خانه » دکور » تضادهای درونی نظریه ماکسول بولتزمن. قانون ماکسول در مورد توزیع مولکول ها بر اساس سرعت. تجربه استرن. فرمول فشارسنجی توزیع بولتزمن تعیین آزمایشی ثابت آووگادرو. توزیع های ماکسول و بولتزمن پدیده ها

تضادهای درونی نظریه ماکسول بولتزمن. قانون ماکسول در مورد توزیع مولکول ها بر اساس سرعت. تجربه استرن. فرمول فشارسنجی توزیع بولتزمن تعیین آزمایشی ثابت آووگادرو. توزیع های ماکسول و بولتزمن پدیده ها

با روش آماری برای تعیین مشخصه اصلی (X مجموع مختصات و ممان تمام ذرات منظومه است) از مدل های خاصی از ساختار جسم مورد نظر استفاده می شود.

معلوم می شود که می توان ویژگی های کلی الگوهای آماری عمومی را یافت که به ساختار ماده وابسته نیستند و جهانی هستند. شناسایی چنین الگوهایی وظیفه اصلی روش ترمودینامیکی توصیف فرآیندهای حرارتی است. تمام مفاهیم و قوانین اساسی ترمودینامیک را می توان بر اساس تئوری آماری آشکار کرد.

برای یک سیستم منزوی (بسته) یا یک سیستم در یک میدان خارجی ثابت، اگر تابع توزیع به زمان بستگی نداشته باشد، وضعیت از نظر آماری تعادل نامیده می شود.

شکل خاص تابع توزیع سیستم مورد بررسی هم به مجموعه پارامترهای خارجی و هم به ماهیت تعامل با اجسام اطراف بستگی دارد. در این مورد، منظور ما از پارامترهای خارجی، مقادیر تعیین شده توسط موقعیت اجسام است که در سیستم مورد بررسی قرار ندارند. این مثلاً حجم سیستم V، قدرت میدان نیرو و غیره است. بیایید دو مورد مهم را در نظر بگیریم:

1) سیستم مورد بررسی از نظر انرژی ایزوله است. انرژی کل ذرات E ثابت است. که در آن. E را می توان در a گنجاند، اما برجسته کردن آن بر نقش ویژه E تأکید می کند. شرایط جداسازی سیستم برای پارامترهای خارجی داده شده را می توان با برابری بیان کرد:

2) سیستم بسته نیست - تبادل انرژی امکان پذیر است. در این مورد نمی توان آن را یافت به مختصات تعمیم یافته و لحظه ای ذرات اجسام اطراف بستگی دارد. این امر در صورتی امکان پذیر می شود که انرژی تعامل سیستم مورد نظر با اجسام اطراف در نظر گرفته شود.

در این شرایط، تابع توزیع ریز حالت ها به میانگین شدت حرکت حرارتی اجسام اطراف بستگی دارد که با دمای T اجسام اطراف مشخص می شود: .

دما نیز نقش ویژه ای دارد. (برخلاف a) در مکانیک آنالوگ ندارد: (به T بستگی ندارد).

در حالت تعادل آماری به زمان بستگی ندارد و تمام پارامترهای داخلی بدون تغییر هستند. در ترمودینامیک به این حالت حالت تعادل ترمودینامیکی می گویند. مفاهیم تعادل آماری و ترمودینامیکی معادل هستند.

عملکرد توزیع یک سیستم جدا شده میکروسکوپی - توزیع گیبس میکروکانونیکی

مورد یک سیستم منزوی انرژی. اجازه دهید شکل تابع توزیع را برای این مورد پیدا کنیم.

نقش مهمی در یافتن تابع توزیع تنها توسط انتگرال های حرکت - انرژی، - تکانه سیستم و - تکانه زاویه ای ایفا می شود. فقط آنها کنترل می شوند.

همیلتونی نقش ویژه ای در مکانیک بازی می کند، زیرا این تابع همیلتونی است که شکل معادله حرکت ذرات را تعیین می کند. پایستگی تکانه کل و تکانه زاویه ای سیستم نتیجه معادلات حرکت است.

بنابراین، دقیقاً چنین راه‌حل‌هایی از معادله لیوویل هستند که وقتی وابستگی فقط از طریق همیلتون آشکار می‌شود، متمایز می‌شوند:

زیرا، .

از بین تمام مقادیر ممکن X (مجموعه مختصات و لحظه تمام ذرات در سیستم)، مواردی که با شرایط سازگار هستند انتخاب می شوند. ثابت C را می توان از شرایط عادی سازی پیدا کرد:

مساحت ابرسطح در فضای فاز که با شرط انرژی ثابت تخصیص داده می شود، کجاست.

