Ein Artel von Baggern mit 26 Personen, die mit Maschinen arbeiten. Auswahl von Aufgaben für Zusammenarbeit und Produktivität. Prozent finden

Lernziele:

• komplexere Probleme zu lösen proportionale Mengen("Die komplizierte Dreierregel");
• die Entwicklung nicht nur des logischen, sondern auch des figurativen Denkens, der Vorstellungskraft von Kindern und ihrer Fähigkeit zu argumentieren, Fragen zu stellen und zu beantworten, dh die Sprache der Auszubildenden;
• Erweiterung des Horizonts bei der Lösung alter praktischer (oder plausibler) Probleme;
• die Ideenbildung über den Reichtum kultureller - Historisches Erbe Menschheit.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment:

Heute fangen wir an, komplexer zu lösen, aber nicht weniger interessante Aufgaben in Proportionen.

Das Studium der Proportionen und dieser Abhängigkeiten hat sehr wichtig zum weiteren Studium der Mathematik.

Später lösen Sie mit Hilfe von Proportionen Aufgaben in Chemie, Physik und Geometrie.

Womit haben sie angefangen?

1. Machen Sie sich mit den Begriffen „Verhältnis“, „Anteil“ vertraut
   (Verhältnis - ………., Anteil - ……… (Schülerantworten werden erwartet)
2. Wir haben gelernt, wie man Proportionen löst, und fanden heraus, dass der Hauptweg, sie zu lösen, auf …… basieren sollte. (Grundeigenschaft der Proportionen)
3. Wir haben gelernt, zwei Größen in den Bedingungen von Problemen zu unterscheiden, um festzustellen Art der Sucht zwischen ihnen. (Direktor umgekehrte Beziehung)
4. Wir haben gelernt, wie man den Zustand des Problems kurz notiert und eine Proportion aufstellt (eine Abnahme des Werts wird mit einem Abwärtspfeil angezeigt, eine Zunahme mit einem Aufwärtspfeil).
   Aber vergessen wir das nicht
5. analysierte die Methode zur Problemlösung ohne Proportionen (der Anwendung dieser Technik sollten Fragen vorausgehen, die beim Lösen von Problemen gestellt werden: Wie oft hat sich der Wert erhöht oder verringert?)

Kommen wir von einfach zu komplex.

II. Mündliche Arbeit.

1. Wählen Sie aus diesen Werten diejenigen aus, die direkt oder umgekehrt proportional sind:

a) die Seitenlänge des Quadrats und der Umfang.
b) die Seitenlänge des Quadrats und seine Fläche.
c) die Länge und Breite eines Rechtecks ​​für eine gegebene Fläche.
d) die Geschwindigkeit des Autos und die Strecke, die es in einer bestimmten Zeit zurücklegen wird.
e) die Geschwindigkeit eines Touristen, der vom Campingplatz zum Bahnhof fährt, und die Zeit, die er benötigt, um den Bahnhof zu erreichen.
e) das Alter des Baumes und seine Höhe.
g) das Volumen der Stahlkugel und ihre Masse.
h) die Anzahl der im Buch gelesenen Seiten und die Anzahl der noch zu lesenden Seiten.

(Das Verhältnis zwischen der Anzahl der gelesenen Seiten in einem Buch und der Anzahl der verbleibenden Seiten wird oft als proportional angesehen: Je mehr Seiten gelesen werden, desto weniger bleibt zu lesen. Bitte beachten Sie, dass die Zunahme bei der einen und Abnahme bei der anderen nicht gilt gleich oft vorkommen.).

2. Lassen Sie uns das Problem analysieren:

Wenn Vasya 10 Seiten des Buches gelesen hat, hat er 90 weitere Seiten zu lesen. Wie viele Seiten hat er noch zu lesen, wenn er 30 Seiten gelesen hat?

3. Betrachten Sie die Aufgaben („provokanter Charakter“):

a) 12 Karauschen wurden in 2 Stunden gefangen. Wie viele Karpfen werden in 3 Stunden gefangen?

b) Drei Hähne weckten 6 Personen. Wie viele Menschen werden 5 Hähne aufwecken.

c) * Der Teich ist mit Lilien bewachsen, und in einer Woche verdoppelt sich die mit Lilien bedeckte Fläche. In wie vielen Wochen ist der Teich halb mit Lilien bedeckt, wenn er in 8 Wochen komplett mit Lilien bedeckt ist?

