خانه » مبلمان » خط دایره. محیط: مفهوم کلی و فرمول های اساسی. دایره ای که داخل آن محاط شده و توسط یک مثلث محاط شده است

خط دایره. محیط: مفهوم کلی و فرمول های اساسی. دایره ای که داخل آن محاط شده و توسط یک مثلث محاط شده است

برای دریافت یک ایده کلی از دایره، به حلقه یا حلقه نگاه کنید. همچنین می توانید یک لیوان و فنجان گرد بردارید، آن را به صورت وارونه روی یک تکه کاغذ قرار دهید و آن را با مداد ترسیم کنید. با بزرگنمایی مکرر، خط حاصل ضخیم می شود و کاملا صاف نمی شود و لبه های آن تار می شود. دایره به عنوان یک شکل هندسی مشخصه ای به عنوان ضخامت ندارد.

دایره: تعریف و ابزار اساسی توصیف

دایره یک منحنی بسته است که از نقاط زیادی تشکیل شده است که در یک صفحه قرار دارند و از مرکز دایره فاصله دارند. در این حالت مرکز در همان صفحه قرار دارد. به عنوان یک قاعده، با حرف O نشان داده می شود.

فاصله هر نقطه از دایره تا مرکز شعاع نامیده می شود و با حرف R نشان داده می شود.

اگر هر دو نقطه را روی یک دایره به هم وصل کنید، قطعه حاصل آکورد نامیده می شود. وتر که از مرکز دایره عبور می کند قطر است که با حرف D مشخص می شود. قطر دایره را به دو قوس مساوی تقسیم می کند و دو برابر طول شعاع است. بنابراین، D = 2R، یا R = D/2.

خواص آکورد

اگر یک وتر از میان هر دو نقطه از دایره کشیده شود، و سپس شعاع یا قطری عمود بر دومی رسم شود، آنگاه این بخش، وتر و قوس بریده شده توسط آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. گزاره برعکس نیز درست است: اگر شعاع (قطر) وتر را به نصف تقسیم کند، بر آن عمود است.
اگر دو وتر موازی در یک دایره رسم شوند، آنگاه کمان های بریده شده توسط آنها و همچنین آنهایی که بین آنها محصور شده اند، برابر خواهند بود.
بیایید دو آکورد PR و QS را که در نقطه T در دایره متقاطع می شوند رسم کنیم.

محیط: مفهوم کلی و فرمول های اساسی

یکی از ویژگی های اساسی این شکل هندسی، محیط آن است. این فرمول با استفاده از مقادیری مانند شعاع، قطر و ثابت "π" به دست می آید که ثابت بودن نسبت محیط به قطر آن را منعکس می کند.

بنابراین، L = πD، یا L = 2πR، که در آن L محیط، D قطر، R شعاع است.

فرمول محیط را می توان به عنوان فرمول اولیه در هنگام یافتن شعاع یا قطر برای یک محیط معین در نظر گرفت: D = L/π، R = L/2π.

دایره چیست: فرضیات اساسی

هیچ نقطه مشترکی ندارند؛
یک نقطه مشترک داشته باشید و خط مستقیم را مماس می نامند: اگر شعاع را از مرکز و نقطه مماس رسم کنید، آنگاه عمود بر مماس خواهد بود.
دو نقطه مشترک دارند و خط را سکانت می نامند.

2. از طریق سه نقطه دلخواه که در یک صفحه قرار دارند، بیش از یک دایره نمی توان رسم کرد.

3. دو دایره فقط در یک نقطه می توانند لمس شوند که در قسمت اتصال مراکز این دایره ها قرار دارد.

4. برای هر چرخش نسبت به مرکز، دایره به خود تبدیل می شود.

5. دایره از نظر تقارن چیست؟

همان انحنای خط در هر نقطه؛
نسبت به نقطه O؛
تقارن آینه نسبت به قطر

6. اگر دو زاویه محاطی دلخواه را بر اساس یک قوس دایره بسازید، آنها با هم برابر می شوند. زاویه ای که بر اساس یک قوس برابر با نصف است، یعنی با قطر وتر قطع شده است، همیشه برابر با 90 درجه است.

7. اگر خطوط منحنی بسته را با طول یکسان مقایسه کنید، معلوم می شود که دایره بخشی از صفحه را با بیشترین مساحت مشخص می کند.

دایره ای که داخل آن محاط شده و توسط یک مثلث محاط شده است

ایده دایره چیست بدون شرح ویژگی های رابطه آن با مثلث ها ناقص خواهد بود.