آن ها - توزیع گیبس میکروکانونیکی.

در تئوری کوانتومی تعادل، توزیع گیبس میکروکانونیکی نیز وجود دارد. اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: - مجموعه کاملی از اعداد کوانتومی که ریز حالت یک سیستم ذرات را مشخص می کند، - مقادیر انرژی مجاز مربوطه. آنها را می توان با حل معادله ثابت برای تابع موج سیستم مورد نظر پیدا کرد.

تابع توزیع ریز حالت در این حالت نشان دهنده احتمال قرار گرفتن سیستم در یک حالت معین خواهد بود: .

توزیع گیبس میکروکانونیکال کوانتومی را می توان به صورت زیر نوشت:

نماد کرونکر کجاست، - از نرمال سازی: - تعداد ریز حالت ها با مقدار انرژی معین (و همچنین). به آن وزن آماری می گویند.

از تعریف، همه حالت هایی که شرط را برآورده می کنند، احتمال یکسان، برابر دارند. بنابراین، توزیع گیبس میکروکانونیکال کوانتومی بر اساس اصل احتمالات قبلی برابر است.

تابع توزیع ریز حالت های سیستم در یک ترموستات، توزیع متعارف گیبس است.

اجازه دهید اکنون سیستمی را در نظر بگیریم که با اجسام اطراف انرژی مبادله می کند. از نقطه نظر ترمودینامیکی، این رویکرد مربوط به سیستمی است که توسط یک ترموستات بسیار بزرگ با دمای T احاطه شده است. برای یک سیستم بزرگ (سیستم ما + ترموستات)، می توان از توزیع میکروکانونیکی استفاده کرد، زیرا چنین سیستمی را می توان ایزوله در نظر گرفت. فرض می کنیم که سیستم مورد بررسی، بخش کوچک اما ماکروسکوپیک یک سیستم بزرگتر با دمای T و تعداد ذرات موجود در آن را تشکیل می دهد. یعنی برابری (>>) ارضا می شود.

متغیرهای سیستم خود را با X و متغیرهای ترموستات را با X1 نشان می دهیم.

سپس برای کل سیستم، توزیع میکروکانونیکال را می نویسیم:

ما به احتمال وضعیت یک سیستم از ذرات N برای هر حالت ترموستات ممکن علاقه مند خواهیم شد. این احتمال را می توان با ادغام این معادله بر روی حالت های ترموستات پیدا کرد

عملکرد همیلتون سیستم و ترموستات را می توان به صورت

ما انرژی تعامل بین سیستم و ترموستات را در مقایسه با انرژی سیستم و انرژی ترموستات نادیده خواهیم گرفت. این را می توان انجام داد زیرا انرژی برهمکنش برای یک کلان سیستم با مساحت سطح آن متناسب است، در حالی که انرژی یک سیستم با حجم آن متناسب است. اما نادیده گرفتن انرژی برهمکنش در مقایسه با انرژی سیستم به معنای صفر بودن آن نیست، در غیر این صورت صورت بندی مسئله معنای خود را از دست می دهد.

بنابراین، توزیع احتمال برای سیستم مورد بررسی می تواند به صورت نمایش داده شود

بیایید به ادغام انرژی ترموستات بپردازیم

بنابراین، با استفاده از ویژگی تابع -

بعداً زمانی که ترموستات بسیار بزرگ است، به مورد محدود کننده خواهیم پرداخت. اجازه دهید مورد خاصی را در نظر بگیریم که ترموستات یک گاز ایده آل با ذرات N1 با جرم هر کدام m است.

بیایید کمیتی را پیدا کنیم که نشان دهنده کمیت است

حجم فضای فاز موجود در ابرسطح کجاست. سپس حجم لایه ابرکره را نشان می دهد (با عبارت فضای سه بعدی مقایسه کنید

برای یک گاز ایده آل، منطقه ادغام با شرط داده می شود

در نتیجه ادغام در مرزهای مشخص شده، حجم یک توپ 3N1 بعدی با شعاع برابر به دست می آوریم. بنابراین ما داریم

از کجا تهیه کنیم؟

بنابراین، برای توزیع احتمال داریم

با این حال، با فرض ثابت ماندن نسبت (به اصطلاح حد ترمودینامیکی) به حد N1 برویم. سپس می گیریم

با در نظر گرفتن اینکه

سپس تابع توزیع سیستم در ترموستات را می توان به صورت زیر نوشت

جایی که C از شرایط عادی سازی پیدا می شود:

تابع یک انتگرال آماری کلاسیک نامیده می شود. بنابراین، تابع توزیع سیستم در ترموستات را می توان به صورت زیر نشان داد:

این توزیع متعارف گیبس (1901) است.

