حل معادله دیفرانسیل به چه معناست؟ معادلات دیفرانسیل

یا قبلاً با توجه به مشتق حل شده اند یا می توان آنها را با توجه به مشتق حل کرد. .

حل کلی معادلات دیفرانسیل از نوع بر روی بازه ایکسرا می توان با گرفتن انتگرال هر دو طرف این برابری پیدا کرد.

ما گرفتیم .

اگر به خواص انتگرال نامعین نگاه کنیم، جواب کلی مورد نظر را پیدا می کنیم:

y = F(x) + C,

جایی که F(x)- یکی از توابع اولیه f(x)در بین ایکس، آ با- ثابت دلخواه

لطفا توجه داشته باشید که در اکثر مشکلات فاصله ایکسنشان نمی دهد. یعنی باید برای همه راه حلی پیدا کرد. ایکس، برای کدام و تابع مورد نظر y، و معادله اصلی معنا پیدا می کند.

اگر شما نیاز به محاسبه یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل دارید که شرایط اولیه را برآورده می کند y (x 0) = y 0، سپس پس از محاسبه انتگرال عمومی y = F(x) + C، هنوز باید مقدار ثابت را تعیین کرد C = C 0، با استفاده از شرایط اولیه. یعنی یک ثابت C = C 0از معادله تعیین می شود F(x 0) + C = y 0و حل جزئی مورد نظر معادله دیفرانسیل به شکل زیر خواهد بود:

y = F(x) + C 0.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

بیایید یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل پیدا کنیم و صحت نتیجه را بررسی کنیم. اجازه دهید راه حل خاصی برای این معادله پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند.

راه حل:

پس از ادغام معادله دیفرانسیل داده شده، به دست می آید:

.

بیایید این انتگرال را با استفاده از روش ادغام با قطعات در نظر بگیریم:

که.، یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل است.

برای اطمینان از صحت نتیجه، بیایید بررسی کنیم. برای انجام این کار، راه حلی را که پیدا کردیم در معادله داده شده جایگزین می کنیم:

.

آن موقع است که معادله اصلی به یک هویت تبدیل می شود:

بنابراین، حل کلی معادله دیفرانسیل به درستی تعیین شد.

راه حلی که ما پیدا کردیم یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل برای هر مقدار واقعی آرگومان است ایکس.

باقی مانده است که یک راه حل خاص برای ODE محاسبه شود که شرایط اولیه را برآورده کند. به عبارت دیگر، محاسبه مقدار ثابت ضروری است با، که در آن برابری صادق خواهد بود:

.

.

سپس، جایگزینی C = 2در حل کلی ODE، یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل به دست می آوریم که شرایط اولیه را برآورده می کند:

.

معادله دیفرانسیل معمولی برای مشتق می توان با تقسیم دو طرف معادله بر f(x). این تبدیل معادل خواهد بود اگر f(x)تحت هیچ شرایطی به صفر نمی رسد ایکساز فاصله ادغام معادله دیفرانسیل ایکس.

به احتمال زیاد موقعیت هایی وجود دارد که برای برخی از مقادیر استدلال وجود دارد ایکس ∈ ایکسکارکرد f(x)و g(x)به طور همزمان صفر می شوند. برای مقادیر مشابه ایکسجواب کلی معادله دیفرانسیل هر تابعی است y، که در آنها تعریف شده است، زیرا .

اگر برای برخی از مقادیر آرگومان ایکس ∈ ایکسشرط برآورده است، به این معنی که در این مورد ODE هیچ راه حلی ندارد.

برای بقیه ایکساز فاصله ایکسحل کلی معادله دیفرانسیل از معادله تبدیل شده تعیین می شود.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

مثال 1.

بیایید یک راه حل کلی برای ODE پیدا کنیم: .

راه حل.

از خصوصیات توابع ابتدایی اولیه مشخص است که تابع لگاریتم طبیعی برای مقادیر غیر منفی آرگومان تعریف شده است، بنابراین دامنه تعریف عبارت ln(x+3)فاصله وجود دارد ایکس > -3 . این بدان معنی است که معادله دیفرانسیل داده شده برای آن معنا دارد ایکس > -3 . برای این مقادیر آرگومان، عبارت x+3ناپدید نمی شود، بنابراین می توانید ODE را برای مشتق با تقسیم 2 قسمت بر حل کنید x + 3.

ما گرفتیم .

در مرحله بعد، معادله دیفرانسیل حاصل را با توجه به مشتق حل شده ادغام می کنیم: . برای گرفتن این انتگرال، از روش جمع کردن علامت دیفرانسیل استفاده می کنیم.

معادلات دیفرانسیل (DE). این دو کلمه معمولاً افراد عادی را به وحشت می اندازد. به نظر می رسد معادلات دیفرانسیل برای بسیاری از دانش آموزان امری بازدارنده و دشوار است. اووووو... معادلات دیفرانسیل، چطور میتونم از این همه جان سالم به در ببرم؟!

این نظر و این نگرش اساساً اشتباه است، زیرا در واقع معادلات دیفرانسیل - ساده و حتی سرگرم کننده است. برای یادگیری نحوه حل معادلات دیفرانسیل چه چیزهایی باید بدانید و بتوانید انجام دهید؟ برای مطالعه موفقیت آمیز دیفیوزها، باید در ادغام و تمایز خوب باشید. هر چه موضوعات بهتر مطالعه شوند مشتق تابع یک متغیرو انتگرال نامعین، درک معادلات دیفرانسیل آسان تر خواهد بود. بیشتر می گویم، اگر مهارت های یکپارچه سازی کم و بیش مناسبی دارید، پس موضوع تقریباً مسلط شده است! هرچه انتگرال های بیشتری از انواع مختلف را بتوانید حل کنید، بهتر است. چرا؟ زیرا شما مجبور خواهید بود خیلی چیزها را ادغام کنید. و متمایز کردن. همچنین به شدت توصیه می شودپیدا کردن را یاد بگیر مشتق تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است.

