ضریب را از علامت ریشه به صورت آنلاین کم کنید. تبدیل اولیه بیان رادیکال

فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

در درس قبل فهمیدیم که جذر چیست. وقت آن است که بفهمیم کدام یک وجود دارند فرمول های ریشهچه هستند خواص ریشهو با این همه چه می توان کرد.

فرمول های ریشه ها، خواص ریشه ها و قوانین کار با ریشه ها- این اساساً همان چیز است. به طور شگفت انگیزی فرمول های کمی برای ریشه های مربع وجود دارد. که قطعا من را خوشحال می کند! یا بهتر است بگوییم، می توانید فرمول های مختلف زیادی بنویسید، اما برای کار عملی و مطمئن با ریشه، تنها سه فرمول کافی است. همه چیز دیگر از این سه سرچشمه می گیرد. اگرچه بسیاری از افراد در سه فرمول ریشه گیج می شوند، بله...

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم. او اینجاست:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

در این مطلب ما در مورد چگونگی تبدیل عبارات منطقی و به طور خاص در مورد چگونگی حذف صحیح عامل از زیر علامت ریشه صحبت خواهیم کرد. در پاراگراف اول توضیح خواهیم داد که چرا چنین تحولی مورد نیاز است، سپس نحوه دقیق انجام آن را نشان خواهیم داد و یک قانون مشترک برای همه موارد را تدوین می کنیم. در مرحله بعد، ما نشان خواهیم داد که چه روش هایی برای آوردن بیان رادیکال به شکلی مناسب برای تبدیل وجود دارد و نمونه هایی از راه حل های مشکلات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

بیرون آوردن ضریب از زیر علامت ریشه چیست؟

برای درک بهتر ماهیت چنین تحولی، ابتدا باید معنای حذف یک عامل از زیر علامت ریشه را فرموله کنید. بیایید یک تعریف بسازیم:

تعریف 1

خارج کردن عامل از زیر علامت ریشه، جایگزینی عبارت B n · C n با حاصلضرب B · C n با این شرط است که n یک عدد فرد باشد، یا با حاصل ضرب B · C - که در آن n یک عدد زوج است. و B و C اعداد و عبارات دیگری هستند.

اگر منظور ما فقط جذر باشد، یعنی عدد n دو باشد، می توان فرآیند ضرب را به جایگزینی عبارت B 2 · C با حاصل ضرب B · C کاهش داد. از این رو نام این تبدیل: پس از انجام آن، ضریب توسطمعلوم می شود که از علامت ریشه آزاد است.

اجازه دهید برای روشن شدن این تعریف مثال هایی بزنیم. بنابراین، فرض کنید که عبارت 2 2 · 3 را داریم. شبیه B 2 · C است که در آن B دو و C سه است. با جایگزینی این ریشه با حاصلضرب 2 · 3 و حذف علائم مدول (این کار را می توان انجام داد زیرا هر دو اعداد مثبت هستند)، 2 · 3 به دست می آید. ما ضریب را خارج کرده ایم 2 2 از زیر علامت ریشه

اجازه دهید مثال دیگری از چنین تحولی را بیان کنیم. ما عبارت (x 2 - 3 x y z) 2 x = x 2 - 3 x y z x را داریم. در اینجا، نه فقط یک عامل عددی از زیر ریشه، بلکه یک عبارت کامل با متغیرها حذف شد (x 2 − 3 x y z) 2.

هر دو مثال به مورد خارج کردن عامل از جذر اشاره دارد. همچنین می توانید این تبدیل ها را برای ریشه های nام انجام دهید. در اینجا یک مثال با ریشه مکعب آورده شده است: (3 a 2) 3 2 a 2 3 = 3 a 2 2 a 2 3

مثالی با ریشه ششم: 1 2 x 2 + y 2 6 5 (x 2 + y 2) 6 را می توان به حاصل ضرب 1 2 x 2 + y 2 5 (x 2 y 2) 6 تبدیل کرد که به نوبه خود ، به 1 2 · (x 2 + y 2) · 5 · (x 2 + y 2) 6 ساده می شود. در این حالت ضریب 1 2 x 2 + y 2 6 را خارج می کنیم.

ما فهمیدیم که حذف ضریب از زیر علامت ریشه به چه معناست. حالا بیایید سراغ شواهد، یعنی. اجازه دهید توضیح دهیم که چرا محصول به دست آمده در نتیجه این تبدیل معادل عبارت اصلی است.