هنگام ساختن دایره ای که در یک مثلث محاط شده است، مرکز آن همیشه با نقطه تقاطع مثلث منطبق خواهد بود.
مرکز دایره ای که اطراف یک مثلث است در محل تلاقی عمودهای وسط هر یک از اضلاع مثلث قرار دارد.
اگر یک دایره را توصیف کنید، مرکز آن در وسط هیپوتانوس خواهد بود، یعنی دومی قطر خواهد بود.
اگر اساس ساخت و ساز باشد، مرکز دایره های محاطی و محصور در یک نقطه خواهند بود.

جملات اساسی در مورد دایره ها و چهارضلعی ها

یک دایره را فقط زمانی می توان در اطراف یک چهارضلعی محدب توصیف کرد که مجموع زوایای داخلی مخالف آن برابر با 180 درجه باشد.
اگر مجموع طول اضلاع مقابل آن یکسان باشد، می توان دایره ای را که در یک چهارضلعی محدب محاط شده است ساخت.
اگر زوایای یک متوازی الاضلاع راست باشد، می توانید دایره ای را در اطراف آن توصیف کنید.
دایره ای را می توان در متوازی الاضلاع درج کرد که همه اضلاع آن مساوی باشند، یعنی لوزی باشد.
فقط اگر متساوی الساقین باشد می توانید از گوشه های ذوزنقه دایره بسازید. در این حالت مرکز دایره محصور شده در محل تلاقی چهارضلعی و عمود میانه کشیده شده به ضلع قرار خواهد گرفت.

دایرهشکلی است که از تمام نقاط صفحه با فاصله مساوی از یک نقطه مشخص تشکیل شده است.

مفاهیم اساسی:

مرکز دایرهنقطه ای است با فاصله مساوی از نقاط روی دایره.

شعاع- این فاصله از نقاط دایره تا مرکز آن است (برابر با نصف قطر، شکل 1).

قطریک وتر است که از مرکز دایره عبور می کند (شکل 1).

آکوردقطعه ای است که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند (شکل 1).

مماسیک خط مستقیم است که فقط یک نقطه مشترک با یک دایره دارد. از نقطه ای روی دایره عمود بر قطر کشیده شده به این نقطه عبور می کند (شکل 1).

سکنتیک خط مستقیم است که از دو نقطه مختلف دایره عبور می کند (شکل 1).

دایره واحددایره ای است که شعاع آن برابر با یک است.

قوس دایره ایبخشی از یک دایره است که به دو نقطه واگرا روی دایره تقسیم می شود.

1 رادیانزاویه ای است که توسط قوس دایره ای برابر با طول شعاع تشکیل می شود (شکل 4).
1 رادیان = 180˚: π ≈ 57.3˚

زاویه مرکزیزاویه ای است که راس آن در مرکز دایره قرار دارد. برابر با درجه اندازه گیری کمانی که روی آن قرار دارد (شکل 2).

زاویه حکاکی شدهزاویه ای است که راس آن روی یک دایره قرار دارد و اضلاع آن این دایره را قطع می کنند. برابر با نصف درجه قوسی که روی آن قرار دارد (شکل 3).

دو دایره با یک مرکز مشترک نامیده می شوند متحدالمرکز.

دو دایره ای که در زاویه قائمه متقاطع می شوند نامیده می شوند قائم.

محیط و مساحت دایره:

نام گذاری ها:
محیط - C
طول قطر - d
طول شعاع - r

معنیπ :
نسبت محیط دایره به طول قطر آن با حرف یونانی π (pi) نشان داده می شود.

22
π = -
7

فرمول محیط:

C = πd، یا C = 2πr

فرمول های مساحت دایره:

Cr
S = --
2

π D 2
S = ---
4

مساحت یک بخش دایره ای و یک بخش دایره ای.

بخش دایره ایبخشی از دایره است که در داخل زاویه مرکزی مربوطه قرار دارد.
فرمول مساحت بخش دایره ای:

πR 2
S = ---α
360

جایی که π - مقدار ثابت برابر با 3.1416؛ آر - شعاع دایره؛ α - اندازه گیری درجه زاویه مرکزی مربوطه.

بخش دایره ای- این قسمت مشترک یک دایره و یک نیم صفحه است.
فرمول مساحت یک بخش دایره ای:

πR 2
S = ---α ± اس Δ
360

جایی که α - اندازه گیری درجه زاویه مرکزی که حاوی قوس این بخش دایره ای است. اس Δ - مساحت یک مثلث با رئوس در مرکز دایره و در انتهای شعاع هایی که بخش مربوطه را محدود می کند.

وقتی α باید علامت منفی گرفته شود< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α >180 درجه

معادله دایره در مختصات دکارتیایکس, y با مرکز در نقطه (آ؛ ب):

(ایکس -آ) 2 + (y–b) 2 = آر 2

دایره ای که اطراف یک مثلث است (شکل 4).

