معادلات درجه دوم حل مثال قضیه ویتا. روش های حل معادلات درجه دوم ناقص. راه حل برای انواع مختلف معادلات درجه دوم

با این برنامه ریاضی می توانید حل معادله درجه دوم.

این برنامه نه تنها به مشکل پاسخ می دهد، بلکه روند حل را به دو صورت نمایش می دهد:
- استفاده از تمایز
- با استفاده از قضیه Vieta (در صورت امکان).

علاوه بر این، پاسخ به صورت دقیق و نه تقریبی نمایش داده می شود.
به عنوان مثال، برای معادله \(81x^2-16x-1=0\) پاسخ به شکل زیر نمایش داده می شود:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81)، \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ و نه مانند این: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی در مدارس آموزش عمومی هنگام آماده شدن برای آزمون ها و امتحانات، هنگام تست دانش قبل از آزمون یکپارچه دولتی و برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید آموزش و یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه حل مشکلات افزایش می یابد.

اگر با قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم آشنایی ندارید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم

هر حرف لاتین می تواند به عنوان یک متغیر عمل کند.
به عنوان مثال: \(x، y، z، a، b، c، o، p، q\) و غیره.

اعداد را می توان به صورت اعداد کامل یا کسری وارد کرد.
علاوه بر این، اعداد کسری را می توان نه تنها به صورت اعشاری، بلکه در قالب یک کسری معمولی نیز وارد کرد.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
در کسرهای اعشاری، قسمت کسری را می توان با نقطه یا کاما از کل قسمت جدا کرد.
به عنوان مثال، می توانید کسرهای اعشاری را مانند این وارد کنید: 2.5x - 3.5x^2

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.

مخرج نمی تواند منفی باشد.

هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
کل قسمت با علامت آمپرسند از کسر جدا می شود: &
ورودی: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
نتیجه: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

هنگام وارد کردن یک عبارت می توانید از پرانتز استفاده کنید. در این حالت، هنگام حل یک معادله درجه دوم، ابتدا عبارت معرفی شده ساده می شود.
به عنوان مثال: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

تصميم گرفتن

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

معادله درجه دوم و ریشه های آن. معادلات درجه دوم ناقص

هر یک از معادلات
\(-x^2+6x+1.4=0، \quad 8x^2-7x=0، \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
به نظر می رسد
\(ax^2+bx+c=0، \)
جایی که x یک متغیر است، a، b و c اعداد هستند.
در رابطه اول a = -1، b = 6 و c = 1.4، در رابطه دوم a = 8، b = -7 و c = 0، در رابطه سوم a = 1، b = 0 و c = 4/9. چنین معادلاتی نامیده می شوند معادلات درجه دوم.

تعریف.
معادله درجه دوممعادله ای به شکل ax 2 +bx+c=0 نامیده می شود که x یک متغیر است، a، b و c برخی اعداد هستند و \(a \neq 0 \).

اعداد a، b و c ضرایب معادله درجه دوم هستند. عدد a را ضریب اول، عدد b ضریب دوم و عدد c را جمله آزاد می نامند.

در هر یک از معادلات شکل ax 2 +bx+c=0 که \(a\neq 0\) بزرگترین توان متغیر x یک مربع است. از این رو نام: معادله درجه دوم.

توجه داشته باشید که یک معادله درجه دوم معادله درجه دوم نیز نامیده می شود، زیرا سمت چپ آن چند جمله ای درجه دوم است.

معادله درجه دومی که در آن ضریب x 2 برابر با 1 باشد نامیده می شود معادله درجه دوم داده شده. به عنوان مثال، معادلات درجه دوم داده شده، معادلات هستند
\(x^2-11x+30=0، \quad x^2-6x=0، \چهارار x^2-8=0 \)

اگر در یک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 حداقل یکی از ضرایب b یا c برابر با صفر باشد، چنین معادله ای نامیده می شود. معادله درجه دوم ناقص. بنابراین، معادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 معادلات درجه دوم ناقص هستند. در اولی b=0، در دومی c=0، در سومی b=0 و c=0.

سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:
1) ax 2 +c=0، که در آن \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0، که در آن \(b \neq 0 \);
3) تبر 2 = 0.

بیایید حل معادلات هر یک از این انواع را در نظر بگیریم.

برای حل یک معادله ناقص درجه دوم از شکل ax 2 +c=0 برای \(c \neq 0 \(c\neq 0\)، جمله آزاد آن را به سمت راست ببرید و دو طرف معادله را بر a تقسیم کنید:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \راست فلش x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

از آنجایی که \(c \neq 0 \)، سپس \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

اگر \(-\frac(c)(a)>0\)، معادله دو ریشه دارد.

اگر \(-\frac(c)(a) برای حل یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 +bx=0 با \(b \neq 0 \) سمت چپ آن را عامل کنید و معادله را بدست آورید.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (آرایه)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(آرایه) \راست.

