نحوه محاسبه حجم هرم کوتاه شده فرمول های حجم یک هرم پر و کوتاه. جلد هرم خئوپس

چندوجهی است که از قاعده هرم و مقطعی موازی با آن تشکیل شده است. می توانیم بگوییم که هرم ناقص، هرمی است که قسمت بالایی آن بریده شده است. این رقم دارای خواص منحصر به فرد بسیاری است:

• وجهه های جانبی هرم ذوزنقه ای هستند.
• لبه های جانبی هرم منقطع منتظم هم طول دارند و در یک زاویه به قاعده متمایل می شوند.
• پایه ها چند ضلعی های مشابه هستند.
• در یک هرم منقطع منظم، وجه ها ذوزنقه های متساوی الساقین یکسانی هستند که مساحت آنها برابر است. آنها همچنین در یک زاویه به پایه متمایل هستند.

فرمول مساحت سطح جانبی هرم ناقص مجموع مساحت اضلاع آن است:

از آنجایی که اضلاع هرم ناقص ذوزنقه هستند، برای محاسبه پارامترها باید از فرمول استفاده کنید. ناحیه ذوزنقه ای. برای یک هرم کوتاه معمولی، می توانید فرمول متفاوتی را برای محاسبه مساحت اعمال کنید. از آنجایی که تمام اضلاع، وجه ها و زوایای آن در قاعده برابر است، می توان محیط قاعده و آپوتم را اعمال کرد و همچنین مساحت را از طریق زاویه در قاعده استخراج کرد.

اگر با توجه به شرایط یک هرم ناقص منتظم، آپوتم (ارتفاع ضلع) و طول اضلاع قاعده داده شود، آنگاه می توان مساحت را از طریق حاصل نصف حاصل از مجموع محیط های قاعده محاسبه کرد. مبانی و حکم:

بیایید به مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم کوتاه نگاه کنیم.
با توجه به یک هرم پنج ضلعی منظم. آپوتم ل= 5 سانتی متر طول لبه در پایه بزرگ است آ= 6 سانتی متر، و لبه در پایه کوچکتر است ب= 4 سانتی متر مساحت هرم بریده شده را محاسبه کنید.

ابتدا محیط پایه ها را پیدا می کنیم. از آنجایی که به ما یک هرم پنج ضلعی داده شده است، می فهمیم که پایه ها پنج ضلعی هستند. این بدان معنی است که پایه ها دارای یک شکل با پنج ضلع یکسان هستند. بیایید محیط پایه بزرگتر را پیدا کنیم:

به همین ترتیب، محیط پایه کوچکتر را پیدا می کنیم:

اکنون می توانیم مساحت یک هرم منقطع منظم را محاسبه کنیم. داده ها را با فرمول جایگزین کنید:

بنابراین، ما مساحت یک هرم منقطع منظم را از طریق محیط ها و آپوتم ها محاسبه کردیم.

روش دیگر برای محاسبه مساحت سطح جانبی هرم منظم فرمول است از طریق زوایای پایه و مساحت همین پایه ها.

بیایید به یک محاسبه مثال نگاه کنیم. به یاد داشته باشید که این فرمول فقط برای یک هرم کوتاه معمولی کاربرد دارد.

بگذارید یک هرم چهار گوش منظم داده شود. لبه پایه پایینی a = 6 سانتی متر است و لبه پایه بالایی b = 4 سانتی متر است. زاویه دو وجهی در پایه β = 60 درجه است. مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم را پیدا کنید.

ابتدا مساحت پایه ها را محاسبه می کنیم. از آنجایی که هرم منظم است، تمام لبه های پایه ها با یکدیگر برابر هستند. با توجه به اینکه پایه یک چهار ضلعی است، می فهمیم که باید محاسبه کنیم مساحت میدان. حاصلضرب عرض و طول است، اما وقتی مجذور می شود این مقادیر یکسان هستند. بیایید مساحت پایه بزرگتر را پیدا کنیم:


اکنون از مقادیر یافت شده برای محاسبه مساحت سطح جانبی استفاده می کنیم.

با دانستن چند فرمول ساده، به راحتی مساحت ذوزنقه جانبی هرم بریده را با استفاده از مقادیر مختلف محاسبه کردیم.

توانایی محاسبه حجم اشکال فضایی هنگام حل تعدادی از مسائل عملی در هندسه مهم است. یکی از رایج ترین چهره ها هرم است. در این مقاله هر دوی اهرام کامل و کوتاه را در نظر خواهیم گرفت.

هرم به عنوان یک شکل سه بعدی

همه در مورد اهرام مصر می دانند، بنابراین آنها می دانند که ما در مورد چه نوع شخصیتی صحبت خواهیم کرد. با این حال، سازه های سنگی مصر تنها یک مورد خاص از یک کلاس بزرگ از اهرام است.

جسم هندسی مورد بررسی در حالت کلی یک قاعده چند ضلعی است که هر رأس آن به نقطه خاصی از فضا متصل است که به صفحه قاعده تعلق ندارد. این تعریف منجر به شکلی متشکل از یک n-ضلعی و n مثلث می شود.

هر هرمی از n+1 وجه، 2*n لبه و n+1 راس تشکیل شده است. از آنجایی که شکل مورد نظر یک چندوجهی کامل است، تعداد عناصر مشخص شده از برابری اویلر تبعیت می کند:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

چند ضلعی که در قاعده قرار دارد، نام هرم را می دهد، به عنوان مثال، مثلثی، پنج ضلعی، و غیره. مجموعه ای از اهرام با پایه های مختلف در عکس زیر نشان داده شده است.

نقطه ای که در آن n مثلث یک شکل به هم می رسند راس هرم می گویند. اگر یک عمود از آن روی قاعده پایین بیاید و آن را در مرکز هندسی قطع کند، چنین شکلی خط مستقیم نامیده می شود. اگر این شرط برآورده نشود، هرم مایل رخ می دهد.

شکل راستی که قاعده آن توسط یک n ضلعی متساوی الاضلاع (متساوی الاضلاع) تشکیل شده باشد منظم نامیده می شود.

فرمول حجم یک هرم

برای محاسبه حجم هرم از حساب انتگرال استفاده می کنیم. برای این کار، شکل را با برش صفحات موازی با پایه به تعداد بی نهایت لایه نازک تقسیم می کنیم. شکل زیر یک هرم چهار گوش به ارتفاع h و طول ضلع L را نشان می دهد که در آن چهارضلعی لایه نازک مقطع را مشخص می کند.

مساحت هر لایه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

در اینجا A 0 مساحت پایه است، z مقدار مختصات عمودی است. مشاهده می شود که اگر z = 0 باشد، فرمول مقدار A 0 را می دهد.

برای بدست آوردن فرمول حجم هرم، باید انتگرال را در تمام ارتفاع شکل محاسبه کنید، یعنی:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

با جایگزینی وابستگی A(z) و محاسبه ضد مشتق، به عبارت زیر می رسیم:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

ما فرمول حجم یک هرم را به دست آورده ایم. برای یافتن مقدار V کافی است ارتفاع شکل را در مساحت پایه ضرب کنید و سپس نتیجه را بر سه تقسیم کنید.

توجه داشته باشید که عبارت به دست آمده برای محاسبه حجم هرم از هر نوع معتبر است. یعنی می تواند مایل باشد و پایه آن می تواند یک n-gon دلخواه باشد.

و حجم آن

فرمول کلی حجم به دست آمده در پاراگراف بالا را می توان در مورد هرم با پایه منظم اصلاح کرد. مساحت چنین پایه ای با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

در اینجا L طول ضلع یک چند ضلعی منظم با n راس است. نماد پی عدد پی است.

با جایگزینی عبارت A 0 به فرمول کلی، حجم یک هرم منظم را بدست می آوریم:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

به عنوان مثال، برای یک هرم مثلثی، این فرمول عبارت زیر را به دست می‌دهد:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

برای یک هرم چهار گوش معمولی، فرمول حجم به شکل زیر است:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

تعیین حجم اهرام منظم مستلزم شناخت ضلع قاعده آنها و ارتفاع شکل است.

هرم کوتاه شده

بیایید فرض کنیم که یک هرم دلخواه را برداشتیم و بخشی از سطح جانبی آن را که حاوی رأس است، بریدیم. شکل باقی مانده یک هرم کوتاه نامیده می شود. در حال حاضر از دو پایه n-گونال و n ذوزنقه تشکیل شده است که آنها را به هم متصل می کند. اگر صفحه برش موازی با قاعده شکل بود، یک هرم کوتاه با پایه های موازی مشابه تشکیل می شود. یعنی طول اضلاع یکی از آنها را می توان با ضرب طول دیگری در یک ضریب k به دست آورد.

شکل بالا یک منتظم ناقص را نشان می‌دهد. می‌توان دید که پایه بالایی آن، مانند پایه پایین، از یک شش ضلعی منتظم تشکیل شده است.

فرمولی که می توان با استفاده از حساب انتگرال مشابه فرمول بالا به دست آورد این است:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

جایی که A 0 و A 1 به ترتیب نواحی پایه های پایین (بزرگ) و بالایی (کوچک) هستند. متغیر h نشان دهنده ارتفاع هرم کوتاه شده است.

جلد هرم خئوپس

حل مشکل تعیین حجمی که بزرگترین هرم مصر در درون خود دارد جالب است.

در سال 1984، مصر شناسان بریتانیایی مارک لهنر و جان گودمن، ابعاد دقیق هرم خئوپس را تعیین کردند. ارتفاع اولیه آن 146.50 متر (در حال حاضر حدود 137 متر) بوده است. میانگین طول هر یک از چهار ضلع سازه 230.363 متر بوده است. پایه هرم مربعی شکل با دقت بالا است.

اجازه دهید از ارقام داده شده برای تعیین حجم این غول سنگی استفاده کنیم. از آنجایی که هرم چهار گوش منظم است، پس فرمول برای آن معتبر است:

با جایگزینی اعداد، دریافت می کنیم:

V 4 = 1/3* (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

حجم هرم خئوپس تقریبا 2.6 میلیون متر مکعب است. برای مقایسه، خاطرنشان می کنیم که استخر شنای المپیک دارای حجم 2.5 هزار متر مکعب است. یعنی برای پر کردن کل هرم خئوپس به بیش از 1000 استخر از این دست نیاز دارید!

هرم. هرم کوتاه شده

هرمچند وجهی است که یکی از وجوه آن چند ضلعی است ( پایه ، و تمام وجوه دیگر مثلث هایی هستند با یک راس مشترک ( صورت های جانبی ) (شکل 15). هرم نامیده می شود درست ، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده باشد (شکل 16). هرم مثلثی که تمام لبه های آن برابر است نامیده می شود چهار وجهی .

دنده جانبیهرم آن طرف وجه جانبی است که به قاعده تعلق ندارد ارتفاع هرم فاصله بالای آن تا صفحه پایه است. تمام لبه های جانبی هرم منظم با یکدیگر برابرند، تمام وجوه جانبی مثلث های متساوی الساقین هستند. ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس کشیده شده است نامیده می شود حکم . بخش مورب به قسمتی از هرم گفته می شود که صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

سطح جانبیهرم مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. سطح کل مجموع مساحت تمام وجوه جانبی و قاعده نامیده می شود.

قضایا

1. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

2. اگر تمام لبه های کناری هرم دارای طول مساوی باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

3. اگر تمام وجوه در یک هرم به یک اندازه متمایل به صفحه قاعده باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که در قاعده حک شده است بیرون زده می شود.

برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول صحیح این است:

جایی که V- جلد؛

پایه S- مساحت پایه؛

اچ- ارتفاع هرم

برای یک هرم معمولی، فرمول های زیر صحیح است:

جایی که پ- محیط پایه؛

ساعت یک- ابهام

اچ- ارتفاع؛

اس پر

سمت S

پایه S- مساحت پایه؛

V- حجم یک هرم منظم.

هرم کوتاه شدهبه بخشی از هرم که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه هرم محصور شده است (شکل 17). هرم ناقص منظم به بخشی از یک هرم منظم که بین پایه و صفحه برش موازی با قاعده هرم محصور شده است می گویند.

زمینههرم کوتاه - چند ضلعی های مشابه. صورت های جانبی - ذوزنقه ها ارتفاع یک هرم کوتاه فاصله بین پایه های آن است. مورب هرم ناقص قطعه ای است که رئوس آن را به هم متصل می کند که روی یک صورت قرار ندارند. بخش مورب بخشی از یک هرم بریده بریده توسط صفحه ای است که از دو لبه جانبی که به یک وجه تعلق ندارند می گذرد.

برای یک هرم کوتاه فرمول های زیر معتبر هستند:

(4)

جایی که اس 1 , اس 2- نواحی پایه های بالا و پایین.

اس پر- سطح کل؛

سمت S- سطح جانبی؛

اچ- ارتفاع؛

V- حجم یک هرم کوتاه

برای یک هرم کوتاه معمولی فرمول صحیح است:

جایی که پ 1 , پ 2 – محیط پایه ها

ساعت یک- شعار یک هرم منقطع منظم.

مثال 1.در هرم مثلثی منظم، زاویه دو وجهی در قاعده 60 درجه است. مماس زاویه میل لبه کناری بر صفحه قاعده را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 18).

هرم منظم است، به این معنی که در قاعده یک مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد و تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند. زاویه دو وجهی در قاعده، زاویه تمایل وجه جانبی هرم به صفحه قاعده است. زاویه خطی زاویه است آبین دو عمود: و غیره بالای هرم در مرکز مثلث پیش بینی شده است (مرکز دایره دایره و دایره محاط شده مثلث ABC). زاویه شیب لبه جانبی (به عنوان مثال S.B.) زاویه بین خود لبه و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه است. برای دنده S.B.این زاویه زاویه خواهد بود SBD. برای پیدا کردن مماس باید پاها را بشناسید بنابراینو O.B.. طول قطعه را بگذارید BDبرابر 3 آ. نقطه در بارهبخش خط BDبه قطعات تقسیم می شود: و از ما پیدا می کنیم بنابراین: از ما در می یابیم:

پاسخ:

مثال 2.حجم هرم چهار گوش بریده منتظم را در صورتی بیابید که قطر قاعده های آن برابر با سانتی متر و سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر باشد.

راه حل.برای یافتن حجم هرم ناقص از فرمول (4) استفاده می کنیم. برای پیدا کردن مساحت پایه ها، باید اضلاع مربع های پایه را با دانستن قطر آنها پیدا کنید. اضلاع پایه ها به ترتیب برابر با 2 سانتی متر و 8 سانتی متر است که به معنای مساحت پایه ها است و با جایگزینی تمام داده ها در فرمول، حجم هرم بریده شده را محاسبه می کنیم.

پاسخ: 112 سانتی متر 3.

مثال 3.مساحت وجه جانبی یک هرم منقطع مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده های آن 10 سانتی متر و 4 سانتی متر و ارتفاع هرم 2 سانتی متر است، پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 19).

وجه جانبی این هرم ذوزنقه ای متساوی الساقین است. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید پایه و ارتفاع آن را بدانید. پایه ها با توجه به شرایط داده شده است، فقط ارتفاع نامعلوم باقی مانده است. از کجا پیداش میکنیم آ 1 Eعمود بر یک نقطه آ 1 در صفحه پایه پایین، آ 1 D– عمود بر آ 1 در هر AC. آ 1 E= 2 سانتی متر، زیرا این ارتفاع هرم است. برای پیدا کردن DEبیایید یک نقاشی اضافی ایجاد کنیم که نمای بالا را نشان می دهد (شکل 20). نقطه در باره- برآمدگی مراکز پایه های بالا و پایین. از آنجا که (نگاه کنید به شکل 20) و از سوی دیگر خوب– شعاع حک شده در دایره و OM- شعاع حک شده در یک دایره:

MK = DE.

با توجه به قضیه فیثاغورث از

ناحیه کناری صورت:

پاسخ:

مثال 4.در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار دارد که پایه های آن قرار دارد آو ب (آ> ب). هر وجه جانبی زاویه ای برابر با صفحه قاعده هرم تشکیل می دهد j. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 21). مساحت کل هرم SABCDبرابر با مجموع مساحت و مساحت ذوزنقه است آ ب پ ت.

اجازه دهید از این جمله استفاده کنیم که اگر تمام وجوه هرم به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه راس به مرکز دایره محاط شده در قاعده کشیده می شود. نقطه در باره- طرح ریزی راس اسدر قاعده هرم مثلث SODبرآمدگی متعامد مثلث است CSDبه هواپیمای پایگاه با استفاده از قضیه مساحت طرح متعامد یک شکل مسطح، به دست می آوریم:

همینطور معنی داره بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه کاهش یافت آ ب پ ت. بیایید یک ذوزنقه بکشیم آ ب پ تبه طور جداگانه (شکل 22). نقطه در باره- مرکز دایره ای که در ذوزنقه حک شده است.

از آنجایی که یک دایره را می توان در ذوزنقه حک کرد، پس یا از قضیه فیثاغورث داریم

• 09.10.2014

  پیش تقویت کننده نشان داده شده در شکل برای استفاده با 4 نوع منبع صدا طراحی شده است، به عنوان مثال میکروفون، پخش کننده سی دی، رادیو و غیره. در این حالت، پیش تقویت کننده دارای یک ورودی است که می تواند حساسیت را از 50 میلی ولت به 500 تغییر دهد. mV ولتاژ خروجی تقویت کننده 1000mV با اتصال منابع سیگنال مختلف هنگام تعویض سوئیچ SA1، همیشه ...

• 20.09.2014

  منبع تغذیه برای بار 15…20 وات طراحی شده است. منبع با توجه به مدار مبدل فرکانس بالا پالس تک سیکل ساخته شده است. یک ترانزیستور برای مونتاژ یک خود نوسانگر که در فرکانس 20…40 کیلوهرتز کار می کند استفاده می شود. فرکانس توسط ظرفیت C5 تنظیم می شود. عناصر VD5، VD6 و C6 مدار راه اندازی نوسانگر را تشکیل می دهند. در مدار ثانویه بعد از یکسو کننده پل یک تثبیت کننده خطی معمولی روی یک ریزمدار وجود دارد که به شما امکان می دهد ...

• 28.09.2014

  شکل یک ژنراتور بر اساس ریزمدار K174XA11 را نشان می دهد که فرکانس آن توسط ولتاژ کنترل می شود. با تغییر ظرفیت خازن C1 از 560 به 4700 pF، طیف وسیعی از فرکانس ها را می توان به دست آورد، در حالی که فرکانس با تغییر مقاومت R4 تنظیم می شود. به عنوان مثال، نویسنده متوجه شد که با C1 = 560pF، فرکانس ژنراتور را می توان با استفاده از R4 از 600 هرتز به 200 کیلوهرتز تغییر داد، ...

• 03.10.2014

  این واحد برای تغذیه یک ULF قدرتمند طراحی شده است، برای ولتاژ خروجی ± 27 ولت و بار تا 3 آمپر در هر بازو طراحی شده است. منبع تغذیه دوقطبی است که بر روی ترانزیستورهای کامپوزیت کامل KT825-KT827 ساخته شده است. هر دو بازوی تثبیت کننده طبق مدار مشابهی ساخته شده اند، اما در بازوی دیگر (نشان داده نشده است) قطبیت خازن ها تغییر کرده و از ترانزیستورهای نوع متفاوت استفاده شده است.