اثبات موازی بودن خط وسط ذوزنقه با قاعده ها. قطرهای یک ذوزنقه
\[(\Large(\text(ذوزنقه آزاد)))\]
تعاریف
ذوزنقه یک چهارضلعی محدب است که دو ضلع آن موازی و دو ضلع دیگر موازی نیستند.
اضلاع موازی ذوزنقه را قاعده و دو ضلع دیگر آن را اضلاع جانبی می نامند.
ارتفاع ذوزنقه عمودی است که از هر نقطه یک قاعده به قاعده دیگر کشیده می شود.
قضایا: خواص ذوزنقه
1) مجموع زوایای ضلع \(180^\circ\) است.
2) مورب ها ذوزنقه را به چهار مثلث تقسیم می کنند که دو تای آنها شبیه به هم و دو تای دیگر از نظر اندازه برابر هستند.
اثبات
1) زیرا \(AD\موازی BC\)، سپس زوایا \(\زاویه BAD\) و \(\زاویه ABC\) برای این خطوط و عرضی \(AB\) یک طرفه هستند، بنابراین، \(\ زاویه BAD +\ زاویه ABC=180^\circ\).
2) زیرا \(AD\parallel BC\) و \(BD\) یک سکانس هستند، سپس \(\angle DBC=\angle BDA\) بصورت متقاطع قرار می گیرند.
همچنین \(\angle BOC=\angle AOD\) به صورت عمودی.
بنابراین، در دو زاویه \(\ مثلث BOC \sim \مثلث AOD\).
این را ثابت کنیم \(S_(\مثلث AOB)=S_(\مثلث COD)\). فرض کنید \(h\) ارتفاع ذوزنقه باشد. سپس \(S_(\مثلث ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\مثلث ACD)\). سپس: \
تعریف
خط وسط یک ذوزنقه قطعه ای است که نقاط میانی اضلاع را به هم متصل می کند.
قضیه
خط وسط ذوزنقه موازی قاعده ها و برابر با نیم جمع آنهاست.
اثبات*
1) بیایید موازی بودن را ثابت کنیم.
اجازه دهید از طریق نقطه \(M\) خط مستقیم \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\)) را رسم کنیم. سپس، طبق قضیه تالس (از آنجا که \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) نقطه \(N"\) وسط قطعه \(CD\) است. این بدان معنی است که نقاط \(N\) و \(N"\) بر هم منطبق خواهند شد.
2) بیایید فرمول را ثابت کنیم.
بیایید \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) را انجام دهیم. اجازه دهید \(BB"\cap MN=M، CC"\cap MN=N"\).
سپس بر اساس قضیه تالس، \(M"\) و \(N"\) به ترتیب نقاط میانی پاره های \(BB"\) و \(CC"\) هستند. این بدان معناست که \(MM"\) خط وسط \(\مثلث ABB"\) است ، \(NN"\) خط وسط \(\مثلث DCC"\) است. از همین رو: \
زیرا \(MN\parallel AD\parallel BC\)و \(BB، CC"\perp AD\)، سپس \(B"M"N"C"\) و \(BM"N"C\) مستطیل هستند. با توجه به قضیه تالس، از \(MN\موازی AD\) و \(AM=MB\) نتیجه می‌شود که \(B"M"=M"B\) از این رو \(B"M"N"C "\) و \(BM"N"C\) مستطیل های مساوی هستند، بنابراین، \(M"N"=B"C"=BC\) .
بدین ترتیب:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
قضیه: خاصیت ذوزنقه دلخواه
نقاط میانی پایه ها، نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه و نقطه تلاقی امتداد اضلاع جانبی روی یک خط مستقیم قرار دارند.
اثبات*
توصیه می شود پس از مطالعه مبحث "شباهت مثلث ها" با اثبات آشنا شوید.
1) اجازه دهید ثابت کنیم که نقاط \(P\) , \(N\) و \(M\) روی یک خط قرار دارند.
بیایید یک خط مستقیم رسم کنیم \(PN\) (\(P\) نقطه تقاطع امتداد اضلاع جانبی است، \(N\) وسط \(BC\) است). اجازه دهید ضلع \(AD\) را در نقطه \(M\) قطع کند. اجازه دهید ثابت کنیم که \(M\) نقطه وسط \(AD\) است.
\(\triangle BPN\) و \(\triangle APM\) را در نظر بگیرید. آنها در دو زاویه مشابه هستند (\(\ زاویه APM\) - کلی، \(\زاویه PAM=\زاویه PBN\) مطابق با \(AD\ موازی BC\) و \(AB\) secant). به معنای: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
\(\مثلث CPN\) و \(\مثلث DPM\) را در نظر بگیرید. آنها در دو زاویه مشابه هستند (\(\زاویه DPM\) - عمومی، \(\زاویه PDM=\زاویه PCN\) مطابق با \(AD\ موازی BC\) و \(CD\) secant). به معنای: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
از اینجا \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). اما \(BN=NC\) بنابراین \(AM=DM\) .
2) اجازه دهید ثابت کنیم که نقاط \(N, O, M\) روی یک خط قرار دارند.
فرض کنید \(N\) نقطه وسط \(BC\) و \(O\) نقطه تقاطع قطرها باشد. بیایید یک خط مستقیم \(NO\) رسم کنیم، ضلع \(AD\) را در نقطه \(M\) قطع می کند. اجازه دهید ثابت کنیم که \(M\) نقطه وسط \(AD\) است.