چرا می توان ریشه را با یک محصول جایگزین کرد؟

در این بخش خواهیم فهمید که چگونه چنین جایگزینی ممکن است و چرا ریشه B n · C n معادل محصولات B · C n و B · C n است. اجازه دهید به مفاد نظری که قبلاً مورد مطالعه قرار گرفته‌اند بپردازیم.

وقتی به تبدیل عبارات غیر منطقی نگاه کردیم، به نتایج مهمی رسیدیم که در جدولی جمع آوری کردیم. در اینجا ما فقط به دو مورد از آنها نیاز خواهیم داشت:

1. عبارت A · B n، اگر n فرد باشد، می تواند با A n · B n و برای زوج n – A n · B n جایگزین شود.

2. عبارت A n n را می توان به A تبدیل کرد اگر n فرد باشد و به | A | .

تعریف 2

با استفاده از این نتایج و دانستن ویژگی های اصلی ماژول، می توانیم موارد زیر را استنباط کنیم:

• برای n زوج: B n · C n = B n n · C n = B · C n ;
• برای n فرد: B n · C n = B n n · C n = B n n · C n = B · C n .

این عبارات زیربنای تحولاتی هستند که با حذف عامل از زیر علامت ریشه انجام می دهیم.

بنابراین، دو فرمول را می توان استخراج کرد:

تعریف 3

با استفاده از این فرمول ها می توانید چندین عامل را به طور همزمان از ریشه حذف کنید.

قانون اساسی برای بیرون آوردن ضریب از زیر ریشه

هنگامی که ما نیاز به حل مثال هایی با تبدیل های مشابه داریم، اغلب ابتدا باید عبارت رادیکال را به شکل کاهش دهیم B n C. با در نظر گرفتن این نکته می توانیم قوانین زیر را بنویسیم.

تعریف 4

برای حذف عامل از زیر ریشه در عبارت A n، ابتدا باید ریشه را به شکل B n · C n کاهش دهید و سپس به حاصل ضرب B · C n (برای یک توان فرد) یا به B · C n بروید. (برای یک توان زوج، در صورت لزوم ماژول ها را باز کنید).

بنابراین، طرح حل چنین مشکلاتی به شرح زیر است:

A n → B n · C n → B · C n ، اگر n فرد باشد B · C n ، اگر n زوج باشد

اگر لازم باشد چندین فاکتور را اضافه کنیم، به این صورت عمل می کنیم:

A n → B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n → B 1 · B 2 · . . . · B k · C n ، اگر n فرد باشد B 1 · B 2 · . . . · B k · C n، اگر n زوج باشد

اکنون می توانید به سراغ حل مشکلات بروید.

مشکلات مربوط به حذف یک ضریب از زیر علامت ریشه

مثال 1

وضعیت:ضریب را فراتر از علامت ریشه در سه عبارت انجام دهید: 2 2 7، - 1 2 3 2 5، (- 0، 4) 7 11 7.

راه حل

می بینیم که عبارات رادیکال در هر سه مورد از قبل شکل مورد نیاز ما را دارند. از آنجایی که در دو مثال اول توان ریشه یک عدد زوج و در مثال سوم یک عدد فرد است، موارد زیر را می نویسیم:

1. توان ریشه 2 است. قانون ضرب یک شاخص زوج را می گیریم و محاسبه می کنیم: 2 2 7 = 2 7 = 2 7
2. در عبارت دوم، توان نیز زوج است، یعنی - 1 2 3 2 5 = - 1 2 3 5 = 1 2 3 5
   در این مورد، ابتدا می توانیم عبارات را بر اساس ویژگی های اصلی ریشه تبدیل کنیم:
   - 1 2 3 2 5 = - 1 2 1 2 3 2 5 = 1 2 3 2 5
   و سپس ضریب را محاسبه کنید: 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5.
3. آخرین عبارت دارای یک توان فرد است، بنابراین به قانون دیگری نیاز داریم: (- 0, 4) 7 11 7 = - 0, 4 11 7.
   گزینه محاسبه زیر نیز امکان پذیر است:
   - 0, 4 7 11 7 = (- 1) 7 0, 4 7 11 7 = = - 0, 4 7 11 7 = - 0, 4 7 11 7 = - 0, 4 11 7
   یا این:
   - 0، 4 7 11 7 = (- 1) 7 0، 4 7 11 7 = = - 0، 4 7 11 7 = 0، 4 7 - 11 7 = 0، 4 - 11 7 = - 0.4 11 7

پاسخ: 1) 2 · 7 ; 2) 1 2 3 · 5 ; 3) - 0، 4 · 11 7.

