قانون یادگاری برای حل نابرابری های مثلثاتی. جایگزینی مثلثاتی جهانی تبدیل و ترکیب گروه های جواب های کلی معادلات مثلثاتی
1.5 نابرابری های مثلثاتی و روش های حل آنها
1.5.1 حل نابرابری های مثلثاتی ساده
اکثر نویسندگان کتاب های درسی ریاضیات مدرن پیشنهاد می کنند که با حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی شروع به بررسی این موضوع کنید. اصل حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی مبتنی بر دانش و مهارت تعیین مقادیر نه تنها زوایای مثلثاتی اصلی، بلکه مقادیر دیگر نیز در یک دایره مثلثاتی است.
در ضمن حل نابرابری های شکل , , را می توان به صورت زیر انجام داد: ابتدا مقداری بازه () را پیدا می کنیم که در آن این نامساوی برآورده می شود و سپس با اضافه کردن به انتهای بازه یافت شده a پاسخ نهایی را یادداشت می کنیم. عددی که مضربی از دوره سینوس یا کسینوس است: ( 
). در این مورد، مقدار به راحتی پیدا می شود، زیرا یا . جستجوی معنا بر اساس شهود دانش‌آموزان، توانایی آنها در توجه به برابری کمان‌ها یا بخش‌ها، استفاده از تقارن بخش‌های جداگانه نمودار سینوس یا کسینوس است. و این گاهی اوقات فراتر از توانایی تعداد بسیار زیادی از دانش آموزان است. به منظور غلبه بر مشکلات ذکر شده، کتاب‌های درسی در سال‌های اخیر از رویکردهای متفاوتی برای حل نابرابری‌های مثلثاتی ساده استفاده کرده‌اند، اما این امر منجر به بهبودی در نتایج یادگیری نشده است.
برای چندین سال، ما با موفقیت از فرمول‌های ریشه معادلات مربوطه برای یافتن راه‌حل نابرابری‌های مثلثاتی استفاده می‌کنیم.
ما این موضوع را به روش زیر بررسی می کنیم:
1. ما نمودارها را می سازیم و y = a با این فرض که .
سپس معادله و حل آن را یادداشت می کنیم. دادن n 0; 1 2، سه ریشه معادله کامپایل شده را پیدا می کنیم: . مقادیر ابسیسا سه نقطه متوالی تقاطع نمودارها و y = a هستند. واضح است که نابرابری همیشه روی بازه () و نابرابری همیشه روی بازه () برقرار است.
با افزودن عددی مضربی از پریود سینوس به انتهای این بازه‌ها، در حالت اول جوابی برای نابرابری به شکل زیر بدست می‌آوریم: و در مورد دوم راه حلی برای نابرابری به شکل:
فقط بر خلاف سینوس از فرمول، که حل معادله است، برای n = 0 دو ریشه و ریشه سوم برای n = 1 به شکل به دست می آوریم. 
. و باز هم سه ابسیسا متوالی از نقاط تلاقی نمودارها و . در بازه () نابرابری برقرار است، در بازه () نابرابری
حالا نوشتن راه حل های نابرابری ها و . در حالت اول بدست می آوریم: ;
و در دومی: .
خلاصه کنید. برای حل نابرابری یا، باید معادله مربوطه را ایجاد کرده و آن را حل کنید. از فرمول به دست آمده ریشه های و را پیدا کرده و جواب نامساوی را به شکل زیر بنویسید.
هنگام حل نامساوی ها، از فرمول ریشه های معادله مربوطه، ریشه های و را پیدا می کنیم و پاسخ نامساوی را به شکل: .
این تکنیک به شما این امکان را می دهد که به همه دانش آموزان بیاموزید که چگونه نابرابری های مثلثاتی را حل کنند، زیرا این تکنیک کاملاً متکی بر مهارت هایی است که دانش آموزان تسلط زیادی بر آن دارند. اینها مهارت هایی برای حل مسائل ساده و یافتن مقدار یک متغیر با استفاده از یک فرمول هستند. علاوه بر این، حل دقیق تعداد زیادی تمرین تحت راهنمایی معلم برای نشان دادن انواع تکنیک های استدلال بسته به علامت نابرابری، مقدار مدول عدد a و علامت آن کاملا غیر ضروری می شود. . و فرآیند حل نابرابری خود مختصر و که بسیار مهم است، یکنواخت می شود.
مزیت دیگر این روش این است که به شما امکان می دهد به راحتی نابرابری ها را حتی زمانی که سمت راست مقدار جدول سینوس یا کسینوس نیست حل کنید.
بیایید این را با یک مثال خاص نشان دهیم. فرض کنید باید یک نابرابری را حل کنیم. بیایید معادله مربوطه را ایجاد کرده و آن را حل کنیم:
بیایید مقادیر و را پیدا کنیم.
وقتی n = 1 
وقتی n = 2 
پاسخ نهایی این نابرابری را می نویسیم:
در مثال در نظر گرفته شده برای حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی، تنها یک اشکال می تواند وجود داشته باشد - وجود مقدار مشخصی از فرمالیسم. اما اگر همه چیز فقط از این موقعیت‌ها ارزیابی شود، می‌توان فرمول‌های ریشه‌های معادله درجه دوم و همه فرمول‌های حل معادلات مثلثاتی و بسیاری موارد دیگر را متهم به فرمالیسم کرد.
اگرچه روش پیشنهادی جایگاه شایسته‌ای در شکل‌گیری مهارت در حل نابرابری‌های مثلثاتی دارد، اما اهمیت و ویژگی‌های روشهای دیگر برای حل نابرابری‌های مثلثاتی را نمی‌توان نادیده گرفت. این شامل روش فاصله است.
بیایید ماهیت آن را در نظر بگیریم.
مجموعه ویرایش شده توسط A.G. موردکوویچ، اگرچه نباید بقیه کتاب های درسی را نیز نادیده بگیرید. § 3. روش تدریس مبحث توابع مثلثاتی در درس جبر و آغاز تحلیل در مطالعه توابع مثلثاتی در مدرسه دو مرحله اصلی قابل تشخیص است: ü آشنایی اولیه با توابع مثلثاتی...
در انجام تحقیق، وظایف زیر حل شد: 1) کتب درسی فعلی جبر و آغاز تحلیل ریاضی برای شناسایی روش های ارائه شده در آنها برای حل معادلات و نابرابری های غیر منطقی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. تجزیه و تحلیل به ما اجازه می دهد تا نتایج زیر را بدست آوریم: · در دوره متوسطه توجه کافی به روش های حل معادلات غیر منطقی مختلف، عمدتاً ...
در طول درس عملی، انواع اصلی وظایف را از مبحث "مثلثات" تکرار می کنیم، علاوه بر این، مشکلات افزایش پیچیدگی را تجزیه و تحلیل می کنیم و نمونه هایی از حل نابرابری های مختلف مثلثاتی و سیستم های آنها را در نظر می گیریم.
این درس به شما کمک می کند تا برای یکی از انواع وظایف B5، B7، C1 و C3 آماده شوید.
بیایید با مرور انواع اصلی کارهایی که در مبحث "مثلثات" به آنها پرداختیم شروع کنیم و چندین مشکل غیر استاندارد را حل کنیم.
وظیفه شماره 1. تبدیل زاویه به رادیان و درجه: الف) ; ب) .
الف) از فرمول تبدیل درجه به رادیان استفاده می کنیم
بیایید مقدار مشخص شده را در آن جایگزین کنیم.
ب) فرمول تبدیل رادیان به درجه را اعمال کنید
بیایید تعویض را انجام دهیم 
.
پاسخ. آ) ؛ ب) .
وظیفه شماره 2. محاسبه کنید: الف)؛ ب) .
الف) از آنجایی که زاویه بسیار فراتر از جدول است، با کم کردن دوره سینوس آن را کاهش می دهیم. زیرا زاویه بر حسب رادیان نشان داده شده است، سپس دوره را به صورت .
ب) در این مورد نیز وضعیت مشابه است. از آنجایی که زاویه بر حسب درجه نشان داده می شود، دوره مماس را به صورت .
زاویه حاصل، اگرچه کوچکتر از نقطه است، اما بزرگتر است، به این معنی که دیگر به قسمت اصلی، بلکه به قسمت گسترده جدول اشاره دارد. برای اینکه یک بار دیگر حافظه خود را با به خاطر سپردن جدول توسعه یافته مقادیر سه تابعه آموزش ندهید، بیایید دوباره دوره مماس را کم کنیم:
ما از عجیب بودن تابع مماس استفاده کردیم.
پاسخ. الف) 1؛ ب) .