دایره ای که در یک مثلث حک شده است (شکل 5).

زوایای محاط شده در یک دایره (شکل 3).

زاویه ای که راس آن بر روی دایره قرار دارد و اضلاع آن این دایره را قطع می کنند نامیده می شود در یک دایره حک شده است.

مفاهیم اساسی:

یک زاویه یک صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. هر یک از این قسمت ها نامیده می شود زاویه مسطح.

زوایای مسطح با اضلاع مشترک نامیده می شوند اضافی.

زاویه صفحه ای که راس آن در مرکز دایره قرار دارد نامیده می شود زاویه مرکزی(شکل 2)

تناسب بخش های آکوردها و بخش های یک دایره.

موارد و فرمول های خاص:

1) از نقطه C که در خارج از دایره قرار دارد، مماس بر دایره رسم کنید و نقطه تماس آنها را با حرف D مشخص کنید.

سپس از همان نقطه C یک برش رسم می کنیم و نقاط تلاقی برش و دایره را با حروف A و B مشخص می کنیم (شکل 8).

در این مورد:

سی دی 2 =AC ·قبل از میلاد مسیح.

2) قطر AB را به صورت دایره ای رسم کنید. سپس از نقطه C که روی دایره قرار دارد، عمود بر این قطر بکشید و قطعه حاصل را CD نشان دهید (شکل 9).

در این مورد:

سی دی 2 =آگهی. ·B.D.

دایرهشکلی است که از تمام نقاط صفحه در فاصله مساوی از یک نقطه مشخص تشکیل شده است. به این نقطه مرکز دایره می گویند.

دایره ای با شعاع صفر (دایره منحط) یک نقطه است که گاهی اوقات این مورد از تعریف خارج می شود.

یوتیوب دایره المعارفی

1 / 5

دایره و خواص آن (bezbotvy)

دایره حکاکی شده و محدود - از bezbotvy

ریاضیات: آمادگی برای OGE و آزمون دولتی یکپارچه. پلان سنجی. دایره ها و ویژگی های آنها

ریاضی 26. قطب نما. دایره و دایره - مدرسه شیشکینا

معادله دایره. وظیفه 18 (C5). آرتور شریفوف

زیرنویس

تعیین

اگر دایره ای مثلاً از نقاط A، B، C عبور کند، با نشان دادن این نقاط در پرانتز نشان داده می شود: (A، B، C). سپس قوس دایره ای که از نقاط A، B، C عبور می کند به عنوان قوس ABC (یا قوس AC) و همچنین υ ABC (یا υ AC) نشان داده می شود.

تعاریف دیگر

دایره قطر AB الف، ب ABقابل مشاهده در یک زاویه قائمه (تعریف از طریق زاویه بر اساس قطر دایره).

دایره با وتر ABشکلی است که از نقطه تشکیل شده است الف، بو تمام نقاط صفحه ای که از آن قطعه جدا می شود ABقابل مشاهده در یک زاویه ثابت در یک طرف، برابر با زاویه محاطی قوس AB، و در یک زاویه ثابت دیگر در طرف دیگر برابر با 180 درجه منهای زاویه محاطی قوس AB، نشان داده شده در بالا (تعریف از طریق یک زاویه محاطی).
شکلی متشکل از چنین نقاطی X , (\displaystyle X,)که نسبت طول قطعات تبرو BXدائما: A X B X = c ≠ 1, (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,)یک دایره است (تعریف از طریق دایره آپولونیوس).
شکلی متشکل از تمام نقاطی که برای هر یک از آنها مجموع مربع های فواصل تا دو نقطه داده شده برابر با مقدار معینی بزرگتر از نصف مربع فاصله بین نقاط داده شده است، نیز دایره ای است (تعریف از طریق قضیه فیثاغورث برای یک مثلث قائم الزاویه دلخواه که در دایره ای با هیپوتانوس حک شده است که قطر دایره است).
مهر آکوردی را داخل آن بکشید AB, سی دی, EFو غیره، پس برابری ها معتبر هستند: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots). برابری ها بدون توجه به انتخاب نقطه همیشه برآورده می شوند مو جهت آکوردهای کشیده شده از طریق آن (تعریف از طریق وترهای متقاطع).
دایره یک شکل بسته و غیر متقاطع با ویژگی زیر است. اگر از طریق یک نقطه دلخواه مدر خارج از آن، دو مماس به نقاط تماس آنها با دایره رسم کنید، برای مثال، آو ب، سپس طول آنها همیشه برابر خواهد بود: M A = M B (\displaystyle MA=MB). تساوی همیشه بدون توجه به انتخاب نقطه برقرار است م(تعریف از طریق مماس مساوی).
دایره یک شکل بسته و غیر متقاطع با ویژگی زیر است. نسبت طول هر یک از آکوردهای آن به سینوس هر یک از آن زاویه حکاکی شده، بر اساس این وتر، مقدار ثابتی برابر با قطر این دایره است (تعریف از طریق قضیه سینوس ها).
دایره حالت خاصی از بیضی است که در آن فاصله کانون ها صفر است (تعریف بر حسب بیضی منحط).

