محاسبه فیلتر دیجیتال بازگشتی روشهای یکپارچه سازی عددی روش عدم تغییر پاسخ ضربه. کار پژوهشی "روش متغیرها"

سالن ورزشی شماره 9 موسسه آموزشی بودجه شهرداری

پروژه تجربی-انتزاعی

در این مورد:

کاربرد روش متغیرها در حل مسائل آزمون یکپارچه دولتی و المپیاد

انجام:

شاگرد XIکلاس "ب".

تیشچنکو الینا

مشاور علمی:

معلم ریاضی

خاتونتسوا

ایرینا ولادیمیروا

ورونژ – 2017

فهرست

معرفی

در ریاضیات مدرن، مفهوم بی تغییری نقش مهمی ایفا می کند، به عنوان مثال. تغییرناپذیری یک شی ریاضی بسیاری از تعاریف ریاضیات در واقع به این مفهوم مربوط می شود، اگرچه خود اصطلاح عدم تغییر در کتاب های درسی وجود ندارد.

مثال: یک تابع زوج f(x) با دامنه R ثابت است، زیرا f(x)= f(-x).

وجود یک یا آن خاصیت تغییر ناپذیر در یک شی ریاضی امکان ایجاد برخی از خصوصیات کیفی کلی این شی را فراهم می کند.

هدف از این کار نشان دادن استفاده از روش ثابت در حل مسائل آزمون دولتی و المپیاد یکپارچه است.

ادبیات بسیاری از دانشگاه های پیشرو در کشور، مانند دانشگاه دولتی مسکو و موسسه فیزیک و فناوری مسکو، به این موضوع اختصاص دارد. کتاب کلاسیک در تئوری متغیرها کتاب ریاضیدان برجسته آلمانی هرلین ویل است. و دانشجویان دانشگاه آکسفورد مجله سالانه "The Invariant" را منتشر می کنند.

این موضوع بسیار مرتبط به نظر می رسد، زیرا ... روش متغیرها حل مسائل با سطح پیچیدگی را به سادگی امکان پذیر می کند.

فصل 1. کاربرد روش invarianto در حل مسائل المپیاد

برابری (تعادل فرد)، باقیمانده تقسیم، جایگشت، رنگ آمیزی و غیره اغلب به عنوان ثابت در نظر گرفته می شوند.

استفاده از برابری یکی از ایده هایی است که اغلب در حل مسائل المپیاد با آن مواجه می شود. اجازه دهید مهمترین عباراتی را که کاربرد این ایده بر اساس آن استوار است، فرموله کنیم:

برابری مجموع چند اعداد صحیح با برابری تعداد جمله های فرد منطبق است.

علامت حاصلضرب چندین عدد (غیر صفر) با یکنواختی تعداد عوامل منفی تعیین می شود.

وظیفه 1.

ده موافق و پانزده منفی روی تابلو نوشته شده است. این مجاز است که هر دو کاراکتر را پاک کرده و در صورت یکسان بودن یک علامت مثبت و در غیر این صورت یک علامت منفی بنویسید. بعد از انجام بیست و چهار عمل از این دست چه علامتی روی تابلو باقی می ماند؟

راه حل.

هر پلاس را با یک عدد جایگزین کنید1 ، و هر منهای یک عدد است-1 .

سپس هر دو عدد را پاک کرده و حاصل ضرب آنها را یادداشت می کنیم. بنابراین حاصلضرب تمام اعداد نوشته شده روی تابلو بدون تغییر باقی می ماند.

از آنجایی که حاصلضرب در ابتدا منفی بود (15 عدد منفی)، در انتها باقی خواهد ماندمنفی.

پاسخ: منهای

وظیفه 2.

پسر در امتحان ریاضی خود نمره بدی گرفت و در حالت ناامیدی، کاغذی را که با کار خود داشت به ده تکه کرد. سپس یکی از قطعات به دست آمده را به 10 قطعه دیگر پاره کرد. آیا می توان 2015 تکه کاغذ در پایان آرامش وجود داشت؟

راه حل.

هر بار که یک تکه کاغذ را 10 پاره می کند، پسر تعداد کل کاغذها را 9 عدد افزایش می دهد. بعد از پاره شدن اول 10+9=10 و بعد از دومی 10+9=19 تکه و غیره خواهد داشت. . یعنی تعداد تکه های کاغذ در پارگی n با فرمول 1+9 تعیین می شودn.

بیایید بررسی کنیم که آیا عدد 2015 به صورت 1+9 قابل نمایش است یا خیرn:

1+9 n=2015;

9 n=2014.

2014 بدون باقیمانده بر 9 بخش پذیر نیست، بنابراین در پایان آرامش نمی توان 2015 قطعه وجود داشت.

پاسخ: خیر

وظیفه 3.

این تابلو شامل اعداد 1 تا 1998 است. شما مجاز هستید هر دو عدد را در یک حرکت پاک کنید و تفاوت آنها را بنویسید تا زمانی که یک عدد باقی بماند. آیا این عدد می تواند صفر باشد؟

راه حل.

مجموع تمام اعداد نوشته شده روی تخته قبل و بعد از یک مرحله را در نظر بگیرید. باشد که اعداد را پاک کنیمآ, ب. سپس در ابتدا مجموع همه اعداد برابر بود و سپس با کجااس- مجموع همه اعداد دیگر همانطور که می بینیم، جایگزینی (آ+ ب) بر (آ- ب) برابری مجموع همه اعداد را تغییر نمی دهد. مجموع اعداد در همان ابتدا یک عدد فرد است (
) یعنی در هر مرحله مجموع اعداد نوشته شده روی تابلو فرد خواهد بود. صفر یک عدد زوج است، بنابراین نمی‌توانیم آن را روی تابلو قرار دهیم.

پاسخ: خیر

وظیفه 4.

همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، هر خانه از یک جدول مربع 2*2 به رنگ سیاه یا سفید است. در یک حرکت، می‌توانید سلول‌ها را در هر ردیف، در هر ستون یا در هر مورب رنگ‌آمیزی کنید: سیاه - سفید و سفید - سیاه. آیا می توان در چند حرکت جدولی به دست آورد که تمام سلول ها سفید باشند؟

راه حل.

بیایید هر سلول را اگر رنگ سفید داشته باشد، 1 و اگر سیاه رنگ شده است -1 اختصاص دهیم. سپس تغییر رنگ به معنای تغییر علائم است. حاصلضرب تمام اعداد مربوط به سلول ها را در نظر بگیرید. از آنجایی که در هنگام رنگ آمیزی مجدد علائم دقیقاً دو عامل را تغییر می دهیم، حاصلضرب هر چهار عدد تغییر نمی کند. این محصول در همان ابتدا برابر با ۱- است. رنگ مورد نیاز مربوط به محصولی برابر با 1 است. بنابراین، رنگ آمیزی مجدد جدول با استفاده از عملیات نشان داده شده غیرممکن است.

پاسخ: خیر

وظیفه 5.

سه شمع شامل 1، 9 و 98 سنگ است. در یک حرکت، شما اجازه دارید از هر دو شمع، یک سنگ را بردارید و آنها را به سومین حرکت دهید. آیا می توان با چند حرکت تمام سنگ های یکی از توده ها را جمع کرد؟

راه حل.

اجازه دهید هنگام تقسیم اعداد اصلی بر سه - تعداد سنگ ها در انبوه، باقی مانده ها را در نظر بگیریم. در شمع اول باقیمانده 1 است، در دومی - 0، در سومی - 2 است. بیایید در نظر بگیریم که وقتی سنگ ها را جابجا می کنیم، از نقطه نظر باقیمانده چه اتفاقی می افتد:

ما یک متغیر پیدا کرده ایم - پس از هر یک از عملیات، باقیمانده ها یکسان خواهند بود: 0، 1، 2، فقط آنها به طور متفاوتی توزیع می شوند. اگر بتوانیم تمام سنگ ها را در یک توده جمع کنیم، پس از تقسیم بر 3 باقیمانده در همه انبوه ها یکسان خواهد بود (برابر 0). در نتیجه، جمع آوری تمام سنگ ها در یک توده با استفاده از عملیات ذکر شده غیرممکن است.

پاسخ: خیر

وظیفه 6.

یک خط شکسته بسته غیر خود متقاطع روی صفحه داده شده است که هیچ سه رأسی از آن روی یک خط مستقیم قرار ندارد. بیایید یک جفت پیوند غیر مجاور را چند خط بنامیمخاص، اگر ادامه یکی از آنها دیگری را قطع کند. ثابت کنید که تعداد جفت های خاص زوج است.

راه حل.

بیایید پیوندهای همسایه AB و BC را برداریم و آنها را صدا کنیمگوشه یک زاویه متقارن به زاویه ABC نسبت به نقطه B (گوشه در شکل زیر سایه دار است). گوشه های یکسانی را می توان برای تمام رئوس خط شکسته در نظر گرفت. واضح است که تعداد جفت های ویژه برابر است با تعداد نقاط تلاقی پیوندها با گوشه ها. لازم به ذکر است که تعداد پاره های خط شکسته که با یک گوشه قطع می شوند زوج است در مسیر A به C، خط شکسته هر چند بار که از آن خارج می‌شود وارد گوشه می‌شود (این از شرایطی ناشی می‌شود که هیچ سه راس از خط شکسته روی یک خط مستقیم قرار نگیرد). بنابراین، تعداد جفت های خاص زوج است که ما باید ثابت کنیم.

مسئله 7 (مرحله منطقه ای المپیاد همه روسیه برای دانش آموزان، 2016-2017، کلاس یازدهم، روز دوم، شماره 8).

در ابتدا 100 کارت روی میز قرار می گیرد که روی هر کدام یک عدد طبیعی نوشته شده است. علاوه بر این، در میان آنها دقیقا 28 کارت با اعداد فرد وجود دارد. سپس روش بعدی هر دقیقه انجام می شود. به ازای هر 12 کارتی که روی میز قرار می گیرد، حاصل ضرب اعداد نوشته شده روی آنها محاسبه می شود، همه این محصولات با هم جمع می شوند و عدد به دست آمده روی کارت جدیدی نوشته می شود که به کارت های روی میز اضافه می شود. آیا می توان 100 عدد اولیه را طوری انتخاب کرد که برای هر د طبیعی، دیر یا زود کارتی با عددی بخش پذیر بر
?

راه حل.

اگر در لحظه ای دقیقاً k عدد فرد در بین اعداد روی کارت ها وجود داشته باشد، در بین حاصل ضرب اعداد دقیقاً 12 وجود دارد.
فرد؛ بنابراین، عدد روی کارت اضافه شده بعدی دقیقاً زمانی فرد خواهد بود که فرد باشد (و سپس k در آن دقیقه 1 افزایش می یابد).

به راحتی می توان به این عدد پی برد
عجیب و غریب (این از این واقعیت ناشی می شود که توان های دو در
و
، برابر هستند). علاوه بر این، هنگام بررسی متوالی، متوجه می شویم که اولین
,
,
- اعداد فرد، و
- زوج. بنابراین وقتی تعداد کارت های فرد به 32 رسید دیگر افزایش نمی یابد و همیشه فقط 32 کارت فرد روی میز خواهد بود و تمام اعداد اضافه شده زوج خواهند بود.

حالا بذار n-گام بعدی – مجموع تمام محصولات 12 از اعداد نوشته شده روی کارت ها و - مجموع تمام محصولات 11 عددی. عدد
، که روی کارت بعدی نوشته خواهد شد، با برای مجموع حاصل از 12 عدد، که در میان آنها یک عدد زوج به تازگی اضافه شده است ، یعنی بر
. به معنای، . عدد - زوج، زیرا تعداد مجموعات فرد 11 است
زوج. به معنای،
فرد و حداکثر توان دو که بر آن بخش پذیر است
برابر با حداکثر توان دو قابل تقسیم بر . این بدان معنی است که از آنجایی که در ابتدا هیچ عددی روی میز وجود نداشت که برای هر طبیعی استدبر تقسیم شدند، سپس چنین اعداد دیگری ظاهر نمی شوند.

پاسخ: نه، نمی توانید.

فصل 2. کاربرد روش متغیرها در مسائل آزمون یکپارچه ایالت حاوی یک پارامتر

پس از تجزیه و تحلیل تعداد زیادی از مسائل، الگوریتمی برای حل مسائل با یک پارامتر با استفاده از روش ثابت تدوین شد.

الگوریتم حل مسائل با پارامترها با استفاده از یک متغیر:

1) معادله داده شده، نابرابری، سیستم معادلات (نابرابری ها) را برای عدم تغییر بررسی کنید.

2) مقادیر قابل قبول پارامتر را با بررسی اینکه آیا شرایط برآورده شده است پیدا کنید: اگر "تقارن با توجه به علامت متغیر" وجود دارد، مقدار صفر آن را جایگزین کنید. با "تقارن با توجه به جایگشت متغیرها"، همه متغیرها با یک حرف مشخص می شوند.

3) بررسی کنید تا مطمئن شوید که مقادیر پارامترهای یافت شده شرایط مشکل را برآورده می کند.

4) پاسخ را یادداشت کنید.

بیانیه 1 . اگر بیان
ثابت تحت دگرگونی
و معادله
ریشه دارد ، آن

بیانیه 2. اگر بیان

و معادله
راه حل دارد
، سپس یک جفت عدد

بیانیه 3 . اگر بیان
تغییر ناپذیر
و معادله
راه حل دارد
، سپس یک جفت عدد
همچنین راه حل این معادله

بیانیه 4. اگر بیان
تغییر ناپذیر
و
و معادله
راه حل دارد
, سپس چند عدد
همچنین راه حل این معادله

بیانیه 5. اگر بیان
تغییر ناپذیر
, معادله
ریشه دارد , که
همچنین ریشه این معادله است.

وظیفه 1.

تمام مقادیر پارامتر a را که معادله یک راه حل دارد، پیدا کنید

راه حل.

توجه داشته باشید که اگر ریشه معادله است، پس - - also a root => فقط اگر یک ریشه می تواند وجود داشته باشد =-=0.
جایگزین کنیم
:

در
:

1 ریشه، مناسب

در
:

سمت چپ این معادله بزرگتر یا مساوی است
، و این حد پایینی دقیق است - در آن به دست می آید
. تخمین سمت راست کمی دشوارتر است. اول از همه، توجه داشته باشید که هنگام تغییر یک متغیر از جانب
قبل از
اصطلاح
تغییر از -1 به 1. در بخش
تابع
یکنواخت افزایش می یابد از
قبل از
. بنابراین بیان
متفاوت است از
قبل از
. بر این اساس، سمت راست معادله (1) متفاوت است
قبل از
و مقادیر سمت راست معادله کاملاً این بخش را پر می کند. از اطلاعات به دست آمده در مورد مقادیر احتمالی سمت چپ و راست معادله (1) نتیجه می شود که آنها فقط زمانی می توانند برابر باشند که همزمان با هم برابر باشند.
. به عبارت دیگر، معادله (1) معادل سیستم:

معادله اول یک ریشه دارد
، که معادله دوم سیستم را نیز برآورده می کند. این بدان معنی است که سیستم و به همراه آن معادله اصلی، یک راه حل منحصر به فرد دارد
. بنابراین، مقدار بررسی شده پارامتر (
) باید در پاسخ وظیفه گنجانده شود.

پاسخ: 0;
.

وظیفه 2. سیستم نابرابری
یک راه حل واحد دارد؟

راه حل. 1. در این سیستم "تقارن با توجه به تغییر متغیرها" را مشاهده می کنیم. سپس، اگر راه حلی برای سیستم است، پس
همچنین راه حل سیستم منحصر به فرد بودن راه حل تحت شرایط به دست می آید
(بیانه 4).

2. تعیین همه متغیرها توسط
از نابرابری که راه حل منحصر به فردی دارد، اگر ممیز یک مثلث درجه دوم صفر باشد، آن ها

3. بیایید بررسی کنیم که آیا سیستم یک راه حل منحصر به فرد برای مقادیر پارامتر پیدا شده دارد یا خیر.

الف) اجازه دهید این سیستم نابرابری را جایگزین کنیم
:

اجازه دهید نابرابری های آخرین سیستم را جمع کنیم:
+

با باز کردن پرانتزها و آوردن اصطلاحات مشابه، به دست می آید: . از اینجا



- تنها تصمیم

ب) در هنگام تعویض
ما تنها راه حل را دریافت می کنیم

پاسخ:

وظیفه 3. تمام مقادیر پارامتری که برای آن سیستم معادلات وجود دارد را بیابید

دارای چهار راه حل مختلف

راه حل.

از فرم سیستم چنین است که > 0.

1. هنگامی که سیستم با - و جایگزین شود، ثابت است بر - . بنابراین، اگر مقدار پارامتر مورد نظر و یک جفت اعداد ;
- حل سیستم، سپس جفت
;
, ;
و
; -
همچنین راه حل های سیستمی (گزاره های 2 و 3). بنابراین راه حل هایی برای آن پیدا خواهیم کرد ≥ 0, ≥0. اجازه دهید نمودارهای معادلات را در یک سیستم مختصات به تصویر بکشیم. نمودار معادله اول - نقاط اضلاع مربعآ ب پ ت، نمودار دوم دایره ای است که مرکز آن در مبدا و شعاع آن برابر است.

شکل نشان می دهد که سیستم دقیقاً چهار راه حل در دو حالت دارد: 1)


;
; زیرا > 0، سپس
; 2) = 0 E- شعاع دایره ای محاط شده در مربعی که ضلع آن برابر است
مطابق فیثاغورث از مثلث BOS.

به معنای، 0E =
، سپس =
جایی که 2
= 2; 2 =
و =
.

پاسخ: = 1; =
.

وظیفه 4. در چه مقادیر پارامتری سیستم معادلات
دقیقا سه راه حل دارد؟

راه حل. 1. اگر یک جفت اعداد ;
- راه حل سیستم، - پارامتر مورد نظر، سپس جفت

; -
- همچنین یک راه حل برای سیستم. به معنای، = -
= 0. (گزاره 3).

2. جایگزین کنیم = 0 در این سیستم معادلات.

ما گرفتیم:

بیایید بررسی کنیم که آیا این معادله با مقادیر پیدا شده دارد یا خیر تنها تصمیم در =-3 داریم:

بیایید معادله دوم سیستم را حل کنیم:

یا
هیچ راه حلی ندارد

اگر y=0 باشد، آنگاه x=5 و (5-؛ 0) تنها راه حل برای سیستم است. به معنای،
مناسب نیست. نتیجه

در طول کار انجام شده، روش متغیرها مورد مطالعه قرار گرفت. روش ثابت برای حل مسائل آزمون یکپارچه دولتی حاوی پارامتر و مسائل المپیاد در رنگ آمیزی، برابری، باقیمانده تقسیم استفاده شد، کاربرد عملی روش توجیه شده و به وضوح نشان داده شد.

فهرست ادبیات استفاده شده

هنگام سنتز یک فیلتر گسسته با استفاده از یک نمونه اولیه آنالوگ، لازم است که عملکرد انتقال فیلتر آنالوگ تغییر کند. H(s)برای عملکرد گسسته انتقال فیلتر H(z).فیلتر گسسته به دست آمده نمی تواند از نظر مشخصات کاملاً با آنالوگ یکسان باشد - البته فقط به این دلیل که ویژگی های فرکانس فیلتر گسسته دوره ای هستند. شما فقط می توانید در مورد چیزهای خاصی صحبت کنید انطباقویژگی های فیلترهای آنالوگ و گسسته از آنجایی که تئوری تقریب پاسخ‌های فرکانس ایده‌آل با ابزارهای آنالوگ به خوبی توسعه یافته است، روش‌هایی برای سنتز فیلترهای گسسته با استفاده از نمونه‌های اولیه آنالوگ گسترده شده‌اند.

در این بخش دو روش برای سنتز فیلترهای گسسته بازگشتی با استفاده از نمونه های اولیه آنالوگ در نظر خواهیم گرفت:

روش پاسخ های ضربه ای ثابت.

این ساده ترین روش سنتز فیلتر دیجیتال بر این فرض استوار است که فیلتر دیجیتال سنتز شده باید یک پاسخ ضربه ای داشته باشد، که نتیجه نمونه برداری از پاسخ ضربه ای نمونه اولیه فیلتر آنالوگ مربوطه است.

روش تبدیل IR ثابت شامل محاسبه یک فیلتر گسسته است که IR آن یک IR گسسته از فیلتر نمونه اولیه است. گسسته سازی یک تابع زمان، همانطور که مشخص است، منجر به این واقعیت می شود که طیف تابع با دوره ای برابر با فرکانس نمونه گیری، تناوبی می شود. بنابراین، هنگام حرکت از IR پیوسته به IR گسسته، پاسخ فرکانسی فیلتر شروع به تکرار دوره ای با تغییری برابر با فرکانس نمونه برداری می کند. f 2. اگر فرکانس f 2در مقایسه با فرکانس های پاسخ فرکانس مشخصه فیلتر نمونه اولیه بسیار بالا تنظیم شده است، سپس فیلتر گسسته در ویژگی های آن با فیلتر نمونه اولیه پیوسته مطابقت دارد.

با در نظر گرفتن سنتز سیستم‌های قابل تحقق فیزیکی که پاسخ ضربه در t ناپدید می‌شود< 0, получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:

(h k )=(h(0)، h(Δ)، h(2Δ)) (*)

لازم به ذکر است که تعداد عبارت های جداگانه در بیان پاسخ ضربه ای فیلتر دیجیتال می تواند متناهی یا بی نهایت باشد. این ساختار فیلتر سنتز شده را تعیین می کند: یک فیلتر عرضی مربوط به یک پاسخ ضربه ای با تعداد محدود نمونه است، در حالی که یک فیلتر دیجیتال بازگشتی برای اجرای یک پاسخ ضربه ای بی نهایت طولانی مورد نیاز است.

پاسخ فرکانسی فیلتر به دست آمده با پاسخ فرکانسی نمونه اولیه آنالوگ مرتبط است همانطور که طیف سیگنال نمونه برداری شده با طیف سیگنال آنالوگ - تکرار دوره ای مرتبط است. بنابراین، برای به دست آوردن نتایج خوب با این روش سنتز، بهره نمونه اولیه آنالوگ باید در فرکانس‌های بالاتر از فرکانس Nyquist ناچیز باشد. همچنین نتیجه می شود که این روش برای ایجاد فیلترهای پایین گذر و فیلترهای باند گذر مناسب است، اما برای سنتز فیلترهای بالا گذر و فیلترهای ناچ نامناسب است.

به عنوان مثال، ما یک فیلتر پایین گذر Chebyshev مرتبه دوم را با فرکانس قطع 10 کیلوهرتز با استفاده از روش پاسخ ضربه ای ثابت سنتز می کنیم و به طور خاص فرکانس نمونه برداری را انتخاب می کنیم که به اندازه کافی بالا نباشد (48 کیلوهرتز) تا به وضوح ببینیم اثرات مرتبط با برهم نهی کپی های تغییر یافته طیف (شکل 6.2):

برنج. 6.2.پاسخ فرکانسی یک نمونه اولیه آنالوگ (خط چین) و یک فیلتر گسسته (خط جامد)، که با روش پاسخ ضربه ای ثابت سنتز شده است.

شکل به وضوح نشان می دهد که به دلیل فرکانس نمونه برداری به اندازه کافی بالا، ضریب انتقال فیلتر آنالوگ در فرکانس نایکیست به اندازه کافی کوچک نیست، که باعث ایجاد اعوجاج قابل توجهی در شکل پاسخ فرکانسی فیلتر گسسته سنتز شده می شود. افزایش نرخ نمونه برداری این اعوجاج ها را ناچیز می کند.

درجه تقریب مشخصه دامنه-فرکانس فیلتر دیجیتال سنتز شده به مشخصه نمونه اولیه آنالوگ به مرحله نمونه برداری انتخاب شده بستگی دارد. Δ . در صورت لزوم، باید ضریب انتقال فرکانس فیلتر دیجیتال را با جایگزین کردن متغیر در تابع سیستم H(z) با استفاده از فرمول محاسبه کنید. z=exp(jωΔ)و سپس نتیجه را با بهره فرکانس مدار آنالوگ مقایسه کنید.

مثال

سنتز یک فیلتر دیجیتال عرضی شبیه به یک سیستم دینامیکی مرتبه اول (به عنوان مثال، یک مدار RC یکپارچه) با یک پاسخ ضربه ای شکل را در نظر بگیرید.

(ضریب دامنه در پاسخ ضربه، که برای مسئله سنتز بی اهمیت است، برابر با واحد تنظیم می شود).

اجازه دهید پاسخ ضربه با دنباله ای از سه نمونه با فاصله مساوی تقریب شود:

یک فیلتر دیجیتال عرضی با چنین پاسخ ضربه ای با معادله تفاوت توصیف می شود

اعمال تبدیل z به دنباله ، تابع سیستم CF را پیدا می کنیم

ضریب انتقال فرکانس از کجا می آید؟

مثال

موردی را در نظر بگیرید که پاسخ ضربه ای یک مدار آنالوگ با یک دنباله گسسته بی نهایت تقریب شود.

()

پس از انجام تبدیل z پاسخ ضربه ()، تابع سیستم را به دست می آوریم

()

این تابع سیستم مربوط به یک فیلتر دیجیتال بازگشتی مرتبه اول است که علاوه بر جمع کننده، یک بلوک مقیاس و یک عنصر تاخیر را شامل می شود.

افزایش فرکانس فیلتر

روش مشخصه های فرکانس ثابت (تبدیل دو خطی).

اساساً غیرممکن است که یک فیلتر دیجیتال ایجاد کنید که پاسخ فرکانسی آن دقیقاً پاسخ فرکانسی برخی مدارهای آنالوگ را تکرار کند. دلیل آن این است که همانطور که مشخص است، ضریب انتقال فرکانس یک فیلتر دیجیتال تابع تناوبی فرکانس با دوره تعیین شده توسط مرحله نمونه برداری است (شکل).

برنج. . ویژگی های دامنه فرکانس فیلترها:

الف - آنالوگ؛ 6 - دیجیتال

با صحبت در مورد شباهت (بی تغییر) ویژگی های فرکانس فیلترهای آنالوگ و دیجیتال، ما فقط می توانیم کل محدوده فرکانس نامحدود را بخواهیم. ω aمربوط به سیستم آنالوگ به یک قطعه فرکانس تبدیل شد ω cفیلتر دیجیتال نابرابری را ارضا می کند

-π/Δ<ω ц < π/Δ

در حالی که ظاهر کلی پاسخ فرکانسی را حفظ می کند.

فرض کنید K a (p) تابع انتقال فیلتر آنالوگ باشد که با یک عبارت کسری-منطقی در توان های فرکانس مختلط داده می شود. آر . اگر از رابطه بین متغیرهای z و p استفاده کنیم:

z = exp(pΔ),

سپس می توانیم بنویسیم

p = (1 / Δ) ln z (هه)

با این حال، با کمک این قانون اتصال، به دست آوردن یک تابع سیستمی قابل تحقق فیزیکی CF غیرممکن است، زیرا جایگزینی (hch) در عبارت Ks(p) منجر به یک تابع سیستمی می شود که به صورت ضریب دو چند جمله ای بیان نمی شود. . لازم است یک تابع کسری - گویا از z که دارای خاصیت تبدیل اولیه (tch) باشد، یعنی نقاط دایره واحد واقع در صفحه z را به نقاطی از محور فرضی در صفحه p منتقل کند.

در میان روش‌های دیگر برای سنتز فیلترهای پایین‌گذر، رابطه شکل گسترده شده است

ایجاد یک مطابقت یک به یک بین نقاط دایره واحد در صفحه z با کل محور فرضی در صفحه p. ویژگی بارز این قانون تبدیل به شرح زیر است. اجازه دهید تغییر متغیر در (15.97) انجام شود.

z = exp(j ω Δ)،.

از آنجا رابطه بین متغیرهای فرکانس کوآ و سیستم های آنالوگ و دیجیتال اجتماعی را دنبال می کند:

(15.98)

اگر میزان نمونه برداری به اندازه کافی بالا باشد ( ω c Δ <<1), то, как легко видеть из формулы (15.98), . Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98).

در عمل، روش سنتز فیلترهای دیجیتال شامل جایگزینی متغیر در تابع Kl(p) مدار آنالوگ طبق فرمول (15.97) است. تابع سیستم حاصل DF به نظر می رسد کسری-عقلانی است و بنابراین به شما امکان می دهد مستقیماً الگوریتم فیلتر دیجیتال را بنویسید.

مثال

یک فیلتر دیجیتال با پاسخ فرکانسی مشابه فیلتر پایین گذر آنالوگ سنتز کنید. فرکانس قطع برای فیلتر دیجیتال ω sc = 1500 s -1. فرکانس نمونه برداری ω d = 10000 s -1.

ابتدا مرحله نمونه برداری را مشخص می کنیم

برای به دست آوردن یک فیلتر گسسته با فرکانس های قطع مشخص، لازم است فرکانس های قطع نمونه اولیه آنالوگ را برای جبران اعوجاج محور فرکانس تنظیم کنید. بنابراین، برای سنتز یک فیلتر پایین‌گذر مجزا با یک فرکانس قطع، فیلتر آنالوگ نمونه باید فرکانس قطع 00 a مرتبط با 0 d به شرح زیر داشته باشد:

با استفاده از فرمول (15.98)، فرکانس قطع یک فیلتر آنالوگ مشابه فیلتر دیجیتال سنتز شده را پیدا می کنیم:

عملکرد انتقال فیلتر پایین گذر آنالوگ

K a (r)

با جایگزین کردن یک متغیر از فرم (15.97)، تابع سیستم تابع دیجیتال را پیدا می کنیم:

برنج. 60. ویژگی های دامنه فرکانس فیلتر نمونه اولیه (1) و فیلترهای IIR سنتز شده (2-5)

با مقایسه منحنی های 1 و 2، می بینیم که aliasing، مشخصه یک فیلتر گسسته (invar met)، منجر به بدتر شدن پاسخ فرکانسی فیلتر در مقایسه با فیلتر نمونه اولیه می شود. با این حال، این تخریب کمتر خواهد بود، هر چه نسبت نرخ نمونه بالاتر باشد f 2 = 1 / T 2به فرکانس قطع فیلتر f c. که در در این مورد f 2 /fс=10. اگر مثلاً انتخاب کنید f 2 / f c = 20سپس برای یک فیلتر گسسته پاسخ فرکانسی را که با منحنی 3 در شکل نشان داده شده است، بدست می آوریم. 60. این منحنی به طور محسوسی به منحنی 1 (پاسخ فرکانس فیلتر نمونه اولیه) نزدیکتر از منحنی 2 است.

از مقایسه پاسخ فرکانسی یک فیلتر IIR گسسته محاسبه شده با روش تبدیل IM ثابت (منحنی های 2 و 3 در شکل 60) و فیلتر IIR یافت شده با روش تبدیل دو خطی (منحنی 4)، مشخص می شود که دومی روش مقادیر کمتری از پاسخ فرکانسی را در باند توقف می دهد. این با عدم وجود اثر aliasing مشخصه روش تبدیل IR ثابت توضیح داده می شود.

در عین حال، مقایسه منحنی های 1 و 4 در شکل 1. 60 دلیلی برای نتیجه گیری می دهد که روش تبدیل دوخطی منجر به تغییری در مقیاس در امتداد محور فرکانس می شود: برای یک فیلتر گسسته، کاهش پاسخ فرکانس زودتر از فیلتر نمونه اولیه پیوسته اتفاق می افتد. رابطه بین فرکانس fفیلتر و فرکانس پیوسته fnفیلتر گسسته را می توان از برابری یافت (330)

بنابراین، روش تبدیل پاسخ ضربه ای ثابت، مقیاس نمودار پاسخ فرکانس را در امتداد محور افقی (محور فرکانس) حفظ می کند، اما به دلیل اثر aliasing، اعوجاج هایی را در امتداد محور عمودی ایجاد می کند. در مورد روش تبدیل دو خطی، تصویر برعکس است: نمودار در امتداد محور عمودی تحریف نمی شود، اما نمودار در محور افقی تغییر شکل می دهد. با دانستن ماهیت این تغییر شکل، می توان از قبل تغییرات مناسبی در پاسخ فرکانسی فیلتر نمونه اولیه ایجاد کرد تا نتیجه مطلوب حاصل شود.

روش ثابت حلقه یک مورد خاص از روش تکرار است.

مجموعه خاصی از مقادیر M مشخص شده است، P M زیر مجموعه ای از نتایج است. ما باید نقطه x  P را پیدا کنیم. برای این کار، مجموعه های I M و Q M را طوری انتخاب می کنیم که   I  Q  P. بنابراین، وظیفه ما به یافتن نقطه ای می شود که متعلق به تقاطع این مجموعه ها علاوه بر این، ما فقط از چنین تبدیل هایی استفاده خواهیم کرد که I را ترک نمی کنند، یعنی در مورد ما، اینکه آیا یک نقطه به مجموعه I تعلق دارد، ثابت است (مقدار ثابت).

بگذارید x0  I نقطه شروع باشد.

T:I\QI - تبدیل با توجه به عضویت نقطه در مجموعه I ثابت است.

تصویری برای موارد فوق:

تحت عمل تبدیل T، نقطه x0 به نقطه ای x1 می رود، متعلق به مجموعه I. نقطه x1، به نوبه خود، به نقطه x2 می رود، همچنین متعلق به I. این روند تا زمانی ادامه می یابد که نقطه ای xN به نقطه ای متعلق می رود. به مجموعه ای Q، که به گونه ای انتخاب می شود که تقاطع آن با I در P باشد. نقطه حاصل از یک طرف به Q و از طرف دیگر متعلق به I است، به دلیل تغییر ناپذیری تبدیل T نسبت به I.

طرح برنامه:

در حالی که q(x) انجام نمی دهد

(x  IQ  P)

بیایید برنامه ای بنویسیم که روشی را که در بالا توضیح داده شد نشان دهد، که اطمینان حاصل می کند که یک عدد به یک عدد صحیح مثبت افزایش می یابد.

نوع_واقعی = مجرد;

قدرت تابع (x: _واقعی؛ n: _عدم علامت ): واقعی؛

(x پایه است، n توان است. زیرروال توان را ارائه می دهد)

در حالی که n > 0 do (z*x n - ثابت)

اگر فرد (n) سپس (بررسی برابری فرد)

dec(n); (n:=n-1)

n:= n chr 1; (n:= n div 2)

اجازه دهید ثابت کنیم که این برنامه در تعداد محدودی از مراحل تکمیل خواهد شد. زیر برنامه زمانی کار خود را کامل می کند که z = x n، یعنی. برای افزایش x به توان n در نظر گرفته شده است. تعداد تکرارها برابر است با تعداد "0" + 2 * تعداد "1" -1 در نماد باینری عدد n<= 2*количество значащих цифр – 1 в двоичной записи = 2*]log 2 n[ - 1. При этом данная программа будет очень эффективна.

روش تابع ثابت

روش تابع ثابت یک مورد خاص از روش ثابت حلقه است.

در این حالت x = x0 و لازم است f(x0) محاسبه شود. که در آن

I = (مجموعه x | f(x) = f(x0))

P = (مجموعه x | f(x) به راحتی قابل محاسبه است).

بیایید یک تبدیل T - ثابت نسبت به I بسازیم و خود مقدار P (Q = P) را به عنوان شرط پایان در نظر بگیریم.

طرح برنامه:

x:= x0; (x  I)

در حالی که p(x) انجام نمی شود

شروع (x  I\P)

x:= T(x); (x  I)

پایان؛

(x  P  I)

برای اثبات صحت کافی است ثابت کنیم که حلقه در تعداد محدودی از مراحل اجرا می شود.

بیایید برنامه ای بنویسیم که این روش را نشان دهد.

فرض کنید x = (a, b) و f(x) = N.O.D.(a, b). محاسبه N.O.D (الف، ب) ضروری است.

این برنامه از مقسوم‌کننده دو عدد استفاده خواهد کرد

مقسوم کننده تفاوت آنها خواهد بود.

a:= a0; b:= b0; (>=0)

در حالی که (a>0) و (b>0) انجام می دهند

اگر a>b آنگاه a:= a - b

else b:= b – a;

نتیجه:= a+b; (شرط خروج از حلقه برابری a یا b با 0 است، بنابراین مجموع این اعداد عددی را به ما می دهد که برابر با 0 نیست)

روش انتقال از فیلترهای آنالوگ به فیلترهای دیجیتال را روش عدم تغییر پاسخ ضربه ای می نامند.

برنج. 12.9. روش محاسبه با استفاده از روش عدم تغییر پاسخ ضربه. (به اسکن مراجعه کنید)

این روش نشان می دهد که پاسخ ضربه ای فیلتر دیجیتال حاصل نمونه ای از پاسخ ضربه ای فیلتر آنالوگ مربوطه است و به صورت زیر تعیین می شود:

که در آن T بازه نمونه برداری است. روش طراحی با استفاده از این روش در شکل نشان داده شده است. 12.9.

برای نشان دادن روش عدم تغییر پاسخ ضربه

بیایید تابع انتقال فیلتر آنالوگ اصلی را به کسرهای ساده تجزیه کنیم

جایی که فرض می کنیم a همه قطب ها متفاوت هستند. علاوه بر این، برای هر یک نشان دهنده قطب فیلتر آنالوگ است، و تفریق تابع در قطب است.

که در آن دنباله گام واحد است. با جایگزینی عبارت (12.30) به فرمول (12.28)، پاسخ ضربه فیلتر دیجیتال مربوطه را بدست می آوریم.

با مقایسه عبارات (12.29) و (12.32)، رابطه انتقال از فیلترهای آنالوگ به فیلترهای دیجیتال را برای روش عدم تغییر پاسخ ضربه ای به دست می آوریم که دارای شکل است.

قطب فیلتر دیجیتال مربوط به قطب فیلتر آنالوگ

مثال 12.2. فیلتر آنالوگ اصلی عملکرد انتقال زیر را دارد:

راه حل. بیایید تابع را به صورت کسرهای ساده بنویسیم

از معادلات (12.33) چنین بر می آید که دارای شکل است

که در آن T بازه نمونه برداری است. با ساده سازی عبارت (12.36 a)، به دست می آوریم

مثال 12.3. یک فیلتر پایین گذر عادی چبیشف مرتبه دوم با یک موج در باند عبور 3 دسی بل دارای تابع انتقال شکل است.

تابع انتقال فیلتر دیجیتال مربوطه را با استفاده از روش عدم تغییر پاسخ ضربه ای پیدا کنید.

راه حل. با نوشتن تابع در قالب فاکتورها، دریافت می کنیم

با اعمال معادلات (12.33) به رابطه حاصل می شود

برای c، از معادله (12.39) نتیجه می شود که

برنج. 12.10. ویژگی های دامنه فرکانس فیلتر چبیشف درجه دوم با ناهمواری 3 دسی بل. فیلتر آنالوگ، - فیلتر دیجیتال، فیلتر دیجیتال

ویژگی های دامنه فرکانس توابع مشخص شده توسط عبارات (12 40) و (12.41) در شکل نشان داده شده است. 12 10

به یاد بیاوریم که یک تابع تناوبی از متغیر 0 با یک دوره غیر تناوبی است. در بخش هایی که منحنی مشخصه به نقاط یا - نمونه برداری فاصله می رسد فیلتر کنید. اگر فاصله نمونه برداری به اندازه کافی کوچک باشد، انحراف از نقطه ای نزدیک به شروع می شود. در غیر این صورت، انحراف خیلی زودتر شروع می شود. یک مورد مناسب در شکل نشان داده شده است. 12.10. لازم به ذکر است که فرکانس های قطع فیلترهای دیجیتال در نقاطی قرار دارند

جایی که از اطلاعات فرکانس قطع فیلتر آنالوگ استفاده می شود این فرکانس های قطع مطابق رابطه زیر تکرار می شوند:

از آنجایی که پاسخ ضربه ای یک فیلتر دیجیتال که بر اساس روش عدم تغییر پاسخ ضربه ای به دست می آید، در واقع یک آنالوگ نمونه گیری شده از پاسخ ضربه ای یک فیلتر آنالوگ است، پاسخ فرکانسی فیلتر دیجیتال یک نسخه روی هم از پاسخ فرکانسی فیلتر آنالوگ است. همانطور که در رابطه (11.115) ایجاد شده است، و برای راحتی دوباره در اینجا آورده شده است:

اگر میزان نمونه برداری به اندازه کافی بالا باشد، اثر aliasing حداقل است. در شکل 12.10 برای c نشان می دهد که تشخیص اثر aliasing، که به شکل انحراف در ویژگی های فرکانس فیلترهای آنالوگ و دیجیتال ظاهر می شود، دشوار است. با این حال، اگر نرخ نمونه به اندازه کافی بالا نباشد، برای مثال برای مورد (شکل 12.10)، اثر برهم نهی شروع به تأثیر می کند، زیرا واضح است که تفاوت قابل توجهی با جایگزینی در معادلات (12.43) دارد، ما به دست می آوریم.

لازم به ذکر است که معادلات (12.44) رابطه بین توابع انتقال فیلترهای دیجیتال و آنالوگ متناظر را برای عدم تغییر ویژگی های ضربه ای آنها ایجاد می کند.

بررسی ویژگی ها با استفاده از روش عدم تغییر پاسخ ضربه برای انطباق با دو مورد ضروری است

شرایط رویه انتقال (12.10)، رابطه را در نظر بگیرید

و بنابراین

از شکل 12.11 نتیجه می شود که یک نوار افقی با عرض در صفحه s در کل صفحه نمایش داده می شود، یعنی نیمه چپ و راست این نوار به ترتیب در بخشی از صفحه در داخل و خارج دایره واحد نمایش داده می شود. ، و محور خیالی - در دایره واحد. از شکل 12.11، می توان ثابت کرد که منبع اثر برهم نهی ناشی از این واقعیت است که گذار (12.45) بدون ابهام نیست. به عنوان مثال، نقاط به یک نقطه نگاشت می شوند در واقع، روابط (12.45) بیان می کنند که تابع انتقال آنالوگ در هر باند بر روی کل صفحه قرار می گیرد تا یک تابع انتقال دیجیتال را تشکیل دهد. بنابراین، روش تغییر ناپذیری پاسخ ضربه یک نگاشت ساده خطی یا مشابه از صفحه s به صفحه نیست. با توجه به اثر aliasing، روش عدم تغییر پاسخ ضربه فقط برای فیلترهایی با پاسخ فرکانس آنالوگ به طور قابل توجهی محدود است که شرایط را برآورده می کند.

یعنی در مورد فیلترهای کم گذر و باند گذر.

همانطور که نشان داده شده است، روند انتقال بر اساس روش عدم تغییر پاسخ ضربه ای با معادلات (12.33) ارائه شده است، که بیان می کند که آرایش قطب فیلتر آنالوگ به ترتیب زیر نشان داده می شود:

بنابراین، روابط (12.45) ارتباطی بین قرارگیری قطب های فیلترهای آنالوگ و دیجیتال برقرار می کند. با این حال، کاملاً نادرست است که بگوییم نسبت ها

(برای مشاهده اسکن کلیک کنید)

برنج. 12.12. نمودار قطب ها و صفرهای یک فیلتر لرنر مرتبه دوم: a - یک نوع فیلتر آنالوگ، b - یک نوع فیلتر دیجیتال که بر اساس روش عدم تغییر پاسخ ضربه به دست آمده است.

(12.45) رابطه بین مکان های صفر فیلترهای دیجیتال و آنالوگ را با پاسخ های ضربه ای ثابت تعیین می کند. نمونه مناسب فالوور است.

مثال 12.4. عملکرد انتقال فیلتر آنالوگ مشخص شده است

که در آن مکان صفرها و قطب های فیلتر دیجیتالی را که بر اساس عدم تغییر پاسخ ضربه به دست آمده است، بیابید. راه حل. بسط تابع به کسرهای ساده می دهد

تابع انتقال فیلتر دیجیتال مربوطه مطابق (12.33) در فرم مشخص شده است

از معادله (12.50)، محل صفر نهایی فیلتر دیجیتال به دست می آید

محل صفر فیلتر آنالوگ کجاست. با این حال، قطب های فیلتر دیجیتال به صورت زیر مرتب می شوند:

محل قطب های فیلتر آنالوگ کجاست. نموداری از قرارگیری قطب ها و صفرهای فیلترهای آنالوگ و دیجیتال مربوطه در شکل نشان داده شده است. 12.12.

همانطور که مشخص شد، معادلات (12.33) برای هر دو قطب واقعی و مختلط اعمال می شود، اما برای یک قطب مختلط، راحت تر است که یک جفت قطب را در نظر بگیریم که در آن میله روی متغیر برای نشان دادن کمیت مزدوج استفاده می شود. با اعمال معادلات (12.33) بر این اساس، جفت تبدیل برای دو حالت مرتبه دوم زیر بدست می آوریم:

1. اگر تابع انتقال یک فیلتر آنالوگ در فرم آورده شده باشد

جایی که قطب ها در نقاطی قرار دارند

سپس تابع انتقال فیلتر دیجیتال مربوطه شکل می گیرد

2. اگر تابع در فرم داده شده باشد

سپس از رویه انتقال (12.33) نتیجه می گیرد که

مثال 12.5. یک فیلتر آنالوگ پایین گذر Butterworth درجه سوم با تابع انتقال زیر مشخص می شود:

تابع انتقال فیلتر باترورث دیجیتال مرتبه سوم مربوطه را با استفاده از روش عدم تغییر پاسخ ضربه ای پیدا کنید.

راه حل. تابع را می توان به صورت نوشتاری

از معادلات (12.33)، (12.53)-(12.56)، فیلتر دیجیتال مورد نیاز تابع انتقال زیر را دارد:

مثال 12.6. بیایید فرض کنیم که فیلتر پایین گذر دیجیتال شما باید شرایط زیر را داشته باشد:

الف) فرکانس قطع در 3 دسی بل راد است.

ب) ناهمواری پاسخ دامنه فرکانس در باند عبور برای راد بیش از 0.1 دسی بل نباشد.

ج) تضعیف در استاپ باند برای راد بیش از 30 دسی بل است.

د) مشخصه دامنه-فرکانس یک شکل یکنواخت کاهشی دارد

ه) فاصله نمونه برداری

تابع انتقال فیلتر دیجیتال مورد نیاز را پیدا کنید.

راه حل. اولین قدم تبدیل این معیارهای دیجیتال به معیارهای آنالوگ است. این را می توان با در نظر گرفتن اینکه اگر T معیار نایکیست را برآورده کند، معادلات (12-43) تقریباً به شکل کاهش می یابد انجام می شود.

و بنابراین

طبق رابطه (12.606)، فیلتر آنالوگ مورد نظر باید شرایط زیر را برآورده کند:

الف) فرکانس قطع در 3 دسی بل است