خانه » با دستان خودت » فرمول ها و خواص کره کره، توپ، بخش و بخش. فرمول ها و خواص یک کره چگونه مساحت یک کره را با دانستن شعاع پیدا کنیم

فرمول ها و خواص کره کره، توپ، بخش و بخش. فرمول ها و خواص یک کره چگونه مساحت یک کره را با دانستن شعاع پیدا کنیم

تعریف توپ

توپمجموعه ای از نقاط را فراخوانی کنید که از یک نقطه دلخواه انتخاب شده (مرکز توپ) در فاصله ای که بیشتر از آن نباشد حذف شده است آر آر آر- شعاع این توپ.

ماشین حساب آنلاین

یک توپ، مانند یک دایره، دارای قطر است DD D، که طول آن دو برابر شعاع توپ است.

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ آر

سطح یک توپ را می توان با استفاده از شعاع و قطر توپ پیدا کرد.

فرمول مساحت سطح توپ بر اساس شعاع توپ

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2S=4 ⋅ π ⋅ آر 2

آر آر آر- شعاع توپ

مثال

یک توپ در مکعبی حک شده است که قطر آن برابر است DD دمساوی با 300\sqrt (300) 3 0 0 (سانتی متر.). مساحت توپ را پیدا کنید.

راه حل

D = 300 d = \sqrt(300) d =3 0 0

اولین قدم برای حل مسئله، یافتن طول ضلع مکعب است. اجازه دهید آن را با علامت گذاری کنیم a آ. سپس طبق قضیه فیثاغورث:

D 2 = a 2 + a 2 + a 2 d^2 = a^2+a^2+a^2د 2 = آ 2 + آ 2 + آ 2

D 2 = 3 ⋅ a 2 d^2=3\cdot a^2د 2 = 3 ⋅ آ 2

A = d 3 a =\frac(d)(\sqrt(3)) a =3 د

A = 300 3 = 100 = 10 a=\frac(\sqrt(300))(\sqrt(3))=\sqrt(100)=10a =3 3 0 0 = 1 0 0 = 1 0

شعاع توپ حک شده در یک مکعب برابر است با نصف ضلع این مکعب:

R = a 2 = 10 2 = 5 R=\frac(a)(2)=\frac(10)(2)=5R=2 آ = 2 1 0 = 5

سپس سطح توپ برابر است با:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 314 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot 5^2\approx314S=4 ⋅ π ⋅ آر 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 3 1 4 (مربع را ببینید)

پاسخ: 314 سانتی متر مربع

فرمول مساحت سطح توپ بر اساس قطر توپ

فرمول سطح یک توپ را می توان به راحتی از طریق قطر آن با استفاده از رابطه بین شعاع و قطر توپ بدست آورد:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ (D 2) 2 = π ⋅ D 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D )(2)\Big)^2=\pi\cdot D^2S=4 ⋅ π ⋅ آر 2 = 4 ⋅ π ⋅ ( 2 D ) 2 = π ⋅ D 2

S = π ⋅ D 2 S=\pi\cdot D^2S=π ⋅ D 2

DD D- قطر توپ

مثال

قطر توپ 10 (سانتی متر) است. مساحت سطح آن را بیابید.

راه حل

D=10 D=10 D=1 0

با استفاده از فرمول به دست می آوریم:

S = π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 314 S=\pi\cdot D^2=\pi\cdot 10^2\approx314S=π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 3 1 4 (مربع را ببینید)

پاسخ: 314 سانتی متر مربع

یک توپ مجموعه ای از تمام نقاط در فضا است که از نقطه مرکزی در فاصله ای با شعاع R مشخص امتداد می یابد. توپبا هر نقطه روی سطحش

شما نیاز خواهید داشت

- فرمول سطح یک توپ؛
- فرمول حجم یک توپ؛
- مهارت های حسابی

دستورالعمل ها

1. در زندگی روزمره اغلب نیاز به محاسبه وجود دارد مربعسطح کروی یا بخشی از آن برای محاسبه مثلا مصرف مواد. با محاسبه حجم توپ، می توانید از وزن مخصوص برای محاسبه جرم ماده تشکیل دهنده محتویات کره استفاده کنید. به منظور کشف مربعو حجم توپ، کافی است شعاع یا قطر آن را بدانیم. با استفاده از فرمول هایی که دانش آموزان امروزی در کلاس یازدهم دبیرستان استخراج می کنند، می توانید به راحتی این پارامترها را محاسبه کنید.