در این توزیع، T میانگین شدت حرکت حرارتی - دمای مطلق ذرات محیط را مشخص می کند.

شکل دیگری از نوشتن توزیع گیبس

در تعریف، حالات میکروسکوپی متفاوت در نظر گرفته شد و تنها در بازآرایی ذرات جداگانه متفاوت بود. این بدان معنی است که ما قادر به پیگیری هر ذره هستیم. با این حال، چنین فرضی منجر به تناقض می شود.

عبارت توزیع متعارف کوانتومی گیبس را می توان با قیاس با توزیع کلاسیک نوشت:

جمع آماری: .

این یک آنالوگ بدون بعد از انتگرال آماری است. سپس انرژی آزاد را می توان به صورت زیر نشان داد:

اجازه دهید اکنون سیستمی را در نظر بگیریم که در یک ترموستات قرار دارد و قادر به تبادل انرژی و ذرات با محیط است. اشتقاق تابع توزیع گیبس برای این مورد از بسیاری جهات شبیه به مشتق توزیع متعارف است. برای حالت کوانتومی، توزیع به شکل زیر است:

این توزیع، Grand Canonical Gibbs Distribution نامیده می شود. در اینجا m پتانسیل شیمیایی سیستم است که مشخص کننده تغییر پتانسیل ترمودینامیکی زمانی است که تعداد ذرات در سیستم یک عدد تغییر کند.

Z - از شرایط عادی سازی:

در اینجا جمع نه تنها بر روی اعداد مربع، بلکه بر روی تمام مقادیر ممکن تعداد ذرات نیز رخ می دهد.

شکل دیگری از علامت گذاری: بیایید یک تابع را معرفی کنیم، اما از آنجایی که قبلاً از ترمودینامیک به دست آمده بود، یک پتانسیل ترمودینامیکی بزرگ در آن وجود دارد. در نتیجه بدست می آوریم

در اینجا میانگین تعداد ذرات است.

توزیع کلاسیک مشابه است.

توزیع های ماکسول و بولتزمن

توزیع متعارف گیبس یک شکل واضح از تابع توزیع را برای مقادیر تمام مختصات و لحظه ای ذرات (متغیرهای 6N) ایجاد می کند. اما چنین عملکردی بسیار پیچیده است. اغلب توابع ساده تر کافی هستند.

توزیع ماکسول برای یک گاز تک اتمی ایده آل. ما می‌توانیم هر مولکول گاز را به‌عنوان «سیستم مورد بررسی» که به یک ترموستات تعلق دارد، در نظر بگیریم. بنابراین، احتمال داشتن تکانه های هر مولکولی در فواصل معین با توزیع متعارف گیبس به دست می آید: .

با جایگزینی تکانه ها با سرعت و استفاده از شرایط نرمال سازی، به دست می آوریم

تابع توزیع ماکسول برای مولفه های سرعت. بدست آوردن مدول توزیع آسان است.

در هر سیستمی که انرژی آن برابر با مجموع انرژی ذرات منفرد باشد، عبارتی شبیه ماکسول رخ می دهد. این توزیع Maxwell-Boltzmann است. مجدداً، فرض می کنیم که "سیستم" یک ذره است، در حالی که بقیه نقش یک ترموستات را بازی می کنند. سپس احتمال حالت این ذره انتخاب شده برای هر حالتی از سایر حالت ها با توزیع متعارف به دست می آید: , . برای مقادیر دیگر ... یکپارچه

در حالت تعادل، پارامترهای گاز (فشار، حجم و دما) بدون تغییر باقی می‌مانند، اما حالت‌های ریز - آرایش نسبی مولکول‌ها، سرعت آنها - به طور مداوم تغییر می‌کنند. با توجه به تعداد زیاد مولکول ها، تعیین مقادیر سرعت آنها در هر لحظه عملا غیرممکن است، اما می توان با در نظر گرفتن سرعت مولکول ها به عنوان یک متغیر تصادفی پیوسته، توزیع مولکول ها را بر اساس سرعت نشان داد.

