برای پیدا کردن تفاوت مورد نیاز گواهی مشارکت فعال در ارتقای کیفیت آموزش همراه با پروژه Infourok. عملیات ریاضی با اختلاف اعداد

کلمه "تفاوت" می تواند معانی زیادی داشته باشد. این همچنین می تواند به معنای تفاوت در چیزی باشد، به عنوان مثال، نظرات، دیدگاه ها، علایق. در برخی از زمینه های علمی، پزشکی و سایر زمینه های حرفه ای، این اصطلاح به شاخص های مختلفی مانند سطح قند خون، فشار اتمسفر و شرایط آب و هوایی اشاره دارد. مفهوم "تفاوت" به عنوان یک اصطلاح ریاضی نیز وجود دارد.

عملیات حسابی با اعداد

اصلی ترین عملیات حسابی در ریاضیات عبارتند از:

• اضافه شدن
• منها کردن؛
• ضرب؛
• تقسیم.

هر نتیجه از این اقدامات نیز نام خاص خود را دارد:

• جمع - نتیجه به دست آمده با اضافه کردن اعداد.
• تفاوت - نتیجه حاصل از تفریق اعداد.
• محصول حاصل ضرب اعداد است.
• ضریب حاصل از تقسیم است.

برای توضیح مفاهیم مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب در ریاضیات به زبان ساده‌تر، می‌توانیم آن‌ها را فقط به صورت عبارت بنویسیم:

• مقدار - اضافه کردن؛
• تفاوت - تفریق؛
• محصول - ضرب؛
• خصوصی - تقسیم کردن.

نگاهی به تعاریف، تفاوت بین اعداد در ریاضیات چیست، این مفهوم را می توان به چند روش تعریف کرد:

و همه این تعاریف درست است.

چگونه تفاوت بین مقادیر را پیدا کنیم

بیایید نماد تفاوتی را که برنامه درسی مدرسه به ما ارائه می دهد، به عنوان پایه در نظر بگیریم:

• این تفاوت نتیجه تفریق یک عدد از عدد دیگر است. اولی از این اعداد که تفریق از آن انجام می شود، مینیوند نامیده می شود و دومی که از عدد اول کسر می شود، فرعی نامیده می شود.

یک بار دیگر با توسل به برنامه درسی مدرسه، قاعده ای در مورد چگونگی پیدا کردن تفاوت پیدا می کنیم:

• برای پیدا کردن تفاوت، شما باید subtrahend را از minuend کم کنید.

همه چیز روشن است. اما در همان زمان چندین اصطلاح ریاضی دیگر دریافت کردیم. منظورشون چیه؟

• minuend یک عدد ریاضی است که از آن کم می شود و کاهش می یابد (کوچکتر می شود).
• سابترهند یک عدد ریاضی است که از مینیوند کم می شود.

اکنون مشخص است که این تفاوت از دو عدد تشکیل شده است که برای محاسبه آن باید دانست. و چگونه آنها را پیدا کنیم، از تعاریف نیز استفاده خواهیم کرد:

• برای پیدا کردن مینیوند، باید تفاوت را به قسمت فرعی اضافه کنید.
• برای پیدا کردن قسمت فرعی، باید تفاوت را از مینیوند کم کنید.

عملیات ریاضی با اختلاف اعداد

بر اساس قواعد مشتق شده، می توان نمونه های گویا را در نظر گرفت. ریاضیات علم جالبی است. در اینجا ما فقط ساده ترین اعداد را برای حل می گیریم. با یادگیری تفریق آنها، حل مقادیر پیچیده تر، سه رقمی، چهار رقمی، صحیح، کسری، توان ها، ریشه ها و غیره را یاد خواهید گرفت.

مثال های ساده

• مثال 1. تفاوت بین دو کمیت را بیابید.

20 - کاهش ارزش،

15 - تفریق پذیر.

راه حل: 20 - 15 = 5

جواب: 5 - تفاوت در مقادیر.

• مثال 2. minuend را پیدا کنید.

48 - تفاوت

32 مقدار تفریق شده است.

راه حل: 32 + 48 = 80

• مثال 3. مقدار subtrahend را پیدا کنید.

7 - تفاوت

17 مقدار در حال کاهش است.

راه حل: 17 - 7 = 10

پاسخ: مقدار 10 را کم کنید.

نمونه های پیچیده تر

مثال های 1-3 اعمال با اعداد صحیح ساده را بررسی می کنند. اما در ریاضیات، تفاوت نه تنها با استفاده از دو عدد، بلکه با استفاده از چندین عدد و همچنین اعداد صحیح، کسری، گویا، غیر منطقی و غیره محاسبه می شود.

• مثال 4. تفاوت بین سه مقدار را بیابید.

مقادیر صحیح داده شده است: 56، 12، 4.

56 - ارزش کاهش می یابد،

12 و 4 مقادیر کم شده هستند.

راه حل به دو صورت قابل انجام است.

روش 1 (تفریق متوالی مقادیر تفریق شده):

1) 56 - 12 = 44 (در اینجا 44 اختلاف حاصل از دو کمیت اول است که در عمل دوم کاهش می یابد).

