توابع هذلولی از طریق نمایی. داده های مرجع در مورد توابع هذلولی - خواص، نمودارها، فرمول ها

پاسخ: توابع هذلولی خانواده ای از توابع ابتدایی هستند که از طریق توان بیان می شوند و ارتباط نزدیکی با توابع مثلثاتی دارند. توابع هایپربولیک توسط وینچنزو ریکاتی در سال 1757 معرفی شدند (Opusculorum، جلد اول). او آنها را از در نظر گرفتن هذلولی واحد به دست آورد.

تحقیقات بیشتر در مورد خواص توابع هذلولی توسط لامبرت انجام شد. توابع هذلولی اغلب هنگام محاسبه انتگرال های مختلف با آن مواجه می شوند. برخی از انتگرال های توابع گویا و توابع حاوی رادیکال به سادگی با استفاده از تغییرات متغیرها با استفاده از توابع هذلولی انجام می شوند. مشتقات توابع هذلولی را می توان به راحتی پیدا کرد زیرا توابع هذلولی ترکیبی هستند برای مثال، سینوس و کسینوس هذلولی به این صورت تعریف می شوند مشتقات این توابع دارای شکل هستند توابع هذلولی با فرمول های زیر ارائه می شوند: 1) سینوس هایپربولیک: (در ادبیات خارجی به آن sinx می گویند). 2) کسینوس هذلولی: (در ادبیات خارجی cosx نامگذاری شده است). 3) مماس هذلولی: (در ادبیات خارجی tanx نامیده می شود). 4) کوتانژانت هذلولی: ; 5) سکانس هذلولی و کوسکانت: تعریف هندسی: با توجه به رابطه، توابع هذلولی یک نمایش پارامتریک از هذلولی را ارائه می دهند، در این مورد، آرگومان t = 2S، که در آن S مساحت مثلث منحنی OQR است، در صورتی که بخش در بالای محور OX قرار دارد و در حالت مخالف "-". این تعریف مشابه تعریف توابع مثلثاتی از نظر دایره واحد است که می توان آن را نیز به روشی مشابه ساخت. ارتباط با توابع مثلثاتی: توابع هذلولی بر حسب توابع مثلثاتی یک آرگومان خیالی بیان می شوند. خواص تحلیلی: سینوس هایپربولیک و کسینوس هذلولی در سراسر صفحه مختلط تحلیلی هستند، به جز در نقطه اساساً منفرد در بی نهایت.

مماس هذلولی در همه جا تحلیلی است به جز در قطب ها در نقاطی که n یک عدد صحیح است. باقی مانده در تمام این قطب ها برابر با یک است. کوتانژانت هذلولی در همه جا تحلیلی است، به جز نقاط، باقیمانده های آن در این قطب ها نیز برابر با یک است.

جدول مشتق.

پاسخ: جدول مشتقات (که عمدتاً به آن نیاز داریم):

46) مشتق یک تابع - به صورت پارامتری مشخص می شود.

پاسخ: اجازه دهید وابستگی دو متغیر x و y به پارامتر t داده شود، که در محدوده‌های مختلف از تابع معکوس باشد: سپس می توانیم، ترکیب توابع را در نظر بگیریم وابستگی y را به x بدست آورید: وابستگی مقدار y به مقدار x که به صورت پارامتریک مشخص شده است را می توان از طریق مشتقات توابع بیان کرد زیرا و طبق فرمول مشتق تابع معکوس، مقدار پارامتری که در آن مقدار x مورد علاقه ما هنگام محاسبه مشتق به دست می آید، کجاست. توجه داشته باشید که اعمال فرمول ما را به رابطه بین هدایت می کند که دوباره به صورت یک رابطه پارامتری بیان می شود: دومی از این روابط همان رابطه ای است که در مشخصات پارامتری تابع y(x) شرکت داشت. علیرغم این واقعیت که مشتق به طور صریح بیان نمی شود، این ما را از حل مسائل مربوط به یافتن مشتق با یافتن مقدار متناظر پارامتر t باز نمی دارد. بیایید این را با مثال زیر نشان دهیم. مثال 4.22: اجازه دهید وابستگی بین x و y به صورت پارامتری با فرمول های زیر داده شود: معادله مماس بر نمودار وابستگی y(x) را در نقطه پیدا کنید، اگر t=1 را بگیریم مقادیر به دست می آیند. بیایید مشتقات x و y را با توجه به پارامتر t پیدا کنیم: بنابراین وقتی t=1 مقدار مشتق را بدست می آوریم، این مقدار شیب k مماس مورد نظر را مشخص می کند. مختصات نقاط تماس در بیانیه مشکل مشخص شده است. به این معنی که معادله مماس به صورت زیر است: توجه داشته باشید که بر اساس وابستگی پارامتری به دست آمده، می توانیم مشتق دوم تابع y را نسبت به متغیر x پیدا کنیم:

