توزیع انرژی پتانسیل بولتزمن توزیع بولتزمن

فرمول فشارسنجی- وابستگی فشار یا چگالی گاز به ارتفاع در میدان گرانشی.

برای یک گاز ایده آل که دمای ثابتی دارد و در یک میدان گرانشی یکنواخت قرار دارد (در تمام نقاط حجم آن شتاب گرانش یکسان است)، فرمول فشارسنجی به شکل زیر است:

که در آن فشار گاز در لایه واقع در ارتفاع است، فشار در سطح صفر است

()، - جرم مولی گاز، - ثابت گاز، - دمای مطلق. از فرمول بارومتریک نتیجه می شود که غلظت مولکول ها (یا چگالی گاز) با ارتفاع طبق همان قانون کاهش می یابد:

جرم یک مولکول گاز کجاست و ثابت بولتزمن است.

فرمول فشارسنجی را می توان از قانون توزیع مولکول های گاز ایده آل بر روی سرعت ها و مختصات در میدان نیروی بالقوه به دست آورد. در این مورد، دو شرط باید رعایت شود: ثبات دمای گاز و یکنواختی میدان نیرو. شرایط مشابهی را می توان برای کوچکترین ذرات جامد معلق در یک مایع یا گاز برآورده کرد.

توزیع بولتزمن- این توزیع انرژی ذرات (اتم ها، مولکول ها) یک گاز ایده آل در شرایط تعادل ترمودینامیکی است. توزیع بولتزمن در 1868 - 1871 کشف شد. فیزیکدان استرالیایی L. Boltzmann. با توجه به توزیع، تعداد ذرات n i با انرژی کل E i برابر است با:

n i =A ω i e E i /Kt (1)

که در آن ω i وزن آماری است (تعداد حالت های ممکن یک ذره با انرژی e i). ثابت A از این شرط به دست می آید که مجموع n i در تمام مقادیر ممکن i برابر با تعداد کل ذرات N در سیستم باشد (شرایط عادی سازی):

در موردی که حرکت ذرات از مکانیک کلاسیک پیروی می کند، انرژی E i را می توان متشکل از انرژی جنبشی E ikin یک ذره (مولکول یا اتم)، انرژی داخلی آن E iin (به عنوان مثال، انرژی تحریک الکترون ها) در نظر گرفت. ) و انرژی پتانسیل E i، سپس در میدان خارجی بسته به موقعیت ذره در فضا:

E i = E i، kin + E i، int + E i، عرق (2)

توزیع سرعت ذرات یک مورد خاص از توزیع بولتزمن است. زمانی اتفاق می افتد که انرژی تحریک داخلی نادیده گرفته شود

E i، ext و تأثیر میدان های خارجی E i، pot. مطابق با (2)، فرمول (1) را می توان به صورت حاصل ضرب سه نمایی نشان داد که هر کدام توزیع ذرات را بر اساس یک نوع انرژی نشان می دهد.

در یک میدان گرانشی ثابت ایجاد شتاب g، برای ذرات گازهای اتمسفر نزدیک سطح زمین (یا سیارات دیگر)، انرژی پتانسیل متناسب با جرم m و ارتفاع H بالای سطح است، یعنی. E i، عرق = mgH. پس از جایگزینی این مقدار در توزیع بولتزمن و جمع کردن تمام مقادیر ممکن انرژی جنبشی و درونی ذرات، یک فرمول فشارسنجی به دست می‌آید که قانون کاهش چگالی اتمسفر را با ارتفاع بیان می‌کند.

در اخترفیزیک، به ویژه در نظریه طیف های ستاره ای، توزیع بولتزمن اغلب برای تعیین جمعیت نسبی الکترون سطوح مختلف انرژی اتمی استفاده می شود. اگر دو حالت انرژی اتم را با شاخص های 1 و 2 تعیین کنیم، توزیع به شرح زیر است:

n 2 /n 1 = (ω 2 / ω 1) e -(E 2 -E 1)/kT (3) (فرمول بولتزمن).

اختلاف انرژی E 2 -E 1 برای دو سطح انرژی پایین تر اتم هیدروژن >10 eV است و مقدار kT که مشخص کننده انرژی حرکت حرارتی ذرات برای اتمسفر ستارگانی مانند خورشید است، فقط 0.3- است. 1 ولت بنابراین، هیدروژن در چنین اتمسفرهای ستاره ای در حالت تحریک نشده است. بنابراین، در اتمسفر ستارگان با دمای موثر Te > 5700 K (خورشید و سایر ستارگان)، نسبت تعداد اتم های هیدروژن در حالت دوم و پایه 4.2 10 -9 است.

توزیع بولتزمن در چارچوب آمار کلاسیک به دست آمد. در 1924-26. آمار کوانتومی ایجاد شد. این منجر به کشف بوز - انیشتین (برای ذرات با اسپین عدد صحیح) و فرمی - دیراک (برای ذرات با اسپین نیمه صحیح) شد. هر دوی این توزیع‌ها زمانی تبدیل به یک توزیع می‌شوند که میانگین تعداد حالت‌های کوانتومی موجود برای سیستم به طور قابل‌توجهی از تعداد ذرات موجود در سیستم بیشتر شود، یعنی. زمانی که در هر ذره حالت های کوانتومی زیادی وجود دارد یا به عبارت دیگر، زمانی که درجه پر شدن حالات کوانتومی کم است. شرط کاربردی بودن توزیع بولتزمن را می توان به صورت نابرابری نوشت.

فرمول بارومتریک وابستگی فشار یا چگالی گاز به ارتفاع در میدان گرانشی است.

برای یک گاز ایده آل که دمای ثابتی دارد و در یک میدان گرانشی یکنواخت قرار دارد (در تمام نقاط حجم آن شتاب گرانش یکسان است)، فرمول فشارسنجی به شکل زیر است:

که در آن فشار گاز در لایه واقع در ارتفاع، فشار در سطح صفر ()، جرم مولی گاز، ثابت گاز جهانی، دمای مطلق است. از فرمول بارومتریک نتیجه می شود که غلظت مولکول ها (یا چگالی گاز) با ارتفاع طبق همان قانون کاهش می یابد:

جرم یک مولکول گاز کجاست و ثابت بولتزمن است.

فرمول فشارسنجی را می توان از قانون توزیع مولکول های گاز ایده آل بر روی سرعت ها و مختصات در میدان نیروی بالقوه به دست آورد (به آمار ماکسول-بولتزمن مراجعه کنید). در این مورد، دو شرط باید رعایت شود: ثبات دمای گاز و یکنواختی میدان نیرو. شرایط مشابهی را می توان برای کوچکترین ذرات جامد معلق در یک مایع یا گاز برآورده کرد. بر این اساس، فیزیکدان فرانسوی J. Perrin در سال 1908 فرمول فشارسنجی را برای توزیع ارتفاع ذرات امولسیون اعمال کرد که به او اجازه داد مستقیماً مقدار ثابت بولتزمن را تعیین کند.

فرمول فشارسنجی نشان می دهد که چگالی گاز با افزایش ارتفاع به طور تصاعدی کاهش می یابد. اندازه ، که میزان کاهش چگالی را تعیین می کند، نسبت انرژی پتانسیل ذرات به انرژی جنبشی متوسط ​​آنها، متناسب با . هر چه دما بیشتر باشد، چگالی با ارتفاع کندتر کاهش می یابد. از طرف دیگر، افزایش گرانش (در دمای ثابت) منجر به فشردگی قابل توجهی بیشتر لایه‌های زیرین و افزایش اختلاف چگالی ( گرادیان) می‌شود. نیروی گرانش وارد بر ذرات می تواند به دلیل دو کمیت تغییر کند: شتاب و جرم ذرات.

در نتیجه، در مخلوطی از گازهای واقع در یک میدان گرانشی، مولکول‌هایی با جرم‌های مختلف در ارتفاع متفاوتی توزیع می‌شوند.

توزیع واقعی فشار و چگالی هوا در جو زمین از فرمول فشارسنجی پیروی نمی کند، زیرا در جو دما و شتاب گرانش با ارتفاع و عرض جغرافیایی تغییر می کند. علاوه بر این، فشار اتمسفر با غلظت بخار آب در جو افزایش می یابد.

فرمول بارومتریک زیربنای تراز کردن بارومتریک است - روشی برای تعیین اختلاف ارتفاع بین دو نقطه با فشار اندازه گیری شده در این نقاط (و). از آنجایی که فشار اتمسفر به آب و هوا بستگی دارد، فاصله زمانی بین اندازه گیری ها باید تا حد امکان کوتاه باشد و نقاط اندازه گیری نباید خیلی دور از یکدیگر قرار گیرند. فرمول فشارسنجی در این مورد به صورت زیر نوشته می شود: (در متر)، که در آن دمای متوسط ​​لایه هوا بین نقاط اندازه گیری است و ضریب دمایی انبساط حجمی هوا است. خطا در محاسبات با استفاده از این فرمول از 0.1-0.5٪ ارتفاع اندازه گیری شده تجاوز نمی کند. فرمول لاپلاس با در نظر گرفتن تأثیر رطوبت هوا و تغییرات در شتاب گرانش دقیق تر است.

فرمول فشارسنجی- وابستگی فشار یا چگالی گاز به ارتفاع در میدان گرانشی. برای یک گاز ایده آل که دمای ثابتی دارد تیو در یک میدان گرانشی یکنواخت قرار دارد (در تمام نقاط حجم آن شتاب سقوط آزاد است gهمان)، فرمول فشارسنجی به شرح زیر است:

جایی که پ- فشار گاز در یک لایه واقع در ارتفاع ساعت, پ 0 - فشار در سطح صفر ( ساعت = ساعت 0), م- جرم مولی گاز، آر- ثابت گاز، تی- دمای مطلق از فرمول فشار سنجی این نتیجه می شود که غلظت مولکول ها n(یا چگالی گاز) طبق همان قانون با ارتفاع کاهش می یابد:

جایی که م- جرم مولی گاز، آر- ثابت گاز

فرمول فشارسنجی نشان می دهد که چگالی گاز با افزایش ارتفاع به طور تصاعدی کاهش می یابد. اندازه که میزان کاهش چگالی را تعیین می کند، نسبت انرژی پتانسیل ذرات به انرژی جنبشی متوسط ​​آنها است، متناسب با kT. هر چه دما بالاتر باشد تی، هر چه چگالی با ارتفاع کندتر کاهش می یابد. از سوی دیگر، افزایش گرانش میلی گرم(در دمای ثابت) منجر به فشردگی به طور قابل توجهی بیشتر لایه های زیرین و افزایش اختلاف چگالی ( گرادیان ) می شود. گرانش بر روی ذرات اثر می گذارد میلی گرممی تواند به دلیل دو کمیت تغییر کند: شتاب gو جرم ذرات متر.

در نتیجه، در مخلوطی از گازهای واقع در یک میدان گرانشی، مولکول‌هایی با جرم‌های مختلف در ارتفاع متفاوتی توزیع می‌شوند.

بگذارید یک گاز ایده آل در میدانی با نیروهای محافظه کار تحت شرایط تعادل گرمایی باشد. در این حالت غلظت گاز در نقاطی با انرژی پتانسیل متفاوت متفاوت خواهد بود که برای رعایت شرایط تعادل مکانیکی ضروری است. بنابراین، تعداد مولکول ها در یک واحد حجم nبا فاصله از سطح زمین و فشار ناشی از رابطه کاهش می یابد P = nkT، سقوط.

اگر تعداد مولکول های یک واحد حجم مشخص باشد، فشار نیز مشخص است و بالعکس. فشار و چگالی با یکدیگر متناسب هستند، زیرا دما در مورد ما ثابت است. فشار باید با کاهش ارتفاع افزایش یابد، زیرا لایه زیرین باید وزن تمام اتم های واقع در بالا را تحمل کند.

بر اساس معادله اصلی نظریه جنبشی مولکولی: P = nkT، جایگزین کردن پو P0در فرمول فشارسنجی (2.4.1) در nو n 0و دریافت می کنیم توزیع بولتزمنبرای جرم مولی گاز:

با کاهش دما، تعداد مولکول ها در ارتفاعات غیر از صفر کاهش می یابد. در تی= 0 توقف حرکت حرارتی، تمام مولکول ها روی سطح زمین قرار می گیرند. در دماهای بالا، برعکس، مولکول ها تقریباً به طور یکنواخت در ارتفاع توزیع می شوند و چگالی مولکول ها به آرامی با ارتفاع کاهش می یابد. زیرا mghانرژی بالقوه است U، سپس در ارتفاعات مختلف U = mgh- ناهمسان. در نتیجه، (2.5.2) توزیع ذرات را بر اساس مقادیر انرژی پتانسیل مشخص می کند:

,

(2.5.3)

– این قانون توزیع ذرات توسط انرژی پتانسیل است - توزیع بولتزمن.اینجا n 0– تعداد مولکول ها در واحد حجم که در آن U = 0.

قانون تغییر فشار با ارتفاع، با فرض یکنواخت بودن میدان گرانشی، ثابت بودن دما و یکسان بودن جرم همه مولکول ها

عبارت (45.2) نامیده می شود فرمول فشارسنجیبه شما امکان می دهد فشار اتمسفر را بسته به ارتفاع بیابید یا با اندازه گیری فشار، ارتفاع را پیدا کنید: از آنجایی که ارتفاعات نسبت به سطح دریا نشان داده می شوند، جایی که فشار نرمال در نظر گرفته می شود، عبارت (45.2) را می توان به صورت نوشتاری نوشت.

(45.3)

جایی که R -فشار ارتفاع ساعت

اگر از عبارت (42.6) استفاده کنیم، فرمول فشارسنجی (45.3) قابل تبدیل است. پ= nkT:

جایی که n- غلظت مولکول ها در ارتفاع ساعت, n 0 - یکسان، در ارتفاع ساعت= 0. از آنجایی که م = متر 0 نآ ( نالف - ثابت آووگادرو، تی 0 – جرم یک مولکول)، الف آر= kNآ , که

(45.4)

جایی که متر 0 غ= P انرژی پتانسیل یک مولکول در یک میدان گرانشی است، یعنی.

عبارت (45.5) نامیده می شود توزیع بولتزمنبرای یک میدان پتانسیل خارجی از حق وتو نتیجه می شود که در دمای ثابت چگالی گاز در جایی که انرژی پتانسیل مولکول های آن کمتر است بیشتر است.

اگر ذرات جرم یکسانی داشته باشند و در حالت حرکت حرارتی آشفته باشند، توزیع بولتزمن (45.5) در هر میدان پتانسیل خارجی و نه فقط در میدان گرانش معتبر است.

24. قانون توزیع یکنواخت انرژی در درجات آزادی. تعداد درجات آزادی میانگین انرژی جنبشی حرکت حرارتی مولکول ها.

میانگین انرژی جنبشی یک مولکول دارای درجه آزادی i است. این قانون بولتزمن در مورد توزیع یکنواخت انرژی جنبشی متوسط ​​بر درجات آزادی است. مولکول ها را می توان به عنوان سیستم هایی از نقاط مادی (اتم ها) در نظر گرفت که هم حرکت انتقالی و هم حرکت چرخشی را انجام می دهند. هنگامی که یک نقطه در امتداد یک خط مستقیم حرکت می کند، برای تخمین موقعیت آن، باید یک مختصات را بدانید، یعنی. یک نقطه یک درجه آزادی دارد. اگر نقطه حرکت روی یک صفحه باشد، موقعیت آن با دو مختصات مشخص می شود. در این حالت نقطه دارای دو درجه آزادی است. موقعیت یک نقطه در فضا با 3 مختصات تعیین می شود. تعداد درجات آزادی معمولا با حرف i نشان داده می شود. مولکول هایی که از یک اتم معمولی تشکیل شده اند، نقاط مادی محسوب می شوند و دارای سه درجه آزادی (آرگون، هلیوم) هستند. انرژی جنبشی متوسط ​​مولکول‌های گاز (به ازای هر مولکول) توسط انرژی جنبشی حرکت انتقالی اتم‌ها و مولکول‌ها به‌دست می‌آید که میانگین آن بر روی تعداد زیادی ذرات متحرک تصادفی است، اندازه‌گیری چیزی است که دما نامیده می‌شود. اگر دمای T بر حسب درجه کلوین (K) اندازه‌گیری شود، رابطه آن با Ek از رابطه (6) و (7) به دست می‌آید، می‌توانیم مقدار سرعت ریشه میانگین مربع مولکول‌ها را تعیین کنیم. انرژی داخلی یک گاز ایده آل برابر است با مجموع انرژی جنبشی همه ذرات گاز در حرکت حرارتی پیوسته و تصادفی. این منجر به قانون ژول می شود که توسط آزمایش های متعدد تأیید شده است. انرژی داخلی یک گاز ایده آل فقط به دمای آن بستگی دارد و به حجم آن بستگی ندارد. مولکول هایی که فقط حرکت انتقالی را انجام می دهند: از آنجایی که انرژی پتانسیل برهمکنش مولکول ها به فاصله بین آنها بستگی دارد، در حالت کلی انرژی داخلی U یک جسم، همراه با دمای T، به حجم V نیز بستگی دارد: U = U (T, V). معمولاً می گویند انرژی درونی تابعی از حالت است.

توزیع بولتزمن

در فرمول فشارسنجی در رابطه با آقایهم صورت و هم مخرج را بر عدد آووگادرو تقسیم کنید.

جرم یک مولکول

ثابت بولتزمن

بجای آرو بر این اساس جایگزین کنید. (نگاه کنید به سخنرانی شماره 7)، که در آن چگالی مولکول ها در ارتفاع است ساعت، چگالی مولکول ها در ارتفاع است.

از فرمول فشارسنجی، در نتیجه جانشینی ها و اختصارات، توزیع غلظت مولکول ها بر اساس ارتفاع در میدان گرانش زمین را به دست می آوریم.

از این فرمول نتیجه می شود که با کاهش دما، تعداد ذرات در ارتفاعات غیر از صفر کاهش می یابد (شکل 8.10) و در T = 0 به 0 تبدیل می شود. در صفر مطلق، تمام مولکول ها روی سطح زمین قرار می گیرند). در دمای بالا nبا قد کمی کاهش می یابد، بنابراین

از این رو، توزیع مولکول ها بر اساس ارتفاع نیز توزیع آنها بر اساس مقادیر انرژی پتانسیل است.

(*)

چگالی مولکول ها در آن مکان در فضایی که انرژی پتانسیل مولکول دارای مقدار است، کجاست. چگالی مولکول ها در محلی که انرژی پتانسیل 0 است.

بولتزمن ثابت کرد که توزیع (*) نه تنها در مورد میدان بالقوه نیروهای گرانشی، بلکه در هر میدان بالقوه نیرو برای مجموعه ای از ذرات یکسان در حالت حرکت حرارتی آشفته صادق است..

بدین ترتیب، قانون بولتزمن (*) توزیع ذرات را در حالت حرکت حرارتی آشفته بر اساس مقادیر انرژی پتانسیل نشان می دهد.. (شکل 8.11)

برنج. 8.11

4. توزیع بولتزمن در سطوح انرژی گسسته.

توزیع به‌دست‌آمده توسط بولتزمن برای مواردی اعمال می‌شود که مولکول‌ها در یک میدان خارجی هستند و انرژی پتانسیل آنها می‌تواند به طور مداوم اعمال شود. بولتزمن قانونی را که به دست آورد در مورد توزیع بسته به انرژی داخلی مولکول تعمیم داد.

مشخص است که مقدار انرژی داخلی یک مولکول (یا اتم) Eمی تواند تنها یک سری گسسته از مقادیر مجاز را بگیرد. در این مورد، توزیع بولتزمن به شکل زیر است:

,

تعداد ذرات در یک حالت با انرژی کجاست.

عامل تناسب که شرط را برآورده می کند

,

جایی که نتعداد کل ذرات در سیستم مورد بررسی است.

سپس و در نتیجه، برای مقادیر انرژی گسسته، توزیع بولتزمن

اما وضعیت سیستم در این حالت از نظر ترمودینامیکی غیرتعادلی است.

5. آمار ماکسول بولتزمن

توزیع ماکسول و بولتزمن را می توان در یک قانون ماکسول-بولتزمن ترکیب کرد که بر اساس آن تعداد مولکول هایی که اجزای سرعت آنها در محدوده تا قرار دارند. ، و مختصات از x، y، zقبل از x+dx، y+dy، z+dz، برابر است

جایی که چگالی مولکول ها در فضایی که; ; ; کل انرژی مکانیکی یک ذره

توزیع ماکسول-بولتزمن توزیع مولکول های گاز را بر روی مختصات و سرعت در حضور میدان نیروی بالقوه دلخواه برقرار می کند..

توجه داشته باشید: توزیع های ماکسول و بولتزمن اجزای یک توزیع واحد به نام توزیع گیبس هستند (این موضوع در دوره های ویژه فیزیک استاتیک به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است و ما فقط به ذکر این واقعیت اکتفا می کنیم).

سوالاتی برای خودکنترلی

1. احتمال را تعریف کنید.

2. منظور از تابع توزیع چیست؟

3. منظور از شرط عادی سازی چیست؟

4. فرمولی برای تعیین مقدار متوسط ​​نتایج اندازه گیری x با استفاده از تابع توزیع بنویسید.

5. توزیع ماکسول چیست؟

6. تابع توزیع ماکسول چیست؟ معنای فیزیکی آن چیست؟

7. نموداری از تابع توزیع ماکسول رسم کنید و ویژگی های مشخصه این تابع را نشان دهید.

8. محتمل ترین سرعت را روی نمودار نشان دهید. یک بیان برای . با افزایش دما نمودار چگونه تغییر می کند؟

9. فرمول فشارسنجی را بدست آورید. چه چیزی را تعریف می کند؟

10. وابستگی غلظت مولکول های گاز در میدان گرانش را به ارتفاع بدست آورید.

11. قانون توزیع بولتزمن الف) را برای مولکولهای یک گاز ایده آل در میدان گرانشی بنویسید. ب) برای ذرات با جرم m واقع در روتور یک سانتریفیوژ که با سرعت زاویه ای می چرخند.

12. معنای فیزیکی توزیع ماکسول-بولتزمن را توضیح دهید.

سخنرانی شماره 9

گازهای واقعی

1. نیروهای برهمکنش بین مولکولی در گازها. معادله واندروالس ایزوترم گازهای واقعی

2. حالت های فراپایدار. شرایط بحرانی.

3. انرژی داخلی گاز واقعی.

4. ژول - اثر تامسون. مایع شدن گازها و به دست آوردن دماهای پایین.

1. نیروهای برهمکنش بین مولکولی در گازها

بسیاری از گازهای واقعی از قوانین گاز ایده آل پیروی می کنند در شرایط عادی. هوا را می توان در نظر گرفت ایده آل تا فشار ~ 10 اتمسفر. هنگامی که فشار افزایش می یابد انحراف از ایده آل(انحراف از حالت توصیف شده توسط معادله مندلیف - کلایپرون) افزایش می یابد و در p = 1000 atm به بیش از 100٪ می رسد.

و جاذبه، آ اف - حاصل آنها. نیروهای دافعه در نظر گرفته شده است مثبت، و نیروهای جذب متقابل هستند منفی. منحنی کیفی مربوط به وابستگی انرژی برهمکنش مولکول ها به فاصله rبین مراکز مولکول ها نشان داده شده است

برنج. 9.1b). در فواصل کوتاه، مولکول ها دفع می شوند، در فواصل زیاد جذب می شوند. افزایش سریع نیروهای دافعه در فواصل کوتاه، به طور کلی به این معنی است به نظر می رسد که مولکول ها حجم خاصی را اشغال می کنند که بیش از آن گاز نمی تواند فشرده شود.