وظیفه شماره 3. محاسبه 
، اگر .
اجازه دهید کل عبارت را با تقسیم صورت و مخرج کسر بر مماس کاهش دهیم. در عین حال، ما نمی توانیم از این ترس داشته باشیم، زیرا در این حالت، مقدار مماس وجود نخواهد داشت.
وظیفه شماره 4. بیان را ساده کنید.
عبارات مشخص شده با استفاده از فرمول های کاهش تبدیل می شوند. آنها فقط به طور غیر معمول با استفاده از درجه نوشته می شوند. اولین عبارت به طور کلی یک عدد را نشان می دهد. بیایید همه توابع سه گانه را یکی یکی ساده کنیم:
زیرا ، سپس تابع به یک تابع تغییر می کند، یعنی. به کوتانژانت، و زاویه به ربع دوم می‌افتد که در آن مماس اصلی علامت منفی دارد.
به همان دلایلی که در عبارت قبلی وجود دارد، تابع به یک تابع تغییر می کند، یعنی. به کوتانژانت، و زاویه به ربع اول می افتد، که در آن مماس اصلی دارای علامت مثبت است.
بیایید همه چیز را با یک عبارت ساده شده جایگزین کنیم:
مشکل شماره 5. بیان را ساده کنید.
اجازه دهید مماس زاویه دوتایی را با استفاده از فرمول مناسب بنویسیم و عبارت را ساده کنیم:
آخرین هویت یکی از فرمول های جایگزین جهانی برای کسینوس است.
مشکل شماره 6. محاسبه.
نکته اصلی این است که اشتباه استاندارد را مرتکب نشوید و پاسخی را که عبارت برابر است ندهید. تا زمانی که فاکتوری به شکل دو در کنار آن وجود داشته باشد، نمی توانید از خاصیت اصلی آرکتانژانت استفاده کنید. برای خلاص شدن از آن، عبارت را با توجه به فرمول مماس یک زاویه مضاعف می نویسیم، در حالی که با را به عنوان یک استدلال معمولی در نظر می گیریم.
اکنون می‌توانیم خاصیت پایه‌ای را اعمال کنیم که هیچ محدودیتی در نتیجه عددی آن وجود ندارد.
مشکل شماره 7. معادله را حل کنید.
هنگام حل یک معادله کسری که برابر با صفر است، همیشه نشان داده می شود که صورت برابر با صفر است، اما مخرج آن نیست، زیرا شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.
معادله اول یک مورد خاص از ساده ترین معادله است که با استفاده از دایره مثلثاتی قابل حل است. خودتان این راه حل را به خاطر بسپارید. نابرابری دوم به عنوان ساده ترین معادله با استفاده از فرمول کلی برای ریشه های مماس حل می شود، اما فقط با علامت مساوی نیست.
همانطور که می بینیم، یک خانواده از ریشه ها خانواده دیگری از ریشه های دقیقاً مشابه را که معادله را برآورده نمی کنند، حذف می کند. آن ها بدون ریشه
پاسخ. هیچ ریشه ای وجود ندارد.
مشکل شماره 8. معادله را حل کنید.
بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که می توانیم عامل مشترک را حذف کنیم و این کار را انجام دهیم:
معادله به یکی از اشکال استاندارد تقلیل یافته است، زمانی که حاصل ضرب چند عامل برابر با صفر باشد. قبلاً می دانیم که در این حالت یا یکی از آنها برابر با صفر است یا دیگری یا سومی. بیایید این را به صورت مجموعه ای از معادلات بنویسیم:
دو معادله اول موارد خاص از ساده ترین آنها هستند که قبلاً بارها با معادلات مشابه روبرو شده ایم، بنابراین بلافاصله راه حل آنها را نشان خواهیم داد. معادله سوم را با استفاده از فرمول سینوس دو زاویه به یک تابع کاهش می دهیم.
بیایید معادله آخر را جداگانه حل کنیم:
این معادله ریشه ندارد، زیرا مقدار سینوسی نمی تواند فراتر رود 
.
بنابراین، راه حل تنها دو خانواده اول ریشه ها است که می توان آنها را در یکی ترکیب کرد، که به راحتی در دایره مثلثاتی نشان داده می شود.
 |
این یک خانواده از تمام نیمه است، یعنی.
بیایید به حل نابرابری های مثلثاتی برویم. ابتدا روش حل مثال را بدون استفاده از فرمول های حل کلی، اما با استفاده از دایره مثلثاتی تحلیل خواهیم کرد.
مشکل شماره 9. حل نابرابری
اجازه دهید یک خط کمکی بر روی دایره مثلثاتی مربوط به یک مقدار سینوس برابر بکشیم و دامنه زوایایی را نشان دهیم که نابرابری را برآورده می کند.
 |
بسیار مهم است که بدانیم دقیقاً چگونه می توان فاصله زاویه های حاصل را نشان داد، یعنی. آغاز آن چیست و پایان آن چیست. شروع بازه، زاویه ای خواهد بود که اگر خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم، در همان ابتدای بازه وارد خواهیم شد. در مورد ما، این نقطه ای است که در سمت چپ است، زیرا برعکس، در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت می کنیم و از نقطه درست عبور می کنیم، برعکس، محدوده زوایای مورد نیاز را ترک می کنیم. بنابراین نقطه مناسب با انتهای شکاف مطابقت دارد.
اکنون باید زوایای آغاز و پایان فاصله راه حل های خود را برای نابرابری درک کنیم. یک اشتباه معمولی این است که فوراً نشان دهید که نقطه سمت راست با زاویه، سمت چپ مطابقت دارد و پاسخ دهید. این درست نیست! لطفاً توجه داشته باشید که ما فقط فاصله مربوط به قسمت بالای دایره را نشان داده ایم، اگرچه به قسمت پایین علاقه مندیم، به عبارت دیگر، ابتدا و انتهای فاصله راه حل مورد نیاز خود را با هم مخلوط کرده ایم.
برای اینکه فاصله از گوشه نقطه سمت راست شروع و به گوشه نقطه چپ ختم شود، لازم است که زاویه مشخص شده اول کمتر از زاویه دوم باشد. برای انجام این کار، ما باید زاویه نقطه سمت راست را در جهت منفی مرجع اندازه گیری کنیم، یعنی. در جهت عقربه های ساعت و برابر با . سپس با شروع حرکت از آن در جهت عقربه های ساعت مثبت، به نقطه سمت راست بعد از نقطه چپ می رسیم و مقدار زاویه را برای آن بدست می آوریم. اکنون ابتدای فاصله زاویه ها از انتهای آن کمتر است و می توانیم فاصله جواب ها را بدون در نظر گرفتن دوره بنویسیم:
با توجه به اینکه چنین بازه هایی پس از هر تعداد صحیح چرخش، بی نهایت بار تکرار می شوند، با در نظر گرفتن دوره سینوس، یک راه حل کلی به دست می آوریم:
چون نابرابری سخت است، پرانتز می گذاریم و نقاطی را روی دایره انتخاب می کنیم که با انتهای فاصله مطابقت دارند.
پاسخ دریافتی را با فرمول حل کلی که در سخنرانی ارائه کردیم مقایسه کنید.
پاسخ. 
.
این روش برای درک اینکه فرمول های جواب های کلی ساده ترین نابرابری های مثلثاتی از کجا آمده اند خوب است. علاوه بر این، یادگیری همه این فرمول های دست و پا گیر برای کسانی که خیلی تنبل هستند مفید است. با این حال، خود روش نیز آسان نیست.
برای حل نابرابری های مثلثاتی، می توانید از نمودارهایی از توابع که یک خط کمکی بر روی آنها ساخته شده است استفاده کنید، مشابه روشی که با استفاده از دایره واحد نشان داده شده است. اگر علاقه مند هستید، سعی کنید خودتان این رویکرد را برای راه حل پیدا کنید. در ادامه از فرمول های کلی برای حل نابرابری های مثلثاتی ساده استفاده خواهیم کرد.
مشکل شماره 10. حل نابرابری
با در نظر گرفتن این واقعیت که نابرابری دقیق نیست، از فرمول برای حل کلی استفاده کنیم:
در مورد ما دریافت می کنیم:
پاسخ. 
مشکل شماره 11. حل نابرابری
اجازه دهید از فرمول حل کلی برای نابرابری کاملاً مربوطه استفاده کنیم:
پاسخ. 
.
مشکل شماره 12. حل نابرابری ها: الف)؛ ب) .
در این نابرابری ها، نیازی به استفاده از فرمول ها برای راه حل های کلی یا دایره مثلثاتی نیست، کافی است محدوده مقادیر سینوس و کسینوس را به خاطر بسپارید.