مثال 2

وضعیت:تبدیل عبارت (- 2) 4 · (0 , 3) ​​4 · 7 4 · 11 4 .

راه حل:

با استفاده از نمودار ارائه شده در پاراگراف دوم مقاله، می توانیم سه عامل را به طور همزمان از زیر ریشه حذف کنیم.

(- 2) 4 · (0 ، 3) 4 · 7 4 · 11 4 = = - 2 · 0 ، 3 · 7 · 11 4 = 4 ، 2 · 11 4

می‌توانید تبدیل را در چند مرحله انجام دهید، ضریب را یکی یکی حذف کنید، اما این کار بسیار بیشتر طول می‌کشد.

راه دیگری هم وجود دارد. اجازه دهید خود بیان را تغییر دهیم و آن را به شکل درآوریم B n C. بعد از این ضریب ها را خارج می کنیم:

(- 2) 4 · (0 ، 3) 4 · 7 4 · 11 4 = = (- 2 · 0 ، 3 · 7) 4 · 11 4 = (- 4 ، 2) 4 · 11 4 = = - 4، 2 11 4 = 4، 2 11 4

پاسخ:(- 2) 4 · (0، 3) 4 · 7 4 · 11 4 = - 4، 2 · 11 4 = 4، 2 · 11 4.

اجازه دهید با جزئیات بیشتری موردی را بررسی کنیم که بیان رادیکال نیاز به تبدیل اولیه دارد. در اینجا چند نکته وجود دارد که نیاز به توضیح بیشتر دارد.

تبدیل اولیه بیان رادیکال

قبلاً اشاره کردیم که عبارت زیر ریشه همیشه شکل مناسبی برای ما ندارد. اغلب ریشه به صورت A n داده می شود و عاملی که باید برداشته شود به صراحت ارائه نمی شود. گاهی اوقات این در شرایط نشان داده می شود، اما اغلب اوقات باید ضریب به طور مستقل تعیین شود. بیایید ببینیم در این موارد چگونه عمل کنیم.

فرض کنید باید یک عامل B از پیش تعیین شده را محاسبه کنیم. طبیعتاً بیان رادیکال باید به گونه ای باشد که این عملیات امکان پذیر باشد. سپس برای تبدیل A n به B n · C n کافی است عامل دوم را تعیین کنیم، یعنی. مقدار C را از عبارت محاسبه کنید A = B n C.

مثال 3

وضعیت:یک عبارت 24 x 3 وجود دارد. فاکتور را از زیر علامت ریشه خارج کنید 2 3 .

راه حل

در اینجا n = 3، A = 24 x، B 3 = 2 3 داریم . سپس از A = B n Cمحاسبه C = A: (B n) = 24 x: (2 3) = 3 x.

بنابراین 24 x 3 = 2 3 3 x 3. عبارت رادیکال شکلی را دارد که ما نیاز داریم، و می‌توانیم از قانون برای توان‌های فرد استفاده کنیم و محاسبه کنیم: 24 x 3 = 2 3 3 x 3 = 2 3 x 3.

پاسخ: 24 x 3 = 2 3 x 3.

اما اگر ضرب کننده ای که باید اعمال شود مشخص نشده باشد چه؟ سپس ما آزادی انتخاب خاصی داریم و می توانیم از چندین رویکرد برای حل مشکل استفاده کنیم.

فرض کنید به ما عبارتی داده می شود که ریشه آن یک درجه یا حاصل چند قدرت است. در این حالت، با دانستن ویژگی‌های پایه درجه، می‌توانیم عبارت را با فاکتورهای مشخص شده برای تفریق به شکلی مناسب برای خودمان تبدیل کنیم.

مثال 4

وضعیت: باید فاکتور را از زیر ریشه در سه عبارت حذف کرد - 2 4 5 4, 2 7 5 4, 2 22 5 4.

راه حل

تبدیل عبارت اول به خصوص دشوار نیست، زیرا ما قبلاً به نمونه های مشابه نگاه کرده ایم. بیایید بلافاصله محاسبه کنیم: 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 = 2 · 5 4 .

در مثال دوم، حدس زدن چگونگی تبدیل عبارت رادیکال آسان است: فقط باید تصور کنید 2 7 چگونه 2 4 · 2 3 .

