چگونه می توانید مجموعه اعداد واقعی را توصیف کنید؟ مجموعه اعداد واقعی

مجموعه اعداد حقیقی مجموعه ای از متمم اعداد گویا توسط اعداد غیر منطقی است. این مجموعه با حرف R نشان داده می شود و معمولاً از علامت (-∞، +∞) یا (-∞،∞) به عنوان نماد استفاده می شود.

مجموعه اعداد حقیقی را می توان به صورت زیر توصیف کرد: این مجموعه ای از کسرهای اعشاری متناهی و نامتناهی، کسرهای اعشاری متناهی و کسرهای تناوبی اعشاری نامتناهی اعداد گویا و کسرهای اعشاری و غیر تناوبی نامتناهی اعداد غیر منطقی هستند.
هر عدد واقعی را می توان در یک خط مختصات نشان داد. عبارت معکوس نیز مناسب است: هر نقطه در خط مختصات دارای مختصات واقعی است. در زبان ریاضی به این صورت است: یک رابطه یک به یک را می توان بین مجموعه نقاط روی خط مختصات و مجموعه R از اعداد واقعی برقرار کرد. برای خود خط مختصات، اصطلاح "خط عدد" اغلب استفاده می شود، زیرا خط مختصات یک مدل هندسی از مجموعه اعداد واقعی است.
معلوم می شود که آشنایی شما با خط مختصات مدت ها پیش بوده است، اما اکنون استفاده از آن را شروع خواهید کرد. چرا؟ پاسخ را می توانید در مثال از آموزش تصویری بیابید.

مشخص است که برای اعداد حقیقی a و b قوانین جمع و ضرب که قبلاً برای شما شناخته شده است رعایت می شود: قانون ارتباطی جمع، قانون جابجایی ضرب، قانون انجمنی جمع، قانون توزیعی ضرب نسبی. به علاوه، و دیگران. اجازه دهید برخی از آنها را به تصویر بکشیم:
a + b = b + a;
ab = ba;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a(bc) = (ab)c;
(a + b)c = ac + bc
قوانین زیر نیز اعمال می شود:
1. در نتیجه حاصل ضرب (ضریب) دو عدد منفی یک عدد مثبت به دست می آید.
2. در نتیجه حاصل ضرب یک عدد منفی و مثبت یک عدد منفی به دست می آید.
شما می توانید اعداد واقعی را با یکدیگر بر اساس تعریف مقایسه کنید:
یک عدد واقعی a بزرگتر یا کوچکتر از یک عدد واقعی b است، در صورتی که تفاوت a - b یک عدد مثبت یا منفی باشد.
اینطور نوشته می شود: a > b, a< b.
به این معنی که a یک عدد مثبت و b یک عدد منفی است.
یعنی در صورتی که a > 0 => a مثبت باشد.
آ< 0 =>منفی؛
a > b، سپس a - b مثبت است => a - b > 0;
آ< b, то a - b отрицательное =>الف-ب< 0.
علاوه بر علائم (<; >) از نابرابری های شدید، علائم نابرابری های غیر دقیق نیز استفاده می شود - (≤;≥).
به عنوان مثال، برای هر عدد b، نابرابری b2 ≥ 0 برقرار است.
نمونه هایی از مقایسه اعداد و مرتب سازی آنها به ترتیب صعودی را می توانید در فیلم آموزشی مشاهده کنید.
به لطف مدل هندسی مجموعه اعداد واقعی - خط اعداد، عملیات مقایسه به ویژه واضح به نظر می رسد.

ویژگی اصلی کسری جبری

آشنایی خود را با کسرهای جبری ادامه می دهیم. اگر در درس قبلی در مورد مفاهیم اساسی صحبت شده است، در این درس با ویژگی اصلی یک کسری جبری آشنا خواهید شد. تعریف خاصیت پایه کسری از درس ریاضی ششم ابتدایی (کسری تقلیل) معلوم است. از چه چیزی تشکیل شده است؟ اغلب، هنگام حل مسائل یا معادلات، تبدیل یک کسری "مناسب" برای محاسبات به دیگری، "مناسب" ضروری می شود. برای انجام چنین دگرگونی هایی است که باید خاصیت اصلی آن و قوانین تغییر علائم را بدانید که با مشاهده فیلم آموزشی با آن آشنا خواهید شد.

مقدار کسر مشترک زمانی که صورت و مخرج در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند (به جز صفر) ثابت می ماند. این خاصیت اصلی کسری است.
بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
7/9 = 14/18
ما دو کسر داریم که به طور یکسان با یکدیگر برابر هستند. صورت و مخرج در این حالت در 2 ضرب شد، اما مقدار کسری تغییر نکرد.
از درس ویدیویی یاد می گیرید که وقتی صورت و مخرج بر یک عدد تقسیم شوند چه اتفاقی برای کسری می افتد.
یک کسر جبری، در اصل، همان کسری معمولی است که می توانید همان عملیات را روی آن انجام دهید.
یک عبارت در صورت و یک عبارت در مخرج کسری را می توان با یک عبارت الفبایی (چند جمله ای یا تک جمله ای) ضرب یا تقسیم کرد، به همان عدد (به جز صفر: اگر عبارت یا عدد در کسرهای مخرج در صفر ضرب شود. ، مقدار صفر می گیرد و همانطور که می دانید نمی توانید آن را بر صفر تقسیم کنید. این تبدیل یک کسر جبری را کاهش آن می نامند. این ویژگی اصلی یک کسر جبری است. نحوه اجرای عملی آن را می توانید از فیلم آموزشی یاد بگیرید.
تبدیل کسرها به کسری با مخرج مشابه را تبدیل کسر به مخرج مشترک می گویند. برای انجام این عمل، باید دنباله خاصی از اقدامات را انجام دهید که شامل موارد زیر است:

با فاکتورگیری تمام مخرج ها، LCM را برای ضرایب عددی تعیین می کنیم.
. ما محصول را با در نظر گرفتن LCM ضرایب و تمام فاکتورهای حروف یادداشت می کنیم. اگر ضریب ها یکسان هستند، ضریب را یک بار بگیرید. از تمام توان هایی که پایه های یکسانی دارند، ضریب را با حداکثر توان می گیریم.
. مقادیری را پیدا می کنیم که فاکتورهای اضافی برای شمارشگر هر کسری هستند.
. برای هر کسری، یک عدد شمار جدید به عنوان حاصل ضرب عدد قدیم و یک عامل اضافی تعریف می کنیم.
. کسرها را با یک عدد جدید که مشخص کرده ایم و یک مخرج مشترک می نویسیم.

مثال 1: کسرهای a/4b2 b a2/6b3 را به مخرج مشترک کاهش دهید.
راه حل:
ابتدا مخرج مشترک را مشخص می کنیم. (برابر 12b2 است).
سپس با پیروی از الگوریتم، برای هر یک از کسرها یک عامل اضافی تعیین می کنیم. (برای اول - 3b، برای دوم - 2).
پس از انجام ضرب به نتیجه می رسیم.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 و (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2.
مثال 2: کسرهای c/(c - d) و c/(c + d) را به مخرج مشترک کاهش دهید.
راه حل:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c*(c + d)/(c - d)(c + d) = (c2 + cd)/(c2 - d2)
c*(c - d)/(c + d)(c - d) = (c2 - cd)/(c2 - d2)

راه حل دقیق تری برای مثال های مشابه در آموزش ویدیویی پیدا خواهید کرد.
ویژگی اصلی یک کسر جبری نتیجه ای در قالب یک قانون برای تغییر علائم دارد:
a - b/c - d = b - a/d - c
در این حالت، صورت و مخرج کسر در -1 ضرب شد. اقدامات مشابه را می توان نه با کل کسری، بلکه فقط با صورت یا فقط با مخرج انجام داد. اگر مثلاً فقط صورت یا فقط مخرج در -1 ضرب شود، نتیجه چگونه تغییر می کند، با تماشای درس ویدیویی متوجه خواهید شد.
اکنون با مطالعه ویژگی اصلی یک کسر جبری و قاعده ای که از آن به دست می آید، می توانیم مسائل پیچیده تری را حل کنیم، یعنی تفریق و جمع کسرها. اما این موضوع درس بعدی است.