تعاریف مرتبط برای یک دایره

مکان هندسی نقاط در صفحه، که فاصله آن تا یک نقطه معین از یک فاصله غیر صفر معین بیشتر نباشد، نامیده می شود. اطراف .
شعاع- نه تنها فاصله، بلکه قسمتی که مرکز دایره را با یکی از نقاط آن متصل می کند. شعاع همیشه نصف است قطرحلقه ها
شعاع همیشه بر خط مماس کشیده شده بر دایره در نقطه مشترک آن با دایره عمود است. یعنی شعاع نیز نرمال دایره است.
دایره نامیده می شود تنها ، اگر شعاع آن برابر با یک باشد. دایره واحدیکی از اشیاء اصلی مثلثات است.
پاره ای که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند آن نامیده می شود وتر. آکوردی که از مرکز دایره عبور می کند نامیده می شود قطر.
هر دو نقطه غیر منطبق روی یک دایره آن را به دو قسمت تقسیم می کند. هر یک از این قسمت ها نامیده می شود قوس دایره. قوس نامیده می شود نیم دایره، اگر قطعه اتصال انتهای آن یک قطر باشد.
طول نیم دایره واحد را با نشان می دهند.

خط مستقیمی که دقیقاً یک نقطه مشترک با دایره داشته باشد نامیده می شود مماسبه یک دایره، و نقطه مشترک آنها را نقطه مماس خط و دایره می نامند.
مماسبه یک دایره همیشه عمود بر شعاع (و قطر) آن است که در نقطه تماس رسم شده است طبیعی، در این مرحله انجام شد.
خط مستقیمی که از دو نقطه مختلف روی یک دایره عبور می کند نامیده می شود جدا کردن.

تعریف مثلث برای یک دایره

مثلث ABC نامیده می شود در یک دایره حک شده است(A,B,C) اگر هر سه رأس A و B و C آن روی این دایره باشد. در این حالت دایره نامیده می شود دایره محدود شدهمثلث ABC (نگاه کنید به Circumcircle).
مماسبه دایره ای که از میان هر رأس مثلثی که در آن محاط شده است کشیده شده، ضد موازی با ضلع مثلث مقابل راس داده شده است.
مثلث ABC نامیده می شود محدود به یک دایره(A،B،C")، اگر هر سه ضلع آن AB، BC و CA به ترتیب در برخی از نقاط C، A و B این دایره را لمس کنند. در این حالت دایره نامیده می شود دایره حکاکی شدهمثلث ABC (نگاه کنید به دایره محاط).

تعاریف زاویه برای یک دایره

زاویه تشکیل شده توسط یک کمان دایره ای به طول برابر با شعاع برابر با 1 در نظر گرفته می شود رادیان.

مرکزیزاویه - زاویه ای که راس آن در مرکز دایره است. زاویه مرکزی برابر با اندازه رادیان/درجه کمانی است که روی آن قرار دارد (شکل را ببینید).
نوشته شده است زاویه - زاویه ای که راس آن روی یک دایره قرار دارد و اضلاع آن این دایره را قطع می کنند. زاویه حکاکی شدهبرابر با نصف درجه اندازه کمانی که روی آن قرار دارد (شکل را ببینید).
گوشه خارجیبرای نوشته شده است زاویه - زاویه تشکیل شده توسط یک طرف و ادامه طرف دیگر نوشته شده استزاویه (به شکل زاویه نگاه کنید θ رنگ قهوه ای). گوشه خارجیزیرا زاویه ای که در طرف دیگر دایره حک شده است مقدار یکسانی دارد θ .
زاویه بین یک دایره و یک خط مستقیم- زاویه بین خط و مماس بر دایره در نقطه تلاقی خط و دایره. هر دو زاویه بین یک دایره متقاطع و یک خط مستقیم برابر هستند.
زاویه ای که با قطر یک دایره فروکش می کند- یک زاویه حک شده در این دایره که اضلاع آن شامل انتهای قطر است. او همیشه مستقیم است.

تعاریف مرتبط برای دو دایره

دو دایره با یک مرکز مشترک نامیده می شوند متحدالمرکز.
دو دایره که فقط یک نقطه مشترک دارند نامیده می شوند مربوط بهاگر دایره های آنها نقطه مشترک دیگری نداشته باشند، از نظر خارجی، و اگر دایره های آنها یکی در داخل دیگری قرار داشته باشد.
دو دایره با دو نقطه مشترک نامیده می شوند متقاطع. دایره های آنها (محدود شده توسط آنها) در ناحیه ای به نام پاره دایره دوتایی تلاقی می کنند.
زاویهبین دو دایره متقاطع (یا مماس) زاویه بین مماس های آنها است که در نقطه مشترک تقاطع (یا مماس) ترسیم شده است.
همچنین زاویهبین دو دایره متقاطع (یا مماس)، می‌توانیم زاویه بین شعاع (قطر) آنها را در نقطه مشترک تقاطع (یا مماس) در نظر بگیریم.
از آنجایی که برای هر دایره شعاع (یا قطر) و مماس آن که در هر نقطه از دایره کشیده شده است متقابل عمود هستند، می توان شعاع (یا قطر) را در نظر گرفت. طبیعیبه دایره ای که در یک نقطه مشخص ساخته شده است. در نتیجه، دو نوع زاویه تعریف شده در دو پاراگراف قبلی، مانند زوایایی که اضلاع بر یکدیگر عمود بر هم دارند، همیشه با یکدیگر برابر خواهند بود.
زاویه راست نامیده می شود قائم. دایره ها قابل شمارش هستند قائم، اگر با یکدیگر زاویه قائمه تشکیل دهند.
محور رادیکال دو دایره- مکان هندسی نقاطی که درجات آنها نسبت به دو دایره معین برابر است. به عبارت دیگر، طول چهار مماس کشیده شده به دو دایره داده شده از هر نقطه مساوی است مبا توجه به موقعیت هندسی نقاط

تعاریف زاویه برای دو دایره

زاویه بین دو دایره متقاطع- زاویه بین مماس ها به دایره ها در نقطه تلاقی این دایره ها. هر دو زاویه بین دو دایره متقاطع برابر هستند.
زاویه بین دو دایره مجزا- زاویه بین دو مماس مشترک به دو دایره که در نقطه تلاقی این دو مماس ایجاد می شود. نقطه تلاقی این دو مماس باید بین دو دایره باشد، نه در کنار یکی از آنها (این زاویه در نظر گرفته نمی شود). هر دو زاویه عمودی بین دو دایره مجزا برابر هستند.

متعامد بودن

دو دایره ای که در زاویه قائمه متقاطع می شوند نامیده می شوند قائم. دایره ها قابل شمارش هستند قائم، اگر با یکدیگر زاویه قائمه تشکیل دهند.
دو دایره که در نقاط A و B با مراکز O و O قطع می شوند نامیده می شوند قائم، اگر زوایای OAO" و OBO" قائمه باشند. این شرط است که تضمین می کند زاویه راستبین دایره ها در این حالت شعاع (نرمال) دو دایره بر نقطه تلاقی آنها عمود است. در نتیجه مماس دو دایره که به نقطه تلاقی آنها کشیده شده اند نیز عمود هستند. مماس دایره عمود بر شعاع (عادی) کشیده شده به نقطه مماس است. به طور معمول، زاویه بین منحنی ها، زاویه بین مماس های آنها است که در نقطه تقاطع آنها ترسیم شده است.
یکی دیگر از شرایط اضافی ممکن است. بگذارید دو دایره ای که در نقاط A و B قطع می شوند دارای نقاط میانی کمان های متقاطع در نقاط C و D باشند، یعنی قوس AC برابر با قوس CB است، قوس AD برابر با قوس DB است. سپس این حلقه ها نامیده می شوند قائم، اگر زوایای CAD و CBD قائم باشند.

تعاریف مرتبط برای سه دایره

به سه دایره مماس متقاطع (متقاطع) گفته می شود که هر دو از آنها با یکدیگر تماس داشته باشند (تقاطع شوند).
در هندسه مرکز رادیکالسه دایره نقطه تقاطع سه محور رادیکال جفت دایره است. اگر مرکز رادیکال خارج از هر سه دایره باشد، مرکز یک دایره است ( دایره رادیکال) که سه دایره داده شده را قطع می کند قائم.

لم ارشمیدس

اثبات

اجازه دهید G (\displaystyle G)- همسانی که یک دایره کوچک را به یک دایره بزرگ تبدیل می کند. بعد معلوم می شود که A 1 (\displaystyle A_(1))مرکز این همسانی است. سپس مستقیم B C (\displaystyle BC)به نوعی خط مستقیم خواهد رفت a (\displaystyle a)مماس بر دایره بزرگ، و A 2 (\displaystyle A_(2))به نقطه ای از این خط و متعلق به یک دایره بزرگ می رود. با یادآوری اینکه همسانی خطوط را به خطوط موازی با آنها تبدیل می کند، این را درک می کنیم a ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). اجازه دهید G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3))و D (\displaystyle D)- روی یک خط اشاره کنید a (\displaystyle a)، طوری که تیز باشد و E (\displaystyle E)- چنین نقطه ای در یک خط a (\displaystyle a)، چی ∠ B A 3 E (\displaystyle \ زاویه BA_(3)E)- تند سپس، از آن زمان a (\displaystyle a)- مماس بر دایره بزرگ ∠ C A 3 D (\displaystyle \ زاویه CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \ زاویه CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\ زاویه BA_(3)E=\ زاویه BCA_(3)). از این رو △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- متساوی الساقین که به معنی ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \ زاویه BA_(1)A_(3)=\زاویه CA_(1)A_(3))، به این معنا که A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- نیمساز زاویه ∠ B A 1 C (\displaystyle \ زاویه BA_(1)C).

قضیه دکارت برای شعاع چهار دایره مماس زوجی

قضیه دکارت"بیان می کند که شعاع هر چهار دایره مماس متقابل معادله درجه دوم مشخصی را برآورده می کند. گاهی اوقات به آنها حلقه های سودی می گویند.

خواص

x 2 + y 2 = R 2 . (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).)

معادله دایره ای که از نقاط عبور می کند (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\راست)،\چپ(x_(3)،y_(3)\راست)،)روی یک خط مستقیم دراز نکشید (با استفاده از یک تعیین کننده):

| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0. (\displaystyle (\begin(vmatrix)x^(2)+y^(2)&x&y&1\\x_(1)^(2)+y_(1)^(2)&x_(1)&y_(1 )&1\\x_(2)^(2)+y_(2)^(2)&x_(2)&y_(2)&1\\x_(3)^(2)+y_(3)^(2)&x_ (3)&y_(3)&1\end(vmatrix))=0.) ( x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ , 0 ⩽ φ< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

در سیستم مختصات دکارتی، دایره نمودار یک تابع نیست، اما می توان آن را به عنوان اتحاد نمودارهای دو تابع زیر توصیف کرد:

y = y 0 ± R 2 - (x - x 0) 2. (\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

اگر مرکز دایره با مبدا منطبق باشد، توابع به شکل زیر در می آیند:

y = ± R 2 - x 2 . (\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).)

مختصات قطبی

شعاع دایره R (\displaystyle R)در یک نقطه متمرکز شده است (ρ 0 , ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0)،\phi _(0)\راست)).

دایره- یک شکل هندسی متشکل از تمام نقاط صفحه که در یک فاصله معین از یک نقطه معین قرار دارند.

این نقطه (O) نامیده می شود مرکز دایره.
شعاع دایره- این قطعه ای است که مرکز را با هر نقطه از دایره متصل می کند. همه شعاع ها (طبق تعریف) طول یکسانی دارند.
آکورد- قطعه ای که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند. آکوردی که از مرکز دایره عبور می کند نامیده می شود قطر. مرکز دایره نقطه وسط هر قطری است.
هر دو نقطه روی یک دایره آن را به دو قسمت تقسیم می کند. هر یک از این قسمت ها نامیده می شود قوس دایره. قوس نامیده می شود نیم دایره، اگر قطعه اتصال انتهای آن یک قطر باشد.
طول یک واحد نیم دایره با نشان داده می شود π .
مجموع اندازه های درجه دو کمان دایره با انتهای مشترک برابر است با 360 درجه.
قسمتی از صفحه که به دایره محدود می شود نامیده می شود اطراف.
بخش دایره ای- قسمتی از یک دایره محدود به یک قوس و دو شعاع که انتهای کمان را به مرکز دایره متصل می کند. قوسی که بخش را محدود می کند نامیده می شود قوس بخش.
دو دایره با یک مرکز مشترک نامیده می شوند متحدالمرکز.
دو دایره ای که در زاویه قائمه متقاطع می شوند نامیده می شوند قائم.

موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک دایره

اگر فاصله مرکز دایره تا خط مستقیم کمتر از شعاع دایره باشد ( د) خط راست و دایره دو نقطه مشترک دارند. در این حالت خط نامیده می شود جدا کردندر رابطه با دایره
اگر فاصله مرکز دایره تا خط مستقیم برابر با شعاع دایره باشد، خط مستقیم و دایره فقط یک نقطه مشترک دارند. این خط نامیده می شود مماس بر دایره، و نقطه مشترک آنها نامیده می شود نقطه مماس بین خط و دایره.
اگر فاصله مرکز دایره تا خط مستقیم از شعاع دایره بیشتر باشد، خط مستقیم و دایره هیچ نقطه مشترکی ندارند

زوایای مرکزی و محاطی

زاویه مرکزیزاویه ای است که راس آن در مرکز دایره قرار دارد.
زاویه حکاکی شده- زاویه ای که راس آن روی دایره قرار دارد و اضلاع آن دایره را قطع می کنند.

قضیه زاویه محاطی

یک زاویه محاط شده با نصف کمانی که روی آن قرار دارد اندازه گیری می شود.

نتیجه 1.
زوایای محاطی که زیر یک قوس قرار دارند با هم برابرند.

نتیجه 2.
یک زاویه محاطی که توسط یک نیم دایره فرو رفته است یک زاویه قائمه است.

قضیه حاصل ضرب قطعات وترهای متقاطع.

اگر دو وتر یک دایره همدیگر را قطع کنند، حاصل ضرب قطعات یک وتر برابر است با حاصلضرب قطعات وتر دیگر.

فرمول های پایه

محیط:

C = 2∙π∙R

طول قوس دایره ای:

R = С/(2∙π) = D/2

قطر:

D = C/π = 2∙R

طول قوس دایره ای:

l = (π∙R) / 180∙α,
جایی که α - درجه اندازه گیری طول یک قوس دایره ای)

مساحت دایره:

S = π∙R 2

منطقه بخش دایره ای:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

معادله یک دایره

در یک سیستم مختصات مستطیلی، معادله یک دایره با شعاع است rدر یک نقطه متمرکز شده است سی(x o;y o) به شکل زیر است:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

معادله دایره ای به شعاع r با مرکز در مبدا به شکل زیر است:

x 2 + y 2 = r 2

ابتدا بیایید تفاوت بین دایره و دایره را درک کنیم. برای مشاهده این تفاوت کافی است هر دو رقم را در نظر بگیرید. اینها تعداد نامتناهی از نقاط روی هواپیما هستند که در فاصله مساوی از یک نقطه مرکزی قرار دارند. اما اگر دایره از فضای داخلی نیز تشکیل شده باشد، به دایره تعلق ندارد. معلوم می شود که یک دایره هم دایره ای است که آن را محدود می کند (دایره(r)) و هم تعداد بی شماری از نقاط که در داخل دایره قرار دارند.

برای هر نقطه L که روی دایره قرار دارد، تساوی OL=R اعمال می شود. (طول قطعه OL برابر با شعاع دایره است).

پاره ای که دو نقطه روی یک دایره را به هم وصل می کند آن است وتر.

آکوردی که مستقیماً از مرکز دایره عبور می کند قطراین دایره (D). قطر را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: D=2R

محیطبا فرمول C=2\pi R محاسبه می شود

مساحت یک دایره: S=\pi R^(2)

قوس دایره ایبه قسمتی از آن که بین دو نقطه آن قرار دارد گفته می شود. این دو نقطه دو کمان دایره را مشخص می کنند. سی دی آکورد دارای دو قوس است: CMD و CLD. آکوردهای یکسان کمانهای مساوی را فرو می‌کنند.

زاویه مرکزیزاویه ای که بین دو شعاع قرار دارد نامیده می شود.

طول کمانرا می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

با استفاده از اندازه گیری درجه: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
با استفاده از اندازه گیری رادیان: CD = \alpha R

قطری که عمود بر وتر است، وتر و کمان های منقبض شده توسط آن را به نصف تقسیم می کند.

اگر وترهای AB و CD دایره در نقطه N همدیگر را قطع کنند، حاصل ضرب قطعات وترهایی که با نقطه N از هم جدا شده اند با یکدیگر برابر هستند.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

مماس بر دایره

مماس بر دایرهمرسوم است که خط مستقیمی را که دارای یک نقطه مشترک با دایره است نامیده می شود.

اگر خطی دو نقطه مشترک داشته باشد، آن را می نامند جدا کردن.

اگر شعاع را به نقطه مماس بکشید، بر مماس دایره عمود خواهد بود.

بیایید دو مماس از این نقطه به دایره خود رسم کنیم. معلوم می شود که بخش های مماس با یکدیگر برابر خواهند بود و مرکز دایره روی نیمساز زاویه با راس در این نقطه قرار می گیرد.

AC = CB

حالا بیایید از نقطه خود یک مماس و یک مقطع بر دایره رسم کنیم. به دست می آوریم که مجذور طول قطعه مماس برابر با حاصلضرب کل قطعه مقطع و قسمت بیرونی آن خواهد بود.

AC^(2) = CD \cdot BC

می‌توان نتیجه گرفت: حاصلضرب یک قطعه کامل از سکانس اول و قسمت خارجی آن برابر است با حاصلضرب یک قطعه کامل از سکانس دوم و قسمت خارجی آن.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

زوایا در یک دایره

اندازه های درجه زاویه مرکزی و کمانی که بر روی آن قرار دارد برابر است.

\ زاویه COD = \ لیوان سی دی = \ آلفا ^(\circ)

زاویه حکاکی شدهزاویه ای است که راس آن روی دایره و اضلاع آن دارای وتر است.

می توانید با دانستن اندازه قوس آن را محاسبه کنید، زیرا برابر با نصف این قوس است.

\ زاویه AOB = 2 \ زاویه ADB

بر اساس قطر، زاویه محاطی، زاویه راست.

\ زاویه CBD = \ زاویه CED = \ زاویه CAD = 90^ (\circ)

زوایای محاطی که قوس یکسانی را فرو می‌کنند یکسان هستند.

زوایای محاطی که روی یک وتر قرار گرفته اند یکسان هستند یا مجموع آنها برابر با 180^ (\circ) است.

\ زاویه ADB + \ زاویه AKB = 180^ (\circ)

\ زاویه ADB = \ زاویه AEB = \ زاویه AFB

در همان دایره، رئوس مثلث هایی با زاویه های یکسان و قاعده معین قرار دارند.

زاویه ای با راس در داخل دایره و قرار گرفته بین دو وتر با نصف مجموع مقادیر زاویه ای کمان های دایره که در زوایای داده شده و عمودی قرار دارند یکسان است.

\ زاویه DMC = \ زاویه ADM + \ زاویه DAM = \frac(1) (2) \ چپ (\cup DmC + \cup AlB \راست)

زاویه ای با راس خارج از دایره و واقع بین دو مقطع، با نصف اختلاف مقادیر زاویه ای کمان های دایره که در داخل زاویه قرار دارند، یکسان است.

\ زاویه M = \ زاویه CBD - \ زاویه ACB = \frac(1)(2) \ چپ (\cup DmC - \cup AlB \راست)

دایره حکاکی شده

دایره حکاکی شدهدایره ای مماس بر اضلاع یک چند ضلعی است.

در نقطه ای که نیمسازهای گوشه های یک چندضلعی را قطع می کنند، مرکز آن قرار دارد.

یک دایره ممکن است در هر چند ضلعی نوشته نشود.

مساحت یک چند ضلعی با دایره محاط شده با فرمول بدست می آید:

S = pr،

p نیم محیط چند ضلعی است،

r شعاع دایره محاطی است.

بنابراین شعاع دایره محاطی برابر است با:

r = \frac(S)(p)

اگر دایره در یک چهارضلعی محدب محاط شود، مجموع طول اضلاع مقابل هم یکسان خواهد بود. و بالعکس: یک دایره در یک چهار ضلعی محدب قرار می گیرد اگر مجموع طول اضلاع مقابل یکسان باشد.

AB + DC = پس از میلاد + قبل از میلاد

می توان دایره ای را در هر یک از مثلث ها حک کرد. فقط یک تک. در نقطه ای که نیمسازهای زوایای داخلی شکل را قطع می کنند، مرکز این دایره محاطی قرار می گیرد.

شعاع دایره محاطی شده با فرمول محاسبه می شود:

r = \frac(S)(p) ،

جایی که p = \frac(a + b + c)(2)

حول دایره

اگر دایره ای از هر رأس یک چند ضلعی عبور کند، معمولاً به چنین دایره ای گفته می شود در مورد یک چند ضلعی توضیح داده شده است.

در نقطه تقاطع نیمسازهای عمود بر اضلاع این شکل مرکز دایره خواهد بود.

شعاع را می توان با محاسبه آن به عنوان شعاع دایره ای که در اطراف مثلثی که توسط هر 3 رأس چند ضلعی تعریف شده است، پیدا کرد.

شرط زیر وجود دارد: یک دایره را می توان در اطراف یک چهار ضلعی توصیف کرد که مجموع زوایای مقابل آن برابر با 180^(\circ) باشد.

\ زاویه A + \ زاویه C = \ زاویه B + \ زاویه D = 180^ (\circ)

در اطراف هر مثلثی می توانید یک دایره و فقط یک دایره را توصیف کنید. مرکز چنین دایره ای در نقطه ای قرار دارد که نیمسازهای عمود بر اضلاع مثلث را قطع می کنند.