2 7 5 4 = 2 4 2 3 5 4 = 2 4 40 4 = 2 40 4 = 2 40 4

در مثال آخر، شما همچنین باید با تبدیل عبارت رادیکال شروع کنید. بیایید بلافاصله توجه کنیم که نمای نهایی به این صورت خواهد بود:

2 5 4 2 2 5 4

اکنون دقیقاً به شما نشان خواهیم داد که چگونه به این ظاهر دست یابید. ابتدا 22 را بر 4 تقسیم می کنیم، با باقیمانده 2 عدد 5 بدست می آوریم (در صورت لزوم نحوه تقسیم صحیح با باقی مانده را تکرار کنید). به عبارت دیگر، 22 را می توان به عنوان 4 5 + 2 در نظر گرفت. با استفاده از ویژگی های درجه می توانیم بنویسیم:

2 22 + 2 5 4 + 2 = 2 5 4 2 2 = (2 5) 4 2 2

بدین ترتیب:

2 22 5 4 = (2 5) 4 2 2 5 4 = (2 5) 4 20 4 = 2 5 20 4 = 32 20 4

پاسخ: 1) 2 4 5 4 = 2 5 4، 2) 2 7 5 4 = 2 40 4، 3) 2 22 5 4 = 32 20 4.

اگر عبارت زیر ریشه قدرت یا محصول قوا نیست، باید سعی کنید آن را به این شکل ارائه دهید. شایع ترین موارد عبارتند از:

عبارت رادیکال یک عدد ترکیبی طبیعی است. سپس می توانیم فوراً فاکتورهای لازم را که باید از زیر علامت ریشه خارج شوند مشاهده کنیم و ابتدا عدد داده شده را به عوامل ساده تجزیه کنیم.

مثال 5

وضعیت: فاکتور را از زیر علامت ریشه در عبارت های زیر حذف کنید: 1) 45 ; 2) 135; 3) 3456; 4) 102.

1. ما 45 را به فاکتورهای اول فاکتور می کنیم.

به این معنا که 45 = 3 3 5 = 3 2 5و 45 = 3 2 5 . در این عبارت مشخص است که ما عامل را خارج خواهیم کرد 3 2 . محاسبه می کنیم:

3 2 5 = 3 5 = 3 5

1. حالا بیایید عدد 135 را به شکل مورد نیاز تصور کنیم و دریافت کنیم: 135 = 3 3 3 5 = 3 3 15. در غیر این صورت می توانیم آن را بنویسیم 3 2 3 5 = 3 2 15. بنابراین، 135 = 3 2 15. می بینیم که ضریب در معرض حذف از زیر علامت ریشه است 3 2 :

3 2 15 = 3 15 = 3 15

1. بیایید عدد 3456 را به فاکتورهای اول فاکتور کنیم:

3456 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

معلوم شد که 3456 = 2 7 3 3و 3456 = 2 7 · 3 3. زیرا 2 7 = 2 3 2 + 1 = (2 3) 2 2و 3 3 = 3 2 3، سپس 2 7 3 3 = (2 3) 2 2 3 2 3 = (2 3) 2 3 2 6 = 2 3 3 6 = 24 6

1. بیایید عدد طبیعی 102 را حاصل ضرب ضرایب اول تصور کنیم و بدست آوریم 2 3 17. می بینیم که همه عوامل دارای توانی برابر با یک هستند و توان ریشه در این مثال برابر با دو است. بنابراین، در این مثال، نیازی نیست که یک عامل از زیر علامت ریشه خارج شود، یعنی چنین عملی برای 102 نامناسب است.

پاسخ: 1) 45 = 3 5; 2) 135 = 3 15; 3) 3456 = 24 6; 4) 102.

حال بیایید نحوه حل مثال هایی را بررسی کنیم که در آنها عبارت رادیکال به شکل یک کسر معمولی ارائه شده است. در این صورت باید صورت و مخرج را در فاکتورهای ساده قرار دهید و ببینید آیا می توان هر یک از آنها را از علامت ریشه خارج کرد. اگر کسر اعشاری یا عدد مختلط داشته باشیم ابتدا کسرهای معمولی را جایگزین آن می کنیم و پس از آن از نسبت ریشه به نسبت ریشه ها می رویم.

مثال 6

وضعیت:فاکتور را از ریشه در عبارت 200 · 0, 000189 · x 3 بگیرید و آن را ساده کنید.