بیایید یک مولکول جداگانه انتخاب کنیم. تصادفی بودن حرکت، برای مثال، امکان پیش بینی سرعت را فراهم می کند u xمولکول ها قانون توزیع نرمال را می پذیرند. در این مورد، همانطور که جی سی ماکسول نشان داد، چگالی احتمال به صورت زیر نوشته می شود:

مشابه برای سایر محورها

با استفاده از (2.28)، از (2.31) به دست می آوریم:

توجه داشته باشید که از (2.32) می توانیم تابع توزیع احتمال ماکسولی مقادیر سرعت مطلق را بدست آوریم (توزیع سرعت ماکسول):

(2.36)

سرعت متوسط یک مولکول (انتظار ریاضی) را می توان طبق قاعده کلی پیدا کرد [نگاه کنید به. (2.20)]. از آنجایی که مقدار متوسط سرعت تعیین می شود، محدودیت های ادغام از 0 تا ¥ گرفته شده است (جزئیات ریاضی حذف شده است):

جایی که M = t 0 N A جرم مولی گاز است، R = k N A ثابت جهانی گاز است، ن A عدد آووگادرو است.

با افزایش دما، حداکثر منحنی ماکسول به سمت سرعت های بالاتر و توزیع مولکول ها روی توتغییرات (شکل 2.6; T 1< Т 2 ). توزیع ماکسول امکان محاسبه تعداد مولکول هایی را که سرعت آنها در یک بازه مشخص Du است را ممکن می سازد. فرمول مربوطه را بدست می آوریم.

از آنجایی که تعداد کل نمولکول های یک گاز معمولا زیاد هستند، پس احتمال d پرا می توان به عنوان نسبت عدد d بیان کرد نمولکول هایی که سرعت آنها در محدوده معینی قرار دارد دوبه تعداد کل نمولکول ها:

یا به صورت گرافیکی مساحت ذوزنقه منحنی را در محدوده از u 1قبل از تو 2 (شکل 2.7).

اگر فاصله سرعت دوبه اندازه کافی کوچک است، سپس تعداد مولکول هایی که سرعت آنها با این فاصله مطابقت دارد را می توان تقریباً با استفاده از فرمول (2.38) یا به صورت گرافیکی به عنوان مساحت یک مستطیل با پایه محاسبه کرد. du

به این سوال که چند مولکول دارای سرعتی برابر با هر مقدار مشخصی هستند، در نگاه اول یک پاسخ عجیب به شرح زیر است: اگر سرعت کاملاً دقیقاً مشخص شده باشد، محدوده سرعت صفر است. (دو= 0) و از (2.38) صفر به دست می آوریم، یعنی سرعت هیچ مولکولی دقیقاً برابر با سرعت از پیش تعیین شده نیست. این با یکی از مفاد نظریه احتمال مطابقت دارد: برای یک متغیر تصادفی پیوسته، مانند سرعت، نمی توان کاملاً دقیقاً مقدار آن را "حدس زد" که حداقل یک مولکول در گاز دارد.

توزیع مولکول ها بر اساس سرعت توسط آزمایش های مختلف تایید شده است.

توزیع ماکسول را می توان به عنوان توزیع مولکول ها نه تنها بر اساس سرعت، بلکه با انرژی جنبشی (از آنجایی که این مفاهیم به هم مرتبط هستند) در نظر گرفت.

توزیع بولتزمن

اگر مولکول ها در یک میدان نیروی خارجی، به عنوان مثال، میدان گرانشی زمین باشند، می توان توزیع انرژی های بالقوه آنها را پیدا کرد، یعنی غلظت ذراتی را تعیین کرد که دارای مقدار مشخصی از انرژی پتانسیل هستند. .

توزیع ذرات توسط انرژی های بالقوه در میدان های نیرو— گرانشی، الکتریکی و غیره— توزیع بولتزمن نامیده می شود.

در رابطه با میدان گرانشی، این توزیع را می توان به صورت وابستگی به تمرکز نوشت پمولکول از ارتفاع ساعتبالاتر از سطح زمین یا از انرژی پتانسیل مولکول mgh:

بیان (2.40) برای ذرات گاز ایده آل معتبر است. از نظر گرافیکی، این وابستگی نمایی در شکل 1 نشان داده شده است. 2.8.

این توزیع مولکول ها در میدان گرانشی زمین را می توان در چارچوب مفاهیم جنبشی مولکولی با این واقعیت توضیح داد که مولکول ها تحت تأثیر دو عامل متضاد قرار می گیرند: میدان گرانشی که تحت تأثیر آن همه مولکول ها به زمین جذب می شوند. و حرکت هرج و مرج مولکولی که تمایل دارد مولکول ها را به طور یکنواخت در کل حجم ممکن پراکنده کند.

در پایان، ذکر شباهت‌های بین اصطلاحات نمایی در توزیع‌های ماکسول و بولتزمن مفید است:

در توزیع اول، در توان، نسبت انرژی جنبشی مولکول به kT،در دوم - نسبت انرژی پتانسیل به kT.

توزیع های ماکسول و بولتزمن پدیده های انتقال

طرح کلی سخنرانی:

1. قانون ماکسول در مورد توزیع مولکول ها بر اساس سرعت. سرعت مشخصه مولکول ها

2. توزیع بولتزمن.

3. میانگین مسیر آزاد مولکول ها.

4. پدیده های انتقال:

الف) انتشار؛

ب) اصطکاک داخلی (ویسکوزیته)؛

ج) هدایت حرارتی.

1. قانون ماکسول در مورد توزیع مولکول ها بر اساس سرعت. سرعت مشخصه مولکول ها

مولکول‌های گاز به‌طور آشفته حرکت می‌کنند و در نتیجه برخورد، سرعت آنها در بزرگی و جهت تغییر می‌کند. در یک گاز مولکول هایی با سرعت بسیار بالا و بسیار کم وجود دارد. می توان این سوال را در مورد تعداد مولکول هایی که سرعت آنها در فاصله زمانی و برای یک گاز در حالت تعادل ترمودینامیکی در غیاب میدان های نیروی خارجی قرار دارد، مطرح کرد. در این مورد، توزیع سرعت ثابت معینی از مولکول‌ها که با زمان تغییر نمی‌کند، ایجاد می‌شود که از قانون آماری که به‌طور نظری توسط ماکسول به دست آمده است، تبعیت می‌کند.

هر چه تعداد کل مولکول های N بیشتر باشد، تعداد مولکول های DN در بازه زمانی بیشتر است، هر چه فاصله سرعت ها بیشتر باشد، تعداد مولکول ها در بازه مشخص شده سرعت بیشتری خواهند داشت.

اجازه دهید ضریب تناسب را معرفی کنیم f(u).

, (1)

که در آن f(u) تابع توزیع نامیده می شود که به سرعت مولکول ها بستگی دارد و توزیع مولکول ها را بر اساس سرعت مشخص می کند.

اگر شکل تابع مشخص باشد، می‌توانید تعداد مولکول‌هایی را که سرعت آنها در محدوده تا قرار دارد، پیدا کنید.

ماکسول با استفاده از روش های نظریه احتمالات و قوانین آمار در سال 1860م. از نظر تئوری فرمولی به دست آمده است که تعداد مولکول های با سرعت در محدوده از تا را تعیین می کند.

, (2)

- توزیع ماکسول نشان می دهد که چه نسبتی از تعداد کل مولکول های یک گاز معین دارای سرعت هایی در محدوده تا است.

از معادلات (1) و (2) شکل تابع به دست می آید:

- (3)

تابع توزیع سرعت مولکول های گاز ایده آل

از (3) مشخص است که نوع خاص عملکرد به نوع گاز (به جرم مولکول) بستگی دارد. m 0) و دما

اغلب، قانون توزیع مولکول ها بر اساس سرعت ها به شکل زیر نوشته می شوند:

نمودار تابع نامتقارن است (شکل 1). موقعیت ماکزیمم بیشترین سرعت را مشخص می کند که به آن محتمل ترین می گویند. سرعت بیش از حد تو در، رایج تر از سرعت های پایین تر هستند.

- نسبت تعداد کل مولکول ها با سرعت در این محدوده.

S کل = 1.

با افزایش دما، حداکثر توزیع به سمت سرعت های بالاتر تغییر می کند و منحنی صاف تر می شود، اما سطح زیر منحنی تغییر نمی کند، زیرا S کل = 1.

محتمل‌ترین سرعت، سرعتی است که سرعت اکثر مولکول‌های یک گاز معین به آن نزدیک می‌شود.

برای تعیین آن حداکثر بررسی می کنیم.

4 ,

, .

قبلا نشان داده شده بود که

, ,

=> .

MCT همچنین از مفهوم میانگین حسابی سرعت حرکت انتقالی مولکول های گاز ایده آل استفاده می کند.

- برابر است با نسبت مجموع ماژول های سرعت همه مولکول ها به

تعداد مولکول ها

از مقایسه مشخص است (شکل 2) که کوچکترین است تو در.

2. توزیع بولتزمن

دو عامل - حرکت حرارتی مولکول ها و وجود میدان گرانشی زمین، گاز را به حالتی هدایت می کند که در آن غلظت و فشار آن با ارتفاع کاهش می یابد.