این بدان معنی است که یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 +bx=0 برای \(b \neq 0 \) همیشه دو ریشه دارد.

یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است و بنابراین دارای یک ریشه واحد 0 است.

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

حال بیایید نحوه حل معادلات درجه دوم را در نظر بگیریم که در آن هر دو ضرایب مجهولات و جمله آزاد غیر صفر هستند.

اجازه دهید معادله درجه دوم را به صورت کلی حل کنیم و در نتیجه فرمول ریشه ها را به دست آوریم. سپس می توان از این فرمول برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.

معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 را حل کنید

با تقسیم هر دو ضلع بر a، معادله درجه دوم کاهش یافته معادل را بدست می آوریم
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

بیایید این معادله را با انتخاب مربع دو جمله ای تبدیل کنیم:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ فلش راست \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 - \frac(c)(a) \پیکان راست \) \(\چپ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( ج)(الف) \پیکان راست \چپ(x+\frac(b)(2a)\راست)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \پیکان راست \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \پیکان راست \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

بیان رادیکال نامیده می شود تفکیک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 ("ممیز" در لاتین - تشخیص دهنده). با حرف D مشخص می شود، یعنی.
\(D = b^2-4ac\)

اکنون با استفاده از نماد تفکیک، فرمول ریشه های معادله درجه دوم را بازنویسی می کنیم:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)، جایی که \(D= b^2-4ac \)

بدیهی است که:
1) اگر D>0 باشد، معادله درجه دوم دو ریشه دارد.
2) اگر D=0 باشد، معادله درجه دوم یک ریشه دارد \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) اگر D بنابراین، بسته به مقدار ممیز، یک معادله درجه دوم می تواند دو ریشه داشته باشد (برای D > 0)، یک ریشه (برای D = 0) یا بدون ریشه (برای D هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول، توصیه می شود به روش زیر انجام شود:
1) متمایز را محاسبه کنید و آن را با صفر مقایسه کنید.
2) اگر ممیز مثبت یا برابر با صفر است، از فرمول ریشه استفاده کنید اگر ممیز منفی است، بنویسید که ریشه وجود ندارد.

قضیه ویتا

معادله درجه دوم داده شده ax 2 -7x+10=0 دارای ریشه های 2 و 5 است. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب برابر با 10 است. علامت، و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است. هر معادله درجه دوم کاهش یافته ای که ریشه داشته باشد این خاصیت را دارد.

مجموع ریشه های معادله درجه دوم فوق برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است.

آن ها قضیه ویتا بیان می کند که ریشه های x 1 و x 2 معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 +px+q=0 دارای این ویژگی هستند:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \راست. \)

سطح اول

معادلات درجه دوم. راهنمای جامع (2019)

در اصطلاح "معادله درجه دوم"، کلمه کلیدی "معادل درجه دوم" است. این به این معنی است که معادله لزوماً باید دارای یک متغیر (همان x) باشد، و نباید X برای توان سوم (یا بیشتر) وجود داشته باشد.

حل بسیاری از معادلات به حل معادلات درجه دوم ختم می شود.

بیایید یاد بگیریم که تعیین کنیم که این یک معادله درجه دوم است و نه یک معادله دیگر.

مثال 1.

بیایید از مخرج خلاص شویم و هر جمله معادله را در ضرب کنیم

بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم و اصطلاحات را به ترتیب نزولی توان های X مرتب کنیم

حالا با اطمینان می توان گفت که این معادله درجه دوم است!

مثال 2.

ضلع چپ و راست را در:

این معادله با اینکه در اصل در آن بود، درجه دوم نیست!

مثال 3.

بیایید همه چیز را ضرب کنیم:

ترسناک؟ درجه چهارم و دوم ... اما اگر جایگزینی انجام دهیم می بینیم که یک معادله درجه دوم ساده داریم:

مثال 4.

به نظر می رسد وجود دارد، اما اجازه دهید نگاهی دقیق تر بیندازیم. بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم:

ببینید، کاهش یافته است - و اکنون یک معادله خطی ساده است!

حال سعی کنید خودتان تعیین کنید که کدام یک از معادلات زیر درجه دوم هستند و کدام یک نیستند:

مثال ها:

پاسخ ها:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. مربع نیست؛
4. مربع نیست؛
5. مربع نیست؛
6. مربع؛
7. مربع نیست؛
8. مربع.

ریاضیدانان به طور معمول تمام معادلات درجه دوم را به انواع زیر تقسیم می کنند:

• معادلات درجه دوم را کامل کنید- معادلاتی که در آنها ضرایب و و همچنین عبارت آزاد c برابر با صفر نیستند (مانند مثال). علاوه بر این، در میان معادلات درجه دوم کامل وجود دارد داده شده- اینها معادلاتی هستند که در آنها ضریب (معادله مثال یک نه تنها کامل است، بلکه کاهش می یابد!)

• معادلات درجه دوم ناقص- معادلاتی که در آنها ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

  آنها ناقص هستند زیرا برخی از عناصر را از دست داده اند. اما معادله باید همیشه x مربع باشد!!! در غیر این صورت، دیگر معادله درجه دوم نخواهد بود، بلکه معادله دیگری خواهد بود.

چرا چنین تقسیم بندی کردند؟ به نظر می رسد که یک X مربع وجود دارد، و خوب است. این تقسیم بندی با روش های حل تعیین می شود. بیایید به هر یک از آنها با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

حل معادلات درجه دوم ناقص

ابتدا، بیایید روی حل معادلات درجه دوم ناقص تمرکز کنیم - آنها بسیار ساده تر هستند!

انواع معادلات درجه دوم ناقص وجود دارد:

1. ، در این معادله ضریب برابر است.
2. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.
3. ، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

1. من. از آنجایی که می دانیم چگونه جذر را بگیریم، بیایید از این معادله بیان کنیم

عبارت می تواند منفی یا مثبت باشد. یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا هنگام ضرب دو عدد منفی یا دو عدد مثبت، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود، بنابراین: اگر، پس معادله هیچ جوابی ندارد.

و اگر، پس دو ریشه می گیریم. نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی این است که باید بدانید و همیشه به یاد داشته باشید که نمی تواند کمتر باشد.

بیایید سعی کنیم چند مثال را حل کنیم.

مثال 5:

معادله را حل کنید

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از سمت چپ و راست است. پس از همه، شما به یاد دارید که چگونه ریشه ها را استخراج کنید؟

پاسخ:

ریشه های دارای علامت منفی را هرگز فراموش نکنید!!!

مثال 6:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 7:

معادله را حل کنید

اوه مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه!

برای چنین معادلاتی که ریشه ندارند، ریاضیدانان نماد خاصی را ارائه کردند - (مجموعه خالی). و پاسخ را می توان اینگونه نوشت:

پاسخ:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد. در اینجا هیچ محدودیتی وجود ندارد، زیرا ما ریشه را استخراج نکردیم.
مثال 8:

معادله را حل کنید

بیایید عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

بدین ترتیب،

این معادله دو ریشه دارد.

پاسخ:

ساده ترین نوع معادلات درجه دوم ناقص (اگرچه همه آنها ساده هستند، درست است؟). بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

در اینجا از ذکر مثال صرف نظر می کنیم.

حل معادلات درجه دوم کامل

یادآوری می کنیم که یک معادله درجه دوم کامل معادله ای از معادله فرم است که در آن

حل معادلات درجه دوم کمی دشوارتر از اینها (فقط کمی) است.

یاد آوردن، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

روش‌های دیگر به شما کمک می‌کنند این کار را سریع‌تر انجام دهید، اما اگر با معادلات درجه دوم مشکل دارید، ابتدا با استفاده از تفکیک کننده به حل مسلط شوید.

1. حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز.

حل معادلات درجه دوم با استفاده از این روش بسیار ساده است.

اگر، پس معادله ریشه دارد. توجه ویژهیک قدم بردار. متمایز () تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، فرمول موجود در مرحله به کاهش می یابد. بنابراین، معادله فقط یک ریشه خواهد داشت.
• اگر، پس نمی‌توانیم ریشه ممیز را در مرحله استخراج کنیم. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

بیایید به معادلات خود برگردیم و به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 9:

معادله را حل کنید

مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله دو ریشه دارد.

مرحله 3.

پاسخ:

مثال 10:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله یک ریشه دارد.

پاسخ:

مثال 11:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

این بدان معنی است که ما نمی توانیم ریشه تمایز را استخراج کنیم. هیچ ریشه ای از معادله وجود ندارد.

اکنون می دانیم که چگونه چنین پاسخ هایی را به درستی یادداشت کنیم.

پاسخ:بدون ریشه

2. حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا.

اگر به خاطر داشته باشید، یک نوع معادله وجود دارد که به آن کاهش می گویند (زمانی که ضریب a برابر باشد):

حل چنین معادلاتی با استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است:

مجموع ریشه ها داده شدهمعادله درجه دوم برابر است و حاصل ضرب ریشه ها برابر است.

مثال 12:

معادله را حل کنید

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا .

مجموع ریشه های معادله برابر است، یعنی. معادله اول را بدست می آوریم:

و محصول برابر است با:

بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

پاسخ: ; .

مثال 13:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 14:

معادله را حل کنید

معادله داده شده است که به این معنی است:

پاسخ:

معادلات درجه دوم. سطح متوسط

معادله درجه دوم چیست؟

به عبارت دیگر، یک معادله درجه دوم معادله ای از شکل است که در آن - مجهول، - برخی اعداد، و.

عدد بالاترین یا نامیده می شود ضریب اولمعادله درجه دوم، - ضریب دوم، آ - عضو رایگان.

چرا؟ زیرا اگر معادله بلافاصله خطی شود، زیرا ناپدید خواهد شد.