راه حل

ابتدا از کسری اعشاری به کسری معمولی حرکت می کنیم و صورت و مخرج آن را به عوامل ساده تجزیه می کنیم.

0، 189 = 189 1000000 = 3 3 7 2 6 5 6

با استفاده از خصوصیات درجه، عبارت را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

3 2 2 5 2 3 7

عبارت به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین کنید و دریافت کنید:

200 0.000189 x 3 = 200 3 2 2 5 2 3 7 x 3 = 200 3 2 2 5 2 7 x 3 = 6 7 x 3

با استفاده از تبدیل های دیگر می توان به همین پاسخ رسید:

200 0, 000189 x 3 = 200 189 1000000 x 3 = 200 189 1000000 3 x 3 = 200 189 3 1000000 3 x 3 = 200 3 3 030 03 = 200 3 3 030 3 x 3 = 6 7 3 x 3 = 6 7 x 3

پاسخ: 200 · 0.000189 · x 3 = 6 · 7 · x 3.

به عبارت دیگر، برای تشخیص ضریب قابل خارج شدن از علامت ریشه، می توانید عبارت رادیکال را به هر شکل قابل قبولی تبدیل کنید.

مثال 7

وضعیت:ساده سازی عبارت غیر منطقی 2 · (3 + 2 · 2) را انجام دهید.

راه حل

می توانیم عبارت داخل پرانتز را به صورت 2 + 2 2 + 1 و بیشتر به صورت 2 2 + 2 2 1 + 1 2 تبدیل کنیم.

آنچه به دست آوردیم را می توان با استفاده از فرمول ضرب اختصاری به مربع مجموع تا کرد: 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 = 2 + 1 2.

در نتیجه: 2 3 + 2 2 = 2 2 + 1 2. حالا 2 + 1 2 را از علامت ریشه خارج می کنیم و عبارت را ساده می کنیم:

2 2 + 1 2 = 2 2 + 1 = 2 2 + 1 = 2 + 2

پاسخ: 2 3 + 2 2 = 2 + 2.

حالا بیایید ببینیم چگونه یک عبارت حاوی متغیرها را از زیر علامت ریشه حذف کنیم. به طور کلی می توان گفت که برای این کار از همان روش هایی استفاده می شود که هنگام کار با اعداد.

مثال 8

وضعیت:فاکتور را از زیر علامت ریشه در عبارات (x - 5) 5 4 و (x - 5) 6 4 حذف کنید.

راه حل

1. ما در مثال اول تبدیل را انجام می دهیم.

(x - 5) 5 4 = (x - 5) 4 x - 5 4 = x - 5 x - 5 4

علامت مدول را می توان حذف کرد. بیایید ببینیم چه شرایطی محدوده مقادیر مجاز یک متغیر را برای عبارت اصلی تعیین می کند. این شرط نابرابری خواهد بود (x − 5) 5 ≥ 0. برای حل آن روش فاصله را انتخاب می کنیم و می گیریم x ≥ 5. اگر مقدار x در محدوده مقادیر قابل قبول باشد، مقدار عبارت x - 5 یک عدد غیر منفی خواهد بود. بنابراین می توانیم موارد زیر را بنویسیم:

x - 5 x - 5 4 = x - 5 x - 5 4

1. (x - 5) 6 4 = (x - 5) 4 x - 5 2 4 = = x - 5 (x - 5) 2 4 = x - 5 x - 5 2 4

بیایید دو توان ریشه و توان را کاهش دهیم. بیایید به جدول نتایج حاصل از مقاله تبدیل عبارات غیر منطقی که در بالا در مورد آن صحبت کردیم بپردازیم. اجازه دهید نتیجه زیر را از آن بگیریم: عبارت A m n · m را می توان با A n جایگزین کرد، مشروط بر اینکه m و n اعداد طبیعی باشند. از این رو،

x - 5 x - 5 2 4 = x - 5 x - 5

آیا باید علامت مدول را در اینجا حذف کنیم؟ بیایید به محدوده مقادیر مجاز این عبارت نگاه کنیم: از همه اعداد واقعی تشکیل شده است، زیرا (x − 5) 6 ≥ 0برای هرکس ایکس. در این مورد، مقادیر x − 5ممکن است بزرگتر از 0 باشد اگر x > 5برابر 0 یا منفی به این معنی که عبارت را به شکل x - 5 x - 5 می گذاریم یا آن را به عنوان یک سیستم معادلات ارائه می کنیم

(x - 5) x - 5 , x ≥ 5 (5 - x) 5 - x , x< 5

پاسخ: 1) (x - 5) 5 4 = (x - 5) x - 5 4 ; 2) (x - 5) 6 4 = x - 5 · x - 5 .

مثال 9

وضعیت:عبارت x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 را ساده کنید.

راه حل

بیایید آن را خارج از پرانتز قرار دهیم x 3و x 3 · (x 2 + 2 · x · y + y 2) بدست می آوریم. عبارت داخل پرانتز را می توان به صورت مربع مجموع نشان داد: x 3 · (x 2 + 2 · x · y + y 2) = x 3 · (x + y) 2.

اکنون فاکتورهایی را می بینیم که باید از زیر ریشه حذف شوند: x 3 · (x + y) 2 = x 2 · x · (x + y) 2 = x · x + y · x

ما همچنین می توانیم علائم مدول را که x در آنها قرار دارد حذف کنیم، زیرا محدوده مقادیر قابل قبول با شرط تعیین می شود x 5 + 2 x 4 y + x 3 y 2 ≥ 0. معادل است x 3 (x + y) 2 ≥ 0، و از آن می توان نتیجه گرفت که x ≥ 0. دریافتیم که x · x + y · x.

پاسخ: x 5 + 2 x 4 y + x 3 y 2 = x x + y x.

این تمام چیزی است که ما می خواهیم در مورد حرکت ضریب فراتر از علامت ریشه به شما بگوییم. در مقاله بعدی به عمل معکوس - اضافه کردن یک ضریب به ریشه نگاه خواهیم کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

دستورالعمل ها

یک ضریب برای عدد رادیکال انتخاب کنید که حذف آن از زیر است ریشهواقعاً یک عبارت است - در غیر این صورت عملیات از دست خواهد رفت. مثلاً اگر زیر علامت ریشهبا توانی برابر با سه (ریشه مکعب)، هزینه دارد عدد 128 ، سپس از زیر علامت می توانید مثلاً بیرون بیاورید عدد 5. در عین حال، رادیکال عدد 128 باید به 5 مکعب تقسیم شود: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. اگر وجود یک عدد کسری در زیر علامت ریشهبا شرایط مشکل منافات ندارد، در این صورت امکان پذیر است. اگر به گزینه ساده تری نیاز دارید، ابتدا عبارت رادیکال را به این عوامل اعداد صحیح تقسیم کنید که ریشه مکعبی یکی از آنها یک عدد صحیح خواهد بود. عدد m برای مثال: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

اگر امکان محاسبه توان یک عدد در سر شما وجود ندارد برای انتخاب فاکتورهای یک عدد رادیکال استفاده کنید. این به ویژه برای ریشه m با ضریب بزرگتر از دو. اگر به اینترنت دسترسی دارید، می توانید با استفاده از ماشین حساب های تعبیه شده در موتورهای جستجوی گوگل و نیگما محاسبات را انجام دهید. به عنوان مثال، اگر باید بزرگترین ضریب عدد صحیح را که می توان از زیر علامت مکعب خارج کرد، پیدا کنید ریشهبرای شماره 250، سپس به وب سایت Google بروید و عبارت "6^3" را وارد کنید تا بررسی کنید که آیا امکان حذف آن از زیر علامت وجود دارد یا خیر. ریشهشش موتور جستجو نتیجه ای برابر با 216 نشان می دهد. افسوس که 250 را نمی توان بدون باقی مانده بر این تقسیم کرد. عدد. سپس عبارت 5^3 را وارد کنید. نتیجه 125 خواهد بود و این به شما امکان می دهد 250 را به فاکتورهای 125 و 2 تقسیم کنید، که به معنای خارج کردن آن از علامت است. ریشه عدد 5، ترک آنجا عدد 2.

منابع:

• چگونه آن را از زیر ریشه خارج کنیم
• ریشه مربع محصول

آن را از زیر بیرون بیاورید ریشهیکی از عوامل در شرایطی که شما نیاز به ساده کردن یک عبارت ریاضی دارید ضروری است. مواقعی وجود دارد که انجام محاسبات لازم با استفاده از ماشین حساب غیرممکن است. به عنوان مثال، اگر از تعیین حروف برای متغیرها به جای اعداد استفاده شود.

دستورالعمل ها

بیان رادیکال را به عوامل ساده تقسیم کنید. ببینید کدام یک از عوامل به همان تعداد بار تکرار شده است که در شاخص ها نشان داده شده است ریشه، یا بیشتر. به عنوان مثال، شما باید ریشه چهارم a را بگیرید. در این مورد، عدد را می توان به صورت a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 نشان داد. شاخص ریشهدر این صورت مطابقت خواهد داشت عامل a3. باید از علامت خارج شود.

در صورت امکان ریشه رادیکال های حاصل را به طور جداگانه استخراج کنید. استخراج ریشهعمل جبری معکوس توان است. استخراج ریشهاز یک توان دلخواه، عددی را از یک عدد پیدا کنید که وقتی به این توان دلخواه افزایش یابد، به عدد داده شده منجر شود. در صورت استخراج ریشهنمی توان تولید کرد، بیان رادیکال را زیر علامت بگذارید ریشههمینطور که هست در نتیجه اقدامات فوق شما از زیر حذف خواهید شد امضا کردن ریشه.

ویدیو در مورد موضوع

توجه داشته باشید

هنگام نوشتن عبارات رادیکال در قالب فاکتور مراقب باشید - یک خطا در این مرحله منجر به نتایج نادرست خواهد شد.

مشاوره مفید

هنگام استخراج ریشه ها، استفاده از جداول ویژه یا جداول ریشه های لگاریتمی راحت است - این به میزان قابل توجهی زمان لازم برای یافتن راه حل صحیح را کاهش می دهد.

منابع:

• علامت استخراج ریشه در سال 2019

ساده سازی عبارات جبری در بسیاری از زمینه های ریاضیات از جمله حل معادلات مرتبه بالاتر، تمایز و ادغام مورد نیاز است. روش های مختلفی از جمله فاکتورسازی استفاده می شود. برای اعمال این روش باید یک کلی پیدا کنید و بسازید عاملپشت براکت ها.

دستورالعمل ها

انجام ضریب کل براکت ها- یکی از رایج ترین روش های تجزیه. این تکنیک برای ساده کردن ساختار عبارات جبری طولانی استفاده می شود. چند جمله ای ها. عدد کلی می تواند عدد، تک جمله یا دو جمله ای باشد و برای یافتن آن از خاصیت توزیعی ضرب استفاده می شود.

عدد به دقت به ضرایب هر چند جمله ای نگاه کنید تا ببینید آیا می توان آنها را بر یک عدد تقسیم کرد. به عنوان مثال، در عبارت 12 z³ + 16 z² – 4 واضح است عامل 4. پس از تبدیل، شما 4 (3 z³ + 4 z² - 1) دریافت می کنید. به عبارت دیگر، این عدد مشترک ترین مقسوم علیه اعداد صحیح همه ضرایب است.

تک جمله ای تعیین کنید که آیا در هر یک از جمله های چند جمله ای یک متغیر وجود دارد. با فرض اینکه اینطور باشد، حالا مانند مورد قبلی به ضرایب نگاه کنید. مثال: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

هر عنصر این چند جمله ای دارای یک متغیر z است. علاوه بر این، همه ضرایب اعدادی هستند که مضرب 3 هستند. بنابراین، عامل مشترک، تک جمله 3 z:3 z خواهد بود (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

دو جمله ای.برای براکت هاعمومی عاملاز دو، یک متغیر و یک عدد که یک چند جمله ای مشترک است. بنابراین، اگر عامل-دو جمله ای واضح نیست، پس باید حداقل یک ریشه پیدا کنید. جمله آزاد چند جمله ای را انتخاب کنید. این ضریب بدون متغیر است. اکنون روش جایگزینی را در عبارت کلی همه مقسوم علیه های عدد صحیح عبارت آزاد اعمال کنید.

در نظر بگیرید: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. بررسی کنید که آیا یکی از ضرایب عدد صحیح 4 z^4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 است یا خیر. با جایگزینی ساده، z1 را پیدا کنید. = 1 و z2 = 2 که به معنی برای براکت هامی‌توانیم دوجمله‌ای (z - 1) و (z - 2) را حذف کنیم. برای یافتن عبارت باقیمانده، از تقسیم طولانی متوالی استفاده کنید.

بگذارید بیان بیان شود. ما می‌توانیم این ریشه را با استفاده از قضیه استخراج ریشه از یک محصول (§ 97) به شکل ساده‌تری نشان دهیم:

مشابه

این تبدیل را خارج کردن عامل از علامت ریشه می گویند.

در نتیجه اعمال این تبدیل، عبارت داده شده ساده شده و محاسبات مورد نیاز اغلب کاهش می یابد. این را می توان در مثال های زیر مشاهده کرد.