الف) از آنجایی که 
، پس نابرابری معنا ندارد. بنابراین هیچ راه حلی وجود ندارد.
ب) چون به طور مشابه، سینوس هر استدلال همیشه نابرابری مشخص شده در شرط را برآورده می کند. بنابراین، تمام مقادیر واقعی استدلال نابرابری را برآورده می کند.
پاسخ. الف) راه حلی وجود ندارد؛ ب) .
مسئله 13. حل نابرابری 
.
الگوریتمی برای حل نابرابری های مثلثاتی ساده و شناخت روش های حل نابرابری های مثلثاتی.
معلمان بالاترین رده صلاحیت:
شیرکو ف.م. ص پیشرفت، MOBU-مدرسه متوسطه شماره 6
سانکینا ال.اس. آرماویر، دبیرستان خصوصی "راه نو"
هیچ روش جهانی برای آموزش رشته های علوم و ریاضیات وجود ندارد. هر معلمی روش های تدریس خود را پیدا می کند که فقط برای او قابل قبول است.
تجربه چندین ساله تدریس ما نشان می دهد که اگر دانش آموزان در مرحله اولیه یادگیری یک مبحث پیچیده به آنها آموزش داده شود که از الگوریتم ها در فعالیت های خود استفاده کنند، مطالبی را که نیاز به تمرکز و حفظ حجم زیادی از اطلاعات در حافظه دارند، راحت تر یاد می گیرند. به نظر ما چنین موضوعی مبحث حل نابرابری های مثلثاتی است.
بنابراین، قبل از اینکه دانش‌آموزان را برای شناسایی تکنیک‌ها و روشهای حل نابرابری‌های مثلثاتی شروع کنیم، الگوریتمی را برای حل ساده‌ترین نابرابری‌های مثلثاتی تمرین و ادغام می‌کنیم.
الگوریتم حل نابرابری های مثلثاتی ساده
علامت گذاری نقاط روی محور مربوطه ( برای گناه ایکس– محور OA، برایcos ایکس– محور OX)
یک عمود بر محوری که دایره را در دو نقطه قطع می کند بازیابی می کنیم.
اولین نقطه روی دایره نقطه ای است که بر اساس تعریف به بازه محدوده تابع قوس تعلق دارد.
با شروع از نقطه برچسب گذاری شده، قوس دایره مربوط به قسمت سایه دار محور را سایه بزنید.
ما توجه ویژه ای به جهت انحراف داریم. اگر پیمایش در جهت عقربه های ساعت انجام شود (یعنی انتقال از 0 وجود داشته باشد)، نقطه دوم روی دایره منفی خواهد بود و اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت باشد مثبت خواهد بود.
پاسخ را با در نظر گرفتن تناوب تابع به صورت بازه می نویسیم.
بیایید با استفاده از مثال ها به عملکرد الگوریتم نگاه کنیم.
1) گناه ≥ 1/2;
راه حل:
ما یک دایره واحد را به تصویر می کشیم.
نقطه ½ را روی محور OU علامت گذاری می کنیم.
عمود بر محور را بازیابی می کنیم،
که دایره را در دو نقطه قطع می کند.
با تعریف آرکسین، ابتدا توجه می کنیم
نقطه π/6.
قسمتی از محور که مربوط به آن است را سایه بزنید
نابرابری داده شده، بالای نقطه ½.
قوس دایره مربوط به قسمت سایه دار محور را سایه بزنید.
پیمایش در خلاف جهت عقربه های ساعت انجام می شود، نقطه 5π/6 را می گیریم.
با در نظر گرفتن تناوب تابع، پاسخ را به صورت فاصله می نویسیم.
پاسخ:ایکس؛ [π/6 + 2π n، 5π/6 + 2π n], n Z.
اگر رکورد پاسخ حاوی مقدار جدول نباشد، ساده ترین نابرابری با استفاده از همان الگوریتم حل می شود.
دانش‌آموزان هنگام حل نابرابری‌ها روی تخته در اولین درس‌های خود، هر مرحله از الگوریتم را با صدای بلند می‌خوانند.
2) 5 cos ایکس – 1 ≥ 0;
آر 
راه حل:در
5 cos ایکس – 1 ≥ 0;
cos ایکس ≥ 1/5;
یک دایره واحد رسم کنید.
نقطه ای را با مختصات 1/5 روی محور OX علامت گذاری می کنیم.
عمود بر محور را بازیابی می کنیم که
دایره را در دو نقطه قطع می کند.
اولین نقطه روی دایره نقطه ای است که با تعریف (0;π) به بازه دامنه کسینوس قوس تعلق دارد.
قسمتی از محور را که با این نابرابری مطابقت دارد سایه می زنیم.
شروع از نقطه امضا شده آرکوس 1/5، قوس دایره مربوط به قسمت سایه دار محور را سایه بزنید.
پیمایش در جهت عقربه های ساعت انجام می شود (یعنی انتقال از 0 وجود دارد)، به این معنی که نقطه دوم روی دایره منفی خواهد بود - آرکوس 1/5.
با در نظر گرفتن تناوب تابع، از مقدار کوچکتر به بزرگتر، پاسخ را به صورت فاصله می نویسیم.
پاسخ: ایکس [-آرکوس 1/5 + 2π n, آرکوس 1/5 + 2π n], n Z.
بهبود توانایی حل نابرابری های مثلثاتی با سؤالات زیر تسهیل می شود: "چگونه گروهی از نابرابری ها را حل خواهیم کرد؟"؛ "چگونه یک نابرابری با دیگری متفاوت است؟"؛ "چگونه یک نابرابری شبیه به دیگری است؟"؛ اگر نابرابری شدید داده شود، پاسخ چگونه تغییر می کند؟" اگر به جای علامت "" یک علامت " وجود داشت پاسخ چگونه تغییر می کرد
وظیفه تجزیه و تحلیل لیستی از نابرابری ها از دیدگاه روش های حل آنها به شما امکان می دهد تا تشخیص آنها را تمرین کنید.
به دانش آموزان نابرابری هایی داده می شود که باید در کلاس حل شوند.
سوال:هنگام کاهش نابرابری مثلثاتی به ساده‌ترین شکل، نابرابری‌هایی را که به استفاده از تبدیل‌های معادل نیاز دارند، برجسته کنید؟
پاسخ 1, 3, 5.
سوال:چه نابرابری هایی وجود دارد که باید یک استدلال پیچیده را به عنوان یک استدلال ساده در نظر بگیرید؟
پاسخ: 1, 2, 3, 5, 6.
سوال:چه نابرابری هایی وجود دارد که در آن فرمول های مثلثاتی را می توان اعمال کرد؟
پاسخ: 2, 3, 6.
سوال:نابرابری هایی را که روش معرفی متغیر جدید را می توان اعمال کرد نام ببرید؟
پاسخ: 6.
وظیفه تجزیه و تحلیل لیستی از نابرابری ها از دیدگاه روش های حل آنها به شما امکان می دهد تا تشخیص آنها را تمرین کنید. هنگام توسعه مهارت ها، مهم است که مراحل اجرای آن را شناسایی کرده و آنها را به شکل کلی فرموله کنید، که در الگوریتم حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی ارائه شده است.
ساده ترین نابرابری های مثلثاتی به شکل sin x>a مبنای حل نابرابری های مثلثاتی پیچیده تر هستند.
بیایید حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی شکل sin x>a را روی دایره واحد در نظر بگیریم.
1) در 0
با استفاده از ارتباط کسینوس-bun (هر دو با co- شروع می شوند، هر دو "گرد" هستند)، به یاد می آوریم که کسینوس به ترتیب x است، سینوس y است. از اینجا یک نمودار y=a می سازیم - یک خط مستقیم موازی با محور ox. اگر نابرابری سخت باشد، نقاط تلاقی دایره واحد و خط مستقیم y=a سوراخ می شوند، اگر نابرابری دقیق نباشد، روی نقاط نقاشی می کنیم (چه آسان است که به یاد بیاوریم چه زمانی یک نقطه سوراخ می شود و چه زمانی. سایه دار است، ببینید). بیشترین مشکل در حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی ناشی از یافتن صحیح نقاط تقاطع دایره واحد و خط y=a است.
پیدا کردن اولین نکته آسان است - arcsin a است. مسیری را که از نقطه اول به نقطه دوم می رویم را تعیین می کنیم. در خط y=a sinx=a، بالا، بالای خط، sin x>a، و در زیر، زیر خط، sin x
2) a=0، یعنی گناه x>0
در این مورد، نقطه اول بازه 0 است، نقطه دوم n است، با در نظر گرفتن دوره سینوس، 2n را اضافه می کنیم.