در این مورد، و می تواند برابر با صفر باشد. در این صندلی معادله ناقص نامیده می شود. اگر همه عبارت ها سر جای خود باشند، یعنی معادله کامل است.

راه حل برای انواع مختلف معادلات درجه دوم

روش های حل معادلات درجه دوم ناقص:

ابتدا، بیایید به روش هایی برای حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کنیم - آنها ساده تر هستند.

ما می توانیم انواع معادلات زیر را تشخیص دهیم:

I.، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

II. ، در این معادله ضریب برابر است.

III. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.

حال بیایید راه حل هر یک از این زیرگروه ها را بررسی کنیم.

بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا وقتی دو عدد منفی یا دو عدد مثبت را ضرب می کنید، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود. از همین رو:

اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد.

اگر دو ریشه داشته باشیم

نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی که باید به خاطر داشته باشید این است که نمی تواند کمتر باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

هرگز ریشه های دارای علامت منفی را فراموش نکنید!

مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه

برای اینکه به طور خلاصه بنویسیم که یک مشکل راه حلی ندارد، از نماد مجموعه خالی استفاده می کنیم.

پاسخ:

بنابراین، این معادله دو ریشه دارد: و.

پاسخ:

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. این به این معنی است که معادله یک راه حل دارد که:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد: و.

مثال:

معادله را حل کنید.

راه حل:

بیایید سمت چپ معادله را فاکتور بگیریم و ریشه ها را پیدا کنیم:

پاسخ:

روش های حل معادلات درجه دوم:

1. ممیز

حل معادلات درجه دوم از این طریق آسان است، نکته اصلی این است که دنباله اقدامات و چند فرمول را به خاطر بسپارید. به یاد داشته باشید، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

آیا متوجه ریشه از متمایز کننده در فرمول ریشه ها شده اید؟ اما تمایز می تواند منفی باشد. چه باید کرد؟ ما باید به مرحله 2 توجه ویژه ای داشته باشیم. متمایز کننده تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، پس معادله دارای ریشه است:
• اگر معادله دارای ریشه های یکسان و در واقع یک ریشه باشد:

  به این گونه ریشه ها، ریشه دوتایی می گویند.

• اگر، پس ریشه ممیز استخراج نمی شود. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

چرا تعداد ریشه های مختلف ممکن است؟ اجازه دهید به معنای هندسی معادله درجه دوم بپردازیم. نمودار تابع یک سهمی است:

در یک حالت خاص که معادله درجه دوم است، . این بدان معنی است که ریشه های یک معادله درجه دوم، نقاط تقاطع با محور آبسیسا (محور) هستند. یک سهمی ممکن است اصلاً محور را قطع نکند، یا ممکن است آن را در یک (زمانی که راس سهمی روی محور قرار دارد) یا دو نقطه قطع کند.

علاوه بر این، ضریب مسئول جهت شاخه های سهمی است. اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا و اگر به سمت پایین هدایت می شوند.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

پاسخ: .

پاسخ:

این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

پاسخ: .

2. قضیه ویتا

استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است: فقط باید یک جفت اعداد را انتخاب کنید که حاصل ضرب آنها برابر با جمله آزاد معادله باشد و مجموع آن برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته شده است.

مهم است که به یاد داشته باشید که قضیه ویتا را فقط می توان در آن اعمال کرد معادلات درجه دوم کاهش یافته ().

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال شماره 1:

معادله را حل کنید.

راه حل:

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا . سایر ضرایب: ; .

مجموع ریشه های معادله برابر است با:

و محصول برابر است با:

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است و بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

بنابراین، و ریشه های معادله ما هستند.

پاسخ: ؛ .

مثال شماره 2:

راه حل:

بیایید جفت‌هایی از اعداد را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می‌شوند، و سپس بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

و: در مجموع می دهند.

و: در مجموع می دهند. برای به دست آوردن، کافی است به سادگی علائم ریشه های فرضی را تغییر دهید: و در نهایت، محصول.

پاسخ:

مثال شماره 3:

راه حل:

جمله آزاد معادله منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها یک عدد منفی است. این تنها در صورتی امکان پذیر است که یکی از ریشه ها منفی و دیگری مثبت باشد. بنابراین مجموع ریشه ها برابر است با تفاوت ماژول های آنها.

اجازه دهید چنین جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می شوند و تفاوت آنها برابر است با:

و: تفاوت آنها برابر است - مناسب نیست;

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب. تنها چیزی که باقی می ماند این است که به یاد داشته باشید که یکی از ریشه ها منفی است. از آنجایی که مجموع آنها باید برابر باشد، ریشه با مدول کوچکتر باید منفی باشد: . بررسی می کنیم:

پاسخ:

مثال شماره 4:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

عبارت آزاد منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها منفی است. و این تنها زمانی امکان پذیر است که یک ریشه معادله منفی و دیگری مثبت باشد.

