خانه » طراحی آپارتمان » 3 تعریف کلاسیک از ویژگی احتمال احتمال. احتمال کلاسیک و خواص آن نمونه هایی از تعریف کلاسیک احتمال

3 تعریف کلاسیک از ویژگی احتمال احتمال. احتمال کلاسیک و خواص آن نمونه هایی از تعریف کلاسیک احتمال

صفحه مفید؟ ذخیره کنید یا به دوستان خود بگویید

مفهوم اصلی نظریه احتمال، مفهوم یک رویداد تصادفی است. رویداد تصادفیرویدادی است که ممکن است در صورت رعایت شرایط خاص رخ دهد یا نباشد. به عنوان مثال، ضربه زدن به یک جسم خاص یا گم شدن هنگام شلیک به این شی از یک سلاح مشخص، یک رویداد تصادفی است.

رویداد نامیده می شود قابل اعتماد، اگر در نتیجه آزمایش لزوماً رخ دهد. غیر ممکنرویدادی نامیده می شود که در نتیجه آزمایش نمی تواند رخ دهد.

رویدادهای تصادفی نامیده می شوند ناسازگاردر یک محاکمه مشخص اگر هیچ دو نفر از آنها نتوانند با هم ظاهر شوند.

رویدادهای تصادفی شکل می گیرند گروه کامل، در صورتی که در طول هر آزمایش، یکی از آنها ظاهر شود و هیچ رویداد دیگری ناسازگار با آنها ظاهر نشود.

اجازه دهید گروه کامل رویدادهای تصادفی ناسازگار به همان اندازه ممکن را در نظر بگیریم. ما چنین رویدادهایی را می نامیم نتایج یا رویدادهای ابتدایی. نتیجه نامیده می شود مطلوبوقوع رویداد $A$، اگر وقوع این نتیجه مستلزم وقوع رویداد $A$ باشد.

مثال.کوزه شامل 8 توپ شماره دار است (هر توپ یک عدد از 1 تا 8 دارد). توپ های با شماره های 1، 2، 3 قرمز و بقیه سیاه هستند. ظاهر شدن یک توپ با شماره 1 (یا شماره 2 یا شماره 3) رویدادی مطلوب برای ظاهر توپ قرمز است. ظاهر شدن یک توپ با عدد 4 (یا عدد 5، 6، 7، 8) اتفاقی است که برای ظاهر یک توپ سیاه مناسب است.

احتمال وقوع رویداد$A$ نسبت تعداد $m$ نتایج مطلوب برای این رویداد به تعداد کل $n$ تمام نتایج ابتدایی ناسازگار به همان اندازه ممکن است که گروه کامل $$P(A)=\frac(m) را تشکیل می‌دهند. n). \quad(1)$$

ملک 1.احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است
ملک 2.احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.
ملک 3.احتمال یک رویداد تصادفی عددی مثبت بین صفر و یک است.

بنابراین، احتمال هر رویدادی نابرابری مضاعف $0 \le P(A) \le 1$ را برآورده می کند.

ماشین حساب های آنلاین

تعداد زیادی از مسائل حل شده با استفاده از فرمول (1) مربوط به مبحث احتمال ابر هندسی است. در زیر می توانید شرح مشکلات رایج و ماشین حساب های آنلاین برای راه حل های آنها را با استفاده از پیوندها بیابید:

مشکل در مورد توپ ها (توپ های $k$ سفید و $n$ سیاه در یک کوزه وجود دارد، توپ های $m$ خارج می شوند...)
مشکل در مورد قطعات (یک جعبه حاوی $k$ استاندارد و $n$ قطعات معیوب است، قطعات $m$ خارج شده است...)
مشکل در مورد بلیط های بخت آزمایی (در قرعه کشی $k$ برنده و $n$ بلیط غیربرنده وجود دارد، بلیط $m$ خریداری شده است...)

نمونه هایی از راه حل های مشکلات احتمالی کلاسیک

مثال. 10 توپ شماره دار در کوزه با اعداد 1 تا 10 وجود دارد. یک توپ خارج می شود. احتمال اینکه تعداد توپ کشیده شده از 10 بیشتر نشود چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید رویداد آ= (تعداد توپ کشیده شده از 10 تجاوز نمی کند). تعداد مواردی که منجر به وقوع رویداد می شود آبرابر با تعداد تمام موارد ممکن است متر=n=10. از این رو، آر(آ)=1. رویداد و قابل اعتماد.

مثال. 10 توپ در یک کوزه وجود دارد: 6 توپ سفید و 4 توپ سیاه. دو توپ بیرون آورده شد. احتمال سفید بودن هر دو توپ چقدر است؟

راه حل.می توانید دو توپ از ده توپ را به روش های زیر حذف کنید: .
تعداد دفعاتی که در بین این دو توپ دو توپ سفید وجود خواهد داشت .
احتمال مورد نیاز
.

مثال.در یک کوزه 15 توپ وجود دارد: 5 توپ سفید و 10 توپ سیاه. احتمال کشیدن یک توپ آبی از داخل کوزه چقدر است؟

راه حل.از آنجایی که هیچ توپ آبی در کوزه وجود ندارد، پس متر=0, n= 15. بنابراین، احتمال لازم است آر=0. رویداد ترسیم توپ آبی غیر ممکن.

مثال.یک کارت از یک دسته 36 کارتی کشیده می شود. احتمال ظاهر شدن کارت در کت و شلوار قلب چقدر است؟

راه حل. تعداد نتایج اولیه (تعداد کارت) n=36. رویداد آ= (ظاهر یک کارت کت و شلوار قلب). تعداد مواردی که منجر به وقوع رویداد می شود آ, متر=9. از این رو،
.

مثال. 6 مرد و 4 زن در دفتر کار می کنند. 7 نفر به صورت تصادفی برای جابجایی انتخاب شدند. این احتمال را بیابید که از بین افراد انتخاب شده سه نفر زن هستند.

مؤسسه آموزشی شهرداری

سالن بدنسازی شماره 6

با موضوع "تعریف کلاسیک احتمال"

تکمیل شده توسط دانش آموز کلاس 8 "B"

کلیمانتووا الکساندرا.

معلم ریاضیات: Videnkina V. A.