در خط سوم برای هر معادله مکعبی به ترتیب سه عدد وجود دارد. چهارتا سفارش داد و غیره

که ماتریسی به دست می آوریم که می توان آن را با استفاده از فرآیند مورب کانتور طی کرد. اگر برخی از ریشه های یک معادله جبری پیچیده باشند، به سادگی از آنها در هنگام شماره گذاری صرف نظر می کنیم. که هر عدد جبری یک عدد متناظر را دریافت می کند، و این واقعیت را تایید می کند که مجموعه اعداد واقعی جبری قابل شمارش .

حقیقت شمارش پذیری کارآمد مجموعه A مستقیماً از روش داده شده برای شماره گذاری عناصر با اعداد طبیعی پیروی می کند، زیرا در عین حال یک روش موثر برای شماره گذاری مجموعه های اعداد گویا که معادلات جبری درجه مربوطه را منحصراً تعریف می کنند نشان داده شده است. مهم است که معادله جبری درجه n دارای یک الگوریتم راه حل موثر باشد، یعنی. این روش کاملا موثر است. بنابراین، مجموعه اعداد واقعی جبری قابل شمارش و به طور موثر قابل شمارش است، Q.E.D.

مجموعه هایی که از تمام جفت ها، سه گانه ها و غیره اعداد جبری تشکیل شده اند نیز قابل شمارش خواهند بود.

2.3.7. مجموعه اعداد قابل شمارش: تعمیم

قضیه T.2 (بدون اثبات)

مجموعه عناصری که می توان با استفاده از تعداد محدودی از نمادهای قابل شمارش نمایش داد، قابل شمارش است.

در زندگی واقعی، ما از سیستم های مختلف علائم محدود، به عنوان مثال اعداد، حروف، یادداشت ها استفاده می کنیم.

بیایید سیستمی از علائم را در نظر بگیریم، به عنوان مثال، اعداد در هر سیستم اعداد محدود، مثلاً اعشاری. با داشتن 10 کاراکتر در اختیار ما: 0،1،2،3،4،5،6،7،8،9، می توانیم دو نوع مجموعه ایجاد کنیم: طول ثابت و طول دلخواه.

در مورد اول، ما در مورد یک مسئله کاملاً ترکیبی صحبت می کنیم، به عنوان مثال، می توانید 105 دنباله مختلف از پنج کاراکتر ایجاد کنید. این یک عدد نسبتاً بزرگ است، اما یک عدد طبیعی است و کاردینالیته مجموعه در نظر گرفته شده از همه دنباله های ممکن از این نوع با یک عدد طبیعی بیان می شود. در حالت دوم، مجموعه چنین دنباله‌هایی با قیاس با مجموعه‌های مختلط اعداد طبیعی، به‌طور قابل شمارش بی‌نهایت خواهد بود و اصل آن عدد الف-صفر است.

می‌توان تعمیم داد که مجموعه‌ای که در نتیجه اعمال قضیه 2.3.(7) به دست می‌آید، قابل شمارش خواهد بود اگر در مورد یک سیستم متناهی از علائم، مجتمع‌های طولانی دلخواه از علائم مجاز باشند (تا زمانی که مورد نظر باشد، اما همچنان محدود، فانی!).

نامتناهی های قابل شمارش عبارتند از:

· مجموعه ای از "کلمات" که می توانند با استفاده از یک الفبای متناهی ساخته شوند ("یک کلمه" در اینجا مجموعه ای از حروف است، مهم نیست که آنها معنی داشته باشند یا نه)

· مجموعه ای از تمام کتاب های نوشته شده به یک یا حتی همه زبان ها،

· مجموعه تمام سمفونی ها و غیره

§ 2.4. مجموعه های غیرقابل شمارش

2.4.1. غیرقابل شمارش مجموعه اعداد حقیقی (پیوسته)

مجموعه اعداد حقیقی را با حرف لاتین R نشان می دهیم.

قضیه T.2

مجموعه اعداد واقعی غیرقابل شمارش است.

اثبات

اجازه دهید برعکس را فرض کنیم، اجازه دهید مجموعه اعداد واقعی قابل شمارش باشد. سپس هر زیر مجموعه ای از یک مجموعه قابل شمارش نیز قابل شمارش است. در مجموعه اعداد واقعی، بیایید یک زیرمجموعه R1 - فاصله (0،1) را در نظر بگیریم و اعدادی را که حداقل در یکی از ارقام خود حاوی صفر یا نه هستند (نمونه هایی از چنین اعداد: 0.9، 0.0001 و غیره) از این بخش حذف کنیم. ). مجموعه R2 که از اعداد باقی مانده تشکیل شده است، زیرمجموعه ای از مجموعه R1 است. این بدان معنی است که R2 قابل شمارش است.

از این واقعیت که R2 قابل شمارش است، مستقیماً نتیجه می شود که روشی برای برشمردن عناصر آن برای ایجاد یک مطابقت یک به یک بین عناصر R2 و عناصر مجموعه اعداد طبیعی امکان پذیر است. این از خود تعریف اصلی بودن یک مجموعه به دست می آید که بر اساس آن فرض می شود در مجموعه هایی با کاردینالیته مساوی، هر عنصر از یک مجموعه دارای یک عنصر زوجی از مجموعه دیگر است و بالعکس. لطفاً توجه داشته باشید که تفاوت اساسی بین این تعریف و تعریف شمارش‌پذیری مؤثر در این است که در این مورد ما حتی در مورد وجود هیچ الگوریتم شمارشی صحبت نمی‌کنیم، بلکه صرفاً بیان می‌کنیم که می‌توان فهرستی از اعداد واقعی را ارائه داد. مجموعه R2 و لیستی از اعداد طبیعی مربوطه از مجموعه N. در این مورد، ما به الگوریتم ساخت اتصال N ↔ R2 علاقه ای نداریم.

بیایید لیست اعداد زیر را از مجموعه R2 بسازیم و اعداد را به صورت رقمی شماره گذاری کنیم:

حالا بیایید عدد b=0.b1b2… و را بسازیم

bi=aii+1، که در آن + عمل جمع را نشان می دهد که نتیجه آن نمی تواند اعداد 0 و 9 باشد، یعنی اگر aii=1 باشد، پس bi=2; اگر aii=2، bi=3، ....، اگر aii=8، آنگاه bi=1).

بنابراین، عدد ساخته شده b حداقل در یک رقم با هر یک از اعداد مجموعه R2 متفاوت خواهد بود، و بنابراین، در لیست کامپایل شده قرار نخواهد گرفت. با این حال، با ساختار آن، عدد b باید در مجموعه R2 موجود باشد. ما یک تناقض دریافت می کنیم، به این معنی که فرض اصلی نادرست است و مجموعه R2 غیرقابل شمارش است.

از آنجایی که مجموعه R2 طبق شرط زیرمجموعه ای از مجموعه R1 است، پس R1 غیرقابل شمارش است، و از آنجایی که R1 غیرقابل شمارش است، پس مجموعه R غیرقابل شمارش است. Q.E.D.

توجه داشته باشید: لازم نیست اعداد حاوی 0 و 9 را دور بریزید. بنابراین، برخی از اعداد دو بار در سری ما ظاهر می شوند. این به این دلیل است که کسرهای محدود را می توان به کسرهای نامحدود تبدیل کرد. برای مثال ½=0.5=0.5(0)=0.4(9).

به طور کلی، این می تواند دلیل عدم امکان شمارش مجموعه اعداد واقعی باشد. اما مجموعه اعدادی که می توان آنها را به دو صورت نمایش داد (کسری محدود) مجموعه اعداد گویا است. همانطور که قبلا ثابت شد، تعداد قابل شمارشی از آنها وجود دارد. حتی می توان نشان داد که این مجموعه به طور موثر قابل شمارش است. که حتی یک نمایش دوگانه از مجموعه چنین اعدادی یک مجموعه قابل شمارش را تشکیل می دهد، بنابراین اثبات حتی بدون چنین ساده سازی صحیح است.

یک نتیجه اساساً جدید به دست آمد - مجموعه ای غیرقابل شمارش از اعداد پیدا شد. توان آن، طبق قضیه اثبات شده، برابر با الف-صفر (À0) نیست، به این معنی که یک عدد جدید در مقیاس بینهایت مورد نیاز است.

الف ( À) - عدد متعدی دوم طبق تعریف، این توان پیوستار (همه اعداد حقیقی) است. این دومین قدرت بی نهایت است. قضیه 2.4.(1) که به تازگی ثابت شده است در مورد غیرقابل شمارش مجموعه اعداد حقیقی، دلیل قانع کننده ای است که نشان می دهد اصل این مجموعه بزرگتر از آلف-صفر (بزرگتر از مجموعه اعداد طبیعی) است. و این یک نتیجه بسیار مهم پس از یک سری اثبات شمارش پذیری مجموعه های مختلف اعداد است.

اگر با مفهوم عدد اصلی (قدرت) عمل کنیم، به این نتیجه می رسیم که، از آنجایی که هر عدد از بخش (0،1) را می توان با کسری اعشاری از شکل 0.a1a2a3 ... حداقل یک بار و در بیشتر دو بار، سپس:

À≤10 À0≤ 2À،

و از آنجایی که 2À=À، 10 À0=À را دریافت می کنیم. اگر اعداد را نه به اعشار، بلکه به عنوان مثال، به کسرهای دودویی، کسری با پایه 3، 15، 10005 یا حتی À0 تجزیه کنیم، همین استدلال معتبر است (اگر می توانید آن را تصور کنید).

که À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

اگر در مورد آن فکر کنید، می توانید یک واقعیت نه کاملا واضح دیگر را از نظریه مجموعه ها کشف کنید. À2=À À توان مجموعه جفت اعداد حقیقی است. یک جفت اعداد واقعی، به طور کلی، با یک نقطه از صفحه مطابقت دارد. به نوبه خود، À3=À À À توان مجموعه سه تایی اعداد حقیقی است و اینها نقاطی در فضا هستند. استدلال را می توان تا À0 ادامه داد - یک فضای بعدی یا مجموعه ای از تمام دنباله های اعداد واقعی با طول قابل شمارش. که همه فضاهای محدود بعدی یا بعد شمارش پذیر دارای کاردینالیته À یکسان هستند (در اینجا À تعداد نقاط در فضا است).

برای یک فضای واقعی 0 بعدی یا مجموعه ای از تمام دنباله های اعداد حقیقی با طول قابل شمارش، از نقطه نظر عملیات روی اعداد اصلی، ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À را به دست می آوریم.

در این مرحله، توجه به رویدادهای تاریخی مرتبط با یک سری شواهد در این زمینه جالب خواهد بود. ریاضیدانان، اگرچه نه بلافاصله، اما در نهایت با این واقعیت کنار آمدند که به همان تعداد نقاط روی یک خط مستقیم بی‌نهایت به اندازه یک قطعه وجود دارد. اما نتیجه بعدی کانتور غیرمنتظره تر بود. در جستجوی مجموعه‌ای که عناصر بیشتری نسبت به یک قطعه در محور واقعی داشته باشد، توجه خود را به مجموعه نقاط یک مربع معطوف کرد. در ابتدا، هیچ شکی در نتیجه وجود نداشت: به هر حال، کل بخش در یک طرف مربع قرار دارد و مجموعه تمام بخش هایی که می توان مربع را در آنها تجزیه کرد، همان کاردینالیتی را با مجموعه نقاط مربع دارد. بخش. برای تقریباً سه سال (از 1871 تا 1874)، کانتور به دنبال اثباتی بود که مطابقت یک به یک بین نقاط یک بخش و نقاط یک مربع غیرممکن است. و در نقطه ای کاملاً غیرمنتظره نتیجه دقیقاً معکوس شد: او موفق شد مکاتباتی را ایجاد کند که صادقانه آن را غیرممکن می دانست. کانتور خودش را باور نکرد و حتی به ریچارد ددکیند، ریاضیدان آلمانی نوشت: "من آن را می بینم، اما باور نمی کنم." هنگامی که شوک این واقعیت از بین رفت، به طور شهودی مشخص شد و به زودی ثابت شد که یک مکعب به همان تعداد نقاط یک قطعه دارد. به طور کلی، هر شکل هندسی روی یک صفحه (یک جسم هندسی در فضا) که حداقل یک خط را شامل می شود، به اندازه یک پاره نقطه دارد. چنین مجموعه هایی را مجموعه های قدرت پیوسته (از لاتین Continuum - پیوسته) می نامیدند. گام بعدی تقریباً واضح است: بعد فضا در محدوده های معین بی اهمیت است. به عنوان مثال، یک صفحه 2 بعدی، فضای آشنا 3 بعدی، 4، 5 و فضاهای n بعدی دیگر از نظر تعداد نقاط موجود در بدنه n بعدی مربوطه دارای قدرت مساوی هستند. این وضعیت حتی در مورد فضایی با ابعاد نامتناهی نیز رعایت خواهد شد، فقط مهم است که این عدد قابل شمارش باشد.

در این مرحله دو نوع بینهایت و بر این اساس دو عدد بینهایت که قدرت آنها را نشان می دهند کشف شده است. مجموعه های نوع اول توانی معادل توان اعداد طبیعی (الف-صفر) دارند. مجموعه های نوع دوم کاردینالیتی معادل تعداد نقاط روی محور واقعی دارند (کاردینالیته پیوستار، الف). نشان داده شده است که مجموعه های نوع دوم دارای عناصر بیشتری نسبت به مجموعه های نوع اول هستند. طبیعتاً این سؤال مطرح می‌شود: آیا مجموعه‌ای «واسطه» در طبیعت وجود دارد که کاردینالیته آن بیشتر از تعداد اعداد طبیعی باشد، اما در عین حال کمتر از مجموعه نقاط یک خط باشد؟ این سوال دشوار نامیده می شود "مشکل پیوسته" . او همچنین به عنوان شناخته شده است "فرضیه پیوسته" یا " اولین مشکل هیلبرت". عبارت دقیق به شرح زیر است:

https://pandia.ru/text/78/390/images/image023_14.gif" height="10 src="> ایکسDIV_ADBLOCK186">

در نتیجه، پس از تحقیقات فراوان بر روی فرضیه پیوستار، در سال 1938 ریاضیدان آلمانی کورت گودل ثابت کرد که وجود توان میانی با دیگر بدیهیات نظریه مجموعه ها در تضاد نیست. و بعداً، در تقریباً همزمان، اما مستقل از یکدیگر، کوهن، ریاضی‌دان آمریکایی و ووپنکا، ریاضی‌دان چک نشان دادند که وجود چنین توان واسطه‌ای را نمی‌توان از دیگر بدیهیات نظریه مجموعه‌ها استنتاج کرد. به هر حال، جالب است بدانید که این نتیجه بسیار شبیه به داستان با فرض خطوط موازی است. همانطور که مشخص است، به مدت دو هزار سال آنها سعی کردند آن را از دیگر بدیهیات هندسه استنتاج کنند، اما تنها پس از کار لوباچفسکی، هیلبرت و دیگران توانستند همان نتیجه را به دست آورند: این فرض با بدیهیات دیگر در تضاد نیست، اما نمی تواند. از آنها استنباط شود.