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است، و سپس تعیین کنیم که کدام ریشه ها باید علامت منفی داشته باشند:

بدیهی است که فقط ریشه ها و برای شرایط اول مناسب هستند:

پاسخ:

مثال شماره 5:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

مجموع ریشه ها منفی است، یعنی حداقل یکی از ریشه ها منفی است. اما از آنجایی که محصول آنها مثبت است، به این معنی است که هر دو ریشه یک علامت منفی دارند.

اجازه دهید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر با:

بدیهی است که ریشه ها اعداد و.

پاسخ:

موافقم، به جای شمردن این تمایز ناخوشایند، خیلی راحت است که به صورت شفاهی به ریشه ها بپردازیم. سعی کنید تا حد امکان از قضیه ویتا استفاده کنید.

اما قضیه ویتا برای تسهیل و تسریع یافتن ریشه ها مورد نیاز است. برای اینکه بتوانید از استفاده از آن بهره مند شوید، باید اقدامات را به صورت خودکار انجام دهید. و برای این، پنج مثال دیگر را حل کنید. اما تقلب نکنید: شما نمی توانید از تمایز استفاده کنید! فقط قضیه ویتا:

راه حل های وظایف برای کار مستقل:

کار 1. ((x)^(2))-8x+12=0

طبق قضیه ویتا:

طبق معمول، انتخاب را با این قطعه شروع می کنیم:

مناسب نیست زیرا مقدار;

: مقدار آن چیزی است که شما نیاز دارید.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 2.

و دوباره قضیه مورد علاقه ما Vieta: مجموع باید برابر باشد، و حاصلضرب باید برابر باشد.

اما چون نباید باشد، اما، نشانه های ریشه ها را تغییر می دهیم: و (در مجموع).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 3.

هوم... اون کجاست؟

شما باید تمام اصطلاحات را به یک قسمت منتقل کنید:

مجموع ریشه ها برابر با حاصلضرب است.

باشه بس کن معادله داده نشده است. اما قضیه ویتا فقط در معادلات داده شده قابل اجرا است. بنابراین ابتدا باید یک معادله ارائه دهید. اگر نمی توانید رهبری کنید، این ایده را رها کنید و آن را به روش دیگری حل کنید (مثلاً از طریق یک ممیز). اجازه دهید یادآوری کنم که برای دادن یک معادله درجه دوم به معنای برابر کردن ضریب پیشرو است:

عالی. سپس مجموع ریشه ها برابر و حاصلضرب می شود.

در اینجا انتخاب کردن به آسانی گلابی پوست کنده است: به هر حال، این یک عدد اول است (با عرض پوزش برای توتولوژی).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 4.

عضو رایگان منفی است. این چه ویژگی خاصی دارد؟ و واقعیت این است که ریشه ها نشانه های متفاوتی خواهند داشت. و اکنون، در حین انتخاب، ما نه مجموع ریشه ها، بلکه تفاوت ماژول های آنها را بررسی می کنیم: این تفاوت برابر است، اما یک محصول.

بنابراین، ریشه ها برابر هستند با و، اما یکی از آنها منهای است. قضیه ویتا به ما می گوید که مجموع ریشه ها برابر است با ضریب دوم با علامت مخالف، یعنی. این به این معنی است که ریشه کوچکتر یک منفی خواهد داشت: and, since.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 5.

اول باید چی کار کنید؟ درست است، معادله را بیاورید:

باز هم: فاکتورهای عدد را انتخاب می کنیم و اختلاف آنها باید برابر باشد:

ریشه ها مساوی و هستند، اما یکی از آنها منهای است. کدام؟ مجموع آنها باید برابر باشد، به این معنی که منهای یک ریشه بزرگتر خواهد داشت.

پاسخ: ؛ .

بگذارید خلاصه کنم:

1. قضیه ویتا فقط در معادلات درجه دوم داده شده استفاده می شود.
2. با استفاده از قضیه ویتا، می توانید ریشه ها را با انتخاب، به صورت شفاهی پیدا کنید.
3. اگر معادله داده نشود یا هیچ جفت عامل مناسبی از عبارت آزاد پیدا نشود، هیچ ریشه کاملی وجود ندارد و باید آن را به روش دیگری (مثلاً از طریق ممیز) حل کنید.

3. روش انتخاب مربع کامل

اگر همه عبارت‌های حاوی مجهول به صورت عبارت از فرمول‌های ضرب اختصاری - مجذور مجموع یا تفاوت - نشان داده شوند، پس از جایگزینی متغیرها، می‌توان معادله را در قالب یک معادله درجه دوم ناقص از نوع ارائه کرد.

مثلا:

مثال 1:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

مثال 2:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

به طور کلی، تبدیل به این صورت خواهد بود:

این دلالت می کنه که: .

شما را به یاد چیزی نمی اندازد؟ این یک چیز تبعیض آمیز است! این دقیقاً چگونه است که ما فرمول تشخیص را دریافت کردیم.

معادلات درجه دوم. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

معادله درجه دوم- این یک معادله شکل است، جایی که - مجهول، - ضرایب معادله درجه دوم، - عبارت آزاد.

معادله درجه دوم کامل- معادله ای که در آن ضرایب برابر با صفر نیستند.

معادله درجه دوم کاهش یافته است- معادله ای که در آن ضریب، یعنی: .

معادله درجه دوم ناقص- معادله ای که در آن ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

• اگر ضریب باشد، معادله به نظر می رسد:
• اگر یک جمله آزاد وجود داشته باشد، معادله به شکل زیر است:
• اگر و، معادله به نظر می رسد: .

1. الگوریتم حل معادلات درجه دوم ناقص

1.1. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) مجهول را بیان کنیم:

2) علامت عبارت را بررسی کنید:

• اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد،
• اگر، پس معادله دو ریشه دارد.

1.2. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) فاکتور مشترک را از پرانتز خارج می کنیم:

2) اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. بنابراین، معادله دو ریشه دارد:

1.3. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن:

این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد: .

2. الگوریتم حل معادلات درجه دوم کامل فرم Where

2.1. راه حل با استفاده از تشخیص

1) بیایید معادله را به شکل استاندارد برسانیم:

2) بیایید تفکیک کننده را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم: که تعداد ریشه های معادله را نشان می دهد:

3) ریشه های معادله را پیدا کنید:

• اگر، پس معادله دارای ریشه هایی است که با فرمول بدست می آیند:
• اگر، پس معادله یک ریشه دارد که با فرمول پیدا می شود:
• اگر، پس معادله ریشه ندارد.

2.2. حل با استفاده از قضیه Vieta

مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته (معادله شکل که در آن) برابر است، و حاصل ضرب ریشه ها برابر است، یعنی. ، آ.

2.3. حل با روش انتخاب مربع کامل

قبل از پرداختن به قضیه ویتا، تعریفی را معرفی می کنیم. معادله درجه دوم فرم ایکس² + px + q= 0 کاهش یافته نامیده می شود. در این معادله ضریب پیشرو برابر با یک است. مثلا معادله ایکس² - 3 ایکس- 4 = 0 کاهش می یابد. هر معادله درجه دوم فرم تبر² + b ایکس + ج= 0 را می توان با تقسیم دو طرف معادله بر کاهش داد آ≠ 0. برای مثال، معادله 4 ایکس² + 4 ایکس 3 = 0 با تقسیم بر 4 به شکل زیر کاهش می یابد: ایکس² + ایکس- 3/4 = 0. اجازه دهید فرمول ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته را استخراج کنیم. تبر² + bx + ج = 0

معادله کاهش یافته است ایکس² + px + q= 0 منطبق بر یک معادله کلی است که در آن آ = 1, ب = پ, ج = qبنابراین، برای معادله درجه دوم داده شده، فرمول به شکل زیر است:

آخرین عبارت فرمول ریشه های معادله درجه دوم نامیده می شود آر- عدد زوج. مثلاً معادله را حل کنیم ایکس² - 14 ایکس — 15 = 0

در پاسخ می نویسیم معادله دو ریشه دارد.

برای معادله درجه دوم کاهش یافته با مثبت، قضیه زیر صادق است.

قضیه ویتا

اگر ایکس 1 و ایکس 2 - ریشه های معادله ایکس² + px + q= 0، سپس فرمول ها معتبر هستند:

ایکس 1 + ایکس 2 = — آر

x 1 * x 2 = q،یعنی مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است.

بر اساس فرمول ریشه های معادله درجه دوم فوق، داریم:

با اضافه کردن این برابری ها، دریافت می کنیم: ایکس 1 + ایکس 2 = —آر.

با ضرب این تساوی ها با استفاده از فرمول تفاضل مربع ها به دست می آوریم:

توجه داشته باشید که قضیه ویتا زمانی معتبر است که ممیز برابر با صفر باشد، اگر فرض کنیم که در این مورد معادله درجه دوم دارای دو ریشه یکسان است: ایکس 1 = ایکس 2 = — آر/2.

بدون حل معادلات ایکس² - 13 ایکس+ 30 = 0 مجموع و حاصل ضرب ریشه های آن را بیابید ایکس 1 و ایکس 2. این معادله دی= 169 - 120 = 49 > 0، بنابراین قضیه ویتا را می توان اعمال کرد: ایکس 1 + ایکس 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. اجازه دهید به چند مثال دیگر نگاه کنیم. یکی از ریشه های معادله ایکس² — px- 12 = 0 برابر است ایکس 1 = 4. ضریب را پیدا کنید آرو ریشه دوم ایکس 2 این معادله با قضیه ویتا x 1 * x 2 =— 12, ایکس 1 + ایکس 2 = — آر.زیرا ایکس 1 = 4 و سپس 4 ایکس 2 = - 12، از کجا ایکس 2 = — 3, آر = — (ایکس 1 + ایکس 2) = - (4 - 3) = - 1. در پاسخ ریشه دوم را یادداشت می کنیم ایکس 2 = - 3، ضریب p = - 1.

