تکلیف آزمون تئوری اعداد 19. موضوع: تئوری اعداد در تکالیف C6 از کنفرانس علمی و عملی XII بین منطقه ای یکپارچه آزمون "گام به سوی آینده" بخش: ریاضیات تکمیل شده توسط: ایلدار گاریفولین، - ارائه

نوع شغل: 19
موضوع: اعداد و خواص آنها

وضعیت

آیا در یک توالی بی نهایت کاهشی ممکن است؟ 1 \frac12 ;\frac13 ;\frac14 ;\frac15 ;...انتخاب کنید:

آ)پنج عدد؛

ب)پنجاه عدد؛

V)مجموعه نامتناهی از اعداد که یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند.

راه حل

آ)می توان. این دنباله در حال کاهش است، بنابراین ما به دنبال یک پیشرفت کاهشی خواهیم بود. توجه داشته باشید که دنباله \frac5n ; \frac4n ; \frac3n ; \frac2n ; \frac1nیک پیشرفت محاسباتی کاهشی است، تفاوت آن در عدد است -\frac1n.باقی مانده است که مخرج n را طوری انتخاب کنید که اعداد لغو شوند. واضح است که به عنوان مخرج n می توانید مضربی از همه اعداد را بگیرید، به عنوان مثال، عدد 60. سپس پیشرفت حسابی را بدست می آوریم \frac1(12) ;\frac1(15) ;\frac1(20) ;\frac1(30) ;\frac1(60) ,ارضای شرایط مشکل

ب)می توان. دنباله \frac(50)n ;\frac(49)n ;...;\frac3n ;\frac2n ;\frac1nیک پیشرفت محاسباتی کاهشی با تفاوت است -\frac1n.اگر عدد n را مخرج بگیریم 50!=50\cdot 49\cdot ...\cdot 2\cdot 1,سپس پس از کاهش کسرها، 50 کسر مختلف به دست می‌آید که همه اعداد آن‌ها برابر با 1 هستند، یعنی پیشرفت حسابی مورد نظر را به دست می‌آوریم.

V)ممنوع است. در واقع، هر پیشروی حسابی یک تابع خطی بر روی مجموعه اعداد طبیعی است. در این حالت، کاهش می یابد، به این معنی که خط مستقیمی که نقاط مربوط به اعضای این پیشروی روی آن قرار دارند، محور Ox را قطع می کند. بنابراین، با شروع از یک عدد معین، تمام ترم های پیشروی حسابی منفی می شوند و در این دنباله هیچ عبارت منفی وجود ندارد. این بدان معناست که در یک دنباله بی‌نهایت کاهشی، انتخاب یک مجموعه نامتناهی از اعداد که یک پیشروی حسابی را تشکیل می‌دهند، غیرممکن است.

پاسخ

آ)آره؛ ب)آره؛ V)خیر

نوع شغل: 19
موضوع: اعداد و خواص آنها

وضعیت

آیا هشتصد عدد طبیعی مختلف وجود دارد که میانگین حسابی آنها از بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها بزرگتر باشد؟

آ)دقیقا 500 بار؛

ب)دقیقا 400 بار;

V)کوچکترین عدد طبیعی ممکن را برابر نسبت میانگین حسابی این اعداد به بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها بیابید.

راه حل

آ)بیایید یک مثال از 800 بسازیم - یک دنباله عنصری که میانگین حسابی آن دقیقاً 500 برابر بزرگتر از GCD است. فرض کنید x آخرین عدد در دنباله 1، 2، 3،...، 799، x باشد. سپس از آنجایی که gcd این اعداد برابر با 1 است، باید شرط برقرار باشد \frac(1+2+3+...+799+x)(800)= 500. بنابراین، \frac((799+1)\cdot 799)(2)+x= 800\cdot 500; x=800\cdot 500-400\cdot 799= 400 (2\cdot 500-799)=400\cdot 201=80\,400.بنابراین، دنباله مورد نیاز فرم دارد 1, 2, 3,..., 798, 799, 80\,400.

ب)اجازه دهید gcd از هشتصد عدد a_1< a_2< a_3< ... < a_{800} برابر با d سپس a_1\geqslant d، a_2\geqslant 2d،...، a_(800)\geqslant 800 روزاز این رو، a_1+a_2+...+a_(800) \geqslant d(1+2+3+...+800)= 400\cdot 801d،و میانگین حسابی \frac(a_1+a_2+...+a_(800))(800)\geqslant \frac(801)2 d=400.5d.این بدان معنی است که میانگین حسابی نمی تواند دقیقاً 400 برابر بیشتر از GCD باشد.

V)در پاراگراف قبل برای میانگین حسابی دنباله a_1، a_2، a_3،...، a_(800)ارزیابی دریافت شد \frac(a_1+a_2+...+a_(800))(800) \geqslant 400.5d.این بدان معنی است که کوچکترین عدد طبیعی برابر است با نسبت میانگین حسابی این اعداد به gcd آنها، نه کمتر از 401. بیایید نشان دهیم که می تواند برابر با 401 باشد. اجازه دهید d=1.نمونه ای از چنین دنباله ای 800 است - دنباله عنصر 1، 2، 3،...، 799، 1200. بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن 1 و میانگین حسابی آن است. \frac(1+2+3+...+799+1200)(800)= \frac(400\cdot 799+1200)(800)= \frac(400(799+3))(800)= \frac(802)2= 401.

پاسخ

آ)آره؛ ب)خیر؛ V) 401 .

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه 2017. سطح نمایه." اد. F. F. Lysenko، S. Yu.

نوع شغل: 19
موضوع: اعداد و خواص آنها

وضعیت

کریستینا یک عدد طبیعی سه رقمی به دست آورد.

آ)آیا ضریب این عدد و مجموع ارقام آن می تواند برابر با 3 باشد؟

ب)آیا ضریب این عدد و مجموع ارقام آن می تواند برابر با 28 باشد؟

V)کوچکترین مقدار طبیعی که ضریب یک عدد معین و مجموع ارقام آن می تواند داشته باشد چیست؟

راه حل

بگذارید یک عدد سه رقمی شکل \overline(abc) داشته باشد، که در آن a، b و c رقم هستند، و a\neq 0.سپس عدد مورد نظر \overline(abc)=100a+10b+c \geqslant 100،و مجموع ارقام آن است a+b+c \leqslant 9+9+9=27.

آ)خیر، چون ضریب مورد نظر برابر است با \frac(100a+10b+c)(a+b+c)\geqslant \frac(100)(27) > 3.این بدان معنی است که نمی تواند برابر با سه باشد.

ب)بله شاید. اگر \frac(100a+10b+c)(a+b+c)=28،که 100a+10b+c=28a+28b+28c; 72a=18b+27c; 8a=2b+3c.آخرین برابری درست است، مثلاً وقتی a=1، b=4، c=0.یعنی ضریب 140 و مجموع ارقام آن برابر است \frac(140)(1+4+0=28).

V)فرض کنید n مقدار یک عدد خاص و مجموع ارقام آن باشد که n یک عدد طبیعی است. سپس \frac(100a+10b+c)(a+b+c)=n. 100a+10b+c=na+nb+nc، (100-n)a+(10-n)b=(n-1)c.

اگر n\leqslant 10،که (100-n)a+(10-n)b \geqslant (100-n)a\geqslant (100-n)\cdot 1\geqslant 90, آ (n-1)c \leqslant 9c.از اینجا، 9c\geqslant 90، c\geqslant 10،که غیر ممکن است، زیرا c یک عدد است.