3) برای a=-1، یعنی sinx>-1
در این حالت نقطه اول p/2 است و برای رسیدن به نقطه دوم کل دایره را خلاف جهت عقربه های ساعت دور می زنیم. به نقطه -p/2+2p=3p/2 می رسیم. برای در نظر گرفتن تمام بازه هایی که راه حل این نابرابری هستند، 2n را به هر دو سر اضافه می کنیم.
4) sinx>-a، در 0
اولین نکته طبق معمول، arcsin(-a)=-arcsina است. برای رسیدن به نقطه دوم راه بالا یعنی در جهت افزایش زاویه می رویم.
این بار فراتر از n حرکت می کنیم. تا کی قراره بریم؟ در arcsin x. یعنی نقطه دوم n+arcsin x است. چرا هیچ منهای وجود ندارد؟ زیرا منهای در نماد -arcsin a به معنای حرکت در جهت عقربه های ساعت است، اما ما در خلاف جهت عقربه های ساعت رفتیم. و در نهایت به هر انتهای بازه 2pn اضافه کنید.
5) sinx>a، اگر a>1.
دایره واحد کاملاً زیر خط مستقیم y=a قرار دارد. حتی یک نقطه بالاتر از خط مستقیم وجود ندارد. بنابراین هیچ راه حلی وجود ندارد.
6) sinx>-a، که در آن a>1.
در این حالت کل دایره واحد به طور کامل بالای خط مستقیم y=a قرار دارد. بنابراین هر نقطه ای شرط sinx>a را برآورده می کند. این یعنی x هر عددی است.
و در اینجا x هر عددی است، زیرا نقاط -n/2+2nn در راه حل گنجانده شده است، برخلاف نابرابری شدید sinx>-1. نیازی به حذف چیزی نیست.
تنها نقطه روی دایره که این شرط را برآورده می کند n/2 است. با در نظر گرفتن دوره سینوس، راه حل این نابرابری مجموعه نقاط x=n/2+2n است.
برای مثال، نابرابری sinx>-1/2 را حل کنید:
وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس
موسسه تحصیلی
"دانشگاه ایالتی گومل
به نام فرانسیسک اسکارینا"
دانشکده ریاضی
گروه جبر و هندسه
برای دفاع پذیرفته شد
سر بخش Shemetkov L.A.
معادلات و نابرابری های مثلثاتی
کار دوره
مجری:
دانشجوی گروه M-51
سانتی متر. گورسکی
سرپرست علمی دکتری- کارشناسی ارشد،
استاد ارشد
V.G. سافونوف
گومل 2008
معرفی
روشهای اساسی برای حل معادلات مثلثاتی
فاکتورسازی
حل معادلات با تبدیل حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع
حل معادلات با استفاده از فرمول های استدلال سه گانه
ضرب در یک تابع مثلثاتی
معادلات مثلثاتی غیر استاندارد
نابرابری های مثلثاتی
انتخاب ریشه ها
وظایف برای راه حل مستقل
نتیجه
فهرست منابع مورد استفاده
در دوران باستان، مثلثات در ارتباط با نیازهای نجوم، نقشه برداری زمین و ساخت و ساز پدید آمد، یعنی ماهیت آن کاملاً هندسی بود و عمدتاً نشان داده می شد.<<исчисление хорд>> با گذشت زمان، برخی از لحظات تحلیلی شروع به تلاقی در آن کردند. در نیمه اول قرن هجدهم تغییرات شدیدی رخ داد و پس از آن مثلثات مسیر جدیدی را در پیش گرفت و به سمت تحلیل ریاضی رفت. در این زمان بود که روابط مثلثاتی به عنوان توابع در نظر گرفته شد.
معادلات مثلثاتی یکی از دشوارترین مباحث درس ریاضی مدرسه است. معادلات مثلثاتی هنگام حل مسائل در پلان سنجی، استریومتری، نجوم، فیزیک و سایر زمینه ها به وجود می آیند. معادلات و نابرابری های مثلثاتی در میان وظایف تست متمرکز سال به سال یافت می شود.
مهمترین تفاوت معادلات مثلثاتی با معادلات جبری این است که معادلات جبری تعداد ریشه های محدودی دارند، در حالی که معادلات مثلثاتی دارای تعداد نامتناهی هستند که انتخاب ریشه ها را بسیار پیچیده می کند. یکی دیگر از ویژگی های خاص معادلات مثلثاتی، فرم غیر منحصر به فرد نوشتن پاسخ است.
این پایان نامه به روش های حل معادلات مثلثاتی و نامساوی اختصاص دارد.
پایان نامه از 6 بخش تشکیل شده است.
بخش اول اطلاعات نظری اساسی را ارائه می دهد: تعریف و ویژگی های توابع مثلثاتی و مثلثاتی معکوس. جدول مقادیر توابع مثلثاتی برای برخی از آرگومان ها؛ بیان توابع مثلثاتی بر حسب سایر توابع مثلثاتی، که برای تبدیل عبارات مثلثاتی، به ویژه آنهایی که حاوی توابع مثلثاتی معکوس هستند، بسیار مهم است. علاوه بر فرمول های مثلثاتی پایه که در دوره مدرسه به خوبی شناخته شده اند، فرمول هایی ارائه می شود که عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس را ساده می کند.
بخش دوم به تشریح روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی می پردازد. حل معادلات مثلثاتی ابتدایی، روش فاکتورسازی و روش های کاهش معادلات مثلثاتی به جبری در نظر گرفته شده است. با توجه به اینکه جواب های معادلات مثلثاتی را می توان به روش های مختلفی نوشت و شکل این جواب ها به ما اجازه نمی دهد که بلافاصله تشخیص دهیم که آیا این جواب ها یکسان هستند یا متفاوت، که ممکن است<<сбить с толку>> هنگام حل تست ها، طرح کلی برای حل معادلات مثلثاتی در نظر گرفته می شود و تبدیل گروه های راه حل های کلی معادلات مثلثاتی با جزئیات در نظر گرفته می شود.
بخش سوم معادلات مثلثاتی غیر استاندارد را بررسی می‌کند که راه‌حل‌های آن بر اساس رویکرد تابعی است.
بخش چهارم در مورد نابرابری های مثلثاتی بحث می کند. روشهای حل نابرابری‌های مثلثاتی ابتدایی، هم بر روی دایره واحد و هم با روش گرافیکی، به تفصیل مورد بحث قرار می‌گیرند. فرآیند حل نابرابری های مثلثاتی غیر ابتدایی از طریق نابرابری های ابتدایی و روش فواصل، که قبلاً برای دانش آموزان مدرسه به خوبی شناخته شده است، شرح داده شده است.
بخش پنجم دشوارترین کارها را ارائه می دهد: زمانی که نه تنها باید یک معادله مثلثاتی را حل کرد، بلکه ریشه هایی را از ریشه های یافت شده انتخاب کرد که شرایطی را برآورده می کند. این بخش راه حل هایی را برای وظایف معمول انتخاب ریشه ارائه می دهد. اطلاعات نظری لازم برای انتخاب ریشه ها داده شده است: تقسیم مجموعه ای از اعداد صحیح به زیر مجموعه های ناهمگون، حل معادلات در اعداد صحیح (دیافانتین).
بخش ششم وظایفی را برای حل مستقل ارائه می دهد که در قالب یک آزمون ارائه شده است. 20 کار تست شامل سخت ترین وظایفی است که می توان در طول تست متمرکز با آنها مواجه شد.
معادلات مثلثاتی ابتدایی
معادلات مثلثاتی ابتدایی معادلاتی به شکل هستند که --- یکی از توابع مثلثاتی: , , , .
معادلات مثلثاتی ابتدایی دارای بی نهایت ریشه هستند. به عنوان مثال، مقادیر زیر معادله را برآورده می کند: , , , و غیره. فرمول کلی که با آن تمام ریشه های معادله پیدا می شوند، که در آن، به صورت زیر است:
در اینجا می تواند هر مقدار صحیح را بگیرد، هر یک از آنها با ریشه خاصی از معادله مطابقت دارد. در این فرمول (و همچنین در فرمول های دیگری که معادلات مثلثاتی ابتدایی حل می شوند) نامیده می شود. پارامتر. آنها معمولاً می نویسند، بنابراین تأکید می کنند که پارامتر می تواند هر مقدار صحیح را بپذیرد.