2.4.2. مجموعه ای از اعداد پیچیده، ماورایی و غیر منطقی

علاوه بر مجموعه اعداد حقیقی، چندین مجموعه غیرقابل شمارش دیگر را ارائه می دهیم.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> T.2.4.(2) قضیه

مجموعه اعداد مختلط غیرقابل شمارش است.

اثبات

از آنجایی که مجموعه اعداد حقیقی R، غیرقابل شمارش با قضیه 2.4.(1) قبلاً اثبات شده، زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد مختلط C است، پس مجموعه اعداد مختلط نیز غیرقابل شمارش است. Q.E.D.

عدد ماورایی - یک عدد واقعی که جبری نیست.

مجموعه اعداد ماورایی را با حرف لاتین T نشان می دهیم. به عنوان مثال، یک عدد غیر منطقی است، اما ماورایی نیست: ریشه معادله است ایکس 2 − 2=0.

قضیه T.2

مجموعه اعداد ماورایی غیرقابل شمارش است.

اثبات

از آنجایی که اعداد حقیقی یک مجموعه غیرقابل شمارش هستند و اعداد جبری قابل شمارش هستند و مجموعه A زیرمجموعه R است، پس R\A (مجموعه اعداد متعالی) یک مجموعه غیرقابل شمارش است. Q.E.D.

این اثبات ساده وجود اعداد متعالی توسط کانتور در سال 1873 منتشر شد و تأثیر زیادی بر جامعه علمی گذاشت، زیرا وجود اعداد بسیاری را بدون ساختن یک مثال خاص، بلکه تنها بر اساس ملاحظات کلی اثبات کرد. هیچ مثال خاصی از یک عدد ماورایی را نمی توان از این برهان استخراج کرد غیر سازنده .

توجه به این نکته ضروری است که ریاضیدانان برای مدت طولانی فقط با اعداد جبری سر و کار داشتند. تلاش زیادی برای یافتن حتی چند عدد ماورایی لازم بود. این اولین بار توسط لیوویل ریاضیدان فرانسوی در سال 1844 بدست آمد که مجموعه ای از قضایا را اثبات کرد که ساختن نمونه های خاصی از چنین اعدادی را ممکن می ساخت. به عنوان مثال، یک عدد ماورایی عدد 0،... است که در آن بعد از واحد اول یک صفر، بعد از دوم - دو، بعد از سوم - 6، بعد از n ام، به ترتیب n وجود دارد! صفرها

ثابت شده است که لگاریتم اعشاری هر عدد صحیح به جز 10 ماورایی است. n. همچنین مجموعه اعداد ماورایی شامل گناه است α, cos α و tg α برای هر عدد جبری غیر صفر α . برجسته ترین نمایندگان اعداد ماورایی معمولاً اعداد در نظر گرفته می شوند π و ه.ضمناً اثبات تعالی عدد π که توسط ریاضیدان آلمانی کارل لیندرمن در سال 1882 انجام شد، یک رویداد علمی بزرگ بود، زیرا بر عدم امکان تربیع یک دایره دلالت داشت. تاریخچه یافتن مربع یک دایره چهار هزار سال به طول انجامید و خود این اصطلاح مترادف با مسائل غیر قابل حل شد.

واحد اندازه گیری" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">واحد اندازه گیری شعاع دایره و تعیین ایکسطول ضلع مربع مورد نیاز، سپس مسئله به حل معادله کاهش می یابد: ایکس 2 = π، از کجا: . همانطور که می دانید با کمک قطب نما و خط کش می توانید هر 4 عمل حسابی را انجام دهید و جذر را استخراج کنید. این بدان معنی است که مربع کردن دایره در صورتی امکان پذیر است که با استفاده از تعداد محدودی از این اقدامات، بتوان قطعه ای به طول π ساخت. بنابراین، حل نشدنی این مسئله از غیر جبری بودن (فراتر از) عدد ناشی می شود. π. در واقع، مشکل مربع کردن یک دایره به مسئله ساختن مثلث با پایه πr و ارتفاع r کاهش می یابد. سپس می توان به راحتی یک مربع مساوی برای آن ساخت.

در فهرستی که قبلاً از 23 مسئله اصلی ریاضیات ذکر شد، شماره 7 مسئله ماورایی اعدادی بود که به روش خاصی تشکیل شده بودند.

مشکل هفتم هیلبرت فرض کنید a یک عدد جبری مثبت با 1 نباشد، b یک عدد جبری غیر منطقی باشد. ثابت کنید که ab یک عدد ماورایی است.

در سال 1934، گلفوند، ریاضیدان شوروی و کمی بعد، اشنایدر، ریاضیدان آلمانی صحت این گفته را ثابت کردند و بدین ترتیب این مشکل حل شد.

دو واقعیت جالب دیگر با اصل تقسیم اعداد به منطقی و غیر منطقی مرتبط است که بلافاصله درست درک نمی شوند.

T.2.4.(5) قضیه

بین هر دو عدد گویا متفاوت همیشه مجموعه ای از اعداد غیر منطقی از توان پیوسته وجود دارد.

اثبات

بگذارید دو عدد گویا وجود داشته باشد، آو ب. اجازه دهید یک تابع خطی و در نتیجه یک به یک بسازیم f(ایکس) = (ایکس - آ) / (ب - آ). زیرا f(آ) = 0 و f(ب) = 1، سپس f(ایکس) بخش [ آ; ب] در بخش، با حفظ عقلانیت اعداد. بنابراین، قدرت های مجموعه [ آ; ب] و اعداد حقیقی مساوی هستند و همانطور که ثابت شد توان پاره برابر توان پیوستار است. با انتخاب فقط اعداد غیر منطقی از مجموعه حاصل، به این نتیجه می رسیم که بین هر دو عدد گویا، پیوسته ای از اعداد غیر منطقی وجود دارد. Q.E.D.

به طور کلی، این قضیه به طور شهودی کاملاً منطقی به نظر می رسد. موارد زیر در نگاه اول با شک و تردید درک می شود.

T. 2.4.(6) قضیه

بین هر دو عدد غیر منطقی متمایز همیشه مجموعه ای از اعداد گویا قابل شمارش وجود دارد.