ورونژ، 2008

بسیاری از بازی ها از تاس استفاده می کنند. مکعب دارای 6 ضلع است، هر طرف دارای تعداد نقاط متفاوتی است که روی آن مشخص شده است - از 1 تا 6. بازیکن تاس را می اندازد و به چند نقطه در سمت افتاده نگاه می کند (در سمتی که در بالا قرار دارد) . اغلب نقاط روی مکعب با عدد مربوطه جایگزین می شوند و سپس در مورد چرخاندن عدد 1، 2 یا 6 صحبت می کنند. پرتاب یک قالب را می توان آزمایش، آزمایش، آزمایش در نظر گرفت و نتیجه به دست آمده نتیجه یک آزمون یا یک رویداد ابتدایی. مردم علاقه مند به حدس زدن وقوع این یا آن رویداد و پیش بینی نتیجه آن هستند. وقتی تاس می اندازند چه پیش بینی هایی می توانند داشته باشند؟ مثلاً اینها:

رویداد A - عدد 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 رول می شود.
رویداد B - عدد 7، 8 یا 9 رول می شود.
رویداد C - عدد 1 ظاهر می شود.

رویداد A که در حالت اول پیش‌بینی شد، قطعاً رخ خواهد داد. به طور کلی، رویدادی که مطمئناً در یک تجربه خاص رخ می دهد نامیده می شود رویداد قابل اعتماد.

رویداد B، که در مورد دوم پیش‌بینی شده است، هرگز رخ نخواهد داد، به سادگی غیرممکن است. به طور کلی، رویدادی که نمی تواند در یک تجربه خاص رخ دهد نامیده می شود رویداد غیر ممکن.

و آیا رویداد C پیش بینی شده در حالت سوم رخ می دهد یا خیر؟ ما نمی‌توانیم با اطمینان کامل به این سؤال پاسخ دهیم، زیرا ممکن است 1 بیفتد یا نشود. رویدادی که ممکن است در یک تجربه خاص رخ دهد یا نباشد، نامیده می شود رویداد تصادفی.

هنگامی که به وقوع یک رویداد قابل اعتماد فکر می کنیم، به احتمال زیاد از کلمه "احتمالا" استفاده نمی کنیم. به عنوان مثال، اگر امروز چهارشنبه است، پس فردا پنجشنبه است، این یک رویداد قابل اعتماد است. روز چهارشنبه نخواهیم گفت: «احتمالاً فردا پنجشنبه است»، به طور خلاصه و واضح می گوییم: «فردا پنجشنبه است». درست است، اگر ما مستعد عبارات زیبا باشیم، می توانیم این را بگوییم: "به احتمال صد در صد می گویم فردا پنجشنبه است." برعکس، اگر امروز چهارشنبه است، پس شروع جمعه فردا یک رویداد غیرممکن است. با ارزیابی این رویداد در روز چهارشنبه می توان گفت: "من مطمئن هستم که فردا جمعه نیست." یا این: "باورنکردنی است که فردا جمعه است." خوب، اگر مستعد عبارات زیبا باشیم، می توانیم این را بگوییم: "احتمال اینکه فردا جمعه باشد صفر است." بنابراین، یک رویداد قابل اعتماد رویدادی است که در شرایط معین رخ می دهد با احتمال صد در صد(یعنی در 10 مورد از 10 مورد، در 100 مورد از 100 و غیره رخ می دهد). یک رویداد غیرممکن رویدادی است که هرگز در شرایط معین رخ نمی دهد، یک رویداد با احتمال صفر.

اما، متأسفانه (و شاید خوشبختانه)، همه چیز در زندگی آنقدر واضح و دقیق نیست: همیشه خواهد بود (رویداد معین)، هرگز نخواهد بود (رویداد غیرممکن). اغلب ما با رویدادهای تصادفی روبرو می شویم که برخی از آنها محتمل تر و برخی دیگر کمتر محتمل هستند. معمولاً مردم از کلمات "به احتمال زیاد" یا "کمتر احتمال دارد" استفاده می کنند ، همانطور که می گویند ، از روی هوس و با تکیه بر آنچه که عقل سلیم نامیده می شود. اما اغلب چنین برآوردهایی ناکافی به نظر می رسد، زیرا دانستن آن مهم است برای چه مدتدرصد احتمالاً یک رویداد تصادفی یا چند باریک رویداد تصادفی بیشتر از دیگری محتمل است. به عبارت دیگر، ما به دقت نیاز داریم کمیویژگی ها، شما باید بتوانید احتمال را با یک عدد مشخص کنید.

ما قبلاً اولین قدم ها را در این راستا برداشته ایم. گفتیم که احتمال وقوع یک رویداد خاص به این صورت مشخص می شود صد در صد، و احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن به اندازه است صفر. با توجه به اینکه 100% برابر با 1 است، افراد در موارد زیر توافق کردند:

احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر در نظر گرفته می شود 1;
احتمال یک رویداد غیرممکن برابر در نظر گرفته می شود 0.

چگونه احتمال یک رویداد تصادفی را محاسبه کنیم؟ بالاخره این اتفاق افتاد به طور تصادفی، به این معنی که از قوانین، الگوریتم ها یا فرمول ها تبعیت نمی کند. به نظر می رسد که در دنیای تصادفی قوانین خاصی اعمال می شود که به شخص امکان محاسبه احتمالات را می دهد. این شاخه ای از ریاضیات است که به آن می گویند - نظریه احتمال.

ریاضیات با مدلبرخی از پدیده های واقعیت اطراف ما از بین تمام مدل های مورد استفاده در نظریه احتمال، ما خود را به ساده ترین آنها محدود می کنیم.

طرح احتمالی کلاسیک

برای یافتن احتمال رویداد A هنگام انجام آزمایشی، باید:

1) عدد N تمام نتایج ممکن این آزمایش را پیدا کنید.

2) فرض احتمال برابر (احتمال برابر) همه این نتایج را بپذیرید.

3) عدد N(A) از نتایج تجربی را که در آن رویداد A رخ می دهد، بیابید.

4) ضریب را پیدا کنید ; برابر با احتمال رویداد A خواهد بود.

معمولاً احتمال رویداد A را نشان می دهند: P(A). توضیح این نام گذاری بسیار ساده است: کلمه "احتمال" در زبان فرانسوی است احتمالی، به انگلیسی- احتمال.تعریف از حرف اول کلمه استفاده می کند.

با استفاده از این نماد، احتمال رویداد A مطابق طرح کلاسیک را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

P(A)=.

اغلب تمام نکات طرح احتمالی کلاسیک فوق در یک عبارت نسبتا طولانی بیان می شود.

تعریف کلاسیک احتمال

احتمال رخداد A در طول یک آزمون معین، نسبت تعداد پیامدهایی است که در نتیجه رویداد A رخ می دهد به تعداد کل همه نتایج ممکن این آزمون.

مثال 1. این احتمال را بیابید که با یک پرتاب یک قالب نتیجه حاصل شود: a) 4; ب) 5; ج) تعداد نقاط زوج؛ د) تعداد امتیازات بیشتر از 4. ه) تعداد نقاط غیر قابل تقسیم بر سه.

راه حل. در مجموع N=6 نتیجه ممکن وجود دارد: افتادن از یک صفحه مکعبی با تعداد نقاط برابر با 1، 2، 3، 4، 5 یا 6. ما معتقدیم که هیچ یک از آنها هیچ مزیتی نسبت به بقیه ندارند، یعنی ما این فرض را بپذیرید که همسان بودن این نتایج.

الف) دقیقاً در یکی از نتایج، رویداد مورد علاقه ما، A رخ خواهد داد - عدد 4 ظاهر می شود

پ(آ)= =.

ب) راه حل و پاسخ مانند بند قبل است.

ج) رویداد B مورد علاقه ما دقیقاً در سه مورد رخ می دهد که تعداد نقاط 2، 4 یا 6 باشد.

ن(ب)=3 وپ(ب)==.

د) رویداد C مورد علاقه ما دقیقاً در دو مورد رخ می دهد که تعداد نقاط 5 یا 6 باشد.

ن(سی) =2 و Р(С)=.

ه) از شش عدد ممکن ترسیم شده، چهار عدد (1، 2، 4 و 5) مضرب سه نیستند و دو عدد باقی مانده (3 و 6) بر سه بخش پذیرند. این بدان معنی است که رویداد مورد علاقه ما دقیقاً در چهار مورد از شش نتیجه ممکن و به همان اندازه محتمل و به همان اندازه احتمالی آزمایش رخ می دهد. بنابراین، پاسخ معلوم می شود.

پاسخ: الف)؛ ب)؛ V)؛ ز)؛ د).

یک تاس واقعی ممکن است با یک مکعب ایده‌آل (مدل) متفاوت باشد، بنابراین، برای توصیف رفتار آن، مدل دقیق‌تر و دقیق‌تری با در نظر گرفتن مزایای یک چهره نسبت به دیگری، وجود احتمالی آهن‌ربا و غیره مورد نیاز است. "شیطان در جزئیات است" و دقت بیشتر منجر به پیچیدگی بیشتر می شود و دریافت پاسخ به یک مشکل تبدیل می شود. ما خود را به در نظر گرفتن ساده ترین مدل احتمالی محدود می کنیم، جایی که همه نتایج ممکن به یک اندازه محتمل هستند.

یادداشت 1. بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. این سوال پرسیده شد: "احتمال گرفتن رول سه در یک قالب چقدر است؟" دانش آموز پاسخ داد: "احتمال آن 0.5 است." و پاسخ خود را توضیح داد: «سه نفر یا بالا می آیند یا نه. این بدان معنی است که در مجموع دو نتیجه وجود دارد و دقیقاً در یکی از آنها رویداد مورد علاقه ما رخ می دهد. با استفاده از طرح احتمالی کلاسیک، پاسخ 0.5 را دریافت می کنیم. آیا در این استدلال اشتباهی وجود دارد؟ در نگاه اول، نه. با این حال، هنوز وجود دارد، و به شکلی اساسی. بله، در واقع، یک سه یا ظاهر می شود یا نه، یعنی با این تعریف از نتیجه پرتاب N=2. همچنین درست است که N(A) = 1 و البته درست است که =0.5، یعنی سه نقطه از طرح احتمالی در نظر گرفته شده است، اما تحقق نکته 2) مورد تردید است. البته، از نقطه نظر کاملاً قانونی، ما این حق را داریم که باور کنیم که چرخاندن یک سه به همان اندازه احتمال سقوط ندارد. اما آیا می‌توانیم بدون نقض فرضیات طبیعی خود در مورد «یکسانی» لبه‌ها، چنین فکر کنیم؟ البته که نه! در اینجا با استدلال صحیح در یک مدل خاص سروکار داریم. اما این مدل به خودی خود "اشتباه" است و با پدیده واقعی مطابقت ندارد.

تبصره 2. هنگام بحث درباره احتمال، از شرایط مهم زیر غافل نشوید. اگر بگوییم هنگام پرتاب تاس احتمال کسب یک امتیاز برابر است با یک امتیاز دقیقاً سه برابر و غیره. این کلمه احتمالاً حدس و گمان است. ما فرض می کنیم که چه چیزی به احتمال زیاد اتفاق می افتد. احتمالاً اگر تاس را 600 بار بیاندازیم، یک نقطه 100 بار یا حدود 100 بار بالا می آید.

نظریه احتمال در قرن هفدهم هنگام تجزیه و تحلیل بازی های شانسی مختلف مطرح شد. بنابراین تعجب آور نیست که اولین نمونه ها ماهیت بازی دارند. از مثال‌هایی با تاس، بیایید به بیرون کشیدن تصادفی کارت‌های بازی از روی عرشه بپردازیم.

مثال 2. از یک عرشه 36 کارتی، 3 کارت به طور تصادفی در همان زمان کشیده می شود. احتمال اینکه در بین آنها ملکه بیل وجود نداشته باشد چقدر است؟

راه حل. ما مجموعه ای از 36 عنصر داریم. ما سه عنصر را انتخاب می کنیم که ترتیب آنها مهم نیست. این به این معنی است که امکان به دست آوردن نتایج N=C وجود دارد. ما طبق طرح احتمالی کلاسیک عمل خواهیم کرد، یعنی فرض می کنیم که همه این نتایج به یک اندازه محتمل هستند.

باقی مانده است که احتمال مورد نیاز را طبق تعریف کلاسیک محاسبه کنیم:

احتمال اینکه در بین سه کارت انتخاب شده یک ملکه بیل وجود داشته باشد چقدر است؟ محاسبه تعداد چنین نتایجی کار دشواری نیست، شما فقط باید از همه نتایج N کم کنید، یعنی تعداد N(A) موجود در مثال 3 را کم کنید. سپس، مطابق با طرح احتمالی کلاسیک، این تفاوت N-N(A) باید بر N تقسیم شود. این چیزی است که به دست می آوریم:

می بینیم که ارتباط خاصی بین احتمالات دو رویداد وجود دارد. اگر رویداد A عدم حضور ملکه بیل و رویداد B حضور آن در بین سه کارت انتخابی باشد، پس

P(B)= 1—P(A)،

P(A)+P(B)=1.

متأسفانه در برابری P(A)+P(B)=1 هیچ اطلاعاتی در مورد ارتباط بین رویدادهای A و B وجود ندارد. ما باید این ارتباط را در نظر داشته باشیم. راحت تر است که رویداد B را از قبل یک نام و نام گذاری کنیم که به وضوح ارتباط آن را با A نشان دهد.

تعریف 1. رویداد Bتماس گرفت در مقابل رویداد Aو اگر رویداد B رخ دهد اگر و فقط اگر رویداد A رخ ندهد، B=Ā را نشان دهید.

تیقضیه 1. برای یافتن احتمال رویداد مخالف، احتمال خود رویداد را از وحدت کم کنید: P(Ā)= 1—P(A). در واقع،

در عمل، آنها چیزی را محاسبه می کنند که یافتن آن آسان تر است: P(A) یا P(Ā). پس از این، از فرمول قضیه استفاده کنید و به ترتیب P(Ā) = 1 - P(A) یا P(A) = 1 - P(Ā) را پیدا کنید.

روش حل یک مشکل خاص اغلب با "شمارش موارد" استفاده می شود، زمانی که شرایط مشکل به موارد متقابل منحصر به فرد تقسیم می شود که هر یک به طور جداگانه در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، "اگر به سمت راست بروید، اسب خود را از دست خواهید داد، اگر مستقیم بروید، یک مشکل در نظریه احتمال حل می کنید، اگر به سمت چپ بروید، ...." یا هنگام ساختن نموداری از تابع y=│x+1│—│2x—5│موارد x را در نظر بگیرید

مثال 3. از 50 امتیاز، 17 امتیاز آبی و 13 امتیاز نارنجی است. احتمال اینکه نقطه ای که به طور تصادفی انتخاب شده سایه دار شود را پیدا کنید.

راه حل. در مجموع 30 نقطه از 50 سایه دار هستند این به این معنی است که احتمال برابر با 0.6 است.

پاسخ: 0.6.

با این حال، بیایید به این مثال ساده با دقت بیشتری نگاه کنیم. بگذارید رویداد A این باشد که نقطه انتخاب شده آبی باشد و رویداد B این باشد که نقطه انتخاب شده نارنجی باشد. با توجه به شرایط، رویدادهای A و B نمی توانند به طور همزمان رخ دهند.

اجازه دهید رویداد مورد علاقه خود را با حرف C نشان دهیم. رویداد C در صورت وقوع و تنها در صورت وقوع رخ می دهد حداقل یکی از رویدادهای A یا B. واضح است که N(C)= N(A)+N(B).

اجازه دهید هر دو طرف این برابری را بر N تقسیم کنیم - تعداد تمام نتایج ممکن این آزمایش. ما گرفتیم

با استفاده از یک مثال ساده، یک موقعیت مهم و مکرر را تحلیل کردیم. یک نام خاص برای آن وجود دارد.

تعریف 2. رویدادهای A و B نامیده می شوند ناسازگار، اگر نتوانند به طور همزمان رخ دهند.

قضیه 2. احتمال وقوع حداقل یکی از دو رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات آنها.

هنگام ترجمه این قضیه به زبان ریاضی، نیاز به نامگذاری و تعیین یک رویداد متشکل از وقوع حداقل یکی از دو رویداد A و B وجود دارد. چنین رویدادی را مجموع رویدادهای A و B می نامند و نشان می دهند. A + B.

اگر A و B ناسازگار باشند، P(A+B)= P(A)+P(B).

در واقع،

به راحتی می توان ناسازگاری رویدادهای A و B را با یک نقاشی نشان داد. اگر تمام نتایج آزمایش مجموعه ای از نقاط مشخص در شکل باشد، رویدادهای A و B برخی هستند زیر مجموعه های یک مجموعه داده شده. ناسازگاری A و B به معنای عدم تلاقی این دو زیر مجموعه است. یک مثال معمولی از رویدادهای ناسازگار، هر رویداد A و رویداد مخالف Ā است.

البته این قضیه برای سه، چهار و هر تعداد محدودی از رویدادهای ناسازگار زوجی صادق است. احتمال مجموع هر تعداد از رویدادهای جفت ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها.این بیانیه مهم دقیقاً با روش "مورد به مورد" حل مشکلات مطابقت دارد.

ممکن است برخی از روابط، وابستگی ها، ارتباطات و غیره بین رویدادهایی که در نتیجه برخی از تجربه ها رخ می دهند و بین احتمالات این رویدادها وجود داشته باشد، به عنوان مثال، رویدادها را می توان "اضافه کرد" و احتمال مجموع رویدادهای ناسازگار برابر است. به مجموع احتمالات آنها.

در پایان، اجازه دهید سؤال اساسی زیر را مورد بحث قرار دهیم: آیا ممکن است؟ ثابت كردنکه احتمال به دست آوردن سر در یک پرتاب سکه است

پاسخ منفی است. به طور کلی، این سؤال به خودی خود صحیح نیست. از این گذشته، ما همیشه چیزی را در یک معین ثابت می کنیم مدل ها، که در آن قواعد، قوانین، بدیهیات، فرمول ها، قضایا و غیره از قبل شناخته شده اند، اگر ما در مورد یک سکه خیالی و "ایده آل" صحبت می کنیم، پس ایده آل در نظر گرفته می شود. اولی، احتمال دم گرفتن برابر با احتمال به دست آوردن سر است. و اصولاً می توان مدلی را در نظر گرفت که در آن احتمال سقوط "دم" دو برابر بیشتر از احتمال سقوط "سر" یا سه برابر کمتر و غیره است. سپس این سؤال مطرح می شود: به چه دلیلی از بین آنها انتخاب می کنیم. مدل های مختلف پرتاب سکه که در آن هر دو نتیجه پرتاب به یک اندازه محتمل است؟

یک پاسخ کاملاً ساده این است: "و برای ما آسان تر، واضح تر و طبیعی تر است!" اما استدلال های اساسی تری نیز وجود دارد. آنها از تمرین می آیند. اکثریت قریب به اتفاق کتاب‌های درسی نظریه احتمال‌ها، نمونه‌هایی از طبیعت‌شناس فرانسوی، جی. بوفون (قرن هجدهم) و ریاضی‌دان و آماردان انگلیسی، کی. تعداد سرهایی که بالا آمدند "یا دم". آنها به ترتیب در سال های 1992 و 11998 بارها به زمین نشستند. اگر حساب کنید فرکانس تلفات"دم"، سپس معلوم می شود = = 0.493069... برای بوفون و = 0.4995 برای پیرسون. طبیعی بوجود می آید فرض، که با افزایش نامحدود در تعداد پرتاب سکه، دفعات افتادن "دم" و همچنین دفعات افتادن "سر" به طور فزاینده ای به 0.5 نزدیک می شود. این فرض بر اساس داده های عملی است که مبنای انتخاب مدلی با نتایج به همان اندازه محتمل است.

