خواص ریشه یک عدد غیر منفی چگونه جذر را پیدا کنیم؟ خواص، نمونه هایی از استخراج ریشه

درس و ارائه در مورد موضوع:
"ویژگی های جذر. فرمول ها. مثال هایی از راه حل ها، مسائل با پاسخ"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، نقدها، خواسته های خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس 8
کتاب درسی تعاملی هندسه در 10 دقیقه برای پایه هشتم
مجتمع آموزشی "1C: مدرسه. هندسه، کلاس 8"

خواص جذر

ما به مطالعه ریشه های مربع ادامه می دهیم. امروز به خواص اساسی ریشه ها خواهیم پرداخت. تمام ویژگی‌های اولیه بصری هستند و با تمام عملیات‌هایی که قبلا انجام داده‌ایم سازگار هستند.

خاصیت 1. جذر حاصل ضرب دو عدد غیرمنفی برابر است با حاصل ضرب جذر این اعداد: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

مرسوم است که هر خاصیت را ثابت کنیم، انجام دهیم.
اجازه دهید $\sqrt(a*b)=x$، $\sqrt(a)=y$، $\sqrt(b)=z$. سپس باید ثابت کنیم که $x=y*z$.
بیایید هر عبارت را مربع کنیم.
اگر $\sqrt(a*b)=x$، آنگاه $a*b=x^2$.
اگر $\sqrt(a)=y$، $\sqrt(b)=z$، سپس هر دو عبارت را مربع کنیم، دریافت می کنیم: $a=y^2$، $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$، یعنی $x^2=(y*z)^2$. اگر مجذور دو عدد غیر منفی با هم برابر باشند، خود اعداد با هم برابرند، که باید ثابت شود.

از ویژگی ما چنین است که، برای مثال، $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

یادداشت 1. این خاصیت در موردی نیز صادق است که بیش از دو عامل غیرمنفی در زیر ریشه وجود داشته باشد.
ملک 2. اگر $a≥0$ و $b>0$، آنگاه برابری زیر برقرار است: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

یعنی ریشه نصاب برابر با نصاب ریشه است.
اثبات
بیایید از جدول استفاده کنیم و دارایی خود را به طور خلاصه اثبات کنیم.

نمونه هایی از استفاده از خواص ریشه های مربع

مثال 1.
محاسبه: $\sqrt(81*25*121)$.

راه حل.
البته می توانیم ماشین حساب بگیریم، تمام اعداد زیر ریشه را ضرب کرده و عملیات استخراج جذر را انجام دهیم. و اگر ماشین حساب در دست ندارید، چه کاری باید انجام دهید؟
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
جواب: 495.

مثال 2. محاسبه کنید: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

راه حل.
بیایید عدد رادیکال را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهیم: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) دلار.
بیایید از ویژگی 2 استفاده کنیم.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3.4 دلار
پاسخ: 3.4.

مثال 3.
محاسبه: $\sqrt(40^2-24^2)$.

راه حل.
ما می توانیم بیان خود را مستقیماً ارزیابی کنیم، اما تقریباً همیشه می توان آن را ساده کرد. بیایید سعی کنیم این کار را انجام دهیم.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
بنابراین، $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
جواب: 32.

بچه ها لطفا توجه داشته باشید که هیچ فرمولی برای عملیات جمع و تفریق عبارات رادیکال وجود ندارد و عبارات ارائه شده در زیر صحیح نیستند.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

مثال 4.
محاسبه کنید: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; ب) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
راه حل.
ویژگی های ارائه شده در بالا هم از چپ به راست و هم به ترتیب معکوس کار می کنند، یعنی:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
با استفاده از این، بیایید مثال خود را حل کنیم.
الف) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

ب) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

جواب: الف) 16; ب) 2.

ملک 3. اگر $a≥0$ و n یک عدد طبیعی باشد، تساوی برقرار است: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

مثلا. $\sqrt(a^(16))=a^8$، $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ و غیره.

مثال 5.
محاسبه کنید: $\sqrt(129600)$.

راه حل.
عدد ارائه شده به ما بسیار بزرگ است، اجازه دهید آن را به عوامل اول تقسیم کنیم.
ما دریافت کردیم: $129600=5^2*2^6*3^4$ یا $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360 دلار.
جواب: 360.

مشکلاتی که باید مستقل حل شوند

1. محاسبه کنید: $\sqrt(144*36*64)$.
2. محاسبه کنید: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. محاسبه کنید: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. محاسبه کنید:
الف) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
ب) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

در درس قبل فهمیدیم که جذر چیست. وقت آن است که بفهمیم کدام یک وجود دارند فرمول های ریشهچه هستند خواص ریشهو با این همه چه می توان کرد.

فرمول های ریشه ها، خواص ریشه ها و قوانین کار با ریشه ها- این اساساً همان چیز است. به طور شگفت انگیزی فرمول های کمی برای ریشه های مربع وجود دارد. که قطعا من را خوشحال می کند! یا بهتر است بگوییم، می توانید فرمول های مختلف زیادی بنویسید، اما برای کار عملی و مطمئن با ریشه، تنها سه فرمول کافی است. همه چیز دیگر از این سه سرچشمه می گیرد. اگرچه بسیاری از افراد در سه فرمول ریشه گیج می شوند، بله...

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم. او اینجاست:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

خواص ریشه های مربع

تا کنون پنج عمل حسابی روی اعداد انجام داده ایم: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توان، و در محاسبات از ویژگی های مختلف این عملیات به طور فعال استفاده شده است، به عنوان مثال a + b = b + a، an-bn = (ab)n و غیره.

این فصل یک عملیات جدید را معرفی می کند - گرفتن جذر یک عدد غیر منفی. برای استفاده موفقیت آمیز از آن باید با ویژگی های این عملیات آشنا شوید که در این قسمت انجام خواهیم داد.

اثبات اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="برابری" width="120" height="25 id=">!}.

این دقیقاً چگونه قضیه بعدی را فرموله می کنیم.

(فرمول کوتاهی که در عمل راحت تر است: ریشه یک کسر برابر با کسری ریشه است یا ریشه ضریب برابر با ضریب ریشه است.)

این بار فقط خلاصه مختصری از برهان را بیان می‌کنیم و شما سعی می‌کنید نظرات مناسبی مشابه آنچه که جوهر اثبات قضیه 1 را تشکیل می‌دهند، ارائه دهید.

نکته 3. البته، این مثال را می توان متفاوت حل کرد، به خصوص اگر یک ریزماشین حساب در دست داشته باشید: اعداد 36، 64، 9 را ضرب کنید و سپس جذر حاصل را بگیرید. با این حال، شما موافقت خواهید کرد که راه حل پیشنهادی در بالا فرهنگی تر به نظر می رسد.

تبصره 4. در روش اول، ما محاسبات را "هدر رو" انجام دادیم. راه دوم زیباتر است:
ما درخواست دادیم فرمول a2 - b2 = (a - b) (a + b) و از خاصیت جذر استفاده کرد.

تبصره 5. برخی از "سرهای داغ" گاهی اوقات این "راه حل" را برای مثال 3 ارائه می دهند:

البته این درست نیست: می بینید - نتیجه مانند مثال 3 نیست. واقعیت این است که هیچ خاصیتی وجود ندارد. https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task" width="148" height="26 id=">!}فقط خواص مربوط به ضرب و تقسیم ریشه های مربع وجود دارد. مواظب و مواظب باشید، خیال بافی نکنید.

برای پایان دادن به این بخش، اجازه دهید به یک ویژگی بسیار ساده و در عین حال مهم توجه کنیم:
اگر a > 0 و n - عدد طبیعی، آن

تبدیل عبارات حاوی عملیات ریشه مربع

تا به حال فقط دگرگونی انجام داده ایم عبارات منطقیبا استفاده از قوانین عملیات چند جمله ای ها و کسرهای جبری، فرمول های ضرب اختصاری و غیره. در این فصل، عملیات جدیدی را معرفی کردیم - عملیات استخراج جذر. ما آن را ایجاد کرده ایم

که در آن، به یاد بیاورید، a، b اعداد غیر منفی هستند.

با استفاده از اینها فرمول ها، می توانید تبدیل های مختلفی را روی عباراتی که دارای عملیات ریشه مربع هستند انجام دهید. بیایید به چندین مثال نگاه کنیم، و در همه مثال‌ها فرض می‌کنیم که متغیرها فقط مقادیر غیر منفی می‌گیرند.

مثال 3.ضریب را زیر علامت جذر وارد کنید:

مثال 6. عبارت Solution را ساده کنید. بیایید تبدیل های متوالی را انجام دهیم:

واقعیت 1.
\(\bullet\) بیایید مقداری غیر منفی \(a\) (یعنی \(a\geqslant 0\)) بگیریم. سپس (حساب) ریشه دوماز عدد \(a\) چنین عدد غیر منفی \(b\) نامیده می شود، وقتی مربع شود عدد \(a\) را می گیریم: \[\sqrt a=b\quad \text(همانند)\quad a=b^2\]از تعریف بر می آید که \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). این محدودیت ها شرط مهمی برای وجود جذر است و باید به خاطر داشت!
به یاد بیاورید که هر عددی که مجذور شود یک نتیجه غیر منفی می دهد. یعنی \(100^2=10000\geqslant 0\) و \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) برابر چیست؟ می دانیم که \(5^2=25\) و \((-5)^2=25\) . از آنجایی که طبق تعریف باید یک عدد غیر منفی پیدا کنیم، پس \(-5\) مناسب نیست، بنابراین، \(\sqrt(25)=5\) (از آنجا که \(25=5^2\) ).
یافتن مقدار \(\sqrt a\) را گرفتن جذر عدد \(a\) و عدد \(a\) را عبارت رادیکال می نامند.
\(\bullet\) بر اساس تعریف، عبارت \(\sqrt(-25)\)، \(\sqrt(-4)\) و غیره. منطقی نیست

واقعیت 2.
برای محاسبات سریع، یادگیری جدول مربع های اعداد طبیعی از \(1\) تا \(20\) مفید خواهد بود: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end(آرایه)\]

واقعیت 3.
چه عملیاتی را می توان با ریشه های مربع انجام داد؟
\(\گلوله\) مجموع یا اختلاف ریشه های مربع با جذر مجموع یا تفاوت برابر نیست، یعنی \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]بنابراین، اگر برای مثال نیاز به محاسبه \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) دارید، ابتدا باید مقادیر \(\sqrt(25)\) و \(\ را پیدا کنید. sqrt(49)\ ) و سپس آنها را تا کنید. از این رو، \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] اگر مقادیر \(\sqrt a\) یا \(\sqrt b\) در هنگام اضافه کردن \(\sqrt a+\sqrt b\) یافت نشد، چنین عبارتی بیشتر تبدیل نمی شود و همانطور که هست باقی می ماند. برای مثال، در مجموع \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) می‌توانیم پیدا کنیم \(\sqrt(49)\) \(7\) است، اما \(\sqrt 2\) را نمی‌توان در به هر حال، به همین دلیل است \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). متأسفانه، این عبارت را نمی توان بیشتر ساده کرد\(\bullet\) حاصل ضرب/ضریب ریشه های مربع برابر است با جذر حاصلضرب/ضریب، یعنی \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (مشروط بر اینکه دو طرف برابری معنا داشته باشد)
مثال: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) با استفاده از این ویژگی ها، یافتن ریشه های مربع اعداد بزرگ با فاکتورگیری آنها راحت است.
بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید \(\sqrt(44100)\) را پیدا کنیم. از آنجایی که \(44100:100=441\) ، سپس \(44100=100\cdot 441\) . با توجه به معیار تقسیم پذیری عدد \(441\) بر \(9\) بخش پذیر است (چون مجموع ارقام آن 9 است و بر 9 بخش پذیر است) بنابراین \(441:9=49\) یعنی \(441=9\ cdot 49\) .
بنابراین ما دریافتیم: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3)) = \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) بیایید نحوه وارد کردن اعداد زیر علامت ریشه مربع را با استفاده از مثال عبارت \(5\sqrt2\) (نشان کوتاه برای عبارت \(5\cdot \sqrt2\)) نشان دهیم. از آنجایی که \(5=\sqrt(25)\) پس \ همچنین توجه داشته باشید که برای مثال،
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

چرا اینطور است؟ بیایید با استفاده از مثال 1 توضیح دهیم). همانطور که قبلاً فهمیدید، ما نمی توانیم به نحوی عدد \(\sqrt2\) را تغییر دهیم. بیایید تصور کنیم که \(\sqrt2\) مقداری \(a\) است. بر این اساس، عبارت \(\sqrt2+3\sqrt2\) چیزی بیش از \(a+3a\) نیست (یک عدد \(a\) به اضافه سه عدد دیگر از همان اعداد \(a\)). و می دانیم که این برابر با چهار عدد از جمله \(a\) است، یعنی \(4\sqrt2\) .

واقعیت 4.
\(\bullet\) وقتی نمی‌توانید علامت \(\sqrt () \\) ریشه (رادیکال) را هنگام پیدا کردن مقدار یک عدد از بین ببرید، اغلب می‌گویند "شما نمی‌توانید ریشه را استخراج کنید". . به عنوان مثال، می توانید ریشه عدد \(16\) را بگیرید زیرا \(16=4^2\) , بنابراین \(\sqrt(16)=4\) . اما استخراج ریشه عدد \(3\)، یعنی پیدا کردن \(\sqrt3\) غیرممکن است، زیرا هیچ عددی وجود ندارد که مربع آن \(3\) را بدهد.
چنین اعدادی (یا عباراتی با چنین اعدادی) غیر منطقی هستند. مثلا اعداد \(\sqrt3، \ 1+\sqrt2، \ \sqrt(15)\)و غیره غیر منطقی هستند
همچنین اعداد \(\pi\) (عدد "pi" تقریباً برابر با \(3.14\))، \(e\) غیر منطقی هستند (این عدد را عدد اویلر می نامند ، تقریباً برابر است با \(2.7 \)) و غیره.
\(\bullet\) لطفاً توجه داشته باشید که هر عددی یا گویا یا غیرمنطقی خواهد بود. و همه اعداد گویا و غیر منطقی با هم مجموعه ای به نام را تشکیل می دهند مجموعه ای از اعداد واقعیاین مجموعه با حرف \(\mathbb(R)\) نشان داده می شود.
این بدان معنی است که تمام اعدادی که در حال حاضر می شناسیم، اعداد واقعی نامیده می شوند.

واقعیت 5.
\(\bullet\) مدول یک عدد واقعی \(a\) یک عدد غیر منفی \(|a|\) برابر با فاصله از نقطه \(a\) تا \(0\) در خط واقعی برای مثال، \(|3|\) و \(|-3|\) برابر با 3 هستند، زیرا فاصله از نقاط \(3\) و \(-3\) تا \(0\) برابر است. یکسان و برابر با \(3 \) .
\(\bullet\) اگر \(a\) یک عدد غیر منفی است، آنگاه \(|a|=a\) .
مثال: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) اگر \(a\) یک عدد منفی است، آنگاه \(|a|=-a\) .
مثال: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
آنها می گویند که برای اعداد منفی، مدول منهای را "می خورد"، در حالی که اعداد مثبت و همچنین عدد \(0\) توسط مدول بدون تغییر باقی می مانند.
ولیاین قانون فقط برای اعداد اعمال می شود. اگر در زیر علامت مدول شما یک ناشناخته \(x\) (یا یک مجهول دیگر) مثلا \(|x|\) وجود دارد که نمی دانیم مثبت، صفر یا منفی است، پس خلاص شوید. از مدول ما نمی توانیم. در این حالت، این عبارت ثابت می ماند: \(|x|\) . \(\bullet\) فرمول های زیر برقرار است: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a))، \text( ارائه شده ) a\geqslant 0\]خیلی اوقات اشتباه زیر انجام می شود: آنها می گویند \(\sqrt(a^2)\) و \((\sqrt a)^2\) یکی هستند. این تنها زمانی درست است که \(a\) یک عدد مثبت یا صفر باشد. اما اگر \(a\) یک عدد منفی باشد، این نادرست است. توجه به این مثال کافی است. بیایید به جای \(a\) عدد \(-1\) را در نظر بگیریم. سپس \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\)، اما عبارت \((\sqrt (-1))^2\) اصلا وجود ندارد (بالاخره، غیرممکن است که در زیر علامت ریشه اعداد منفی قرار دهید!).
بنابراین توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که \(\sqrt(a^2)\) برابر با \((\sqrt a)^2\) نیست!مثال: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)، زیرا \(-\sqrt2<0\) ;

\(\فانتوم(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) از آنجایی که \(\sqrt(a^2)=|a|\) , سپس \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (عبارت \(2n\) یک عدد زوج را نشان می دهد)
یعنی هنگام گرفتن ریشه عددی که تا حدی است، این درجه نصف می شود.
مثال:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (توجه داشته باشید که اگر ماژول ارائه نشده باشد، معلوم می شود که ریشه عدد برابر است با \(-25\ ) اما ما به یاد داریم که طبق تعریف ریشه این اتفاق نمی افتد: هنگام استخراج ریشه، همیشه باید یک عدد مثبت یا صفر بدست آوریم)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (زیرا هر عددی به توان زوج غیرمنفی است)

واقعیت 6.
چگونه دو ریشه مربع را با هم مقایسه کنیم؟
\(\bullet\) برای ریشه های مربع درست است: اگر \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aمثال:
1) \(\sqrt(50)\) و \(6\sqrt2\) را مقایسه کنید. اول، اجازه دهید عبارت دوم را به \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). بنابراین، از زمانی که \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) بین چه اعداد صحیحی قرار دارد؟
از آنجایی که \(\sqrt(49)=7\) ، \(\sqrt(64)=8\) و \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) بیایید \(\sqrt 2-1\) و \(0.5\) را با هم مقایسه کنیم. بیایید فرض کنیم که \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(تراز شده) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((یکی را به هر دو طرف اضافه کنید))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((مربع هر دو طرف))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end (تراز شده)\]می بینیم که یک نابرابری نادرست به دست آورده ایم. بنابراین، فرض ما نادرست بود و \(\sqrt 2-1<0,5\) .
توجه داشته باشید که افزودن یک عدد معین به دو طرف نامساوی تاثیری بر علامت آن ندارد. ضرب/تقسیم هر دو طرف نامساوی بر عدد مثبت نیز بر علامت آن تاثیری ندارد، اما ضرب/تقسیم در عدد منفی علامت نامساوی را معکوس می‌کند!
فقط در صورتی می توانید هر دو طرف یک معادله/نابرابری را مربع کنید. به عنوان مثال، در نابرابری مثال قبلی، می توانید هر دو طرف را مربع کنید، در نابرابری \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) باید به خاطر داشت که \[\شروع (تراز شده) &\sqrt 2\حدود 1.4\\ &\sqrt 3\حدود 1.7 \پایان (تراز شده)\]دانستن معنای تقریبی این اعداد به شما در مقایسه اعداد کمک می کند! \(\bullet\) برای استخراج ریشه (اگر بتوان آن را استخراج کرد) از تعداد زیادی که در جدول مربع ها نیست، ابتدا باید تعیین کنید که بین کدام "صدها" قرار دارد، سپس - بین کدام " ده ها» و سپس آخرین رقم این عدد را مشخص کنید. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار می کند.
بیایید \(\sqrt(28224)\) را در نظر بگیریم. ما می دانیم که \(100^2=10\,000\)، \(200^2=40\,000\) و غیره. توجه داشته باشید که \(28224\) بین \(10\,000\) و \(40\,000\) است. بنابراین، \(\sqrt(28224)\) بین \(100\) و \(200\) است.
حالا بیایید تعیین کنیم که عدد ما بین کدام "ده ها" قرار دارد (به عنوان مثال، بین \(120\) و \(130\)). همچنین از جدول مربع ها می دانیم که \(11^2=121\) , \(12^2=144\) و غیره، سپس \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) ، \(130^2=16900\) ، \(140^2=19600\) ، \(150^2=22500\) ، \(160^2=25600\) ، \(170^2=28900 \ ) . بنابراین می بینیم که \(28224\) بین \(160^2\) و \(170^2\) است. بنابراین، عدد \(\sqrt(28224)\) بین \(160\) و \(170\) است.
بیایید سعی کنیم رقم آخر را تعیین کنیم. بیایید به یاد بیاوریم که در انتها چه اعداد تک رقمی، وقتی که مربع می شوند، \(4\) می دهند؟ اینها \(2^2\) و \(8^2\) هستند. بنابراین، \(\sqrt(28224)\) به 2 یا 8 ختم می شود. بیایید این را بررسی کنیم. بیایید \(162^2\) و \(168^2\) را پیدا کنیم:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
بنابراین، \(\sqrt(28224)=168\) . وویلا!

برای حل مناسب آزمون دولتی واحد در ریاضیات، ابتدا باید مطالب نظری را مطالعه کنید، که شما را با قضایای متعدد، فرمول ها، الگوریتم ها و غیره آشنا می کند. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این بسیار ساده است. با این حال، یافتن منبعی که در آن تئوری آزمون دولتی واحد در ریاضیات به روشی آسان و قابل درک برای دانش‌آموزان با هر سطح آموزشی ارائه شود، در واقع کار نسبتاً دشواری است. کتاب های درسی مدرسه را نمی توان همیشه در دسترس داشت. و یافتن فرمول های اساسی برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات می تواند حتی در اینترنت دشوار باشد.

چرا مطالعه تئوری در ریاضیات نه تنها برای کسانی که در آزمون یکپارچه دولتی شرکت می کنند، بسیار مهم است؟

1. زیرا افق دید شما را گسترده تر می کند. مطالعه مطالب نظری در ریاضیات برای هر کسی که می خواهد به طیف گسترده ای از سؤالات مربوط به دانش دنیای اطراف خود پاسخ دهد مفید است. همه چیز در طبیعت منظم است و منطق روشنی دارد. این دقیقاً همان چیزی است که در علم منعکس شده است و از طریق آن می توان جهان را درک کرد.
2. زیرا باعث رشد هوش می شود. با مطالعه مواد مرجع برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات، و همچنین حل مسائل مختلف، فرد یاد می گیرد که به طور منطقی فکر کند و استدلال کند، افکار را به طور شایسته و واضح فرموله کند. او توانایی تجزیه و تحلیل، تعمیم و نتیجه گیری را توسعه می دهد.

ما از شما دعوت می کنیم تا شخصاً تمام مزایای رویکرد ما در سیستم سازی و ارائه مطالب آموزشی را ارزیابی کنید.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.