اثبات

بگذارید دو عدد غیر منطقی وجود داشته باشد آو ب، ارقام متناظر آنها را به صورت می نویسیم آ 1آ 2آ 3... و ب 1ب 2ب 2...، کجا او, دو- اعداد اعشاری اجازه دهید آ < ب، سپس N وجود دارد که آن< بن. بیایید یک عدد جدید بسازیم ج، چرا بگذاریم ci = او = دوبرای من= 1، …، N-1. اجازه دهید cN = bN-1. بدیهی است که ج < ب. از آنجایی که تمام ارقام عدد آبعد از اینکه N ام نمی تواند نه باشد (آنگاه یک کسری تناوبی، یعنی یک عدد گویا) خواهد بود، سپس چنین رقمی از عدد را با M >= N نشان می دهیم. آ، چی آم< 9. Положим cj = aj، در N< j < M, и ج M = 9. در این مورد ج > آ. بنابراین یک عدد گویا به دست آوردیم ج، به طوری که آ < ج < ب. اضافه کردن اعداد به نماد اعشاری جهر تعداد محدودی از رقم های پشت سر ما می توانیم هر تعداد اعداد گویا را بین آنها بدست آوریم آو ب. با اختصاص دادن شماره سریال به هر عددی، یک تناظر یک به یک بین مجموعه این اعداد و مجموعه اعداد طبیعی بدست می آید، بنابراین مجموعه حاصل قابل شمارش خواهد بود. Q.E.D.

در این مرحله اثبات قضیه زیر جالب و مهم می شود که مفهوم آن قبل از معرفی مقیاس اعداد متعدی به طور کلی آشکار بود و با ظهور چنین محاسبات خاصی نیاز به اثبات دقیق دارد.

T.2 قضیه کانتور

برای هر عدد اصلی α، α<2α.

اثبات

1. اجازه دهید حداقل آن را ثابت کنیم α≤2α

همانطور که مشخص است، کاردینالیته مجموعه بولی M برابر است با 2|M|. اجازه دهید مجموعه M = (m1، m2، m3، ...). مجموعه بولی M (مجموعه همه زیرمجموعه های آن) همچنین شامل مجموعه هایی است که هر کدام از یک عنصر واحد تشکیل شده اند، به عنوان مثال (m1)، (m2)، (m3)، .... فقط این نوع زیرمجموعه |M| خواهد بود و بولی علاوه بر آنها شامل زیرمجموعه های دیگری نیز می شود، یعنی در هر صورت |M| ≤ 2|M|

2. اجازه دهید سختی نابرابری را ثابت کنیم α<2α

با در نظر گرفتن آنچه در بند 1 ثابت شد. کافی است نشان دهیم که وضعیتی که در آن α=2α.اجازه دهید برعکس فرض کنیم، α=2α، یعنی |M| = 2|M|. این بدان معنی است که M معادل P(M) است، به این معنی که نگاشت مجموعه M روی P(M) بولی آن وجود دارد. که هر عنصر m از مجموعه M مطابقت یک به یک با زیر مجموعه Mm متعلق به P(M) دارد. این بدان معنی است که هر عنصر m یا به زیر مجموعه مربوطه Mm تعلق دارد یا به آن تعلق ندارد. اجازه دهید یک مجموعه M* بسازیم که از همه عناصر نوع دوم تشکیل شده است (یعنی آنهایی که m به زیر مجموعه های مربوطه آنها Mm تعلق ندارند)

با ساخت واضح است که اگر هر عنصر m متعلق به M* باشد، به طور خودکار به Mm تعلق ندارد. این به نوبه خود به این معنی است که برای هر m وضعیت M*=Mm غیرممکن است. این بدان معنی است که مجموعه M* با همه مجموعه های Mm متفاوت است و برای آن عنصر یک به یک m از مجموعه M وجود ندارد. این به نوبه خود به این معنی است که برابری |M|= 2|M| اشتباه. که ثابت شده است که |M| < 2|M| یا α<2α , Q.E.D.

وقتی برای در نظر گرفتن مجموعه‌های نامتناهی به کار می‌رود، این به طور قانع‌کننده‌ای ثابت می‌کند که مجموعه همه زیرمجموعه‌های اعداد طبیعی (و این در واقع مجموعه مختلط‌های با طول نامتناهی است) با مجموعه خود اعداد طبیعی معادل نیست. یعنی À0 ≠ 2À0. و این بدان معناست که، با قیاس، می توان مجموعه ای حتی گسترده تر، برای مثال، بر اساس اعداد واقعی ساخت. به عبارت دیگر، سؤال در مورد انواع دیگر مجموعه های نامتناهی این است که آیا مجموعه ای از کاردینالیته بزرگتر از کاردینالیته مجموعه اعداد حقیقی وجود دارد؟ اگر به چنین سؤالی پاسخ مثبت داده شود، سؤال بعدی بلافاصله مطرح می شود: آیا مجموعه ای از قدرت حتی بیشتر وجود دارد؟ سپس حتی بیشتر. و در نهایت، یک سوال منطقی جهانی: آیا مجموعه ای از بزرگترین قدرت ها وجود دارد؟

قضیه T.2

برای هر مجموعه A یک مجموعه B وجود دارد که کاردینالیته آن بیشتر از A است.

اثبات

مجموعه را در نظر بگیرید که درتمام توابع تعریف شده در مجموعه آو گرفتن مقادیر 0 و 1. هر نقطه آمجموعه ها آاجازه دهید تابع fa(x) را به هم مرتبط کنیم که در این نقطه مقدار 1 و در نقاط دیگر مقدار 0 را می گیرد. از آن نتیجه می شود که کاردینالیته مجموعه که درکمتر از قدرت مجموعه نیست آ (|ب|≥|آ|).

بیایید فرض کنیم که قدرت های زیادی وجود دارد آو که دربرابر یکدیگر. در این حالت بین عناصر مجموعه ها تناظر یک به یک وجود دارد آو که در. اجازه دهید تابع مربوط به عنصر را مشخص کنیم آاز بسیاری آ، از طریق fa(x). همه توابع خانواده fa(x) مقدار 0 یا 1 را می گیرند. بیایید یک تابع جدید φ(x)=1-fх(x) بسازیم. بنابراین، برای یافتن مقدار تابع φ(x) در یک نقطه آمتعلق به مجموعه آابتدا باید تابع مربوطه را پیدا کنیم ( آ) و سپس مقدار این تابع را در نقطه از واحد کم کنید آ. از ساختار مشخص می شود که تابع φ(x) نیز روی مجموعه تعریف شده است آو مقادیر 0 و 1 را می گیرد. بنابراین، φ(x) عنصری از مجموعه است که در. سپس یک عدد b در مجموعه A وجود دارد به طوری که φ(x) = fb(x). با در نظر گرفتن تعریف قبلی معرفی شده از تابع φ(x)=1-fх(x)، به دست می آوریم که برای تمام x متعلق به مجموعه آ، درست 1 - fх(x)= fb(x). اجازه دهید x = b. سپس 1 - fb(b) = fb(b) و این یعنی fb(b)=1/2. این نتیجه به وضوح با این واقعیت که مقادیر تابع fb(x) برابر با صفر یا یک است در تضاد است. در نتیجه، فرض پذیرفته شده نادرست است، به این معنی که بین عناصر مجموعه ها مطابقت یک به یک وجود ندارد. آو که در (| آ| ≠| ب| ). زیرا | آ| ≠|ب| و در عین حال | ب| ≥| آ| ، به معنای | ب| >|آ| . این به این معنی است که برای هر مجموعه آمی توانید یک مجموعه بسازید که درقدرت بیشتر. از این می توان نتیجه گرفت که هیچ مجموعه ای از بزرگترین کاردینالیته وجود ندارد، Q.E.D.

ارتباط نسبتاً نزدیکی بین مجموعه توابع ساخته شده و مجموعه بولی وجود دارد آ(مجموعه همه زیر مجموعه ها آ). مجموعه را در نظر بگیرید که درتمام زیر مجموعه های مجموعه آ. اجازه دهید با- برخی از زیر مجموعه ها در آ. بیایید تابع را بگیریم f(ایکس) ، که مقدار 1 if را می گیرد ایکسمتعلق است با، و در غیر این صورت مقدار 0 است. بنابراین، زیر مجموعه های مختلف بابا توابع مختلف مطابقت دارد. برعکس، هر تابع f(ایکس) ، با گرفتن دو مقدار 0 و 1، مربوط به یک زیر مجموعه در است آ، متشکل از آن عناصر است ایکس، که در آن تابع مقدار 1 را می گیرد. بنابراین، یک تناظر یک به یک بین مجموعه توابع تعریف شده در مجموعه برقرار شده است. آو مقادیر 0 و 1 و مجموعه همه زیر مجموعه ها را در نظر بگیرید آ.

§ 2.5. مجموعه هایی با کاردینالیته بیشتر از کاردینالیته پیوستار

بنابراین، هیچ مجموعه ای از بزرگترین کاردینالیته وجود ندارد. دو عدد اول متناهی دارای مجموعه هایی در طبیعت بودند که آنها را تشکیل می دادند (مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی). اگر از مجموعه پیوستار شروع کنیم، سپس می‌توانیم مجموعه تمام زیرمجموعه‌های زنجیره را بسازیم، بولی آن را به دست می‌آوریم، اجازه دهید این مجموعه را BR بنامیم. طبق تعریف، توان مجموعه BR برابر با 2A است. طبق قضیه کانتور 2À≠À. بدیهی است که مجموعه BR نامتناهی است، بنابراین عدد اصلی آن یک عدد نامتناهی است و نمی تواند با هیچ یک از دو عدد نامتناهی که قبلا در نظر گرفته شد منطبق باشد. این بدان معنی است که زمان آن رسیده است که سومین عدد گذرا را در مقیاس خود وارد کنیم.

الف وان ( À 1 ) – سومین عدد گذرا. طبق تعریف، این کاردینالیته مجموعه همه زیر مجموعه‌های زنجیره است. همین عدد مربوط به کاردینالیته بسیاری از مجموعه های دیگر است، به عنوان مثال:

· مجموعه ای از تمام توابع خطی که هر مقدار واقعی را می گیرند (یک تابع خطی تابع واقعی یک یا چند متغیر است). اساساً، اینها مجموعه‌ای از همه منحنی‌های ممکن در یک فضای شمارش‌بعدی هستند، جایی که تعداد ابعاد n هر عدد محدود یا حتی À0 است.

· مجموعه ای از ارقام در صفحه، به عنوان مثال، مجموعه ای از تمام زیر مجموعه های نقاط در صفحه یا مجموعه ای از تمام زیر مجموعه های جفت اعداد واقعی.

مجموعه ای از اجسام در فضای سه بعدی معمولی، و همچنین، به طور کلی، در هر فضای قابل شمارش بعدی، که در آن تعداد ابعاد n هر عدد محدود یا حتی À0 باشد.

از آنجایی که عدد À1 به عنوان کاردینالیته مجموعه بولی با کاردینالیته À معرفی می شود، این عبارت را به دست می آوریم که À1 =2À.

§ 2.6. پارادوکس های نظریه مجموعه ها

یک سوال منطقی مطرح می شود: بعد چه؟ اگر مجموعه تمام زیر مجموعه های مجموعه BR را بسازیم چه اتفاقی می افتد. عدد اصلی آن برابر با چه عددی خواهد بود (البته بر اساس قیاس می توانیم فرض کنیم که 2À1 است) و مهمتر از همه، این با کدام مجموعه واقعی مطابقت دارد؟ آیا مجموعه های بی نهایت بزرگتر از BR وجود دارد و چند عدد وجود دارد؟

اگرچه نشان داده‌ایم که بزرگترین عدد بینهایت وجود ندارد، همانطور که تحقیقات نشان می‌دهد، صعود بیشتر و بیشتر به اعداد اصلی جدید خطرناک است - این منجر به ضدیت (پارادوکس) می‌شود. در واقع، مجموعه اعداد اصلی هرچه باشد، همیشه می توان عدد اصلی را پیدا کرد که از همه اعداد یک مجموعه معین بزرگتر باشد و بنابراین در آن گنجانده نشده باشد. که هیچ مجموعه ای شامل همه اعداد اصلی نیست و مجموعه همه اعداد اصلی غیرقابل تصور است.

کاملاً طبیعی است که هر ریاضی دانی بخواهد با یک نظریه سازگار سروکار داشته باشد، یعنی نظریه ای که در آن اثبات همزمان دو قضیه که به وضوح یکدیگر را رد می کنند غیرممکن باشد. آیا نظریه کانتور سازگار است؟ دایره مجموعه های در نظر گرفته شده را تا چه اندازه می توان گسترش داد؟ متأسفانه همه چیز آنقدر هم گلگون نیست. اگر چنین مفهوم به ظاهر بی ضرری را به عنوان "مجموعه همه مجموعه های U" معرفی کنیم، چند نکته جالب به وجود می آید.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src="> T.2.6.(2) پارادوکس راسل

اجازه دهید B مجموعه ای از همه مجموعه هایی باشد که خود را به عنوان عناصر خاص خود در بر نمی گیرند. سپس دو قضیه قابل اثبات است.

قضیه 2.6.(2).1.

B متعلق به V است.

اثبات

بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. که درمتعلق نبودن به که در. طبق تعریف، این به این معنی است که درمتعلق است که در. ما یک تناقض دریافت می کنیم - بنابراین، فرض اصلی نادرست است و که درمتعلق است که در, Q.E.D.

قضیه 2.6.(2).2.

B متعلق به V نیست.

اثبات

بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. که درمتعلق است که در. با تعریف یک مجموعه که درهر عنصری از آن نمی تواند خود را به عنوان عنصر خود داشته باشد، بنابراین، که درمتعلق نبودن به که در. یک تناقض - بنابراین، فرض اصلی نادرست است و که درمتعلق نبودن به که در, Q.E.D.

به راحتی می توان فهمید که قضایای 2.6.(2).1. و 2.6.(2).2. یکدیگر را حذف کنند

متأسفانه، حتی کنار گذاشتن همه مجموعه‌های فوق گسترده از بررسی، نظریه کانتور را نجات نمی‌دهد. در اصل، پارادوکس راسل بر منطق تأثیر می‌گذارد، یعنی روش‌های استدلالی که به‌وسیله‌ی آن مفاهیم جدید هنگام انتقال از یک گزاره‌ی درست به دیگری شکل می‌گیرد.

قبلاً هنگام استخراج پارادوکس، از قانون منطقی وسط حذف شده استفاده می شود که یکی از روش های انتگرال استدلال در ریاضیات کلاسیک است (یعنی اگر گزاره not-A درست باشد، A نادرست است). اگر به ماهیت چیزها فکر می کنید، به طور کلی می توانید از نظریه مجموعه ها و به طور کلی ریاضیات فاصله بگیرید.

کدهای کوتاه">

این مطالب به دلیل حجم زیاد در چندین صفحه قرار گرفته است:
2

اگر مجموعه اعداد گویا با مجموعه ای از اعداد غیر منطقی تکمیل شود، آنها با هم مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل می دهند. مجموعه اعداد واقعی معمولا با حرف R نشان داده می شود. آنها همچنین از نماد نمادین (-oo, +oo) یا (-oo, oo) استفاده می کنند.