مثال 1. عبارت را با دقت 0.01 محاسبه کنید

بیایید هر یک از ریشه ها را با دقت 0.01 محاسبه کنیم:

ما مجبور شدیم جذر سه عدد را استخراج کنیم، و علاوه بر این، نمی توانیم مطمئن باشیم که نتیجه واقعاً مقدار عبارت را با دقت 0.01 به دست می دهد (برای اطمینان از این موضوع، باید ریشه ها را با یک عدد محاسبه کنیم. دقت بیشتر از مورد داده شده).

بیایید سعی کنیم این عبارت را با حذف علامت رادیکال آن عواملی که ممکن است ساده کنیم:

بنابراین، پس از تبدیل، فقط باید جذر یک عدد را بگیریم.

پس از محاسبه آن با دقت 0.01، متوجه می شویم:

حالا می بینیم که در محاسبه اول یک صدم خطا کردیم، یعنی با دقت مشخص شده به نتیجه نرسیدیم.

مثال 2: بیان را ارزیابی کنید

با جایگزین کردن این عبارت، دریافت می کنیم:

ما باید ریشه یک عدد شش رقمی را استخراج کنیم.

اگر ابتدا عواملی را که ممکن است از علامت ریشه حذف کنیم، محاسبات را بسیار ساده خواهیم کرد. خواهد داشت:

اکنون با جایگزینی به راحتی می توانیم پیدا کنیم:

در تمام مثال‌های قبلی، عبارت رادیکال را فاکتور گرفتیم، کسانی که توانشان بر دو بخش پذیر است را شناسایی کردیم و ریشه را از آنها استخراج کردیم. در آینده، شما باید مهارت قرار دادن فوری عوامل لازم را در پشت علامت ریشه، بدون توسل به فاکتورسازی اولیه بیان رادیکال، به دست آورید.

همانطور که از مثال ها مشخص است، برای حذف عوامل از زیر علامت جذر، کافی است توان هر عامل را بر دو تقسیم کرده و قبل از علامت ریشه، این ضریب را با توانی برابر با ضریب به دست آمده بنویسید و زیر علامت ریشه همان عامل را با توانی برابر با باقیمانده به دست آمده نشان می دهد.

در مثال قبلی.

2. وارد کردن عوامل زیر علامت جذر.

گاه مفید است، برعکس، عوامل مقابل را زیر علامت ریشه قرار دهیم.

به عنوان مثال، شما باید عبارت را با دقت 0.001 محاسبه کنید و نتیجه را در 20 ضرب کنید.

از قبل می توان گفت که نتیجه با دقت مشخص شده مطابقت ندارد، زیرا با ضرب عدد تقریبی 2.646 در 20، خطا را 20 برابر افزایش دادیم.

برای به دست آوردن دقت بیشتر، بیایید آن را با دقت 0.0001 در نظر بگیریم. ما گرفتیم:

اما اکنون نمی توانیم مطمئن باشیم که به دقت لازم دست یافته ایم.

بیایید محاسبه را به روش دیگری انجام دهیم. بیایید این عبارت را به صورت زیر ارائه کنیم:

با محاسبه با دقت 0.001، به دست می آوریم:

این مقدار واقعی این عبارت است که با نزدیکترین 0.001 محاسبه می شود.

تبدیل در نظر گرفته شده را معرفی یک عامل در زیر علامت ریشه می گویند.

مثال داده شده امکان سنجی چنین تحولی را در برخی موارد نشان می دهد.

برای وارد کردن فاکتورهای جلوی آن در زیر جذر کافی است که این عوامل را مربع کرده و بیان رادیکال را در نتیجه به دست آمده ضرب کنید.

در دو مثال اول ابتدا ضریب جلوی علامت ریشه زیر علامت ریشه قرار گرفت سپس ضرب انجام شد.

در مثال سوم، هر دوی این عملیات به طور همزمان انجام شد.

3. کاهش بیان رادیکال به کل فرم.

اگر عبارت رادیکال کسری باشد، اغلب توصیه می شود که آن را به یک شکل کامل تقلیل دهید، یا، همانطور که می گویند، عبارت رادیکال را از مخرج آزاد کنید.

بیایید با مثال هایی نشان دهیم که چگونه این کار انجام می شود.

مثال 1.

برای استخراج ریشه از مخرج یک عبارت رادیکال، صورت و مخرج این عبارت را در a ضرب می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم.