Vorkommens von Intervallen und Mengen, die aus einzelnen Zahlen bestehen, nicht durch zwei, sondern durch alle Anfangsmengen erfolgen muss. Betrachten wir ein Beispiel für die Ermittlung des Schnittpunktes und der Vereinigung von drei Mengen.

Beispiel.

Finden Sie den Schnittpunkt und die Vereinigung dreier Zahlenmengen A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Lösung.

Zuerst stellen wir wie üblich Zahlenmengen auf Koordinatenlinien dar und setzen links davon eine geschweifte Klammer, die den Schnittpunkt angibt, und eckige Klammer zur Vereinheitlichung, und unten stellen wir Koordinatenlinien mit Randpunkten von Zahlenmengen dar, die mit Strichen markiert sind:

Es stellt sich also heraus, dass die Koordinatenlinie durch numerische Mengen (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) dargestellt wird ) , (40) , (40, ∞) .

Wir beginnen mit der Suche nach Schnittpunkten; dazu schauen wir nacheinander, ob die aufgezeichneten Mengen in den Mengen A, B und D enthalten sind. Alle drei anfänglichen Zahlenmengen umfassen das Intervall (−3, 12) und die Menge (12). Sie bilden den gewünschten Schnittpunkt der Mengen A, B und D. Es gilt A∩B∩D=(−3, 12] .

Die gewünschte Vereinigung wiederum besteht aus den Mengen (−∞, −3) (in A enthalten), (−3) (in A enthalten), (−3, 12) (in A enthalten), (12) ( enthalten in A), (12, 25) (enthalten in B), (25) (enthalten in B) und (40) (enthalten in D). Somit ist A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Antwort:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Beachten Sie abschließend, dass der Schnittpunkt von Zahlenmengen häufig die leere Menge ist. Dies entspricht Fällen, in denen die ursprünglichen Mengen keine Elemente enthalten, die gleichzeitig zu allen Mengen gehören.

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . Keine der geschriebenen Mengen ist gleichzeitig in den vier Originalmengen enthalten, was bedeutet, dass der Durchschnitt der Mengen A, B, D und E die leere Menge ist.

Antwort:

A∩B∩D∩E=∅.

Referenzliste.

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Definition. Eine Menge ist eine Sammlung einiger Objekte, die nach einem bestimmten Merkmal zusammengefasst sind.

Die Elemente, aus denen die Menge besteht, werden normalerweise in kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, und die Menge selbst wird in Großbuchstaben bezeichnet. Lateinischer Buchstabe. Das ∈-Zeichen wird verwendet, um anzuzeigen, dass ein Element zu einer Menge gehört. Die Notation a∈A bedeutet, dass das Element a zur Menge A gehört. Wenn ein Objekt x kein Element der Menge A ist, schreiben Sie x∉A. Wenn A beispielsweise eine Menge gerader Zahlen ist, dann ist 2∈A und 1∉A. Die Mengen A und B gelten als gleich (schreiben Sie A = B), wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen.

Wenn eine Menge endlich viele Elemente enthält, heißt sie endlich; V ansonsten die Menge heißt unendlich. Wenn die Menge A endlich ist, ist das Symbol |A| gibt die Anzahl seiner Elemente an. Eine Menge, die kein einziges Element enthält, heißt leer und wird mit dem Symbol ∅ bezeichnet. Offensichtlich |∅|=0.

Beispiel. Sei A eine Menge gültige Lösungen quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0. Die Menge A ist endlich, |A|≤2. Wenn die Diskriminante D = p 2 -4q negativ ist, ist die Menge A leer. Satz gültiger Lösungen quadratische Ungleichung x 2 +px+q≤0 ist endlich, wenn D≤0, und unendlich, wenn D>0.

Eine endliche Menge kann durch Auflisten aller ihrer Elemente definiert werden,

oder ihre Eigenschaften werden beschrieben. Wenn die Menge A aus den Elementen x, y, z besteht, schreiben Sie A =(x, y, z,). Zum Beispiel A = (0, 2, 4, 6, 8) – Menge gerader Dezimalstellen oder – Menge natürliche Zahlen, die die Bedingung x + 2 = 1 erfüllt.

Lassen Sie uns das Konzept einer indizierten Mengenfamilie vorstellen, das später verwendet wird. Sei I eine Menge, wobei jedes Element i einer eindeutig definierten Menge A i zugeordnet ist. Die Elemente einer Menge I werden Indizes genannt, und die Sammlung von Mengen A i wird eine indizierte Mengenfamilie genannt und mit (A i) i ∈ I bezeichnet.

Sie sagen, dass die Menge B eine Teilmenge der Menge A ist und schreiben B⊂A, wenn jedes Element der Menge B ein Element der Menge A ist. Beispielsweise ist die Menge der natürlichen Zahlen N eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen Z, und diese wiederum ist eine Teilmenge der Menge Rationale Zahlen Q, also N⊂Z und Z⊂Q, oder kurz N⊂Z⊂Q. Es ist leicht zu erkennen, dass, wenn B⊂A und A⊂B, die Mengen A und B aus denselben Elementen bestehen und daher A=B ist, andernfalls . Neben der Bezeichnung B⊂A wird auch A⊃B verwendet, was die gleiche Bedeutung hat.

Teilmengen einer Menge A, die nicht ∅ und A sind, heißen eigentlich. Die leere Menge und die Menge A werden aufgerufen unechte Teilmengen Menge A. Die Menge aller Teilmengen der Menge A heißt seine Boolescher Wert, oder um viele Grad, und wird mit P(A) oder 2 A bezeichnet.

Beispiel. Sei A = (a, b, c). Dann besteht die Menge 2 A aus die folgenden Elemente:

(∅), (a), (b), (c), (a,b), (a,c), (b,c), (a,b,c).

Wenn eine Menge A endlich ist und n Elemente enthält, dann hat diese Menge 2 n Teilmengen, also |2 A |=2 | A | .

Alle Mengenoperationen können mit Euler-Venn-Diagrammen dargestellt werden. Wenn eine universelle Menge, die alle anderen Mengen als Teilmengen enthält, mit U bezeichnet und als die gesamte Ebene dargestellt wird, dann kann jede Menge als Teil der Ebene dargestellt werden, d. h. in Form einer Figur, die in einem Flugzeug liegt.

Durch Vereinigung oder Summe Mengen A und B ist eine Menge C, die aus Elementen der Menge A oder Elementen der Menge B oder Elementen beider dieser Mengen besteht, d. h. . Wenn beispielsweise A = (1, 2, 3) und B = (2, 3, 4), dann ist A∪B = (1, 2, 3, 4).

Nach Schnittmenge oder Produkt zwei Mengen A und B, so nennt man eine Menge C, die aus Elementen besteht, die gleichzeitig zu beiden Mengen gehören, also . Wenn beispielsweise A = (1, 2, 3) und B = (2, 3, 4), dann ist A∩B = (2, 3).

Durch Differenz zwei Mengen A und B ist eine Menge, die nur aus den Elementen besteht, die in A enthalten und gleichzeitig nicht in B enthalten sind, d.h.

Wenn beispielsweise A = (1, 2, 3) und B = (2, 3, 4), dann ist A\B = (1).

Ist A insbesondere eine Teilmenge von U, so wird die Differenz U\A bezeichnet und aufgerufen Zusatz setzt A.

Symmetrische Differenz (Ringsumme) Mengen A und B heißt eine Menge, d.h. . Wenn beispielsweise A = (1, 2, 3) und B = (2, 3, 4), dann ist AΔB = (1, 4).

Gesetze der Mengenalgebra:

1. Kommutativgesetz: .

2. Vereinsrecht: .

3. Verteilungsrecht:

4. Gesetze der Idempotenz: , insbesondere

5. Gesetze der Absorption:

6. De Morgans Gesetze(Dualität):

7. Doppelkomplementgesetz:

8. Gesetz der Inklusion:

9. Gesetz der Gleichheit:

Beispiel 1. Schauen wir uns das erste Gesetz von De Morgan an. Zeigen wir das zunächst . Tun wir mal so. Dann ist x∉A∩B, also gehört x nicht zu mindestens einer der Mengen A und B. Also ist x∉A oder x∉B, also oder .

Das bedeutet es. Das haben wir gezeigt beliebiges Element einer Menge ist ein Element der Menge. Somit, . Rückwärtsschalten wird auf ähnliche Weise bewiesen. Es reicht aus, alle Schritte des vorherigen Arguments in umgekehrter Reihenfolge zu wiederholen.

Beispiel 2. Beweisen Sie Einschlüsse

Lösung. Am einfachsten geht das mit dem Euler-Venn-Diagramm

Aus jedem Elementpaar a und b (nicht unbedingt unterschiedlich) kann man komponieren neues Element - geordnetes Paar(a,b). Geordnete Paare (a,b) und (c,d) gelten als gleich und schreiben (a,b) = (c,d), wenn a = c und b = d. Insbesondere gilt (a,b) = (b,a) nur, wenn a=b. Die Elemente a und b heißen die Koordinaten des geordneten Paares (a,b).

Direktes (kartesisches) Produkt Die Mengen A und B sind die Menge aller geordneten Paare (a,b), wobei a∈A und b∈B. Direktes Produkt Die Mengen A und B werden mit A×B bezeichnet. In Übereinstimmung mit der Definition, die wir haben

A×B = ((a,b)| a∈A, b∈B). Das Werk heißt Kartesisches Quadrat.

Beispiel 3. Gegebene Mengen A = (1; 2); B = (2; 3). Finden .

Lösung.

Auf diese Weise, kartesisches Produkt gehorcht nicht dem Kommutativgesetz.

Beispiel 4. Aus welchen Elementen bestehen die Mengen?

Lösung. Schreiben wir die Mengen A auf; IN; C, Auflistung ihrer Elemente:

A = (3; 4; 5; 6); B = (2; 3); C = (2). Dann können wir wie Paare geordnete Tripletts, Quadrupel und im Allgemeinen geordnete Mengen von Elementen beliebiger Länge betrachten. Eine geordnete Menge von Elementen der Länge n wird mit (a 1 , a 2 , a n ) bezeichnet. Für solche Mengen wird auch der Name Tupel der Länge n verwendet. Es sind auch Tupel der Länge 1 erlaubt – das sind einfach Einzelelementmengen. Tupel (a 1 , a 2 , a n ) und (b 1 , b 2 , b n ) gelten als gleich, wenn a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n .

Analog zum Produkt zweier Mengen definieren wir das direkte Produkt der Mengen A 1 , A 2 , A n als die Menge aller Tupel (a 1 , a 2 , a n), so dass a 1 ∈A 1 , a 2 ∈A 2 , a n ∈A n . Das direkte Produkt wird mit A 1 × A 2 × A n bezeichnet.

Das Konzept eines direkten Produkts kann auf den Fall einer beliebigen Familie von Mengen (A i) i ∈ I verallgemeinert werden. Nennen wir ein I-Tupel eine Menge von Elementen (A i) i ∈ I, so dass a i ∈A i für jedes i∈I gilt. Das direkte Produkt einer Mengenfamilie (A i) i ∈ I ist die Menge, die aus allen I-Tupeln besteht. Um diese Menge zu bezeichnen, werden das Symbol Π i ∈ I A i und seine Varianten verwendet, ähnliche Themen, die verwendet werden, um den Schnittpunkt und die Vereinigung einer Mengenfamilie zu bezeichnen.

Wenn eine Menge A mit sich selbst multipliziert wird, wird das Produkt als (kartesische) Potenz bezeichnet und die Exponentialschreibweise verwendet. Gemäß der Definition gilt also A × A = A 2, A × A × A = A 3 usw. Es wird angenommen, dass A 1 = A und A 0 = ∅.

Aus den Definitionen ergeben sich unmittelbar folgende Beziehungen: (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);

(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);

(A\B) × C = (A × C)\(B × C).

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