راه حل های معادله، که در آن، با فرمول پیدا می شود
معادله با استفاده از فرمول حل می شود
و معادله با فرمول است
اجازه دهید به طور خاص به برخی موارد خاص از معادلات مثلثاتی ابتدایی توجه کنیم، زمانی که جواب را می توان بدون استفاده از فرمول های کلی نوشت:
هنگام حل معادلات مثلثاتی، دوره توابع مثلثاتی نقش مهمی ایفا می کند. بنابراین، ما دو قضیه مفید ارائه می دهیم:
قضیه اگر --- دوره اصلی تابع باشد، آنگاه عدد دوره اصلی تابع است.
دوره های توابع و گفته می شود که قابل مقایسه هستند اگر اعداد طبیعی وجود داشته باشد و آن .
قضیه اگر توابع تناوبی و , دارای تناوب و , باشند پس دوره مشترک دارند که دوره توابع , , .
این قضیه بیان می کند که دوره تابع , , , چیست و لزوما دوره اصلی نیست. برای مثال دوره اصلی توابع و --- و دوره اصلی محصول آنها --- .
معرفی یک آرگومان کمکی
با روش استاندارد تبدیل عبارات فرم 
تکنیک زیر است: اجازه دهید --- زاویه داده شده توسط تساوی ها 
, 
. برای هر کسی، چنین زاویه ای وجود دارد. بدین ترتیب . اگر، یا،،، در موارد دیگر.
طرحی برای حل معادلات مثلثاتی
طرح اصلی که در حل معادلات مثلثاتی دنبال خواهیم کرد به شرح زیر است:
حل یک معادله به حل معادلات ابتدایی کاهش می یابد. حل یعنی: تبدیل ها، فاکتورسازی، جایگزینی مجهولات. اصل راهنما این است که ریشه های خود را از دست ندهید. این بدان معنی است که هنگام حرکت به معادلات بعدی، از ظهور ریشه های اضافی (خارجی) نمی ترسیم، بلکه فقط مراقب هستیم که هر معادله بعدی از "زنجیره" خود (یا مجموعه ای از معادلات در مورد انشعاب) ) نتیجه مورد قبلی است. یکی از روش های ممکن برای انتخاب ریشه، آزمایش است. اجازه دهید بلافاصله توجه داشته باشیم که در مورد معادلات مثلثاتی، مشکلات مربوط به انتخاب ریشه ها و بررسی، به عنوان یک قاعده، به شدت در مقایسه با معادلات جبری افزایش می یابد. پس از همه، ما باید سری های متشکل از بی نهایت عبارت را بررسی کنیم.
در حل معادلات مثلثاتی باید به جایگزینی مجهولات اشاره کرد. در بیشتر موارد پس از تعویض لازم، معادله جبری به دست می آید. علاوه بر این، معادلات آنقدر نادر نیستند که اگرچه از نظر ظاهری مثلثاتی هستند، اما در اصل چنین نیستند، زیرا پس از اولین مرحله - تغییر متغیرها - به جبری تبدیل می شوند و بازگشت به مثلثات تنها پس از مرحله حل ابتدایی اتفاق می افتد. معادلات مثلثاتی
یک بار دیگر به شما یادآوری می کنیم: جایگزینی مجهول باید در اولین فرصت انجام شود، معادله حاصل پس از جایگزینی باید تا انتها حل شود، از جمله مرحله انتخاب ریشه ها، و تنها پس از آن به مجهول اصلی بازگردانده شود.
یکی از ویژگی های معادلات مثلثاتی این است که پاسخ را می توان در بسیاری از موارد به روش های مختلفی نوشت. حتی برای حل معادله 
پاسخ را می توان به صورت زیر نوشت:
1) در قالب دو سری: 
, , ;
2) به صورت استاندارد که ترکیبی از سری فوق است: , ;
3) زیرا 
، سپس پاسخ را می توان در فرم نوشت 
، . (در ادامه، وجود پارامتر، یا در رکورد پاسخ به طور خودکار به این معنی است که این پارامتر تمام مقادیر صحیح ممکن را می پذیرد. استثنائات مشخص خواهند شد.)
بدیهی است که سه مورد ذکر شده تمامی امکانات را برای نوشتن پاسخ معادله مورد بررسی تمام نمی کند (بی نهایت تعداد آنها وجود دارد).
مثلاً وقتی برابری درست باشد 
. بنابراین، در دو مورد اول، اگر، می توانیم با را جایگزین کنیم .
معمولاً پاسخ بر اساس نکته 2 نوشته می شود. یادآوری توصیه زیر مفید است: اگر کار با حل معادله به پایان نرسید، باز هم باید تحقیق کرد و ریشه ها را انتخاب کرد، سپس راحت ترین شکل ضبط را انجام داد. در نقطه 1 نشان داده شده است. (توصیه مشابهی باید برای معادله داده شود.)
بیایید مثالی را در نظر بگیریم که آنچه گفته شد را نشان می دهد.
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.واضح ترین راه به شرح زیر است. این معادله به دو قسمت تقسیم می شود: و. با حل هر یک از آنها و ترکیب پاسخ های به دست آمده، به .
یک راه دیگر.پس از آن، جایگزینی و استفاده از فرمول های کاهش مدرک. پس از دگرگونی های کوچک، از کجا می گیریم 
.
در نگاه اول، فرمول دوم هیچ مزیت خاصی نسبت به فرمول اول ندارد. با این حال، اگر مثلاً بگیریم، معلوم می شود که، i.e. معادله یک راه حل دارد، در حالی که روش اول ما را به پاسخ می رساند 
. «ببینید» و برابری را ثابت کنید 
نه چندان آسان
پاسخ. .
تبدیل و ترکیب گروه های جواب های کلی معادلات مثلثاتی
ما یک پیشروی حسابی را در نظر خواهیم گرفت که در هر دو جهت بی نهایت امتداد دارد. اعضای این پیشروی را می توان به دو گروه از اعضا تقسیم کرد که در سمت راست و چپ عضو خاصی به نام عضو مرکزی یا صفر پیشروی قرار دارند.
با تثبیت یکی از جمله‌های یک پیشروی بی‌نهایت با عدد صفر، باید برای تمام عبارت‌های باقی‌مانده شماره‌گذاری مضاعف انجام دهیم: مثبت برای عبارت‌های واقع در سمت راست، و منفی برای عبارت‌های واقع در سمت چپ صفر.
که در مورد کلی، اگر اختلاف پیشروی عدد صفر باشد، فرمول هر (امین) ترم یک پیشروی حسابی نامتناهی است:
تبدیل فرمول برای هر جمله از یک پیشروی حسابی نامحدود
1. اگر تفاضل پیشروی را به جمله صفر اضافه یا کم کنید، پیشرفت تغییر نمی کند، بلکه فقط عبارت صفر جابه جا می شود، یعنی. تعداد اعضا تغییر خواهد کرد.
2. اگر ضریب یک مقدار متغیر در ضرب شود، آنگاه این فقط به ترتیب مجدد گروه های راست و چپ اعضا منجر می شود.
3. اگر ترم های متوالی یک پیشروی بی نهایت
به عنوان مثال،،،، ...،، عبارت های مرکزی پیشرفت ها را با همان تفاوت برابر با:
سپس یک پیشروی و یک سری پیشرفت اعداد یکسان را بیان می کنند.
مثال ردیف را می توان با سه ردیف زیر جایگزین کرد: , , .
4. اگر پیشروی های نامتناهی با اختلاف یکسان به عنوان ترم های مرکزی اعدادی داشته باشند که یک پیشروی حسابی را با اختلاف تشکیل می دهند، این سری ها را می توان با یک پیشروی با اختلاف جایگزین کرد، و با یک جمله مرکزی برابر با هر یک از جمله های مرکزی این پیشرفت ها، یعنی اگر
سپس این پیشرفت ها در یکی ترکیب می شوند:
مثال
از آنجایی که هر دو در یک گروه ترکیب می شوند 
.
برای تبدیل گروه‌هایی که راه‌حل‌های مشترک دارند به گروه‌هایی که راه‌حل‌های مشترک ندارند، این گروه‌ها به گروه‌هایی با دوره مشترک تجزیه می‌شوند و سپس سعی می‌کنند گروه‌های حاصل را به استثنای موارد تکراری متحد کنند.
فاکتورسازی
روش فاکتورسازی به شرح زیر است: اگر
سپس هر حل معادله
راه حل مجموعه ای از معادلات است
گزاره معکوس، به طور کلی، نادرست است: هر راه حلی برای جمعیت، راه حل معادله نیست. این با این واقعیت توضیح داده می شود که راه حل های معادلات فردی ممکن است در حوزه تعریف تابع گنجانده نشوند.
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.با استفاده از هویت مثلثاتی پایه، معادله را به شکل نمایش می دهیم
پاسخ.
; 
.
تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به حاصل ضرب
مثال
معادله را حل کنید 
.
راه حل.با استفاده از فرمول، معادله معادل را بدست می آوریم
پاسخ. .
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.در این حالت، قبل از اعمال فرمول های مجموع توابع مثلثاتی، باید از فرمول کاهش استفاده کنید. 
. در نتیجه معادله معادل را بدست می آوریم
پاسخ.
, 
.
حل معادلات با تبدیل حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع
هنگام حل تعدادی از معادلات، از فرمول استفاده می شود.
مثال معادله را حل کنید
راه حل.
پاسخ. , .
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.با استفاده از فرمول، یک معادله معادل بدست می آوریم:
پاسخ. .
حل معادلات با استفاده از فرمول کاهش
هنگام حل طیف گسترده ای از معادلات مثلثاتی، فرمول ها نقش کلیدی ایفا می کنند.
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.با استفاده از فرمول، یک معادله معادل به دست می آوریم.
پاسخ. ; .
حل معادلات با استفاده از فرمول های استدلال سه گانه
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.با استفاده از فرمول، معادله را بدست می آوریم
پاسخ. ; .
مثال
معادله را حل کنید 
.
راه حل.با استفاده از فرمول های کاهش مدرک دریافت می کنیم: 
. با درخواست دریافت می کنیم:
پاسخ. ; .
تساوی توابع مثلثاتی همنام
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.
پاسخ. , .
مثال
معادله را حل کنید 
.
راه حل.بیایید معادله را تبدیل کنیم.
پاسخ. .
مثال معلوم است که و ارضای معادله
مقدار را پیدا کنید.
راه حل.از معادله نتیجه می شود که
پاسخ. .
اجازه دهید مجموع فرم را در نظر بگیریم
این مقادیر را می توان با ضرب و تقسیم آنها به یک محصول تبدیل کرد، سپس به دست می آوریم
از این تکنیک می توان برای حل برخی معادلات مثلثاتی استفاده کرد، اما باید در نظر داشت که در نتیجه ممکن است ریشه های خارجی ظاهر شوند. اجازه دهید این فرمول ها را خلاصه کنیم:
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.مشاهده می شود که مجموعه راه حلی برای معادله اصلی است. بنابراین، ضرب دو طرف چپ و راست معادله منجر به ظهور ریشه های اضافی نمی شود.
ما داریم 
.
پاسخ. ; .
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.بیایید سمت چپ و راست معادله را در ضرب کنیم و فرمول تبدیل حاصل ضرب توابع مثلثاتی را به مجموع اعمال کنیم.
این معادله معادل ترکیب دو معادله و , wherece و .
از آنجایی که ریشه های معادله ریشه های معادله نیستند، باید . این بدان معنی است که در مجموعه لازم است حذف شود.
پاسخ.و، .
مثال
معادله را حل کنید 
.
راه حل.بیایید عبارت را تبدیل کنیم:
معادله به صورت زیر نوشته خواهد شد:
پاسخ. .
کاهش معادلات مثلثاتی به معادلات جبری
قابل تقلیل به مربع
اگر معادله به شکل باشد
سپس جایگزینی آن را به مربع هدایت می کند، زیرا 
() و.
اگر به جای عبارت وجود داشته باشد، جایگزین مورد نیاز خواهد بود.
معادله
به یک معادله درجه دوم کاهش می یابد
ارائه به عنوان 
. به راحتی می توان مواردی را که برای آنها ریشه معادله نیست بررسی کرد و با انجام جایگزینی معادله به یک معادله درجه دوم کاهش می یابد.
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.بیایید آن را به سمت چپ منتقل کنیم، آن را جایگزین کنیم، و آن را از طریق و بیان کنیم.
پس از ساده سازی ها به دست می آید: . عبارت را به ترم تقسیم کنید و جایگزین کنید:
با بازگشت به، پیدا می کنیم 
.
معادلات همگن با توجه به
معادله ای از فرم را در نظر بگیرید
که در آن،،،، ...، اعداد حقیقی هستند. در هر جمله در سمت چپ معادله، درجات تک جمله ها مساوی است، یعنی مجموع درجات سینوس و کسینوس یکسان و مساوی است. این معادله نامیده می شود همگننسبت به و، و عدد نامیده می شود شاخص همگنی .
واضح است که اگر، پس معادله به شکل زیر خواهد بود:
که راه حل های آن مقادیری هستند که در آنها، یعنی اعداد، . معادله دوم نوشته شده در پرانتز نیز همگن است اما 1 درجه کمتر است.
اگر، پس این اعداد ریشه معادله نیستند.
وقتی به دست می آوریم: ، و سمت چپ معادله (1) مقدار .
بنابراین، برای، و، بنابراین ما می توانیم هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم. در نتیجه معادله را بدست می آوریم:
که با جایگزینی به راحتی می توان آن را به جبری تقلیل داد:
معادلات همگن با شاخص همگنی 1. وقتی معادله .
اگر , پس این معادله معادل معادله , , wherece , است.
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.این معادله از درجه اول همگن است. هر دو قسمت را بر این تقسیم کنیم که به دست می آید: , , , .
پاسخ. .
مثال در یک معادله همگن از فرم به دست می آوریم
راه حل.
اگر، سپس هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنید، معادله را بدست می آوریم 
، که به راحتی می توان با جایگزینی به مربع کاهش داد: 
. اگر 
، سپس معادله دارای ریشه های واقعی است، . معادله اصلی دو گروه راه حل خواهد داشت: , , .
اگر 
، پس معادله هیچ راه حلی ندارد.
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.این معادله از درجه دوم همگن است. دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم، بدست می آوریم: . اجازه دهید پس از آن . , , ; .
پاسخ.
.
معادله به یک معادله از فرم کاهش می یابد
برای این کار کافی است از هویت استفاده کنید 
به طور خاص، اگر معادله را با آن جایگزین کنیم، به همگن کاهش می یابد 
، سپس یک معادله معادل بدست می آوریم:
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.بیایید معادله را به یک معادله تبدیل کنیم:
بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم 
، معادله را بدست می آوریم:
اجازه دهید، سپس به معادله درجه دوم می رسیم: 
, 
, .
پاسخ.
.
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.بیایید هر دو طرف معادله را مربع کنیم، با در نظر گرفتن اینکه آنها مقادیر مثبت دارند:
بگذار باشد، سپس می‌گیریم 
, , .
پاسخ. .
معادلات حل شده با استفاده از هویت 
دانستن فرمول های زیر مفید است:
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.با استفاده از، دریافت می کنیم
پاسخ.
ما نه خود فرمول ها، بلکه روشی برای استخراج آنها ارائه می دهیم:
از این رو،
به همین ترتیب، .
مثال
معادله را حل کنید 
.
راه حل.بیایید عبارت را تبدیل کنیم:
معادله به صورت زیر نوشته خواهد شد:
با پذیرش، دریافت می کنیم. ، . از این رو
پاسخ. .
جایگزینی مثلثاتی جهانی
معادله مثلثاتی فرم
که در آن --- یک تابع گویا با کمک فرمولها - و همچنین با کمک فرمولها - می توان با توجه به آرگومانهای , , , , به یک معادله گویا تقلیل داد و پس از آن معادله را می توان به یک منطقی جبری تقلیل داد معادله با توجه به استفاده از فرمول های جایگزینی مثلثاتی جهانی
لازم به ذکر است که استفاده از فرمول ها می تواند منجر به باریک شدن OD معادله اصلی شود، زیرا در نقاطی تعریف نشده است، بنابراین در چنین مواردی باید بررسی شود که آیا زاویه ها ریشه معادله اصلی هستند یا خیر. .
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.با توجه به شرایط تکلیف. با اعمال فرمول ها و انجام جایگزینی، به دست می آوریم
از کجا و بنابراین .
معادلات فرم
معادلات شکل، که در آن --- یک چند جمله ای، با استفاده از تغییرات مجهولات حل می شود
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.با انجام جایگزینی و در نظر گرفتن آن، دریافت می کنیم
جایی که ، . --- ریشه خارجی، زیرا . ریشه های معادله 
هستند .
استفاده از محدودیت های ویژگی
در عمل تست متمرکز، به ندرت با معادلاتی مواجه می‌شویم که حل آنها بر اساس توابع محدود و . مثلا:
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.از آنجا که ، ، پس سمت چپ تجاوز نمی کند و برابر است با اگر
برای یافتن مقادیری که هر دو معادله را برآورده می کنند، به صورت زیر عمل می کنیم. بیایید یکی از آنها را حل کنیم، سپس از بین مقادیر یافت شده، مواردی را انتخاب می کنیم که دیگری را برآورده می کند.
بیایید با دومی شروع کنیم: , . سپس ، 
.
واضح است که فقط برای اعداد زوج وجود خواهد داشت.
پاسخ. .
ایده دیگری با حل معادله زیر محقق می شود:
مثال
معادله را حل کنید 
.
راه حل.بیایید از ویژگی تابع نمایی استفاده کنیم: 
.
با اضافه کردن این نابرابری ها به صورت ترم، داریم:
بنابراین، سمت چپ این معادله برابر است اگر و تنها در صورتی که دو برابری برآورده شود:
یعنی می تواند مقادیر , , , یا می تواند مقادیر , را بگیرد.
پاسخ. , .
مثال
معادله را حل کنید 
.
راه حل.، . از این رو، 
.
پاسخ. .
مثال معادله را حل کنید
راه حل.اجازه دهید نشان دهیم، سپس از تعریف تابع مثلثاتی معکوس داریم 
و 
.
از آنجا که، پس نابرابری از معادله، یعنی. . از زمان و پس از آن و . با این حال، به همین دلیل است.
اگر و، پس. از آنجایی که قبلا ثابت شده بود که پس .
پاسخ. , .
مثال معادله را حل کنید
راه حل.محدوده مقادیر قابل قبول معادله است.
ابتدا نشان می دهیم که تابع
برای هر یک، فقط می تواند ارزش های مثبت داشته باشد.
بیایید تابع را به صورت زیر تصور کنیم: .
از آنجا که پس از آن اتفاق می افتد، یعنی. 
.
بنابراین، برای اثبات نابرابری، نشان دادن آن ضروری است 
. برای این منظور، اجازه دهید هر دو طرف این نابرابری را مکعب کنیم
نابرابری عددی حاصل نشان می دهد که . اگر این را هم در نظر بگیریم، سمت چپ معادله غیر منفی است.
اکنون به سمت راست معادله نگاه می کنیم.
زیرا 
، آن
با این حال، مشخص است که 
. نتیجه می شود که، یعنی سمت راست معادله تجاوز نمی کند. قبلا ثابت شده بود که سمت چپ معادله غیرمنفی است، بنابراین تساوی در تنها در صورتی می تواند اتفاق بیفتد که هر دو طرف برابر باشند، و این فقط در صورتی امکان پذیر است.
پاسخ. .
مثال معادله را حل کنید
راه حل.بیایید نشان دهیم و 
. با اعمال نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی، به دست می آوریم. نتیجه می شود که 
. از سوی دیگر وجود دارد 
. بنابراین معادله ریشه ندارد.
پاسخ. .
مثال معادله را حل کنید:
راه حل.بیایید معادله را به صورت زیر بنویسیم:
پاسخ. .
روش های تابعی برای حل معادلات مثلثاتی و ترکیبی
هر معادله ای در نتیجه تبدیل ها را نمی توان به معادله ای از یک فرم استاندارد کاهش داد که روش حل خاصی برای آن وجود دارد. در چنین مواردی، استفاده از خواص توابع مانند یکنواختی، کران، برابری، تناوب و غیره مفید است. بنابراین، اگر یکی از توابع کاهش و دومی در بازه افزایش یابد، اگر معادله دارای یک ریشه در این بازه، این ریشه منحصر به فرد است، و سپس، برای مثال، می توان آن را با انتخاب پیدا کرد. اگر تابع در بالا، و، و تابع زیر، و محدود شده باشد، پس معادله معادل سیستم معادلات است.
مثال معادله را حل کنید
راه حل.بیایید معادله اصلی را به شکل تبدیل کنیم
و آن را به عنوان یک نسبت درجه دوم به حل کنید. سپس می گیریم،
بیایید اولین معادله جمعیت را حل کنیم. با در نظر گرفتن ماهیت محدود تابع، به این نتیجه می رسیم که معادله فقط می تواند یک ریشه در قطعه داشته باشد. در این بازه تابع افزایش می یابد و تابع 
کاهش می دهد. بنابراین، اگر این معادله ریشه داشته باشد، منحصر به فرد است. ما با انتخاب پیدا می کنیم.
پاسخ. .
مثال معادله را حل کنید
راه حل.اجازه دهید و 
، سپس معادله اصلی را می توان به عنوان یک معادله تابعی نوشت. از آنجایی که تابع فرد است، پس . در این صورت معادله را بدست می آوریم.
از آنجایی که و یکنواخت است، معادله معادل معادله است، i.e. 
، که یک ریشه دارد.
پاسخ. .
مثال
معادله را حل کنید 
.
راه حل.بر اساس قضیه مشتق تابع مختلط، واضح است که تابع 
کاهش (عملکرد کاهش، افزایش، کاهش). از اینجا مشخص است که تابع 
تعریف شده در، در حال کاهش. بنابراین این معادله حداکثر یک ریشه دارد. زیرا 
، آن
پاسخ. .
مثال معادله را حل کنید.
راه حل.بیایید معادله را در سه بازه در نظر بگیریم.
الف) اجازه دهید. سپس در این مجموعه معادله اصلی معادل معادله است. که هیچ راه حلی در فاصله ندارد، زیرا 
، ، آ . در بازه، معادله اصلی نیز ریشه ندارد، زیرا 
، آ .
ب) اجازه دهید. سپس در این مجموعه معادله اصلی معادل معادله است
که ریشه های آن در بازه عبارتند از اعداد , , , .
ج) اجازه دهید. سپس در این مجموعه معادله اصلی معادل معادله است
که هیچ راه حلی در بازه ندارد، زیرا، و . در بازه، معادله نیز هیچ راه حلی ندارد، زیرا ، ، آ .
پاسخ. , , , .
روش تقارن
استفاده از روش تقارن زمانی راحت است که فرمول بندی کار به حل منحصر به فرد یک معادله، نابرابری، سیستم و غیره نیاز دارد. یا نشانی دقیق از تعداد راه حل ها. در این حالت، هر گونه تقارن عبارات داده شده باید شناسایی شود.
همچنین لازم است تنوع انواع مختلف تقارن را در نظر گرفت.
به همان اندازه مهم، پایبندی دقیق به مراحل منطقی در استدلال با تقارن است.
به طور معمول، تقارن به ما امکان می دهد فقط شرایط لازم را ایجاد کنیم و سپس باید کفایت آنها را بررسی کنیم.
مثال تمام مقادیر پارامتری را که معادله راه حل منحصر به فردی دارد، پیدا کنید.
راه حل.توجه داشته باشید که و توابع زوج هستند، بنابراین سمت چپ معادله یک تابع زوج است.
این بدان معناست که اگر برای معادله راه حلی وجود داشته باشد، برای معادله نیز راه حلی وجود دارد. اگر تنها راه حل معادله است، پس لازم است , .
ما انتخاب می کنیم ممکن استمقادیر، مستلزم آن است که ریشه معادله باشد.
اجازه دهید بلافاصله توجه داشته باشیم که مقادیر دیگر نمی توانند شرایط مشکل را برآورده کنند.
اما هنوز مشخص نیست که آیا همه افراد انتخاب شده واقعاً شرایط این کار را برآورده می کنند یا خیر.
کفایت.
1) معادله شکل خواهد گرفت 
.
2) معادله به شکل زیر خواهد بود:
بدیهی است که برای همه و 
. بنابراین، آخرین معادله معادل سیستم است:
بنابراین، ما ثابت کردیم که معادله یک راه حل منحصر به فرد دارد.
پاسخ. .
راه حل با کاوش تابع
مثال ثابت کنید که تمام جواب های معادله
تمام اعداد.
راه حل.دوره اصلی معادله اصلی است. بنابراین ابتدا این معادله را بر روی بازه بررسی می کنیم.
بیایید معادله را به شکل تبدیل کنیم:
با استفاده از یک ریزمحاسبه دریافت می کنیم:
اگر، پس از برابری های قبلی به دست می آوریم:
پس از حل معادله به دست می آید: .
محاسبات انجام شده این امکان را فراهم می کند که فرض کنیم ریشه های معادله متعلق به بخش عبارتند از، و.
آزمایش مستقیم این فرضیه را تایید می کند. بنابراین، ثابت شده است که ریشه های معادله فقط اعداد صحیح هستند، .
مثال
معادله را حل کنید 
.
راه حل.بیایید دوره اصلی معادله را پیدا کنیم. تابع دارای دوره اولیه برابر با . دوره اصلی تابع است. کمترین مضرب مشترک و برابر است با . بنابراین، دوره اصلی معادله است. اجازه دهید .