بدون حل معادلات ایکس² + 2 ایکس- 4 = 0 بیایید مجموع مربع های ریشه های آن را پیدا کنیم. اجازه دهید ایکس 1 و ایکس 2 - ریشه های معادله. با قضیه ویتا ایکس 1 + ایکس 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. زیرا ایکس 1²+ ایکس 2² = ( ایکس 1 + ایکس 2)² - 2 ایکس 1 ایکس 2 سپس ایکس 1²+ ایکس 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

بیایید حاصل جمع و حاصل ضرب ریشه های معادله 3 را پیدا کنیم ایکس² + 4 ایکس- 5 = 0. این معادله دارای دو ریشه متفاوت است، زیرا ممیز است دی= 16 + 4*3*5 > 0. برای حل معادله از قضیه Vieta استفاده می کنیم. این قضیه برای معادله درجه دوم ثابت شده است. پس بیایید این معادله را بر 3 تقسیم کنیم.

بنابراین مجموع ریشه ها برابر با 4/3- و حاصلضرب آنها برابر با 3/5- است.

به طور کلی، ریشه های معادله تبر² + b ایکس + ج= 0 با برابری های زیر مرتبط است: ایکس 1 + ایکس 2 = — b/a، x 1 * x 2 = c/a،برای بدست آوردن این فرمول ها کافی است دو طرف این معادله درجه دوم را بر تقسیم کنیم آ ≠ 0 و قضیه ویتا را در معادله درجه دوم کاهش یافته اعمال کنید. بیایید یک مثال را در نظر بگیریم: شما باید یک معادله درجه دوم کاهش یافته ایجاد کنید که ریشه های آن ایکس 1 = 3, ایکس 2 = 4. زیرا ایکس 1 = 3, ایکس 2 = 4 - ریشه های معادله درجه دوم ایکس² + px + q= 0، سپس با قضیه ویتا آر = — (ایکس 1 + ایکس 2) = — 7, q = ایکس 1 ایکس 2 = 12. جواب را به صورت می نویسیم ایکس² - 7 ایکس+ 12 = 0. هنگام حل برخی از مسائل از قضیه زیر استفاده می شود.

قضیه در مقابل قضیه ویتا قرار دارد

اگر اعداد آر, q, ایکس 1 , ایکس 2 به گونه ای هستند که ایکس 1 + ایکس 2 = — p، x 1 * x 2 = q، آن x 1و x 2- ریشه های معادله ایکس² + px + q= 0. به سمت چپ جایگزین کنید ایکس² + px + qبجای آراصطلاح - ( ایکس 1 + ایکس 2) و در عوض q- کار x 1 * x 2 .ما گرفتیم: ایکس² + px + q = ایکس² — ( ایکس 1 + ایکس 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2).بنابراین، اگر اعداد آر, q, ایکس 1 و ایکس 2 توسط این روابط و سپس برای همه به هم متصل می شوند ایکسبرابری برقرار است ایکس² + px + q = (x - x 1) (x - x 2)،که از آن نتیجه می شود که ایکس 1 و ایکس 2 - ریشه های معادله ایکس² + px + q= 0. با استفاده از قضیه معکوس به قضیه ویتا، گاهی اوقات می توانید ریشه های یک معادله درجه دوم را با انتخاب پیدا کنید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم، ایکس² - 5 ایکس+ 6 = 0. اینجا آر = — 5, q= 6. بیایید دو عدد را انتخاب کنیم ایکس 1 و ایکس 2 به طوری که ایکس 1 + ایکس 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. با توجه به اینکه 6 = 2 * 3، و 2 + 3 = 5، با قضیه معکوس قضیه ویتا، به دست می آوریم که ایکس 1 = 2, ایکس 2 = 3 - ریشه های معادله ایکس² - 5 ایکس + 6 = 0.

قضیه Vieta (به طور دقیق تر، قضیه معکوس قضیه Vieta) به شما امکان می دهد زمان حل معادلات درجه دوم را کاهش دهید. فقط باید بدانید که چگونه از آن استفاده کنید. چگونه حل معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا یاد بگیریم؟ اگر کمی به آن فکر کنید کار سختی نیست.

اکنون فقط در مورد حل معادله درجه دوم کاهش یافته با استفاده از قضیه ویتا صحبت خواهیم کرد. همچنین می توان معادلات درجه دومی را حل کرد که با استفاده از قضیه ویتا داده نشده اند، اما حداقل یکی از ریشه ها عدد صحیح نیست. حدس زدن آنها سخت تر است.

قضیه معکوس قضیه ویتا بیان می کند: اگر اعداد x1 و x2 به گونه ای باشند که

سپس x1 و x2 ریشه های معادله درجه دوم هستند

هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا، تنها 4 گزینه ممکن است. اگر خط استدلال را به خاطر داشته باشید، می توانید یاد بگیرید که ریشه های کامل را خیلی سریع پیدا کنید.