مجموعه اعداد حقیقی را می توان به صورت زیر توصیف کرد: مجموعه ای از کسرهای اعشاری متناهی و نامتناهی است. اعشار متناهی و کسرهای تناوبی اعشاری نامتناهی اعداد گویا هستند و کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی اعداد غیر منطقی هستند.

هر عدد واقعی را می توان با یک نقطه در یک خط مختصات نشان داد. عکس آن نیز صادق است: هر نقطه روی یک خط مختصات یک مختصات واقعی دارد. ریاضیدانان معمولاً این را می گویند: یک تناظر یک به یک بین مجموعه R اعداد حقیقی و مجموعه نقاط روی خط مختصات برقرار شده است. خط مختصات یک مدل هندسی از مجموعه اعداد حقیقی است. به همین دلیل اغلب از عبارت خط عددی برای خط مختصات استفاده می شود.

به این اصطلاح فکر کنید: آیا برای شما غیر طبیعی به نظر نمی رسد؟ از این گذشته، یک عدد شیء جبر است و خط مستقیم شیء هندسه. آیا در اینجا "اختلاط ژانرها" وجود دارد؟ نه، همه چیز منطقی است، همه چیز فکر شده است. این اصطلاح بار دیگر بر وحدت حوزه های مختلف ریاضی تاکید می کند و آن را ممکن می سازد
شناسایی مفاهیم «عدد واقعی» و «نقطه روی خط مختصات (عددی)».

لطفا توجه داشته باشید: شما از کلاس پنجم از خط مختصات استفاده می کنید. اما معلوم می شود که شکاف کاملاً موجهی در دانش شما وجود دارد: برای هیچ نقطه ای از خط مختصات نمی توانستید مختصات را پیدا کنید - معلم به سادگی شما را از چنین مشکلی محافظت کرد.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. یک خط مختصات داده می شود، یک مربع بر روی قطعه واحد آن ساخته می شود (شکل 100)، مورب مربع OB روی خط مختصات از نقطه O به سمت راست رسم می شود، نتیجه نقطه D است. مختصات چقدر است. نقطه D برابر است با طول مورب مربع، یعنی. این عدد شبیه است
اکنون می دانیم که کل یا کسر نیست. یعنی نه در کلاس پنجم، نه در ششم و نه در کلاس هفتم نمی توانید مختصات نقطه D را پیدا کنید.

به همین دلیل است که ما تاکنون گفته‌ایم «خط مختصات» و نه «خط عدد».

توجه داشته باشید که شکاف قابل توجیه دیگری در دانش جبر شما وجود داشت. هنگام در نظر گرفتن عبارات با متغیرها، همیشه منظور ما این بود که متغیرها می توانند هر مقدار معتبری را بگیرند، اما فقط مقادیر منطقی را، زیرا هیچ ارزش دیگری وجود نداشت. در واقع، متغیرها می توانند
هر مقدار معتبر معتبر مثلاً در هویت
(a + b) (a-b) = a 2 -b 2 هر عددی می تواند به عنوان a و b عمل کند، نه لزوما
گویا. ما قبلاً در پایان پاراگراف قبل از آن استفاده کردیم. ما در § 18 - به ویژه در مثال های 6، 7، 8 از این پاراگراف از همان استفاده کردیم.

برای اعداد حقیقی a، b، c، قوانین معمول اعمال می شود:
a + b = b + a;
ab = ba;

a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) =(ab)c
(a + b) c = ac + bc و غیره.
قوانین معمول نیز اعمال می شود: حاصل ضرب (ضریب) دو عدد مثبت یک عدد مثبت است.
حاصل ضرب (ضریب) دو عدد منفی یک عدد مثبت است.
حاصل ضرب (ضریب) یک عدد مثبت و یک عدد منفی یک عدد منفی است.

اعداد حقیقی را می توان با استفاده از تعریف زیر با یکدیگر مقایسه کرد.

تعریف . یک عدد واقعی a بزرگتر (کمتر از) یک عدد واقعی b است اگر تفاوت آنها a - b یک عدد مثبت (منفی) باشد. a > b (a< b).

از این تعریف چنین استنباط می شود که هر عدد مثبت a بزرگتر از صفر است (زیرا تفاوت a - 0 = a یک عدد مثبت است) و هر عدد منفی b کمتر از صفر است (زیرا اختلاف b - 0 = b یک عدد منفی است. عدد).

بنابراین، a > 0 به این معنی است که a یک عدد مثبت است.
آ< 0 означает, что а — отрицательное число;
a>b به این معنی است که a -b یک عدد مثبت است، یعنی a - b > 0.
آ آن ها الف - ب< 0.
همراه با نشانه های نابرابری شدید (<, >) از علائم نابرابری ضعیف استفاده کنید:
a 0 به این معنی است که a بزرگتر از صفر یا مساوی صفر است، یعنی a یک عدد غیر منفی (مثبت یا 0) است، یا اینکه a کمتر از صفر نباشد.
و 0 به این معنی است که a کوچکتر از صفر یا مساوی صفر است، یعنی a یک عدد غیر مثبت (منفی یا 0) است، یا اینکه a بزرگتر از صفر نیست.
و b به این معنی است که a بزرگتر یا مساوی b است، یعنی a - b یک عدد غیر منفی است یا a کمتر از b نیست. a - b 0;
و b به این معنی است که a کوچکتر یا مساوی b است، یعنی a - b یک عدد غیر مثبت است، یا a بزرگتر از b نیست. a - b 0.
برای مثال، برای هر عدد a، نابرابری 2 0 درست است.
برای هر عدد a و b نابرابری (a - b) 2 0 درست است.
اما برای مقایسه اعداد واقعی لازم نیست هر بار تفاوت آنها را جبران کنیم و مثبت یا منفی بودن آن را دریابیم. می توانید با مقایسه اعداد به صورت کسر اعشاری به نتیجه مناسب برسید.

مدل هندسی مجموعه اعداد واقعی، یعنی خط اعداد، عمل مقایسه اعداد را به ویژه واضح می کند: از دو عدد a، b، عددی که در خط اعداد سمت راست قرار دارد بزرگتر است.

بنابراین، مقایسه اعداد واقعی باید کاملاً انعطاف پذیر باشد، چیزی که در مثال زیر استفاده می کنیم.

مثال 1.مقایسه اعداد:

مثال 2.اعداد را به ترتیب صعودی مرتب کنید

این یکی از مفاهیم اساسی تعریف نشده ریاضیات است. مجموعه به عنوان مجموعه ای (مجموعه، کلاس، خانواده...) از برخی اشیاء که توسط یک مشخصه متحد شده اند درک می شود. بنابراین می توانیم در مورد تعداد زیادی از دانشجویان در مؤسسه، در مورد ماهی های بسیار در دریای سیاه، در مورد ریشه های زیاد معادله x 2 + 2x + 2 = 0، در مورد زیادتمام اعداد طبیعی و غیره

اشیایی که یک مجموعه را تشکیل می دهند، عناصر آن نامیده می شوند. مجموعه ها معمولاً با حروف بزرگ الفبای لاتین A، B،...، X، Y،... و عناصر آنها - با حروف کوچک a، b،... ...، x، y، نشان داده می شوند. ..

اگر عنصر x متعلق به مجموعه X است، x О X را بنویسید. xÏ X یا x را ضبط کنید Î X به این معنی است که عنصر x به مجموعه X تعلق ندارد.

به عنوان مثال، نماد A=(1،3،15) به این معنی است که مجموعه A از سه عدد 1، 3 و 15 تشکیل شده است. نماد A=(x:0≤x≤2) به این معنی است که مجموعه A از تمام اعداد واقعی (مگر اینکه خلاف آن ذکر شده باشد) تشکیل شده است که نابرابری 0 ≤ x ≤ 2 را برآورده می کند.

یک دسته از A زیرمجموعه ای از مجموعه B نامیده می شود اگر هر عنصر از مجموعه A عنصری از مجموعه B باشد. به طور نمادین به صورت AÌ B ("A در B گنجانده شده است") یا BÉ A ("مجموعه B شامل مجموعه ای است" نشان داده می شود. مجموعه A”).

آنها گفتند که مجموعه ها A و B مساوی یا یکسان هستند و اگر AÌ B و BÌ A را A=B بنویسید. مجموعه ها، متشکل از عناصر یکسان، برابر نامیده می شوند.

اتحادیه(یا مجموع) مجموعه های A و B مجموعه ای متشکل از عناصری است که هر یک حداقل به یکی از این مجموعه ها تعلق دارند. اتحاد (جمع) مجموعه ها با AUB (یا A+B) نشان داده می شود. به طور خلاصه، می توانید بنویسید АУВ = (x: xєA یا xєB).

تقاطع (یا حاصلضرب) مجموعه‌های A و B مجموعه‌ای متشکل از عناصر است که هر یک متعلق به مجموعه A و مجموعه B هستند. به طور خلاصه می توانیم A∩B=(x:xєA و xєB) بنویسیم

در آینده، از چند نماد منطقی ساده برای کوتاه کردن رکوردها استفاده خواهیم کرد:

ΑÞ ß - به معنای "از جمله α از جمله ß پیروی می کند"؛

ΑÛ ß - "گزاره های α و ß معادل هستند"، یعنی از α به دنبال ß و از ß به دنبال α می آید.

" - به معنای "برای هر کسی"، "برای همه"؛

$ - "وجود دارد"، "پیدا خواهد شد"؛

: - "می گیرد"، "چنین که"؛

→ - "انطباق".

مثلا:
1) مدخل "xО А:α به معنای: "برای هر عنصر xО А گزاره α برقرار است"؛
2) (х єA U В)<==>(x є A یا x є B)؛ این مدخل اتحاد مجموعه های A و B را تعریف می کند.

13.2. عددی مجموعه ها. مجموعه اعداد واقعی

به مجموعه هایی که عناصر آن اعداد هستند، عددی می گویند. نمونه هایی از مجموعه اعداد عبارتند از:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - مجموعه ای از اعداد طبیعی.

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - مجموعه ای از اعداد صحیح غیر منفی;

Z=(0؛ ± 1؛ ± 2؛ ...؛ ± n؛ ...) - مجموعه ای از اعداد صحیح.

Q=(m/n: mО Z,nО N) - مجموعه ای از اعداد گویا.

R-مجموعه اعداد واقعی.

بین این مجموعه ها رابطه وجود دارد

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.

یک دسته از R شامل اعداد گویا و غیر منطقی است. هر عدد گویا یا به صورت کسری اعشاری متناهی یا به صورت کسری متناوب نامتناهی بیان می شود. بنابراین، 1/2= 0.5 (= 0.500...)، 1/3=0.333... اعداد گویا هستند.

اعداد حقیقی که گویا نیستند نامیده می شوند غیر منطقی

قضیه 13.1.

هیچ عدد گویا نیست که مربع آن برابر با 2 باشد.

▼فرض کنید که یک عدد گویا وجود دارد که با کسری غیرقابل تقلیل m/n نمایش داده می شود که مربع آن برابر با 2 است. سپس داریم:

(m/n) 2 = 2، یعنی m 2 = 2n 2.

بنابراین m 2 (و بنابراین m) یک عدد زوج است، یعنی m=2k. با جایگزینی m=2k به برابری m 2 =2n 2، 4k 2 = 2n 2 به دست می آوریم، یعنی 2k 2 = n 2،

نتیجه این است که عدد n- زوج است، یعنی n=2l اما کسر m/n=2k/2l قابل تقلیل است. این با این فرض که m/n کسری غیرقابل تقلیل است در تضاد است. بنابراین، هیچ عدد گویا وجود ندارد که مربع آن برابر با عدد 2 باشد. ▲

یک عدد غیر منطقی به صورت یک کسر غیر تناوبی نامتناهی بیان می شود. بنابراین √2=1.4142356... اعداد غیر منطقی هستند. می توان گفت: مجموعه اعداد حقیقی مجموعه تمام کسرهای اعشاری نامتناهی است. و آن را یادداشت کنید

R=(x: x=α،α 1 α 2 α 3 ...)، که در آن aєZ، و i є(0،1،...،9).

یک دسته ازاعداد واقعی R دارای ویژگی های زیر هستند.

1. مرتب می شود: برای هر دو عدد متفاوت α و b، یکی از دو رابطه برقرار است: a

2. یک دسته از R چگال است: بین هر دو عدد متمایز a و b یک مجموعه نامتناهی از اعداد حقیقی x وجود دارد، یعنی اعدادی که نابرابری a را برآورده می کنند.<х

بنابراین، اگر الف

(آ

3. یک دسته از R پیوسته اجازه دهید مجموعه R به دو کلاس غیر خالی A و B تقسیم شود به طوری که هر عدد واقعی فقط در یک کلاس باشد و برای هر جفت اعداد aєA و bєB نابرابری a.

خاصیت تداوم به ما اجازه می دهد تا یک تناظر یک به یک بین آنها برقرار کنیم زیاداز تمام اعداد واقعی و مجموعه تمام نقاط یک خط. این بدان معناست که هر عدد xєR مربوط به یک نقطه (تک) معین در محور عددی است و برعکس، هر نقطه در محور مربوط به یک عدد واقعی (تک) معین است. بنابراین، به جای کلمه "عدد" اغلب "نقطه" می گویند.

13.3 فواصل عددی. همسایگی یک نقطه

بگذارید a و b اعداد حقیقی باشند و a

فواصل عددی(فاصله ها) زیرمجموعه ای از تمام اعداد واقعی هستند که به شکل زیر هستند:

= (x: α ≤ x ≤ b) - بخش (بخش، فاصله بسته).
(a;) = (x: a< х < b} - интервал (открытый промежуток);
= (x:a< х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞؛ b] = (x: x ≤ b)؛ [α، +∞) = (x: x ≥ α).
(-∞؛ b) = (x: x آ)؛
(-∞، ∞) = (x: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).

اعداد a و b را به ترتیب انتهای چپ و راست این فواصل می گویند. نمادهای -∞ و +∞ اعداد نیستند، آنها یک نام نمادین از روند حذف نامحدود نقاط در محور اعداد از ابتدا 0 به چپ و راست هستند.

فرض کنید x o هر عدد واقعی (نقطه ای در خط اعداد) باشد. همسایگی نقطه xo هر بازه (a; b) حاوی نقطه x0 است. به طور خاص، فاصله (x o -ε، x o +ε)، که در آن ε > 0، همسایگی ε نقطه x o نامیده می شود. عدد xo را مرکز می نامند.

اگر x Î (x 0 -ε؛ x 0 +ε)، سپس نابرابری x 0 -ε برآورده می شود<х<х 0 +ε, или, что то же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97).

تایپ کنید