2. فرض کنید قطر یک توپ فوتبال با توجه به نیازهای فیفا باید در محدوده 21.8-22.2 سانتی متر باشد، در نتیجه شعاع (R) برابر با (22): 2) - 11 سانتی متر چای جالب است بدانید چه مربعسطح توپ فوتبال؟

3. فرمول سطح را در نظر بگیرید توپ: S توپ= 4tmR2 شعاع توپ فوتبال را با فرمول بالا جایگزین کنید - 11 سانتی متر S = 4 x 3.14 x 11.

4. پس از انجام عملیات ساده ریاضی، به نتیجه می رسید: 1519.76. بدین ترتیب، مربعمساحت یک توپ فوتبال 1519.76 سانتی متر مربع است.

5. حالا حجم توپ را حساب کنید. فرمول محاسبه حجم را در نظر بگیرید توپ: V = 4/3tmR3 دوباره مقدار شعاع توپ فوتبال را جایگزین کنید - 11 سانتی متر V = 4/3 x 3.14 x 11 x 11.

6. پس از محاسبات، مثلاً، در یک ماشین حساب به دست می آورید: 5576.89 معلوم می شود که حجم هوای یک توپ فوتبال 5576.89 سانتی متر مکعب است.

توپ ساده ترین شکل هندسی سه بعدی است که برای نشان دادن اندازه آن هر یک از پارامترها کافی است. مرزهای این شکل را معمولاً کره می نامند. حجم فضای محدود شده توسط کره هم با پشتیبانی از فرمول های مثلثاتی مناسب و هم با ابزارهای موجود قابل محاسبه است.

دستورالعمل ها

1. از فرمول کلاسیک برای حجم (V) یک کره استفاده کنید، اگر شعاع آن (r) از شرایط مشخص باشد - شعاع را تا توان سوم افزایش دهید، در عدد Pi ضرب کنید و کل را یک سوم دیگر افزایش دهید. این فرمول را می توان به صورت زیر نوشت: V=4*?*r?/3.

2. اگر امکان اندازه گیری قطر (d) کره وجود دارد، آن را به نصف تقسیم کرده و از آن به عنوان شعاع در فرمول مرحله قبل استفاده کنید. یا یک ششم قطر مکعب ضرب در پی را پیدا کنید: V=?*d?/6.

3. اگر حجم (v) استوانه ای را که کره در آن حک شده است بدانیم، برای یافتن حجم آن مشخص کنیم که دو سوم حجم شناخته شده استوانه برابر است با: V=?*v.

4. اگر چگالی متوسط (p) ماده تشکیل دهنده کره و جرم آن (m) را می دانید، این نیز برای تعیین حجم کافی است - دومی را بر اولی تقسیم کنید: V=m/p.

5. از برخی ظروف اندازه گیری به عنوان وسیله ای مفید برای اندازه گیری حجم یک ظرف کروی استفاده کنید. فرض کنید، با استفاده از یک ظرف اندازه گیری، آن را با آب پر کنید تا مقدار مایع ریخته شده را اندازه گیری کنید. مقدار حاصل را بر حسب لیتر به متر مکعب تبدیل کنید - این واحد در سیستم بین المللی SI برای اندازه گیری حجم پذیرفته شده است. به عنوان نشانگر تبدیل لیتر به متر مکعب از عدد 1000 استفاده کنید زیرا یک لیتر برابر با یک دسی متر مکعب است و هر متر مکعب دقیقا شامل هزار عدد می باشد.

6. اگر یک جسم کروی را نمی توان با مایع پر کرد، اما می توان آن را در آن غوطه ور کرد، از قانون اندازه گیری مخالف با آنچه در مرحله قبل توضیح داده شد استفاده کنید. ظرف اندازه گیری را با آب پر کنید، لایه را جارو کنید، بدنه کروی اندازه گیری شده را در مایع غوطه ور کنید و بر اساس اختلاف طبقات، مقدار آب جابجا شده را تعیین کنید. پس از این کار، مجموع حاصل را به روشی که در مرحله قبل توضیح دادیم، از لیتر به متر مکعب تبدیل کنید.

ویدیو در مورد موضوع

تعمیرات، جابجایی، نقاشی یک شی - همه اینها به محاسبه مساحت نیاز دارد. یادآوری برنامه درسی مدرسه جرم نیست.

دستورالعمل ها

1. بیایید به یاد بیاوریم که منطقه چیست. مساحت اندازه یک شکل صفحه در رابطه با یک شکل استاندارد است. یا یک مقدار صحیح که مقدار عددی آن دارای ویژگی های زیر است: اگر یک شکل را بتوان به قسمت هایی تقسیم کرد که ارقام ابتدایی هستند، مساحت چنین شکلی برابر با مجموع مساحت اجزای آن خواهد بود. مساحت مربعی که ضلعی آن برابر با واحد اندازه گیری است برابر با یک است. ارقام مساوی مساحت مساوی دارند از این قوانین نتیجه می شود که مساحت مقدار معینی نیست، یعنی مساحت فقط یک مقدار مشروط به دست می دهد. جمع بندی به برخی از شکل ها هنگامی که باید مساحت یک شکل دلخواه را پیدا کنید، باید محاسبه کنید که این رقم چند مربع با یک ضلع (که برابر با یک است) می تواند در خود جای دهد.

2. مثال: بیایید یک شکل - یک مستطیل، که یک سانتی متر مربع در آن شش بار قرار می گیرد، در نظر بگیریم. سپس مساحت چنین مستطیلی برابر با 6 سانتی متر مربع خواهد بود. اگر شکل دشوارتری را مثلاً یک ذوزنقه در نظر بگیریم، معلوم می شود که: اگر ذوزنقه به اندازه ای باشد که یک سانتی متر مربع فقط دو بار در آن قرار گیرد و قسمت سوم کاملاً جا نگیرد و یک مثلث کوچک باقی بماند. برای اندازه گیری مساحت این مثلث باقی مانده، باید کسری از یک سانتی متر مربع را روی آن اعمال کنید. درست است، این روش برای چهره های دشوار خیلی راحت نیست. در نتیجه، فرمول های مختلفی برای محاسبه مساحت ارقام مختلف وجود دارد. اگر باید مساحت یک شکل خاص را محاسبه کنید، می توانید یک کتاب درسی هندسه بگیرید و مطالبی را که زمانی در مدرسه مطالعه کرده اید به خاطر بسپارید، بنابراین، فرمول مساحت یک مکعب است مکعب برابر است با تعداد وجوه ضرب در مساحت صورت، یعنی. 6*a2

ویدیو در مورد موضوع

تمام سیارات منظومه شفاف دارای شکل هستند توپ. علاوه بر این، بسیاری از اشیاء ساخته شده توسط انسان، از جمله قطعات دستگاه های فنی، کروی یا نزدیک به چنین شکلی هستند. یک توپ، مانند هر بدنه چرخشی، دارای محوری است که با قطر آن منطبق است. با این حال، این یک کیفیت اصلی استثنایی نیست توپ. در زیر به خواص اصلی این شکل هندسی و روش یافتن مساحت آن می پردازیم.

دستورالعمل ها

1. اگر یک نیم دایره یا دایره را بردارید و آن را حول محور خود بچرخانید، جسمی به نام توپ به دست می آید. به عبارت دیگر، توپ جسمی است که توسط یک کره محدود شده است. کره یک پوسته است توپو مقطع آن دایره ای است. از جانب توپتفاوت آن در توخالی بودن آن است. مانند محور توپ، بنابراین برای یک کره با قطر منطبق است و از مرکز می گذرد. شعاع توپقطعه ای نامیده می شود که از مرکز آن به هر نقطه خارجی کشیده شده است. در مقابل کره، بخش توپدایره هستند بسیاری از سیارات و اجرام آسمانی شکلی نزدیک به کروی دارند. در نقاط مختلف توپاز نظر شکل یکسان، اما از نظر اندازه نابرابر، به اصطلاح بخش هایی وجود دارد - دایره هایی از مناطق مختلف.

2. یک توپ و یک کره، برخلاف مخروط، اجسام قابل تعویض هستند، علیرغم این واقعیت که مخروط نیز بدنه انقلابی است. سطوح کروی بدون در نظر گرفتن اینکه دقیقاً چگونه می چرخد - به صورت افقی یا عمودی، همیشه یک دایره را در مقطع خود تشکیل می دهند. سطح مخروطی شکل فقط با چرخش مثلث در امتداد محور آن عمود بر پایه به دست می آید. در نتیجه، مخروط، بر خلاف توپ، و بدنه انقلاب قابل تعویض در نظر گرفته نمی شود.

3. بزرگترین دایره ممکن با برش به دست می آید توپصفحه ای که از مرکز O می گذرد. تمام دایره هایی که از مرکز O می گذرند به یک قطر یکدیگر را قطع می کنند. شعاع همیشه برابر با نصف قطر است. از طریق دو نقطه A و B، واقع در هر نقطه از سطح توپ، می تواند از تعداد نامحدودی حلقه یا حلقه عبور کند. به همین دلیل است که می توان تعداد نامحدودی از نصف النهارها را از طریق قطب های زمین ترسیم کرد.

4. هنگام یافتن منطقه توپقبل از هر کس دیگری در نظر گرفته شود مربعسطح کروی. مساحت توپیا بهتر بگوییم، کره ای که سطح آن را تشکیل می دهد، می تواند بر اساس مساحت دایره ای با همان شعاع R محاسبه شود. مربعیک دایره حاصل ضرب یک نیم دایره و یک شعاع است، می توان آن را به صورت زیر محاسبه کرد: S = ?R^2 از آنجایی که از طریق مرکز توپچهار دایره بزرگ اصلی را عبور دهید، سپس، بر این اساس مربع توپ(کره) برابر است با:S = 4 ?R^2

5. این فرمول می تواند مناسب باشد اگر قطر یا شعاع را بدانیم توپیا کره ها با این حال، این پارامترها به عنوان شرایط در همه مسائل هندسی ارائه نمی شوند. همچنین مشکلاتی وجود دارد که در آن یک توپ در یک استوانه حک شده است. در این صورت باید از قضیه ارشمیدس استفاده کنید که اصل آن این است مربعسطوح توپیک و نیم برابر کمتر از سطح کل سیلندر: استوانه S = 2/3 S، که در آن استوانه S. – مربعسطح کامل سیلندر

ویدیو در مورد موضوع

یک توپ ساده ترین شکل سه بعدی یک شکل هندسی مثبت است که تمام نقاط فضا در محدوده آن از مرکز آن در فاصله ای که بیشتر از شعاع نیست حذف می شود. سطحی که توسط اکثر نقاط دورتر از مرکز تشکیل شده است کره نامیده می شود. برای بیان کمی اندازه فضای موجود در یک کره، پارامتری ارائه می شود که به آن حجم توپ می گویند.

دستورالعمل ها

1. اگر لازم باشد حجم یک توپ را نه از نظر تئوری، بلکه فقط با وسایل موجود اندازه گیری کنیم، این کار را می توان مثلاً با تعیین حجم آب جابجا شده توسط آن انجام داد. این روش در مواردی قابل استفاده است که امکان قرار دادن توپ در ظرفی متناسب با آن وجود داشته باشد - فنجان، لیوان، کوزه، سطل، بشکه، استخر و غیره. در این صورت قبل از قرار دادن توپ، لایه آب را جارو کنید، پس از غوطه ور شدن کامل دوباره این کار را انجام دهید و سپس تفاوت بین علائم را پیدا کنید. به طور سنتی، ظروف اندازه گیری کارخانه تولید شده دارای تقسیماتی هستند که حجم را بر حسب لیتر و واحدهای حاصل از آن - میلی لیتر، دکالیتر و غیره نشان می دهد. اگر مقدار به دست آمده باید به متر مکعب و چندین واحد حجم تبدیل شود، از این واقعیت که یک لیتر مربوط به یک دسی متر مکعب یا یک هزارم متر مکعب است، عمل کنید.

2. اگر ماده ای که توپ از آن ساخته شده است شناخته شده باشد و چگالی آن را بتوان مثلاً از یک کتاب مرجع فهمید، آنگاه می توان با وزن کردن جسم داده شده، حجم آن را تعیین کرد. به سادگی نتیجه توزین را بر چگالی مرجع ماده سازنده تقسیم کنید: V=m/p.

3. اگر شعاع توپ از شرایط مسئله تعیین شود یا بتوان آن را اندازه گرفت، می توان از فرمول ریاضی مربوطه برای محاسبه حجم استفاده کرد. عدد چهار عدد Pi را در توان سوم شعاع ضرب کنید و مجموع حاصل را بر سه تقسیم کنید: V=4*?*r?/3. فرض کنید، با شعاع 40 سانتی متر، حجم توپ 4 * 3.14 * 40?/3 = 267946.67 سانتی متر خواهد بود؟ ? 0.268 متر؟

4. اندازه گیری قطر اغلب ساده تر از اندازه گیری شعاع است. در این مورد، برای استفاده با فرمول مرحله قبل، نیازی به تقسیم آن به نصف نیست - بهتر است خود فرمول را ساده کنید. مطابق با فرمول تبدیل شده، عدد Pi را در قطر در توان سوم ضرب کنید و مجموع را بر شش تقسیم کنید: V=?*d?/6. فرض کنید، یک توپ با قطر 50 سانتی متر باید حجم 3.14 * 50?/6 = 65416.67 سانتی متر داشته باشد؟ ? 0.654 متر؟

مشکلات مربوط به محاسبه مساحت یک دایره اغلب در دوره های هندسه مدرسه یافت می شود. به منظور کشف مربعدایره، باید طول را بدانید قطریا شعاع دایره ای که در آن محصور شده است.

شما نیاز خواهید داشت

- طول قطر دایره

دستورالعمل ها

1. دایره شکلی است روی صفحه ای متشکل از نقاط زیادی که در فاصله یکسان از نقطه دیگری به نام مرکز قرار دارند. دایره یک شکل هندسی مسطح است که از نقاط زیادی تشکیل شده است که در یک دایره محصور شده اند که مرز دایره است. قطر پاره خطی است که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند و از مرکز آن می گذرد. شعاع قطعه ای است که نقطه ای از دایره و مرکز آن را به هم متصل می کند. ? - عدد پی، ثابت ریاضی، مقدار پیوسته. نسبت محیط دایره به طول آن را نشان می دهد قطر. مقدار دقیق یک عدد را محاسبه کنید؟ غیر ممکن در هندسه از مقدار تقریبی این عدد استفاده می شود: ? ? 3.14

2. مساحت یک دایره برابر است با حاصل ضرب مربع شعاع و عدد و با فرمول S=?R^2 محاسبه می شود که در آن S - مربعدایره، R طول شعاع دایره است.

3. از تعریف شعاع به دست می آید که برابر با نصف است قطر. در نتیجه، فرمول به شکل: S=?(D/2)^2، که در آن D طول است. قطرحلقه ها مقدار را در فرمول جایگزین کنید قطر، محاسبه مربعدایره.

4. مساحت یک دایره با واحدهای مساحت - mm2، cm2، m2 و غیره اندازه گیری می شود. اطلاعاتی که دریافت می کنید در چه واحدهایی بیان می شود؟ مربعدایره بستگی به واحدهایی دارد که قطر دایره در آنها داده شده است.

5. اگر نیاز به محاسبه دارید مربعحلقه، از فرمول استفاده کنید: S=?(R-r)^2، که در آن R، r به ترتیب شعاع دایره های بیرونی و داخلی حلقه هستند.

مشاوره مفید
روز جهانی پی وجود دارد که در 14 مارس جشن گرفته می شود. زمان دقیق تاریخ پیروزی 1 ساعت و 59 دقیقه و 26 ثانیه با توجه به اعداد تاریخ - 3.1415926...

ویدیو در مورد موضوع

توجه داشته باشید!
جالب است: حجم یک توپ با قطر سه برابر بیشتر از قطر یک توپ دیگر، 9 برابر بزرگتر از حجم کل 3 توپ است.

مشاوره مفید
به منظور ایجاد اشتیاق در کودکان به محاسبات ریاضی، اشیاء اطراف را به عنوان مثال برای محاسبه ارائه دهید: یک توپ، یک هندوانه، یک توپ از نخ مادربزرگ. بصری است و بنابراین جذاب است.

ما در اینجا یک استنتاج بسیار ساده، اگرچه نه کاملاً دقیق، از فرمول مساحت یک سطح کروی ارائه می دهیم. در ایده خود بسیار نزدیک به روش های حساب انتگرال است. بنابراین، اجازه دهید یک توپ معین به شعاع R به ما داده شود. اجازه دهید سطح کوچکی را روی سطح آن انتخاب کنیم (شکل 412) و یک هرم یا مخروط را با رأس آن در مرکز توپ O در نظر بگیریم که این ناحیه را به عنوان پایه آن دارد. ; به طور دقیق، ما فقط به صورت مشروط در مورد یک مخروط یا یک هرم صحبت می کنیم، زیرا پایه آن صاف نیست، بلکه کروی است. اما اگر اندازه پایه در مقایسه با شعاع توپ کوچک باشد، تفاوت بسیار کمی با یک زمین مسطح خواهد داشت (مثلاً هنگام اندازه گیری یک قطعه زمین نه چندان بزرگ، از این واقعیت غفلت می کنند که روی یک زمین قرار ندارد. هواپیما، اما در یک کره).

سپس با نشان دادن قاعده هرم از طریق مساحت این بخش، حجم آن را حاصل ضرب یک سوم ارتفاع به مساحت پایه می‌یابیم (ارتفاع شعاع توپ است). :

اگر اکنون کل سطح توپ را به تعداد بسیار زیاد N از چنین مناطق کوچکی تجزیه کنیم، در نتیجه حجم توپ را به N حجم از "اهرام" که این مناطق را به عنوان پایه خود دارند، تجزیه کنیم، آنگاه کل حجم با مقدار نشان داده می شود. مجموع

که در آن آخرین مجموع برابر با سطح کل توپ است:

پس حجم یک کره برابر با یک سوم حاصل ضرب شعاع و سطح آن است. بنابراین برای مساحت سطح فرمول را داریم

آخرین نتیجه به شرح زیر است:

مساحت یک کره برابر با چهار برابر مساحت دایره بزرگ آن است.

نتیجه گیری فوق برای سطح یک بخش کره نیز مناسب است (منظور ما فقط پایه است، به عنوان مثال، سطح کروی، یا "کلاه"؛ به شکل 409 مراجعه کنید). و در این حالت، حجم بخش برابر با یک سوم حاصلضرب شعاع توپ و مساحت قاعده کروی آن است:

جایی که فرمول مساحت کلاهک را پیدا می کنیم

سطح کروی لایه کروی را کمربند کروی می نامند (شکل 408 را ببینید). برای محاسبه مساحت سطح کمربند کروی، تفاوت بین سطوح دو کلاهک کروی را پیدا می کنیم:

ارتفاع لایه کجاست بنابراین، سطح یک کمربند کروی برای یک توپ معین فقط به ارتفاع لایه مربوطه بستگی دارد، اما به موقعیت آن روی توپ بستگی ندارد.

وظیفه. سطح جانبی مخروطی که دور یک توپ احاطه شده است مساحتی برابر با یک و نیم مساحت سطح توپ دارد. اگر شعاع توپ برابر است ارتفاع مخروط را بیابید.

راه حل. برای راحتی، اجازه دهید زاویه a بین ارتفاع و ژنراتیکس مخروط را معرفی کنیم (شکل 413). اجازه دهید عبارات ارتفاع، شعاع پایه و ژنراتیکس مخروط را پیدا کنیم

که در آن آخرین مجموع برابر با سطح کل توپ است:

پس حجم یک کره برابر با یک سوم حاصل ضرب شعاع و سطح آن است. بنابراین برای مساحت سطح فرمول را داریم

آخرین نتیجه به شرح زیر است:

مساحت یک کره برابر با چهار برابر مساحت دایره بزرگ آن است.

جایی که فرمول مساحت کلاهک را پیدا می کنیم

تایپ کنید