اگر حرکت حرارتی مولکول های هوای جو وجود نداشت، همه آنها در سطح زمین متمرکز می شدند. اگر جاذبه وجود نداشت، ذرات اتمسفر در سراسر جهان پراکنده می شدند. بیایید قانون تغییر فشار با ارتفاع را پیدا کنیم.

فشار ستون گاز با فرمول تعیین می شود.

از آنجایی که فشار با افزایش ارتفاع کاهش می یابد،

جایی که rچگالی گاز در ارتفاع ساعت.

پیدا خواهیم کرد پاز معادله مندلیف-کلاپیرون

یا.

اجازه دهید محاسبه را برای یک جو همدما با این فرض انجام دهیم T=const(به ارتفاع بستگی ندارد).

در h=0 , , ,

, , ,

فرمول فشارسنجی فشار گاز را در هر ارتفاعی تعیین می کند.

ما یک عبارت برای غلظت مولکول ها در هر ارتفاعی به دست می آوریم.

انرژی پتانسیل مولکول در ارتفاع کجاست ساعت.

توزیع بولتزمن در یک میدان پتانسیل خارجی

در نتیجه، توزیع مولکول ها بر اساس ارتفاع، توزیع آنها بر اساس انرژی است. بولتزمن ثابت کرد که این توزیع نه تنها در مورد میدان بالقوه نیروهای گرانشی، بلکه در هر میدان بالقوه نیرو برای مجموعه ای از ذرات یکسان در حالت حرکت حرارتی آشفته معتبر است.

از توزیع بولتزمن چنین بر می آید که مولکول ها در غلظت بیشتری قرار دارند که انرژی پتانسیل آنها کمتر است.

توزیع بولتزمن توزیع ذرات در میدان نیروی پتانسیل است.

3. میانگین مسیر آزاد مولکول ها.

به دلیل حرکت حرارتی آشفته، مولکول های گاز به طور مداوم با یکدیگر برخورد می کنند و یک مسیر زیگزاگی پیچیده را طی می کنند. بین 2 برخورد، مولکول ها به طور یکنواخت در یک خط مستقیم حرکت می کنند.

م حداقل فاصله ای که در آن مراکز 2 مولکول در هنگام برخورد به یکدیگر نزدیک می شوند، قطر موثر مولکول نامیده می شود. د(شکل 4).

کمیت را سطح مقطع موثر مولکول می گویند.

اجازه دهید میانگین تعداد برخوردهای یک مولکول گاز همگن را در واحد زمان پیدا کنیم. اگر مراکز مولکول ها در فاصله کمتر یا مساوی نزدیک شوند، برخورد رخ می دهد د. فرض می کنیم که مولکول با سرعت حرکت می کند و مولکول های دیگر در حالت سکون هستند. سپس تعداد برخوردها با تعداد مولکول هایی که مراکز آنها در حجمی قرار دارند که یک استوانه با پایه و ارتفاعی برابر با مسیر طی شده توسط مولکول در 1 ثانیه قرار دارند، تعیین می شود. .

توزیع های ماکسول و بولتزمن

توزیع ماکسول (توزیع سرعت مولکول های گاز).در حالت تعادل، پارامترهای گاز (فشار، حجم و دما) بدون تغییر باقی می مانند، اما ریز حالت ها - موقعیت نسبی مولکول ها، سرعت آنها - به طور مداوم تغییر می کنند. با توجه به تعداد زیاد مولکول ها، تعیین مقادیر سرعت آنها در هر لحظه عملا غیرممکن است، اما می توان با در نظر گرفتن سرعت مولکول ها به عنوان یک متغیر تصادفی پیوسته، توزیع مولکول ها را بر اساس سرعت نشان داد. .

مشابه برای سایر محورها

با استفاده از (2.28)، از (2.31) به دست می آوریم:

توجه داشته باشید که از (2.32) می توانیم تابع توزیع احتمال ماکسولی مقادیر سرعت مطلق را بدست آوریم. (توزیع سرعت ماکسول):

(2.36)

جایی که M = t 0 N A جرم مولی گاز است، R = k N A ثابت گاز جهانی است، ن A عدد آووگادرو است.

با افزایش دما، حداکثر منحنی ماکسول به سمت سرعت های بالاتر و توزیع مولکول ها روی توتغییرات (شکل 2.6; T 1< Т 2 ). توزیع ماکسول به فرد اجازه می دهد تا تعداد مولکول هایی را که سرعت آنها در یک بازه مشخص Du است محاسبه شود. فرمول مربوطه را بدست می آوریم.