در 95% موارد، اوراق تست شامل 3 نوع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است: معادلات با متغیرهای قابل تفکیک، که در این درس به آنها خواهیم پرداخت. معادلات همگنو معادلات ناهمگن خطی. برای کسانی که شروع به مطالعه دیفیوزرها می کنند، به شما توصیه می کنم که درس ها را به این ترتیب مطالعه کنند. حتی انواع نادری از معادلات دیفرانسیل وجود دارد: معادلات در دیفرانسیل کل, معادلات برنولیو برخی دیگر مهمترین دو نوع آخر معادلات در دیفرانسیل کل است، زیرا علاوه بر این معادله دیفرانسیل، مواد جدید - انتگرال گیری جزئی را در نظر دارم.

ابتدا بیایید معادلات معمول را به خاطر بسپاریم. آنها حاوی متغیرها و اعداد هستند. ساده ترین مثال: . حل یک معادله معمولی به چه معناست؟ این یعنی پیدا کردن مجموعه ای از اعداد، که این معادله را برآورده می کند. به راحتی می توان متوجه شد که معادله کودکان یک ریشه دارد: . فقط برای سرگرمی، بیایید ریشه پیدا شده را بررسی کرده و در معادله خود جایگزین کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

دیفیوزرها تقریباً به همین شکل طراحی شده اند!

معادله دیفرانسیل سفارش اول, شامل:
1) متغیر مستقل؛
2) متغیر وابسته (تابع)؛
3) اولین مشتق تابع: .

در برخی موارد، معادله مرتبه اول ممکن است فاقد "x" و/یا "y" باشد - مهمبرای رفتن به اتاق کنترل بودمشتق اول، و نداشتمشتقات مرتبه بالاتر – و غیره

یعنی چی؟حل معادله دیفرانسیل یعنی پیدا کردن بسیاری از توابع، که این معادله را برآورده می کند. این مجموعه از توابع نامیده می شود حل کلی معادله دیفرانسیل.

مثال 1

حل معادله دیفرانسیل

مهمات کامل حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول را از کجا شروع کنیم؟

اول از همه، شما باید مشتق را به شکل کمی متفاوت بازنویسی کنید. بیایید نماد دست و پا گیر برای مشتق را به یاد بیاوریم: . این نام گذاری برای مشتق احتمالاً برای بسیاری از شما مضحک و غیر ضروری به نظر می رسید، اما این چیزی است که در دیفیوزرها حاکم است!

بنابراین، در مرحله اول مشتق را به شکلی که نیاز داریم بازنویسی می کنیم:

در مرحله دوم همیشهببینیم ممکنه متغیرهای جداگانه؟تفکیک متغیرها به چه معناست؟ به طور کلی، در سمت چپما باید ترک کنیم فقط "یونانی ها"، آ در سمت راستسازمان دادن فقط "X". تقسیم بندی متغیرها با استفاده از دستکاری های "مدرسه" انجام می شود: قرار دادن آنها در داخل پرانتز، انتقال اصطلاحات از قسمتی به قسمت دیگر با تغییر علامت، انتقال عوامل از بخشی به قسمت بر اساس قاعده تناسب و غیره.

دیفرانسیل و ضریب کامل و شرکت کننده فعال در خصومت ها هستند. در مثال مورد بررسی، متغیرها به راحتی با کنار زدن عوامل بر اساس قاعده تناسب از هم جدا می شوند:

متغیرها از هم جدا می شوند. در سمت چپ فقط "Y" وجود دارد، در سمت راست - فقط "X".

مرحله بعد - ادغام معادله دیفرانسیل. ساده است، ما انتگرال ها را در هر دو طرف قرار می دهیم:

البته باید انتگرال بگیریم. در این مورد آنها به صورت جدولی هستند:

همانطور که به یاد داریم، یک ثابت به هر پاد مشتق اختصاص داده می شود. در اینجا دو انتگرال وجود دارد، اما کافی است ثابت را یک بار بنویسیم. تقریباً همیشه به سمت راست اختصاص داده می شود.

به بیان دقیق، پس از گرفتن انتگرال ها، معادله دیفرانسیل حل شده در نظر گرفته می شود. تنها چیزی که وجود دارد این است که "y" ما از طریق "x" بیان نمی شود، یعنی راه حل ارائه می شود به صورت ضمنیفرم. حل معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی نامیده می شود انتگرال کلی معادله دیفرانسیل. یعنی این یک انتگرال کلی است.

اکنون باید سعی کنیم یک راه حل کلی پیدا کنیم، یعنی سعی کنیم تابع را به طور صریح نشان دهیم.

لطفا تکنیک اول را به خاطر بسپارید، این تکنیک بسیار رایج است و اغلب در کارهای عملی استفاده می شود. هنگامی که یک لگاریتم پس از ادغام در سمت راست ظاهر می شود، تقریباً همیشه توصیه می شود که ثابت را زیر لگاریتم نیز بنویسید.

به این معنا که، بجایمدخل ها معمولا نوشته می شوند .

در اینجا همان ثابت تمام عیار است. چرا این لازم است؟ و به منظور سهولت در بیان "بازی". ما از ویژگی مدرسه لگاریتم استفاده می کنیم: . در این مورد:

اکنون لگاریتم ها و مدول ها را می توان با وجدان راحت از هر دو قسمت حذف کرد:

تابع به صراحت ارائه شده است. این راه حل کلی است.

بسیاری از ویژگی ها یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل است.

با دادن مقادیر مختلف ثابت، می توانید تعداد نامتناهی بدست آورید راه حل های خصوصیمعادله دیفرانسیل. هر یک از توابع، و غیره معادله دیفرانسیل را برآورده خواهد کرد.

گاهی اوقات راه حل کلی نامیده می شود خانواده توابع. در این مثال، راه حل کلی خانواده ای از توابع خطی یا به طور دقیق تر، خانواده ای از تناسب مستقیم است.

آزمایش بسیاری از معادلات دیفرانسیل بسیار آسان است. این کار خیلی ساده انجام می شود، راه حل پیدا شده را می گیریم و مشتق را پیدا می کنیم:

حل خود و مشتق یافت شده را به معادله اصلی جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است. به عبارت دیگر، جواب کلی معادله را برآورده می کند.

پس از بررسی کامل مثال اول، مناسب است به چندین سوال ساده در مورد معادلات دیفرانسیل پاسخ دهیم.

1)در این مثال توانستیم متغیرها را از هم جدا کنیم: . آیا می توان این کار را همیشه انجام داد؟نه همیشه نه و حتی بیشتر اوقات، متغیرها قابل تفکیک نیستند. به عنوان مثال، در معادلات مرتبه اول همگن، ابتدا باید آن را تعویض کنید. در انواع دیگر معادلات، برای مثال، در یک معادله خطی مرتبه اول ناهمگن، برای یافتن یک راه حل کلی باید از تکنیک ها و روش های مختلفی استفاده کنید. معادلات با متغیرهای قابل تفکیک که در درس اول بررسی می کنیم، ساده ترین نوع معادلات دیفرانسیل هستند.

2) آیا همیشه امکان ادغام یک معادله دیفرانسیل وجود دارد؟نه همیشه نه به راحتی می توان معادله ای "فانتزی" به دست آورد که قابل ادغام نباشد. اما چنین DE ها را می توان تقریباً با استفاده از روش های خاص حل کرد. گارانتی دالامبر و کوشی. ...اگه، lurkmore.ru من الان خیلی خوندم.

3) در این مثال راه حلی به شکل یک انتگرال کلی به دست آوردیم . آیا همیشه می توان از یک انتگرال کلی یک راه حل کلی پیدا کرد، یعنی «y» را به صراحت بیان کرد؟نه همیشه نه مثلا: . خوب، چگونه می توانید "یونانی" را در اینجا بیان کنید؟! در این گونه موارد، پاسخ باید به صورت یک انتگرال کلی نوشته شود. علاوه بر این، گاهی اوقات می توان یک راه حل کلی پیدا کرد، اما آنقدر دست و پا گیر و ناشیانه نوشته شده است که بهتر است پاسخ را به صورت یک انتگرال کلی بگذاریم.

ما عجله نخواهیم کرد یک کنترل از راه دور ساده دیگر و یک راه حل معمولی دیگر.

مثال 2

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند

با توجه به شرایط، شما باید پیدا کنید راه حل خصوصی DE شرایط اولیه را برآورده می کند. به این صورت بندی سوال نیز گفته می شود مشکل کوشی.

ابتدا یک راه حل کلی پیدا می کنیم. هیچ متغیر "x" در معادله وجود ندارد، اما این نباید گیج شود، نکته اصلی این است که مشتق اول را دارد.

مشتق را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم:

بدیهی است که متغیرها را می توان از هم جدا کرد، پسران به چپ، دختران به راست:

بیایید معادله را یکپارچه کنیم:

انتگرال کلی به دست می آید. در اینجا من یک ثابت را با یک ستاره رسم کردم، واقعیت این است که خیلی زود به یک ثابت دیگر تبدیل می شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را به یک راه حل کلی تبدیل کنیم (y را به صراحت بیان کنید). بیایید چیزهای خوب قدیمی مدرسه را به یاد بیاوریم: . در این مورد:

ثابت موجود در اندیکاتور به نوعی نامطلوب به نظر می رسد، بنابراین معمولاً به زمین منتقل می شود. در جزئیات، به این صورت است که اتفاق می افتد. با استفاده از ویژگی درجه، تابع را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

اگر یک ثابت است، مقداری ثابت نیز وجود دارد که آن را با حرف نشان می دهیم:

"حمل کردن" ثابت را به خاطر بسپارید، این دومین تکنیکی است که اغلب برای حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.

بنابراین، راه حل کلی این است: . این یک خانواده خوب از توابع نمایی است.

در مرحله نهایی، باید راه حل خاصی را پیدا کنید که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند. این هم ساده است.

تکلیف چیست؟ نیاز به برداشتن چنینمقدار یک ثابت به طوری که شرط اولیه مشخص شده برآورده شود.

می توان آن را به روش های مختلف قالب بندی کرد، اما این احتمالا واضح ترین راه خواهد بود. در جواب کلی، به جای «X» یک صفر و به جای «Y» دو را جایگزین می کنیم:



به این معنا که،

نسخه طراحی استاندارد:

مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم:
- این راه حل خاصی است که ما نیاز داریم.

بیایید بررسی کنیم. بررسی یک راه حل خصوصی شامل دو مرحله است.

ابتدا باید بررسی کنید که آیا راه حل خاص یافت شده واقعاً شرایط اولیه را برآورده می کند؟ به جای "X" یک صفر را جایگزین می کنیم و می بینیم چه اتفاقی می افتد:
- بله، شما واقعاً یک دو دریافت کردید، یعنی شرط اولیه برآورده شده است.

مرحله دوم از قبل آشناست. راه حل خاص حاصل را می گیریم و مشتق را پیدا می کنیم:

معادله اصلی را جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید.

نتیجه گیری: راه حل خاص به درستی پیدا شد.

بیایید به سراغ مثال های معنادارتری برویم.

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:مشتق را به شکلی که نیاز داریم بازنویسی می کنیم:

ما ارزیابی می کنیم که آیا امکان جداسازی متغیرها وجود دارد؟ می توان. عبارت دوم را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم:

و ضرایب را طبق قاعده تناسب انتقال می دهیم:

متغیرها از هم جدا هستند، بیایید هر دو بخش را ادغام کنیم:

باید به شما هشدار بدهم، روز قیامت نزدیک است. اگر خوب درس نخوانده اید انتگرال های نامعین، چند نمونه را حل کرده اید، پس جایی برای رفتن وجود ندارد - اکنون باید به آنها مسلط شوید.

انتگرال سمت چپ را می توان به راحتی پیدا کرد ادغام توابع مثلثاتیسال گذشته:

در سمت راست ما یک لگاریتم داریم، طبق اولین توصیه فنی من، در این مورد ثابت نیز باید زیر لگاریتم نوشته شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را ساده کنیم. از آنجایی که ما فقط لگاریتم داریم، خلاص شدن از شر آنها کاملاً ممکن (و ضروری) است. ما لگاریتم ها را تا حد امکان "بسته بندی" می کنیم. بسته بندی با استفاده از سه ویژگی انجام می شود:

لطفاً این سه فرمول را در کتاب کار خود کپی کنید.

راه حل را با جزئیات کامل شرح خواهم داد:

بسته بندی کامل است، لگاریتم ها را حذف کنید:

آیا می توان "بازی" را بیان کرد؟ می توان. لازم است هر دو قسمت مربع شود. اما شما نیازی به انجام این کار ندارید.

نکته فنی سوم:اگر برای به دست آوردن یک راه حل کلی لازم است که به یک قدرت برسیم یا ریشه بگیریم، پس در بیشتر مواردباید از این اقدامات خودداری کنید و پاسخ را در قالب یک انتگرال کلی بگذارید. واقعیت این است که راه حل کلی پرمدعا و وحشتناک به نظر می رسد - با ریشه های بزرگ، علائم.

بنابراین پاسخ را به صورت انتگرال کلی می نویسیم. ارائه انتگرال کلی به شکل، یعنی در سمت راست، در صورت امکان، فقط یک ثابت باقی بماند، عمل خوبی در نظر گرفته می شود. انجام این کار ضروری نیست، اما خوشحال کردن استاد همیشه مفید است ;-)

پاسخ:انتگرال عمومی:

توجه داشته باشید:انتگرال کلی هر معادله ای را می توان به بیش از یک روش نوشت. بنابراین، اگر نتیجه شما با پاسخ شناخته شده قبلی مطابقت نداشته باشد، این بدان معنا نیست که معادله را اشتباه حل کرده اید.

بررسی انتگرال کلی نیز بسیار آسان است، نکته اصلی این است که بتوانیم پیدا کنیم مشتقات یک تابع به طور ضمنی مشخص شده است. بیایید پاسخ را متمایز کنیم:

هر دو عبارت را در ضرب می کنیم:

و تقسیم بر:

معادله دیفرانسیل اصلی دقیقا به دست آمده است، یعنی انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 4

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. اجازه دهید یادآوری کنم که مشکل کوشی شامل دو مرحله است:
1) یافتن راه حل کلی.
2) یافتن راه حلی خاص

بررسی نیز در دو مرحله انجام می‌شود (به مثال 2 نیز مراجعه کنید)، شما باید:
1) مطمئن شوید که راه حل خاص یافت شده واقعاً شرایط اولیه را برآورده می کند.
2) بررسی کنید که راه حل خاص به طور کلی معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مثال 5

یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل پیدا کنید ، ارضای شرایط اولیه. بررسی را انجام دهید.

راه حل:ابتدا بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم این معادله از قبل شامل دیفرانسیل های آماده است و بنابراین، راه حل ساده شده است. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید معادله را یکپارچه کنیم:

انتگرال سمت چپ جدولی است، انتگرال سمت راست گرفته شده است روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل:

انتگرال کلی به دست آمده است آیا می توان راه حل کلی را با موفقیت بیان کرد؟ می توان. لگاریتم ها را آویزان می کنیم:

(امیدوارم همه این تحول را درک کنند، چنین چیزهایی باید قبلاً شناخته شده باشند)

بنابراین، راه حل کلی این است:

بیایید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم. در جواب کلی به جای «X» صفر و به جای «Y» لگاریتم دو را جایگزین می کنیم:

طراحی آشناتر:

مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم.

پاسخ:راه حل خصوصی:

بررسی: ابتدا، بیایید بررسی کنیم که آیا شرط اولیه برآورده شده است:
- همه چیز خوب است.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا راه حل خاص یافت شده اصلا معادله دیفرانسیل را برآورده می کند یا خیر. یافتن مشتق:

بیایید به معادله اصلی نگاه کنیم: - به صورت دیفرانسیل ارائه می شود. دو راه برای بررسی وجود دارد. می توان دیفرانسیل را از مشتق یافت شده بیان کرد:

اجازه دهید راه حل خاص یافت شده و دیفرانسیل حاصل را در معادله اصلی جایگزین کنیم :

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل خاص به درستی پیدا شده است.

روش دوم بررسی آینه ای و آشناتر است: از معادله بیایید مشتق را بیان کنیم، برای انجام این کار، تمام قطعات را بر اساس تقسیم می کنیم:

و به DE تبدیل شده، راه حل جزئی به دست آمده و مشتق یافت شده را جایگزین می کنیم. در نتیجه ساده سازی ها باید برابری صحیح نیز به دست آید.

مثال 6

حل معادله دیفرانسیل پاسخ را در قالب یک انتگرال کلی ارائه دهید.

این مثالی است برای حل خودتان، راه حل کامل و در پایان درس پاسخ دهید.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک چه مشکلاتی در کمین است؟

1) همیشه واضح نیست (مخصوصاً برای قوری) که می توان متغیرها را از هم جدا کرد. بیایید یک مثال شرطی را در نظر بگیریم: . در اینجا باید فاکتورها را از پرانتز خارج کنید و ریشه ها را جدا کنید: . مشخص است که در مرحله بعد چه باید کرد.

2) مشکلات با خود ادغام. انتگرال ها اغلب ساده ترین نیستند و در صورت وجود نقص در مهارت های یافتن انتگرال نامعین، سپس با بسیاری از دیفیوزرها مشکل خواهد بود. علاوه بر این، منطق "از آنجایی که معادله دیفرانسیل ساده است، پس بگذارید انتگرال ها پیچیده تر شوند" در بین کامپایلرهای مجموعه ها و کتابچه های آموزشی رایج است.

3) تبدیل با یک ثابت. همانطور که همه متوجه شده اند، شما می توانید تقریبا هر کاری را با یک ثابت در معادلات دیفرانسیل انجام دهید. و چنین تحولاتی همیشه برای یک مبتدی قابل درک نیست. بیایید یک مثال شرطی دیگر را در نظر بگیریم: . توصیه می شود همه عبارت ها را در 2 ضرب کنید: . ثابت حاصل نیز نوعی ثابت است که می توان آن را با: . بله، و از آنجایی که یک لگاریتم در سمت راست وجود دارد، توصیه می شود ثابت را به شکل ثابت دیگری بازنویسی کنید: .

مشکل این است که آنها اغلب با ایندکس ها زحمت نمی کشند و از همان حرف استفاده می کنند. و در نتیجه، رکورد راه حل به شکل زیر است:

این دیگه چه کوفتیه؟ اشتباهاتی نیز وجود دارد. به طور رسمی، بله. اما به طور غیررسمی - هیچ خطایی وجود ندارد، فهمیده می شود که هنگام تبدیل یک ثابت، مقداری ثابت دیگر هنوز به دست می آید.

یا این مثال فرض کنید در جریان حل معادله یک انتگرال کلی به دست می آید. این پاسخ زشت به نظر می رسد، بنابراین توصیه می شود علائم همه عوامل را تغییر دهید: . به طور رسمی طبق ضبط، دوباره خطایی وجود دارد، باید یادداشت می شد. اما به طور غیررسمی فهمیده می شود که هنوز یک ثابت دیگر است (علاوه بر این، می تواند هر مقداری را به خود بگیرد)، بنابراین تغییر علامت یک ثابت معنی ندارد و می توانید از همان حرف استفاده کنید.

من سعی خواهم کرد از یک رویکرد بی دقت اجتناب کنم، و همچنان هنگام تبدیل آنها، شاخص های مختلفی را به ثابت ها اختصاص می دهم.

مثال 7

حل معادله دیفرانسیل بررسی را انجام دهید.

راه حل:این معادله امکان جداسازی متغیرها را فراهم می کند. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید ادغام کنیم:

لازم نیست ثابت را در اینجا به عنوان لگاریتم تعریف کنیم، زیرا هیچ چیز مفیدی از این کار حاصل نخواهد شد.

پاسخ:انتگرال عمومی:

بررسی کنید: پاسخ را متمایز کنید (عملکرد ضمنی):

با ضرب هر دو جمله در کسری خلاص می شویم:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 8

یک راه حل خاص برای DE پیدا کنید.
,

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تنها نظر این است که در اینجا شما یک انتگرال کلی دریافت می کنید، و به عبارت صحیح تر، باید برای یافتن یک راه حل خاص تلاش کنید. انتگرال جزئی. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

همانطور که قبلاً اشاره شد، در پراکنده‌هایی با متغیرهای قابل تفکیک، اغلب ساده‌ترین انتگرال‌ها ظاهر نمی‌شوند. و در اینجا چند نمونه دیگر از این قبیل برای شما وجود دارد که خودتان آنها را حل کنید. من به همه توصیه می کنم بدون توجه به سطح آمادگی خود، مثال های شماره 9-10 را حل کنند، این به آنها امکان می دهد مهارت های خود را در یافتن انتگرال ها به روز کنند یا شکاف های دانش را پر کنند.

مثال 9

حل معادله دیفرانسیل

مثال 10

حل معادله دیفرانسیل

به یاد داشته باشید که بیش از یک راه برای نوشتن یک انتگرال کلی وجود دارد و ظاهر پاسخ های شما ممکن است با ظاهر پاسخ های من متفاوت باشد. راه حل و پاسخ مختصر در پایان درس.

ارتقاء مبارک!

مثال 4:راه حل: بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم. متغیرها را از هم جدا می کنیم:


بیایید ادغام کنیم:



انتگرال کلی بدست آمده است. بیایید لگاریتم ها را بسته بندی کنیم و از شر آنها خلاص شویم:

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با توجه به مشتق حل شد

نحوه حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

اجازه دهید یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را با توجه به مشتق حل کنیم:
.
با تقسیم این معادله بر، با، معادله ای به شکل زیر بدست می آید:
,
جایی که .

در مرحله بعد، ما به دنبال این هستیم که ببینیم آیا این معادلات متعلق به یکی از انواع ذکر شده در زیر هستند. در غیر این صورت، معادله را به صورت دیفرانسیل بازنویسی می کنیم. برای این کار معادله را می نویسیم و ضرب می کنیم. معادله ای را به شکل دیفرانسیل به دست می آوریم:
.

اگر این معادله یک معادله دیفرانسیل کل نباشد، در نظر می گیریم که در این معادله متغیر مستقل است، a تابعی از . معادله را بر:
.
در مرحله بعد، با در نظر گرفتن این که جای خود را عوض کرده ایم، به دنبال این هستیم که ببینیم آیا این معادله متعلق به یکی از انواع ذکر شده در زیر است.

اگر یک نوع برای این معادله پیدا نشد، آنگاه می بینیم که آیا می توان معادله را با جایگزینی ساده ساده کرد یا خیر. به عنوان مثال، اگر معادله به صورت زیر باشد:
,
سپس متوجه می شویم که . سپس یک تعویض انجام می دهیم. پس از این، معادله شکل ساده تری به خود می گیرد:
.

اگر این کمکی نکرد، سعی می کنیم عامل یکپارچه کننده را پیدا کنیم.

معادلات قابل تفکیک

;
.
تقسیم بر و ادغام. وقتی می گیریم:
.

معادلات تقلیل به معادلات قابل تفکیک

معادلات همگن

ما با جایگزینی حل می کنیم:
,
که در آن تابعی از . سپس
;
.
متغیرها را جدا کرده و ادغام می کنیم.

معادلات تقلیل به همگن

متغیرها را وارد کنید و:
;
.
ما ثابت ها را انتخاب می کنیم تا عبارت های آزاد ناپدید شوند:
;
.
در نتیجه یک معادله همگن در متغیرها و .

معادلات همگن تعمیم یافته

بیایید یک تعویض انجام دهیم. یک معادله همگن در متغیرها و .

معادلات دیفرانسیل خطی

سه روش برای حل معادلات خطی وجود دارد.

2) روش برنولی.
ما به دنبال راه حلی در قالب حاصل ضرب دو تابع و یک متغیر هستیم:
.
;
.
ما می توانیم یکی از این توابع را خودسرانه انتخاب کنیم. بنابراین، هر جواب غیر صفر معادله را به صورت زیر انتخاب می کنیم:
.

3) روش تغییر ثابت (لاگرانژ).
در اینجا ابتدا معادله همگن را حل می کنیم:

جواب کلی معادله همگن به شکل زیر است:
,
کجا یک ثابت است در مرحله بعد، ثابت را با تابعی جایگزین می کنیم که به متغیر بستگی دارد:
.
معادله اصلی را جایگزین کنید. در نتیجه، معادله ای به دست می آوریم که از آن تعیین می کنیم.

معادلات برنولی

با جایگزینی، معادله برنولی به یک معادله خطی کاهش می یابد.

این معادله را می توان با استفاده از روش برنولی نیز حل کرد. یعنی ما به دنبال راه حلی به شکل حاصل ضرب دو تابع بسته به متغیر هستیم:
.
معادله اصلی را جایگزین کنید:
;
.
هر جواب غیر صفر معادله را به صورت زیر انتخاب می کنیم:
.
پس از تعیین , معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک برای .

معادلات ریکاتی

به شکل کلی قابل حل نیست. تعویض

معادله Riccati به شکل زیر کاهش می یابد:
,
یک ثابت کجاست ; .
بعد، با تعویض:

به شکل زیر کاهش می یابد:
,
جایی که .

ویژگی های معادله ریکاتی و چند مورد خاص حل آن در صفحه ارائه شده است
معادله دیفرانسیل ریکاتی >>>

معادلات ژاکوبی

با تعویض حل شد:
.

معادلات در دیفرانسیل کل

با توجه به اینکه
.
اگر این شرط برآورده شود، عبارت سمت چپ برابری دیفرانسیل یک تابع است:
.
سپس
.
از اینجا انتگرال معادله دیفرانسیل را بدست می آوریم:
.

برای یافتن تابع، راحت ترین راه، روش استخراج دیفرانسیل متوالی است. برای این کار از فرمول های زیر استفاده کنید:
;
;
;
.

عامل یکپارچه سازی

اگر یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را نمی توان به هیچ یک از انواع ذکر شده تقلیل داد، می توانید سعی کنید عامل یکپارچه را پیدا کنید. یک ضریب یکپارچه تابعی است که وقتی در آن ضرب شود، یک معادله دیفرانسیل تبدیل به معادله ای در مجموع دیفرانسیل می شود. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول دارای تعداد نامتناهی فاکتورهای یکپارچه است. با این حال، هیچ روش کلی برای یافتن عامل یکپارچه وجود ندارد.

معادلات حل نشده برای مشتق y"

معادلات قابل حل با توجه به مشتق y"

ابتدا باید سعی کنید معادله را با توجه به مشتق حل کنید. در صورت امکان، معادله را می توان به یکی از انواع ذکر شده در بالا کاهش داد.

معادلات قابل فاکتورسازی

اگر می توانید معادله را فاکتور بگیرید:
,
سپس مسئله به حل متوالی معادلات ساده تر کاهش می یابد:
;
;

;
. ما معتقدیم. سپس
یا .
سپس معادله را ادغام می کنیم:
;
.
در نتیجه، بیان متغیر دوم را از طریق پارامتر به دست می آوریم.

معادلات کلی تر:
یا
به صورت پارامتریک نیز حل می شوند. برای انجام این کار، باید تابعی را انتخاب کنید که از معادله اصلی بتوانید پارامتر را بیان کنید یا از طریق آن پارامتر را بیان کنید.
برای بیان متغیر دوم از طریق پارامتر، معادله را ادغام می کنیم:
;
.

معادلات حل شده برای y

معادلات Clairaut

این معادله یک راه حل کلی دارد

معادلات لاگرانژ

ما به دنبال راه حلی به شکل پارامتریک هستیم. فرض می کنیم که یک پارامتر کجاست.

معادلات منتهی به معادله برنولی

این معادلات در صورتی به معادله برنولی تقلیل می‌یابند که با وارد کردن یک پارامتر و جایگزینی، راه‌حل‌های آنها را به صورت پارامتریک جستجو کنیم.

منابع:
V.V. استپانوف، دوره معادلات دیفرانسیل، "LKI"، 2015.
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.

این ماشین حساب آنلاین به شما امکان می دهد معادلات دیفرانسیل را بصورت آنلاین حل کنید. کافی است معادله خود را در فیلد مناسب وارد کنید و مشتق تابع را از طریق آپستروف نشان دهید و بر روی دکمه حل معادله کلیک کنید و سیستم پیاده سازی شده بر اساس وب سایت محبوب WolframAlpha جزئیات را ارائه می دهد حل یک معادله دیفرانسیلکاملا رایگان همچنین می توانید یک مسئله کوشی را تعریف کنید تا از کل مجموعه راه حل های ممکن، ضریبی را انتخاب کنید که با شرایط اولیه داده شده مطابقت دارد. مشکل کوشی در یک فیلد جداگانه وارد می شود.

معادله دیفرانسیل

به طور پیش فرض، تابع در معادله yتابعی از یک متغیر است ایکس. با این حال، می توانید نام خود را برای متغیر مشخص کنید، اگر مثلاً y(t) را در معادله بنویسید، ماشین حساب به طور خودکار آن را تشخیص می دهد yیک تابع از یک متغیر وجود دارد تی. با کمک ماشین حساب می توانید حل معادلات دیفرانسیلاز هر پیچیدگی و نوع: همگن و ناهمگن، خطی یا غیرخطی، مرتبه اول یا مرتبه دوم و بالاتر، معادلات با متغیرهای قابل تفکیک یا غیرقابل تفکیک و غیره. تفاوت راه حل معادله به صورت تحلیلی ارائه شده و دارای توضیحات مفصلی است. معادلات دیفرانسیل در فیزیک و ریاضیات بسیار رایج هستند. بدون محاسبه آنها، حل بسیاری از مسائل (به ویژه در فیزیک ریاضی) غیرممکن است.

یکی از مراحل حل معادلات دیفرانسیل، یکپارچه سازی توابع است. روش های استانداردی برای حل معادلات دیفرانسیل وجود دارد. لازم است معادلات را به شکلی با متغیرهای قابل تفکیک y و x کاهش دهیم و توابع جدا شده را به طور جداگانه ادغام کنیم. برای انجام این کار، گاهی اوقات باید جایگزین خاصی انجام شود.

دستورالعمل ها

اگر معادله به شکل: dy/dx = q(x)/n(y) ارائه شده است، آنها را به عنوان معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک طبقه بندی کنید. آنها را می توان با نوشتن شرط به صورت دیفرانسیل به صورت زیر حل کرد: n(y)dy = q(x)dx. سپس هر دو طرف را ادغام کنید. در برخی موارد، راه حل به شکل انتگرال های برگرفته از توابع شناخته شده نوشته می شود. به عنوان مثال، در مورد dy/dx = x/y، q(x) = x، n(y) = y را بدست می آوریم. آن را به شکل ydy = xdx بنویسید و ادغام کنید. باید معلوم شود y^2 = x^2 + c.

به خطی معادلاتمعادلات را به "اول" ربط دهید. یک تابع مجهول با مشتقاتش فقط تا درجه اول وارد چنین معادله ای می شود. خطی به شکل dy/dx + f(x) = j(x) است، که در آن f(x) و g(x) تابع هایی هستند که وابسته به x هستند. راه حل با استفاده از انتگرال های گرفته شده از توابع شناخته شده نوشته شده است.

لطفاً توجه داشته باشید که بسیاری از معادلات دیفرانسیل معادلات مرتبه دوم هستند (شامل مشتقات دوم). چنین معادلات، در، راه حل های خاص. معادله حرکت هارمونیک ساده مثالی از چیز بسیار مهمی است: معادلات دیفرانسیل خطی که ضریب ثابتی دارند.

اگر در شرایط مسئله فقط یک معادله خطی وجود داشته باشد، در این صورت شرایط اضافی به شما داده شده است که از طریق آنها می توانید یک راه حل پیدا کنید. برای یافتن این شرایط مشکل را با دقت بخوانید. اگر متغیرها x و y مسافت، سرعت، وزن را نشان می دهد - با خیال راحت حد x≥0 و y≥0 را تنظیم کنید. کاملاً ممکن است که x یا y تعداد سیب ها و غیره را پنهان کند. - سپس مقادیر فقط می توانند باشند. اگر x سن پسر باشد، مشخص است که او نمی تواند بزرگتر از پدرش باشد، بنابراین در شرایط مشکل این را نشان دهید.

منابع:

• چگونه یک معادله را با یک متغیر حل کنیم

مسائل در حساب دیفرانسیل و انتگرال عناصر مهمی در تثبیت نظریه تجزیه و تحلیل ریاضی، شاخه ای از ریاضیات عالی است که در دانشگاه ها مورد مطالعه قرار می گیرد. دیفرانسیل معادلهبا روش ادغام حل می شود.

دستورالعمل ها

حساب دیفرانسیل به بررسی خواص . و بالعکس، ادغام یک تابع اجازه می دهد تا ویژگی های داده شده، یعنی. مشتقات یا دیفرانسیل های یک تابع برای یافتن خود آن. این راه حل معادله دیفرانسیل است.

هر چیزی رابطه ای بین یک کمیت ناشناخته و داده های شناخته شده است. در مورد یک معادله دیفرانسیل، نقش مجهول توسط یک تابع و نقش کمیت های شناخته شده توسط مشتقات آن ایفا می شود. علاوه بر این، رابطه ممکن است حاوی یک متغیر مستقل باشد: F(x, y(x)، y'(x)، y''(x)،…، y^n(x)) = 0، که در آن x یک مجهول است. متغیر، y (x) تابعی است که باید تعیین شود، ترتیب معادله حداکثر مرتبه مشتق (n) است.

چنین معادله ای معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود. اگر رابطه شامل چندین متغیر مستقل و مشتق جزئی (دیفرانسیل) تابع نسبت به این متغیرها باشد، معادله معادله دیفرانسیل جزئی نامیده می شود و به شکل: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 است. ، که در آن z(x, y) تابع مورد نیاز است.

بنابراین، برای اینکه یاد بگیرید چگونه معادلات دیفرانسیل را حل کنید، باید بتوانید آنتی مشتق‌ها را پیدا کنید. حل مسئله معکوس به تمایز. به عنوان مثال: معادله مرتبه اول y’ = -y/x را حل کنید.

راه حل y’ را با dy/dx جایگزین کنید: dy/dx = -y/x.

معادله را به شکلی مناسب برای ادغام کاهش دهید. برای انجام این کار، هر دو طرف را در dx ضرب کنید و بر y:dy/y = -dx/x تقسیم کنید.

ادغام: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| + سی.

این حل معادله دیفرانسیل عمومی نامیده می شود. C ثابتی است که مجموعه مقادیر آن مجموعه راه حل های معادله را تعیین می کند. برای هر مقدار خاص از C، راه حل منحصر به فرد خواهد بود. این جواب حل جزئی معادله دیفرانسیل است.

حل اکثر معادلات مرتبه بالاتر درجهفرمول مشخصی برای یافتن ریشه های مربع ندارد معادلات. با این حال، چندین روش کاهش وجود دارد که به شما امکان می دهد معادله درجه بالاتر را به شکل بصری تر تبدیل کنید.

دستورالعمل ها

رایج ترین روش برای حل معادلات درجه بالاتر، بسط است. این رویکرد ترکیبی از انتخاب ریشه‌های اعداد صحیح، مقسوم‌کننده‌های عبارت آزاد و تقسیم بعدی چند جمله‌ای عمومی به شکل (x – x0) است.

برای مثال معادله x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0 را حل کنید. راه حل: جمله آزاد این چند جمله ای 3- است، بنابراین مقسوم علیه های صحیح آن می توانند اعداد 1± و 3± باشند. آنها را یکی یکی در معادله جایگزین کنید و متوجه شوید که آیا هویت را بدست می آورید: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

ریشه دوم x = -1. تقسیم بر عبارت (x + 1). معادله حاصل را بنویسید (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. درجه به دوم کاهش یافته است، بنابراین، معادله می تواند دو ریشه دیگر داشته باشد. برای پیدا کردن آنها، معادله درجه دوم را حل کنید: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

ممیز یک مقدار منفی است، به این معنی که معادله دیگر ریشه واقعی ندارد. ریشه های مختلط معادله را بیابید: x = (-2 + i·√11)/2 و x = (-2 – i·√11)/2.

روش دیگر برای حل معادله درجه بالاتر، تغییر متغیرها به منظور درجه دوم است. این رویکرد زمانی استفاده می شود که تمام توان های معادله زوج باشند، به عنوان مثال: x^4 – 13 x² + 36 = 0

اکنون ریشه های معادله اصلی را بیابید: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ± 2.

نکته 10: چگونه معادلات ردوکس را تعیین کنیم

یک واکنش شیمیایی فرآیند تبدیل مواد است که با تغییر در ترکیب آنها رخ می دهد. به موادی که واکنش نشان می دهند مواد اولیه و آنهایی که در نتیجه این فرآیند به وجود می آیند، فرآورده نامیده می شوند. این اتفاق می افتد که در طی یک واکنش شیمیایی، عناصر تشکیل دهنده مواد اولیه حالت اکسیداسیون خود را تغییر می دهند. یعنی می توانند الکترون های شخص دیگری را بپذیرند و الکترون های خودشان را بدهند. در هر دو مورد، شارژ آنها تغییر می کند. چنین واکنش هایی را واکنش های ردوکس می نامند.