\(\مثلث BNO\sim \مثلث DMO\)در امتداد دو زاویه (\(\زاویه OBN=\زاویه ODM\) به صورت متقاطع در \(BC\موازی AD\) و \(BD\) سکونت؛ \(\زاویه BON=\زاویه DOM\) به صورت عمودی). به معنای: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
به همین ترتیب \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). به معنای: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
از اینجا \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). اما \(BN=CN\) بنابراین \(AM=MD\) .
\[(\Large(\text(ذوزنقه متساوی الساقین)))\]
تعاریف
ذوزنقه در صورتی مستطیل نامیده می شود که یکی از زوایای آن قائمه باشد.
ذوزنقه اگر اضلاع آن مساوی باشد متساوی الساقین نامیده می شود.
قضایا: خواص ذوزنقه متساوی الساقین
1) ذوزنقه متساوی الساقین دارای زوایای قاعده مساوی است.
2) قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین برابر است.
3) دو مثلث که از مورب و یک قاعده تشکیل شده اند متساوی الساقین هستند.
اثبات
1) ذوزنقه متساوی الساقین \(ABCD\) را در نظر بگیرید.
از رئوس \(B\) و \(C\) عمودهای \(BM\) و \(CN\) را به ترتیب به ضلع \(AD\) رها می کنیم. از آنجایی که \(BM\perp AD\) و \(CN\perp AD\) , سپس \(BM\perp CN\) ; \(AD\parallel BC\)، سپس \(MBCN\) متوازی الاضلاع است، بنابراین \(BM = CN\) .
مثلث های قائم الزاویه \(ABM\) و \(CDN\) را در نظر بگیرید. از آنجایی که هیپوتنوس آنها برابر است و پایه \(BM\) برابر با پایه \(CN\) است، پس این مثلث ها برابر هستند، بنابراین \(\زاویه DAB = \زاویه CDA\) .
2) 
زیرا \(AB=CD، \زاویه A=\زاویه D، AD\)- عمومی، سپس طبق علامت اول. بنابراین، \(AC=BD\) .
3) چون \(\مثلث ABD=\مثلث ACD\)، سپس \(\angle BDA=\angle CAD\) . بنابراین، مثلث \(\مثلث AOD\) متساوی الساقین است. به طور مشابه، ثابت شده است که \(\مثلث BOC\) متساوی الساقین است.
قضایا: علائم ذوزنقه متساوی الساقین
1) اگر ذوزنقه ای دارای زوایای قاعده مساوی باشد، متساوی الساقین است.
2) اگر ذوزنقه قطرهای مساوی داشته باشد، متساوی الساقین است.
اثبات
ذوزنقه \(ABCD\) را طوری در نظر بگیرید که \(\زاویه A = \زاویه D\) .
اجازه دهید مانند شکل ذوزنقه را به مثلث \(AED\) کامل کنیم. از آنجایی که \(\ زاویه 1 = \زاویه 2\) ، پس مثلث \(AED\) متساوی الساقین و \(AE = ED\) است. زوایای \(1\) و \(3\) به عنوان زوایای متناظر برای خطوط موازی \(AD\) و \(BC\) و مقطع \(AB\) برابر هستند. به طور مشابه، زوایای \(2\) و \(4\) برابر هستند، اما \(\زاویه 1 = \زاویه 2\) \(\ زاویه 3 = \ زاویه 1 = \ زاویه 2 = \ زاویه 4\)بنابراین، مثلث \(BEC\) نیز متساوی الساقین و \(BE = EC\) است.
در نهایت \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\)یعنی \(AB = CD\) که باید ثابت شود.
2) اجازه دهید \(AC=BD\) . زیرا \(\مثلث AOD\sim \مثلث BOC\)، سپس ضریب شباهت آنها را با \(k\) نشان می دهیم. سپس اگر \(BO=x\) ، آنگاه \(OD=kx\) . مشابه \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
زیرا \(AC=BD\) و سپس \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . این بدان معناست که \(\ مثلث AOD\) متساوی الساقین است و \(\ زاویه OAD=\ زاویه ODA\) .
بنابراین با توجه به اولین علامت \(\مثلث ABD=\مثلث ACD\) (\(AC=BD، \زاویه OAD=\زاویه ODA، AD\)- عمومی). بنابراین، \(AB=CD\) چرا.
- پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند برابر با نصف اختلاف پایه ها است.
- مثلث هایی که از قاعده ذوزنقه و قطعات مورب تا نقطه تلاقی آنها تشکیل شده اند مشابه هستند.
- مثلث هایی که توسط بخش هایی از مورب های ذوزنقه تشکیل شده اند که اضلاع آن در اضلاع جانبی ذوزنقه قرار دارند - اندازه آنها برابر است (دارای مساحت یکسان)
- اگر اضلاع ذوزنقه را به سمت قاعده کوچکتر گسترش دهید، در یک نقطه با خط مستقیمی که نقاط میانی پایه ها را به هم متصل می کند، تلاقی می کنند.
- قطعه ای که پایه های ذوزنقه را به هم وصل می کند و از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه می گذرد به نسبت طول های پایه های ذوزنقه بر این نقطه تقسیم می شود.
- قسمتی که به موازات پایه های ذوزنقه است و از نقطه تلاقی مورب ها کشیده شده است به این نقطه به نصف تقسیم می شود و طول آن برابر با 2ab/(a + b) است که a و b پایه های آن هستند. ذوزنقه ای
ویژگی های پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم متصل می کند
بیایید نقاط میانی قطرهای ذوزنقه ABCD را به هم وصل کنیم، در نتیجه یک قطعه LM خواهیم داشت.
پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند در خط وسط ذوزنقه قرار دارد.
این بخش به موازات پایه های ذوزنقه.
طول پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند برابر با نصف اختلاف پایه های آن است.
LM = (میلادی - قبل از میلاد)/2
یا
LM = (a-b)/2
خواص مثلث هایی که از قطرهای ذوزنقه تشکیل شده اند
مثلث هایی که از پایه های ذوزنقه و نقطه تقاطع مورب های ذوزنقه تشکیل می شوند - شبیه هستند.