یا به صورت گرافیکی مساحت ذوزنقه منحنی را در محدوده از u 1قبل از تو 2 (شکل 2.7).

به این سوال که چند مولکول دارای سرعتی برابر با هر مقدار مشخصی هستند، در نگاه اول یک پاسخ عجیب به شرح زیر است: اگر سرعت کاملاً دقیقاً مشخص شده باشد، بازه سرعت صفر است. (دو= 0) و از (2.38) صفر به دست می آوریم، یعنی سرعت هیچ مولکولی دقیقاً برابر با سرعت از پیش تعیین شده نیست. این با یکی از مفاد نظریه احتمال مطابقت دارد: برای یک متغیر تصادفی پیوسته، مانند سرعت، نمی توان کاملاً دقیقاً مقدار آن را "حدس زد" که حداقل یک مولکول در گاز دارد.

توزیع مولکول ها بر اساس سرعت توسط آزمایش های مختلف تایید شده است.

توزیع ماکسول را می توان به عنوان توزیعی از مولکول ها نه تنها بر اساس سرعت، بلکه توسط انرژی جنبشی (از آنجایی که این مفاهیم به هم مرتبط هستند) در نظر گرفت.

توزیع بولتزمناگر مولکول ها در یک میدان نیروی خارجی، به عنوان مثال، میدان گرانشی زمین باشند، می توان توزیع انرژی های بالقوه آنها را پیدا کرد، یعنی غلظت ذرات را با مقدار خاصی از انرژی پتانسیل تعیین کرد. .

توزیع ذرات توسط انرژی های بالقوه در میدان های نیرو- گرانشی، الکتریکی و غیره- توزیع بولتزمن نامیده می شود.

در رابطه با میدان گرانشی، این توزیع را می توان به صورت وابستگی به تمرکز نوشت پمولکول ها از ارتفاع ساعتبالاتر از سطح زمین یا از انرژی پتانسیل مولکول mgh:

بیان (2.40) برای ذرات گاز ایده آل معتبر است. از نظر گرافیکی، این وابستگی نمایی در شکل 1 نشان داده شده است. 2.8.

این توزیع مولکول ها در میدان گرانشی زمین را می توان در چارچوب مفاهیم جنبشی مولکولی با این واقعیت توضیح داد که مولکول ها تحت تأثیر دو عامل متضاد قرار می گیرند: میدان گرانشی که تحت تأثیر آن همه مولکول ها به زمین جذب می شوند. و حرکت مولکولی-آشوب، که تمایل دارد به طور مساوی مولکول ها را در کل حجم ممکن پراکنده کند.

در پایان، ذکر شباهت‌های بین اصطلاحات نمایی در توزیع‌های ماکسول و بولتزمن مفید است:

در توزیع اول، در توان، نسبت انرژی جنبشی مولکول به kT،در دوم - نسبت انرژی پتانسیل به kT.

توزیع ماکسول (توزیع مولکول های گازبا سرعت).در حالت تعادل، پارامترهای گاز (فشار، حجم و دما) بدون تغییر باقی می مانند، اما ریز حالت ها - موقعیت نسبی مولکول ها، سرعت آنها - به طور مداوم تغییر می کنند. با توجه به تعداد زیاد مولکول ها، تعیین مقادیر سرعت آنها در هر لحظه عملا غیرممکن است، اما می توان با در نظر گرفتن سرعت مولکول ها به عنوان یک متغیر تصادفی پیوسته، توزیع مولکول ها را بر اساس سرعت نشان داد. .

بیایید یک مولکول جداگانه انتخاب کنیم. تصادفی بودن حرکت، برای مثال، امکان پیش بینی سرعت را فراهم می کند  ایکس مولکول ها قانون توزیع نرمال را می پذیرند. در این مورد، همانطور که جی سی ماکسول نشان داد، چگالی احتمال به صورت زیر نوشته می شود:

جایی که تی 0 - جرم مولکول، تی- دمای گاز ترمودینامیکی، ک - ثابت بولتزمن

عبارات مشابهی را می توان برای f( در ) و f( z ).

بر اساس فرمول (2.15)، می‌توانیم این احتمال را بنویسیم که یک مولکول دارای یک برآمدگی سرعت در محدوده از  ایکس قبل از  ایکس + د ایکس :

مشابه برای سایر محورها

هر یک از شرایط (2.29) و (2.30) یک رویداد مستقل را منعکس می کند. بنابراین، احتمال اینکه یک مولکول دارای سرعتی باشد که پیش‌بینی‌های آن به طور همزمان همه شرایط را برآورده می‌کنند را می‌توان با استفاده از قضیه ضرب احتمال یافت. (2.6)]:

با استفاده از (2.28)، از (2.31) به دست می آوریم:

(2.33)

و احتمال اینکه سرعت یک مولکول بین باشد  قبل از  + د :

نمودار تابع (2.33) در شکل 2.5 نشان داده شده است. سرعت،مربوط به حداکثر منحنی ماکسول نامیده می شودبه احتمال زیاد V. می توان آن را با استفاده از شرایط عملکرد حداکثر تعیین کرد:

یا

سرعت متوسط یک مولکول (انتظار ریاضی) را می توان طبق قاعده کلی پیدا کرد [نگاه کنید به. (2.20)]. از آنجایی که مقدار متوسط سرعت تعیین می شود، حدود ادغام از 0 تا  گرفته می شود (جزئیات ریاضی حذف شده است):

جایی که M = t 0 ن A جرم مولی گاز است، آر = ک نآ - ثابت گاز جهانی، ن A عدد آووگادرو است.

با افزایش دما، حداکثر منحنی ماکسول به سمت سرعت های بالاتر و توزیع مولکول ها تغییر می کند.  تغییرات (شکل 2.6; تی 1 < Т 2 ). توزیع ماکسول به شما امکان می دهد تعداد مولکول هایی را که سرعت آنها در یک بازه مشخص  قرار دارد را محاسبه کنید. فرمول مربوطه را بدست می آوریم.

از آنجایی که تعداد کل نمولکول های یک گاز معمولا زیاد هستند، پس احتمال d پرا می توان به عنوان نسبت عدد d بیان کرد نمولکول هایی که سرعت آنها در محدوده معینی قرار دارد د , به تعداد کل نمولکول ها:

از (2.34) و (2.37) چنین است که

فرمول (2.38) به ما امکان می دهد تعداد مولکول هایی را که سرعت آنها در بازه ای از و: تا i> 2 قرار دارد را تعیین کنیم. برای انجام این کار، باید (2.38) را ادغام کنید:

یا به صورت گرافیکی مساحت ذوزنقه منحنی را در محدوده از  1 قبل از  2 (شکل 2.7).

اگر فاصله سرعت د به اندازه کافی کوچک است، سپس تعداد مولکول هایی که سرعت آنها با این فاصله مطابقت دارد را می توان تقریباً با استفاده از فرمول (2.38) یا به صورت گرافیکی به عنوان مساحت یک مستطیل با پایه محاسبه کرد. د .

به این سوال که چند مولکول دارای سرعتی برابر با هر مقدار مشخصی هستند، در نگاه اول یک پاسخ عجیب به شرح زیر است: اگر سرعت کاملاً دقیقاً مشخص شده باشد، بازه سرعت صفر است. (د = 0) و از (2.38) صفر به دست می آوریم، یعنی سرعت هیچ مولکولی دقیقاً برابر با سرعت از پیش تعیین شده نیست. این با یکی از مفاد نظریه احتمال مطابقت دارد: برای یک متغیر تصادفی پیوسته، مانند سرعت، نمی توان کاملاً دقیقاً مقدار آن را "حدس زد" که حداقل یک مولکول در گاز دارد.

توزیع مولکول ها بر اساس سرعت توسط آزمایش های مختلف تایید شده است.

توزیع ذرات توسط انرژی های بالقوه در siمزارع ماهیگیری-گرانشی، الکتریکی و غیره-توزیع بولتزمن نامیده می شود.

در رابطه با میدان گرانشی، این توزیع را می توان به صورت وابستگی به تمرکز نوشت پمولکول ها از ارتفاع ساعت بالاتر از سطح زمین یا از انرژی پتانسیل مولکول mgh:

بیان (2.40) برای ذرات گاز ایده آل معتبر است. از نظر گرافیکی، این وابستگی نمایی در شکل 1 نشان داده شده است. 2.8.

این توزیع مولکول ها در میدان گرانشی زمین را می توان در چارچوب مفاهیم جنبشی مولکولی با این واقعیت توضیح داد که مولکول ها تحت تأثیر دو عامل متضاد قرار می گیرند: میدان گرانشی که تحت تأثیر آن همه مولکول ها به زمین جذب می شوند. و حرکت مولکولی-آشوب، که تمایل دارد تا مولکول ها را به طور یکنواخت به حداکثر میزان ممکن پراکنده کند.

در پایان، ذکر شباهت‌های بین اصطلاحات نمایی در توزیع‌های ماکسول و بولتزمن مفید است: