خانه » طراحی آپارتمان » یک خط مستقیم متقارن حول یک محور. تقارن محوری و مرکزی

یک خط مستقیم متقارن حول یک محور. تقارن محوری و مرکزی

فرض کنید g یک خط ثابت باشد (شکل 191). بیایید یک نقطه دلخواه X بگیریم و AX عمود بر خط مستقیم g را رها کنیم. در ادامه عمود بر نقطه A، قطعه AX" برابر با پاره AX را رسم می کنیم. نقطه X را متقارن با نقطه X نسبت به خط مستقیم g می نامیم.

اگر نقطه X روی یک خط g قرار داشته باشد، نقطه متقارن با آن نقطه خود X است. بدیهی است که نقطه متقارن با نقطه X، یک نقطه X است.

تبدیل یک شکل F به یک شکل F، که در آن هر یک از نقاط آن X به یک نقطه X می رود، متقارن نسبت به یک خط مستقیم g داده شده، تبدیل تقارن نسبت به یک خط مستقیم g نامیده می شود. در این حالت، ارقام F و F را با توجه به خط مستقیم g متقارن می نامند (شکل 192).

اگر یک تبدیل تقارن نسبت به یک خط g، یک شکل F را در خود بگیرد، این شکل را نسبت به یک خط g متقارن و خط g را محور تقارن شکل می نامند.

به عنوان مثال، خطوط مستقیمی که از نقطه تلاقی قطرهای یک مستطیل موازی با اضلاع آن می گذرند، محورهای تقارن مستطیل هستند (شکل 193). خطوط مستقیمی که مورب های لوزی روی آنها قرار دارند، محورهای تقارن آن هستند (شکل 194).

قضیه 9.3. تبدیل تقارن در مورد یک خط مستقیم یک حرکت است.

اثبات اجازه دهید این خط مستقیم را به عنوان محور y سیستم مختصات دکارتی در نظر بگیریم (شکل 195). بگذارید یک نقطه دلخواه A (x; y) از شکل F به نقطه A" (x"؛ y") شکل F برود. از تعریف تقارن نسبت به یک خط مستقیم چنین برمی‌آید که نقاط A و A دارای مختصات مساوی هستند و ابسیساها فقط در علامت متفاوت هستند:

x" = -x.
بیایید دو نقطه دلخواه A (x 1؛ y 1) و B (x 2؛ y 2) را در نظر بگیریم - آنها به نقاط A" (- x 1، y 1) و B" (-x 2؛ y 2) خواهند رفت.

AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.

از اینجا مشخص می شود که AB = A "B". و این بدان معنی است که تبدیل تقارن در مورد یک خط مستقیم حرکت است. قضیه ثابت شده است.

امروز در مورد پدیده ای صحبت خواهیم کرد که هر یک از ما دائماً در زندگی با آن مواجه می شویم: تقارن. تقارن چیست؟

همه ما تقریباً معنای این اصطلاح را درک می کنیم. در فرهنگ لغت آمده است: تقارن عبارت است از تناسب و مطابقت کامل چینش اجزای چیزی نسبت به یک خط یا نقطه. دو نوع تقارن وجود دارد: محوری و شعاعی. بیایید ابتدا به محوری نگاه کنیم. بیایید بگوییم، تقارن "آینه ای" است، زمانی که یک نیمه از یک جسم کاملاً مشابه دومی است، اما آن را به عنوان یک بازتاب تکرار می کند. به نیمه های ورق نگاه کنید. آنها متقارن آینه ای هستند. نیمه های بدن انسان نیز متقارن هستند (نمای جلو) - بازوها و پاهای یکسان، چشمان یکسان. اما اشتباه نکنیم، در حقیقت، در دنیای ارگانیک (زنده)، تقارن مطلق یافت نمی شود! نیمه های ورق به دور از کامل بودن یکدیگر را کپی می کنند، همین امر در مورد بدن انسان نیز صدق می کند (خودتان از نزدیک نگاه کنید). همین امر در مورد سایر موجودات نیز صادق است! به هر حال، شایان ذکر است که هر بدن متقارن فقط در یک موقعیت نسبت به بیننده متقارن است. مثلاً ارزشش را دارد که یک ورق کاغذ را بچرخانید، یا یک دستتان را بالا ببرید، و چه اتفاقی می‌افتد؟ - خودت می بینی

مردم به تقارن واقعی در کارهای کار خود (اشیاء) دست می یابند - لباس ها، اتومبیل ها ... در طبیعت، این ویژگی برای تشکیلات غیر آلی، به عنوان مثال، کریستال ها است.

اما بیایید به سراغ تمرین برویم. شما نباید با اشیاء پیچیده مانند افراد و حیوانات شروع کنید؛ بیایید سعی کنیم تا رسم آینه نیمی از ورق را به عنوان اولین تمرین در یک زمینه جدید به پایان برسانیم.

رسم یک شی متقارن - درس 1

ما مطمئن می شویم که تا حد امکان مشابه باشد. برای انجام این کار، ما به معنای واقعی کلمه جفت روح خود را می سازیم. فکر نکنید که کشیدن یک خط مربوط به آینه با یک ضربه، مخصوصاً بار اول، خیلی آسان است!

بیایید چندین نقطه مرجع را برای خط متقارن آینده مشخص کنیم. به این ترتیب عمل می کنیم: با یک مداد، بدون فشار دادن، چندین عمود بر محور تقارن - وسط برگ - می کشیم. فعلا چهار پنج تا کافیه و روی این عمودها به سمت راست همان فاصله را که در نیمه چپ تا خط لبه برگ اندازه گیری می کنیم. من به شما توصیه می کنم از خط کش استفاده کنید، زیاد به چشم خود تکیه نکنید. به عنوان یک قاعده، ما تمایل به کاهش نقاشی داریم - این از تجربه مشاهده شده است. ما اندازه گیری فاصله را با انگشتان خود توصیه نمی کنیم: خطا بسیار بزرگ است.

بیایید نقاط به دست آمده را با یک خط مداد به هم وصل کنیم:

حالا بیایید با دقت نگاه کنیم که آیا نیمه ها واقعاً یکسان هستند یا خیر. اگر همه چیز درست باشد، با یک قلم نمدی دور آن حلقه می زنیم و خط خود را روشن می کنیم:

برگ صنوبر تکمیل شده است، اکنون می توانید روی برگ بلوط تاب بزنید.

بیایید یک شکل متقارن بکشیم - درس 2

در این مورد، مشکل در این است که رگه ها مشخص شده اند و بر محور تقارن عمود نیستند و نه تنها ابعاد، بلکه زاویه تمایل نیز باید به شدت رعایت شود. خوب، بیایید چشممان را تربیت کنیم:

بنابراین یک برگ بلوط متقارن کشیده شده است، یا بهتر است بگوییم، ما آن را طبق تمام قوانین ساختیم:

نحوه رسم یک شی متقارن - درس 3

و بیایید موضوع را ادغام کنیم - رسم یک برگ یاس متقارن را به پایان می رسانیم.

همچنین شکل جالبی دارد - به شکل قلب و با گوش هایی در پایه، شما باید پف کنید:

این چیزی است که آنها ترسیم کردند:

از راه دور به کار به دست آمده نگاهی بیندازید و ارزیابی کنید که تا چه حد توانستیم شباهت مورد نیاز را با دقت بیان کنیم. در اینجا یک نکته وجود دارد: به تصویر خود در آینه نگاه کنید و اگر اشتباهی وجود داشته باشد به شما می گوید. راه دیگر: تصویر را دقیقاً در امتداد محور خم کنید (ما قبلاً نحوه صحیح خم کردن آن را یاد گرفته ایم) و برگ را در امتداد خط اصلی برش دهید. به خود شکل و کاغذ بریده شده نگاه کنید.

از زمان های قدیم، انسان ایده هایی در مورد زیبایی ایجاد کرده است. همه آفریده های طبیعت زیبا هستند. مردم در نوع خود زیبا هستند، حیوانات و گیاهان شگفت انگیز هستند. دیدن یک سنگ قیمتی یا یک کریستال نمک چشم را خوشحال می کند؛ تحسین نکردن دانه های برف یا پروانه دشوار است. اما چرا این اتفاق می افتد؟ به نظر ما ظاهر اجسامی درست و کامل است که نیمه های راست و چپ آنها یکسان به نظر می رسند، گویی در یک تصویر آینه ای.

ظاهراً اهالی هنر اولین کسانی بودند که به اصل زیبایی فکر کردند. مجسمه سازان باستانی که ساختار بدن انسان را مطالعه می کردند، در قرن پنجم قبل از میلاد. مفهوم "تقارن" شروع به استفاده کرد. این کلمه ریشه یونانی دارد و به معنای هماهنگی، تناسب و تشابه در چینش اجزای تشکیل دهنده است. افلاطون استدلال می کرد که تنها چیزی که متقارن و متناسب باشد می تواند زیبا باشد.

در هندسه و ریاضیات سه نوع تقارن در نظر گرفته می شود: تقارن محوری (نسبت به خط مستقیم)، مرکزی (نسبت به یک نقطه) و تقارن آینه ای (نسبت به یک صفحه).

اگر هر یک از نقاط یک جسم دارای نگاشت دقیق خود نسبت به مرکز آن باشد، تقارن مرکزی وجود دارد. نمونه آن اجسام هندسی مانند استوانه، کره، منشور منظم و غیره است.

تقارن محوری نقاط نسبت به یک خط مستقیم باعث می شود که این خط مستقیم وسط قطعه اتصال نقاط را قطع کند و بر آن عمود باشد. به عنوان مثال، نیمساز یک زاویه توسعه نیافته یک مثلث متساوی الساقین، هر خطی که از مرکز یک دایره کشیده شده است، و غیره است. اگر تقارن محوری مشخص باشد، تعریف نقاط آینه را می توان با خم کردن آن در امتداد محور و قرار دادن نیمه های مساوی "رو به رو" به تصویر کشید. نقاط مورد نظر همدیگر را لمس خواهند کرد.

با تقارن آینه ای، نقاط یک جسم به طور مساوی نسبت به صفحه ای که از مرکز آن می گذرد قرار دارند.

طبیعت عاقل و خردمند است، بنابراین تقریباً تمام مخلوقات آن ساختاری هماهنگ دارند. این هم در مورد موجودات زنده و هم در مورد اشیای بی جان صدق می کند. ساختار اکثر اشکال حیات با یکی از سه نوع تقارن مشخص می شود: دو طرفه، شعاعی یا کروی.

اغلب، محوری را می توان در گیاهانی که عمود بر سطح خاک رشد می کنند مشاهده کرد. در این حالت، تقارن نتیجه چرخش عناصر یکسان حول محور مشترک واقع در مرکز است. زاویه و فرکانس مکان آنها ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال درختان هستند: صنوبر، افرا و دیگران. در برخی از حیوانات، تقارن محوری نیز رخ می دهد، اما این کمتر رایج است. البته طبیعت به ندرت با دقت ریاضی مشخص می شود، اما شباهت عناصر یک موجود زنده هنوز هم چشمگیر است.

زیست شناسان اغلب نه تقارن محوری، بلکه تقارن دو طرفه (دو طرفه) را در نظر می گیرند. نمونه ای از آن بال های پروانه یا سنجاقک، برگ های گیاه، گلبرگ های گل و غیره است. در هر مورد، قسمت راست و چپ جسم زنده با هم برابر هستند و آینه ای از یکدیگر هستند.

تقارن کروی مشخصه میوه های بسیاری از گیاهان، برخی از ماهی ها، نرم تنان و ویروس ها است. نمونه هایی از تقارن شعاعی برخی از انواع کرم ها و خارپوستان هستند.

در چشم انسان، عدم تقارن اغلب با بی نظمی یا حقارت همراه است. بنابراین در بیشتر آفریده های دست انسان، تقارن و هماهنگی قابل ردیابی است.

تقارن من تقارن (از یونانی symmetria - تناسب)

در ریاضیات،

1) تقارن (به معنای باریک)، یا بازتاب (آینه) نسبت به صفحه α در فضا (نسبت به خط مستقیم) آدر صفحه)، تبدیلی از فضا (صفحه) است که در آن هر نقطه مبه نقطه می رود م"به طوری که بخش MM"عمود بر صفحه α (خط مستقیم آ) و آن را به نصف تقسیم می کند. صفحه α (مستقیم آ) صفحه (محور) C نامیده می شود.

انعکاس نمونه ای از تبدیل متعامد است (به تبدیل متعامد مراجعه کنید) که جهت را تغییر می دهد (به جهت گیری مراجعه کنید) (بر خلاف حرکت مناسب). هر تبدیل متعامد را می توان با انجام متوالی تعداد محدودی از بازتاب ها انجام داد - این واقعیت نقش مهمی در مطالعه ساختار اشکال هندسی ایفا می کند.

2) تقارن (به معنای گسترده) - خاصیت یک شکل هندسی اف، مشخص کننده برخی منظم بودن فرم است افتغییر ناپذیری آن تحت عمل حرکات و بازتاب ها. به طور دقیق تر، شکل افدارای S. (متقارن) است اگر یک تبدیل متعامد غیر یکسان وجود داشته باشد که این شکل را در خود بگیرد. مجموعه ای از تمام تبدیل های متعامد که یک شکل را ترکیب می کنند افبا خود، گروهی است (به گروه مراجعه کنید) به نام گروه تقارن این شکل (گاهی اوقات خود این تبدیل ها را تقارن می نامند).

بنابراین، یک شکل مسطح که با بازتاب به خود تبدیل می شود، با توجه به یک خط مستقیم - محور C متقارن است. برنج. 1 ) در اینجا گروه تقارن از دو عنصر تشکیل شده است. اگر رقم افدر صفحه طوری است که چرخش نسبت به هر نقطه O از طریق زاویه 360 درجه / n, n- عدد صحیح ≥ 2، آن را به خودش تبدیل کنید، سپس افدارای S. nمرتبه -ام نسبت به نقطه در باره- مرکز C. نمونه ای از این شکل ها چند ضلعی های منتظم ( برنج. 2 ) گروه S. در اینجا - به اصطلاح. گروه چرخه ای n- مرتبه دایره دایره ای با نظم بی نهایت دارد (زیرا می توان آن را با چرخش در هر زاویه ای با خودش ترکیب کرد).

ساده ترین انواع سیستم های فضایی، علاوه بر سیستم تولید شده توسط بازتاب ها، سیستم مرکزی، سیستم محوری و سیستم انتقال است.

الف) در مورد تقارن مرکزی (وارونگی) نسبت به نقطه O، شکل Ф پس از بازتاب های متوالی از سه صفحه عمود بر یکدیگر با خود ترکیب می شود، به عبارت دیگر، نقطه O وسط قطعه اتصال نقاط متقارن Ф است. ( برنج. 3 ). ب) در مورد تقارن محوری یا S. نسبت به یک خط مستقیم nمرتبه، شکل با چرخش حول یک خط مستقیم خاص (محور C) با زاویه 360 درجه بر روی خود قرار می گیرد. n. به عنوان مثال، یک مکعب یک خط مستقیم دارد ABمحور C مرتبه سوم و خط مستقیم است سی دی- محور C مرتبه چهارم ( برنج. 3 ) به طور کلی، چندوجهی منظم و نیمه منظم با توجه به تعدادی از خطوط متقارن هستند. مکان، تعداد و ترتیب محورهای کریستال نقش مهمی در کریستالوگرافی ایفا می کند (به تقارن بلورها مراجعه کنید)، ج) شکلی که با چرخش متوالی در زاویه 360 درجه بر روی خود قرار می گیرد. کاطراف یک خط مستقیم ABو انعکاس در صفحه ای عمود بر آن دارای یک آینه محوری C است. خط مستقیم AB، محور چرخش آینه C نامیده می شود. مرتبه 2 ک، محور نظم C است ک (برنج. 4 ). تراز آینه-محور مرتبه 2 معادل تراز مرکزی است.د) در مورد تقارن انتقال، شکل با انتقال در امتداد یک خط مستقیم خاص (محور ترجمه) بر روی هر قطعه بر روی خود سوار می شود. به عنوان مثال، یک شکل با یک محور انتقال منفرد دارای تعداد بی نهایت صفحه C است (زیرا هر ترجمه را می توان با دو بازتاب متوالی از صفحات عمود بر محور ترجمه انجام داد) برنج. 5 ). ارقام دارای چندین محور انتقال نقش مهمی در مطالعه شبکه های کریستالی ایفا می کنند (به شبکه کریستالی مراجعه کنید).

در هنر، ترکیب بندی به عنوان یکی از انواع ترکیب بندی هماهنگ رایج شده است (به ترکیب بندی مراجعه کنید). این ویژگی برای آثار معماری (که کیفیتی ضروری است، اگر نه کل سازه به عنوان یک کل، پس اجزا و جزئیات آن - پلان، نما، ستون ها، سرستون ها و غیره) و هنر تزئینی و کاربردی است. S. همچنین به عنوان تکنیک اصلی برای ساخت حاشیه ها و زیور آلات (شکل های مسطح که به ترتیب دارای یک یا چند S. انتقال در ترکیب با انعکاس هستند) استفاده می شود. برنج. 6 , 7 ).

ترکیبات تقارن ایجاد شده توسط بازتاب ها و چرخش ها (تمام انواع تقارن اشکال هندسی را خسته می کند) و همچنین انتقالات مورد توجه و موضوع تحقیق در زمینه های مختلف علوم طبیعی است. برای مثال، S. مارپیچ، که با چرخش در یک زاویه معین حول یک محور، تکمیل شده با انتقال در امتداد همان محور، در آرایش برگ‌ها در گیاهان مشاهده می‌شود. برنج. 8 ) (برای جزئیات بیشتر به مقاله مراجعه کنید. تقارن در زیست شناسی). تقارن پیکربندی مولکول ها، که بر ویژگی های فیزیکی و شیمیایی آنها تأثیر می گذارد، در تجزیه و تحلیل نظری ساختار ترکیبات، خواص و رفتار آنها در واکنش های مختلف مهم است (به تقارن در شیمی مراجعه کنید). در نهایت، در علوم فیزیکی به طور کلی، علاوه بر ساختار هندسی بلورها و شبکه ها که قبلاً نشان داده شده است، مفهوم ساختار به معنای عام اهمیت مهمی پیدا می کند (به زیر مراجعه کنید). بنابراین، تقارن فضا-زمان فیزیکی، که در همگنی و همسانگردی آن بیان می‌شود (به نظریه نسبیت مراجعه کنید)، به ما اجازه می‌دهد تا به اصطلاح را ایجاد کنیم. قوانین حفاظت؛ تقارن تعمیم یافته نقش مهمی در تشکیل طیف های اتمی و در طبقه بندی ذرات بنیادی ایفا می کند (به تقارن مراجعه کنید. در فیزیک).

3) تقارن (به معنای عام) به معنای تغییر ناپذیری ساختار یک شیء ریاضی (یا فیزیکی) نسبت به تبدیل آن است. برای مثال، نظام قوانین نسبیت با تغییر ناپذیری آنها نسبت به تبدیل‌های لورنتس تعیین می‌شود (به تبدیل‌های لورنتس مراجعه کنید). تعریف مجموعه ای از تبدیل ها که تمام روابط ساختاری یک شی را بدون تغییر می گذارد، به عنوان مثال، تعریف یک گروه جیخودمورفیسم های آن به اصل راهنمای ریاضیات و فیزیک مدرن تبدیل شده است و به فرد اجازه می دهد تا عمیقاً در ساختار داخلی یک شی به عنوان یک کل و اجزای آن نفوذ کند.

از آنجایی که چنین شیئی را می توان با عناصری از فضایی نشان داد آر، دارای ساختار مشخصه متناظری برای آن است، تا آنجا که تبدیل های یک شی تبدیل هستند آر. که یک نمایش گروهی به دست می آید جیدر گروه تحول آر(یا فقط در آر) و مطالعه شیء S. به مطالعه عمل می رسد جیبر آرو یافتن متغیرهای این عمل. به همین ترتیب، قوانین فیزیکی S. حاکم بر شی مورد مطالعه است و معمولاً با معادلاتی توصیف می شود که توسط عناصر فضا برآورده می شود. آر، توسط عمل تعیین می شود جیبرای چنین معادلاتی

بنابراین، برای مثال، اگر معادله ای در فضای خطی خطی باشد آرو تحت دگرگونی های گروهی ثابت می ماند جی، سپس هر عنصر gاز جانب جیمربوط به تبدیل خطی است تی جیدر فضای خطی آرراه حل های این معادله مکاتبه g → تی جییک نمایش خطی است جیو آگاهی از همه این گونه نمایش‌ها به ما امکان می‌دهد تا ویژگی‌های مختلف راه‌حل‌ها را ایجاد کنیم، و همچنین به یافتن خود راه‌حل‌ها در بسیاری از موارد (از «مطالعات تقارن») کمک می‌کند. این، به ویژه، نیاز به ریاضیات و فیزیک را برای توسعه یک نظریه توسعه یافته از نمایش خطی گروه ها توضیح می دهد. برای مثال های خاص، هنر را ببینید. تقارن در فیزیک

روشن: Shubnikov A.V.، تقارن. (قوانین تقارن و کاربرد آنها در علم، فناوری و هنرهای کاربردی)، M. - L., 1940; Coxeter G.S.M.، مقدمه ای بر هندسه، ترجمه. از انگلیسی، M., 1966; ویل جی، تقارن، ترجمه. از انگلیسی، M., 1968; ویگنر ای.، مطالعاتی در مورد تقارن، ترجمه. از انگلیسی، M.، 1971.

M. I. Voitsekhovsky.

برنج. 3. یک مکعب با خط مستقیم AB به عنوان محور تقارن مرتبه سوم، خط مستقیم CD به عنوان محور تقارن مرتبه چهارم و نقطه O به عنوان مرکز تقارن. نقاط M و M از مکعب هم نسبت به محورهای AB و CD و هم نسبت به مرکز O متقارن هستند.

II تقارن

در فیزیک اگر قوانینی که بین کمیت هایی که یک سیستم فیزیکی را مشخص می کنند، یا تغییر در این کمیت ها را در طول زمان تعیین می کنند، رابطه برقرار می کنند، تحت عملیات خاصی (تبدیل) که سیستم می تواند تحت آن قرار گیرد، تغییر نکند، در این صورت گفته می شود که این قوانین دارای S هستند. (یا ثابت هستند) با توجه به تبدیل داده ها. از نظر ریاضی، تبدیل های S. یک گروه را تشکیل می دهند (به گروه مراجعه کنید).

تجربه نشان می دهد که قوانین فیزیکی با توجه به کلی ترین تبدیلات زیر متقارن هستند.

دگرگونی مداوم

1) انتقال (تغییر) سیستم به عنوان یک کل در فضا. این دگرگونی‌های فضا-زمان و متعاقب آن را می‌توان به دو معنا درک کرد: به عنوان یک تبدیل فعال - انتقال واقعی یک سیستم فیزیکی نسبت به یک سیستم مرجع انتخابی، یا به عنوان یک تبدیل غیرفعال - یک انتقال موازی یک سیستم مرجع. نماد قوانین فیزیکی در مورد جابجایی در فضا به معنای هم ارزی همه نقاط در فضا است، یعنی عدم وجود نقاط متمایز در فضا (همگنی فضا).

2) چرخش سیستم به عنوان یک کل در فضا. قوانین فیزیکی S. در مورد این تبدیل به معنای هم ارزی همه جهات در فضا (ایزوتروپی فضا) است.

3) تغییر شروع زمان (تغییر زمان). S. در مورد این تبدیل به این معنی است که قوانین فیزیکی در طول زمان تغییر نمی کنند.

4) انتقال به یک سیستم مرجع که نسبت به یک سیستم معین با سرعت ثابت (در جهت و اندازه) حرکت می کند. S. نسبت به این تبدیل، به ویژه، به معنای هم ارزی همه سیستم های مرجع اینرسی است (نگاه کنید به سیستم مرجع اینرسی) (به نظریه نسبیت مراجعه کنید).

5) تبدیلات سنج. قوانینی که فعل و انفعالات ذرات را با هر بار توصیف می کنند (بار الکتریکی (به بار الکتریکی مراجعه کنید)، بار باریون (نگاه کنید به بار باریون)، بار لپتونیک (نگاه کنید به بار لپتون)، پرشارژ) با توجه به تبدیل های گیج از نوع اول متقارن هستند. این تبدیلات شامل این واقعیت است که توابع موج (به تابع موج مراجعه کنید) همه ذرات می توانند به طور همزمان در یک فاکتور فاز دلخواه ضرب شوند:

جایی که ψ j- تابع موج ذرات j، z j بار مربوط به ذره است که در واحد بار اولیه بیان می شود (به عنوان مثال، بار الکتریکی اولیه ه)، β یک عامل عددی دلخواه است.

آ→A + درجه f، , (2)

جایی که f(ایکس,در, z, تی) - تابع دلخواه مختصات ( ایکس,در,z) و زمان ( تی), با- سرعت نور. برای اینکه تبدیل‌های (1) و (2) به طور همزمان در مورد میدان‌های الکترومغناطیسی انجام شوند، لازم است تبدیل‌های گیج از نوع اول تعمیم داده شود: لازم است که قوانین برهمکنش با توجه به تبدیل‌ها متقارن باشند. (1) با مقدار β، که تابع دلخواه مختصات و زمان است: η - ثابت پلانک. ارتباط بین تبدیل های گیج نوع 1 و 2 برای برهمکنش های الکترومغناطیسی به دلیل نقش دوگانه بار الکتریکی است: از یک سو، بار الکتریکی یک کمیت حفظ شده است و از سوی دیگر، به عنوان یک ثابت برهمکنش مشخص کننده عمل می کند. اتصال میدان الکترومغناطیسی با ذرات باردار

دگرگونی های (1) با قوانین بقای بارهای مختلف (به زیر مراجعه کنید) و همچنین برخی از فعل و انفعالات داخلی مطابقت دارد. اگر بارها نه تنها مقادیر حفظ شده باشند، بلکه منابع میدان (مانند بار الکتریکی) نیز باشند، میدان های مربوط به آنها نیز باید میدان های اندازه گیری (مشابه میدان های الکترومغناطیسی) باشند، و تبدیل (1) به حالتی تعمیم می یابد که مقادیر β توابع دلخواه مختصات و زمان هستند (و حتی عملگرهایی (به عملگرها مراجعه کنید) که حالات سیستم داخلی را تغییر می دهند. این رویکرد به نظریه میدان‌های متقابل منجر به تئوری‌های سنج مختلف برهمکنش‌های قوی و ضعیف می‌شود (به اصطلاح نظریه یانگ میلز).

تبدیلات گسسته

انواع سیستم های ذکر شده در بالا با پارامترهایی مشخص می شوند که می توانند به طور مداوم در محدوده خاصی از مقادیر تغییر کنند (به عنوان مثال، یک تغییر در فضا با سه پارامتر جابجایی در امتداد هر یک از محورهای مختصات مشخص می شود، یک چرخش با سه زاویه چرخش. حول این محورها و غیره). در کنار سیستم های پیوسته، سیستم های گسسته در فیزیک از اهمیت بالایی برخوردار هستند که عمده ترین آنها به شرح زیر است.

قوانین تقارن و حفاظت

با توجه به قضیه نوتر (به قضیه نوتر مراجعه کنید)، هر تبدیل یک سیستم، که با یک پارامتر به طور مداوم در حال تغییر مشخص می شود، مربوط به مقداری است که برای سیستمی که این سیستم را دارد، حفظ می شود (با زمان تغییر نمی کند). از سیستم فیزیکی. قوانین مربوط به جابجایی یک سیستم بسته در فضا، چرخش آن به عنوان یک کل و تغییر مبدأ زمان به ترتیب از قوانین بقای تکانه، تکانه زاویه ای و انرژی پیروی می کند. از سیستم مربوط به تبدیل گیج از نوع 1 - قوانین بقای بارها (الکتریک، باریون و غیره)، از تغییر ناپذیری ایزوتوپی - بقای اسپین ایزوتوپی (به اسپین ایزوتوپی مراجعه کنید) در فرآیندهای برهمکنش قوی. همانطور که برای سیستم های گسسته، در مکانیک کلاسیک آنها به هیچ قانون حفاظتی منجر نمی شوند. با این حال، در مکانیک کوانتومی، که در آن وضعیت سیستم با یک تابع موج توصیف می‌شود، یا برای میدان‌های موجی (مثلاً میدان الکترومغناطیسی)، که در آن اصل برهم‌نهی معتبر است، وجود سیستم‌های گسسته مستلزم قوانین بقای برخی است. مقادیر خاصی که در مکانیک کلاسیک مشابهی ندارند. وجود چنین مقادیری را می توان با مثال برابری فضایی نشان داد (به برابری مراجعه کنید)، که بقای آن از سیستم با توجه به وارونگی فضایی ناشی می شود. در واقع، فرض کنید ψ 1 تابع موجی باشد که حالتی از سیستم را توصیف می کند، و ψ 2 تابع موجی سیستم حاصل از فضاها باشد. وارونگی (به طور نمادین: ψ 2 = آرψ 1، کجا آر- اپراتور فضاها وارونگی). سپس اگر سیستمی نسبت به وارونگی فضایی وجود داشته باشد ψ 2 یکی از حالت های ممکن سیستم است و طبق اصل برهم نهی، حالت های ممکن سیستم برهم نهی های ψ 1 و ψ 2 است: ترکیب متقارن. ψ s = ψ 1 + ψ 2 و ضد متقارن ψ a = ψ 1 - ψ 2. در طول تبدیل های وارونگی، وضعیت ψ 2 تغییر نمی کند (از آنجا که پψ s = پψ 1 + پψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s) و حالت ψ a علامت را تغییر می دهد ( پψ a = پψ 1 - پψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ الف). در مورد اول، آنها می گویند که برابری فضایی سیستم مثبت است (+1)، در مورد دوم - منفی (-1). اگر تابع موج سیستم با استفاده از کمیت هایی که در حین وارونگی فضایی تغییر نمی کنند (مانند تکانه زاویه ای و انرژی) مشخص شود، در این صورت، برابری سیستم نیز مقدار بسیار مشخصی خواهد داشت. سیستم در حالتی با برابری مثبت یا منفی خواهد بود (و انتقال از یک حالت به حالت دیگر تحت تأثیر نیروهای متقارن با توجه به وارونگی فضایی مطلقاً ممنوع است).

تقارن سیستم های مکانیکی کوانتومی و حالت های ساکن انحطاط

بقای کمیت های متناظر با سیستم های مختلف مکانیکی کوانتومی نتیجه این واقعیت است که عملگرهای متناظر با آنها با همیلتونی سیستم رفت و آمد می کنند، در صورتی که به صراحت به زمان بستگی نداشته باشد (رجوع کنید به مکانیک کوانتومی، روابط کموتاسیون). این بدان معنی است که این کمیت ها همزمان با انرژی سیستم قابل اندازه گیری هستند، یعنی می توانند مقادیر کاملاً مشخصی برای یک مقدار انرژی معین بگیرند. بنابراین، از آنها می توان به اصطلاح انشاء کرد. مجموعه کاملی از کمیت ها که وضعیت سیستم را تعیین می کند. بنابراین، حالات ساکن (نگاه کنید به حالت ساکن) (حالات با انرژی معین) یک سیستم با کمیت های مربوط به پایداری سیستم مورد نظر تعیین می شود.

وجود مکانیک کوانتومی منجر به این واقعیت می شود که حالات مختلف حرکت یک سیستم مکانیکی کوانتومی که با تبدیل مکانیک کوانتومی از یکدیگر به دست می آیند دارای مقادیر یکسانی از مقادیر فیزیکی هستند که در طول این تبدیل ها تغییر نمی کنند. بنابراین، سیستم سیستم ها، به عنوان یک قاعده، منجر به انحطاط می شود (نگاه کنید به Degeneration). به عنوان مثال، مقدار معینی از انرژی یک سیستم می تواند با چندین حالت مختلف مطابقت داشته باشد که در طول تبدیل سیستم از طریق یکدیگر تبدیل می شوند. ). این امر ثمربخشی کاربرد روش های نظریه گروهی را در مکانیک کوانتومی مشخص می کند.

علاوه بر انحطاط سطوح انرژی مرتبط با کنترل صریح یک سیستم (به عنوان مثال، با توجه به چرخش سیستم به عنوان یک کل)، در تعدادی از مشکلات، انحطاط اضافی مرتبط با به اصطلاح وجود دارد. تعامل S. پنهان. چنین نوسانگرهای پنهانی برای مثال برای برهمکنش کولن و برای نوسانگر همسانگرد وجود دارند.

اگر سیستمی که دارای هر سیستمی است در میدانی از نیروهایی باشد که این سیستم را نقض می‌کنند (اما به اندازه کافی ضعیف هستند که به عنوان یک اختلال کوچک در نظر گرفته شوند)، تقسیم سطوح انرژی منحط سیستم اصلی رخ می‌دهد: حالات مختلفی که به دلیل سیستم‌ها انرژی یکسانی داشتند و تحت تأثیر اختلالات «نامتقارن» جابجایی‌های انرژی متفاوتی به دست می‌آورند. در مواردی که میدان مزاحم مقدار مشخصی دارد که بخشی از ارزش سیستم اصلی است، انحطاط سطوح انرژی به طور کامل حذف نمی‌شود: برخی از سطوح مطابق با ارزش تعاملی که «شامل» است، منحط می‌مانند. میدان مزاحم

وجود حالات انحطاط انرژی در یک سیستم، به نوبه خود، وجود یک تعامل سیستمی را نشان می دهد و اصولاً امکان یافتن این سیستم را زمانی که از قبل شناخته شده نیست، ممکن می سازد. آخرین شرایط بازی می کند نقش حیاتیبه عنوان مثال، در فیزیک ذرات. وجود گروه‌هایی از ذرات با جرم‌های مشابه و سایر ویژگی‌های یکسان، اما بارهای الکتریکی متفاوت (به اصطلاح مضاعف ایزوتوپی) امکان ایجاد تغییرناپذیری ایزوتوپی برهم‌کنش‌های قوی و امکان ترکیب ذرات با ویژگی‌های یکسان را در گروه‌های وسیع‌تر فراهم کرد. منجر به کشف شد S.U.(3)-سی. فعل و انفعالات قوی و تعاملاتی که این سیستم را نقض می کند (به تعاملات قوی مراجعه کنید). نشانه هایی وجود دارد که برهمکنش قوی گروه C حتی گسترده تری دارد.

مفهوم به اصطلاح بسیار پربار است. سیستم پویا، که زمانی بوجود می آید که تبدیل هایی در نظر گرفته می شود که شامل انتقال بین حالت های سیستم با انرژی های مختلف می شود. یک نمایش غیرقابل کاهش از یک گروه سیستم پویا، کل طیف حالت های ساکن سیستم خواهد بود. مفهوم یک سیستم دینامیکی را می توان به مواردی نیز تعمیم داد که هامیلتونی یک سیستم به طور صریح به زمان بستگی دارد و در این مورد تمام حالات یک سیستم مکانیکی کوانتومی که ساکن نیستند (یعنی انرژی معینی ندارند) هستند. در یک نمایش غیر قابل تقلیل از گروه دینامیکی سیستم ترکیب شده است.

روشن:ویگنر ای.، مطالعاتی در مورد تقارن، ترجمه. از انگلیسی، M.، 1971.

اس.اس.گرشتاین.

III تقارن

در شیمی، خود را در پیکربندی هندسی مولکول ها نشان می دهد، که بر خواص فیزیکی و شیمیایی خاص مولکول ها در حالت ایزوله، در یک میدان خارجی و هنگام تعامل با سایر اتم ها و مولکول ها تأثیر می گذارد.

اکثر مولکول های ساده دارای عناصر تقارن فضایی پیکربندی تعادل هستند: محورهای تقارن، سطوح تقارن و غیره (به تقارن در ریاضیات مراجعه کنید). بنابراین، مولکول آمونیاک NH 3 دارای تقارن یک هرم مثلثی منظم است، مولکول متان CH 4 دارای تقارن یک چهار وجهی است. در مولکول های پیچیده، تقارن پیکربندی تعادل به عنوان یک کل، به عنوان یک قاعده، وجود ندارد، اما تقارن قطعات فردی آن تقریبا حفظ می شود (تقارن محلی). کامل ترین توصیف از تقارن هر دو پیکربندی تعادلی و غیرتعادلی مولکول ها بر اساس ایده هایی در مورد به اصطلاح به دست می آید. گروه‌های تقارن پویا - گروه‌هایی که نه تنها شامل عملیات تقارن فضایی پیکربندی هسته‌ای، بلکه عملیات بازآرایی هسته‌های یکسان در پیکربندی‌های مختلف می‌شوند. به عنوان مثال، گروه تقارن دینامیکی برای مولکول NH 3 همچنین شامل عملیات وارونگی این مولکول است: انتقال اتم N از یک طرف صفحه تشکیل شده توسط اتم های H به سمت دیگر آن.

تقارن پیکربندی تعادلی هسته‌ها در یک مولکول مستلزم تقارن خاصی از توابع موج (به تابع موج) حالت‌های مختلف این مولکول است که طبقه‌بندی حالت‌ها را بر اساس انواع تقارن ممکن می‌سازد. انتقال بین دو حالت مرتبط با جذب یا گسیل نور، بسته به نوع تقارن حالت ها، می تواند در طیف مولکولی ظاهر شود (به طیف مولکولی مراجعه کنید) یا ممنوع شود، به طوری که خط یا نوار مربوط به این انتقال در طیف غایب خواهد بود. انواع تقارن حالت هایی که امکان انتقال بین آنها وجود دارد بر شدت خطوط و باندها و همچنین قطبش آنها تأثیر می گذارد. برای مثال، در مولکول‌های دواتمی هم‌هسته‌ای، انتقال بین حالت‌های الکترونیکی برابری یکسان، که توابع موج الکترونیکی آن‌ها در حین عملیات وارونگی به یک شکل رفتار می‌کنند، ممنوع است و در طیف‌ها ظاهر نمی‌شوند. در مولکول های بنزن و ترکیبات مشابه، انتقال بین حالت های الکترونیکی غیر منحط از همان نوع تقارن و غیره ممنوع است.قوانین انتخاب تقارن برای انتقال بین حالت های مختلف با قوانین انتخاب مرتبط با اسپین این حالت ها تکمیل می شود.

برای مولکول های دارای مراکز پارامغناطیس، تقارن محیط این مراکز منجر به نوع خاصی از ناهمسانگردی می شود. gفاکتور (ضریب لند)، که بر ساختار طیف تشدید پارامغناطیسی الکترون تأثیر می گذارد (به رزونانس پارامغناطیس الکترون مراجعه کنید)، در حالی که در مولکول هایی که هسته اتمی آنها دارای اسپین غیر صفر است، تقارن تک تک قطعات محلی منجر به نوع خاصی از تقسیم انرژی می شود. حالت‌های با پیش‌بینی‌های مختلف اسپین هسته‌ای، که بر ساختار طیف‌های تشدید مغناطیسی هسته‌ای تأثیر می‌گذارد (به رزونانس مغناطیسی هسته‌ای مراجعه کنید).

در رویکردهای تقریبی شیمی کوانتومی، با استفاده از ایده اوربیتال های مولکولی، طبقه بندی بر اساس تقارن نه تنها برای عملکرد موجی مولکول به عنوان یک کل، بلکه برای اوربیتال های فردی نیز امکان پذیر است. اگر پیکربندی تعادلی یک مولکول دارای یک صفحه تقارن باشد که هسته ها در آن قرار دارند، در این صورت تمام اوربیتال های این مولکول با توجه به عملکرد بازتاب در این صفحه به دو دسته متقارن (σ) و ضد متقارن (π) تقسیم می شوند. مولکول هایی که بیشترین (از نظر انرژی) اوربیتال های اشغال شده در آنها اوربیتال های π هستند، کلاس های خاصی از ترکیبات غیر اشباع و مزدوج را با خواص مشخصه آنها تشکیل می دهند. آگاهی از تقارن محلی تک تک قطعات مولکول‌ها و اوربیتال‌های مولکولی که روی این قطعات قرار گرفته‌اند، این امکان را فراهم می‌آورد که قضاوت کنیم که کدام قطعات آسان‌تر برانگیخته می‌شوند و در طول تبدیل‌های شیمیایی، به عنوان مثال، در طی واکنش‌های فتوشیمیایی، با شدت بیشتری تغییر می‌کنند.

مفاهیم تقارن در تحلیل نظری ساختار ترکیبات پیچیده، خواص و رفتار آنها در واکنش‌های مختلف اهمیت دارند. نظریه میدان کریستالی و نظریه میدان لیگاند موقعیت های نسبی اوربیتال های اشغال شده و خالی یک ترکیب پیچیده را بر اساس داده های مربوط به تقارن آن، ماهیت و درجه تقسیم سطوح انرژی هنگامی که تقارن میدان لیگاند تغییر می کند، تعیین می کند. آگاهی از تقارن یک مجتمع به تنهایی اغلب به شخص اجازه می دهد تا از نظر کیفی ویژگی های آن را قضاوت کند.

در سال 1965، P. Woodward و R. Hoffman اصل بقای تقارن مداری در واکنش‌های شیمیایی را مطرح کردند که متعاقباً توسط مواد آزمایشی گسترده تأیید شد و تأثیر زیادی در توسعه شیمی آلی آماده‌سازی داشت. این اصل (قانون وودوارد-هافمن) بیان می کند که اعمال اولیه منفرد واکنش های شیمیایی با حفظ تقارن اوربیتال های مولکولی یا تقارن مداری انجام می شود. هر چه تقارن اوربیتال ها در طول یک رویداد ابتدایی بیشتر نقض شود، واکنش دشوارتر است.

در نظر گرفتن تقارن مولکول ها هنگام جستجو و انتخاب مواد مورد استفاده در ایجاد لیزرهای شیمیایی و یکسو کننده های مولکولی، هنگام ساخت مدل های ابررساناهای آلی، هنگام تجزیه و تحلیل مواد سرطان زا و فعال دارویی و غیره مهم است.

روشن: Hochstrasser R., Molecular Aspects of Symmetry, trans. از انگلیسی، M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f.. نظریه گروه و کاربردهای آن در مکانیک کوانتومی مولکول ها، M.، 1973; وودوارد آر.، هافمن آر.، حفظ تقارن مداری، ترجمه. از انگلیسی، M.، 1971.

N. F. Stepanov.

IV تقارن

در زیست شناسی (زیست تقارن). پدیده هارمونی در طبیعت زنده توسط فیثاغورثی ها در یونان باستان (قرن پنجم قبل از میلاد) در ارتباط با توسعه آموزه هارمونی آنها مورد توجه قرار گرفت. در قرن 19 آثار کمی به سنتز گیاهان (دانشمندان فرانسوی O. P. Decandolle و O. Bravo)، حیوانات (آلمانی - E. Haeckel) و مولکول‌های بیوژنیک (دانشمندان فرانسوی - A. Vechan، L. Pasteur و دیگران) اختصاص داشت. در قرن بیستم اشیاء بیولوژیکی از منظر نظریه عمومی تبلور (دانشمندان شوروی، یو. وی. ولف، وی. ان. بکلیمیشف، ب. ک. واینشتاین، شیمی دان فیزیک هلندی F. M. Yeger، کریستالوگراف های انگلیسی به رهبری جی. برنال) و دکترین راست گرایی و چپ گرایی مورد مطالعه قرار گرفتند. (دانشمندان شوروی V.I. Vernadsky، V.V. Alpatov، G.F. Gause و دیگران؛ دانشمند آلمانی W. Ludwig). این آثار منجر به شناسایی در سال 1961 یک جهت خاص در مطالعه S. - بیوسمتری شد.

S. ساختاری اشیاء بیولوژیکی به شدت مورد مطالعه قرار گرفته است. مطالعه ساختارهای زیستی - مولکولی و فوق مولکولی - از نقطه نظر ساختار ساختاری این امکان را فراهم می کند که از قبل انواع ساختارهای ممکن برای آنها و در نتیجه تعداد و نوع تغییرات احتمالی آنها شناسایی شود و شکل خارجی و ساختار داخلی به طور دقیق توصیف شود. از هر گونه اشیاء بیولوژیکی فضایی این امر منجر به استفاده گسترده از مفاهیم S. ساختاری در جانورشناسی، گیاه شناسی و زیست شناسی مولکولی شد. S. ساختاری خود را در درجه اول به شکل یک یا آن تکرار منظم نشان می دهد. در نظریه کلاسیک ساختار ساختاری، که توسط دانشمند آلمانی I. F. Hessel، E. S. Fedorov (نگاه کنید به Fedorov) و دیگران ایجاد شده است، ظاهر ساختار یک جسم را می توان با مجموعه ای از عناصر ساختار آن، یعنی چنین هندسی توصیف کرد. عناصر (نقاط، خطوط، صفحات) که نسبت به آنها قسمتهای یکسان یک جسم مرتب شده است (به تقارن در ریاضیات مراجعه کنید). به عنوان مثال، گونه S. phlox flower ( برنج. 1 ج) - یک محور مرتبه پنجم که از مرکز گل می گذرد. از طریق عملکرد آن تولید می شود - 5 چرخش (72، 144، 216، 288 و 360 درجه)، که هر کدام از آنها گل با خود منطبق است. نمایی از شکل پروانه S. ( برنج. 2 ، ب) - یک صفحه آن را به 2 نیمه - چپ و راست تقسیم می کند. عملیات انجام شده از طریق هواپیما یک انعکاس آینه ای است که نیمه چپ را به سمت راست، نیمه راست را به سمت چپ می سازد و شکل پروانه را با خود ترکیب می کند. گونه S. radiolaria Lithocubus geometricus ( برنج. 3 ، ب) علاوه بر محورهای چرخش و سطوح انعکاس، دارای مرکز C نیز می باشد. هر خط مستقیمی که از طریق چنین نقطه ای در داخل رادیولاریا کشیده شود، با نقاط یکسان (متناظر) شکل در دو طرف آن و در آن برخورد می کند. فواصل مساوی عملیات انجام شده از طریق مرکز S. بازتابی در یک نقطه است که پس از آن شکل رادیولاریا نیز با خود ترکیب می شود.

در طبیعت زنده (مانند طبیعت بی جان)، به دلیل محدودیت های مختلف، معمولاً تعداد بسیار کمتری از گونه های S. نسبت به آنچه که از نظر تئوری ممکن است یافت می شود. به عنوان مثال، در مراحل پایین تر توسعه طبیعت زنده، نمایندگان تمام طبقات ساختار نقطه ای یافت می شوند - تا موجوداتی که با ساختار چند وجهی منظم و توپ مشخص می شوند (نگاه کنید به. برنج. 3 ). با این حال، در مراحل بالاتر تکامل، گیاهان و حیوانات عمدتاً به اصطلاح یافت می شوند. محوری (نوع n) و اکتیومورفیک (نوع n(متر)با. (در هر دو مورد nمی تواند مقادیری از 1 تا ∞ بگیرد). اجسام بیولوژیکی با S. محوری (نگاه کنید به. برنج. 1 ) فقط با محور ترتیب C مشخص می شوند n. اشیاء زیستی S. sactinomorphic (نگاه کنید به. برنج. 2 ) با یک محور نظم مشخص می شوند nو صفحاتی که در امتداد این محور متقاطع می شوند متر. شایع ترین گونه در حیات وحش S. spp است. n = 1 و 1. m = متر، به ترتیب نامتقارن (نگاه کنید به عدم تقارن) و دو طرفه یا دو طرفه، S نامیده می شود. و بسیاری از بی مهرگان در موجودات متحرک، چنین حرکتی ظاهراً با تفاوت در حرکت آنها به بالا و پایین و جلو و عقب همراه است، در حالی که حرکات آنها به راست و چپ یکسان است. نقض S. دو طرفه آنها به ناچار منجر به مهار حرکت یکی از طرفین و تبدیل حرکت انتقالی به حرکت دایره ای می شود. در دهه 50-70. قرن بیستم به اصطلاح اجسام بیولوژیکی نامتقارن ( برنج. 4 ). دومی می تواند حداقل در دو تغییر وجود داشته باشد - به شکل تصویر اصلی و آینه آن (ضد پا). علاوه بر این، یکی از این اشکال (مهم نیست که) راست یا D (از لاتین dextro) نامیده می شود، دیگری چپ یا L (از لاتین laevo) نامیده می شود. هنگام مطالعه شکل و ساختار اشیاء زیستی D- و L-، تئوری عوامل عدم تقارن ایجاد شد، که امکان هر شیء D یا L از دو یا چند (تا تعداد نامتناهی) اصلاحات را اثبات کرد (همچنین رجوع کنید به برنج. 5 ) در همان زمان حاوی فرمول هایی برای تعیین تعداد و نوع دومی بود. این نظریه منجر به کشف به اصطلاح. ایزومریسم بیولوژیکی (نگاه کنید به ایزومریسم) (اشیاء بیولوژیکی مختلف با ترکیب یکسان؛ در برنج. 5 16 ایزومر برگ نمدار نشان داده شده است).

هنگام مطالعه وقوع اشیاء بیولوژیکی، مشخص شد که در برخی موارد فرم های D غالب هستند، در برخی دیگر فرم های L، در برخی دیگر به همان اندازه اغلب نشان داده می شوند. بشامپ و پاستور (دهه 40 قرن نوزدهم) و در دهه 30. قرن بیستم دانشمند شوروی G.F. Gause و دیگران نشان دادند که سلول های موجودات فقط یا عمدتاً از اسیدهای آمینه L، پروتئین های L، اسیدهای D-دئوکسی ریبونوکلئیک، D-قندها، L-آلکالوئیدها، D- و L-ترپن ها و غیره ساخته شده اند. چنین ویژگی اساسی و مشخصه ای از سلول های زنده، که پاستور آن را عدم تقارن پروتوپلاسم می نامد، به سلول، همانطور که در قرن بیستم تأسیس شد، متابولیسم فعال تری ارائه می دهد و از طریق مکانیسم های پیچیده بیولوژیکی و فیزیکوشیمیایی که در این فرآیند بوجود آمده است، حفظ می شود. از تکامل Sov. دانشمند V.V. Alpatov در سال 1952، با استفاده از 204 گونه از گیاهان آوندی، مشخص کرد که 93.2٪ از گونه های گیاهی متعلق به نوع L-، 1.5٪ - با دوره D ضخیم شدن مارپیچ دیواره رگ های خونی، 5.3٪ از گونه ها - به نوع راسمیک (تعداد عروق D تقریبا برابر با تعداد عروق L است).

هنگام مطالعه اشیاء زیستی D- و L، مشخص شد که برابری بین فرم های D- و L در تعدادی از موارد به دلیل تفاوت در خواص فیزیولوژیکی، بیوشیمیایی و دیگر آنها نقض می شود. این ویژگی طبیعت زنده را عدم تقارن زندگی می نامیدند. بنابراین، تأثیر هیجان‌انگیز اسیدهای آمینه L بر حرکت پلاسما در سلول‌های گیاهی ده‌ها و صدها برابر بیشتر از تأثیر مشابه شکل‌های D آنها است. بسیاری از آنتی بیوتیک ها (پنی سیلین، گرامیسیدین، و غیره) حاوی اسیدهای آمینه D نسبت به انواع آنها با اسیدهای آمینه ال-آمینه خاصیت باکتری کشی بیشتری دارند. چغندرقند پیچی شکل L-kop رایج تر، 8-44٪ (بسته به نوع) سنگین تر است و 0.5-1٪ قند بیشتری نسبت به D-kop دارد.

من . تقارن در ریاضیات :

مفاهیم و تعاریف اساسی.

تقارن محوری (تعریف، نقشه ساخت و ساز، مثال ها)

تقارن مرکزی (تعریف، طرح ساخت، زمانیمعیارهای)

جدول خلاصه (همه ویژگی ها، ویژگی ها)

II . کاربردهای تقارن:

1) در ریاضیات

2) در شیمی

3) در زیست شناسی، گیاه شناسی و جانورشناسی

4) در هنر، ادبیات و معماری

‎/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. مفاهیم اساسی تقارن و انواع آن.

مفهوم تقارن آربه کل تاریخ بشریت برمی گردد. قبلاً در خاستگاه دانش بشری یافت شده است. این در ارتباط با مطالعه یک موجود زنده، یعنی انسان بوجود آمد. و در قرن پنجم قبل از میلاد توسط مجسمه سازان مورد استفاده قرار گرفت. ه. کلمه «تقارن» یونانی است و به معنای «تناسب، تناسب، یکسانی در چینش اجزا» است. این به طور گسترده توسط تمام حوزه های علم مدرن بدون استثنا مورد استفاده قرار می گیرد. بسیاری از افراد بزرگ به این الگو فکر کرده اند. به عنوان مثال، L.N. تولستوی گفت: "در مقابل یک تخته سیاه ایستاده و با گچ شکل های مختلف را روی آن می کشم، ناگهان با این فکر مواجه شدم: چرا تقارن برای چشم واضح است؟ تقارن چیست؟ این یک احساس ذاتی است، خودم جواب دادم. بر چه اساس است؟» تقارن واقعاً برای چشم خوشایند است. چه کسی تقارن مخلوقات طبیعت را تحسین نکرده است: برگ ها، گل ها، پرندگان، حیوانات. یا مخلوقات انسانی: ساختمان ها، فناوری، هر چیزی که از دوران کودکی ما را احاطه کرده است، هر چیزی که برای زیبایی و هماهنگی تلاش می کند. هرمان ویل می گوید: تقارن ایده ای است که انسان در طول اعصار از طریق آن سعی در درک و ایجاد نظم، زیبایی و کمال داشته است. هرمان ویل یک ریاضیدان آلمانی است. فعالیت های او نیمه اول قرن بیستم را در بر می گیرد. این او بود که تعریف تقارن را تنظیم کرد و با چه معیارهایی می توان وجود یا برعکس عدم تقارن را در یک مورد مشخص تعیین کرد. بنابراین ، یک مفهوم ریاضی دقیق نسبتاً اخیراً - در آغاز قرن بیستم - شکل گرفت. کاملاً پیچیده است. بیایید برگردیم و یک بار دیگر تعاریفی را که در کتاب درسی برای ما ارائه شده است به یاد بیاوریم.

2. تقارن محوری.

2.1 تعاریف اساسی

تعریف. اگر این خط از وسط پاره AA 1 بگذرد و بر آن عمود باشد، دو نقطه A و A 1 را نسبت به خط a متقارن می نامند. هر نقطه از یک خط a با خودش متقارن در نظر گرفته می شود.

تعریف. گفته می شود این شکل در مورد یک خط مستقیم متقارن است آ، اگر برای هر نقطه از شکل یک نقطه متقارن با آن نسبت به خط مستقیم وجود داشته باشد آنیز متعلق به این رقم است. سر راست آمحور تقارن شکل نامیده می شود. همچنین گفته می شود که این شکل دارای تقارن محوری است.

2.2 طرح ساخت و ساز

و بنابراین، برای ساختن یک شکل متقارن نسبت به یک خط مستقیم، از هر نقطه یک عمود بر این خط مستقیم می کشیم و آن را به همان فاصله گسترش می دهیم، نقطه حاصل را علامت گذاری می کنیم. این کار را با هر نقطه انجام می دهیم و رئوس متقارن یک شکل جدید به دست می آوریم. سپس آنها را به صورت سری به هم وصل می کنیم و یک شکل متقارن از یک محور نسبی داده شده به دست می آوریم.

2.3 نمونه هایی از اشکال با تقارن محوری.

3. تقارن مرکزی

3.1 تعاریف اساسی

تعریف. اگر O وسط قطعه AA 1 باشد، دو نقطه A و A 1 نسبت به نقطه O متقارن نامیده می شوند. نقطه O با خودش متقارن در نظر گرفته می شود.

تعریف.به شکلی نسبت به نقطه O متقارن گفته می شود اگر برای هر نقطه از شکل یک نقطه متقارن نسبت به نقطه O نیز به این شکل تعلق داشته باشد.

3.2 طرح ساخت و ساز

ساختن یک مثلث متقارن با مثلث داده شده نسبت به مرکز O.

برای ساختن یک نقطه متقارن با یک نقطه آنسبت به نقطه در باره، کافی است یک خط مستقیم بکشید OA(شکل 46 ) و در طرف دیگر نقطه در بارهقطعه ای برابر با قطعه کنار بگذارید OA. به عبارت دیگر , نقاط A و ; در و ; سی و متقارن در مورد نقطه ای O. در شکل. 46 یک مثلث ساخته شده است که متقارن به مثلث است ABC نسبت به نقطه در باره.این مثلث ها با هم برابرند.

ساختن نقاط متقارن نسبت به مرکز.

در شکل، نقاط M و M 1، N و N 1 نسبت به نقطه O متقارن هستند، اما نقاط P و Q نسبت به این نقطه متقارن نیستند.

به طور کلی، ارقامی که در یک نقطه خاص متقارن هستند با هم برابر هستند .

3.3 مثال

اجازه دهید مثال هایی از شکل هایی که تقارن مرکزی دارند را مثال بزنیم. ساده ترین اشکال با تقارن مرکزی دایره و متوازی الاضلاع هستند.

نقطه O را مرکز تقارن شکل می نامند. در چنین مواردی، شکل دارای تقارن مرکزی است. مرکز تقارن دایره مرکز دایره و مرکز تقارن متوازی الاضلاع نقطه تقاطع قطرهای آن است.

یک خط مستقیم دارای تقارن مرکزی است، اما برخلاف دایره و متوازی الاضلاع که فقط یک مرکز تقارن دارند (نقطه O در شکل)، یک خط مستقیم دارای تعداد نامتناهی از آنها است - هر نقطه روی خط مستقیم مرکز آن است. از تقارن

تصاویر یک زاویه متقارن نسبت به راس، یک قطعه متقارن به بخش دیگر نسبت به مرکز را نشان می دهند. آو یک چهار ضلعی متقارن در مورد راس آن م.

مثالی از شکلی که مرکز تقارن ندارد مثلث است.

4. خلاصه درس

اجازه دهید دانش به دست آمده را خلاصه کنیم. امروز در کلاس با دو نوع اصلی تقارن آشنا شدیم: مرکزی و محوری. بیایید به صفحه نگاه کنیم و دانش به دست آمده را سیستماتیک کنیم.

جدول جمع بندی

	تقارن محوری	تقارن مرکزی
خصوصیات عجیب و غریب	تمام نقاط شکل باید نسبت به یک خط مستقیم متقارن باشند.	تمام نقاط شکل باید نسبت به نقطه انتخاب شده به عنوان مرکز تقارن متقارن باشند.
خواص	1. نقاط متقارن بر روی عمود بر یک خط قرار دارند. 3. خطوط مستقیم به خطوط مستقیم، زوایا به زوایای مساوی تبدیل می شوند. 4. اندازه و شکل فیگورها حفظ می شود.	1. نقاط متقارن روی خطی قرار دارند که از مرکز و نقطه مشخصی از شکل می گذرد. 2. فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم برابر است با فاصله یک خط مستقیم تا یک نقطه متقارن. 3. اندازه و شکل فیگورها حفظ می شود.

II. کاربرد تقارن

ریاضیات

در درس های جبر نمودارهای توابع y=x و y=x را مطالعه کردیم

تصاویر تصاویر مختلفی را نشان می دهند که با استفاده از شاخه های سهمی به تصویر کشیده شده اند.

الف) هشت وجهی،

(ب) دوازده وجهی لوزی، (ج) هشت وجهی شش ضلعی.

زبان روسی

حروف چاپی الفبای روسی نیز انواع مختلفی از تقارن دارند.

در زبان روسی کلمات "متقارن" وجود دارد - پالیندروم ها، که در هر دو جهت به طور مساوی خوانده می شود.

A D L M P T F W- محور عمودی

V E Z K S E Y -محور افقی

F N O X- هم عمودی و هم افقی

B G I Y R U C CH SCHY- بدون محور

کلبه رادار آلا آنا

ادبیات

جملات همچنین می توانند پالیندرومیک باشند. برایوسوف شعری با عنوان "صدای ماه" نوشت که در آن هر سطر یک پالیندروم است.

به چهارقلوهای A.S. Pushkin "The Bronze Horseman" نگاه کنید. اگر بعد از خط دوم خطی رسم کنیم، متوجه عناصر تقارن محوری خواهیم شد

و گل سرخ بر پنجه آزور افتاد.

من با شمشیر قاضی می آیم. (درژاوین)

"جستجوی تاکسی"

"آرژانتین به سیاهپوستان اشاره می کند"

"آرژانتینی از مرد سیاه پوست قدردانی می کند."

"لشا یک حشره را در قفسه پیدا کرد."

Neva در گرانیت پوشیده شده است.

پل ها بر فراز آب ها آویزان بودند.

باغ های سبز تیره

جزایر آن را پوشانده اند...

زیست شناسی

بدن انسان بر اساس اصل تقارن دو طرفه ساخته شده است. بسیاری از ما مغز را به عنوان یک ساختار واحد در نظر می گیریم؛ در واقع، به دو نیمه تقسیم می شود. این دو قسمت - دو نیمکره - محکم به یکدیگر می چسبند. در مطابقت کامل با تقارن عمومی بدن انسان، هر نیمکره تقریباً تصویر آینه ای دقیق از نیمکره دیگر است.

کنترل حرکات اساسی بدن انسان و اعمال حسی آن به طور مساوی بین دو نیمکره مغز توزیع می شود. نیمکره چپ سمت راست مغز را کنترل می کند و نیمکره راست سمت چپ را کنترل می کند.

گیاه شناسی

یک گل زمانی متقارن در نظر گرفته می شود که هر حصار از تعداد مساوی قسمت تشکیل شده باشد. گل هایی که دارای قسمت های جفتی هستند، گل هایی با تقارن مضاعف و غیره محسوب می شوند. تقارن سه گانه برای گیاهان تک لپه ای متداول است، برای گیاهان دو لپه ای پنج برابر است.یک ویژگی مشخصه ساختار گیاهان و رشد آنها مارپیچی است.

به ترتیب برگ شاخه ها توجه کنید - این نیز یک نوع عجیب و غریب از مارپیچ است - مارپیچ. حتی گوته که نه تنها شاعری بزرگ، بلکه یک دانشمند علوم طبیعی نیز بود، مارپیچ بودن را یکی از ویژگی های بارز همه موجودات و جلوه ای از درونی ترین جوهر حیات می دانست. پیچک های گیاهان به صورت مارپیچی می پیچند، رشد بافت ها در تنه درختان به صورت مارپیچی اتفاق می افتد، دانه های گل آفتابگردان به صورت مارپیچی قرار می گیرند و حرکات مارپیچی در طول رشد ریشه ها و شاخساره ها مشاهده می شود.

ویژگی بارز ساختار گیاهان و رشد آنها مارپیچی است.

به مخروط کاج نگاه کنید. مقیاس های روی سطح آن به طور دقیق مرتب شده اند - در امتداد دو مارپیچ که تقریباً در یک زاویه راست قطع می شوند. تعداد این گونه مارپیچ ها در مخروط های کاج 8 و 13 یا 13 و می باشد 21.

جانور شناسی

تقارن در حیوانات به معنای مطابقت در اندازه، شکل و طرح کلی و همچنین آرایش نسبی اعضای بدن است که در دو طرف خط تقسیم قرار دارند. با تقارن شعاعی یا شعاعی، بدن به شکل یک استوانه یا ظرف کوتاه یا بلند با محور مرکزی است که قسمت‌هایی از بدن به صورت شعاعی از آن خارج می‌شوند. اینها کوئلنترات، خارپوستان و ستاره دریایی هستند. با تقارن دو طرفه، سه محور تقارن وجود دارد، اما فقط یک جفت ضلع متقارن. زیرا دو طرف دیگر - شکمی و پشتی - شبیه یکدیگر نیستند. این نوع تقارن مشخصه اکثر حیوانات از جمله حشرات، ماهی ها، دوزیستان، خزندگان، پرندگان و پستانداران است.

تقارن محوری

انواع مختلف تقارن پدیده های فیزیکی: تقارن میدان های الکتریکی و مغناطیسی (شکل 1)

در صفحات عمود بر هم، انتشار امواج الکترومغناطیسی متقارن است (شکل 2).

Fig.1 Fig.2

هنر

تقارن آینه ای اغلب در آثار هنری قابل مشاهده است. تقارن آینه ای به طور گسترده ای در آثار هنری تمدن های بدوی و در نقاشی های باستانی یافت می شود. نقاشی های مذهبی قرون وسطی نیز با این نوع تقارن مشخص می شوند.

یکی از بهترین آثار اولیه رافائل، "نامزدی مریم" در سال 1504 ساخته شد. در زیر یک آسمان آبی آفتابی دره ای قرار دارد که بالای آن یک معبد سنگی سفید قرار دارد. در پیش زمینه مراسم خواستگاری است. کاهن اعظم دستان مریم و یوسف را به هم نزدیک می کند. پشت مریم گروهی از دختران و پشت سر یوسف گروهی از مردان جوان هستند. هر دو بخش از ترکیب متقارن توسط ضد حرکت شخصیت ها در کنار هم نگه داشته می شوند. برای سلیقه مدرن، ترکیب چنین نقاشی خسته کننده است، زیرا تقارن بیش از حد آشکار است.

علم شیمی

یک مولکول آب دارای صفحه تقارن است (خط عمودی مستقیم) مولکول های DNA (دئوکسی ریبونوکلئیک اسید) نقش بسیار مهمی در دنیای طبیعت زنده دارند. این یک پلیمر دو زنجیره ای با مولکولی بالا است که مونومر آن نوکلئوتید است. مولکول های DNA ساختار مارپیچ دوگانه ای دارند که بر اساس اصل مکمل بودن ساخته شده است.

معمارفرهنگ

انسان از دیرباز از تقارن در معماری استفاده کرده است. معماران باستانی به ویژه از تقارن در سازه های معماری استفاده درخشانی کردند. علاوه بر این، معماران یونان باستان متقاعد شده بودند که در آثار خود توسط قوانین حاکم بر طبیعت هدایت می شوند. هنرمند با انتخاب فرم های متقارن، درک خود را از هارمونی طبیعی به عنوان ثبات و تعادل بیان کرد.

شهر اسلو، پایتخت نروژ، دارای مجموعه ای رسا از طبیعت و هنر است. این Frogner است - یک پارک - مجموعه ای از مجسمه های باغ و پارک که در طول 40 سال ساخته شده است.