داده های مرجع در مورد توابع هذلولی. تعاریف، نمودارها و خواص سینوس هایپربولیک، کسینوس، مماس و کوتانژانت. فرمول های مبالغ، تفاوت ها و محصولات. مشتقات، انتگرال، بسط سری. عبارات از طریق توابع مثلثاتی

تعاریف توابع هذلولی، حوزه تعاریف و مقادیر آنها

sh x - سینوس هذلولی

, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .

ch x - کسینوس هذلولی

, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .

th x - مماس هذلولی

, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .

cth x - کوتانژانت هذلولی

X ≠ 0 ; y< -1 или y > +1 .

نمودارهای توابع هذلولی

نمودار سینوسی هایپربولیک y = sh x

نمودار کسینوس هذلولی y = ch x

نمودار مماس هذلولی y = ممنون

نمودار کوتانژانت هذلولی y = cth x

فرمول هایی با توابع هذلولی

ارتباط با توابع مثلثاتی

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = من گناه z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i cot z
اینجا i واحد خیالی است، i 2 = - 1 .

با اعمال این فرمول ها برای توابع مثلثاتی، فرمول های مربوط به توابع هذلولی را به دست می آوریم.

برابری

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x; cth(-x) = - cth x.

تابع ch(x)- زوج. کارکرد sh(x), ممنون), cth(x)- فرد.

تفاوت مربع ها

ch 2 x - sh 2 x = 1.

فرمول های مجموع و تفاوت آرگومان ها

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

فرمول های محصولات سینوس و کسینوس هایپربولیک

,
,
,

,
,
.

فرمول های مجموع و تفاضل توابع هذلولی

,
,
,
,
.

رابطه بین سینوس و کسینوس هذلولی و مماس و کوتانژانت

, ,
, .

مشتقات

,

انتگرال های sh x، ch x، th x، cth x

,
,
.

گسترش سری

sh x

ch x

ممنون

cth x

توابع معکوس

آراسینوس

در - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

آراکوزین

در 1 ≤ x< ∞ و 0 ≤ y< ∞ فرمول های زیر اعمال می شود:
,
.

شاخه دوم ناحیه کوسینی در واقع شده است 1 ≤ x< ∞ و - ∞< y ≤ 0 :
.

منطقه مماس

در - 1 < x < 1 و - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,
.

مماس منطقه ای

در - ∞< x < - 1 یا 1 < x < ∞ و y ≠ 0 فرمول های زیر اعمال می شود:
,
.

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

توابع هذلولی در مکانیک، مهندسی برق و سایر رشته های فنی یافت می شوند. بسیاری از فرمول های توابع هذلولی شبیه فرمول های توابع مثلثاتی هستند، به جز خاصیت کران.

№	تابع	نام	مشتق
1.		سینوس هایپربولیک
2.		کسینوس هذلولی
3.		مماس هذلولی
4.		کوتانژانت هذلولی

فرمول های توابع هذلولی

1. .

اثبات بیایید تفاوت مورد نیاز را در نظر بگیریم

. .

اثبات بیایید به کار نگاه کنیم

.

بیایید به کار نگاه کنیم
.

بیایید دو محصول اضافه کنیم و محصولات مشابه را ارائه دهیم:

با اتصال ابتدا و انتها برابری را به دست می آوریم که باید ثابت شود: .

بسیاری از خواص دیگر توابع هذلولی مشابه خواص توابع مثلثاتی وجود دارد که به روشی مشابه اثبات شده است.

اجازه دهید فرمول های مشتقات توابع هذلولی را اثبات کنیم.

1. سینوس هذلولی را در نظر بگیرید .

هنگام یافتن مشتق، ثابت را از علامت مشتق خارج می کنیم. سپس خاصیت مشتق تفاوت بین دو تابع را اعمال می کنیم و . مشتق یک تابع را با استفاده از جدول مشتقات پیدا کنید: . ما مشتق یک تابع را به عنوان مشتق تابع مختلط جستجو می کنیم
.

بنابراین، مشتق
.

با اتصال ابتدا و پایان، برابری را به دست می آوریم که باید ثابت شود: .

2. کسینوس هذلولی را در نظر بگیرید .

الگوریتم قبلی را به طور کامل اعمال می کنیم، فقط به جای خاصیت مشتق تفاوت دو تابع، ویژگی مشتق مجموع این دو تابع را اعمال می کنیم.
.

با اتصال ابتدا و پایان، برابری را به دست می آوریم که باید ثابت شود: .

3. مماس هذلولی را در نظر بگیرید
.

ما مشتق را با استفاده از قانون یافتن مشتق کسری پیدا می کنیم.

4. مشتق کوتانژانت هذلولی

را می توان به عنوان مشتق یک تابع پیچیده یافت
.

با اتصال ابتدا و پایان، برابری را به دست می آوریم که باید ثابت شود: .

دیفرانسیل عملکرد

اجازه دهید تابع – در نقطه قابل تمایز است، سپس افزایش آن از این تابع در نقطه، مطابق با افزایش آرگومان، می تواند به صورت نمایش داده شود.

جایی که عدد معینی مستقل از و تابعی از آرگومان است که برای بی نهایت کوچک است .

بنابراین، افزایش تابع مجموع دو جمله بی نهایت کوچک است و . نشان داده شد که دوره دوم یک تابع بینهایت کوچک با مرتبه بالاتر از i.e است. (8.1 را ببینید). بنابراین ترم اول بخش خطی اصلی افزایش تابع است . در Remark 8.1. فرمول دیگری (8.1.1) برای افزایش تابع به دست آمد ، برای مثال: . (8.1.1)

تعریف 8.3. دیفرانسیلکارکرد در یک نقطه، قسمت خطی اصلی افزایش آن، برابر با حاصلضرب مشتق نامیده می شود در این مرحله با افزایش دلخواه آرگومان و نشان داده می شود (یا ):

(8.4)

دیفرانسیل عملکرد همچنین به نام دیفرانسیل مرتبه اول

دیفرانسیل یک متغیر مستقل هر عددی مستقل از . اغلب، این عدد به عنوان افزایش متغیر در نظر گرفته می شود، یعنی. . این با قانون (8.4) برای یافتن دیفرانسیل تابع مطابقت دارد

تابع را در نظر بگیرید و تفاوت آن را پیدا کنید.

زیرا مشتق . بنابراین، ما دریافتیم: و توابع دیفرانسیل را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

. (8.4.1)

نکته 8.7.از فرمول (8.4.1) نتیجه می شود که.

بنابراین، نماد را می توان نه تنها به عنوان یک نماد برای مشتق درک کرد ، بلکه به عنوان نسبت دیفرانسیل متغیرهای وابسته و مستقل است.

8.7. معنای هندسی تابع دیفرانسیل

اجازه دهید نمودار تابع یک مماس رسم شده است (شکل 8.1 را ببینید). نقطه در نمودار تابع قرار دارد و دارای آبسیسا - . ما یک افزایش دلخواه می دهیم به طوری که نقطه دامنه تعریف تابع را ترک نکرد .

شکل 8.1 تصویر نمودار یک تابع

نقطه مختصاتی دارد . بخش خط . نقطه روی مماس نمودار تابع قرار دارد و دارای آبسیسا است - . از مستطیل نتیجه آن این است که، جایی که زاویه، زاویه بین جهت مثبت محور و مماس رسم شده بر نمودار تابع است. در نقطه . با تعریف دیفرانسیل تابع و معنای هندسی تابع مشتق در نقطه ، نتیجه می گیریم که . بنابراین، معنای هندسی دیفرانسیل تابع این است که دیفرانسیل نشان دهنده افزایش مختصات مماس بر نمودار تابع است. در نقطه .

نکته 8.8.دیفرانسیل و افزایش برای یک تابع دلخواه به طور کلی، با یکدیگر برابر نیستند در حالت کلی، تفاوت بین افزایش و دیفرانسیل یک تابع بینهایت کوچک از مرتبه کوچکی بالاتر از افزایش استدلال است. از تعریف 8.1 نتیجه می شود که
، یعنی .

در شکل 8.1، نقطه روی نمودار تابع قرار دارد و مختصات دارد
. بخش خط.

در شکل 8.1 نابرابری برآورده شده است ، یعنی . اما ممکن است مواردی وجود داشته باشد که نابرابری مخالف صادق باشد . این برای یک تابع خطی و برای یک تابع محدب رو به بالا صادق است.