حالا می توانیم خلاصه کنیم. مفهوم اساسی - احتمال یک رویداد تصادفی، که در ساده ترین مدل محاسبه می شود- طرح احتمالی کلاسیک. این مفهوم هم در تئوری و هم در عمل مهم است رویداد مخالفو فرمول P(Ā)= 1—P(A) برای یافتن احتمال چنین رویدادی.

بالاخره با هم آشنا شدیم رویدادهای ناسازگارو با فرمول ها

P(A+B)=P(A)+P(B)،

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C)،

به شما امکان می دهد احتمالات را پیدا کنید مقادیرچنین رویدادهایی

کتابشناسی - فهرست کتب

1. رویدادها احتمالات پردازش داده های آماری: اضافی. پاراگراف های درس جبر 7-9 کلاس. موسسات آموزشی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - 4th ed - M.: Mnemosyna, 2006. - 112 pp.: ill.

2. یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk "جبر. عناصر آمار و نظریه احتمال." - مسکو، "پروسوشچنی"، 2006.

بیایید به تعریف کلاسیک احتمال با استفاده از فرمول ها و مثال ها نگاه کنیم.

رویدادهای تصادفی نامیده می شوند ناسازگار، اگر نتوانند به طور همزمان رخ دهند. به عنوان مثال، هنگامی که ما یک سکه پرتاب می کنیم، یک چیز ظاهر می شود - یک "نشان" یا یک عدد، و آنها نمی توانند در همان زمان ظاهر شوند، زیرا منطقی است که این غیرممکن است. رویدادهایی مانند ضربه و از دست دادن پس از شلیک می توانند ناسازگار باشند.

رویدادهای تصادفی یک فرم مجموعه محدود گروه کاملرویدادهای ناسازگار دوتایی، اگر در طول هر آزمایش، یکی از این رویدادها ظاهر شود - تنها موارد ممکن.

بیایید به همان مثال پرتاب سکه نگاه کنیم:

سکه اول رویدادهای سکه دوم

1) "نشان" "نشان"

2) "نشان" "شماره"

3) "شماره" "نشان"

4) "تعداد" "تعداد"

یا به اختصار "GG"، - "GC"، - "CHG"، - "CHCH".

رویدادها نامیده می شوند به همان اندازه ممکن است، در صورتی که شرایط تحقیق فرصت یکسانی را برای ظهور هر یک از آنها فراهم کند.

همانطور که می دانید، وقتی یک سکه متقارن را پرتاب می کنید، همان امکانات را دارد و این احتمال وجود دارد که هم "نشان" و هم "عدد" ظاهر شود. همین امر در مورد پرتاب قالب متقارن نیز صدق می کند، زیرا این احتمال وجود دارد که چهره هایی با هر عدد 1، 2، 3، 4، 5، 6 ظاهر شوند.

بیایید بگوییم که اکنون مکعب را با یک جابجایی در مرکز ثقل، به عنوان مثال، به سمت سمت با عدد 1 پرتاب می کنیم، سپس اغلب طرف مقابل، یعنی طرفی که عدد متفاوتی دارد، می افتد. بدین ترتیب در این مدل احتمال وقوع برای هر یک از اعداد از 1 تا 6 متفاوت خواهد بود.

رویدادهای تصادفی به همان اندازه ممکن و منحصر به فرد ممکن موارد نامیده می شوند.

رویدادهای تصادفی هستند که مورد هستند و رویدادهای تصادفی هستند که مورد نیستند. در زیر با استفاده از مثال به این رویدادها خواهیم پرداخت.

مواردی که در نتیجه یک رویداد تصادفی رخ می دهد، موارد مساعد برای آن رویداد نامیده می شود.

اگر با - که در همه موارد ممکن روی یک رویداد تأثیر می گذارد و با - احتمال یک رویداد تصادفی نشان دهیم، می توانیم تعریف کلاسیک معروف احتمال را بنویسیم:

تعریف

احتمال یک رویداد، نسبت تعداد موارد مطلوب برای این رویداد به تعداد کل همه موارد ممکن است، یعنی:

خواص احتمال

احتمال کلاسیک در نظر گرفته شده است و اکنون به ویژگی های اساسی و مهم احتمال می پردازیم.

ملک 1.احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است.

به عنوان مثال، اگر همه توپ‌های یک سطل سفید باشند، رویداد انتخاب یک توپ سفید به طور تصادفی تحت تأثیر موارد قرار می‌گیرد.

ملک 2.احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.

ملک 3.احتمال یک رویداد تصادفی یک عدد مثبت است:

این بدان معنی است که احتمال هر رویدادی نابرابری را برآورده می کند:

حال بیایید چندین مثال را با استفاده از تعریف کلاسیک احتمال حل کنیم.

نمونه هایی از تعریف کلاسیک احتمال

مثال 1

وظیفه

در یک سبد 20 توپ وجود دارد که 10 توپ سفید، 7 توپ قرمز و 3 توپ سیاه هستند. یک توپ به طور تصادفی انتخاب می شود. یک توپ سفید (رویداد)، یک توپ قرمز (رویداد) و یک توپ سیاه (رویداد) انتخاب شده است. احتمال رخدادهای تصادفی را بیابید.

راه حل

با توجه به شرایط مسئله، آنها به موارد احتمالی و از موارد احتمالی کمک می کنند، بنابراین، طبق فرمول (1):

- احتمال یک توپ سفید

به همین ترتیب برای قرمز:

و برای مشکی: .

پاسخ

احتمال وقوع یک رویداد تصادفی , , .

مثال 2

وظیفه

یک جعبه حاوی 25 لامپ برقی یکسان است که 2 تای آن معیوب است. احتمال معیوب نبودن یک لامپ الکتریکی که به طور تصادفی انتخاب شده است را پیدا کنید.

راه حل

با توجه به شرایط مشکل، همه لامپ ها یکسان هستند و فقط یکی انتخاب می شود. مجموع امکانات برای انتخاب از بین تمام 25 لامپ، دو لامپ معیوب هستند، به این معنی که لامپ های باقی مانده مناسب هستند. بنابراین طبق فرمول (1) احتمال انتخاب یک لامپ الکتریکی مناسب (رویداد) برابر است با:

پاسخ

احتمال اینکه لامپ برقی که به طور تصادفی انتخاب شده معیوب نباشد = .

مثال 3

وظیفه

دو سکه به صورت تصادفی پرتاب می شود. احتمال چنین اتفاقاتی را بیابید:

1) – یک نشان روی هر دو سکه افتاد.

2) - روی یکی از سکه ها نشان ملی افتاد و روی دومی - یک عدد.

3) - اعداد روی هر دو سکه افتاد.

4) - نشان حداقل یک بار ظاهر می شود.

راه حل

در اینجا با چهار رویداد سروکار داریم. اجازه دهید مشخص کنیم که کدام موارد به هر یک از آنها کمک می کند. یکی از رویدادهایی که به این رویداد کمک می کند، زمانی است که نشان ملی (به اختصار "GG") روی هر دو سکه ظاهر شد.

برای درک این رویداد، تصور کنید که یک سکه نقره و دومی مس است. هنگام پرتاب سکه ممکن است موارد زیر وجود داشته باشد:

1) روی نشان نقره ای، روی نشان مسی - یک عدد (که با "GC" مشخص می شود).

2) روی شماره نقره ای، روی مس - نشان اسلحه (- "CHG").

این بدان معنی است که رویداد توسط موارد و .

این رویداد با یک حادثه تسهیل می شود: اعداد روی هر دو سکه "HH" بودند.

بنابراین، رویدادها یا (GG، HC، CG، HC) یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، همه این رویدادها ناسازگار هستند، زیرا تنها یکی از آنها در نتیجه پرتاب رخ می دهد. علاوه بر این، برای سکه های متقارن، هر چهار رویداد به یک اندازه امکان پذیر است، بنابراین می توان آنها را مورد در نظر گرفت. چهار رویداد احتمالی وجود دارد.

تنها یک رویداد در این رویداد نقش دارد، بنابراین احتمال آن عبارت است از:

این رویداد توسط دو مورد ترویج می شود، بنابراین:

احتمال رخداد مانند موارد زیر است:

این رویداد توسط سه مورد تسهیل می شود: GG، GC، CG و بنابراین:

از آنجایی که رویدادهای GG، GC، CG، BC در نظر گرفته می شوند که به یک اندازه امکان پذیر هستند و یک گروه کامل از رویدادها را ایجاد می کنند، پس وقوع هر یک از آنها یک رویداد قابل اعتماد است (ما آن را با حرف نشان می دهیم که توسط هر 4 مورد کمک می شود. بنابراین، احتمال:

این بدان معنی است که اولین ویژگی احتمال تأیید می شود.

پاسخ

احتمال وقوع یک رویداد.

مثال 4

وظیفه

دو تاس با شکل هندسی یکسان و منظم پرتاب می شود. احتمال تمام مجموع ممکن در هر دو طرف که ظاهر می شود را بیابید.

راه حل

برای راحت‌تر کردن حل مسئله، تصور کنید که یک مکعب سفید و دومی سیاه است. هر یک از شش ضلع قالب سفید می تواند یکی از شش ضلع قالب سیاه را نیز داشته باشد، بنابراین تمام جفت های ممکن خواهد بود.

از آنجایی که امکان پیدایش صورت ها روی یک مکعب جداگانه یکسان است (مکعب ها شکل هندسی درستی دارند!) پس احتمال ظهور هر جفت صورت یکسان خواهد بود و در اثر پرتاب، فقط یکی از جفت ها ظاهر می شود. معانی رویداد ناسازگار است، یکنواخت ممکن است. این موارد هستند و در مجموع 36 مورد احتمالی وجود دارد.

حال بیایید امکان مجموع مقادیر روی چهره ها را در نظر بگیریم. بدیهی است که کوچکترین مجموع 1 + 1 = 2 و بزرگترین آن 6 + 6 = 12 است. قسمت باقیمانده از مجموع با شروع از دوم، یک افزایش می یابد. بیایید رویدادهایی را نشان دهیم که شاخص های آنها برابر با مجموع نقاطی است که روی صفحه مکعب ها افتاده است. برای هر یک از این رویدادها، موارد مطلوب را با استفاده از نماد می نویسیم، جایی که مجموع، نقاط لبه بالای مکعب سفید، و نقاط روی لبه مکعب سیاه است.

بنابراین، برای رویداد:

برای - یک مورد (1 + 1)؛

برای - دو مورد (1 + 2؛ 2 + 1)؛

برای - سه مورد (1 + 3؛ 2 + 2؛ 3 + 1)؛

برای - چهار مورد (1 + 4؛ 2 + 3؛ 3 + 2؛ 4 + 1)؛

برای - پنج مورد (1 + 5؛ 2 + 4؛ 3 + 3؛ 4 + 2؛ 5 + 1)؛

برای – شش مورد (1 + 6؛ 2 + 5؛ 3 + 4؛ 4 + 3؛ 5 + 2؛ 6 + 1)؛

برای - پنج مورد (2 + 6؛ 3 + 5؛ 4 + 4؛ 5 + 3؛ 6 + 2)؛

برای - چهار مورد (3 + 6؛ 4 + 5؛ 5 + 4؛ 6 + 3)؛

برای - سه مورد (4 + 6؛ 5 + 5؛ 6 + 4)؛

برای - دو مورد (5 + 6؛ 6 + 5)؛

برای - یک مورد (6 + 6).

بنابراین مقادیر احتمال عبارتند از:

پاسخ

مثال 5

وظیفه

قبل از جشنواره، از سه شرکت کننده خواسته شد تا قرعه کشی کنند: هر شرکت کننده به نوبه خود به سطل نزدیک می شود و به طور تصادفی یکی از سه کارت را با شماره های 1، 2 و 3 انتخاب می کند که به معنای شماره سریال اجرای این شرکت کننده است.

احتمال چنین اتفاقاتی را بیابید:

1) - شماره سریال در صف با شماره کارت، یعنی شماره سریال عملکرد مطابقت دارد.

2) - هیچ شماره ای در صف با شماره عملکرد مطابقت ندارد.

3) - فقط یکی از شماره های موجود در صف با شماره عملکرد مطابقت دارد.

4) - حداقل یکی از شماره های موجود در صف با شماره عملکرد مطابقت دارد.

راه حل

نتایج احتمالی انتخاب کارت‌ها جایگشت‌های سه عنصر است که تعداد چنین جایگشت‌هایی برابر است. هر یک از جایگشت ها یک رویداد است. اجازه دهید این رویدادها را با علامت گذاری کنیم. ما به هر رویداد جایگشت مربوطه را در پرانتز اختصاص می دهیم:

; ; ; ; ; .

رویدادهای فهرست شده به همان اندازه ممکن و منحصر به فرد ممکن است، یعنی این موارد هستند. اجازه دهید آن را به صورت زیر نشان دهیم: (1h، 2h، 3h) - اعداد مربوطه در صف.

بیایید با رویداد شروع کنیم. بنابراین تنها یک مورد مطلوب وجود دارد:

دو مورد برای این رویداد مطلوب است و بنابراین:

این رویداد توسط 3 مورد ترویج می شود: بنابراین:

علاوه بر این، این رویداد همچنین توسط :

پاسخ

احتمال وقوع رویداد است.

احتمال وقوع - به روز رسانی: 15 سپتامبر 2017 توسط: مقالات علمی.Ru

در اقتصاد، مانند سایر حوزه‌های فعالیت انسانی یا در طبیعت، دائماً باید با رویدادهایی سر و کار داشته باشیم که نمی‌توان آن‌ها را به درستی پیش‌بینی کرد. بنابراین، حجم فروش یک محصول به تقاضا بستگی دارد که می تواند به طور قابل توجهی متفاوت باشد، و به تعدادی از عوامل دیگر که در نظر گرفتن آنها تقریبا غیرممکن است. بنابراین، هنگام سازماندهی تولید و انجام فروش، باید نتیجه چنین فعالیت هایی را بر اساس تجربه قبلی خود یا تجربه مشابه سایر افراد یا شهود پیش بینی کنید که تا حد زیادی نیز بر داده های تجربی متکی است.

برای ارزیابی به نحوی رویداد مورد نظر، باید شرایطی را که این رویداد در آن ثبت می شود در نظر گرفت یا به طور ویژه سازماندهی کرد.

اجرای شرایط یا اقدامات خاصی برای شناسایی رویداد مورد نظر نامیده می شود تجربهیا آزمایش.

رویداد نامیده می شود تصادفی، اگر در نتیجه تجربه ممکن است رخ دهد یا نباشد.

رویداد نامیده می شود قابل اعتماد، اگر لزوماً در نتیجه یک تجربه مشخص ظاهر شود و غیر ممکن، اگر نتواند در این تجربه ظاهر شود.

به عنوان مثال، بارش برف در مسکو در 30 نوامبر یک رویداد تصادفی است. طلوع روزانه خورشید را می توان یک رویداد قابل اعتماد در نظر گرفت. بارش برف در خط استوا را می توان یک رویداد غیرممکن در نظر گرفت.

یکی از وظایف اصلی در نظریه احتمال، تعیین معیار کمی از امکان وقوع یک رویداد است.

جبر حوادث

رویدادها در صورتی ناسازگار نامیده می شوند که نتوان آنها را با هم در یک تجربه مشاهده کرد. بنابراین حضور دو و سه خودرو در یک فروشگاه برای فروش همزمان دو اتفاق ناسازگار است.

میزانرویدادها رویدادی است متشکل از وقوع حداقل یکی از این رویدادها

نمونه ای از مجموع رویدادها وجود حداقل یکی از دو محصول در فروشگاه است.

کاررویدادها رویدادی است که از وقوع همزمان همه این رویدادها تشکیل شده است

رویدادی متشکل از ظاهر شدن دو کالا در یک فروشگاه به طور همزمان محصول رویدادها است: - ظاهر یک کالا، - ظاهر یک محصول دیگر.

رویدادها گروه کاملی از رویدادها را تشکیل می دهند اگر حداقل یکی از آنها در تجربه رخ دهد.

مثال.این بندر دارای دو اسکله برای پذیرش کشتی ها می باشد. سه رویداد را می توان در نظر گرفت: - عدم حضور کشتی در اسکله، - حضور یک کشتی در یکی از اسکله ها، - حضور دو کشتی در دو اسکله. این سه رویداد یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

در مقابلدو رویداد ممکن منحصر به فرد که یک گروه کامل را تشکیل می دهند نامیده می شوند.

اگر یکی از رویدادهایی که مخالف است با نشان داده شود، معمولاً رویداد مخالف را با نشان می دهند.

تعاریف کلاسیک و آماری احتمال رویداد

هر یک از نتایج به همان اندازه ممکن آزمایش ها (آزمایش ها) نتیجه ابتدایی نامیده می شود. آنها معمولاً با حروف مشخص می شوند. مثلا یک قالب پرتاب می شود. بر اساس تعداد امتیازات طرفین، در مجموع می توان شش نتیجه ابتدایی داشت.

از نتایج ابتدایی می توانید رویداد پیچیده تری ایجاد کنید. بنابراین، رویداد تعداد نقاط زوج توسط سه نتیجه تعیین می شود: 2، 4، 6.

یک معیار کمی برای احتمال وقوع رویداد مورد نظر، احتمال است.

پرکاربردترین تعاریف احتمال یک رویداد عبارتند از: کلاسیکو آماری.

تعریف کلاسیک احتمال با مفهوم نتیجه مطلوب همراه است.

نتیجه نامیده می شود مطلوبدر صورتی که وقوع آن مستلزم وقوع این رویداد باشد.

در مثال بالا، رویداد مورد بحث - تعداد زوج نقاط در سمت نورد - سه نتیجه مطلوب دارد. در این مورد، ژنرال
تعداد نتایج ممکن این به این معنی است که تعریف کلاسیک احتمال یک رویداد را می توان در اینجا استفاده کرد.

تعریف کلاسیکبرابر است با نسبت تعداد نتایج مطلوب به تعداد کل نتایج ممکن

جایی که احتمال رویداد است، تعداد نتایج مطلوب برای رویداد، تعداد کل نتایج ممکن است.

در مثال مورد نظر

تعریف آماری احتمال با مفهوم فراوانی نسبی وقوع یک رویداد در آزمایشات مرتبط است.

فراوانی نسبی وقوع یک رویداد با استفاده از فرمول محاسبه می شود

تعداد وقوع یک رویداد در یک سری آزمایش (آزمون) کجاست.

تعریف آماری. احتمال یک رویداد عددی است که فرکانس نسبی حول آن تثبیت می شود (مجموعه) با افزایش نامحدود در تعداد آزمایش ها.

در مسائل عملی، احتمال یک رویداد به عنوان فرکانس نسبی برای تعداد به اندازه کافی زیاد آزمایش در نظر گرفته می شود.

از این تعاریف از احتمال یک رویداد روشن است که نابرابری همیشه برآورده می شود.

برای تعیین احتمال یک رویداد بر اساس فرمول (1.1)، اغلب از فرمول های ترکیبی استفاده می شود که برای یافتن تعداد نتایج مطلوب و تعداد کل نتایج ممکن استفاده می شود.

نظریه مختصر

برای مقایسه کمی رویدادها با توجه به درجه احتمال وقوع آنها، یک معیار عددی معرفی می شود که به آن احتمال یک رویداد می گویند. احتمال وقوع یک رویداد تصادفیعددی است که میزان امکان عینی وقوع یک رویداد را بیان می کند.

کمیت‌هایی که تعیین می‌کنند دلایل عینی برای انتظار وقوع یک رویداد چقدر مهم هستند، با احتمال رویداد مشخص می‌شوند. باید تاکید کرد که احتمال کمیتی عینی است که مستقل از دانا وجود دارد و مشروط به کل مجموعه شرایطی است که به وقوع یک رویداد کمک می کند.

توضیحاتی که ما برای مفهوم احتمال دادیم یک تعریف ریاضی نیست، زیرا این مفهوم را کمیت نمی کند. تعاریف متعددی از احتمال یک رویداد تصادفی وجود دارد که به طور گسترده در حل مسائل خاص (کلاسیک، بدیهی، آماری و غیره) استفاده می شود.

تعریف کلاسیک احتمال رویداداین مفهوم را به مفهوم ابتدایی‌تر رویدادهای به همان اندازه ممکن تقلیل می‌دهد، که دیگر مشمول تعریف نیست و به طور شهودی واضح فرض می‌شود. به عنوان مثال، اگر یک قالب یک مکعب همگن باشد، از دست دادن هر یک از وجوه این مکعب به همان اندازه ممکن است.

بگذارید یک رویداد قابل اعتماد به مواردی به همان اندازه ممکن تقسیم شود که مجموع آنها رویداد را نشان می دهد. یعنی مواردی که در آن شکسته می شود را برای واقعه مساعد می گویند، زیرا ظهور یکی از آنها وقوع را تضمین می کند.

احتمال وقوع یک رویداد با نماد نشان داده می شود.

احتمال وقوع یک رویداد برابر است با نسبت تعداد موارد مطلوب برای آن، از مجموع موارد منحصراً ممکن، به همان اندازه ممکن و ناسازگار، به تعداد، یعنی.

این تعریف کلاسیک احتمال است. بنابراین، برای یافتن احتمال یک رویداد، لازم است با در نظر گرفتن نتایج مختلف آزمون، مجموعه ای از موارد منحصر به فرد ممکن، به همان اندازه ممکن و ناسازگار را بیابید، تعداد کل آنها n را محاسبه کنید، تعداد موارد m مطلوب برای یک رویداد داده شده، و سپس محاسبه را با استفاده از فرمول بالا انجام دهید.

احتمال وقوع یک رویداد برابر با نسبت تعداد نتایج تجربی مطلوب برای رویداد به تعداد کل نتایج تجربی نامیده می شود. احتمال کلاسیکرویداد تصادفی

ویژگی های احتمال زیر از تعریف به دست می آید:

خاصیت 1. احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است.

خاصیت 2. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن صفر است.

خاصیت 3. احتمال یک رویداد تصادفی عددی مثبت بین صفر و یک است.

خاصیت 4. احتمال وقوع حوادثی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند برابر با یک است.

خاصیت 5. احتمال وقوع واقعه معکوس به همان ترتیبی که احتمال وقوع رویداد الف تعیین می شود.

تعداد مواردی که طرفدار وقوع یک رویداد مخالف هستند. بنابراین احتمال وقوع رویداد مخالف برابر است با اختلاف بین وحدت و احتمال وقوع رویداد A:

یک مزیت مهم تعریف کلاسیک از احتمال یک رویداد این است که با کمک آن می توان احتمال یک رویداد را بدون توسل به تجربه، اما بر اساس استدلال منطقی تعیین کرد.

وقتی مجموعه ای از شرایط برآورده شود، قطعاً یک رویداد قابل اعتماد رخ خواهد داد، اما یک رویداد غیرممکن قطعاً رخ نخواهد داد. در میان اتفاقاتی که ممکن است با ایجاد مجموعه ای از شرایط رخ دهد یا نباشد، می توان روی وقوع برخی با دلیل موجه و روی وقوع برخی دیگر با دلیل کمتر حساب کرد. به عنوان مثال، اگر تعداد توپ‌های سفید در یک کوزه بیشتر از توپ‌های سیاه باشد، پس دلیل بیشتری برای امیدواری به ظاهر شدن یک توپ سفید در هنگام بیرون آمدن تصادفی از کوزه وجود دارد تا ظاهر شدن یک توپ سیاه.

نمونه ای از راه حل مسئله

مثال 1

یک جعبه شامل 8 توپ سفید، 4 توپ سیاه و 7 قرمز است. 3 توپ به طور تصادفی کشیده می شود. احتمالات رویدادهای زیر را بیابید: - حداقل 1 توپ قرمز کشیده شده است - حداقل 2 توپ همرنگ وجود دارد - حداقل 1 توپ قرمز و 1 توپ سفید وجود دارد.

راه حل مشکل

ما تعداد کل نتایج آزمون را به عنوان تعداد ترکیب 19 عنصر (8+4+7) از 3 پیدا می کنیم:

بیایید احتمال رویداد را پیدا کنیم- حداقل 1 توپ قرمز کشیده شده است (1،2 یا 3 توپ قرمز)

احتمال مورد نیاز:

اجازه دهید رویداد- حداقل 2 توپ همرنگ وجود دارد (2 یا 3 توپ سفید، 2 یا 3 توپ سیاه و 2 یا 3 توپ قرمز)

تعداد نتایج مطلوب برای رویداد:

احتمال مورد نیاز:

اجازه دهید رویداد- حداقل یک توپ قرمز و یک توپ سفید وجود دارد

(1 قرمز، 1 سفید، 1 سیاه یا 1 قرمز، 2 سفید یا 2 قرمز، 1 سفید)

تعداد نتایج مطلوب برای رویداد:

احتمال مورد نیاز:

پاسخ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

مثال 2

دو تاس انداخته می شود. احتمال اینکه مجموع امتیازات حداقل 5 باشد را پیدا کنید.

راه حل

اجازه دهید رویداد حداقل نمره 5 داشته باشد

بیایید از تعریف کلاسیک احتمال استفاده کنیم:

تعداد کل نتایج آزمون احتمالی

تعداد آزمایش‌هایی که به نفع رویداد مورد علاقه است

در سمت انداخته شده تاس اول، ممکن است یک امتیاز، دو امتیاز...، شش امتیاز ظاهر شود. به طور مشابه، شش نتیجه در هنگام چرخاندن قالب دوم امکان پذیر است. هر یک از نتایج پرتاب قالب اول را می توان با هر یک از نتایج دومی ترکیب کرد. بنابراین، تعداد کل نتایج آزمون ابتدایی ممکن برابر است با تعداد قرار دادن با تکرار (انتخاب با قرار دادن 2 عنصر از مجموعه جلد 6):

بیایید احتمال رویداد مخالف را پیدا کنیم - مجموع امتیازها کمتر از 5 است

ترکیبات زیر از امتیازات کاهش یافته به نفع این رویداد خواهد بود:

№

استخوان 1

استخوان دوم