بدیهی است که حل معادله است. در فاصله زمانی. تابع منفی است. بنابراین، ریشه های دیگر معادله را فقط باید در بازه های x و .
با استفاده از یک ریز حساب، ابتدا مقادیر تقریبی ریشه های معادله را پیدا می کنیم. برای انجام این کار، جدولی از مقادیر تابع را می سازیم 
در فواصل و ; یعنی در فواصل و .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
از جدول فرضیه های زیر به راحتی قابل تشخیص است: ریشه های معادله متعلق به بخش عبارتند از اعداد: ; ; . آزمایش مستقیم این فرضیه را تایید می کند.
پاسخ.
; 
; .
حل نامساوی مثلثاتی با استفاده از دایره واحد
هنگام حل نابرابری های مثلثاتی شکل، جایی که یکی از توابع مثلثاتی است، استفاده از یک دایره مثلثاتی راحت است تا راه حل های نابرابری را به وضوح نشان دهد و پاسخ را یادداشت کند. روش اصلی برای حل نابرابری های مثلثاتی کاهش آنها به ساده ترین نابرابری های نوع است. بیایید به مثالی از نحوه حل چنین نابرابری هایی نگاه کنیم.
مثال نابرابری را حل کنید.
راه حل.بیایید یک دایره مثلثاتی رسم کنیم و روی آن نقاطی را که مختصات از آنها بیشتر است علامت گذاری کنیم.
راه حل این نابرابری خواهد بود. همچنین واضح است که اگر عدد معینی با هر عددی با فاصله مشخص شده تفاوت داشته باشد، آن هم کمتر از . بنابراین، شما فقط باید به انتهای بخش راه حل پیدا شده اضافه کنید. در نهایت، متوجه می شویم که راه حل های نابرابری اصلی همه خواهد بود 
.
پاسخ.
.
برای حل نابرابری‌های مماس و کتانژانت، مفهوم خط مماس و کوتانژانت مفید است. اینها خطوط مستقیم و به ترتیب (در شکل (1) و (2)) مماس بر دایره مثلثاتی هستند.
به راحتی می توان فهمید که اگر یک پرتو با مبدأ آن در مبدأ مختصات بسازیم و زاویه ای با جهت مثبت محور آبسیسا ایجاد کنیم، آنگاه طول قطعه از نقطه تا نقطه تلاقی این پرتو با خط مماس دقیقاً برابر با مماس زاویه ای است که این پرتو با محور آبسیسا می سازد. مشاهده مشابهی برای کوتانژانت رخ می دهد.
مثال نابرابری را حل کنید.
راه حل.اجازه دهید نشان دهیم، سپس نابرابری ساده ترین شکل را به خود می گیرد: . بیایید فاصله ای از طول را برابر با کوچکترین دوره مثبت (LPP) مماس در نظر بگیریم. در این بخش، با استفاده از خط مماس، آن را مشخص می کنیم. اکنون به یاد بیاوریم که از توابع NPP چه چیزی باید اضافه شود. بنابراین، 
. با بازگشت به متغیر، آن را بدست می آوریم.
پاسخ.
.
حل نابرابری ها با توابع مثلثاتی معکوس با استفاده از نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس راحت است. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار انجام می شود.
حل نابرابری های مثلثاتی به صورت گرافیکی
توجه داشته باشید که اگر --- یک تابع تناوبی است، برای حل نابرابری باید جواب آن را روی پاره ای که طول آن برابر با دوره تابع است، پیدا کرد. همه راه‌حل‌های نابرابری اصلی شامل مقادیر یافت شده و همچنین همه آنهایی هستند که با هر عدد صحیحی از دوره‌های تابع با آنهایی که پیدا شده‌اند متفاوت هستند.
بیایید راه حل نابرابری () را در نظر بگیریم.
از آنجایی که نابرابری راه حلی ندارد. اگر، پس مجموعه راه حل های نابرابری مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است.
اجازه دهید . تابع سینوس کوچکترین دوره مثبت را دارد، بنابراین نابرابری را می توان ابتدا روی یک پاره طول، به عنوان مثال، در پاره، حل کرد. ما نمودارهایی از توابع و () می سازیم. توسط نابرابری های شکل داده می شود: و، از کجا،
در این کار روش‌هایی برای حل معادلات و نابرابری‌های مثلثاتی در سطح ساده و المپیاد در نظر گرفته شد. روشهای اصلی برای حل معادلات و نابرابری های مثلثاتی در نظر گرفته شد، هم خاص --- مشخصه فقط برای معادلات مثلثاتی و نابرابری ها --- و هم روش های عملکردی کلی برای حل معادلات و نامساوی ها در رابطه با معادلات مثلثاتی.
این پایان نامه اطلاعات نظری اساسی را ارائه می دهد: تعریف و ویژگی های توابع مثلثاتی و مثلثاتی معکوس. بیان توابع مثلثاتی بر حسب سایر توابع مثلثاتی، که برای تبدیل عبارات مثلثاتی، به ویژه آنهایی که حاوی توابع مثلثاتی معکوس هستند، بسیار مهم است. علاوه بر فرمول های مثلثاتی پایه که در دوره مدرسه به خوبی شناخته شده اند، فرمول هایی ارائه می شود که عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس را ساده می کند. حل معادلات مثلثاتی ابتدایی، روش فاکتورسازی و روش های کاهش معادلات مثلثاتی به جبری در نظر گرفته شده است. با توجه به اینکه جواب های معادلات مثلثاتی را می توان به روش های مختلفی نوشت و شکل این جواب ها اجازه نمی دهد که بلافاصله مشخص شود که آیا این جواب ها یکسان یا متفاوت هستند، یک طرح کلی برای حل معادلات مثلثاتی در نظر گرفته شده و تبدیل گروه های جواب کلی معادلات مثلثاتی به تفصیل در نظر گرفته شده است. روشهای حل نابرابری‌های مثلثاتی ابتدایی، هم بر روی دایره واحد و هم با روش گرافیکی، به تفصیل مورد بحث قرار می‌گیرند. فرآیند حل نابرابری های مثلثاتی غیر ابتدایی از طریق نابرابری های ابتدایی و روش فواصل، که قبلاً برای دانش آموزان مدرسه به خوبی شناخته شده است، شرح داده شده است. راه حل هایی برای وظایف معمولی برای انتخاب ریشه ها ارائه شده است. اطلاعات نظری لازم برای انتخاب ریشه ها داده شده است: تقسیم مجموعه ای از اعداد صحیح به زیر مجموعه های ناهمگون، حل معادلات در اعداد صحیح (دیافانتین).
از نتایج این پایان نامه می توان به عنوان ماده آموزشی در تهیه درس و پایان نامه، در تهیه دروس انتخابی برای دانش آموزان استفاده کرد و همچنین می توان از این کار در آماده سازی دانش آموزان برای کنکور و آزمون متمرکز استفاده کرد.
ویگودسکی یا.یا.، کتابچه راهنمای ریاضیات ابتدایی. /ویگودسکی یا.یا. --- M.: Nauka، 1970.
Igudisman O.، ریاضیات در امتحان شفاهی / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001.
Azarov A.I., equations/Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Mn.: Trivium، 1994.
Litvinenko V.N.، کارگاه ریاضیات ابتدایی / Litvinenko V.N.: آموزش، 1991.
شاریگین I.F.، دوره اختیاری در ریاضیات: حل مسئله / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- م.: آموزش و پرورش، 1991.
باردوشکین وی.، معادلات مثلثاتی. انتخاب ریشه/B. باردوشکین، آ. پروکوفیف.// ریاضیات، شماره 12، 2005 ص. 23--27.
Vasilevsky A.B.، تکالیف برای کارهای فوق برنامه در ریاضیات / Vasilevsky A.B. --- Mn.: مردم Asveta. 1988. --- 176 ص.
Sapunov P. I.، تبدیل و اتحاد گروه های راه حل های کلی معادلات مثلثاتی / Sapunov P. I. // آموزش ریاضی، شماره 3، 1935.
بورودین پ.، مثلثات. مواد امتحانات ورودی در دانشگاه دولتی مسکو [متن]/P Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // ریاضیات شماره 1, 2005. 36--48.
Samusenko A.V., ریاضیات: اشتباهات معمول متقاضیان: راهنمای مرجع / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Higher School, 1991.
Azarov A.I.، روش های کاربردی و گرافیکی برای حل مسائل معاینه / Azarov A.I.، Barvenov S.A.، --- Mn.: Aversev، 2004.