مثلث های BOC و AOD مشابه هستند. از آنجایی که زوایای BOC و AOD عمودی هستند، با هم برابر هستند.
زوایای OCB و OAD زوایای داخلی هستند که به صورت متقاطع با خطوط موازی AD و BC (پایه های ذوزنقه با یکدیگر موازی هستند) و یک خط مقطعی AC قرار دارند، بنابراین با هم برابر هستند.
زوایای OBC و ODA به همین دلیل برابر هستند (داخلی به صورت متقاطع).
از آنجایی که هر سه زاویه یک مثلث برابر با زوایای مربوط به مثلث دیگر است، پس این مثلث ها شبیه هم هستند.
چه چیزی از این نتیجه می شود؟
برای حل مسائل هندسه از تشابه مثلث ها به صورت زیر استفاده می شود. اگر طول دو عنصر متناظر از مثلث های مشابه را بدانیم، ضریب تشابه را پیدا می کنیم (یکی را بر دیگری تقسیم می کنیم). از جایی که طول همه عناصر دیگر دقیقاً با یک مقدار به یکدیگر مرتبط است.
ویژگی های مثلث های خوابیده در ضلع جانبی و مورب های ذوزنقه
دو مثلث را در اضلاع جانبی ذوزنقه AB و CD در نظر بگیرید. اینها مثلث های AOB و COD هستند. با وجود این واقعیت که اندازه اضلاع جداگانه این مثلث ها ممکن است کاملاً متفاوت باشد، اما مساحت مثلث های تشکیل شده توسط اضلاع جانبی و نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه مساوی است.، یعنی مثلث ها از نظر اندازه برابر هستند.
اگر اضلاع ذوزنقه را به سمت قاعده کوچکتر گسترش دهیم، نقطه تلاقی اضلاع خواهد بود. منطبق با یک خط مستقیم است که از وسط پایه ها می گذرد.
بنابراین، هر ذوزنقه ای را می توان به یک مثلث منبسط کرد. که در آن:
- مثلث های تشکیل شده توسط پایه های ذوزنقه ای با راس مشترک در محل تلاقی اضلاع کشیده شده مشابه هستند.
- خط مستقیمی که نقاط میانی پایه ذوزنقه را به هم وصل می کند، در عین حال، میانه مثلث ساخته شده است.
ویژگی های قطعه ای که پایه های ذوزنقه را به هم متصل می کند
اگر پاره ای را بکشید که انتهای آن روی پایه های ذوزنقه قرار دارد که در نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه (KN) قرار دارد، آنگاه نسبت قطعات تشکیل دهنده آن از سمت قاعده به نقطه تقاطع است. از مورب ها (KO/ON) برابر با نسبت پایه های ذوزنقه خواهد بود(پیش از میلاد/میلادی).
KO/ON = BC/AD
این ویژگی از شباهت مثلث های مربوطه ناشی می شود (به بالا مراجعه کنید).
ویژگی های یک قطعه موازی با پایه های ذوزنقه
اگر پاره ای را به موازات پایه های ذوزنقه رسم کنیم و از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه عبور کند، ویژگی های زیر را خواهد داشت:
- مسافت مشخص شده (کیلومتر) توسط نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه دو نیم شده است
- طول بخشعبور از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه و موازی با قاعده ها برابر است با KM = 2ab/(a + b)
فرمول های یافتن قطرهای ذوزنقه
الف، ب- پایه های ذوزنقه ای
ج، د- طرفین ذوزنقه
d1 d2- مورب های ذوزنقه
α β - زوایایی با پایه بزرگتر ذوزنقه
فرمول هایی برای یافتن قطرهای ذوزنقه از طریق قاعده ها، اضلاع و زوایای قاعده
اولین گروه از فرمول ها (1-3) یکی از ویژگی های اصلی قطرهای ذوزنقه ای را نشان می دهد:
1. مجموع مربعات قطرهای ذوزنقه برابر است با مجموع مربعات اضلاع به اضافه دو برابر حاصل ضرب قاعده های آن. این خاصیت قطرهای ذوزنقه ای را می توان به عنوان یک قضیه جداگانه اثبات کرد
2 . این فرمول با تبدیل فرمول قبلی به دست می آید. مربع قطر دوم از طریق علامت مساوی پرتاب می شود و پس از آن ریشه مربع از سمت چپ و راست عبارت استخراج می شود.
3 . این فرمول برای یافتن طول قطر ذوزنقه مشابه فرمول قبلی است با این تفاوت که مورب دیگری در سمت چپ عبارت باقی می ماند.
فرمول های گروه بعدی (4-5) از نظر معنی مشابه هستند و رابطه مشابهی را بیان می کنند.
گروه فرمول ها (6-7) به شما امکان می دهد قطر ذوزنقه را در صورتی پیدا کنید که پایه بزرگتر ذوزنقه، یک طرف و زاویه پایه مشخص باشد.
فرمول هایی برای یافتن قطرهای ذوزنقه از طریق ارتفاع
وظیفه.
قطرهای ذوزنقه ABCD (AD | | BC) در نقطه O قطع می شوند. طول قاعده BC ذوزنقه را در صورتی که پایه AD = 24 سانتی متر، طول AO = 9 سانتی متر، طول OS = 6 سانتی متر باشد، پیدا کنید.
راه حل.
راه حل این مشکل از نظر ایدئولوژیکی کاملاً مشابه مشکلات قبلی است.
مثلث های AOD و BOC در سه زاویه مشابه هستند - AOD و BOC عمودی هستند و زوایای باقیمانده به صورت زوجی برابر هستند، زیرا از تقاطع یک خط و دو خط موازی تشکیل می شوند.
از آنجایی که مثلث ها شبیه هم هستند، تمام ابعاد هندسی آنها به هم مرتبط است، درست مانند ابعاد هندسی قطعات AO و OC که با توجه به شرایط مسئله برای ما شناخته شده است. به این معنا که
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/ قبل از میلاد
قبل از میلاد = 24 * 6 / 9 = 16
پاسخ: 16 سانتی متر
وظیفه .
در ذوزنقه ABCD مشخص است که AD=24، BC=8، AC=13، BD=5√17. مساحت ذوزنقه را پیدا کنید. 
راه حل .
برای یافتن ارتفاع ذوزنقه از رئوس پایه کوچکتر B و C، دو ارتفاع را به پایه بزرگتر کاهش می دهیم. از آنجایی که ذوزنقه نابرابر است، طول AM = a، طول KD = b ( نباید با نماد در فرمول اشتباه گرفته شودپیدا کردن مساحت ذوزنقه). از آنجایی که پایه های ذوزنقه موازی هستند و دو ارتفاع را عمود بر پایه بزرگتر رها کردیم، پس MBCK یک مستطیل است.
به معنای
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
مثلث های DBM و ACK مستطیل شکل هستند، بنابراین زوایای قائم آنها توسط ارتفاعات ذوزنقه تشکیل می شود. اجازه دهید ارتفاع ذوزنقه را با h نشان دهیم. سپس، توسط قضیه فیثاغورث
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
و
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
بیایید در نظر بگیریم که a = 16 - b، سپس در معادله اول
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
بیایید مقدار مربع ارتفاع را با معادله دوم که با استفاده از قضیه فیثاغورث به دست آمده است جایگزین کنیم. ما گرفتیم:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
بنابراین KD = 12
جایی که
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
مساحت ذوزنقه را از ارتفاع آن و نصف مجموع قاعده ها را بیابید
، جایی که a b - پایه ذوزنقه، h - ارتفاع ذوزنقه
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 سانتی متر مربع
پاسخ: مساحت ذوزنقه 80 سانتی متر مربع است.
ذوزنقه حالت خاصی از چهار ضلعی است که در آن یک جفت ضلع موازی است. اصطلاح "ذوزنقه" از کلمه یونانی τράπεζα به معنای "میز"، "میز" گرفته شده است. در این مقاله به بررسی انواع ذوزنقه و خواص آن می پردازیم. علاوه بر این، نحوه محاسبه عناصر منفرد این را خواهیم فهمید، به عنوان مثال، مورب ذوزنقه متساوی الساقین، خط مرکزی، مساحت و غیره. .
اطلاعات کلی
ابتدا بیایید بفهمیم که چهارضلعی چیست. این شکل یک حالت خاص از یک چند ضلعی است که شامل چهار ضلع و چهار راس است. دو رأس یک چهار ضلعی که مجاور هم نباشند مخالف نامیده می شوند. همین را می توان برای دو ضلع غیر مجاور نیز گفت. انواع اصلی چهارضلعی ها متوازی الاضلاع، مستطیل، لوزی، مربع، ذوزنقه و دلتوئید هستند.
پس بیایید به ذوزنقه ها برگردیم. همانطور که قبلاً گفتیم این رقم دارای دو ضلع موازی است. به آنها پایگاه می گویند. دو طرف دیگر (غیر موازی) اضلاع جانبی هستند. در مواد امتحانات و تست های مختلف اغلب می توانید مشکلات مربوط به ذوزنقه ها را بیابید که حل آنها اغلب مستلزم داشتن دانشی است که در برنامه پیش بینی نشده است. درس هندسه مدرسه دانش آموزان را با ویژگی های زاویه ها و مورب ها و همچنین خط وسط ذوزنقه متساوی الساقین آشنا می کند. اما علاوه بر این، شکل هندسی مذکور ویژگی های دیگری نیز دارد. اما در مورد آنها کمی بعد ...
انواع ذوزنقه
انواع مختلفی از این شکل وجود دارد. با این حال، اغلب مرسوم است که دو مورد از آنها را در نظر بگیریم - متساوی الساقین و مستطیل.
1. ذوزنقه مستطیلی شکلی است که یکی از اضلاع آن بر پایه ها عمود باشد. دو زاویه او همیشه برابر با نود درجه است.
2. ذوزنقه متساوی الساقین شکل هندسی است که اضلاع آن با یکدیگر برابر است. این بدان معنی است که زوایای پایه ها نیز به صورت جفت برابر هستند.
اصول اصلی روش شناسی برای مطالعه خواص ذوزنقه
اصل اصلی شامل استفاده از رویکرد به اصطلاح وظیفه است. در واقع نیازی به وارد کردن ویژگی های جدید این شکل در درس هندسه نظری نیست. آنها را می توان در فرآیند حل مسائل مختلف (ترجیحاً سیستمی) کشف و فرموله کرد. در عین حال، بسیار مهم است که معلم بداند چه وظایفی باید در یک دوره آموزشی به دانش آموزان محول شود. علاوه بر این، هر ویژگی ذوزنقه می تواند به عنوان یک وظیفه کلیدی در سیستم وظیفه نمایش داده شود.