(Lösung: da sich die mit Lilien bedeckte Fläche in einer Woche verdoppelt, dann war eine Woche, bevor der Teich vollständig mit Lilien bedeckt ist, seine Fläche halb mit Lilien bedeckt, d.h. der Teich war in 7 Wochen halb mit Lilien bedeckt)

III. Probleme lösen:

(der Zustand der Aufgaben ist an der Tafel angegeben)

Eine kurze Bedingung und zwei Lösungen werden vorgeschlagen, um von den Schülern an der Tafel sehr schnell erledigt zu werden.

1 Weg:

Methode 2: Die Stoffmenge wird um das 15/8-fache erhöht, was bedeutet, dass sie 15/8-mal mehr Geld bezahlen

Х=30*15/8=56r25k

2. Ein gewisser Herr rief einen Zimmermann und befahl, einen Hof zu bauen. Er gab ihm 20 Arbeiter und fragte, wie viele Tage sie für ihn einen Hof bauen würden. Der Zimmermann antwortete: in 30 Tagen. Und der Meister muss in 5 Tagen bauen, und dafür fragte er den Zimmermann: Wie viele Leute braucht man, damit man mit ihnen in 5 Tagen einen Hof bauen kann; und der Zimmermann fragt dich, Rechenmeister, verwirrt: Wie viele Leute braucht er, um in 5 Tagen einen Hof zu bauen?

Unvollendet an die Tafel geschrieben kurzer Zustand:

Vervollständigen Sie die Bedingung und lösen Sie das Problem auf zwei Arten.

Ich wähle: Anteil

Option II: ohne Proportionen

Gleichzeitig arbeiten zwei Studenten an der Tafel.

ICH.

II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 Arbeiter

3. Sie nahmen 560 Soldaten Lebensmittel für 7 Monate, und ihnen wurde befohlen, 10 Monate im Dienst zu sein, und sie wollten Menschen von sich wegnehmen, damit es genug Lebensmittel für 10 Monate gab. Die Frage ist, wie viele Personen sollen reduziert werden?

Alte Aufgabe.

(auf die Tafel schreiben)

(Füllung Abkürzung Studenten)

Lösen Sie dieses Problem ohne Proportion:

(Die Anzahl der Monate erhöht sich um einen Faktor, was bedeutet, dass die Anzahl der Soldaten um einen Faktor abnimmt.

560 - 392 = 168 (Soldaten müssen reduziert werden)

IN alte Zeiten Um viele Arten von Problemen zu lösen, gab es spezielle Regeln für deren Lösung. Uns bekannte Probleme für die direkte und umgekehrte Proportionalität, bei denen es notwendig ist, den vierten durch drei Werte zweier Größen zu finden, wurden als Probleme für die "Dreifachregel" bezeichnet.

Wenn für drei Werte fünf Werte angegeben wurden und der sechste gefunden werden musste, wurde die Regel "fünf" genannt. In ähnlicher Weise gab es für die vier Mengen eine "Regel der Siebenheit". Aufgaben zur Anwendung dieser Regeln wurden auch Aufgaben zur „komplexen Tripelregel“ genannt.

Lass es uns versuchen!!!

4. Nehmen Sie die Aufgabe an, die Ihnen als Zusatzaufgabe angeboten wurde.

Hausaufgabe.

Drei Hühner legten in 3 Tagen 3 Eier. Wie viele Eier legen 12 Hühner in 12 Tagen?

Die Antwort auf das Problem ist ………?

Wir werden die Lösung des Problems gemeinsam analysieren und den Zustand des Problems kurz aufschreiben:

Die Schüler versuchen, gemeinsam Fragen zu stellen und darauf zu antworten.

(Die Anzahl der Schreiber nimmt mit der Zunahme der Blätter mit der Zeit zu und ab

aus der Zunahme der Arbeitstage (Schreiber)).

Betrachten Sie ein komplexeres Problem mit vier Größen.

Nehmen Sie ein Problem mit sechs Werten als optionale Hausaufgabe für diejenigen Schüler, die gerne Puzzleprobleme lösen.

6. Für die Beleuchtung von 18 Räumen in 48 Tagen wurden 120 Tonnen Kerosin ausgegeben und in jedem Raum 4 Lampen verbrannt. Wie viele Tage reichen 125 Pfund Kerosin, wenn 20 Räume beleuchtet sind und in jedem Raum 3 Lampen brennen?

Es wird eine kurze Problemstellung niedergeschrieben und eine Argumentation gegeben, parallel dazu kann ein sukzessive ergänztes Protokoll X = ... .. an der Tafel geführt werden.

Die Anzahl der Kerosinverbrauchstage steigt mit zunehmender Kerosinmenge
Zeiten und von der Reduzierung der Lampen um die Hälfte.

Die Anzahl der Kerosinverbrauchstage nimmt mit der Zunahme der Zimmer ab 20 mal.

X = 48 * * : = 60 (Tage)

Schließlich hat X = 60. Das bedeutet, dass 125 Pfund Kerosin für 60 Tage reichen.

IV. Zusammenfassung der Lektion.

Löst die gesamte Lektion nun fast vergessene Aufgaben. Wir sind von einfach zu komplex übergegangen. Das hat man gesehen alte Aufgaben Interesse wecken, es ist schön zu sehen, wie Ihre harte Arbeit beim Lösen von Problemen aufgewendet wird gutes Training bei der Unterscheidung zwischen direkter und inverser Proportionalität.

Die Erklärungen des Lehrers scheinen klar zu sein, aber Sie müssen auch alleine vorankommen.

V. Hausaufgaben.

Tit Tage Getreide

X \u003d 100: 10: 10 \u003d 1 kg

2. Altes Problem.

Dirham-Einkommensbegriff

3. * Zusätzliche Aufgabe.

Ein Artel von 26 Baggern, die 12 Stunden am Tag mit Maschinen arbeiten, kann in 40 Tagen einen 96 Meter langen, 20 Meter breiten und 12 Meter tiefen Kanal graben. Wie lange kann ein Kanal von 30 Baggern gegraben werden, die 80 Tage lang 10 Stunden am Tag arbeiten, wenn die Breite sein soll

10 m, Tiefe 18 dm?

Lösung.

Aufgaben für gemeinsame Arbeit und Leistung

Aufgaben dieser Art enthalten normalerweise Informationen über die Ausführung einiger Arbeiten durch mehrere Subjekte (Arbeiter, Mechanismen, Pumpen usw.), deren Umfang nicht angegeben und nicht erforderlich ist (z. B. Nachdruck eines Manuskripts, Herstellung von Teilen, Graben). Gräben, Verfüllen durch die Rohre eines Reservoirs usw.). Es wird davon ausgegangen, dass die geleistete Arbeit gleichmäßig ausgeführt wird, d.h. mit einer konstanten Leistung für jedes Fach. Da uns die Menge der geleisteten Arbeit (oder beispielsweise das Volumen des zu füllenden Pools) nicht interessiert, dann das Volumen aller Arbeiten. oder Pool wird als Einheit genommen. ZeitTerforderlich, um die ganze Arbeit zu erledigen, und P ist der ProduzentArbeitsintensität, also die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit, stehen in Beziehung

VerhältnisP= 1/t .Es ist hilfreich, das Standardschema zur Lösung typischer Probleme zu kennen.

Lassen Sie einen Arbeiter in x Stunden arbeiten und einen anderen Arbeiter in y Stunden. Dann werden sie in einer Stunde jeweils 1/Xund 1/jTeil der Arbeit. Zusammen werden sie in einer Stunde 1/X +1/ jTeil der Arbeit. Wenn sie also zusammenarbeiten, wird die gesamte Arbeit in 1/ (1/X+ 1/ j)

Das gemeinsame Lösen von Problemen ist für Studenten schwierig, daher können Sie bei der Vorbereitung auf eine Prüfung damit beginnen, die meisten zu lösen einfache Aufgaben. Betrachten Sie die Art von Problemen, für die es ausreicht, nur eine Variable einzuführen.

Aufgabe 1. Ein Stuckateur kann eine Aufgabe 5 Stunden schneller erledigen als ein anderer. Gemeinsam erledigen sie diese Aufgabe in 6 Stunden. Wie viele Stunden wird jeder von ihnen die Aufgabe erledigen?

Lösung. Lassen Sie den ersten Stuckateur die Aufgabe für erledigenXStunden, dann erledigt der zweite Stuckateur diese Aufgabe inX+5 Stunden. In 1 Stunde gemeinsamer Arbeit werden sie 1/X + 1/( X+5) Aufgaben. Machen wir eine Gleichung

6×(1/X+ 1/( X+5))= 1 oderX² - 7 X-30 = 0. Entscheiden gegebene Gleichung, wir bekommenX= 10 undX= -3. Je nach AufgabeXist ein positiver Wert. Daher kann der erste Stuckateur die Arbeit in 10 Stunden und der zweite in 15 Stunden erledigen.

Aufgabe 2 . Zwei Arbeiter erledigten die Arbeit in 12 Tagen. In wie vielen Tagen kann jeder Arbeiter die Arbeit fertigstellen, wenn einer von ihnen 10 Tage länger benötigt, um die gesamte Arbeit zu erledigen als der andere?

Lösung . Lassen Sie den ersten Arbeiter für die ganze Arbeit aufwendenXTage, dann der zweite- (X-10 Tage. Für 1 Tag gemeinsamer Arbeit leisten sie 1/X+ 1/( X-10) Aufgaben. Machen wir eine Gleichung

12×(1/X+ 1/( X-10)= 1 bzwX²- 34X+120=0. Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wirX=30 undX= 4. NurX= 30. Daher kann der erste Arbeiter den Auftrag in 30 Tagen und der zweite in 20 Tagen erledigen.

Aufgabe 3. Für 4 Tage gemeinsame Arbeit wurden 2/3 des Feldes von zwei Traktoren gepflügt. Wie viele Tage würde es dauern, mit jedem Traktor das ganze Feld zu pflügen, wenn der erste 5 Tage schneller gepflügt werden kann als der zweite?

Lösung. Lassen Sie den ersten Traktor ausgebenum die Aufgabe abzuschließen X Tage, dann der zweite - X + 5 Tage. Für 4 Tage gemeinsamer Arbeit pflügten beide Traktoren 4×(1/ X + 1/( X +5)) Aufgaben, also 2/3 des Feldes. Wir schreiben die Gleichung 4×(1/ X + 1/ ( X +5)) = 2/3 oderX² -7X-30 = 0. . Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wirX= 10 undX= -3. Je nach AufgabeXist ein positiver Wert. Daher kann der erste Traktor das Feld in 10 Stunden und der zweite in 15 Stunden pflügen.

Aufgabe 4 . Masha kann 10 Seiten in 1 Stunde drucken, Tanya - 4 Seiten in 0,5 und Olya - 3 Seiten in 20 Minuten. Wie können die Mädchen 54 Textseiten untereinander verteilen, damit jede gleich lange arbeitet?

Lösung . Laut Bedingung druckt Tanya 4 Seiten in 0,5 Stunden, d.h. 8 Seiten in 1 Stunde und Olya - 9 Seiten in 1 Stunde. X bezeichnen Stunden - Zeit, während der die Mädchen arbeiteten, erhalten wir die Gleichung

10X + 8X + 9X \u003d 54, von wo aus X \u003d 2.

Tanya muss also 20 Seiten drucken, Tanya 16 Seiten und Olya 18 Seiten.

Aufgabe 5. Auf zwei gleichzeitig arbeitenden Vervielfältigungsgeräten können Sie in 20 Minuten eine Kopie des Manuskripts erstellen. In welcher Zeit kann diese Arbeit an jedem Gerät einzeln durchgeführt werden, wenn bekannt ist, dass die Arbeit am ersten 30 Minuten weniger dauert als die Arbeit am zweiten?

Lösung. Sei X min die Zeit, die benötigt wird, um die Kopie auf der ersten Maschine fertigzustellen, dann X + 30 min - Zeit auf dem zweiten Gerät arbeiten. Dann wird 1/X-Kopie durch das erste Gerät in 1 Minute durchgeführt, und 1/(X + 30) Kopien - das zweite Gerät.

Stellen wir die Gleichung auf: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, erhalten wirX²-10X-600= 0. Woher X = 30 und X = - 20. Die Bedingung des Problems erfüllt X = 30. Wir haben: 30 Minuten - die Zeit, in der das erste Gerät eine Kopie erstellt, 60 Minuten - das zweite.

Aufgabe 6. Firma A kann einen Auftrag zur Herstellung von Spielzeug 4 Tage schneller abschließen als Firma B. Wie lange kann jede Firma diesen Auftrag abschließen, wenn bekannt ist, dass sie, wenn sie in 24 Tagen zusammenarbeiten, einen 5-mal größeren Auftrag abschließen?

Lösung. X bezeichnen Tage - Zeit die Firma A benötigt, um den Auftrag auszuführen, dann sind X + 4 Tage die Zeit für Firma B. Bei der Aufstellung der Gleichung muss berücksichtigt werden, dass in 24 Tagen gemeinsamer Arbeit nicht 1 Auftrag, sondern 5 Aufträge sein werden vollendet. Wir bekommen, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. Daraus folgt 5 X²-28X-96 = 0. Nachdem wir die quadratische Gleichung gelöst haben, erhalten wir X = 8 und X = - 12/5. Die erste Firma kann den Auftrag in 8 Tagen abschließen, Firma B in 12 Tagen.

Bei der Entscheidung nächsten Aufgaben es muss mehr als eine Variable eingegeben werdenund Gleichungssysteme lösen.

Aufgabe 7 . Zwei Arbeiter erledigen einige Arbeiten. Nach 45 Minuten gemeinsamer Arbeit wurde der erste Arbeiter an einen anderen Arbeitsplatz versetzt, und der zweite Arbeiter erledigte den Rest der Arbeit in 2 Stunden und 15 Minuten. In welcher Zeit könnte jeder Arbeiter einzeln die ganze Arbeit erledigen, wenn bekannt ist, dass der zweite 1 Stunde länger braucht als der erste?

Lösung. Lassen Sie den ersten Arbeiter die ganze Arbeit in x Stunden erledigen und den zweiten Arbeiter in y Stunden. Aus der Bedingung des Problems ergibt sich x = y -1. 1 Stunde erstmal

der Arbeiter wird 1/XTeil der Arbeit und der zweite - 1/jTeil der Arbeit.T.Zu. sie arbeiteten ¾ Stunden zusammen, dann absolvierten sie in dieser Zeit ¾ (1 /X + 1/ j)

Teil der Arbeit. Hinter2i 1/4Arbeitsstunden, die zweite absolvierte 9/4× (1/j) Teil der Arbeit.T.Zu. die Arbeit ist erledigt, dann stellen wir die Gleichung ¾ (1/X+1/ j)+9/4×1/j=1 bzw

¾×1/X+ 3 ×1/j =1

Entscheidungen bei 1 = Handbei 2 = 4 Std. Die erste Lösung ist nicht geeignet (beideÖdie nur ¾ Stunden zusammengearbeitet haben!). Dann y \u003d 4 und x \u003d3.

Antworten. 3 Stunden, 4 Stunden.

Aufgabe 8. Der Pool kann über zwei Wasserhähne mit Wasser gefüllt werden. Wenn der erste Wasserhahn 10 Minuten lang und der zweite 20 Minuten lang geöffnet ist, wird der Pool gefüllt.

Wenn der erste Hahn 5 Minuten lang und der zweite 15 Minuten lang geöffnet ist, werden 3/5 gefüllt Schwimmbad.

Wie lange dauert es, bis jeder Wasserhahn den gesamten Pool gefüllt hat?

Lösung. Lassen Sie ab dem ersten Hahn das Becken in x Minuten füllen, und ab dem zweiten - in y 1 Minute. Der erste Wasserhahn füllt sich Teil des Pools und der zweite . In 10 Minuten füllt sich der erste Hahn Teil des Pools und in 20 Minuten ab dem zweiten Wasserhahn - . T.Zu. Der Pool wird gefüllt, dann erhalten wir die erste Gleichung: . In ähnlicher Weise schreiben wir die zweite Gleichung (für das gesamte Becken gefüllt, aber nur sein Volumen). Um die Lösung des Problems zu vereinfachen, führen wir neue Variablen ein: Dann haben wir lineares System Gleichungen:

10 u + 20 v = 1,

dessen Lösung u = v = sein wird. Von hier erhalten wir die Antwort: x = min, y = 50 min.

Aufgabe 9 . Zwei machen die Arbeit. Erste hat funktioniert die Zeit, die der andere braucht, um die ganze Arbeit zu erledigen. Dann funktionierte der zweite die Zeit, die der Erste brauchen würde, um den Rest der Arbeit zu erledigen. Beide traten nur auf Alle Arbeit. Wie lange braucht jeder, um diese Arbeit zu erledigen, wenn bekannt ist, dass sie es tun werden, wenn sie zusammenarbeiten3 H36 Mindest?

Lösung. Geben Sie mit x Stunden und y Stunden die Zeit an, in der der Erste bzw. der Zweite die gesamte Arbeit erledigt. Dann Und

Die Teile der Arbeit, die sie tun1 StundeFunktioniert (nach Zustand) Mal wird der erste ausgeführt Teil der Arbeit. Bleibt unerfüllt Teil der Arbeit, für die der erste ausgeben würde Std. Per Bedingung funktioniert die zweite 1/3 diesmal. Dann wird er es tun Teil der Arbeit. Beide nur abgeschlossen Alle Arbeit. Daher erhalten wir die Gleichung . Zusammenarbeit für1 beides geht + Teil der Arbeit. Denn je nach Zustand des Problems übernehmen sie diese Arbeit für3 H36 Minute (d.h.A 3 Stunden), dann1 Stunde werden sie es tun Alle Arbeit. Daher 1/X + 1/ j = 5/18. Bezeichnet in der ersten Gleichung , erhalten wir die quadratische Gleichung

6 T 2 - 13 T + 6 = 0 , deren Wurzeln gleich sindT 1 =2/3 , T 2 =3/2. Da nicht bekannt ist, wer schneller läuft, betrachten wir beide Fälle.

A)T = => y= X. Setze y in die zweite Gleichung ein: Offensichtlich ist dies keine Lösung.

Aufgaben, denn zusammen erledigen sie die Arbeit in mehr als 3 Stunden.

B) T=3/2 => j=3/2 X. Aus der zweiten Gleichung haben wir 1/X+2/3× 1/X\u003d 5 / 18. Von hierx=6,y=9.

Aufgabe 10. Das Wasser tritt aus zwei Rohren mit unterschiedlichen Durchmessern in den Tank ein. Am ersten Tag reichten beide Rohre, die gleichzeitig arbeiteten, 14 einM 3 Wasser. Am zweiten Tag wurde nur die kleine Trompete eingeschaltet. Sie reichte 14 m ein 3 Wasser, nachdem ich 5 Stunden länger gearbeitet habe als am ersten Tag. Am dritten Tag wurde die Arbeit genauso lange fortgesetzt wie am zweiten, aber zuerst funktionierten beide Rohre, was 21 m ergab 3 Wasser. Und dann funktionierte nur ein großes Rohr, das weitere 20 m ergab 3 Wasser. Finden Sie die Leistung jeder Pfeife.

Lösung. Diese Aufgabe nicht abstraktes Konzept"Volumen des Reservoirs" und die spezifischen Wassermengen, die durch die Rohre fließen, sind angegeben. Die Methodik zur Lösung des Problems bleibt jedoch tatsächlich dieselbe.

Lassen Sie die kleineren und größeren Rohre in 1 Stunde x und y m pumpen3 Wasser. Zusammen liefern beide Rohre x + y m3 Wasser.

Daher arbeiteten die Rohre am ersten Tag 14/(X+ j) Std. Am zweiten Tag arbeitete die kleine Pfeife 5 Stunden mehr, also 5+14/(X+ j) . Dafür

Mal reichte sie 14 m 3 Wasser. Von hier aus erhalten wir die erste Gleichung 14 oder 5+14/(X+ j)=14/ X. Am dritten Tag arbeiteten beide Pfeifen zusammen21/(X+ j) Stunden und dann arbeitete die große Pfeife 20/XStd. Die Gesamtzeit der Rohre fällt mit der Betriebszeit des ersten Rohres am zweiten Tag zusammen, d.h.

5+14/( X+ j) =21/( X+ j)+ 20/ X. Da die linken Seiten der Gleichung gleich sind, haben wir . Wenn wir die Nenner loswerden, bekommen wir homogene Gleichung 20 X 2 +27 xy-14 j 2 =0. Dividieren der Gleichung durchj 2 und benennenX/ j= T, wir haben 20T 2 +27 T-14=0. Aus den beiden Wurzeln davon quadratische Gleichung (T 1 = , T 2 = ) nach der Bedeutung des Problems ist nur geeignetT= . Somit,X= j. ErsetzenXin die erste Gleichung finden wirj=5. DannX=2.

Aufgabe 11. Die beiden Mannschaften arbeiteten zusammen und gruben den Graben in zwei Tagen aus. Danach begannen sie, einen Graben mit der gleichen Tiefe und Breite zu graben, aber fünfmal länger als der erste. Zuerst arbeitete nur die erste Brigade und dann nur die zweite Brigade, die anderthalbmal weniger Arbeit erledigt hatte als die erste Brigade. Das Ausheben des zweiten Grabens wurde in 21 Tagen abgeschlossen. In wie vielen Tagen könnte das zweite Team den ersten Graben ausheben, wenn bekannt ist, dass der Arbeitsaufwand des ersten Teams an einem Tag größer ist als der Arbeitsaufwand des zweiten Teams an einem Tag?

Lösung.Dieses Problem ist bequemer zu lösen, wenn Sie die geleistete Arbeit auf den gleichen Maßstab bringen. Wenn beide Mannschaften den ersten Graben gemeinsam in 2 Tagen ausgehoben hätten, hätten sie den zweiten Graben (fünfmal so lang) offensichtlich in 10 Tagen ausgehoben. Lassen Sie die erste Brigade diesen Graben in x Tagen ausheben und die zweite in y, d.h. in 1 tag hätte der erste gegraben Teil des Grabens, der zweite - für 1/j , und zusammen -1/X+1/ j Teil des Grabens.

Dann haben wir . Beim Ausheben des zweiten Grabens arbeiteten die Brigaden getrennt. Wenn das zweite Team den Arbeitsumfang abgeschlossen hatM, dann (je nach Zustand des Problems) - die erste Brigade . AlsM + M = M gleich der Menge an Arbeit, die als Einheit genommen wird, dannM = . Folglich grub die zweite Brigade Gräben und dafür ausgegeben an den Tagen. Die erste Brigade grub Gräben und verbraucht X Tage. Daher haben wir oderX = 35- . Durch Einsetzen von x in die erste Gleichung erhalten wir die quadratische Gleichung2 Jahre 2 - 95y +1050 = 0, dessen Wurzeln y sein werden 1 = Und bei 2 = 30. Dann gilt jeweilsX 1 = Und X 2 =15. Von der Bedingung des Problems Wählen Sie den gewünschten aus: y \u003d 30. Da sich der gefundene Wert auf den zweiten Graben bezieht, wäre der erste Graben (fünfmal kürzer) vom zweiten Team in 6 Tagen gegraben worden.

Aufgabe 12. Drei Bagger waren am Ausheben einer Grube mit einem Volumen von 340 m beteiligt 3 . In einer Stunde trägt der erste Bagger 40 m aus 3 Pfund, das zweite - weiter mit m 3 weniger als die erste und die dritte - um 2s mehr als die erste. Zuerst arbeiteten der erste und der zweite Bagger gleichzeitig und gruben 140 m 3 Boden. Dann wurde der Rest der Grube ausgehoben, gleichzeitig arbeiteten der erste und der dritte Bagger. Werte ermitteln mit(0<с<15), bei dem die Grube in 4 Stunden ausgehoben wurde, wenn die Arbeiten ohne Unterbrechung durchgeführt wurden.

Lösung. Da nimmt der erste Bagger 40 m aus 3 Boden pro Stunde, dann die zweite - (40-s) m 3 , und der dritte - (40 + 2s) m 3 Pfund pro Stunde. Lassen Sie den ersten und den zweiten Bagger x Stunden lang zusammenarbeiten. Dann folgt aus der Bedingung des Problems (40+40-s)x = 140 oder (80-s)x = 140. Wenn der erste und der dritte Bagger zusammen auf die Uhr gearbeitet haben, dann haben wir (40+40+2s) y = 340-140 oder (80 + 2s) y - 200. Da die Gesamtbetriebszeit 4 Stunden beträgt, erhalten wir die folgende Gleichung zur Bestimmung mit x + y \u003d 4 oder

Diese Gleichung entspricht der quadratischen GleichungMit 2 -30s+ 200 =0, wessen Entscheidungen sein werden 1 = 10m 3 und mit 2 = 20m 3 . Nur je nach Zustand des ProblemsZu

c = 10m 3 .

Aufgabe 10. Jeder der beiden Arbeiter wurde mit der Bearbeitung der gleichen Anzahl von Teilen beauftragt. Der Erste begann sofort mit der Arbeit und beendete sie in 8 Stunden Der Zweite verbrachte zunächst mehr als 2 Stunden damit, das Gerät einzustellen, und beendete die Arbeit dann mit seiner Hilfe 3 Stunden früher als der Erste. Es ist bekannt, dass der zweite Arbeiter eine Stunde nach Beginn seiner Arbeit so viele Details verarbeitet hat, wie der erste Arbeiter bis zu diesem Moment verarbeitet hatte. Wie oft erhöht die Vorrichtung die Produktivität der Maschine (d. h. die Anzahl der verarbeiteten Teile pro Arbeitsstunde)?

Lösung. Dies ist ein Beispiel für ein Problem, bei dem nicht alle Unbekannten gefunden werden müssen.

Bezeichnen wir die Rüstzeit der Maschine durch den zweiten Werker mit x (durch die Bedingung x>2). Angenommen, es wäre notwendig, jede zu verarbeitenNEinzelheiten.

Dann wird der erste Arbeiter pro Stunde verarbeitet Details und die zweite Einzelheiten. Beide Arbeiter bearbeiteten eine Stunde nach Arbeitsbeginn des zweiten gleich viele Teile. Das bedeutet es Daraus erhalten wir die Gleichung zur Bestimmung von x: X 2 -4x + 3-0 dessen Wurzeln x sind 1 = 1 undX 2 = 3. Weil

x > 2, dann erforderlicher Wert ist x = 3. Daher verarbeitet der zweite Worker pro Stunde Einzelheiten. Denn der erste Arbeiter pro Stunde verarbeitet

Teile, dann finden wir von hier aus, dass das Gerät die Arbeitsproduktivität erhöht = 4 mal.

Aufgabe 1 3. Drei Arbeiter müssen eine Anzahl von Teilen herstellen. Zuerst fing nur ein Arbeiter an zu arbeiten, und nach einer Weile kam ein zweiter dazu. Als 1/6 aller Teile fertig waren, begann auch der dritte Arbeiter mit der Arbeit. Sie beendeten die Arbeit zur gleichen Zeit und stellten jeweils die gleiche Anzahl von Teilen her. Wie lange hat der dritte Arbeiter gearbeitet, wenn bekannt ist, dass er zwei Stunden weniger gearbeitet hat als der zweite und dass der erste und der zweite zusammen 9 Stunden früher alle erforderlichen Teile produzieren konnten, als der dritte separat gearbeitet hätte?

Lösung. Lassen Sie den ersten Arbeiter x Stunden und den dritten Arbeiter x Stunden arbeiten. Dann arbeitete der zweite Arbeiter noch 2 Stunden, also y + 2 Stunden. Jeder von ihnen gemacht gleiche Menge Teile, also 1/3 aller Teile. Folglich würde der erste alle Details in 3 Stunden machen, der zweite in 3 (y + 2) Stunden und der dritte in 3y Stunden. Daher produziert der erste in einer Stunde Teil aller Details, der zweite - und drittens - .

Da alle drei während ihrer gemeinsamen Arbeit produzierten alle Details, dann bekommen wir die erste Gleichung (alle drei haben zusammen an der Uhr gearbeitet)

. (1)

Der erste und der zweite Arbeiter hätten bei gemeinsamer Arbeit alle Teile 9 Stunden früher zusammengebaut, als es der dritte Arbeiter allein getan hätte. Von hier aus erhalten wir die zweite Gleichung

. (2)

Diese beiden Gleichungen lassen sich leicht auf ein äquivalentes System zurückführen

Wenn wir aus der zweiten Gleichung x ausdrücken und in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir y 3 -5 Jahre 2 - 32y - 36 = 0. Diese Gleichung wird faktorisiert(j- 9) (y +2) 2 = 0.

Da y > 0 ist, hat die Gleichung nur eins gewünschte Wurzel y = 9.Antworten:y = 9.

Aufgabe 14. Wasser tritt gleichmäßig in die Grube ein, 10 identische Pumpen, die gleichzeitig wirken, können in 12 Stunden Wasser aus einer gefüllten Grube pumpen, und 15 solcher Pumpen - in 6H.Wie lange können 25 solcher Pumpen zusammenarbeiten, um Wasser aus einer gefüllten Grube zu pumpen?

Lösung.Lassen Sie das Volumen der GrubevM 3 , und die Leistung jeder Pumpe ist x m 3 um ein Uhr. Wasser fließt kontinuierlich in die Grube.T.k. Die Höhe der Quittung ist unbekannt, dann bezeichnen wir mit y m 3 pro Stunde - die Wassermenge, die in die Grube gelangt. Zehn Pumpen werden in 12 Stunden abpumpen X= 120x Wasser. Diese Wassermenge entspricht dem Gesamtvolumen der Grube und dem Volumen des Wassers, das in 12 Stunden in die Grube eintritt. Dieser gesamte Band istv+12 j. Wenn wir diese Volumina gleichsetzen, machen wir die erste Gleichung 120x =v + 12 j .

In ähnlicher Weise wird für 15 solcher Pumpen eine Gleichung aufgestellt:15-6 X = v + 6 joder 90X = v + 6 j. Aus der ersten Gleichung haben wir V = 120x - 12y. Setzen wir V in die zweite Gleichung ein, erhalten wir y = 5x.

Der Zeitraum, in dem 25 solcher Pumpen betrieben werden, ist unbekannt. Bezeichnen wir es mitT. Dann stellen wir unter Berücksichtigung der Bedingungen des Problems analog die letzte Gleichung zusammen. Wir haben 25tx=V+ty. Setzen wir y und V in diese Gleichung ein, finden wir 25tx= 120x -12 5x +T 5x oder 20tx= 60x. Von hier bekommen wirT= 3 Stunden.Antworten: für 3 Stunden.

Aufgabe 15. Zwei Teams arbeiteten 15 Tage lang zusammen, dann kam ein drittes Team hinzu, und 5 Tage später waren alle Arbeiten abgeschlossen. Es ist bekannt, dass die zweite Brigade täglich 20 % mehr produziert als die erste. Die zweite und dritte Brigade könnten zusammen die ganze Arbeit erledigen die Zeit, die erforderlich ist, um alle Arbeiten des ersten und dritten Teams abzuschließen, wenn sie zusammenarbeiten. Wie lange würden alle drei Teams brauchen, um die ganze Arbeit zu erledigen und zusammenzuarbeiten?

Lösung. Lassen Sie die gesamte Arbeit getrennt arbeiten und von dem ersten, zweiten und dritten Team für x, y und ausführenzTage. Dann an dem Tag, an dem sie auftreten Teil der Arbeit. Transformation der ersten Bedingung des Problems in eine Gleichung unter der Annahme, dass der gesamte Arbeitsaufwand gleich eins, wir bekommen

15 oder

(1)

20 .

Da die zweite Brigade 120 % dessen produziert, was die erste Brigade tut (20 % mehr), haben wir oder . (2)

Die zweite und dritte Brigade würden die ganze Arbeit in 1 / Tag, und der erste und dritte - für 1/ Tage. Gemäß der Bedingung ist der erste Wert gleich

(3)