Gleichseitiges Parallelogramm. Forschungsprojekt „Parallelogramm und seine Eigenschaften“. Anwendung in der Vektoralgebra
Dies ist ein Viereck gegenüberliegende Seiten die paarweise parallel sind.
Eigentum 1. Jede Diagonale eines Parallelogramms teilt es in zwei gleiche Dreiecke.
Nachweisen . Gemäß der II-Charakteristik (Querwinkel und gemeinsame Seite).
Der Satz ist bewiesen.
Eigentum 2. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich, entgegengesetzte Winkel sind gleich.
Nachweisen .
Ebenfalls,
Der Satz ist bewiesen.
Eigenschaft 3. In einem Parallelogramm werden die Diagonalen durch den Schnittpunkt halbiert.
Nachweisen .
Der Satz ist bewiesen.
Eigentum 4. Die Winkelhalbierende eines Parallelogramms, die die gegenüberliegende Seite schneidet, teilt es in gleichschenkligen Dreiecks und Trapez. (Ch. Wörter - Scheitelpunkt - zwei gleichschenklige? -ka).
Nachweisen .
Der Satz ist bewiesen.
Eigentum 5. In einem Parallelogramm wird ein Liniensegment mit gegenüberliegenden Enden, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen verläuft, durch diesen Punkt halbiert.
Nachweisen .
Der Satz ist bewiesen.
Eigentum 6. Winkel zwischen Höhen, die von einem Scheitelpunkt aus fallen stumpfer Winkel Parallelogramm ist gleich scharfe Ecke Parallelogramm.
Nachweisen .
Der Satz ist bewiesen.
Eigentum 7. Die Summe der Winkel eines an eine Seite angrenzenden Parallelogramms beträgt 180°.
Nachweisen .
Der Satz ist bewiesen.
Konstruieren der Winkelhalbierenden. Eigenschaften der Winkelhalbierenden eines Dreiecks.
1) Konstruieren Sie ein beliebiges Strahl-DE.
2) Konstruieren Sie auf einem gegebenen Strahl einen beliebigen Kreis mit einem Mittelpunkt am Scheitelpunkt und demselben
mit dem Mittelpunkt am Anfang des konstruierten Strahls.
3) F und G – Schnittpunkte des Kreises mit den Seiten angegebenen Winkel, H ist der Schnittpunkt des Kreises mit dem konstruierten Strahl
Konstruieren Sie einen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt H und einem Radius gleich FG.
5) I ist der Schnittpunkt der Kreise des konstruierten Balkens.
6) Zeichnen Sie eine gerade Linie durch den Scheitelpunkt und I.
IDH ist der erforderliche Winkel.
)
Eigentum 1. Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis zu den benachbarten Seiten.
Nachweisen . Seien x, y Segmente der Seite c. Setzen wir den Strahl BC fort. Auf dem Strahl BC zeichnen wir von C ein Segment CK gleich AC auf.
Nachweisen
Zeichnen wir zunächst die Diagonale AC. Wir erhalten zwei Dreiecke: ABC und ADC.
Da ABCD ein Parallelogramm ist, gilt Folgendes:
ANZEIGE || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 als würde man quer liegen.
AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4 als würde man quer liegen.
Daher ist \triangle ABC = \triangle ADC (gemäß dem zweiten Kriterium: und AC ist üblich).
Und daher ist \triangle ABC = \triangle ADC, dann ist AB = CD und AD = BC.
Bewährt!
2. Gegensätzliche Winkel sind identisch.
Nachweisen
Laut Beweis Eigenschaften 1 Wir wissen das \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Somit ist die Summe der entgegengesetzten Winkel: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Unter Berücksichtigung von \triangle ABC = \triangle ADC erhalten wir \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
Bewährt!
3. Die Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
Nachweisen
Zeichnen wir eine weitere Diagonale.
Von Eigentum 1 Wir wissen, dass gegenüberliegende Seiten identisch sind: AB = CD. Beachten Sie noch einmal die über Kreuz liegenden gleichen Winkel.
Somit ist klar, dass \triangle AOB = \triangle COD gemäß dem zweiten Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken (zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen). Das heißt, BO = OD (gegenüber den Ecken \angle 2 und \angle 1) und AO = OC (gegenüber den Ecken \angle 3 bzw. \angle 4).
Bewährt!
Anzeichen eines Parallelogramms
Wenn in Ihrem Problem nur ein Merkmal vorhanden ist, dann ist die Figur ein Parallelogramm und Sie können alle Eigenschaften dieser Figur nutzen.
Für besseres Auswendiglernen Beachten Sie, dass der Parallelogrammtest die folgende Frage beantwortet: „Wie finde ich das heraus?“. Das heißt, woher wissen Sie was? Figur einstellen das ist ein Parallelogramm.
1. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen zwei Seiten gleich und parallel sind.
AB = CD ; AB || CD\Rightarrow ABCD ist ein Parallelogramm.
Nachweisen
Lass uns genauer hinschauen. Warum AD || BC?
\triangle ABC = \triangle ADC by Eigentum 1: AB = CD, AC - gemeinsam und \angle 1 = \angle 2 kreuzweise liegend mit Parallel AB und CD und Sekante AC.
Aber wenn \triangle ABC = \triangle ADC ist, dann ist \angle 3 = \angle 4 (liegen gegenüber AB bzw. CD). Und deshalb AD || BC (\angle 3 und \angle 4 – die über Kreuz liegenden sind ebenfalls gleich).
Das erste Zeichen ist richtig.
2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten gleich sind.
AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD ist ein Parallelogramm.
Nachweisen
Betrachten wir dieses Zeichen. Zeichnen wir noch einmal die Diagonale AC.
Von Eigentum 1\triangle ABC = \triangle ACD .
Es folgt dem: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || B.C. Und \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, das heißt, ABCD ist ein Parallelogramm.
Das zweite Zeichen ist richtig.
3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen entgegengesetzte Winkel gleich sind.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- Parallelogramm.
Nachweisen
2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(da ABCD ein Viereck ist und \angle A = \angle C , \angle B = \angle D gemäß der Bedingung).
Es stellt sich heraus, dass \alpha + \beta = 180^(\circ) . Aber \alpha und \beta sind an der Sekante AB intern einseitig.
Und die Tatsache, dass \alpha + \beta = 180^(\circ) bedeutet auch, dass AD || B.C.
Darüber hinaus sind \alpha und \beta an der Sekante AD intern einseitig. Und das bedeutet AB || CD.
Das dritte Zeichen ist richtig.
4. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen Diagonalen durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden.
AO = OC ; BO = OD\Rechtspfeil-Parallelogramm.
Nachweisen
BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 als Vertikale \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, und \Rightarrow AB || CD.
Ebenso BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, und \Rightarrow AD || B.C.
Das vierte Zeichen ist richtig.
1. Definition eines Parallelogramms.
Wenn wir ein Paar paralleler Geraden mit einem anderen Paar paralleler Geraden schneiden, erhalten wir ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.
In den Vierecken ABDC und EFNM (Abb. 224) ВD || AC und AB || CD;
EF || MN und EM || FN.
Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind, wird Parallelogramm genannt.
2. Eigenschaften eines Parallelogramms.
Satz. Die Diagonale eines Parallelogramms teilt es in zwei gleiche Dreiecke.
Es gebe ein Parallelogramm ABDC (Abb. 225), in dem AB || CD und AC || ВD.
Sie müssen beweisen, dass die Diagonale es in zwei gleiche Dreiecke teilt.
Zeichnen wir die Diagonale CB im Parallelogramm ABDC. Beweisen wir, dass \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.
Die NE-Seite ist diesen Dreiecken gemeinsam; ∠ABC = ∠BCD, als interne Kreuzwinkel mit Parallelen AB und CD und Sekante CB; ∠ACB = ∠СВD, auch wie innere Kreuzwinkel mit Parallelen AC und BD und Sekante CB.
Daher ist \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.
Auf die gleiche Weise kann man beweisen, dass die Diagonale AD das Parallelogramm in zwei gleiche Dreiecke ACD und ABD teilt.
Folgen:
1 . Entgegengesetzte Winkel eines Parallelogramms sind einander gleich.
∠A = ∠D, dies folgt aus der Gleichheit der Dreiecke CAB und CDB.
Ebenso ist ∠C = ∠B.
2. Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind einander gleich.
AB = CD und AC = BD, da diese Seiten gleicher Dreiecke sind und gegenüberliegen gleiche Winkel.
Satz 2. Die Diagonalen eines Parallelogramms werden am Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
Seien BC und AD die Diagonalen des Parallelogramms ABC (Abb. 226). Beweisen wir, dass AO = OD und CO = OB.
Vergleichen Sie dazu ein Paar gegenüberliegender Dreiecke, zum Beispiel \(\Delta\)AOB und \(\Delta\)СOD.
In diesen Dreiecken AB = CD, wie gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms;
∠1 = ∠2, als kreuzweise liegende Innenwinkel mit den Parallelen AB und CD und der Sekante AD;
∠3 = ∠4 aus demselben Grund, da AB || CD und SV sind ihre Sekanten.
Daraus folgt, dass \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СOD. Und in gleiche Dreiecke liegen gleiche Winkel gegenüber gleiche Seiten. Daher ist AO = OD und CO = OB.
Satz 3. Die Summe der an einer Seite eines Parallelogramms angrenzenden Winkel ist gleich 180°.
Im Parallelogramm ABCD zeichnen wir die Diagonale AC und erhalten zwei Dreieck ABC und ADC.
Die Dreiecke sind gleich, da ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (Kreuzwinkel für parallele Linien) und die Seite AC gemeinsam ist.
Aus der Gleichung \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC folgt AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
Die Summe der an einer Seite angrenzenden Winkel, beispielsweise der Winkel A und D, beträgt als einseitige Winkel für parallele Linien 180°.
Durchschnittsniveau
Parallelogramm, Rechteck, Raute, Quadrat (2019)
1. Parallelogramm
Zusammengesetztes Wort „Parallelogramm“? Und dahinter verbirgt sich eine ganz einfache Figur.
Nun, das heißt, wir haben zwei parallele Linien genommen:
Von zwei weiteren gekreuzt:
Und drinnen ist ein Parallelogramm!
Welche Eigenschaften hat ein Parallelogramm?
Eigenschaften eines Parallelogramms.
Das heißt, was können Sie verwenden, wenn dem Problem ein Parallelogramm gegeben wird?
Der folgende Satz beantwortet diese Frage:
Lassen Sie uns alles im Detail zeichnen.
Was bedeutet erster Punkt des Satzes? Und Tatsache ist: Wenn Sie ein Parallelogramm haben, dann werden Sie es mit Sicherheit tun
Der zweite Punkt bedeutet, dass, wenn es ein Parallelogramm gibt, wiederum mit Sicherheit:
Nun, und schließlich bedeutet der dritte Punkt: Wenn Sie ein Parallelogramm haben, dann stellen Sie sicher, dass Sie:
Sehen Sie, wie groß die Auswahl ist? Was ist bei dem Problem zu verwenden? Versuchen Sie, sich auf die Fragestellung der Aufgabe zu konzentrieren, oder probieren Sie einfach alles einzeln aus – ein „Schlüssel“ reicht aus.
Stellen wir uns nun eine andere Frage: Wie können wir ein Parallelogramm „am Anblick“ erkennen? Was muss mit einem Viereck geschehen, damit wir ihm den „Titel“ eines Parallelogramms geben dürfen?
Mehrere Anzeichen eines Parallelogramms beantworten diese Frage.
Anzeichen eines Parallelogramms.
Aufmerksamkeit! Beginnen.
Parallelogramm.
Bitte beachten Sie: Wenn Sie in Ihrem Problem mindestens ein Zeichen gefunden haben, dann haben Sie definitiv ein Parallelogramm und können alle Eigenschaften eines Parallelogramms nutzen.
2. Rechteck
Ich denke, das wird Ihnen überhaupt nichts Neues sein
Erste Frage: Ist ein Rechteck ein Parallelogramm?
Natürlich ist es das! Immerhin hat er – erinnern Sie sich, unser Zeichen 3?
Und daraus folgt natürlich, dass in einem Rechteck, wie in jedem Parallelogramm, die Diagonalen durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden.
Aber das Rechteck hat auch eine besondere Eigenschaft.
Rechteckeigenschaft
Warum ist diese Immobilie einzigartig? Denn kein anderes Parallelogramm hat gleiche Diagonalen. Formulieren wir es klarer.
Bitte beachten Sie: Um ein Rechteck zu werden, muss aus einem Viereck zunächst ein Parallelogramm werden und dann die Gleichheit der Diagonalen nachgewiesen werden.
3. Diamant
Und wieder die Frage: Ist eine Raute ein Parallelogramm oder nicht?
Mit jedem Recht - ein Parallelogramm, weil es und hat (erinnern Sie sich an unsere Funktion 2).
Und da eine Raute ein Parallelogramm ist, muss sie alle Eigenschaften eines Parallelogramms haben. Das bedeutet, dass in einer Raute gegenüberliegende Winkel gleich sind, gegenüberliegende Seiten parallel sind und sich die Diagonalen im Schnittpunkt halbieren.
Eigenschaften einer Raute
Sehen Sie das Bild an:
Wie bei einem Rechteck sind diese Eigenschaften charakteristisch, das heißt, für jede dieser Eigenschaften können wir schließen, dass es sich nicht nur um ein Parallelogramm, sondern um eine Raute handelt.
Zeichen eines Diamanten
Und noch einmal: Achtung: Es darf nicht nur ein Viereck sein, dessen Diagonalen senkrecht zueinander stehen, sondern ein Parallelogramm. Stellen Sie sicher:
Nein, natürlich, obwohl seine Diagonalen senkrecht sind und die Diagonale die Winkelhalbierende der Winkel und ist. Aber... Diagonalen werden durch den Schnittpunkt nicht in zwei Hälften geteilt, also KEIN Parallelogramm und daher KEINE Raute.
Das heißt, ein Quadrat ist gleichzeitig ein Rechteck und eine Raute. Mal sehen was passiert.
Ist klar, warum? - Raute ist die Winkelhalbierende des Winkels A, die gleich ist. Dies bedeutet, dass es sich entlang der Länge in zwei Winkel teilt (und auch).
Nun, es ist ganz klar: Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich; Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander, und im Allgemeinen wird ein Parallelogramm von Diagonalen durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
DURCHSCHNITTSNIVEAU
Eigenschaften von Vierecken. Parallelogramm
Eigenschaften eines Parallelogramms
Aufmerksamkeit! Wörter " Eigenschaften eines Parallelogramms„Meine das, wenn in deiner Aufgabe Es gibt Parallelogramm, dann können alle folgenden verwendet werden.
Satz über die Eigenschaften eines Parallelogramms.
In jedem Parallelogramm:
Mit anderen Worten: Lassen Sie uns verstehen, warum das alles wahr ist WIR WERDEN BEWEISEN Satz.
Warum ist 1) wahr?
Wenn es ein Parallelogramm ist, dann:
- liegen wie kreuz und quer
- liegen wie Kreuze.
Dies bedeutet (gemäß Kriterium II: und - allgemein.)
Nun, das ist es, das ist es! - bewiesen.
Aber übrigens! Wir haben auch 2) bewiesen!
Warum? Aber (schauen Sie sich das Bild an), das ist genau so.
Nur 3 übrig).
Dazu müssen Sie noch eine zweite Diagonale zeichnen.
Und jetzt sehen wir das - gemäß der II-Charakteristik (Winkel und die Seite „zwischen“ ihnen).
Eigenschaften nachgewiesen! Kommen wir zu den Schildern.
Anzeichen eines Parallelogramms
Denken Sie daran, dass das Parallelogrammzeichen die Frage „Woher wissen Sie?“ beantwortet, dass eine Figur ein Parallelogramm ist.
Bei Icons sieht das so aus:
Warum? Es wäre schön zu verstehen, warum – das reicht. Aber schau:
Nun haben wir herausgefunden, warum Zeichen 1 wahr ist.
Nun, es ist noch einfacher! Zeichnen wir noch einmal eine Diagonale.
Was bedeutet:
UND Es ist auch einfach. Aber anders!
Bedeutet, . Wow! Aber auch - intern einseitig mit Sekante!
Deshalb bedeutet die Tatsache, dass das so ist.
Und wenn Sie von der anderen Seite schauen, dann - innen einseitig mit einer Sekante! Und deswegen.
Siehst du, wie großartig es ist?!
Und wieder einfach:
Genau das Gleiche, und.
Passt auf: wenn du es gefunden hast obwohl ein Anzeichen für ein Parallelogramm in Ihrem Problem, dann haben Sie es genau Parallelogramm und Sie können verwenden alle Eigenschaften eines Parallelogramms.
Zur vollständigen Verdeutlichung sehen Sie sich das Diagramm an:
Eigenschaften von Vierecken. Rechteck.
Rechteckeigenschaften:
Punkt 1) liegt auf der Hand, schließlich ist Zeichen 3 () einfach erfüllt
Und Punkt 2) - sehr wichtig. Also, lasst uns das beweisen
Das bedeutet auf zwei Seiten (und - allgemein).
Nun, da die Dreiecke gleich sind, sind auch ihre Hypotenusen gleich.
Geprüft, dass!
Und stellen Sie sich die Gleichheit der Diagonalen vor - unverwechselbare Eigenschaft nämlich ein Rechteck unter allen Parallelogrammen. Das heißt, diese Aussage ist wahr^
Lassen Sie uns verstehen, warum?
Dies bedeutet (gemeint sind die Winkel eines Parallelogramms). Aber erinnern wir uns noch einmal daran, dass es sich um ein Parallelogramm handelt und daher.
Bedeutet, . Nun, daraus folgt natürlich, dass jeder von ihnen! Schließlich müssen sie in Summe geben!
Sie haben also bewiesen, dass wenn Parallelogramm plötzlich (!) sind die Diagonalen gleich, dann das genau ein Rechteck.
Aber! Passt auf! Es geht um Parallelogramme! Nicht irgendjemand Viereck mit gleiche Diagonalen- ein Rechteck und nur Parallelogramm!
Eigenschaften von Vierecken. Rhombus
Und wieder die Frage: Ist eine Raute ein Parallelogramm oder nicht?
Mit vollem Recht - ein Parallelogramm, weil es (erinnern Sie sich an unsere Funktion 2).
Und da eine Raute ein Parallelogramm ist, muss sie alle Eigenschaften eines Parallelogramms haben. Das bedeutet, dass in einer Raute gegenüberliegende Winkel gleich sind, gegenüberliegende Seiten parallel sind und sich die Diagonalen im Schnittpunkt halbieren.
Es gibt aber auch besondere Eigenschaften. Formulieren wir es.
Eigenschaften einer Raute
Warum? Da eine Raute ein Parallelogramm ist, sind ihre Diagonalen in zwei Hälften geteilt.
Warum? Ja, deshalb!
Mit anderen Worten, die Diagonalen erwiesen sich als Winkelhalbierende der Ecken der Raute.
Diese Eigenschaften gelten wie bei einem Rechteck unverwechselbar, jeder von ihnen ist auch ein Zeichen einer Raute.
Zeichen eines Diamanten.
Warum ist das? Und schau,
Das bedeutet beide Diese Dreiecke sind gleichschenklig.
Um eine Raute zu sein, muss ein Viereck zunächst ein Parallelogramm „werden“ und dann Merkmal 1 oder Merkmal 2 aufweisen.
Eigenschaften von Vierecken. Quadrat
Das heißt, ein Quadrat ist gleichzeitig ein Rechteck und eine Raute. Mal sehen was passiert.
Ist klar, warum? Ein Quadrat – eine Raute – ist die Winkelhalbierende eines Winkels, der gleich ist. Dies bedeutet, dass es sich entlang der Länge in zwei Winkel teilt (und auch).
Nun, es ist ganz klar: Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich; Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander, und im Allgemeinen wird ein Parallelogramm von Diagonalen durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
Warum? Nun, wenden Sie einfach den Satz des Pythagoras an...
ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN
Eigenschaften eines Parallelogramms:
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich: , .
- Entgegengesetzte Winkel sind gleich: , .
- Die Winkel auf einer Seite ergeben zusammen: , .
- Die Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt: .
Rechteckeigenschaften:
- Die Diagonalen des Rechtecks sind gleich: .
- Ein Rechteck ist ein Parallelogramm (für ein Rechteck sind alle Eigenschaften eines Parallelogramms erfüllt).
Eigenschaften einer Raute:
- Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht zueinander: .
- Die Diagonalen einer Raute sind die Winkelhalbierenden: ; ; ; .
- Eine Raute ist ein Parallelogramm (für eine Raute sind alle Eigenschaften eines Parallelogramms erfüllt).
Eigenschaften eines Quadrats:
Ein Quadrat ist eine Raute und ein Rechteck zugleich, daher sind für ein Quadrat alle Eigenschaften eines Rechtecks und einer Raute erfüllt. Und auch.