به معنای، n > 10،اما پس از آن n\geqslant 11(از آنجایی که n طبیعی است). برای n=11بیایید یک مثال بزنیم. از برابری 100a+10b+c=na+nb+ncدر این صورت دریافت می کنیم 89a=b+10c.در a=1، b=9و c=8ما آنچه را که نیاز داریم به دست می آوریم بنابراین، ضریب 198 و مجموع ارقام آن 11 است. این کوچکترین مقدار طبیعی n است.

پاسخ

آ)خیر؛ ب)آره؛ V) 11 .

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه 2017. سطح نمایه." اد. F. F. Lysenko، S. Yu.

نوع شغل: 19
موضوع: اعداد و خواص آنها

وضعیت

بیش از 20 عدد اما کمتر از 30 عدد صحیح روی تابلو نوشته شده است. میانگین حسابی این اعداد است -3, میانگین حسابی همه مثبت ها 5 و میانگین حسابی همه مثبت ها برابر است با -10.

آ)چند عدد روی تابلو نوشته شده است؟

ب)کدام اعداد بزرگتر هستند: مثبت یا منفی؟

V)چه چیزی بیشتر است مقدار زیادآیا اعداد مثبتی در بین آنها وجود دارد؟

راه حل

اجازه دهید در مجموع n عدد روی تخته نوشته شود، 20 < n < 30. بگذارید k عدد مثبت در بین این اعداد وجود داشته باشد، بگذارید آنها را نشان دهیم a_1، a_2،...، a_(k)؛\، mمنفی، بیایید آنها را نشان دهیم b_1، b_2،...، b_mو p صفرها. سپس k+m+p=nو با توجه به شرایط مشکل \frac(a_1+a_2+...+a_k+b_1+b_2+...+b_m+0+0+...+0)(n)= -3,

\frac(a_1+a_2+...+a_k )(k)=5، \frac(b_1+b_2+...+b_m )(m)=-10.

از این برابری ها چنین برمی آید که a_1+a_2+...+a_k+b_1+b_2+...+b_m+0+0+...+0 = -3n،

a_1+a_2+...+a_k=5k،

b_1+b_2+...+b_m=-10m.

از کجا تهیه کنیم؟ 5k-10m=-3n.

آ)توجه داشته باشید که در برابری 5k-10m=-3nسمت چپ بر 5 بخش پذیر است، یعنی سمت راست نیز بر 5 بخش پذیر است. از این رو n بر 5 بخش پذیر است. زیرا 20 < n < 30, که n=25.

ب)بیایید در برابری جایگزین کنیم، 5k-10m=-3nبیان برای n=k+m+p.ما گرفتیم: 5k-10m=-3(k+m+p)، 8k+3p=7m.زیرا p\geqslant 0،این به آن معنا است ک بنابراین اعداد منفی بیشتر از مثبت هستند.

V)بیایید به فرمول جایگزین کنیم 5k-10m=-3nمعنی n=25.ما گرفتیم: 5k-10m=-75،جایی که k=2m-15.زیرا k+m=25-p \leqslant 25,ما داریم 2m-15+m=3m-15 \leqslant 25, 3m\leqslant 40, m\leqslant 13.سپس k=2m-15 \leqslant 11,یعنی 11 عدد مثبت بیشتر نیست.

بیایید مثالی بزنیم که نشان می دهد دقیقاً 11 عدد مثبت می تواند وجود داشته باشد.

عدد 5 را 11 بار و عدد 13 بار روی تابلو نوشته شود -10 و 0 یک بار نوشته می شود. سپس \frac(11\cdot 5+13\cdot (-10) )(25)=-\frac(75)(25)=-3.

بنابراین، مجموعه مشخص شده تمام شرایط مشکل را برآورده می کند.

پاسخ

آ) 25 ; ب)منفی؛ V) 11 .

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه 2017. سطح نمایه." اد. F. F. Lysenko، S. Yu.

نوع شغل: 19
موضوع: اعداد و خواص آنها

وضعیت

اگر بتوان مجموعه ای از اعداد را با مجموع اعداد یکسان به دو زیر مجموعه تقسیم کرد، آن را زیبا می نامیم.

آ)آیا مجموعه \(500; 501; 502;..., 599\) زیباست؟

ب)آیا مجموعه \(5; 25; 125;..., 5^(100)\) زیباست؟

V)مجموعه \(1; 3; 5; 6; 7; 9; 14\) چند زیر مجموعه چهار عنصری زیبا دارد؟

راه حل

آ)بیایید مجموعه را تقسیم کنیم \{500; 501; 502;...; 599\} به 50 جفت که مجموع اعداد هر کدام برابر است 1099: \{500; 599\}, \{501; 598\},...\,.

یک دسته از \{500; 501; 502;...; 599\} را می توان به دو زیر مجموعه تقسیم کرد که هر کدام دارای 25 جفت هستند. به این معنی که مجموع این دو زیر مجموعه یکسان و مجموعه است \{500; 501; 502;...; 599\} زیباست.

ب)توجه کنید که 5^(100) > \frac(5^(100)-1)4= 5^{99} +5^{98} +...+25+5+1. بنابراین، مجموع اعداد در یک زیر مجموعه از مجموعه \{5; 25; 125;...; 5^{100} \}, حاوی 5^{100} , همیشه از مجموع اعداد دیگر بزرگتر است، بنابراین مجموعه \{5; 25; 125;...; 5^{100} \} زیبا نیست

V)توجه داشته باشید که یک مجموعه چهار عنصری در دو حالت زیبا است: یا یک عدد مجموع سه عدد دیگر باشد یا مجموعه شامل دو جفت عدد با مجموع مساوی است.

زیر مجموعه های یک مجموعه \{1; 3; 5; 6; 7; 9; 14\}, راضی کننده مورد اول است \{1; 3; 5; 9\}, \{3; 5; 6; 14\}, \{1; 6; 7; 14\}.

بیایید مورد دوم را در نظر بگیریم. توجه داشته باشید که مجموع تمام اعداد در یک زیر مجموعه زیبا زوج است. در مجموعه اصلی تنها دو عدد زوج وجود دارد، بنابراین اعداد 6 و 14 یا هر دو در زیر مجموعه زیبای چهار عنصری گنجانده شده اند یا به طور همزمان در آن گنجانده نشده اند. اگر 6 و 14 در زیر مجموعه باشند، مجموع دو عدد دیگر 20 است که غیرممکن است، زیرا مجموع بزرگترین اعداد باقی مانده است. 7+9 < 20, یا اختلاف دو عدد دیگر 8 باشد.

ما یک زیر مجموعه زیبا دریافت می کنیم: \{1; 6; 9; 14\}.

اگر 6 و 14 در زیر مجموعه نباشند، پس یک زیر مجموعه زیبا در مجموعه نهفته است \{1; 3; 5; 7; 9\}. زیر مجموعه های زیبا (دو جفت عدد با مجموع مساوی) بدست می آوریم: \{1; 3; 5; 7\}, \{1; 3; 7; 9\}, \{3; 5; 7; 9\}. در مجموع 7 زیر مجموعه زیبا دریافت کردیم.

پاسخ

آ)آره؛ ب)خیر؛ V) 7 .

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه 2017. سطح نمایه." اد. F. F. Lysenko، S. Yu.

نوع شغل: 19
موضوع: اعداد و خواص آنها

وضعیت

معلم چندین اعداد صحیح مختلف را در نظر گرفت و مجموعه ای از این اعداد و مجموعات ممکن (2، 3 و غیره) آنها را به ترتیب غیر کاهشی روی تخته نوشت. به عنوان مثال، اگر او به اعداد 1،-5،6 فکر می کرد، مجموعه -5،-4،1،1،2،6،7 روی تخته نوشته می شد.

آ)مجموعه -5،-2،3،4،7،9،12 روی تابلو نوشته شده بود. معلم چه اعدادی را در نظر داشت؟

ب)برای حدود سه عدد تصور شده، یک مجموعه روی تابلو نوشته شده بود. آیا همیشه می توان اعداد مورد نظر را از این مجموعه تعیین کرد؟

V)علاوه بر این، مشخص است که معلم 4 شماره را برنامه ریزی کرده است. همه آنها برابر 0 نیستند. بیشترین تعداد صفرهایی که می توان روی تخته نوشت چقدر است؟

راه حل

آ)اگر معلم 4 عدد یا بیشتر در ذهن دارد، حداقل باید 15 عدد روی تابلو نوشته شود. اگر معلم 2 عدد یا کمتر در ذهن دارد، نباید بیش از 3 عدد روی تابلو نوشته شود. نتیجه این است که تاریخ 3 برنامه ریزی شده بود. اگر معلم به 2 عدد منفی فکر می کرد، حداقل سه عدد منفی روی تابلو نوشته می شد. این بدان معناست که تنها یک عدد منفی در مجموعه وجود دارد و آن کوچکترین است، یعنی 5-. بزرگترین عدد از مجموعه حاصل مجموع دو عدد مثبت تصور شده خواهد بود. از اعداد مثبت نوشته شده، تنها 3 و 9 به 12 می رسند. بنابراین، اعداد -5،3،9 تصور شد.

ب)نه همیشه نه به عنوان مثال برای اعداد در نظر گرفته شده -5،2،3 و -3،-2،5، همان مجموعه -5،-3،-2،0،2،3،5 روی تابلو نوشته می شود.

V)اگر معلم 4 عدد (a، b، c، d) داشته باشد، 15 عدد روی تخته نوشته می شود: خود اعداد (4 قطعه)، مجموع 2 ترم - 6 قطعه، مجموع 3 ترم - 4 قطعه، به عنوان و همچنین مجموع همه اعداد. اعداد نوشته شده را به 3 گروه تقسیم می کنیم.

گروه A خود اعداد مورد نظر است، گروه B مجموع 2 جمله، C مجموع 3 و 4 جمله است.

هیچ صفری در گروه A بر اساس شرط وجود ندارد.

گروه B را در نظر بگیرید. مجموع دو عدد را برابر 0 قرار دهید، یعنی a+b=0. اگر فرض کنیم a+c=0، a+b=a+c، b=c، و این با این واقعیت که همه اعداد تصور شده متفاوت هستند، در تضاد است. این یعنی a+c \neq 0. به طور مشابه a+d \neq 0, b+c \neq 0, b+d \neq 0. ممکن است که c+d=0. هیچ مجموع دیگری از 2 ترم وجود ندارد. یعنی گروه B حداکثر دو صفر دارد.

گروه C را در نظر بگیرید. اجازه دهید نشان دهیم که حداکثر دارای یک صفر است. بیایید برعکس فرض کنیم. سپس حداقل دو صفر وجود دارد. در این حالت حداقل یک صفر مجموع سه عدد تصور شده است، یعنی می توانیم a+b+c=0 را فرض کنیم. اگر a+b+c+d=0، d=0 که با شرط تناقض دارد. سپس حداقل یکی از برابری ها برآورده می شود: a+b+d=0، a+c+d=0، b+c+d=0. در حالت اول a+b+c=a+b+d=0 و سپس c=d. در حالت دوم b=d و در حالت سوم a=d. یعنی هر سه مورد با شرط منافات دارند و فرض ما نادرست است. بنابراین در گروه C حداکثر یک صفر وجود دارد.

بنابراین، تعداد کل صفرها از 0+2+1=3 تجاوز نمی کند. بیایید مثالی از اعداد برنامه ریزی شده ارائه دهیم که دقیقاً 3 صفر برای آنها روی تخته نوشته می شود. بگذارید معلم به اعداد 2،-2،3،-3 فکر کند. سپس 2+(-2)=0; 3+(-3)=0; 2+(-2)+3+(-3)=0. دقیقاً 3 صفر روی تابلو نوشته شده است.48، میانگین حسابی 6، بزرگترین مقسوم علیه مشترک 1 است.

ب)آره. مثلاً 1، 2، 3، 4، 5، 6، 8، 11. مجموع این اعداد 40، میانگین حسابی 5، بزرگترین مقسوم علیه مشترک 1 است.

V)بزرگترین مقسوم علیه مشترک هشت عدد a_(1) باشد.< a_{2} <...< a_{8} равен d . Тогда a_{1} \geq d, a_{2} \geq 2d,..., a_{8} \geq 8d. Следовательно, a_(1)+a_(2)+...+a_(8) \geq 36d،و میانگین حسابی \frac(a_(1)+a_(2)+...+a_(8))(8) \geq \frac(36)(8)d=4.5d.این بدان معنی است که میانگین حسابی نمی تواند دقیقاً 4 برابر بزرگتر از بزرگترین مقسوم علیه مشترک باشد.

پاسخ

آ)آره؛ ب)آره؛ V)خیر

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه 2017. سطح نمایه." اد. F. F. Lysenko، S. Yu.

یعنی 1 \leq S(x) \leq 28 یعنی 1987 \leq x \leq 2014. طبق آزمون بخش پذیری بر 3 اعداد x و S(x) با تقسیم بر 3 باقیمانده یکسانی دارند. اگر عدد x مضرب 3 باشد، x=3k، k \in \mathbb N و S(x)=3m، m \in \mathbb N و مجموع x+S(x) مضرب 3 است. اما عدد 2015 مضرب 3 نیست. در این حالت معادله هیچ راه حلی ندارد.

فرض کنید x=3k+1 و S(x)=3m+1، سپس مجموع x+S(x)، مانند عدد 2015، وقتی بر 3 تقسیم شود، باقیمانده 2 خواهد بود. در بین اعداد 1987 تا 2014، باقیمانده 1 با تقسیم بر 3 اعداد 1987، 1990، 1993، 1996، 1999، 2002، 2005، 2008، 2011، 2014 را به دست می دهد. پس از بررسی این اعداد، ما متقاعد شدیم که تنها سال های 1993 و 2011 مناسب هستند. فرض کنید x=3k+2 و S(x)=3m+2، سپس مجموع x+S(x) وقتی بر 3 تقسیم می‌شود، باقیمانده 1 است و عدد 2015 وقتی بر 3 تقسیم می‌شود، باقیمانده 2 دارد. در این حالت معادله هیچ راه حلی ندارد.

ب)بر اساس آزمون بخش پذیری بر 3، اعداد x، S(x) و S(S(x)) با تقسیم بر 3 باقیمانده یکسانی دارند. این بدان معناست که مجموع x+S(x)+S(S(x)) بر 3 بخش پذیر است. عدد 2015 بر 3 بخش پذیر نیست، بنابراین هیچ راه حلی وجود ندارد.

V)عدد x< 2015. Среди чисел, меньших 2015 , наибольшую сумму цифр 28 имеет число 1999 . Так как S(x) \leq 28, S(S(x)) \leq S(19)=10, S(S(S(x))) \leq 9, то x= 2015-S(x)-S(S(x))-S(S(S(x))) \geq 2015-28-10-9=1968.

طبق آزمون بخش پذیری بر 9، اعداد x، S(x) و S(S(x)) و S(S(S(x))) با تقسیم بر 9 باقیمانده یکسانی دارند. عدد 2015 وقتی بر 9 تقسیم شود، 8 باقی می ماند، بنابراین عدد x باید 2 باقی بماند. در بین اعداد از 1968 تا 2015، باقیمانده 2 با تقسیم بر 9، 1973، 1982، 1991، 2000، 2009 را به دست می دهد. پس از بررسی این اعداد، ما متقاعد شدیم که تنها سال 1991 مناسب است.