اصل دوم، سازماندهی به اصطلاح مارپیچی برای مطالعه خواص "قابل توجه" ذوزنقه است. این به معنای بازگشت در فرآیند یادگیری به ویژگی های فردی یک شکل هندسی معین است. این باعث می شود دانش آموزان راحت تر آنها را به خاطر بسپارند. مثلاً خاصیت چهار نقطه. هم هنگام مطالعه شباهت و هم پس از آن با استفاده از بردارها می توان آن را ثابت کرد. و هم ارزی مثلث های مجاور اضلاع یک شکل را می توان نه تنها با اعمال خواص مثلث هایی با ارتفاع مساوی که به ضلع هایی که روی یک خط مستقیم قرار دارند، بلکه با استفاده از فرمول S = 1/2 نیز اثبات کرد. ab*sina). علاوه بر این، می توانید بر روی ذوزنقه حکاکی شده یا مثلث قائم الزاویه روی ذوزنقه حکاکی شده و غیره کار کنید.
استفاده از ویژگی های "خارج از برنامه" یک شکل هندسی در محتوای یک دوره مدرسه یک فناوری مبتنی بر وظیفه برای آموزش آنها است. رجوع مداوم به ویژگی های مورد مطالعه در حین مرور موضوعات دیگر به دانش آموزان اجازه می دهد تا دانش عمیق تری از ذوزنقه به دست آورند و موفقیت در حل مسائل تعیین شده را تضمین می کند. بنابراین، بیایید شروع به مطالعه این شکل شگفت انگیز کنیم.
عناصر و خواص ذوزنقه متساوی الساقین
همانطور که قبلاً اشاره کردیم، این شکل هندسی دارای اضلاع مساوی است. به ذوزنقه صحیح نیز معروف است. چرا اینقدر قابل توجه است و چرا چنین نامی به خود گرفته است؟ ویژگی این شکل این است که نه تنها اضلاع و زوایای پایه ها، بلکه مورب ها نیز برابر هستند. به علاوه مجموع زوایای ذوزنقه متساوی الساقین 360 درجه است. اما این همه ماجرا نیست! از میان همه ذوزنقه‌های شناخته شده، فقط یک متساوی الساقین را می‌توان به عنوان دایره توصیف کرد. این به این دلیل است که مجموع زوایای مقابل این شکل برابر با 180 درجه است و فقط در این شرایط می توان دایره ای را در اطراف یک چهار ضلعی توصیف کرد. خاصیت بعدی شکل هندسی مورد بررسی این است که فاصله راس قاعده تا برآمدگی راس مقابل بر روی خط مستقیمی که این قاعده را در خود دارد برابر با خط وسط خواهد بود.
حالا بیایید بفهمیم که چگونه زوایای ذوزنقه متساوی الساقین را پیدا کنیم. اجازه دهید راه حلی برای این مشکل در نظر بگیریم، مشروط بر اینکه ابعاد اضلاع شکل مشخص باشد.
راه حل
به طور معمول، چهار ضلعی معمولا با حروف A، B، C، D نشان داده می شود، که در آن BS و AD پایه هستند. در ذوزنقه متساوی الساقین، اضلاع با هم برابر هستند. اندازه آنها را برابر با X و اندازه پایه ها را برابر با Y و Z (به ترتیب کوچکتر و بزرگتر) فرض خواهیم کرد. برای انجام محاسبات، لازم است که ارتفاع H را از زاویه B رسم کنیم. نتیجه یک مثلث قائم الزاویه ABN است که AB هیپوتانوس و BN و AN پاها هستند. اندازه ساق AN را محاسبه می کنیم: پایه کوچکتر را از پایه بزرگتر کم می کنیم و حاصل را بر 2 تقسیم می کنیم. آن را به صورت فرمول می نویسیم: (Z-Y)/2 = F. حالا برای محاسبه حاد زاویه مثلث، از تابع cos استفاده می کنیم. ورودی زیر را دریافت می کنیم: cos(β) = X/F. حالا زاویه را محاسبه می کنیم: β=arcos (X/F). علاوه بر این، با دانستن یک زاویه، می توانیم دومی را تعیین کنیم، برای این کار یک عملیات حسابی ابتدایی را انجام می دهیم: 180 - β. همه زوایا تعریف شده است.
راه حل دومی برای این مشکل وجود دارد. ابتدا آن را از گوشه به ارتفاع H پایین می آوریم. مقدار پایه BN را محاسبه می کنیم. می دانیم که مجذور هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها. دریافت می کنیم: BN = √(X2-F2). سپس از تابع مثلثاتی tg استفاده می کنیم. در نتیجه داریم: β = آرکتان (BN/F). یک زاویه حاد پیدا شده است. در مرحله بعد، آن را مشابه روش اول تعریف می کنیم.
ویژگی قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین
ابتدا اجازه دهید چهار قانون را بنویسیم. اگر قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین عمود بر هم باشند، آنگاه:
ارتفاع شکل برابر با مجموع پایه ها تقسیم بر دو خواهد بود.
ارتفاع و خط وسط آن برابر است.
مرکز دایره نقطه ای است که در آن ;
اگر ضلع جانبی توسط نقطه مماس به قطعات H و M تقسیم شود، آنگاه برابر است با جذر حاصلضرب این قطعات.
چهارضلعی که از نقاط تماس، راس ذوزنقه و مرکز دایره محاطی تشکیل شده است مربعی است که ضلع آن برابر با شعاع است.
مساحت یک شکل برابر است با حاصل ضرب پایه ها و حاصل ضرب نصف مجموع پایه ها و ارتفاع آن.
ذوزنقه های مشابه
این مبحث برای مطالعه خواص این بسیار مناسب است، به عنوان مثال، مورب ها یک ذوزنقه را به چهار مثلث تقسیم می کنند و آنهایی که در مجاورت پایه ها قرار دارند مشابه هستند و آنهایی که مجاور اضلاع هستند از نظر اندازه برابر هستند. این عبارت را می توان ویژگی مثلث هایی نامید که ذوزنقه بر اساس قطرهایش به آنها تقسیم می شود. قسمت اول این گفته از طریق علامت تشابه در دو زاویه ثابت می شود. برای اثبات قسمت دوم بهتر است از روش زیر استفاده کنید.
اثبات قضیه
می پذیریم که شکل ABSD (AD و BS پایه های ذوزنقه هستند) به قطرهای VD و AC تقسیم شده است. نقطه تقاطع آنها O است. ما چهار مثلث داریم: AOS - در پایه پایین، BOS - در پایه بالا، ABO و SOD در اضلاع. مثلث های SOD و BOS دارای ارتفاع مشترک هستند اگر قطعات BO و OD پایه آنها باشند. ما متوجه شدیم که تفاوت بین مساحت آنها (P) برابر است با تفاوت بین این بخش ها: PBOS/PSOD = BO/OD = K. بنابراین، PSOD = PBOS/K. به طور مشابه، مثلث های BOS و AOB دارای ارتفاع مشترک هستند. بخش های CO و OA را به عنوان پایه آنها در نظر می گیریم. ما PBOS/PAOB = CO/OA = K و PAOB = PBOS/K را دریافت می کنیم. از این نتیجه می شود که PSOD = PAOB.
برای تجمیع مطالب، به دانش‌آموزان توصیه می‌شود تا با حل مسئله زیر، ارتباط بین مناطق مثلث‌های حاصل را که ذوزنقه بر اساس قطرهای آن تقسیم می‌شود، بیابند. مشخص است که مثلث های BOS و AOD دارای مساحت مساوی هستند. از آنجایی که PSOD = PAOB، به معنای PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD است. از شباهت مثلث های BOS و AOD نتیجه می شود که BO/OD = √(PBOS/PAOD). بنابراین PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). ما PSOD = √ (PBOS*PAOD) را دریافت می کنیم. سپس PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
خواص تشابه
با ادامه توسعه این موضوع، می‌توانیم ویژگی‌های جالب دیگر ذوزنقه‌ها را ثابت کنیم. بنابراین با استفاده از تشابه می توان خاصیت پاره ای را که از نقطه ای که از تقاطع مورب های این شکل هندسی به موازات قاعده ها تشکیل شده است را اثبات کرد. برای انجام این کار، اجازه دهید مشکل زیر را حل کنیم: لازم است طول قطعه RK را که از نقطه O می گذرد، پیدا کنیم. از شباهت مثلث های AOD و BOS نتیجه می شود که AO/OS = AD/BS. از شباهت مثلث های AOP و ASB چنین بر می آید که AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). از اینجا به این نتیجه میرسیم که RO=BS*BP/(BS+BP). به همین ترتیب، از شباهت مثلث‌های DOC و DBS، نتیجه می‌شود که OK = BS*AD/(BS+AD). از اینجا به RO=OK و RK=2*BS*AD/(BS+AD) می رسیم. قطعه ای که از نقطه تقاطع مورب ها به موازات پایه ها می گذرد و دو ضلع جانبی را به هم وصل می کند، توسط نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود. طول آن میانگین هارمونیک پایه های شکل است.
ویژگی زیر ذوزنقه را در نظر بگیرید که به آن خاصیت چهار نقطه می گویند. نقاط تقاطع مورب ها (O)، محل تلاقی ادامه اضلاع (E) و همچنین نقاط میانی پایه ها (T و F) همیشه روی یک خط قرار دارند. این را می توان به راحتی با روش تشابه اثبات کرد. مثلث های BES و AED به دست آمده مشابه هستند و در هر یک از آنها میانه های ET و EJ زاویه رأس E را به قسمت های مساوی تقسیم می کنند. بنابراین، نقاط E، T و F روی یک خط مستقیم قرار دارند. به همین ترتیب، نقاط T، O، و Zh روی یک خط مستقیم قرار دارند. از اینجا نتیجه می گیریم که هر چهار نقطه - E، T، O و F - روی یک خط مستقیم قرار می گیرند.
با استفاده از ذوزنقه های مشابه، می توانید از دانش آموزان بخواهید طول قطعه (LS) را که شکل را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند، بیابند. این قطعه باید موازی با پایه ها باشد. از آنجایی که ذوزنقه های حاصل ALFD و LBSF مشابه هستند، پس BS/LF = LF/AD. نتیجه این است که LF=√(BS*AD). متوجه شدیم که قطعه ای که ذوزنقه را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند دارای طولی برابر با میانگین هندسی طول پایه های شکل است.
ویژگی تشابه زیر را در نظر بگیرید. بر اساس قطعه ای است که ذوزنقه را به دو شکل مساوی تقسیم می کند. ما فرض می کنیم که ذوزنقه ABSD توسط قطعه EH به دو قطعه مشابه تقسیم می شود. از راس B یک ارتفاع حذف شده است که توسط بخش EN به دو قسمت - B1 و B2 تقسیم می شود. دریافت می کنیم: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 و PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. سپس، سیستمی را می سازیم که اولین معادله آن (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 و معادله دوم (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 باشد. نتیجه می شود که B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) و BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). دریافتیم که طول قطعه ای که ذوزنقه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند برابر است با ریشه میانگین مربع طول پایه ها: √((BS2+AD2)/2).
یافته های شباهت
بنابراین، ما ثابت کردیم که:
1. پاره ای که نقاط میانی اضلاع جانبی ذوزنقه را به هم وصل می کند موازی با AD و BS و برابر است با میانگین حسابی BS و AD (طول قاعده ذوزنقه).
2. خطی که از نقطه O تقاطع قطرهای موازی AD و BS می گذرد برابر با میانگین هارمونیک اعداد AD و BS (2*BS*AD/(BS+AD)) خواهد بود.
3. پاره ای که ذوزنقه را به قطعات مشابه تقسیم می کند دارای طول میانگین هندسی پایه های BS و AD است.
4. عنصری که یک شکل را به دو عدد مساوی تقسیم می کند دارای طول ریشه میانگین مربع اعداد AD و BS است.
برای ادغام مطالب و درک ارتباط بین بخش های در نظر گرفته شده، دانش آموز باید آنها را برای یک ذوزنقه خاص بسازد. او به راحتی می تواند خط وسط و قطعه ای را که از نقطه O - محل تقاطع مورب های شکل - موازی با پایه ها عبور می کند، نمایش دهد. اما سومین و چهارمین کجا قرار خواهند گرفت؟ این پاسخ دانش آموز را به کشف رابطه مطلوب بین مقادیر متوسط می رساند.
پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند
ویژگی زیر را در این شکل در نظر بگیرید. فرض می کنیم که قطعه MH موازی با قاعده ها است و قطرها را نصف می کند. نقطه های تقاطع Ш و Ш را می نامیم. بیایید به این موضوع با جزئیات بیشتری نگاه کنیم. MS خط وسط مثلث ABS است که برابر با BS/2 است. MSH خط وسط مثلث ABD است که برابر با AD/2 است. سپس دریافت می کنیم که ShShch = MSh-Msh، بنابراین، ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
مرکز گرانش
بیایید ببینیم که چگونه این عنصر برای یک شکل هندسی مشخص تعیین می شود. برای انجام این کار، لازم است که پایه ها را در جهت مخالف گسترش دهید. چه مفهومی داره؟ شما باید پایه پایین را به پایه بالایی اضافه کنید - در هر جهت، به عنوان مثال، به سمت راست. و قسمت پایینی را به طول قسمت بالایی به سمت چپ گسترش می دهیم. سپس آنها را به صورت مورب به هم وصل می کنیم. نقطه تلاقی این قطعه با خط وسط شکل مرکز ثقل ذوزنقه است.
ذوزنقه های کتیبه دار و محصور
بیایید ویژگی های چنین ارقامی را فهرست کنیم:
1. ذوزنقه را فقط در صورتی می توان به صورت دایره ای حک کرد که متساوی الساقین باشد.
2. ذوزنقه را می توان در اطراف دایره توصیف کرد، مشروط بر اینکه مجموع طول پایه های آنها با مجموع طول اضلاع برابر باشد.
پیامدهای دایره:
1. ارتفاع ذوزنقه توصیف شده همیشه برابر با دو شعاع است.
2. ضلع ذوزنقه توصیف شده از مرکز دایره با زاویه قائمه مشاهده می شود.
نتیجه اول واضح است، اما برای اثبات دومی باید ثابت کرد که زاویه SOD درست است، که در واقع دشوار نیست. اما آگاهی از این ویژگی به شما این امکان را می دهد که در حل مسائل از مثلث قائم الزاویه استفاده کنید.
حال اجازه دهید این پیامدها را برای ذوزنقه متساوی الساقین که در یک دایره حک شده است مشخص کنیم. متوجه می شویم که ارتفاع، میانگین هندسی پایه های شکل است: H=2R=√(BS*AD). دانش آموز در حین تمرین تکنیک اساسی برای حل مسائل ذوزنقه ای (اصل ترسیم دو ارتفاع) باید تکلیف زیر را حل کند. فرض می کنیم که BT ارتفاع شکل متساوی الساقین ABSD است. یافتن بخش های AT و TD ضروری است. با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا، انجام این کار دشوار نخواهد بود.
حالا بیایید بفهمیم که چگونه شعاع دایره را با استفاده از مساحت ذوزنقه محدود شده تعیین کنیم. ارتفاع را از راس B به پایه AD کاهش می دهیم. از آنجایی که دایره در یک ذوزنقه حک شده است، پس BS+AD = 2AB یا AB = (BS+AD)/2. از مثلث ABN، sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) را پیدا می کنیم. PABSD = (BS+BP)*BN/2، BN=2R. ما PABSD = (BS+BP)*R را دریافت می کنیم، نتیجه آن این است که R = PABSD/(BS+BP).
تمام فرمول های خط وسط ذوزنقه
حالا وقت آن است که به آخرین عنصر این شکل هندسی برویم. بیایید بفهمیم که خط وسط ذوزنقه (M) برابر است:
1. از طریق پایه ها: M = (A+B)/2.
2. از طریق ارتفاع، پایه و گوشه ها:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. از طریق ارتفاع، مورب و زاویه بین آنها. برای مثال، D1 و D2 قطرهای ذوزنقه هستند. α، β - زوایای بین آنها:
M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.
4. از طریق مساحت و ارتفاع: M = P/N.
مفهوم خط وسط ذوزنقه
ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چه شکلی ذوزنقه نامیده می شود.
تعریف 1
ذوزنقه چهار ضلعی است که دو ضلع آن موازی و دو ضلع دیگر موازی نیستند.
در این حالت اضلاع موازی را قاعده ذوزنقه و اضلاع غیر موازی را اضلاع جانبی ذوزنقه می نامند.
تعریف 2
خط وسط ذوزنقه قطعه ای است که نقاط میانی اضلاع جانبی ذوزنقه را به هم متصل می کند.
قضیه خط وسط ذوزنقه
حال قضیه خط وسط ذوزنقه را معرفی کرده و با استفاده از روش برداری اثبات می کنیم.
قضیه 1
خط وسط ذوزنقه موازی قاعده ها و برابر با نیم جمع آنهاست.
اثبات
اجازه دهید یک ذوزنقه $ABCD$ با پایه $AD\ و\ BC$ به ما داده شود. و اجازه دهید $MN$ خط وسط این ذوزنقه باشد (شکل 1).
شکل 1. خط وسط ذوزنقه
اجازه دهید ثابت کنیم که $MN||AD\ و\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
بردار $\overrightarrow(MN)$ را در نظر بگیرید. در مرحله بعد از قانون چند ضلعی برای اضافه کردن بردارها استفاده می کنیم. از یک طرف، ما آن را دریافت می کنیم
از طرف دیگر
بیایید دو برابر آخر را با هم جمع کنیم و بدست آوریم
از آنجایی که $M$ و $N$ نقاط میانی اضلاع جانبی ذوزنقه هستند، خواهیم داشت
ما گرفتیم:
از این رو
از همان برابری (از آنجایی که $\overrightarrow(BC)$ و $\overrightarrow(AD)$ هم جهت هستند و بنابراین، هم خط هستند) ما آن $MN||AD$ را بدست می آوریم.
قضیه ثابت شده است.
نمونه هایی از مسائل مربوط به مفهوم خط وسط ذوزنقه
مثال 1
اضلاع جانبی ذوزنقه به ترتیب $15\cm$ و $17 $cm$ است. محیط ذوزنقه $52\cm$ است. طول خط وسط ذوزنقه را پیدا کنید.
راه حل.
اجازه دهید خط وسط ذوزنقه را با $n$ نشان دهیم.
مجموع اضلاع برابر است
بنابراین، از آنجایی که محیط $52\cm$ است، مجموع پایه ها برابر است با
بنابراین، با قضیه 1، ما دریافت می کنیم
پاسخ: 10$\cm$.
مثال 2
انتهای قطر دایره به ترتیب 9$ سانتی متر و 5$ سانتی متر از مماس آن فاصله دارد قطر این دایره را بیابید.
راه حل.
اجازه دهید دایره ای با مرکز در نقطه $O$ و قطر $AB$ به ما داده شود. بیایید یک مماس $l$ رسم کنیم و فواصل $AD=9\cm$ و $BC=5\cm$ را بسازیم. بیایید شعاع $OH$ را رسم کنیم (شکل 2).
شکل 2.
از آنجایی که $AD$ و $BC$ فواصل تا مماس هستند، پس $AD\bot l$ و $BC\bot l$ و از آنجایی که $OH$ شعاع است، پس $OH\bot l$، بنابراین، $OH |\چپ|AD\راست||BC$. از همه اینها دریافتیم که $ABCD$ یک ذوزنقه است و $OH$ خط وسط آن است. با قضیه 1 دریافت می کنیم
چهار ضلعی که فقط دو ضلع آن موازی باشند نامیده می شود ذوزنقه ای.
اضلاع موازی ذوزنقه را آن می نامند دلایل، و آن ضلع هایی که موازی نیستند نامیده می شوند طرفین. اگر اضلاع برابر باشند، چنین ذوزنقه ای متساوی الساقین است. فاصله بین پایه ها را ارتفاع ذوزنقه می گویند.
ذوزنقه خط میانی
خط وسط قطعه ای است که نقاط میانی اضلاع جانبی ذوزنقه را به هم متصل می کند. خط وسط ذوزنقه با قاعده های آن موازی است.
قضیه:
اگر خط مستقیمی که از وسط یک ضلع عبور می کند با پایه های ذوزنقه موازی باشد، ضلع دوم ذوزنقه را نصف می کند.
قضیه:
طول خط وسط برابر است با میانگین حسابی طول قاعده های آن
MN || AB || دی سیAM = MD; BN=NC
MN خط وسط، AB و CD - پایه ها، AD و BC - اضلاع جانبی
MN = (AB + DC)/2
قضیه:
طول خط وسط ذوزنقه برابر است با میانگین حسابی طول قاعده های آن.
وظیفه اصلی: ثابت کنید که خط وسط ذوزنقه پاره ای را که انتهای آن در وسط قاعده ذوزنقه قرار دارد به دو نیم می کند.
خط وسط مثلث
پاره ای که نقاط میانی دو ضلع مثلث را به هم متصل می کند، خط وسط مثلث نامیده می شود. موازی ضلع سوم و طول آن برابر با نصف طول ضلع سوم است.
قضیه: اگر خطی که نقطه وسط یک ضلع مثلث را قطع می کند با ضلع دیگر مثلث موازی شود، ضلع سوم را نصف می کند.
AM = MC و BN = NC =>
اعمال خواص خط وسط مثلث و ذوزنقه
تقسیم یک قطعه به تعداد معینی از قطعات مساوی.
وظیفه: قطعه AB را به 5 قسمت مساوی تقسیم کنید.
راه حل:
فرض کنید p یک پرتو تصادفی باشد که مبدأ آن نقطه A است و روی خط AB قرار ندارد. 5 قسمت مساوی را به ترتیب روی p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 کنار می گذاریم
A 5 را به B وصل می کنیم و خطوطی را از طریق A 4، A 3، A 2 و A 1 می کشیم که با A 5 B موازی هستند. آنها به ترتیب AB را در نقاط B 4، B 3، B 2 و B 1 قطع می کنند. این نقاط قطعه AB را به 5 قسمت مساوی تقسیم می کنند. در واقع، از ذوزنقه BB 3 A 3 A 5 می بینیم که BB 4 = B 4 B 3. به همین ترتیب از ذوزنقه B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2 بدست می آوریم.
در حالی که از ذوزنقه B 3 B 1 A 1 A 3، B 3 B 2 = B 2 B 1.
سپس از B 2 AA 2 نتیجه می شود که B 2 B 1 = B 1 A. در نتیجه می گیریم:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
واضح است که برای تقسیم قطعه AB به تعدادی قسمت مساوی دیگر، باید همان تعداد قطعه مساوی را روی پرتو p پخش کنیم. و سپس به روشی که در بالا توضیح داده شد ادامه دهید.