I. اگر q یک عدد مثبت باشد،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند (زیرا فقط ضرب اعداد با علائم یکسان یک عدد مثبت تولید می کند).

I.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (به ترتیب، ص<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. اگر -p یک عدد منفی است، (به ترتیب p>0)، سپس هر دو ریشه اعداد منفی هستند (اعداد هم علامت را اضافه کردیم و یک عدد منفی گرفتیم).

II. اگر q یک عدد منفی است،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 دارای علائم متفاوت هستند (هنگام ضرب اعداد، تنها زمانی که علائم عوامل متفاوت باشد، یک عدد منفی به دست می آید). در این حالت، x1 + x2 دیگر یک مجموع نیست، بلکه یک تفاوت است (در نهایت، هنگام جمع کردن اعداد با علائم مختلف، ما کوچکتر را از بزرگتر در مقدار مطلق کم می کنیم). بنابراین، x1+x2 نشان می دهد که ریشه های x1 و x2 چقدر با هم تفاوت دارند، یعنی چقدر یک ریشه از دیگری بزرگتر است (در مقدار مطلق).

II.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (یعنی ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. اگر -p یک عدد منفی است، (p>0)، سپس ریشه بزرگتر (مدول) یک عدد منفی است.

بیایید حل معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا با استفاده از مثال در نظر بگیریم.

معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا حل کنید:

در اینجا q=12>0، بنابراین ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند. مجموع آنها -p=7>0 است، بنابراین هر دو ریشه اعداد مثبت هستند. ما اعداد صحیحی را انتخاب می کنیم که حاصل ضرب آنها 12 باشد. این اعداد 1 و 12، 2 و 6، 3 و 4 هستند. مجموع آن ها برای جفت 3 و 4 برابر با 7 است. یعنی 3 و 4 ریشه های معادله هستند.

در این مثال q=16>0 یعنی ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند. مجموع آنها -p=-10 است<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

اینجا q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0، سپس عدد بزرگتر مثبت است. بنابراین ریشه ها 5 و -3 هستند.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

I. قضیه ویتابرای معادله درجه دوم کاهش یافته.

مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 +px+q=0برابر ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 = q.

ریشه های معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا بیابید.

مثال 1) x 2 -x-30=0.این معادله درجه دوم کاهش یافته است ( x 2 +px+q=0)، ضریب دوم p=-1و عضو رایگان q=-30.ابتدا مطمئن شویم که این معادله دارای ریشه است و ریشه ها (در صورت وجود) به صورت اعداد صحیح بیان می شوند. برای این کار کافی است که ممیز یک مربع کامل از یک عدد صحیح باشد.

پیدا کردن ممیز دی=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

حال، طبق قضیه ویتا، مجموع ریشه ها باید برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته می شود، یعنی. ( -پ، و حاصلضرب برابر با عبارت آزاد است، یعنی. ( q). سپس:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙x 2 = -30.باید دو عدد را طوری انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر باشد -30 ، و مقدار آن است واحد. اینها اعداد هستند -5 و 6 . پاسخ: -5; 6.

مثال 2) x 2 +6x+8=0.معادله درجه دوم کاهش یافته را با ضریب دوم داریم p=6و عضو رایگان q=8. بیایید مطمئن شویم که ریشه های عدد صحیح وجود دارد. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم د 1 د 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . متمایز D 1 مربع کامل عدد است 1 یعنی ریشه های این معادله اعداد صحیح هستند. اجازه دهید ریشه ها را با استفاده از قضیه Vieta انتخاب کنیم: مجموع ریشه ها برابر است با –р=-6، و حاصل ضرب ریشه ها برابر است با q=8. اینها اعداد هستند -4 و -2 .

در واقع: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. پاسخ: -4; -2.

مثال 3) x 2 +2x-4=0. در این معادله درجه دوم کاهش یافته، ضریب دوم است p=2و عضو رایگان q=-4. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم د 1، زیرا ضریب دوم یک عدد زوج است. د 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. متمایز کننده مربع کامل عدد نیست، بنابراین ما این کار را می کنیم نتیجه: ریشه های این معادله اعداد صحیح نیستند و با استفاده از قضیه ویتا نمی توان آنها را یافت.یعنی این معادله را طبق معمول با استفاده از فرمول (در این مورد با استفاده از فرمول) حل می کنیم. ما گرفتیم:

مثال 4).معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بنویسید x 1 =-7، x 2 =4.

راه حل.معادله مورد نیاز به شکل زیر نوشته می شود: x 2 +px+q=0و بر اساس قضیه ویتا –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . سپس معادله به شکل زیر در می آید: x 2 +3x-28=0.

مثال 5).یک معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بنویسید اگر:

II. قضیه ویتابرای یک معادله درجه دوم کامل ax 2 +bx+c=0.

مجموع ریشه ها منهای است ب، تقسیم بر آ، حاصلضرب ریشه ها برابر است با با، تقسیم بر آ:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.