پاسخ

آ) 1993 ; 2011 ;

ب)بدون راه حل؛

V) 1991.

نوزدهمین وظیفه در سطح نمایه آزمون یکپارچه دولتی در ریاضیات با هدف شناسایی توانایی دانش آموزان برای کار با اعداد، یعنی ویژگی های آنها است. این کار سخت ترین است و نیاز به یک رویکرد غیر استاندارد و دانش خوب از خواص اعداد دارد. بیایید به بررسی یک کار معمولی ادامه دهیم.

تجزیه و تحلیل گزینه های معمولی برای وظایف شماره 19 آزمون یکپارچه دولتی در ریاضیات در سطح پروفایل

نسخه اول وظیفه (نسخه آزمایشی 2018)

بیش از 40 عدد اما کمتر از 48 عدد صحیح روی تابلو نوشته شده است. میانگین حسابی این اعداد 3-، میانگین حسابی همه اعداد مثبت 4 و میانگین حسابی همه اعداد منفی 8- است.

الف) چند عدد روی تابلو نوشته شده است؟

ب) کدام اعداد بیشتر نوشته می شوند: مثبت یا منفی؟

ج) بیشترین تعداد اعداد مثبتی که می تواند در بین آنها باشد چند است؟

الگوریتم حل:

1. ما متغیرهای k را معرفی می کنیم، ل، م.
2. مجموع مجموعه ای از اعداد را پیدا کنید.
3. به نقطه الف پاسخ می دهیم).
4. تعیین می کنیم که کدام اعداد بزرگتر هستند (نقطه ب)).
5. تعداد اعداد مثبت را مشخص کنید.

راه حل:

1. بگذارید k اعداد مثبتی در بین اعداد نوشته شده روی تخته باشد. اعداد منفی لو صفر متر

2. مجموع اعداد نوشته شده برابر است با تعداد آنها در یک ورودی داده شده روی تخته، ضرب در میانگین حسابی. مقدار را تعیین کنید:

4k-8 ل+ 0⋅m = − 3(k + ل+m)

3. توجه داشته باشید که در سمت چپ در تساوی داده شده، هر یک از جمله ها بر 4 بخش پذیر است، بنابراین مجموع تعداد هر نوع اعداد k + ل+ m نیز بر 4 بخش پذیر است. طبق شرط، تعداد کل اعداد نوشته شده نابرابری را برآورده می کند:

40 < k + ل+m< 48

سپس k + ل+ m = 44، زیرا 44 تنها عدد طبیعی بین 40 و 48 است که بر 4 بخش پذیر است.

یعنی فقط 44 عدد روی تابلو نوشته شده است.

4. تعیین کنید که کدام نوع اعداد بیشتر است: مثبت یا منفی. برای انجام این کار، برابری 4k −8l = − 3(k + را ارائه می کنیم ل+m) به شکل ساده تر: 5 ل= 7 هزار + 3 متر

5. m≥ 0. این بدان معناست: 5 ل≥ 7k، ل> k. معلوم می شود که اعداد منفی بیشتر از مثبت نوشته می شود. k + را جایگزین می کنیم ل+ m عدد 44 در برابری

4k −8l = − 3(k + ل+ m).

4k − 8 ل= -132، k = 2 ل − 33

k + ل≤ 44، سپس معلوم می شود: 3 ل− 33 ≤ 44; 3ل ≤ 77;ل≤ 25; k = 2 ل− 33 ≤17. از اینجا به این نتیجه می رسیم که 17 عدد مثبت بیشتر نیست.

اگر فقط 17 عدد مثبت وجود داشته باشد، عدد 4 17 بار روی تابلو نوشته می شود، عدد 8 25 بار و عدد 0 2 بار نوشته می شود.

جواب: الف) 44; ب) منفی؛ ج) 17.

گزینه دوم 1 (از یاشچنکو، شماره 1)

35 عدد طبیعی مختلف روی تابلو نوشته شده است که هر کدام یا زوج است یا اعشاری آن به عدد 3 ختم می شود. مجموع اعداد نوشته شده 1062 است.

الف) آیا می توان دقیقاً 27 عدد زوج روی تابلو وجود داشته باشد؟

ب) آیا دقیقاً دو عدد روی تابلو می توانند به 3 ختم شوند؟

ج) کوچکترین تعداد اعدادی که به 3 ختم می شوند که می توانند روی تخته باشند چند است؟

الگوریتم حل:

1. بیایید یک مثال از مجموعه ای از اعداد را ارائه دهیم که شرایط را برآورده می کند (این امکان وجود مجموعه ای از اعداد را تایید می کند).
2. احتمال شرط دوم را بررسی می کنیم.
3. با معرفی متغیر n به دنبال پاسخ سوال سوم می گردیم.
4. پاسخ ها را یادداشت می کنیم.

راه حل:

1. این فهرست تقریبی اعداد روی تابلو شرایط داده شده را دارد:

3,13,23,33,43,53,63,73,2,4,6,…,50,52,56

این به سوال a پاسخ مثبت می دهد.

2. بگذارید دقیقاً دو عدد روی تابلو نوشته شود که رقم آخر آن 3 است. سپس 33 عدد زوج در آنجا نوشته می شود. جمع آنها:

این با این واقعیت که مجموع اعداد نوشته شده 1062 است، یعنی پاسخ مثبتی برای سوال b وجود ندارد، منافات دارد.

3. فرض می کنیم که n عدد روی تابلو نوشته شده است که به 3 ختم می شود و (35 – n) از آنهایی که نوشته شده زوج هستند. سپس مجموع اعدادی که به 3 ختم می شوند برابر است با

و مجموع زوج ها:

2+4+…+2(35 – n)=(35 – n)(36 – n)= n 2 -71 n+1260.

سپس از شرط:

نابرابری حاصل را حل می کنیم:

معلوم می شود که . از اینجا، با دانستن اینکه n یک عدد طبیعی است، دریافت می کنیم.

3. کوچکترین تعداد اعدادی که به 3 ختم می شود فقط می تواند 5 باشد. و 30 عدد زوج اضافه می شود، سپس مجموع همه اعداد فرد است. این بدان معنی است که اعداد بیشتری وجود دارد که به 3 ختم می شوند. از پنج، زیرا مجموع شرط برابر با یک عدد زوج است. بیایید سعی کنیم 6 عدد را بگیریم که آخرین رقم آن 3 باشد.

بیایید مثالی بزنیم که 6 عدد به سه و 29 عدد زوج ختم شود. مجموع آنها 1062 است. نتیجه لیست زیر است:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, ..., 54, 56, 82.

پاسخ:الف) بله؛ ب) خیر؛ ساعت 6.

گزینه سوم (از یاشچنکو، شماره 4)

ماشا و ناتاشا چندین روز متوالی عکس گرفتند. در روز اول، ماشا از m عکس گرفت و ناتاشا - n عکس. در هر روز بعد، هر یک از دختران یک عکس بیشتر از روز قبل گرفتند. مشخص است که ناتاشا در مجموع 1173 عکس بیشتر از ماشا گرفت و آنها بیش از یک روز عکس گرفتند.

الف) آیا آنها می توانند به مدت 17 روز عکس بگیرند؟

ب) آیا آنها می توانند به مدت 18 روز عکس بگیرند؟

ج) بیشترین تعداد کل عکس‌هایی که ناتاشا توانسته است در تمام روزهای عکاسی بگیرد چقدر است، اگر بدانیم در روز آخر ماشا کمتر از 45 عکس گرفته است؟

الگوریتم حل:

1. بیایید به سوال الف پاسخ دهیم).
2. بیایید پاسخ سوال ب را پیدا کنیم.
3. بیایید تعداد کل عکس های گرفته شده توسط ناتاشا را پیدا کنیم.
4. بیایید جواب را یادداشت کنیم.

راه حل:

1. اگر ماشا در روز اول از m عکس گرفت، در 17 روز عکس گرفت تصاویر.

من تنها هستم، اما هنوز هستم. من نمی توانم همه کارها را انجام دهم، اما هنوز هم می توانم کاری انجام دهم. و من از انجام کارهای کوچکی که می توانم امتناع نمی کنم (ج)

من به قول خود عمل می کنم که مجموعه ای از کتاب هایی را که می توانند برای تکلیف C6 امتحان دولتی واحد-2010 در ریاضیات آماده شوند (یعنی کتاب هایی حاوی اطلاعات و مسائل مربوط به نظریه اعداد که برای دانش آموزان در دسترس است ارسال کنم که به لطف آنها می توانید احساس کنید مشخصات مواد).
می خواهم از ته قلبم از شما تشکر کنم مهمان، که توصیه هایی در مورد انتخاب ادبیات ارائه کرد (یا به بیان ساده تر ، تقریباً همه این کتاب ها را به سادگی نام برد - ببینید).
توجه داشته باشم که این کتاب ها مجموعه ای از FIPI، MIOO و غیره نیستند. کتاب های مشابه در بخش قرار داده شده است

آمادگی برای امتحان دولتی واحد C6-2010، 2011 در ریاضیات (نظریه اعداد)

	آلفوتوا N.B. Ustinov A.V. جبر و نظریه اعداد. مجموعه مسائل برای مدارس ریاضی. -M.: MTsNMO، 2002.- 264 p. این راهنما مجموعه ای از مسائل ریاضی است که در درجه اول برای دانش آموزان دبیرستانی علاقه مند به علوم دقیق در نظر گرفته شده است. همچنین برای معلمان ریاضی و دانش آموزانی که در آموزش عالی ریاضی می خوانند مفید خواهد بود. بخش قابل توجهی از مطالب را می توان برای آمادگی در آزمون های کتبی و شفاهی ورودی دانشگاه ها استفاده کرد. این مجموعه بر اساس مسائل مربوط به یک دوره جبر است که توسط O.A., N.B. و A.V. دروس ریاضی در مدرسه شبانه روزی به نام تدریس می شود. A.N. Kolmogorov به طور سنتی شامل بخش هایی است که می توان آنها را مجاور نامید. آنها در تقاطع جبر با ترکیبات، هندسه، نظریه اعداد و تجزیه و تحلیل ریاضی قرار دارند. بنابراین، برخی از اشکالات کتاب فقط به طور غیر مستقیم به جبر مربوط می شود. این مسائل برای تأکید بر ارتباط بین شاخه های مختلف ریاضیات و نشان دادن تنوع روش ها طراحی شده اند. ifolder یا mediafire (pdf/rar، 1.49 مگابایت) را دانلود کنید (نسخه سوم 2009) rusfolder
	Bazylev D. F. راهنمای مرجع برای حل مسائل: معادلات دیوفانتین. - Mn.: STC "API"، 1999.- 160 p. شابک 985-6344-27-1 این کتاب به منظور توسعه مهارت در حل معادلات اعداد صحیح و آماده سازی دانش آموزان برای المپیادهای ریاضی است. این شامل بیش از 200 مسئله است که به یک طریق به حل معادلات دیوفانتین مربوط می شود، یعنی معادلات در اعداد صحیح و اعداد گویا. مبحث اول معادلات خطی در اعداد صحیح را با جزئیات پوشش می دهد. موضوع دوم با هدف بررسی مسائل مربوط به معادله عدد صحیح "x^2 + y^2 = z^2" است. سوم به مطالعه مسائل فردی مربوط به اعداد کامل اختصاص دارد. مبحث چهارم برخی از حقایق تئوری اعداد را ارائه می کند که اغلب در حل مسائل در این راهنما استفاده می شود. بخش قابل توجهی از کتاب شامل مسائلی است که عمدتاً ماهیت المپیادی دارند. هر مشکل با یک راه حل دقیق ارائه شده است. اسکن شخص ناشناس، پاکسازی شده است بولگا دانلود (djvu, 1.6 مگابایت) rghost || دیسک آنلاین
	باردوشکین V.V.، Kozhukhov I.B.، Prokofiev A.A.، Fadeicheva T.P. مبانی تئوری بخش پذیری اعداد. حل معادلات در اعداد صحیح دوره اختیاری. - M.: MGIET (TU)، 2003. - 224 p. سوالات بخش پذیری مجموعه اعداد صحیح و روش های حل معینی از معادلات در اعداد صحیح در نظر گرفته شده است. همه وظایف به موضوعات تقسیم می شوند، بسیاری از آنها با دستورالعمل ها و راه حل ها ارائه می شوند. برای معلمان ریاضی و دانش‌آموزان دبیرستان‌ها، دبیرستان‌ها و دبیرستان‌ها و همچنین برای افرادی که به طور مستقل ریاضی می‌خوانند. دانلود (pdf/rar,2.2 mb) ifolder یا narod.ru خیلی ممنون بابت کتاب! نسخه جدیدتر V.N. باردوشکین، I.V. کوژوخوف، A.A. پروکوفیف، تی.پی. فادیچوا مبانی تئوری بخش پذیری و حل معادلات در اعداد صحیح (دوره اختیاری). - M.: MIET، 2004. -220 ص. دانلود (djvu 2.27 Mb)ifolder.ru || روح
	Sikorsky K. P. فصول اضافی در درس ریاضیات. کتاب درسی یک درس انتخابی برای دانش آموزان پایه های 7-8. Comp. K. P. Sikorsky. اد. دوم، اضافه کنید. م.، «روشنگری»، 1974. 367 ص. این کتاب شامل مقالاتی حاوی مطالب آموزشی نظری و مجموعه ای از تمرینات در مورد موضوعات دروس انتخابی ریاضی برای پایه های 7-8 می باشد. به خصوص: Boltyansky V.G.، Levitas G.G. تقسیم پذیری اعداد و اعداد اول/فصل های اضافی درس ریاضی. اوخ راهنمای یک درس انتخابی برای دانش آموزان در کلاس های 7-8. Comp. K.P. Sikorsky. - M. آموزش و پرورش، 1974. - ص. 5-69 شامل بخش‌های زیر است: اعداد صحیح و عملیات روی آنها، قضایای بخش‌پذیری، تقسیم با باقیمانده، مقایسه و حل مسائل با استفاده از آنها، تناوب باقیمانده‌ها وقتی به توان بالا می‌روند، اعداد نسبتاً اول، آزمون‌های بخش‌پذیری، GCD و LCM، اعداد اول، اول فاکتورسازی درک مطالب آسان است زیرا برای دانش آموزان مدرسه ای در کلاس های 7-8 نوشته شده است. دانلود (djvu, 4.94 مگابایت) ifolder.ru || mediafire.com
	Galkin E.V. مسائل غیر استاندارد در ریاضیات. مشکلات اعداد صحیح: کتاب درسی. کتابچه راهنمای دانش آموزان 7-11 کلاس. - چلیابینسک: وزگلیاد، 2005. - 271 ص. - (مسائل غیر استاندارد در ریاضیات). شابک 5-93946-071-2 این کتاب درسی برای آماده سازی دانش آموزان برای المپیادهای مدرسه ای و منطقه ای در ریاضیات در نظر گرفته شده است. بخش قابل توجهی از کتاب را می توان در کلاس ها و کلاس های تخصصی با مطالعه عمیق ریاضیات استفاده کرد. سیستم چیدمان مواد، در دسترس بودن اطلاعات نظری و مسائل پشتیبان این امکان را فراهم می کند که به طور مستقل حل مسائل با مشکل رو به افزایش در ریاضیات را بیاموزیم. این راهنما برای دانش آموزان، معلمان ریاضی، دانش آموزان و معلمان دانشگاه های آموزشی نوشته شده است. دانلود djvu (rar+3%, 2.33 MB 600dpi+OCR) ifolder.ru یا mediafire.com
	Genkin S.A.، Itenberg I.V.، Fomin D.V. دایره های ریاضی لنینگراد. - کیروف، "آسا"، 1994. - 272 ص. -ISBN 5-87400-072-0 این کتاب خلاصه‌ای از تجربیات جمع‌آوری شده توسط نسل‌های بسیاری از معلمان باشگاه‌های ریاضیات مدرسه در دانشکده ریاضیات و مکانیک دانشگاه دولتی لنینگراد است که قبلاً برای خواننده عمومی غیرقابل دسترس بود. این کتاب در قالب یک کتاب مسئله ساختار یافته است که موضوعات دو سال اول کار یک دایره معمولی را منعکس می کند. این به طور کامل مطالبی را برای 2 تا 3 سال کار در یک باشگاه ریاضیات مدرسه یا دروس انتخابی برای دانش آموزان کلاس های 6 تا 9 و تا حدی در کلاس های 10-11 ارائه می دهد. تمام فصول موضوعی با نظرات روش شناختی برای معلم ارائه شده است. خطاب به معلمان ریاضیات و دانش آموزان علاقه مند به ریاضیات است. دانلود (djvu/rar، 4.55 مگابایت) ifolder.ru یا mediafire
	گورباچف ​​N.V. مجموعه مسائل المپیاد در ریاضیات. - M.: MTsNMO، 2004. - 560 p. شابک 5-94057-156-5 این کتاب شامل مسائل المپیاد با پیچیدگی های متفاوت است - هم مسائل آسان که اغلب به صورت شفاهی در یک خط حل می شوند و هم مسائل تحقیقی. این کتاب برای معلمان، روسای محافل ریاضی، دانش‌آموزان رشته‌های آموزشی و همه علاقه‌مندان به ریاضیات در نظر گرفته شده است. دانلود (4.05 مگابایت) ifolder.ru || رسانه فایر
	Kanel-Belov A. Ya.، Kovaldzhi A. K. چگونه مشکلات غیر استاندارد حل می شوند / ویرایش شده توسط V. O. Bugaenko. - ویرایش چهارم، کلیشه. - M.: MTsNMO، 2008.- 96 ص. - شابک 978-5-94057-331-9 این کتاب تعدادی از ایده های کلاسیک را برای حل مسائل المپیاد توصیف می کند که برای اکثر دانش آموزان غیر استاندارد است. هر ایده همراه با تفسیر، نمونه هایی از حل مسئله و وظایفی برای راه حل مستقل ارائه شده است. گزیده ای از مسائل المپیاد و انواع تحقیق (در مجموع 200 مسئله) که بر اساس کلاس ها گروه بندی شده اند، ارائه شده است. مخاطب این مجموعه دانش آموزان دبیرستانی، معلمان، رهبران باشگاه و همه دوستداران ریاضیات است. چاپ قبلی کتاب در سال 2004 منتشر شد.
	O. Ore Invitation to theory number: ترجمه شده از انگلیسی. اد. دوم، کلیشه ای. - M.: Editorial URSS, 2003. - 128 p. کتاب O. Ore، ریاضیدان معروف نروژی، زیبایی ریاضیات را با استفاده از مثال یکی از قدیمی ترین شاخه های آن - نظریه اعداد، آشکار می کند. ارائه مبانی نظریه اعداد در کتاب تا حد زیادی غیر متعارف است. همراه با تئوری مقایسه ها، اطلاعات مربوط به سیستم های اعداد، حاوی داستان هایی در مورد مربع های جادویی، حل پازل های حسابی و غیره است. مزیت بزرگ کتاب این است که نویسنده در هر فرصتی به امکان کاربرد عملی نتایج ارائه شده اشاره می کند و همچنین خواننده را با وضعیت فعلی نظریه اعداد و مسائلی که هنوز راه حل نهایی دریافت نکرده اند آشنا می کند. دانلود (djvu, 2.82 مگابایت) ifolder.ru || رسانه فایر
	پراسولوف V.V. مسائل جبر، حساب و تجزیه و تحلیل: کتاب درسی.-M.: MTsNMO, 2007.-608 pp.: ill. - شابک 978-5-94057-263-3 این کتاب شامل مسائل جبر، حساب و تجزیه و تحلیل مربوط به برنامه درسی مدرسه است، اما عمدتا در سطح کمی بالاتر در مقایسه با مسائل عادی مدرسه است. همچنین تعدادی از مسائل بسیار دشوار برای دانش آموزان در کلاس های ریاضی طراحی شده است. این مجموعه شامل بیش از 1000 مشکل با راه حل های کامل است. برای دانش آموزان مدرسه، معلمان ریاضی، روسای باشگاه های ریاضی، دانش آموزان موسسات آموزشی دانلود (pdf/rar; 2.98 مگابایت) mediafire.com || ifolder.ru
	Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. منتخب مسائل و قضایای ریاضیات ابتدایی. حساب و جبر. - ویرایش ششم - M.: FIZMATLIT، 2001. - 480 p. - شابک 5-9221-0106-4. این کتاب شامل 320 مسئله مربوط به جبر، حساب و نظریه اعداد است. این وظایف به طور قابل توجهی از نظر ماهیت با وظایف استاندارد مدرسه متفاوت است. اکثر آنها در باشگاه های ریاضیات مدرسه در دانشگاه دولتی مسکو و در المپیادهای ریاضی در مسکو ارائه شدند. این کتاب برای دانش آموزان دبیرستانی در نظر گرفته شده است. مشکلات موجود برای دانش آموزان پایه هفتم و هشتم به طور خاص ذکر شده است. راه حل های دقیق برای همه مشکلات ارائه شده است. وظایف دشوارتر با دستورالعمل ارائه می شود. این نسخه از متن ویرایش چهارم تکثیر شده است. دانلود (2.68 مگابایت) ifolder.ru || mediafire.com
	گاشکوف S.B. جبر ابتدایی مدرن در مسائل و راه حل ها - M.: MTsNMO، 2006. - 328 p. کتابی که مورد توجه خواننده قرار گرفته کتاب درسی جبر برای دانش آموزان پایه دهم و یازدهم مدارس فیزیک و ریاضی است. این بر اساس ضبط سخنرانی های نویسنده در مرکز تخصصی آموزشی و علمی دانشگاه دولتی مسکو بود. M.V. Lomonosov - مدرسه ای به نام آکادمیک A. N. Kolmogorov که بیشتر به عنوان مدرسه فیزیک و ریاضیات دانشگاه دولتی مسکو و مدرسه شبانه روزی دانشگاه دولتی مسکو شناخته می شود. این کتاب درس جبر را برای دانش آموزان کلاس دهم SUNC (و موسسات آموزشی مشابه) پوشش می دهد و شامل بخش اصلی درس جبر مورد نیاز برای پایه یازدهم است. طبق سنت ایجاد شده توسط A.N. ، دوره جبر برای "FMShat" از دو بخش تشکیل شده است: مجموعه ای اجباری از مفاهیم، ​​ساختارها و قضایا (این بخش برای همه دروس جبر ارائه شده در این مدرسه مشترک است) و حل مسئله. برخی از مشکلات محتوایی جالب (به عنوان مثال، ساختن n-گونهای منظم با قطب نما و خط کش، قضیه آبل-روفینی در مورد حل نشدنی بودن در رادیکال های یک معادله کلی درجه پنجم، قانون متقابل درجه دوم و غیره). این کتاب به تشریح بخش اول دوره و همچنین برخی از تغییرات فصل های اضافی می پردازد. وظایف زیادی دارد که اکثر آنها بسیار دشوار است. این می تواند به عنوان یک کتاب درسی در جبر برای دانشجویان دانشگاه باشد. دانلود (pdf, 1.14 مگابایت) ifolder.ru || رسانه فایر

مهمان، که بیشتر این ادبیات را توصیه کرد، نام کتاب را نیز گذاشت
Gashkov S.B.، Chubarikov V.N.، Sadovnichy V.A. (ویرایش) حساب. الگوریتم ها پیچیدگی محاسباتی چاپ سوم، اصلاح شده. - Bustard, 2005. - 320 p. - شابک: 5-7107-8904-6.
کتاب درسی (ویرایش دوم - 2002) اولین کتاب در ادبیات روسیه است که ارتباط بین مسائل حسابی و مسائل مدرن سایبرنتیک را بررسی می کند. این کتاب مجموعه ای از مسائل ریاضی و نظریه پیچیدگی الگوریتم های حسابی است و به شما اجازه می دهد تا دانش سیستماتیک در این زمینه های ریاضیات به دست آورید. برای دانشجویان دانشگاه ها، دانشگاه های آموزشی و دانشگاه هایی با مطالعه عمیق ریاضی
مهمان اشاره کرد که کتاب آخر دستورالعمل‌های بسیار مختصری برای مشکلات دارد، اما به نظر می‌رسد که ارزش آن را دارد، حداقل تا حدی.
به نظر من برای بچه های مدرسه کمی پیچیده است، بنابراین آن را در قسمت دانشگاه قرار دادم. در آنجا می‌توانید ادبیات جدی‌تر دیگری درباره این رشته پیدا کنید.

اگر به تنهایی برای امتحان دولتی واحد آماده می شوید، با کتاب هایی شروع کنید که عناصر تئوری اعداد (بولتیانسکی، سنگ معدن، گالکین، جنکین) را بیان می کنند و تنها پس از آن به سراغ مسائل المپیاد بروید.
من هنوز دو کتاب در مورد المپیادها اضافه می کنم

همچنین می خواهم توجه شما را به وب سایت www.problems.ru/ جلب کنم (لینک مدت زیادی است که در اپیگراف ما وجود دارد، اما من از تجربه می دانم که هیچ کس اپیگراف را نمی خواند). این شامل پایگاه داده عظیمی از مشکلات در موضوعات و منابع مختلف، از جمله مشکلاتی است که به ما علاقه مند است. مسائلی از المپیادهای مختلف، مسائلی از کتاب "حلقه های ریاضی لنینگراد" و مجموعه آلفوتوا و اوستینوف نیز ارسال شده است.

UPD.
انتخاب بر اساس انجام شده است وظایف المپیاد

• ن - اعداد طبیعی (1، 2، 3، ...);
• Z – اعداد صحیح (0، ± 1، ± 2، ± 3، ...)؛
• س – اعداد گویا را می توان به صورت کسری \frac(m)(n) نشان داد که m – یک عدد صحیح و پ -طبیعی (3,\frac(2)(3) , -\frac(4)(3));
• R – اعداد واقعی (3, \sqrt(7) , 0, -\frac(2)(3));
• اعداد گنگ -اینها اعداد واقعی هستند که گویا نیستند (\sqrt(7)).
• ج- اعداد مختلط ( a+i⋅b، جایی که من- واحد خیالی و من 2=-1). هر عدد واقعی پیچیده است.
• اعداد مثبت بزرگتر از صفر هستند. به عنوان مثال، 4, \sqrt(5) , 213. اما نه 0 و نه −5.
• اعداد غیر منفی کمتر از صفر نیستند. به عنوان مثال، 6، 0، 32. اما نه -3.
• اعداد منفی اعدادی که کمتر از صفر هستند. برای مثال −4, -\sqrt(5). اما نه 0 و نه 5.
• اعداد غیر مثبت اعدادی که بزرگتر از صفر نباشند. به عنوان مثال، 0، −\sqrt(3) . اما نه 6، نه \sqrt(7).

خواص جمع و ضرب اعداد طبیعی:

• a + b = b + a -ویژگی جابجایی جمع
• (a + b) + c = a + (b + c) -
• a∙b = b∙a -خاصیت جابجایی ضرب
• (a∙b)∙c = a∙(b∙c) -خاصیت تداعی جمع
• a(b ± c) = ab ± ac- خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع/ تفریق

اگر m، n، kاعداد طبیعی، سپس چه زمانی m – n = kآنها گفتند که متر- کاهش، n- قابل تفریق، ک- تفاوت؛ m: n = kآنها گفتند که متر- قابل تقسیم، n- تقسیم کننده، ک- خصوصی.

کمترین مضرب مشترک (LCM) از دو یا چند عدد طبیعی کوچکترین عدد طبیعی است که خود بر هر یک از این اعداد بخش پذیر است.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) از دو عدد داده شده آو ببزرگترین عددی است که هر دو عدد را با آن رقم می زنند آو ببدون باقیمانده تقسیم می شود.

میانگین مجموعه اعداد - مجموع همه اعداد تقسیم بر تعداد آنها

پیشروی حسابی - دنباله اعدادی است که هر عضو آن با شروع از دومی برابر با قبلی است که به عدد ثابتی برای این دنباله اضافه می شود. د.

فرمول محاسبه پیشرفت حسابی: a n = a 1 + d(n - 1).

پیشرفت هندسی - این یک دنباله عددی است که با دو پارامتر مشخص می شود b، q (q ≠ 0)و قانون b 1 = b، b n = b n-1 ∙q، n = 2، 3، … .

فرمول محاسبه پیشرفت هندسی: b n = b 1 ∙q n-1.

فرمول مخرج یک پیشرفت هندسی: q = b n + 1 / b n

فرمول جمع n- اولین اصطلاحات پیشرفت هندسی:

S n = b 1 (1 - q n)/(1 - q)

S n = (b 1 - b n q) / (1 - q)، که در آن q ≠ 1

موضوع: نظریه اعداد در تکالیف C6 از کنفرانس علمی و عملی XII بین منطقه ای آزمون واحد دولتی "گام به آینده" بخش: ریاضیات تکمیل شده توسط: ایلدار گاریفولین، رومن سینیتسکی کلاس یازدهم، موسسه آموزشی شهری لیسه 6 رئیس: مونتیان E.M. معلم ریاضیات، موسسه آموزشی شهری لیسه 6، سوروبایکالسک، 2012

ارتباط قبولی در آزمون یکپارچه دولتی وظیفه اصلی همه فارغ التحصیلان است و کسب امتیاز بیشتر مطلوب است. تعداد و اعتبار دانشگاه هایی که فارغ التحصیلان می توانند در آنها ثبت نام کنند به نتایج آزمون یکپارچه دولتی بستگی دارد. البته، در آزمون یکپارچه دولتی باید تا آنجا که می توانید حل کنید. تکلیف C6 در امتحان دولتی واحد ریاضی با بالاترین امتیاز رتبه بندی می شود، اما متأسفانه درصد بسیار کمی از فارغ التحصیلان با در نظر گرفتن پیچیدگی آن بسیار زیاد، شروع به حل این کار می کنند. ما می خواهیم این افسانه را از بین ببریم و نشان دهیم که چگونه برخی از این کارها حل می شوند. در زیر آماری از عملکرد تکلیف C6 توسط فارغ التحصیلان مدرسه ای که در آزمون دولتی واحد ریاضی شرکت می کنند آورده شده است.

درصد عدد شروع به تکمیل کار C6 90.3% حل C6 برای 1 امتیاز %1236 حل C6 برای 2 امتیاز %269 حل C6 برای 3 امتیاز 0.097%727 حل C6 برای 4 امتیاز %123 امتیاز در امتیاز آزمون (2011) 4 امتیاز در فرم اولیه 24 امتیاز در فرم آزمون

تست بخش پذیری بر 11 (تئوری) برای اینکه یک عدد طبیعی بر 11 بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که مجموع جبری ارقام آن با علامت + گرفته شود، در صورتی که ارقام در مکان های فرد باشند (شروع با رقم واحد)، و با "-" گرفته می شود، اگر اعداد در مکان های زوج باشند، بر 11 تقسیم می شود.

استفاده از آزمون بخش پذیری بر 11 یک عدد بر 11 بخش پذیر است اگر و فقط در صورتی که اختلاف مجموع ارقام آن در مکان های فرد و زوج بر 11 بخش پذیر باشد. بیایید همه اعداد را پشت سر هم بنویسیم: در عدد نوشته شده ، تفاوت نشان داده شده در مجموع 5 است. ارقام 0، 2، 4، 6، 8 - در مکان های فرد هستند اعداد 1، 3، 5، 7، 9 - در مکان های زوج هستند ()+()=5

با جابجایی اعداد، فرض کنید 1 و 4، هر دو براکت را 3 افزایش می دهیم. و چون 2 براکت داریم، مقدار کل 6 افزایش می یابد. نتیجه یک عدد از تا است. ()+() =11 استفاده از آزمون بخش پذیری بر 11

برای به دست آوردن اعداد دیگر با توجه به وظیفه، کافی است یکی از جفت اعداد را با هم عوض کنید. هنگام تنظیم مجدد جفت ها، مجموع داخل پرانتز تغییر نمی کند، زیرا اعداد زوج در مکان های زوج می مانند و اعداد فرد در مکان های فرد باقی می مانند، بنابراین 3 کافی است: (; ;)

مسئله 2 (کاربرد دانش در مورد اعداد گویا) ساختار کسری اعشاری نامتناهی به صورت زیر است. قبل از نقطه اعشار یک عدد صفر است. بعد از کاما، اصطلاحات پیشرفت حسابی در یک ردیف (d – integer) نوشته می شود. موارد منفی، در صورت وجود، از ورودی به دست آمده حذف شده اند. نتیجه یک عدد گویا است. این شماره را پیدا کنید

اعداد گویا (نظریه) اعداد گویا عددی است که می تواند به صورت کسری نمایش داده شود، که در آن و اعداد صحیح هستند (m 0) اعداد گویا را فقط می توان با کسری متناهی اعشاری یا نامتناهی نشان داد. کسر تناوبی یک کسر اعشاری بی پایان است که در آن، با شروع از یک مکان خاص، فقط یک گروه معین از ارقام به صورت دوره ای تکرار می شود.

دنباله مسئله 4 همه اعضای دنباله متناهی اعداد طبیعی هستند. هر یک از اعضای این دنباله، با شروع از دوم، 14 برابر بزرگتر یا 14 برابر کوچکتر از قبلی است. مجموع تمام جمله های دنباله برابر است با A) آیا یک دنباله می تواند از دو جمله تشکیل شده باشد؟ ب) آیا یک دنباله می تواند از سه جمله تشکیل شده باشد؟ س) بیشترین تعداد عبارتی که یک دنباله می تواند داشته باشد چقدر است؟

س) بیشترین تعداد عبارتی که یک دنباله می تواند داشته باشد چقدر است؟ برای پیدا کردن بیشترین تعداد عبارت، باید عناصر کوچکترین ممکن باشد، مانند اعداد 1 و 14. چهار گزینه ممکن وجود دارد. 1)(14+1)+(14+1)…+(14+1)=7424 – تعداد عناصر زوج است، عنصر اول 14 است 2)14+(1+14)+(1+14) …+(1+ 14)=7424 – تعداد عناصر فرد است، عنصر اول 14 است 3) (1+14)+(1+14)...+(1+14)=7424 – تعداد عناصر زوج است، اولین عنصر 1 4)1+(14+1)+(14+1)...+(14+1)=7424 است -تعداد عناصر فرد است، عنصر اول 1 1 است، 3)(14+1)n=7424 2) 14+(1+14)n= (14+ 1)n=7424 بدیهی است گزینه های 1،3،4 15n= n= n=7423 مناسب نیستند. n=494.9(3) n=494 n=494.8(6) 2) در حالت دوم 494 جفت داریم (1+14) و عنصر اول 14 است. پاسخ:989

مسئله 5 حداقل و حداکثر قبل از هر یک از اعداد 3، 4، 5، و 14، 15، به طور دلخواه یک علامت مثبت یا منفی قرار داده می شود و پس از آن هر یک از اعداد حاصل از مجموعه اول به هر یک از اعداد حاصل اضافه می شود. مجموعه دوم، و سپس تمام 45 به دست آمده نتایج با هم جمع می شوند. کوچکترین مجموع مدول و بزرگترین جمعی که در نهایت می توان به دست آورد کدام است؟

0، یعنی عدد صحیح y: -2;-1;0. وقتی y=-2 باشد، معادله دوم جوابی ندارد. وقتی y=-1، x=-7 یا x=4. اما وقتی x = -7 باشد، اولین نابرابری برقرار نیست. برای y=0، x=2 یا" title="Solution: عصب I را در نظر بگیرید. نسبت به x مربع است و برای D>0 راه حل دارد، یعنی عدد صحیح y: -2;-1 در y=-2، معادله دوم در y=-1 یا x=-7 جواب نمی دهد" class="link_thumb"> 23 !}راه حل: عصب اول را در نظر بگیرید. نسبت به x مربع است و راه حلی برای D>0 دارد، یعنی عدد صحیح y: -2;-1;0. وقتی y=-2 باشد، معادله دوم جوابی ندارد. وقتی y=-1، x=-7 یا x=4. اما وقتی x = -7 باشد، اولین نابرابری برقرار نیست. وقتی y=0، x=2 یا x=-2. اما برای این مقادیر اولین نابرابری برقرار نیست. پاسخ: (4;-1). 0، یعنی عدد صحیح y: -2;-1;0. وقتی y=-2 باشد، معادله دوم جوابی ندارد. وقتی y=-1، x=-7 یا x=4. اما وقتی x = -7 باشد، اولین نابرابری برقرار نیست. وقتی y=0، x=2 یا "> 0، یعنی عدد صحیح y: -2;-1;0. وقتی y=-2، معادله دوم جوابی ندارد. وقتی y=-1، x=-7 یا x = 4. اما برای x = -7، نابرابری اول برای y = 0، x = -2 برقرار نیست، اما برای این مقادیر، نابرابری اول برقرار نیست )." > 0، یعنی عدد صحیح y: -2;-1;0. وقتی y=-2 باشد، معادله دوم جوابی ندارد. وقتی y=-1، x=-7 یا x=4. اما وقتی x = -7 باشد، اولین نابرابری برقرار نیست. برای y=0، x=2 یا" title="Solution: عصب I را در نظر بگیرید. نسبت به x مربع است و برای D>0 راه حل دارد، یعنی عدد صحیح y: -2;-1 در y=-2، معادله دوم در y=-1 یا x=-7 جواب نمی دهد"> title="راه حل: عصب اول را در نظر بگیرید. نسبت به x مربع است و راه حلی برای D>0 دارد، یعنی عدد صحیح y: -2;-1;0. وقتی y=-2 باشد، معادله دوم جوابی ندارد. وقتی y=-1، x=-7 یا x=4. اما وقتی x = -7 باشد، اولین نابرابری برقرار نیست. وقتی y=0، x=2 یا"> !}