مجموع 5 عدد اول یک تصاعد هندسی. پیشرفت هندسی با مثال

این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند، یعنی هر عبارت قبلی Q بار متفاوت است. (ما q ≠ 1 را فرض می کنیم، در غیر این صورت همه چیز خیلی پیش پا افتاده است). به راحتی می توان دریافت که فرمول کلی برای nامین ترم پیشروی هندسی b n = b 1 q n – 1 است. اصطلاحات با اعداد b n و b m با q n - m بار متفاوت هستند.

قبلاً در مصر باستان آنها نه تنها حساب، بلکه پیشرفت هندسی را نیز می دانستند. برای مثال، مشکلی از پاپیروس رایند وجود دارد: «هفت صورت هفت گربه دارد. هر گربه هفت موش می خورد، هر موش هفت خوشه ذرت می خورد و هر خوشه جو می تواند هفت پیمانه جو بکارد. اعداد این مجموعه و مجموع آنها چقدر است؟

برنج. 1. مسئله پیشروی هندسی مصر باستان

این کار بارها با تغییرات مختلف در میان مردمان دیگر در زمان های دیگر تکرار شد. به عنوان مثال، در نوشته شده در قرن 13th. «کتاب چرتکه» نوشته لئوناردو پیزا (فیبوناچی) مشکلی دارد که در آن 7 پیرزن در راه روم ظاهر می‌شوند (معلوماً زائر) که هر کدام دارای 7 قاطر هستند که هر کدام دارای 7 کیسه است. حاوی 7 نان است که هر کدام دارای 7 کارد و هر کدام دارای 7 غلاف است. مشکل می پرسد چند شی وجود دارد.

مجموع n جمله اول پیشروی هندسی S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . این فرمول را می توان مثلاً به این صورت اثبات کرد: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

عدد b 1 q n را به S n اضافه کنید و بدست آورید:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

از اینجا S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) و فرمول لازم را بدست می آوریم.

قبلاً روی یکی از لوح های گلی بابل باستان که قدمت آن به قرن ششم باز می گردد. قبل از میلاد مسیح e.، شامل مجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 است. درست است، مانند تعدادی از موارد دیگر، ما نمی دانیم که چگونه این واقعیت برای بابلی ها شناخته شده است. .

افزایش سریع پیشرفت هندسی در تعدادی از فرهنگ ها، به ویژه در هند، به طور مکرر به عنوان نماد بصری وسعت جهان استفاده می شود. در افسانه معروف پیدایش شطرنج، حاکم به مخترعش این فرصت را می دهد که خودش جایزه را انتخاب کند و او تعداد دانه های گندمی را می خواهد که اگر یکی در مربع اول صفحه شطرنج قرار گیرد، دو دانه گندم به دست می آید. دوم، چهار در سوم، هشت در چهارم، و غیره، هر بار تعداد دو برابر می شود. ولادیکا فکر می کرد که حداکثر در مورد چند کیسه صحبت می کنیم، اما او اشتباه محاسبه کرد. به راحتی می توان فهمید که برای تمام 64 مربع صفحه شطرنج، مخترع باید (2 64 - 1) دانه دریافت کند که به صورت یک عدد 20 رقمی بیان می شود. حتی اگر تمام سطح زمین کاشته شود، حداقل 8 سال طول می کشد تا مقدار مورد نیاز غلات جمع آوری شود. این افسانه گاهی اوقات به عنوان نشان دهنده احتمالات تقریبا نامحدود پنهان در بازی شطرنج تفسیر می شود.

به راحتی می توان فهمید که این عدد واقعا 20 رقمی است:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6 ∙10 19 (محاسبه دقیق تر 1.84 ∙10 19 می دهد). اما من نمی دانم آیا می توانید بفهمید که این عدد با چه رقمی ختم می شود؟

اگر مخرج بزرگتر از 1 باشد، یک تصاعد هندسی می تواند افزایش یابد یا اگر کمتر از یک باشد، کاهش می یابد. در مورد دوم، عدد q n برای n به اندازه کافی بزرگ می تواند به طور دلخواه کوچک شود. در حالی که پیشرفت هندسی فزاینده به طور غیرمنتظره ای به سرعت افزایش می یابد، پیشرفت هندسی کاهشی به همان سرعت کاهش می یابد.

هرچه n بزرگتر باشد، عدد q n ضعیفتر با صفر متفاوت است و مجموع n ترم پیشروی هندسی Sn = b 1 (1 – q n) / (1 – q) به عدد S = b 1 / ( 1 - q). (مثلاً F. Viet اینگونه استدلال کرد). عدد S را مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش می نامند. با این حال، برای قرن‌های متمادی، این سؤال که معنای جمع کردن کل پیشرفت هندسی، با تعداد نامتناهی اصطلاحات آن چیست، برای ریاضیدانان به اندازه کافی روشن نبود.

یک پیشرفت هندسی رو به کاهش را می توان برای مثال در آپوریاهای زنو "Half Division" و "Achilles and the Tortoise" مشاهده کرد. در حالت اول، به وضوح نشان داده می شود که کل جاده (با فرض طول 1) مجموع تعداد بی نهایت قطعه 1/2، 1/4، 1/8 و غیره است. البته این مورد از دیدگاه ایده ها در مورد یک پیشرفت هندسی نامتناهی با مجموع محدود. و با این حال - چگونه می تواند باشد؟

برنج. 2. پیشرفت با ضریب 1/2

در آپوریا در مورد آشیل، وضعیت کمی پیچیده تر است، زیرا در اینجا مخرج پیشرفت 1/2 نیست، بلکه عدد دیگری است. به عنوان مثال آشیل با سرعت v بدود، لاک پشت با سرعت u حرکت کند و فاصله اولیه بین آنها l باشد. آشیل این فاصله را در زمان l/v طی می کند و در این مدت لاک پشت فاصله lu/v را طی می کند. هنگامی که آشیل این بخش را اجرا می کند، فاصله بین او و لاک پشت برابر با l (u /v) 2 و غیره می شود. معلوم می شود که رسیدن به لاک پشت به معنای یافتن مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش با جمله اول است. l و مخرج u /v. این مجموع - قسمتی که آشیل در نهایت به محل ملاقات با لاک پشت خواهد رفت - برابر است با l / (1 – u /v) = lv / (v – u). اما باز هم، این نتیجه چگونه باید تفسیر شود و چرا اصلاً منطقی است، برای مدت طولانی چندان روشن نبود.

برنج. 3. تصاعد هندسی با ضریب 2/3

ارشمیدس از مجموع یک پیشرفت هندسی برای تعیین مساحت بخش سهمی استفاده کرد. بگذارید این بخش از سهمی با وتر AB محدود شود و مماس در نقطه D سهمی موازی با AB باشد. فرض کنید C نقطه وسط AB، E نقطه وسط AC، F نقطه وسط CB باشد. بیایید خطوطی موازی با DC از طریق نقاط A، E، F، B رسم کنیم. اجازه دهید مماس رسم شده در نقطه D این خطوط را در نقاط K، L، M، N قطع کند. بیایید بخش های AD و DB را نیز ترسیم کنیم. بگذارید خط EL خط AD را در نقطه G و سهمی را در نقطه H قطع کند. خط FM خط DB را در نقطه Q و سهمی را در نقطه R قطع می کند. بر اساس تئوری کلی مقاطع مخروطی، DC قطر یک سهمی است (یعنی قطعه ای موازی با محور آن). آن و مماس در نقطه D می توانند به عنوان محورهای مختصات x و y عمل کنند که در آن معادله سهمی به صورت y 2 = 2px نوشته می شود (x فاصله D تا هر نقطه با قطر معین است، y طول پاره ای موازی با مماس معین از این نقطه قطر تا نقطه ای در خود سهمی).

به موجب معادله سهمی، DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH، DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA، و از آنجایی که DK = 2DL، پس KA = 4LH. زیرا KA = 2LG، LH = HG. مساحت بخش ADB سهمی برابر است با مساحت مثلث ΔADB و مساحت قطعات AHD و DRB با هم. به نوبه خود، مساحت بخش AHD به طور مشابه برابر با مساحت مثلث AHD و بخش های باقیمانده AH و HD است که با هر یک از آنها می توانید همان عملیات را انجام دهید - به یک مثلث (Δ) تقسیم شده و دو بخش باقی مانده () و غیره:

مساحت مثلث ΔAHD برابر با نصف مساحت مثلث ΔALD است (پایه مشترک AD دارند و ارتفاعات 2 برابر متفاوت است) که به نوبه خود برابر است با نصف مساحت . مثلث ΔAKD و بنابراین نصف مساحت مثلث ΔACD. بنابراین، مساحت مثلث ΔAHD برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔACD است. به همین ترتیب، مساحت مثلث ΔDRB برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔDFB است. بنابراین، مساحت مثلث ΔAHD و ΔDRB، با هم برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔADB است. با تکرار این عمل هنگام اعمال بر روی بخش‌های AH، HD، DR و RB، مثلث‌هایی از آن‌ها انتخاب می‌شود که مساحت آن‌ها با هم 4 برابر کمتر از مساحت مثلث‌های ΔAHD و ΔDRB با هم خواهد بود. بنابراین 16 برابر کمتر از مساحت مثلث ΔADB است. و به همین ترتیب:

بنابراین، ارشمیدس ثابت کرد که "هر قطعه ای که بین یک خط مستقیم و یک سهمی قرار دارد، چهار سوم مثلثی را تشکیل می دهد که قاعده یکسان و ارتفاع برابر دارد."

دستورالعمل ها

10, 30, 90, 270...

شما باید مخرج یک پیشرفت هندسی را پیدا کنید.
راه حل:

انتخاب 1. بیایید یک عبارت دلخواه از پیشرفت (مثلاً 90) را در نظر بگیریم و آن را بر عدد قبلی (30) تقسیم کنیم: 90/30=3.

اگر مجموع چند جمله یک تصاعد هندسی یا مجموع همه عبارت‌های یک تصاعد هندسی نزولی مشخص باشد، برای یافتن مخرج پیشروی، از فرمول‌های مناسب استفاده کنید:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q)، که در آن Sn مجموع n جمله اول پیشرفت هندسی و
S = b1/(1-q)، که در آن S مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت رو به کاهش است (مجموع تمام عبارات پیشرفت با مخرج کمتر از یک).
مثال.

جمله اول یک تصاعد هندسی نزولی برابر با یک و مجموع تمام عبارات آن برابر با دو است.

تعیین مخرج این پیشرفت الزامی است.
راه حل:

داده های مسئله را با فرمول جایگزین کنید. معلوم خواهد شد:
2=1/(1-q)، از آنجا – q=1/2.

پیشروی دنباله ای از اعداد است. در یک تصاعد هندسی، هر جمله بعدی از ضرب عبارت قبلی در عدد معینی q به دست می آید که مخرج پیشرفت نامیده می شود.

دستورالعمل ها

اگر دو عبارت هندسی مجاور b(n+1) و b(n) شناخته شده باشند، برای بدست آوردن مخرج، باید عدد بزرگتر را بر عدد قبل از آن تقسیم کنید: q=b(n+1)/b (ن). این از تعریف پیشرفت و مخرج آن به دست می آید. شرط مهم این است که جمله اول و مخرج پیشروی برابر با صفر نباشد، در غیر این صورت تعریف نشده در نظر گرفته می شود.

بنابراین، روابط زیر بین شرایط پیشرفت برقرار می شود: b2=b1 q، b3=b2 q، ... , b(n)=b(n-1) q. با استفاده از فرمول b(n)=b1 q^(n-1)، هر جمله ای از پیشرفت هندسی که مخرج q و عبارت b1 در آن مشخص باشد را می توان محاسبه کرد. همچنین، هر یک از پیشرفت ها از نظر مدول با میانگین اعضای همسایه خود برابر است: |b(n)|=√، جایی که پیشروی به آن رسید.

آنالوگ یک تصاعد هندسی ساده ترین تابع نمایی y=a^x است، جایی که x یک توان است، a یک عدد معین است. در این حالت، مخرج پیشروی با جمله اول منطبق است و برابر با عدد a است. اگر آرگومان x یک عدد طبیعی n (شمارنده) در نظر گرفته شود، مقدار تابع y را می توان به عنوان nامین ترم پیشروی درک کرد.

ریاضیات چیستمردم طبیعت و خودشان را کنترل می کنند.

ریاضیدان شوروی، آکادمیک A.N. کولموگروف

پیشرفت هندسی

در کنار مسائل مربوط به پیشرفت های حسابی، مسائل مربوط به مفهوم پیشرفت هندسی نیز در کنکور ریاضی رایج است. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید ویژگی های پیشروی های هندسی را بدانید و مهارت های خوبی در استفاده از آنها داشته باشید.

این مقاله به ارائه خصوصیات اساسی پیشروی هندسی اختصاص دارد. نمونه هایی از حل مسائل معمولی نیز در اینجا ارائه شده است., وام گرفته شده از تکالیف کنکور ریاضی.

اجازه دهید ابتدا ویژگی های اساسی پیشرفت هندسی را یادداشت کنیم و مهم ترین فرمول ها و عبارات را به خاطر بیاوریم., مربوط به این مفهوم است.

تعریف.دنباله اعدادی را پیشروی هندسی می نامند اگر هر عددی که از عدد دوم شروع می شود برابر با عدد قبلی باشد که در همان عدد ضرب شود. عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می گویند.

برای پیشرفت هندسیفرمول ها معتبر هستند

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول عبارت کلی یک پیشروی هندسی نامیده می‌شود و فرمول (2) نشان‌دهنده ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی است: هر جمله از پیشرفت با میانگین هندسی عبارت‌های همسایه و .

توجه داشته باشید، که دقیقاً به دلیل همین ویژگی است که پیشرفت مورد بحث "هندسی" نامیده می شود.

فرمول های (1) و (2) فوق به صورت زیر تعمیم داده می شوند:

, (3)

برای محاسبه مقداراولین اعضای یک پیشرفت هندسیفرمول اعمال می شود

اگر نشان دهیم، پس

جایی که . از آنجایی که فرمول (6) تعمیم فرمول (5) است.

در صورتی که و پیشرفت هندسیبی نهایت در حال کاهش است برای محاسبه مقداراز تمام عبارات یک پیشرفت هندسی بی نهایت نزولی، از فرمول استفاده می شود

. (7)

مثلا ، با استفاده از فرمول (7) می توانیم نشان دهیم، چی

جایی که . این برابری ها از فرمول (7) به دست می آیند که، (برابری اول) و، (برابری دوم).

قضیه.اگر پس از آن

اثبات اگر پس از آن

قضیه ثابت می شود.

بیایید به بررسی نمونه هایی از حل مسائل در موضوع "پیشرفت هندسی" بپردازیم.

مثال 1.با توجه به:، و. پیدا کردن .

راه حل.اگر فرمول (5) را اعمال کنیم، پس

پاسخ: .

مثال 2.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.از آنجایی که و از فرمول های (5)، (6) استفاده می کنیم و یک سیستم معادلات به دست می آوریم

اگر معادله دوم سیستم (9) بر معادله اول تقسیم شود، سپس یا . از این نتیجه می شود که . بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. اگر، سپس از معادله اول سیستم (9) داریم.

2. اگر، پس.

مثال 3.اجازه دهید، و. پیدا کردن .

راه حل.از فرمول (2) نتیجه می شود که یا . از آن پس یا .

با شرط. با این حال، بنابراین. از آنجایی که و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

اگر معادله دوم سیستم بر معادله اول تقسیم شود، یا .

از آنجایی که معادله یک ریشه مناسب منحصر به فرد دارد. در این حالت از معادله اول سیستم بر می آید.

با در نظر گرفتن فرمول (7) بدست می آوریم.

پاسخ: .

مثال 4.داده شده: و . پیدا کردن .

راه حل.از آن به بعد.

از آن پس یا

طبق فرمول (2) داریم . در این راستا از برابری (10) یا .

با این حال، به شرط، بنابراین.

مثال 5.مشخص است که . پیدا کردن .

راه حل. طبق قضیه دو برابری داریم

از آن پس یا . چون پس .

پاسخ: .

مثال 6.داده شده: و . پیدا کردن .

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) بدست می آوریم

از آن به بعد. از آن زمان و پس از آن .

مثال 7.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.با توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم

بنابراین، داریم یا . معلوم است که و , بنابراین و .

پاسخ: .

مثال 8.مخرج یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را پیدا کنید اگر

و .

راه حل. از فرمول (7) به دست می آیدو . از اینجا و از شرایط مسئله یک سیستم معادلات به دست می آوریم

اگر معادله اول سیستم مربع باشد, و سپس معادله به دست آمده را بر معادله دوم تقسیم کنید، سپس دریافت می کنیم

یا .

پاسخ: .

مثال 9.تمام مقادیری را که دنباله , , یک پیشرفت هندسی است را بیابید.

راه حل.اجازه دهید، و. با توجه به فرمول (2) که ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی را تعریف می کند، می توانیم یا .

از اینجا معادله درجه دوم را بدست می آوریم, که ریشه آن استو .

بیایید بررسی کنیم: اگرو سپس و اگر، پس، و .

در مورد اول داریمو , و در دوم – و .

پاسخ: ، .

مثال 10.معادله را حل کنید

, (11)

کجا و .

راه حل. سمت چپ معادله (11) مجموع یک پیشروی هندسی نزولی نامتناهی است که در آن و با توجه به: و .

از فرمول (7) به دست می آید، چی . در این رابطه معادله (11) شکل می گیردیا . ریشه مناسب معادله درجه دوم است

پاسخ: .

مثال 11.پ دنباله ای از اعداد مثبتیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهد، آ - پیشرفت هندسی، چه ربطی داره . پیدا کردن .

راه حل.زیرا توالی محاسباتی، آن (ویژگی اصلی پیشرفت حسابی). از آنجا که، سپس یا . این دلالت می کنه که ، که پیشروی هندسی فرم دارد. طبق فرمول (2)، سپس آن را یادداشت می کنیم.

از آن زمان و سپس . در این مورد، بیانشکل یا . به شرط، بنابراین از معادلهما یک راه حل منحصر به فرد برای مشکل مورد بررسی به دست می آوریم، یعنی .

پاسخ: .

مثال 12.مجموع را محاسبه کنید

. (12)

راه حل. دو طرف مساوی (12) را در 5 ضرب کنید و بدست آورید

اگر (12) را از عبارت بدست آمده کم کنیم، آن

یا .

برای محاسبه، مقادیر را با فرمول (7) جایگزین می کنیم و بدست می آوریم. از آن به بعد.

پاسخ: .

نمونه هایی از حل مسئله که در اینجا آورده شده است برای متقاضیان در هنگام آمادگی برای کنکور مفید خواهد بود. برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسئله, مربوط به پیشرفت هندسی, شما می توانید از آموزش های فهرست ادبیات توصیه شده استفاده کنید.

1. مجموعه مسائل در ریاضیات برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. – م.: میر و آموزش، 1392. – 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه درسی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. – 216 ص.

3. Medynsky M.M. دوره کامل ریاضیات ابتدایی در مسائل و تمرینات. کتاب 2: توالی اعداد و پیشرفت ها. - M.: Editus، 2015. – 208 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

درس و ارائه با موضوع: "توالی اعداد. پیشرفت هندسی"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس نهم
قدرت ها و ریشه ها توابع و نمودارها

بچه ها امروز با نوع دیگری از پیشرفت آشنا می شویم.
موضوع درس امروز پیشرفت هندسی است.

پیشرفت هندسی

تعریف. دنباله‌ای عددی که در آن هر جمله، که از دومی شروع می‌شود، برابر حاصل ضرب عدد قبلی و مقداری ثابت است، تصاعد هندسی نامیده می‌شود.
بیایید دنباله خود را به صورت بازگشتی تعریف کنیم: $b_(1)=b$، $b_(n)=b_(n-1)*q$،
که در آن b و q اعداد معینی هستند. عدد q را مخرج پیشروی می گویند.

مثال. 1،2،4،8،16... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با یک و $q=2$ است.

مثال. 8،8،8،8... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با هشت است،
و $q=1$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... پیشرفت هندسی که جمله اول برابر با سه است.
و $q=-1$.

پیشروی هندسی دارای خاصیت یکنواختی است.
اگر $b_(1)>0$، $q>1$،
سپس توالی در حال افزایش است.
اگر $b_(1)>0$، $0 دنباله معمولاً به این شکل نشان داده می شود: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$.

درست مانند یک تصاعد حسابی، اگر در یک تصاعد هندسی تعداد عناصر متناهی باشد، آن پیشرفت را یک تصاعد هندسی محدود می نامند.

$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
توجه داشته باشید که اگر دنباله ای یک تصاعد هندسی باشد، دنباله مربع های عبارت نیز یک تصاعد هندسی است. در دنباله دوم، جمله اول برابر با $b_(1)^2$ و مخرج برابر با $q^2$ است.

فرمول برای ترم n یک پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی را می توان به صورت تحلیلی نیز مشخص کرد. بیایید ببینیم چگونه این کار را انجام دهیم:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
ما به راحتی متوجه این الگو می شویم: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
فرمول ما «فرمول نهمین ترم یک پیشروی هندسی» نام دارد.

بیایید به مثال های خود بازگردیم.

مثال. 1،2،4،8،16 ... پیشرفت هندسی که در آن جمله اول برابر با یک است،
و $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

مثال. 16،8،4،2،1،1/2... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با شانزده و $q=\frac(1)(2)$ است.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

مثال. 8,8,8,8... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با هشت و $q=1$ است.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با سه و $q=-1$ است.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

مثال. با توجه به یک پیشرفت هندسی $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
الف) معلوم است که $b_(1)=6، q=3$. $b_(5)$ را پیدا کنید.
ب) معلوم است که $b_(1)=6، q=2، b_(n)=768$. n را پیدا کنید.
ج) معلوم است که $q=-2، b_(6)=96$. $b_(1)$ را پیدا کنید.
د) معلوم است که $b_(1)=-2، b_(12)=4096$. q را پیدا کنید.

راه حل.
الف) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$، زیرا $2^7=128 => n-1=7; n=8 دلار
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

مثال. تفاوت جمله هفتم و پنجم پیشرفت هندسی 192 است، مجموع جمله های پنجم و ششم پیشروی 192 است. جمله دهم این پیشروی را بیابید.

راه حل.
می دانیم که: $b_(7)-b_(5)=192$ و $b_(5)+b_(6)=192$.
ما همچنین می دانیم: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
سپس:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
ما یک سیستم معادلات دریافت کردیم:
$\begin(موارد)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(موارد)$.
با معادل سازی معادلات به دست می آوریم:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
ما دو راه حل q دریافت کردیم: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
به ترتیب در معادله دوم جایگزین کنید:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ هیچ راه حلی وجود ندارد.
دریافتیم که: $b_(1)=4، q=2$.
بیایید عبارت دهم را پیدا کنیم: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

مجموع یک پیشرفت هندسی محدود

اجازه دهید یک پیشرفت هندسی محدود داشته باشیم. بیایید، درست مانند یک پیشروی حسابی، مجموع عبارت های آن را محاسبه کنیم.

اجازه دهید یک پیشرفت هندسی محدود داده شود: $b_(1)،b_(2)،…،b_(n-1)،b_(n)$.
اجازه دهید نام را برای مجموع عبارت‌های آن معرفی کنیم: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
در صورتی که $q=1$. تمام عبارات پیشروی هندسی برابر با جمله اول هستند، پس واضح است که $S_(n)=n*b_(1)$.
حال اجازه دهید مورد $q≠1$ را در نظر بگیریم.
مقدار فوق را در q ضرب می کنیم.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
توجه داشته باشید:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

ما فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی محدود را به دست آورده ایم.

مثال.
مجموع هفت جمله اول یک تصاعد هندسی که جمله اول آن 4 و مخرج آن 3 است را بیابید.

راه حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

مثال.
جمله پنجم پیشرفت هندسی را که مشخص است بیابید: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

راه حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
4095-$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 دلار = 1364 دلار.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

ویژگی مشخصه پیشرفت هندسی

بچه ها، یک پیشرفت هندسی داده شده است. بیایید به سه عضو متوالی آن نگاه کنیم: $b_(n-1)،b_(n)،b_(n+1)$.
ما آن را میدانیم:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
سپس:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
اگر پیشرفت متناهی باشد، آنگاه این برابری برای همه ترم ها به جز اولین و آخرین برقرار است.
اگر از قبل معلوم نباشد که دنباله چه شکلی دارد، اما معلوم است که: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
پس با اطمینان می توان گفت که این یک پیشرفت هندسی است.

یک دنباله اعداد فقط زمانی یک تصاعد هندسی است که مجذور هر عضو برابر با حاصلضرب دو عضو مجاور پیشرفت باشد. فراموش نکنید که برای یک پیشرفت محدود این شرط برای ترم های اول و آخر برآورده نمی شود.

بیایید به این هویت نگاه کنیم: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ میانگین هندسی اعداد a و b نامیده می شود.

مدول هر جمله یک پیشروی هندسی برابر است با میانگین هندسی دو جمله همسایه آن.

مثال.
x را طوری پیدا کنید که $x+2; 2x+2; 3x+3$ سه عبارت متوالی از یک پیشرفت هندسی بودند.

راه حل.
بیایید از ویژگی مشخصه استفاده کنیم:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و $x_(2)=-1$.
اجازه دهید راه حل های خود را به صورت متوالی با عبارت اصلی جایگزین کنیم:
با $x=2$، دنباله را دریافت کردیم: 4;6;9 - یک پیشرفت هندسی با $q=1.5$.
برای $x=-1$، دنباله را دریافت می کنیم: 1;0;0.
پاسخ: $x=2.$

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1. هشتمین جمله اول پیشروی هندسی 16;-8;4;-2… را بیابید.
2. جمله دهم پیشروی هندسی 11،22،44 را بیابید.
3. معلوم است که $b_(1)=5، q=3$. $b_(7)$ را پیدا کنید.
4. معلوم است که $b_(1)=8، q=-2، b_(n)=512$. n را پیدا کنید.
5. مجموع 11 جمله اول پیشروی هندسی 3;12;48... را بیابید.
6. x را طوری پیدا کنید که $3x+4; 2x+4; x+5$ سه جمله متوالی یک پیشرفت هندسی هستند.