روش 2 (کم کردن دو دسته فرعی از مجموع در حال کاهش که در این مورد اضافه نامیده می شود):

1) 12 + 4 = 16 (که در آن 16 مجموع دو جمله است که در عملیات بعدی کم می شود).

2) 56 - 16 = 40.

پاسخ: 40 اختلاف سه مقدار است.

• مثال 5. تفاوت بین کسرهای گویا را بیابید.

با توجه به کسری با مخرج یکسان، که در آن

4/5 - کسر کاهش یافته،

3/5 - قابل کسر.

برای تکمیل راه حل، باید اقدامات را با کسری تکرار کنید. یعنی باید بدانید که چگونه کسری را با مخرج یکسان کم کنید. نحوه برخورد با کسری که مخرج های متفاوتی دارند. آنها باید بتوانند آنها را به یک مخرج مشترک برسانند.

راه حل: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

جواب: 1/5.

• مثال 6. اختلاف اعداد را سه برابر کنید.

چگونه می توان چنین مثالی را در زمانی که باید اختلاف را دو یا سه برابر کرد، اجرا کرد؟

بیایید دوباره از قوانین استفاده کنیم:

• دو عدد یک مقدار ضرب در دو است.
• سه عدد یک مقدار ضربدر سه است.
• اختلاف دو برابر اختلاف قدر ضربدر دو است.
• اختلاف سه برابر اختلاف قدر ضرب در سه است.

7- کاهش ارزش

5 - مقدار کم شده.

2) 2 * 3 = 6. پاسخ: 6 تفاوت بین اعداد 7 و 5 است.

• مثال 7. تفاوت بین مقادیر 7 و 18 را بیابید.

7 - کاهش ارزش;

18 - کم شد.

همه چیز روشن به نظر می رسد. متوقف کردن! آیا زیرآب بزرگتر از مینیوند است؟

و دوباره یک قاعده وجود دارد که در مورد یک مورد خاص اعمال می شود:

• اگر زیرتراژ بزرگتر از مینیوند باشد، اختلاف منفی خواهد بود.

پاسخ: - 11. این مقدار منفی، تفاوت بین دو کمیت است، مشروط بر اینکه کمیت کسر شده بیشتر از مقدار کاهش یافته باشد.

ریاضی برای مو بورها

در وب جهانی می توانید سایت های موضوعی زیادی پیدا کنید که به هر سوالی پاسخ می دهند. به همین ترتیب، ماشین حساب های آنلاین برای هر سلیقه ای به شما در انجام هر گونه محاسبات ریاضی کمک می کنند. تمام محاسبات انجام شده روی آنها کمک بسیار خوبی برای افراد عجول، کنجکاو و تنبل است. ریاضی برای مو بورها یکی از این منابع است. علاوه بر این، همه ما بدون توجه به رنگ مو، جنسیت و سن به آن متوسل می شویم.

در مدرسه به ما آموزش داده شد که چنین عملیاتی را با مقادیر ریاضی در یک ستون و بعداً در یک ماشین حساب محاسبه کنیم. ماشین حساب نیز یک کمک مفید است. اما برای رشد تفکر، هوش، بینش و سایر ویژگی های زندگی، به شما توصیه می کنیم که عملیات حسابی را روی کاغذ یا حتی در ذهن خود انجام دهید. زیبایی بدن انسان دستاورد بزرگ طرح تناسب اندام مدرن است. اما مغز نیز ماهیچه ای است که گاهی نیاز به پمپاژ دارد. بنابراین، بدون معطلی، شروع به فکر کردن کنید.

و با وجود اینکه در ابتدای سفر، محاسبات به نمونه های ابتدایی کاهش می یابد، اما همه چیز جلوتر از شماست. و شما باید خیلی تسلط داشته باشید. می بینیم که در ریاضیات عملیات زیادی با کمیت های مختلف وجود دارد. بنابراین، علاوه بر تفاوت، بررسی نحوه محاسبه نتایج باقیمانده از عملیات حسابی نیز ضروری است:

• جمع - با اضافه کردن شرایط؛
• محصول - با ضرب عوامل؛
• ضریب - با تقسیم سود بر تقسیم کننده.

این حسابی جالب است.

منها کردنیک عمل حسابی معکوس جمع است که به وسیله آن به تعداد واحدهای موجود در یک عدد دیگر از یک عدد کم می شود.

عددی که از آن کم می شود نامیده می شود قابل تقلیل، عددی که نشان می دهد چند واحد از عدد اول کم می شود نامیده می شود قابل کسر. عدد حاصل از تفریق نامیده می شود تفاوت(یا بقیه).

بیایید با استفاده از یک مثال به تفریق نگاه کنیم. 9 آب نبات روی میز وجود دارد، اگر 5 عدد آب نبات بخورید، 4 عدد باقی می ماند، عدد 9 عدد کوچک، 5 عدد آب نبات و 4 عدد باقی مانده (تفاوت) است.

برای نوشتن تفریق از علامت - (منهای) استفاده کنید. بین مینوئند و فرعی قرار می گیرد که در سمت چپ علامت منهای مینوئند و در سمت راست مینیوند نوشته می شود. به عنوان مثال، ورودی 9 - 5 به این معنی است که عدد 5 از عدد 9 کم می شود. در سمت راست ورودی تفریق، علامت = (برابر) قرار دهید، پس از آن نتیجه تفریق نوشته می شود. بنابراین نماد تفریق کامل به صورت زیر است:

این مدخل به این صورت است: تفاوت بین نه و پنج برابر است با چهار یا نه منهای پنج برابر چهار.

برای به دست آوردن یک عدد طبیعی یا 0 در نتیجه تفریق، مینیوند باید بزرگتر یا مساوی با عدد فرعی باشد.

بیایید در نظر بگیریم که چگونه با استفاده از سری طبیعی می توانید تفریق را انجام دهید و تفاوت دو عدد طبیعی را پیدا کنید. مثلاً باید تفاوت اعداد 9 و 6 را محاسبه کنیم، عدد 9 را در سری طبیعی علامت گذاری کنیم و از آن به سمت چپ 6 عدد بشماریم. عدد 3 را می گیریم:

از تفریق نیز می توان برای مقایسه دو عدد استفاده کرد. اگر بخواهیم دو عدد را با هم مقایسه کنیم، از خود می پرسیم که یک عدد چند واحد بزرگتر یا کوچکتر از دیگری است. برای فهمیدن، باید عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنید. به عنوان مثال، برای اینکه بفهمید 10 چقدر کمتر از 25 است (یا چقدر 25 بیشتر از 10 است)، باید 10 را از 25 کم کنید. سپس متوجه می شویم که 10 کمتر از 25 است (یا 25 بیشتر از 10) 15 واحد.

بررسی تفریق

بیان را در نظر بگیرید

که در آن 15 کوچکترین، 7 فرعی، و 8 تفاوت است. برای اینکه بفهمید تفریق به درستی انجام شده است، می توانید:

1. تفریق را با تفاوت اضافه کنید، اگر نتیجه را به دست آورید، تفریق به درستی انجام شده است:

قوانین اساسی برای ریاضیات

برای یافتن عبارت مجهول، باید عبارت شناخته شده را از مقدار مجموع کم کنید.

برای یافتن مینیوند ناشناخته، باید subtrahend را به مقدار تفاوت اضافه کنید.

برای پیدا کردن زیرتره ناشناخته، باید مقدار تفاوت را از minuend کم کنید.

برای پیدا کردن یک عامل ناشناخته، باید ارزش محصول را بر فاکتور شناخته شده تقسیم کنید

برای یافتن سود مجهول، باید ضریب را در مقسوم علیه ضرب کنید.

برای پیدا کردن یک مقسوم علیه ناشناخته، باید سود تقسیمی را بر مقدار ضریب تقسیم کنید.

قوانین اضافه:

جابجایی: a + b = b + a (مقدار مجموع از ترتیب مجدد مکان‌های عبارات تغییر نمی‌کند)

ترکیبی: (a + b) + c = a + (b + c) (برای افزودن جمله سوم به مجموع دو جمله، می توانید مجموع جمله دوم و سوم را به جمله اول اضافه کنید).

قانون جمع کردن یک عدد با 0: a + 0 = a (هنگام جمع کردن یک عدد با صفر، همان عدد را بدست می آوریم).

قوانین ضرب:

جابجایی: a ∙ b = b ∙ a (مقدار محصول با ترتیب دادن مجدد مکان عوامل تغییر نمی کند)

ترکیبی: (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) - برای ضرب حاصلضرب دو عامل در عامل سوم، می توانید عامل اول را در حاصل ضرب عامل دوم و سوم ضرب کنید.

قانون توزیع ضرب: a ∙ (b + c) = a ∙ c + b ∙ c (برای ضرب یک عدد در یک مجموع، می توانید این عدد را در هر یک از جمله ها ضرب کنید و حاصل ضرب حاصل را جمع کنید).

قانون ضرب در 0: a ∙ 0 = 0 (وقتی هر عددی در 0 ضرب شود، نتیجه 0 می شود)

قوانین تقسیم:

a: 1 = a (وقتی یک عدد بر 1 تقسیم شود، همان عدد به دست می آید)

0: a = 0 (وقتی 0 بر یک عدد تقسیم شود، نتیجه 0 می شود)

شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید!

محیط یک مستطیل برابر است با دو برابر مجموع طول و عرض آن. یا: محیط یک مستطیل برابر است با مجموع دو برابر عرض و دو برابر طول: P = (a + b) ∙ 2،

P = a ∙ 2 + b ∙ 2

محیط مربع برابر است با طول ضلع ضرب در 4 (P = a ∙ 4)

1 متر = 10 dm = 100 سانتی متر 1 ساعت = 60 دقیقه 1 تن = 1000 کیلوگرم = 10 c 1 متر = 1000 میلی متر

1 dm = 10 سانتی متر = 100 میلی متر 1 دقیقه = 60 ثانیه 1 c = 100 کیلوگرم 1 کیلوگرم = 1000 گرم

1 سانتی متر = 10 میلی متر 1 روز = 24 ساعت 1 کیلومتر = 1000 متر

هنگام انجام مقایسه دیفرانسیل، عدد کوچکتر از عدد بزرگتر کسر می شود، عدد بزرگتر بر عدد کوچکتر تقسیم می شود.

تساوی حاوی مجهول معادله نامیده می شود. ریشه یک معادله عددی است که وقتی به جای x در معادله جایگزین شود، یک برابری عددی واقعی ایجاد می کند. حل معادله به معنای یافتن ریشه آن است.

قطر دایره را به نصف تقسیم می کند - به 2 قسمت مساوی. قطر برابر با دو شعاع است.

اگر یک عبارت بدون پرانتز شامل اعمال مرحله اول (جمع، تفریق) و دوم (ضرب، تقسیم) باشد، ابتدا اعمال مرحله دوم به ترتیب انجام می شود و تنها پس از آن اقدامات مرحله دوم انجام می شود.

ساعت 12 ظهر است. ساعت 12 شب نیمه شب است.

اعداد رومی: 1 – I، 2 – II، 3 – III، 4 – IV، 5 – V، 6 – VI، 7 – VII، 8 – VIII، 9 – IX، 10 – X، 11 – XI، 12 – XII , 13 – XIII, 14 – XIV, 15 – XV, 16 – XVI, 17 – XVII, 18 – XVIII, 19 – XIX, 20 – XX و غیره.

الگوریتم حل معادله: تعیین مجهول چیست، قانون نحوه یافتن مجهول را به خاطر بسپارید، قانون را اعمال کنید، بررسی کنید.

راه طولانی برای توسعه مهارت ها حل معادلاتبا حل اولین و نسبتاً ساده معادلات شروع می شود. منظور ما از این گونه معادلات معادلاتی است که در سمت چپ آن مجموع، تفاضل، حاصل ضرب یا ضریب دو عدد وجود دارد که یکی از آنها مجهول است و سمت راست دارای یک عدد است. یعنی این معادلات شامل مجموع مجهول، مینیوند، فرعی، ضرب، تقسیم یا مقسوم است. حل چنین معادلاتی در این مقاله مورد بحث قرار خواهد گرفت.

در اینجا قوانینی را ارائه می دهیم که به شما امکان می دهد یک اصطلاح، عامل و غیره ناشناخته را پیدا کنید. علاوه بر این، ما بلافاصله کاربرد این قوانین را در عمل، حل معادلات مشخصه در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

بنابراین، عدد 5 را به جای x در معادله اصلی 3+x=8 جایگزین می کنیم، 3+5=8 می گیریم - این برابری صحیح است، بنابراین، عبارت مجهول را به درستی پیدا کرده ایم. اگر هنگام بررسی، تساوی عددی نادرستی دریافت کردیم، این به ما نشان می دهد که معادله را اشتباه حل کرده ایم. دلایل اصلی این امر می تواند یا اعمال قانون اشتباه یا خطاهای محاسباتی باشد.

چگونه می توان یک مینیوند یا زیره ناشناخته پیدا کرد؟

ارتباط بین جمع و تفریق اعداد، که قبلاً در پاراگراف قبل ذکر کردیم، به ما امکان می دهد تا یک قاعده برای یافتن یک خرده مجهول از طریق یک فرعی شناخته شده و یک تفاوت، و همچنین یک قانون برای یافتن یک فرعی مجهول از طریق یک معلوم به دست آوریم. کوچک و یک تفاوت ما آنها را یکی یکی فرموله می کنیم و بلافاصله جواب را به معادلات مربوطه ارائه می دهیم.

برای پیدا کردن نتیجه ناشناخته، باید subtrahend را به تفاوت اضافه کنید.

برای مثال، معادله x−2=5 را در نظر بگیرید. حاوی یک نکته ناشناخته است. قانون فوق به ما می گوید که برای پیدا کردن آن باید زیرتره شناخته شده 2 را به تفاوت شناخته شده 5 اضافه کنیم، 5+2=7 داریم. بنابراین، مینیوند مورد نیاز برابر با هفت است.

اگر توضیحات را حذف کنیم، راه حل به صورت زیر نوشته می شود:
x−2=5،
x=5+2،
x=7.

برای کنترل خود، بیایید یک بررسی انجام دهیم. ما مینیوند پیدا شده را جایگزین معادله اصلی می کنیم و برابری عددی 7-2=5 را به دست می آوریم. درست است، بنابراین، می‌توانیم مطمئن باشیم که مقدار مینیوند مجهول را به درستی تعیین کرده‌ایم.

شما می توانید به یافتن زیره ناشناخته ادامه دهید. با استفاده از جمع طبق قانون زیر یافت می شود: برای پیدا کردن زیرتره ناشناخته، باید تفاوت را از minuend کم کنید.

بیایید با استفاده از قانون نوشته شده معادله ای از فرم 9−x=4 را حل کنیم. در این معادله، مجهول زیرآب است. برای پیدا کردن آن، باید تفاوت شناخته شده 4 را از مینیوند شناخته شده 9 کم کنیم، 9-4=5 داریم. بنابراین، زیرآب مورد نیاز برابر با پنج است.

در اینجا یک نسخه کوتاه از راه حل این معادله آمده است:
9−x=4،
x=9-4،
x=5.

تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که صحت زیرمجموعه یافت شده را بررسی کنید. بیایید با جایگزین کردن مقدار یافت شده 5 در معادله اصلی به جای x، بررسی کنیم و برابری عددی 9-5=4 را بدست آوریم. درست است، بنابراین مقدار زیرمجموعه ای که پیدا کردیم صحیح است.

و قبل از رفتن به قانون بعدی، توجه می کنیم که در کلاس ششم قانون حل معادلات در نظر گرفته شده است که به شما امکان می دهد هر عبارت را از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف منتقل کنید. بنابراین، تمام قوانینی که در بالا برای یافتن جمع مجهول، minuend و subtrahend مورد بحث قرار گرفت، کاملاً با آن سازگار است.

برای یافتن یک عامل ناشناخته، باید ...

اجازه دهید نگاهی به معادلات x·3=12 و 2·y=6 بیاندازیم. در آنها عدد مجهول عامل سمت چپ است و حاصلضرب و عامل دوم مشخص است. برای پیدا کردن یک عامل ناشناخته، می توانید از قانون زیر استفاده کنید: برای پیدا کردن یک عامل ناشناخته، باید محصول را بر فاکتور شناخته شده تقسیم کنید.

اساس این قاعده این است که ما تقسیم اعداد را مخالف معنی ضرب کردیم. یعنی بین ضرب و تقسیم ارتباط وجود دارد: از تساوی a·b=c که در آن a≠0 و b≠0 نتیجه می شود که c:a=b و c:b=c و بالعکس.

مثلاً عامل مجهول معادله x·3=12 را پیدا کنیم. طبق قانون، باید محصول شناخته شده 12 را بر ضریب شناخته شده 3 تقسیم کنیم. بیایید انجام دهیم: 12:3 = 4. بنابراین، عامل مجهول 4 است.

به طور خلاصه، حل معادله به صورت دنباله ای از برابری ها نوشته می شود:
x·3=12،
x=12:3،
x=4.

همچنین توصیه می شود نتیجه را بررسی کنید: مقدار یافت شده را به جای حرف در معادله اصلی جایگزین می کنیم، 4·3=12 به دست می آوریم - یک برابری عددی صحیح، بنابراین مقدار عامل مجهول را به درستی پیدا کرده ایم.

و یک نکته دیگر: عمل بر اساس قانون آموخته شده، در واقع هر دو طرف معادله را بر یک عامل شناخته شده غیر از صفر تقسیم می کنیم. در کلاس ششم گفته می شود که هر دو طرف یک معادله را می توان در یک عدد غیر صفر ضرب و تقسیم کرد، این روی ریشه های معادله تأثیری ندارد.

چگونه یک سود سهام یا تقسیم کننده مجهول پیدا کنیم؟

در چارچوب مبحث ما، باید بفهمیم که چگونه تقسیم سود مجهول را با یک مقسوم علیه و ضریب معلوم پیدا کنیم، و همچنین چگونه تقسیم کننده مجهول را با سود و ضریب معلوم پیدا کنیم. ارتباط بین ضرب و تقسیم که قبلاً در پاراگراف قبل ذکر شد به ما امکان می دهد به این سؤالات پاسخ دهیم.

برای یافتن سود مجهول، باید ضریب را در مقسوم علیه ضرب کنید.

بیایید با استفاده از یک مثال به کاربرد آن نگاه کنیم. بیایید معادله x:5=9 را حل کنیم. برای یافتن سود مجهول این معادله، طبق قانون باید ضریب معلوم 9 را در مقسوم علیه معلوم 5 ضرب کنیم، یعنی اعداد طبیعی را ضرب می کنیم: 9·5=45. بنابراین سود سهام مورد نیاز 45 است.

بیایید یک نسخه کوتاه از راه حل را نشان دهیم:
x:5=9
x=9·5،
x=45.

چک تأیید می کند که ارزش سود سهام مجهول به درستی پیدا شده است. در واقع، هنگام جایگزینی عدد 45 به معادله اصلی به جای متغیر x، به برابری عددی صحیح 45:5=9 تبدیل می‌شود.

توجه داشته باشید که قانون تجزیه و تحلیل شده را می توان به عنوان ضرب هر دو طرف معادله در یک مقسوم علیه شناخته شده تفسیر کرد. این تبدیل بر ریشه های معادله تأثیر نمی گذارد.

بیایید به قانون یافتن مقسوم علیه مجهول برویم: برای پیدا کردن یک مقسوم علیه ناشناخته، باید سود تقسیمی را بر ضریب تقسیم کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید مقسوم علیه مجهول را از معادله 18:x=3 پیدا کنیم. برای این کار باید سود شناخته شده 18 را بر ضریب معلوم 3 تقسیم کنیم، 18:3=6 داریم. بنابراین، مقسوم علیه مورد نیاز شش است.

راه حل را می توان به صورت زیر نوشت:
18:x=3،
x=18:3،
x=6.

بیایید این نتیجه را برای پایایی بررسی کنیم: 18:6=3 یک برابری عددی صحیح است، بنابراین، ریشه معادله به درستی پیدا شد.

واضح است که این قانون فقط زمانی قابل اعمال است که ضریب غیر صفر باشد تا با تقسیم بر صفر مواجه نشویم. وقتی ضریب برابر با صفر باشد، دو حالت ممکن است. اگر سود تقسیمی برابر با صفر باشد، یعنی معادله به شکل 0:x=0 باشد، هر مقدار غیر صفر مقسوم علیه این معادله را برآورده می کند. به عبارت دیگر، ریشه چنین معادله ای هر عددی است که برابر با صفر نباشد. اگر زمانی که ضریب برابر با صفر باشد، سود تقسیمی با صفر متفاوت باشد، برای هیچ مقدار مقسوم‌کننده، معادله اصلی به یک برابری عددی صحیح تبدیل می‌شود، یعنی معادله ریشه ندارد. برای مثال، معادله 5:x=0 را ارائه می کنیم، این معادله هیچ راه حلی ندارد.

قوانین اشتراک گذاری

استفاده مداوم از قوانین برای یافتن مجموع مجهول، minuend، subtrahend، ضریب، تقسیم و مقسوم به شما این امکان را می دهد که معادلات را با یک متغیر منفرد با فرم پیچیده تر حل کنید. بیایید با یک مثال این را بفهمیم.

معادله 3 x+1=7 را در نظر بگیرید. ابتدا می توانیم عبارت مجهول 3 x را پیدا کنیم، برای این کار باید عبارت شناخته شده 1 را از مجموع 7 کم کنیم، 3 x = 7−1 و سپس 3 x = 6 به دست می آوریم. اکنون باقی مانده است که با تقسیم حاصلضرب 6 بر ضریب شناخته شده 3، عامل مجهول را پیدا کنیم، x=6:3 داریم، از آنجا x=2 است. به این ترتیب ریشه معادله اصلی پیدا می شود.

برای ادغام مواد، یک راه حل مختصر برای معادله دیگر ارائه می کنیم (2·x-7):3-5=2.
(2 x-7):3-5=2،
(2 x−7):3=2+5،
(2 x−7): 3=7،
2 x−7=7 3،
2 x−7=21،
2 x=21+7،
2 x = 28،
x=28:2،
x=14.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات.. کلاس چهارم. کتاب درسی برای آموزش عمومی نهادها در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1 / [M. I. Moro، M. A. Bantova، G. V. Beltyukova، و غیره] - ویرایش 8. - م.: آموزش و پرورش، 1390. - 112 ص: بیمار. - (مدرسه روسیه). - شابک 978-5-09-023769-7.
• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.

برای یادگیری نحوه حل سریع و موفقیت آمیز معادلات، باید با ساده ترین قوانین و مثال ها شروع کنید. اول از همه، شما باید یاد بگیرید که چگونه معادلاتی را حل کنید که دارای تفاوت، مجموع، ضریب یا حاصلضرب برخی از اعداد با یک مجهول در سمت چپ و یک عدد دیگر در سمت راست هستند. به عبارت دیگر، در این معادلات یک جمله مجهول وجود دارد و یا یک مینیوند با یک فرعی، یا یک تقسیم با یک مقسوم علیه و غیره. در مورد معادلات از این نوع است که با شما صحبت خواهیم کرد.

این مقاله به قوانین اساسی اختصاص دارد که به شما امکان می دهد عوامل، اصطلاحات ناشناخته و غیره را بیابید. ما بلافاصله با استفاده از مثال های خاص تمام اصول نظری را توضیح خواهیم داد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

پیدا کردن اصطلاح ناشناخته

فرض کنید تعداد مشخصی توپ در دو گلدان داریم، مثلاً 9. می دانیم که در گلدان دوم 4 توپ وجود دارد. چگونه می توان مقدار را در دوم پیدا کرد؟ بیایید این مسئله را به شکل ریاضی بنویسیم و عددی را که باید به عنوان x پیدا کنیم نشان می دهیم. طبق شرط اصلی این عدد همراه با 4 عدد 9 را تشکیل می دهد، یعنی می توانیم معادله 4 + x = 9 را بنویسیم. در سمت چپ ما یک جمع با یک جمله مجهول داریم، در سمت راست مقدار این مجموع را داریم. چگونه x را پیدا کنیم؟ برای انجام این کار باید از قانون استفاده کنید:

تعریف 1

برای یافتن عبارت مجهول، باید عبارت شناخته شده را از مجموع آن کم کنید.

در این صورت به تفریق معنایی می دهیم که مخالف جمع است. به عبارت دیگر، بین اعمال جمع و تفریق ارتباط معینی وجود دارد که می توان آن را به معنای واقعی کلمه به صورت زیر بیان کرد: اگر a + b = c، آنگاه c − a = b و c − b = a و بالعکس، از عبارات c − a = b و c − b = a، می توانیم استنباط کنیم که a + b = c.

با دانستن این قانون، می‌توانیم یک عبارت مجهول را با استفاده از عبارت معلوم و مجموع پیدا کنیم. کدام اصطلاح را دقیقاً می دانیم، اولی یا دومی، در این مورد مهم نیست. بیایید ببینیم که چگونه این قانون را در عمل اعمال کنیم.

مثال 1

بیایید معادله ای را که در بالا به دست آوردیم در نظر بگیریم: 4 + x = 9. طبق قاعده، باید از مجموع معلوم برابر با 9، یک جمله معلوم برابر با 4 کم کنیم. بیایید یک عدد طبیعی را از دیگری کم کنیم: 9 - 4 = 5. اصطلاح مورد نیازمان را گرفتیم، برابر با 5.

معمولاً راه حل های چنین معادلاتی به صورت زیر نوشته می شوند:

1. ابتدا معادله اصلی نوشته می شود.
2. بعد، معادله ای را که پس از اعمال قانون محاسبه عبارت مجهول به دست آمد، یادداشت می کنیم.
3. بعد از این، معادله ای که بعد از تمام دستکاری ها با اعداد به دست آمده را می نویسیم.

این شکل از نمادگذاری برای نشان دادن جایگزینی متوالی معادله اصلی با معادل‌های معادل و نمایش روند یافتن ریشه مورد نیاز است. جواب معادله ساده ما به درستی به صورت زیر نوشته می شود:

4 + x = 9، x = 9 − 4، x = 5.

می توانیم صحت پاسخ دریافتی را بررسی کنیم. بیایید آنچه را که به دست آوردیم را در معادله اصلی جایگزین کنیم و ببینیم آیا برابری عددی صحیح از آن بیرون می آید یا خیر. 5 را به 4 + x = 9 جایگزین کنید و 4 + 5 = 9 را بدست آورید. برابری 9 = 9 صحیح است، یعنی عبارت مجهول به درستی پیدا شده است. اگر برابری نادرست بود، باید به راه حل برگردیم و دوباره آن را بررسی کنیم، زیرا این نشانه یک خطا است. به عنوان یک قاعده، اغلب این یک خطای محاسباتی یا استفاده از یک قانون نادرست است.

پیدا کردن یک فرعی ناشناخته یا کوچک

همانطور که قبلاً در پاراگراف اول اشاره کردیم، بین فرآیندهای جمع و تفریق ارتباط مشخصی وجود دارد. با کمک آن، می‌توانیم قاعده‌ای را تدوین کنیم که به ما کمک می‌کند وقتی تفاوت و فرعی را می‌دانیم، یک مینیوند مجهول پیدا کنیم، یا یک فرعی ناشناخته از طریق مینیوند یا تفاوت. بیایید این دو قانون را به ترتیب بنویسیم و نحوه به کارگیری آنها را برای حل مسائل نشان دهیم.

تعریف 2

برای پیدا کردن نتیجه ناشناخته، باید subtrahend را به تفاوت اضافه کنید.

مثال 2

به عنوان مثال، ما معادله x - 6 = 10 را داریم. نقطه ناشناخته طبق قانون باید 6 تفریق شده را به تفاضل 10 اضافه کنیم، 16 به دست می آید. یعنی مینوند اصلی برابر با شانزده است. بیایید کل راه حل را بنویسیم:

x − 6 = 10، x = 10 + 6، x = 16.

بیایید نتیجه را با اضافه کردن عدد به دست آمده به معادله اصلی بررسی کنیم: 16 - 6 = 10. تساوی 16 - 16 صحیح خواهد بود، یعنی ما همه چیز را به درستی محاسبه کرده ایم.

تعریف 3

برای پیدا کردن زیرتره ناشناخته، باید تفاوت را از minuend کم کنید.

مثال 3

بیایید از قانون برای حل معادله 10 - x = 8 استفاده کنیم. ما subtrahend را نمی‌دانیم، بنابراین باید تفاوت را از 10 کم کنیم، یعنی. 10 - 8 = 2. این به این معنی است که زیرتراژ مورد نیاز برابر با دو است. در اینجا کل راه حل است:

10 - x = 8، x = 10 - 8، x = 2.

بیایید صحت را با جایگزین کردن این دو در معادله اصلی بررسی کنیم. بیایید برابری صحیح 10 - 2 = 8 را بدست آوریم و مطمئن شویم که مقداری که پیدا کردیم درست است.

قبل از اینکه به قوانین دیگر بپردازیم، متذکر می شویم که قانونی برای انتقال هر عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با جایگزین کردن علامت با علامت مقابل وجود دارد. تمام قوانین فوق کاملاً با آن مطابقت دارد.

یافتن یک عامل ناشناخته

بیایید به دو معادله نگاه کنیم: x · 2 = 20 و 3 · x = 12. در هر دو، ما ارزش محصول را می دانیم و یکی از عواملی که باید مورد دوم را پیدا کنیم. برای این کار باید از قانون دیگری استفاده کنیم.

تعریف 4

برای یافتن یک عامل ناشناخته، باید محصول را بر فاکتور شناخته شده تقسیم کنید.

این قاعده مبتنی بر معنایی است که مخالف معنای ضرب است. بین ضرب و تقسیم رابطه زیر وجود دارد: a · b = c وقتی a و b برابر 0 نیستند، c: a = b، c: b = c و بالعکس.

مثال 4

بیایید عامل مجهول در معادله اول را با تقسیم ضریب معلوم 20 بر ضریب شناخته شده 2 محاسبه کنیم. اعداد طبیعی را تقسیم می کنیم و 10 می گیریم. بیایید دنباله برابری ها را بنویسیم:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.

ده را در برابری اصلی قرار می دهیم و 2 · 10 = 20 می گیریم. مقدار ضریب مجهول به درستی انجام شد.

اجازه دهید توضیح دهیم که اگر یکی از ضرایب صفر باشد، این قانون قابل اعمال نیست. بنابراین، ما نمی توانیم معادله x · 0 = 11 را با کمک آن حل کنیم. این نماد معنی ندارد، زیرا برای حل آن باید 11 را بر 0 تقسیم کنید و تقسیم بر صفر تعریف نشده است. ما در مقاله ای که به معادلات خطی اختصاص دارد در مورد چنین مواردی با جزئیات بیشتری صحبت کردیم.

وقتی این قانون را اعمال می کنیم، اساساً هر دو طرف معادله را بر ضریبی غیر از 0 تقسیم می کنیم. یک قاعده جداگانه وجود دارد که طبق آن می توان چنین تقسیم بندی را انجام داد و تأثیری بر ریشه های معادله نخواهد داشت و آنچه در این بند نوشتیم کاملاً با آن مطابقت دارد.

یافتن سود یا تقسیم کننده مجهول

مورد دیگری که باید در نظر بگیریم، یافتن سود مجهول در صورت شناخت مقسوم علیه و ضریب، و نیز یافتن مقسوم در زمانی است که نصاب و سود مشمول معلوم است. ما می توانیم این قانون را با استفاده از ارتباط بین ضرب و تقسیم که قبلاً در اینجا ذکر شد، فرموله کنیم.

تعریف 5

برای یافتن سود مجهول، باید مقسوم علیه را در ضریب ضرب کنید.

بیایید ببینیم این قانون چگونه اعمال می شود.

مثال 5

بیایید از آن برای حل معادله x استفاده کنیم: 3 = 5. ضریب معلوم و مقسوم علیه معلوم را با هم ضرب می کنیم و عدد 15 را بدست می آوریم که سود مورد نیاز ما خواهد بود.

در اینجا خلاصه ای از کل راه حل آمده است:

x: 3 = 5، x = 3 5، x = 15.

بررسی نشان می دهد که ما همه چیز را به درستی محاسبه کرده ایم، زیرا وقتی 15 را بر 3 تقسیم می کنیم، در واقع 5 می شود. برابری عددی صحیح گواه راه حل صحیح است.

این قانون را می توان به صورت ضرب کردن سمت راست و چپ معادله در عددی غیر از 0 تفسیر کرد. این تبدیل به هیچ وجه بر ریشه های معادله تأثیر نمی گذارد.

بیایید به قانون بعدی برویم.

تعریف 6

برای پیدا کردن یک مقسوم علیه ناشناخته، باید سود تقسیمی را بر ضریب تقسیم کنید.

مثال 6

بیایید یک مثال ساده بیاوریم - معادله 21: x = 3. برای حل آن، سود شناخته شده 21 را بر ضریب 3 تقسیم کنید و 7 بدست آورید. این مقسوم‌کننده مورد نیاز خواهد بود. حالا بیایید راه حل را به درستی رسمی کنیم:

21: x = 3، x = 21: 3، x = 7.

بیایید با جایگزین کردن هفت در معادله اصلی مطمئن شویم که نتیجه درست است. 21: 7 = 3، بنابراین ریشه معادله به درستی محاسبه شد.

توجه به این نکته ضروری است که این قانون فقط برای مواردی اعمال می شود که ضریب برابر با صفر نباشد، زیرا در غیر این صورت دوباره باید بر 0 تقسیم کنیم. اگر صفر خصوصی باشد، دو گزینه ممکن است. اگر سود سهام نیز برابر با صفر باشد و معادله به صورت 0 باشد: x = 0، آنگاه مقدار متغیر هر خواهد بود، یعنی این معادله دارای بی نهایت ریشه است. اما معادله ای با ضریب برابر با 0 و سود تقسیمی متفاوت از 0 راه حلی نخواهد داشت، زیرا چنین مقادیری از مقسوم علیه وجود ندارد. یک مثال معادله 5: x = 0 است که هیچ ریشه ای ندارد.

اجرای مداوم قوانین

اغلب در عمل مشکلات پیچیده تری وجود دارد که در آنها قوانین برای یافتن ضمائم، جزئی ها، فرعی ها، عوامل، سود سهام و ضریب ها باید به ترتیب اعمال شوند. بیایید یک مثال بزنیم.

مثال 7

معادله ای به شکل 3 x + 1 = 7 داریم. عبارت مجهول 3 x را با کم کردن یک از 7 محاسبه می کنیم. ما با 3 x = 7 − 1 و سپس 3 x = 6 به پایان می رسیم. حل این معادله بسیار ساده است: 6 را بر 3 تقسیم کنید و ریشه معادله اصلی را بدست آورید.

در اینجا خلاصه ای کوتاه از حل معادله دیگر (2 x − 7) آمده است: 3 − 5 = 2:

(2 x − 7) : 3 − 5 = 2، (2 x − 7) : 3 = 2 + 5، (2 x − 7) : 3 = 7، 2 x − 7 = 7 3، 2 x − 7 = 21، 2 x = 21 + 7، 2 x = 28، x = 28: 2، x = 14.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید